考虑驾驶策略与再生能利用的城轨列车运行图节能优化

Energy Saving Optimization of Urban Rail Train Working Diagram Considering Driving Strategy and Regenerative Energy Utilization

摘要

从列车驾驶操纵策略和再生制动能量利用两个方面，对城轨列车运行图节能优化问题进行研究。首先，分析了列车驾驶操纵和再生制动能利用对列车运行图能耗的影响；其次，以列车总旅行时间最短和列车运行总能耗最小为目标，考虑区间运行时分、停站时间、列车速度曲线等约束，建立了城轨列车运行图双目标节能优化模型。针对模型特点，采用模型离散化等策略进行约简，并设计了基于模拟退火机制的粒子群算法(PSO-SA)进行求解。最后，以天津地铁1号线(刘园—双林)运营数据为基础，验证模型和算法的有效性，研究结果表明：优化后列车总能耗减少了10 251 kW·h，降幅为7.84%，尤其是再生制动能利用有了明显提升，增幅达145.10%。

Abstract

This paper studied the energy saving optimization of urban rail train working diagram from the strategy of train driving and the utilization of regenerative braking energy. Firstly, the influence of the driver's operation and regenerative braking energy utilization on the energy consumption of the train working diagram was analyzed. Secondly, to minimize the total travel time and total energy consumption, an energy-saving optimization model for an urban rail train working diagram was constructed considering constraints such as interval operation time, dwell time, and train speed curve. Based on the characteristics of the model, model discretization and other methods were adopted to simplify the model, and a particle swarm optimization algorithm (PSO-SA) based on simulated annealing was designed to solve the problem. Finally, the effectiveness of the model and algorithm was verified based on the operation data of Tianjin Metro Line 1 (Liuyuan-Shuanglin). The research results show that after optimization, the total energy consumption of the train has been reduced by 10 251 kW/h, decreased by 7.84%. Moreover, the utilization of regenerative braking energy has significantly improved by 145.10%.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 列车运行图 / 节能操纵 / 再生制动能利用 / PSO-SA算法

Key words

Urban Rail Transit / Train Working Diagram / Energy-saving Operation / Regenerative Braking Energy Utilization / PSO-SA Algorithm

0　引言

在绿色交通大背景下，我国城市轨道交通发展迅速。截至2022年底，全国已有308条城市轨道交通线路开通运营，覆盖55个城市，总运营里程达10 291.95 km，全年客运量累计达到193.02亿人次。城市轨道交通在为民众出行带来便利的同时，也伴随不可忽视的能耗问题。根据文献［1-2］的研究，列车牵引能耗占据了整个系统总能耗的50%左右。因此，如何降低列车运行能耗对城市轨道交通绿色可持续发展至关重要。

目前，城轨列车运行节能研究主要集中在列车操纵优化和列车运行图优化2个方向^[3]，在列车操纵优化领域，Phil等^[4]根据Pontryagin极值原理论证了列车最优操纵应包括牵引、巡航、惰行和制动4个阶段，并提供了各个操作状态切换点的解决方案。丁勇等^[5]通过牵引惰行对列车速度进行操纵，实现了在给定速度范围内采用列车最优操纵。在列车运行图优化方面，冯瑜等^[6]以乘客出行时间最少和列车间牵引-制动重叠时间利用最大化为双目标来优化列车运行图。步兵等^[7]重点考虑单列车节能优化问题，研究了如何通过列车区间运行时间与停站时间的分配来提升再生制动能的利用。近年来，一些学者尝试将列车操纵和列车运行图协同优化来实现列车运行节能效果。Li等^[8]以多列车协同操纵入手，提出了系统能耗最小为导向的列车运行图一体化优化方法。宿帅^[9]系统分析了列车运行图和速度曲线之间的影响机理，构建了基于信息反馈机制的列车运行图节能优化方法。邓连波等^[3]通过列车速度曲线优选和列车始发时刻优化相结合的策略，建立了城轨运行图节能优化模型。

综上可知，国内外学者针对城轨列车运行能耗问题进行了广泛研究，也取得了许多成果。但大部分研究工作将列车节能操纵和运行图优化单独考虑，综合考虑两者的研究相对较少。同时，现有研究大多未考虑列车运行过程中的再生制动能量利用^[10-11]。鉴于此，在以往研究的基础上，结合列车驾驶操纵和再生制动能量利用策略，构建了城轨列车运行图节能优化模型，并设计了一种基于模拟退火机制(Simulated Annealing，SA)的粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)进行求解，该算法将模拟退火机制引入粒子群的变异操作过程，以避免陷入局部最优和克服初值依赖性，能够更加高效地实现城市轨道交通列车运行图的节能优化。

