考虑货物品类的铁路货运动态定价模型研究

Research on Dynamic Pricing Model of Railway Freight Transportation Considering Cargo Categories

摘要

随着我国经济社会的发展，铁路货运需求不断增加，有效的动态定价策略成为铁路运营管理中的一项重要环节，因此有必要设计一种适应不同情况下的铁路动态定价模型。在总结现有的铁路货运动态定价研究成果的基础上，以广州局集团公司为例，将货物分为大宗货物及其他品类货物，分别建立动态定价模型。针对大宗货物运输，提出基于三叉树的动态期权定价模型；针对其他品类货物运输，建立以铁路运输企业收益最高、客户广义费用最低为目标的双层规划定价模型。选取大朗—吴家山区段货物运输进行实例分析，求出相应的运价。研究结果表明，该方法能够更好地适应市场的变化，保障铁路运输企业和客户的利益，为运输企业的定价决策提供参考。

Abstract

With the development of China's economy and society, the demand for railway freight transportation has been continuously increasing. In railway operation and management, the adoption of effective dynamic pricing strategies has become a crucial aspect. Therefore, it is necessary to design a dynamic pricing model for railways that adapts to different scenarios. Based on the summary of existing research achievements in dynamic pricing for railway freight transportation, this paper took China Railway Guangzhou Group as a case study, categorized the cargo into bulk cargo and other types of cargo, and established dynamic pricing models for each category. For bulk cargo transportation, the paper proposed a dynamic option pricing model based on a trinomial tree. For the transportation of other types of cargo, a bi-level programming pricing model was established with the objectives of maximizing the railway transportation company's revenue and minimizing the customers' generalized costs. An example analysis was conducted for the cargo transportation in the Dalang-Wujiashan section, and the corresponding freight rates were obtained. The study shows that this approach can better adapt to market changes, safeguard the interests of railway transportation companies and customers, and provide a reference for the pricing decisions of transportation companies.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 货物品类 / 动态定价 / 期权定价 / 双层规划模型

Key words

Railway Transportation / Cargo Categories / Dynamic Pricing / Option Pricing / Bi-Level Programming Model

0　引言

中国铁路货物运输规模庞大，铁路网络覆盖全国各省市，具有碳排放低、能源利用率高、生态环境友好等特点。随着国家经济的快速发展和贸易活动的增加，铁路货物运输量呈现稳步增长的趋势。《关于全面推进美丽中国建设的意见》(国务院公报〔2024〕3号)明确指出，要大力推进“公转铁”“公转水”，加快铁路专用线建设；2035年，铁路货物周转量占总货物周转量的25%左右。分析近年来全国总货物周转量及部分运输行业全年货物周转量数据，自2018年国家实施“公转铁”政策后，铁路货物周转量占总货物周转量比例从2018年的14.08%增加到2019年的15.14%。但仍存在运输服务个性化需求满足程度有限、货运定价机制灵活性不足等问题，与其他运输方式相比处于劣势地位，如2023年公路货物周转量占总货物周转量的29.85%，而铁路货物周转量仅占14.72%。因此，在国内运输开放的市场竞争环境下，铁路货运企业应不断提高服务质量、完善铁路货物运输的运价机制和定价策略，积极开展市场营销和创新，更好地适应市场需求和提高运输效益，吸引更多客户选择铁路运输。为此，通过研究铁路货运定价模型，制定合理的定价方法，采用差异化定价策略，更好地满足市场需求，提高资源利用率及货物运输效率。

针对铁路货运定价研究，冯芬玲等^[1]将期权中的二叉树模型引入到铁路货运定价研究；郭经纬^[2]在其基础上，构建符合铁路货运定价的三叉树模型，并引入跳扩散过程；冯芬玲等^[3]建立基于赫斯顿(Heston)模型和遗传算法优化的铁路货运期权定价模型；Guo等^[4]将铁路货运企业的最优定价决策和合同用户的最优购买决策相结合，确定最优组合决策；Gómez-Valle等^[5]针对亚式期权提出新的理论框架，并证明运费期权具有上下界，使得期权价格能够被估计；胡悦秀等^[6]研究以铁路运输企业和客户期望利润最大化为目标的实例分析；王海兵^[7]建立基于市场导向的铁路快运定价双层规划模型；王伟^[8]使用居民消费价格指数(CPI)、工业生产者出厂价格指数(PPI)，考虑铁路运输企业和托运人的相互影响，建立双层规划模型；丁祎晨等^[9]针对列车开行政策和定价的联系，构建综合优化模型；孟毅美等^[10]通过构建不同运输方式的广义费用函数，建立高铁快运双层规划模型，研究市场化差别定价。

目前，铁路货运定价研究大多集中在整体模型上，忽视了对货物品类差异性的考虑，而不同品类货物的运输成本、价值和市场需求各不相同，因此需要针对不同品类货物制定个性化的定价策略。同时，上述研究还缺乏对铁路货运企业和客户利益的综合考虑，可能导致双方利益冲突，影响长期合作关系和运输服务质量。本研究针对不同品类货物运输提出动态定价模型，实现个性化定价，提高运输效率，优化资源配置，增强市场适应性，为运输企业的定价决策提供参考。

1　铁路货物品类及定价方法

1.1　货物品类分析

随着我国经济社会的快速发展，铁路货运客户需求呈现出多样化和差异化的特点，铁路货运需求结构也在发生转变。过去铁路货运以大宗货物运输作为主导，随着经济结构的调整和产业升级，其他品类货物的运输需求逐步增加，客户对运输的要求也日益提高。作为提供运输服务的铁路运输企业，则需要考虑为客户提供更为安全、可靠和高效的服务。因此，本研究将货物按品类进行分类并针对不同品类货物特性和市场需求制定定价策略。

2022年，中国铁路广州局集团有限公司(以下简称“广州局集团公司”)大宗货物发送量为1 608.0万t，占总发送量的62.3%，可见大宗货物是广州局集团公司的主要货源，其他品类货物运输量较为分散。此外，大宗货物和其他品类货物在质量、体积、运输组织方式等方面具有明显的属性差异，大宗货物通常具有较大的运输量和质量，而其他货物品类则更加的多样化。而在市场需求差异方面，大宗货物通常具有稳定的大规模货源，其他货物运输市场则更加细分。基于上述分析，本研究选择将货物品类分为大宗货物和其他货物2类，并分别建立动态定价模型，更准确地反映不同货物的特点和运输成本。

1.2　货运定价方法

随着铁路市场化改革的不断推进，作为其重要内容的铁路货物运价市场化改革目前已取得了一定成果，但铁路本身的“公益性”属性仍在一定程度上限制着铁路货运的市场竞争程度和定价灵活性。现有的货运定价方式主要分为成本导向定价法和竞争导向定价法^[11]。成本导向定价法又可分为平均成本定价法、边际成本定价法等；竞争导向定价法又可分为供求关系定价法、效用理论定价法等。

在铁路货运中，客户与企业之间通常存在合同制运输和非合同制运输2种业务关系。合同制运输的客户主要包括大宗货物运输客户及满足签订合同要求的其他品类货物运输客户。这些客户的货物运输需求相对稳定，变动因素较小，通常会选择签订长期合同以确保运输的稳定性。针对这类货物，采用期权定价方法更加适合。期权定价方法给予客户和铁路运输企业决定未来是否履行运输合同的选择权，可以进一步确保运输的稳定性，保障双方的权益，减少信息不对称，建立更加透明的市场机制。因此，本研究运用使用期权定价模型研究大宗货物和部分其他符合条件货物的铁路货运动态定价。

对于其他品类的货物运输客户，主要运输一些批量较少、到站分散、品类繁多的货物，这些客户通常不会签订长期合同，而是更关注运输的经济性、时效性和安全性等关键指标。因此，针对这些客户，采用双层规划法进行建模分析。双层规划法能够同时考虑运输企业收入最大化和客户费用最小化的需求，在满足客户需求的同时保证铁路运输企业的经济利益。该模型具有一定的灵活性和适应性，可以根据市场需求和实际运输情况进行调整和优化，以适应不同时间段、不同品类货物的运输需求，提高运输服务的适应性和质量。