1　问题描述

列车驾驶操纵策略和再生制动能利用是实现列车运行节能运行的2个重要方面。通过阐述列车驾驶操纵策略和再生制动能利用对运行图能耗的影响，进而提出列车驾驶操纵策略和再生制动能利用相结合的城市轨道交通列车运行图节能优化思路。

1.1　列车驾驶操纵策略

列车在区间运行过程中共包括牵引、巡航、惰行和制动4种模式。通常将列车从一个车站出发到下一个车站停站过程中施加的控制工况以及对应距离的有序集合，称为列车驾驶操纵策略。每种列车驾驶操纵策略都对应于特定的区间运行时间和牵引能耗。而对于给定的区间运行时间，至少存在一组操纵策略，使得列车运行的牵引能耗最小，该策略称为当前运行时间条件下的最佳列车驾驶操纵策略。列车驾驶操纵策略如图1所示，基于给定的线路参数、列车参数以及运行图基础参数，列车运行控制系统可以自动生成列车驾驶操纵策略集合，供运营部门选择。因此，对于任意列车驾驶操纵策略，可以根据对应的区间运行时间求得每个区间的运行能耗，进而汇总形成列车运行图的总牵引能耗。换言之，列车驾驶操纵策略在模型中主要通过区间运行时分的选择来体现。

1.2　再生制动能量利用

列车的再生制动过程是将列车运行过程中产生的动能反馈给接触网进行回收利用的过程。如果这部分能量无法传递给接触网回收利用，将会以发热的形式消耗在电阻上。因而通过再生制动能量利用，可以有效降低能耗损失。列车再生制动能量利用过程如图2所示，在列车运行图中，通过协调安排不同列车之间的时空位置关系，尽可能增加相邻列车之间牵引列车和制动列车的重叠时间，从而提高再生制动能量利用。

1.3　城轨运行图节能优化

城轨列车运行能耗可表示为列车运行牵引能耗与已利用再生制动能之间的差值。因此，城轨列车运行图节能优化可分为2个层面：一是列车驾驶操纵策略，即通过选择最优速度曲线，使得单列车的运行能耗最小；二是再生能利用策略，即通过协调运行图中不同列车时空位置关系，实现再生制动能量利用最大化。城轨列车运行图节能优化思路如图3所示，提出将列车驾驶操纵和再生能利用2种策略综合考虑的思路，以便更好实现列车运行图的节能优化。

2　模型构建

2.1　模型假设

为降低模型复杂性，在参考以往研究的基础上^[3，11]，做出以下5个假设：①列车开行方案与运行图编制参数已知；②线路条件和车辆牵引制动等特性己知；③列车出入库作业时间满足列车运行图的要求；④不考虑列车照明、风扇和空调等产生的辅助能耗；⑤再生制动只在相邻的两列车间传递。

2.2　参数说明

模型涉及的参数说明如表1所示，变量说明如表2所示。

2.3　列车运行受力分析

列车运行过程中受到牵引力、制动力、基本阻力以及附加阻力等因素的共同作用。根据文献［12］，基于单质点的列车动力学特性如公式⑴—⑶所示。

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v⑴

M(\mathrm{1}+\alpha )v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=F(x，v)⑵

f(x，v)=M\mathrm{g}\left[f_{\mathrm{0}}(v)+f_{\mathrm{1}}(x，v)\right]\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}⑶

列车运行阻力f(x，v)由基本阻力f_{\mathrm{0}}(v)和附加阻力f_{\mathrm{1}}(x，v)两部分组成。其中，基本阻力f_{\mathrm{0}}(v)可由戴维斯方程式^[12]近似表示。附加阻力则取决于线路条件。

在不同工况条件下，列车所受合力F(x，v)与牵引力F、制动力B以及运行阻力f(x，v)之间的关系如下所示。

F(x，v)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}F-f(x，v)\mathrm{牵引}\mathrm{工况}\\ -\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}B-f(x，v)\mathrm{制动}\mathrm{工况}\\ -f(x，v)\mathrm{惰性}\mathrm{工况}\\ \mathrm{0}\mathrm{巡航}\mathrm{工况}\end{array}\right.⑷