综上所述，本研究通过分析货物品类及客户购买方式的差异，提出针对大宗货物和其他品类货物的2种不同的动态定价模型：大宗货物及符合条件的部分品类货物采用期权定价模型，而其他品类货物则采用双层规划定价模型。在满足不同客户需求的同时，提高铁路货运的市场竞争力和定价灵活性。

2　大宗货物运输动态定价模型

采用铁路货运期权模型研究大宗货物运输动态定价，使用三叉树期权定价模型进行计算，通过使双方利润的期望值最大化，确定铁路货运期权的执行价格和期权价格，最后通过实例分析验证模型的有效性。

2.1　铁路货运期权定价理论

铁路货运期权实质上是一种由铁路运输企业向客户出售的看涨期权，即客户可以在规定期限内按照约定的价格决定是否购买合同规定的商品或服务^[12]。整理归纳得到铁路货运期权基本要素如表1所示。根据商品和期权的特性，期权定价模型更加适用于需要提前签订包量协议，能够为铁路运输提供稳定货源的客户，其中大宗客户占主要部分，而部分品类符合条件的客户同样可以运用期权。因此，针对需要办理大宗货物运输及满足签订协议要求的部分品类运输的客户，均可以使用期权定价理论进行铁路货运动态定价。

2.2　三叉树期权定价模型构建

2.2.1　基本三叉树定价模型

综合考虑多种定价模型，三叉树期权定价方法具有模型简单直观、应用灵活、对环境要求低的优点，因此采用三叉树期权定价模型进行计算。基本三叉树定价模型如图1所示。

由图1可得，在短时间段\mathrm{\Delta }t内，铁路货运市场运价存在3种状态转移方式：设初始运价为S_{\mathrm{0}}，则有价格上涨的概率为p_{\mathrm{r}}，价格涨至r\cdot S_{\mathrm{0}}，r为价格上涨乘数；价格保持不变的概率为p_{\mathrm{0}}；价格下降的概率为p_d，价格下跌至d\cdot S_{\mathrm{0}}，d为价格下跌乘数。

2.2.2　模型假设

由于模型存在一定局限性，为使三叉树模型更加适用，做出以下假设。

（1）假设客户只在到期日执行期权。

（2）铁路货物运输市场需求量为Q，t。货物市场价格为M，元，需求量Q往往与货物市场价格M呈负相关。

（3）在极短时间\mathrm{\Delta }t内，假设铁路货运市场运价不受季节、线路等因素的影响，其价格波动服从几何布朗运动分布。

（4）假设在一段时间内，铁路货运价格波动的结果与其上涨或下跌的顺序无关，即r\cdot d=\mathrm{1}。

（5）假设铁路货运期权的期望报酬率等于市场无风险利率。

2.2.3　三叉树期权定价模型

（1）确定状态转移概率。根据假设及状态转移方程^[6]，求解关于p_r，p_{\mathrm{0}}，p_d，r，d的方程组，得到结果为

\left\{\begin{array}{l}{p}_r=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\left(\mathrm{1}+d\right)-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-d}{\left(d-r\right)\cdot \left(r-\mathrm{1}\right)}\\ p_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\left(r+d\right)-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-r\cdot d}{\left(r-\mathrm{1}\right)\cdot \left(\mathrm{1}-d\right)}\\ p_d=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\left(\mathrm{1}+r\right)-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-r}{\left(d-r\right)\cdot \left(\mathrm{1}-d\right)}\\ r=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}+{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{3}\alpha +\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\right]}+\sqrt[]{{\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}+{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{3}\alpha +\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\right]}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\\ d=\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}+{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{3}\alpha +\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\right]}-\sqrt[]{{\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}+{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{3}\alpha +\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\cdot \mathrm{\Delta }t}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left[{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{2}\alpha +{\lambda }^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{\Delta }t}-{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{\Delta }t}\right]}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\end{array}\right.⑴

式中：\alpha为无风险利率；\lambda为铁路货运市场收益率标准差。

（2）确定铁路货运期权执行价格。在铁路货物运输市场中，客户在执行期权时可根据市场实际价格决定是否执行。到期日前，如果期权执行价格低于市场价格，客户可选择以期权执行价格购买运力；如果高于市场价格，则可选择放弃使用期权以实际价格购买^[13]。因此，可根据到期日市场实际情况，计算出铁路运输企业最优期权执行价格。根据价格波动结果，可分为2种情况。情况1：在期权到期日前，，则客户可直接从现货市场购买，S_d为下跌时的铁路货物运价，元/t；{\omega }_{\mathrm{1}}为期权执行价格，元/t。情况2：在期权到期日前，S_r>{\omega }_{\mathrm{1}}，则客户的最优选择为行使期权，S_r为上涨时的铁路货物运价，元/t。

在行使权利过程中，若客户的货运需求量Q高于规定的运力数量N，则剩余货物(Q-N)需按现货市场价格购买运力。结合上述情况，可求得大宗客户利润的期望值E(\delta )和铁路运输企业利润的期望值E(\upsilon )为

E\left(\delta \right)=p_{d}E\left({\delta }_{\mathrm{1}}\right)+\left(p_r+p_{\mathrm{0}}\right)E\left({\delta }_{\mathrm{2}}\right)⑵

E\left(\upsilon \right)=p_{d}E\left({\upsilon }_{\mathrm{1}}\right)+\left(p_r+p_{\mathrm{0}}\right)E\left({\upsilon }_{\mathrm{2}}\right)⑶

式中：{\delta }_i为情况i中客户的利润，元；{\upsilon }_i为情况i中铁路运输企业的利润，元。

为使大宗客户利润的期望值和铁路运输企业利润的期望值分别达到最大，对其求N的一阶导数，计算得到最优期权执行价格{\omega }_{\mathrm{1}}为

{\omega }_{\mathrm{1}}=S_r-\frac{c_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}⑷

式中：c_{\mathrm{1}}为长期生产成本，元/t；c_{\mathrm{2}}为短期生产成本，元/t。

2.3　大宗货物运输实例分析

2.3.1　数据整理

分析处理2022年广州局集团公司大宗货物发送量数据，归纳得出各品类大宗货物发送量占比。其中，钢铁占比35%，占比最大，因而选取钢铁品类，以京广线(北京丰台—广州)大朗—吴家山区段的钢铁货运为实例进行测算，该段里程长为1 080.6 km。

2.3.2　参数标定

假设客户于2023年3月20日向铁路运输企业购买期权，期限为1年。根据中国钢材网公布的数据，可得到当日广州的卷钢市场价格为M=\mathrm{4}\mathrm{500}元/t。

长期单位生产成本设定为铁路建设基金费用，根据《铁路建设基金费率表》，得到长期单位生产成本为c_{\mathrm{1}}=\mathrm{36}元/t。短期单位生产成本设定为运营价格，根据《铁路货物运价率表》，按5号运价执行，得到短期单位生产成本c_{\mathrm{2}}=\mathrm{111}元/t。根据中国铁路95306网的运费信息，大朗—吴家山区段的卷钢运价为S_{\mathrm{0}}=\mathrm{11}\mathrm{094.20}元/车，其中整车按标重60 t的车辆进行测算，即S_{\mathrm{0}}=\mathrm{184.9}元/t。

无风险利率可用短期国债利率作为衡量指标，在中国债券信息网查询国债利率，得到市场无风险利率\alpha =\mathrm{2.56}\mathrm{\%}。此外，采用2012—2022年我国大型运输企业市场收益率标准差，衡量铁路货运市场收益率标准差，取其平均值，计算得到\delta =\mathrm{0.04}。

2.3.3　确定期权价格

根据公式⑴可计算出，该客户在期权到期日时货运价格上涨幅度r=\mathrm{1.08}，下跌幅度d=\mathrm{0.93}，上涨概率p_r=\mathrm{0.35}，下降概率p_d=\mathrm{0.03}，保持不变概率p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.62}。

由公式⑷可计算出，最优期权执行价格{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{162.2}元/t，由三叉树模型可求得期权价格{\omega }_{\mathrm{0}}=\mathrm{26.8}元/t。