可分别用公式⑸和公式⑹表示列车在区间运行的牵引能耗\overline{E}和运行时间t。

\overline{E}={\int }_{x}F\mathrm{d}x⑸

t={\int }_x\frac{\mathrm{1}}{v}\mathrm{d}x⑹

2.4　再生能量利用分析

由图2可知，列车在区间运行过程中，相邻列车再生能量利用有2种可能情形：一种是前行列车牵引后行列车制动，另一种是前行列车制动后行列车牵引，再生制动能量利用取决于同一供电分区内相邻牵引列车与制动列车之间的重叠时间，再生制动能利用计算公式如下所示。

\mathrm{\Delta }E=\sum _{g\in G}\sum _{t\in \left[t_{i,s}^{begin}，t_{i,s}^{end}\right]}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{i\in K}{\overline{E}}_i(t)·{\delta }_i(t，p)，\sum _{i\in K}{B}_i(t)·\varphi ·{\delta }_i(t，p)\right\}⑺

式中：\mathrm{\Delta }E为列车i在时间t的再生制动能，kW·h；{\overline{E}}_i(t)为列车i在时间t的牵引能耗，kW·h。

列车总运行能耗计算公式如下所示。

E=\overline{E}-\mathrm{\Delta }E⑻

2.5　约束条件

城轨列车运行图在节能优化过程中除了满足基本运行图约束外，还需满足列车动力学约束等条件。

（1）区间运行时分约束。每趟列车i在车站s和车站s+1之间的运行时间等于列车i到达车站s+1的时间减去列车i从车站s出发的时间。此外，列车i在每个区间的运行时间应处于合理的时间范围内。区间运行时分约束如公式⑼—⑽所示。

d_{i，s+\mathrm{1}}-a_{i，s}=r_{i，s}\forall i\in K，s\in S⑼

r_{i，s}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le r_{i，s}\le r_{i，s}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall i\in K，s\in S⑽

（2）停站时间约束。每一趟列车i在车站s的停站时间都必须大于规定的最小停站时间。此外，列车在每个车站的停站时间应该在合理的时间范围内。停站时间约束如公式⑾—⑿所示。

d_{i，s}-a_{i，s}\ge t_s\forall i\in K，s\in S⑾

t_s^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le t_s\le t_s^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall s\in S⑿

（3）列车开行间隔约束。在相邻列车的追踪运行过程中，必须保持一定的安全间距，需满足相邻列车到发、发到等间隔要求。列车开行间隔约束如公式⒀—⒁所示。

d_{i+\mathrm{1}，s}-a_{i，s}\ge t_{fd}\forall i\in K，s\in S⒀

d_{i+\mathrm{1}，s}-d_{i，s}\ge t_{ff}\forall i\in K，s\in S⒁

（4）首趟车始发与末班车到达时间范围约束。时刻表中首趟列车的始发时间应晚于最早运营开始时间，末班车的到达时间应早于最晚运营时间。首趟车始发与末班车到达时间范围约束如公式⒂—⒃所示。

d_{i_{\mathrm{1}}，s_{\mathrm{1}}}\ge t_{i，s}^{begin}\forall i\in K，s\in S⒂

d_{i_{\mathrm{n}}，s_{\mathrm{m}}}\ge t_{i，s}^{end}\forall i\in K，s\in S⒃

（5）车底接续约束。若给定动车组数量为m，在所有动车组全部发车完毕后，下一趟发车动车组由第一趟动车组完成一个运行周期并进行整备后提供^[13]，即对第i+m趟列车，其车底约束如公式⒄所示，车底接续约束如公式⒅所示。

T_{i+m}^{\text{'}}\ge T_i^{\text{'}}+T_{\mathrm{i}}⒄

T_i=z_i+\sum _{i\in K,s\in S}{r}_{i，s}+\sum _{s\in S}\left(d_{i，s}-a_{i，s}\right)⒅

（6）列车运行变量相关约束。列车运行必须符合最大牵引力、最大制动力和速度限制等约束条件。列车运行变量相关约束如公式 所示。

\mathrm{0}\le F\le F_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⒆

\mathrm{0}\le B\le B_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⒇

v_i(t)\le V(t)（21）

2.6　目标函数

城轨列车运行图节能优化包括以下2个目标。

目标1：列车总运行能耗最小。列车运行总能耗的表达式如下所示。

{\mathrm{Z}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\overline{E}-\mathrm{\Delta }E（22）

目标2：所有列车总旅行时间最小。所有列车总旅行时间的表达式如下所示。

Z_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{i\in K}\sum _{j\in S}(d_{i，s}-a_{i，s})（23）