2.3.4　结果分析

按照期权动态定价模型，根据该客户的需求进行定价分析后可得，铁路货运期权价格{\omega }_{\mathrm{0}}=\mathrm{26.8}元/t，到期日执行价格{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{162.2}元/t。2023年3月20日铁路货运价格S_{\mathrm{0}}=\mathrm{184.9}元/t，1年后上涨至S_r=\mathrm{199.7}元/t的概率p_r=\mathrm{0.35}，保持不变的概率p_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.62}，下降至S_d=\mathrm{172}元/t的概率为p_d=\mathrm{0.03}。

（1）与现有定价方式比较。对比分析期权定价、现有协议定价方法和市场价格，得到不同定价方法对比结果如表2所示，分析计算结果可得期权定价优势如下。对于铁路运输企业而言，若到期日价格上涨，期权定价收益略低于市场价格，但能够补偿协议定价情况下运输企业的收益亏损；若价格不变，期权定价能够为运输企业提供稳定的货源；若价格下降，客户可以选择不执行期权，避免由于协议价格高于市场价格而导致的货源流失风险。对于客户而言，若到期日价格上涨，期权定价可以有效规避由于价格上涨可能带来的风险；若价格不变，则客户可选择不执行期权，同时还可享受铁路运输企业提供的充足运力；若价格下降，客户有权选择更低的价格以保障自身利益。

（2）参数差异分析。从算例计算过程中，可以分析各参数对于定价结果的影响。以大宗货物这一大品类中不同类别的货物为例，其差异性可以体现在当日运价中，设其他条件不变，可计算钢铁、工机类及非金矿类的期权价格，得到不同类别货物期权计算结果如表3所示。由表3可得，货物类别不同其期权价格的制定也有差异，铁路运输企业在期权定价过程中可以根据货物细分类别对其进行定价。同样地，对于期权定价中客户签订期权日期的不同，可以通过影响现货市场运力价格的参数数值来改变到期日市场价格，从而对期权执行价格及期权价格产生影响；对于签订期限的差异，则会导致市场无风险利率参数的变化，使到期日市场价格的涨幅与上涨概率发生改变，影响最终期权价格，以获得最适应于客户需求的动态定价方案。因此，针对不同客户，可通过调整参数达到动态定价结果。

3　其他品类货物运输动态定价模型

针对其他品类货物运输的动态定价，使用双层规划模型，上层规划目标为铁路运输企业收益最大化，下层规划目标为客户运输货物广义费用最低，并通过集装箱货物运输实例，分析双层规划动态定价模型的应用。

3.1　基于双层规划模型的动态定价模型

3.1.1　问题假设

双层规划模型主要通过建立双层决策系统进行系统优化，首先对上层规划确定一个决策变量和约束条件，上层规划的决策变量会成为下层优化的参量，在设计好的优化方程中寻找最优值，下层规划的最优值将直接影响上层规划的取值。对于该模型做出如下假设。

（1）客户在选择运输方式时主要考虑的因素有经济性、时效性、安全性等，假设除运价以外，其余指标在短时间内均保持稳定。

（2）客户根据公开透明的信息做出理性选择，且一般情况下都会选择货物运输广义费用最小的运输方式。

3.1.2　上层规划

上层规划模型目标函数为铁路运输企业收益P最高，考虑铁路运输企业的运价收入和运营成本^[14]，根据假设可得到铁路运输企业利润与运价的关系，同时由于货运价格的浮动范围受铁路部门规定的约束，故其约束条件为货运价格必须在规定范围内调整，由此可得上层规划模型为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}P=q_{\mathrm{1}}\cdot \left[S-\left(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}\right)\right]⑸

\begin{array}{cc}\mathrm{s}.\mathrm{t}.& S^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\le S\le S^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑹

式中：q_{\mathrm{1}}为铁路货运量，t；S为铁路货物运价，元/t。

3.1.3　下层规划

下层规划模型目标函数为客户运输货物的广义费用z(q)达到最低，同时利用上层模型决策得出的价格进行货运量的均衡分配。由此得到下层规划模型为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}z(q)=\sum _n{\int }_{\mathrm{0}}^{q_n}f(x)\mathrm{d}x⑺