3　算法设计

3.1　模型分析

城轨列车运行图节能优化模型为含有不等式约束的非线性双目标混合整数规划模型，模型中变量、约束众多，求解十分复杂。随着问题规模扩大，计算难度也呈现指数增长，若采用精确算法，难以在可接受时间范围内求解。因此，首先采取双目标转换、模型离散化等策略降低模型复杂度，然后设计了一种基于模拟退火机制的粒子群(PSO-SA)算法，该算法是在PSO算法的基础上，针对PSO算法易陷入局部最优并存在早熟收敛的问题，利用禁忌搜索(Tabu Search，TS)的长期记忆能力对最优解可能的解空间进行邻域搜索，增强PSO算法的全局寻优能力，从而避免PSO算法在搜索过程中陷入局部最优。该算法是由PSO算法和TS算法融合形成的，能够实现优势互补，提高粒子搜索的遍历性和种群的多样性。

3.2　双目标转换

模型中2个目标虽然均是求最小，但量纲不一致，且可能存在冲突。运用文献［13］中的线性加权和法，将上述模型转化为单目标问题进行求解。转化后的目标函数如下所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z={\omega }_{\mathrm{1}}\times \left(\frac{Z_{\mathrm{1}}-{\underline{Z}}_{\mathrm{1}}}{{\overline{Z}}_{\mathrm{1}}-{\underline{Z}}_{\mathrm{1}}}\right)-{\omega }_{\mathrm{2}}\times \left(\frac{Z_{\mathrm{2}}-{\underline{Z}}_{\mathrm{2}}}{{\overline{Z}}_{\mathrm{2}}-{\underline{Z}}_{\mathrm{2}}}\right)

式中：{\omega }_{\mathrm{1}}，{\omega }_{\mathrm{2}}分别为对应目标函数权重；{\overline{Z}}_{\mathrm{1}}，{\overline{Z}}_{\mathrm{2}}分别为对应目标函数最大值；{\underline{Z}}_{\mathrm{1}}，{\underline{Z}}_{\mathrm{2}}分别为对应目标函数最小值。

通过求解单目标优化问题，分别得到对应目标函数的最大值和最小值，进而可构造得到该问题的正理想解权衡表如表3所示，表3中，设y为双目标情形下的最佳折衷解；y_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}为单目标函数Z_{\mathrm{1}}对应的可行最优解；{\overline{Z}}_{\mathrm{1}}，{\underline{Z}}_{\mathrm{1}}分别为单目标函数Z_{\mathrm{1}}对应解集的上、下界；y_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}为单目标函数Z_{\mathrm{2}}对应的可行最优解；{\overline{Z}}_{\mathrm{2}}，{\underline{Z}}_{\mathrm{2}}分别为单目标函数Z_{\mathrm{2}}对应解集的上、下界。

3.3　模型离散化

由于模型中列车动力学约束中的时间等变量为连续变量，很难直接进行优化求解，需要对模型进行离散化处理^[14]。将列车运营时间段进行离散化处理，在计算得到各时间片段的牵引能耗和利用的再生制动能后，依次累加可得到总的列车运行能耗。同样地，依据线路限速、坡度等影响因素，将列车运行区间分割为若干部分，也就是将列车全程运行能耗优化问题转化为优化列车在每个区间的能耗，再进行求和，同时，将所有列车运行能耗相加，即可求得所有列车运行总能耗。

3.4　算法设计

PSO-SA算法流程如图4所示，基于PSO-SA算法进行城轨列车运行图节能优化模型求解的主要步骤如下。

步骤1：数据准备。输入列车运行时间约束、速度约束、线路路况、列车基本参数、启发式信息、粒子群算法参数等。

步骤2：初始化解空间。随机生成初始可行解Z^{\mathrm{0}}，并将初始解赋为最优解，设迭代次数k=\mathrm{1}。

步骤3：适应度函数计算。将加权后的目标函数作为适应度函数。目标函数的权重系数可根据专家经验及应用环境需要综合设定。对任意粒子i，分别计算个体极值pbes{t}_i^k与全局极值gbes{t}_i^k，令k=k+\mathrm{1}。