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}\sum _n{q}_n=Qn\in N\\ q_n\ge \mathrm{0}n\in N\end{array}\right.⑻

式中：f(x)为广义费用函数，元；x为自变量，代表货运量，t，其取值范围为\left[\mathrm{0}，q_n\right]；n为第n种运输方式。

模型中广义费用函数f(x)计算公式为

f(x)=a{(x)}^b+V_{n}n\in N⑼

式中：V_n为效用函数，元，可细化到经济性、时效性和安全性3个维度进行计算^[15]，以客户平均货运费用为指标计算经济性权重系数，以平均货运时间为指标计算时效性权重，同时通过货损货差率计算安全性，安全性越高的运输方式其消耗费用越低；a，b为相关参数。

3.2　集装箱货物运输实例分析

3.2.1　参数标定

选取大朗—吴家山区段的钢铁集装箱运输为例进行双层规划模型算例验证，该段线路里程长度为1 080.6 km。为方便计算，考虑n=1时的定价。查询《铁路建设基金费率表》《铁路货物运价率表》得到成本c_{\mathrm{1}}=\mathrm{36}元/t、c_{\mathrm{2}}=\mathrm{111}元/t。根据中国铁路95306网，可得目前卷钢20 ft集装箱市场运输价格为4 846.6元/TEU，由集装箱基本载重可估算得当前运输价格为179.5元/t；结合铁路货运价格浮动政策上浮不超过15%，下浮不限，由此可确定模型中S^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{206.5}元/t，同时下浮应不超过运输成本，故S^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}=\mathrm{147}元/t。

3.2.2　算法求解

将货物运量及运价作为变量输入数学软件，并将参数代入模型计算求解：首先，定义下层问题的目标函数fun，输入为变量，输出为z(q)的值，然后定义下层问题的线性约束条件和变量范围；其次，运用fmincon函数求解双层规划问题，输入目标函数、初始点、线性约束条件、非线性约束条件和变量范围等，其中非线性约束条件由confun函数定义，最后输出结果。迭代结果如表4所示，双层规划结果如表5所示。

3.2.3　结果分析

双层规划模型通过迭代运算，实现了平衡铁路运输企业和客户利益的双重目标。从运输企业角度来看，观察表5结果可知，客户广义费用随着迭代过程的进行出现不同的值；当迭代到第3步时，客户广义费用达到最大值，表明此时运输企业在达到利润最大化的同时客户所承担的费用最高；而迭代至18步时，结果开始趋于稳定，迭代停止，此时输出的结果是平衡铁路运输企业与客户双方利益后所达到的最优解，即在客户广义费用达到最小的条件下，实现了铁路运输企业的利润最大化。

从客户角度来看，双层规划模型定价方法相较于市场定价，更能够保障客户利益，当货运量为190.2万t时，双层规划下的客户广义费用为1 023万元，而市场定价下客户广义费用为1 034万元。根据该结果可得，在货运量相同的情况下，双层规划模型所得到的定价方案能够使客户承担更低的费用，从而保障客户的利益，在平衡铁路运输企业与客户利益的基础上实现最优解。

4　结束语

从大宗货物和其他货物品类2个方面入手，分别构建期权动态定价模型及双层规划模型。对于大宗货物品类，考虑货物类别、期权签订时间、签订期限等因素对价格的影响，采用期权定价模型计算得到更加灵活的定价方案；对于其他货物品类采用双层规划模型，考虑运输企业收益情况的同时，兼顾客户的费用问题，所得方案可以保证双方利益最大化。将2种模型结合，针对不同品类的货物运用不同的定价方法，可以较好地满足客户运输货物的需求。铁路运输企业应根据运输市场供需情况灵活调整执行价格水平，通过推行铁路货运动态定价积极响应运输市场变化，实行铁路货运产品差异化定价，为不同需求的客户提供个性化服务，以此提升铁路货运市场竞争力。

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[21] 王　荣. 包神北线货物运输价格调整优化研究[D]. 兰州：兰州交通大学，2020.

基金资助

湖南省重点研发计划项目(2024JK2065)

中南大学“高端智库”项目(2022znzk08)

中国铁路广州局集团有限公司科技研究开发计划课题(2022K009-K)