步骤4：粒子更新过程。更新群体的位置和速度，并计算每个粒子的新适应度值。粒子群的位置和速度计算如公式 和公式 所示。

v_i^{k+\mathrm{1}}=v_i^k+c_{\mathrm{1}}{r}_{\mathrm{1}}(pbes{t}_i^k-x_i^k)+c_{\mathrm{2}}{r}_{\mathrm{2}}(gbes{t}_i^k-x_i^k)

x_i^{k+\mathrm{1}}=x_i^k+v_i^{k+\mathrm{1}}

式中：v_i^k是粒子i在第k次迭代中的速度，km/h；x_i^k是粒子i在第k次迭代中的当前位置；r_{\mathrm{1}}，r_{\mathrm{2}}是［0，1］上的随机数；c_{\mathrm{1}}，c_{\mathrm{2}}是学习因子，通常在［0，4］上取值。

步骤5：模拟退火选择操作。首先计算更新前后粒子适应度值的变化量\mathrm{\Delta }Z，并基于模拟退火过程^[15]计算每个粒子接受新解的概率P(\mathrm{\Delta }Z)，P(\mathrm{\Delta }Z)的计算方法如公式 所示。

P(\mathrm{\Delta }Z)={\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{\Delta }Z}{T_k}}

式中：T_k为第k次迭代的退火温度，℃。

基于模拟退火的选择过程可表示为

x_i^{k+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{l}{x}_i^k+v_i^{k+\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }Z\le \mathrm{0}\mathrm{或}P(\mathrm{\Delta }Z)>rand\\ x_i^k\mathrm{其他}\end{array}\right.

步骤6：终止条件判定。若满足设定的终止条件，则终止程序并输出全局最优解；否则，转向步骤3继续执行。

步骤7：计算结束。

4　算例分析

4.1　数据准备

以天津地铁1号线(刘园—双林，不含东延线)为例，验证所提模型与算法有效性。天津地铁1号线线路全长26.188 km，设车站22座，平均站间距1.2 km。天津地铁1号线站间距和区间运行时间如表4所示，运营列车采用6节编组准B型列车，列车高度为3.8 m、宽为2.8 m，总长度为19.52 m，额定载客量为1 468人，最大载客量为1 880人。高峰时期每小时单向输送旅客能力为4.4万人，设计速度80 km/h。天津地铁1号线运营参数如表5所示。

4.2　算例分析

根据表4所示的区间运行时间，假设区间运行时间波动范围为±5 s，全线列车运行时间波动范围为±20 s。在不改变当前运营时刻表和开行间隔的前提下，基于第2-3节的模型算法求解最优节能列车运行图。采用优化软件编程来实现PSO-SA算法，算法主要参数设置为：加速因子c₁=1.6，c₂=2.0；最大速度v_max=1；最小速度v_min=-1；最大种群数量pop_max=5；最小种群数量pop_min=-5；种群规模sizepop=200；最大迭代次数maxgen=500。模拟退火的初始温度为99，终止温度为1，温度衰减系数为0.9。

以下主要从优化前后列车运行图的区间运行时间分配和运行图能耗2个方面对结果进行分析，各区间运行时间优化前后对比如表6所示，优化运行图与实际运行图的能耗对比如表7所示。

（1）区间运行时间分配优化。由表6可知，优化前上行方向列车全线运行时间为3 066 s，优化后为3 055 s，减少11 s。优化前下行方向列车全线运行时间为3 083 s，优化后为3 073 s，减少10 s。整体而言，优化前后全线运行时间变动不大。进一步分析不同区间运行时间与能耗变化情况，发现运行时间增加的区间，单位能耗往往有所降低。反之，运行时间减少的区间，单位能耗出现了增长。表明单位能耗与区间运行时间存在一定关联。

（2）运行图能耗优化分析。由表7可知，优化前后列车运行图总能耗分别为138 754 kW·h和128 503 kW·h，减少了10 251 kW·h，降幅为7.84%。进一步分析可以看出，优化前后列车的牵引能耗变化不大，但优化后列车利用的再生制动能量增加了9 333 kW·h，增幅为145.10%。表明提出的方法节能效果显著。

5　结束语

综合考虑列车节能操纵和再生制动能利用2种策略，建立了旅客节时和列车节能的双目标城轨列车运行图节能优化模型，通过双目标转换、模型离散化以及约束线性化等手段降低模型求解难度，并设计了基于PSO-SA的求解算法，实现了城轨列车运行图的节能优化编制。基于天津地铁1号线的优化结果表明，2种节能策略相结合具有较为显著的节能效果，优化后的列车运行图再生制动能利用率增加69.8%，总能耗降低7.84%。未来可进一步考虑随机延误场景下节能运行图的编制优化，以增加模型与算法对实际运营情况的适应性。

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基金资助

中国城市轨道交通协会重点科研专项(CAMET20220205)