基于种群熵动态权重PSO的公铁联运装载单元模数尺寸优化研究

Module Size Optimization of Loading Units in Highway-Railway Combined Transport Based on Population Entropy Dynamic Weighted PSO

摘要

集装箱具有保护能力强、结构强度高等优势，其在公铁联运领域的应用越来越普遍。然而，集装箱式载运单元在换装过程中也存在空间利用率低的行业痛点问题。因此，针对常见集装箱式载运单元开展模数尺寸优化研究具有重要实践价值。为此，以提高几类通用公铁联运集装箱的空间利用率为目标，针对组合式装载单元提出了基于种群熵动态权重PSO(EWPSO)的模数尺寸优化设计方法。首先，对装载单元的装箱过程进行建模并考虑额定载重、隔振间隙等约束条件，从而建立以集装箱损失体积最小为目标的适应度优化函数；然后，为避免搜索无效区域，将传统PSO算法中的固定解空间改进为基于种群信息熵的具有实时调整大小功能的动态解空间；接下来，利用基于指数衰减的动态权重参数解决搜索速度和求解精度之间的矛盾。最后通过载运单元模数尺寸参数优化实例验证了所提EWPSO算法在计算时间和全局搜索能力2个方面的优越性。

Abstract

Containers have the advantages of strong protection ability and high structural strength, and they are increasingly applied in the field of highway-railway combined transport. However, there are also industry pain points such as low space utilization during the replacement process of containerized loading units. Therefore, conducting research on module size optimization for common containerized loading units has important practical value. To improve the space utilization of several types of general containers for highway-railway combined transport, this paper proposed a module size optimization design method based on population entropy dynamic weight PSO (EWPSO) for combined loading units. Firstly, the paper modeled the loading process of the loading unit and considered constraints such as rated load and isolation clearance, so as to establish a fitness optimization function with the objective of minimizing container loss volume. Then, to avoid searching for invalid areas, the fixed solution space in the traditional PSO algorithm was improved to a dynamic solution space based on population information entropy with a real-time resizing function. Next, the contradiction between search speed and solution accuracy was resolved by using dynamic weight parameters based on exponential decay. Finally, the superiority of the proposed EWPSO algorithm in terms of computation time and global search capability was verified through an example of optimizing the module size parameters of the loading unit.

Graphical abstract

关键词

公铁联运 / 装载单元 / PSO / 信息熵 / 模数尺寸

Key words

Highway-Railway Combined Transport / Loading Unit / PSO / Information Entropy / Module Size

0　引言

随着全球经济的不断发展和物流需求的日益增长，多式联运作为一种高效、环保的运输组织方式，受到越来越多的关注。公铁联运作为多式联运的重要组成部分，在提升物流效率、降低运输成本方面发挥着重要作用^[1]。然而，装载工具的标准化水平和优化往往成为制约公铁联运进一步发展的瓶颈。因此，开展装载单元的模数尺寸优化研究对提升现代物流载运系统的空间利用率和转运效率具有重要的工程实践意义^[2]。

在公铁联运装载工具优化设计的研究中，研究者们采用了多种方法论^[3]。其中，喻乐^[4]对托盘装载单元的市场定位、发展方向和运营模式进行了广泛调研，总结出构建铁路运输网络和推动托盘运输标准化是现代化运输发展的重要方向。周康^[5]专注于铁路快捷货物运输领域研究，以总费用最小为优化目标，利用云免疫克隆算法对单元化货运站选址进行了深入分析。邸斌^[6]利用递阶优化算法对集装单元标准化尺寸进行优化，并提出了“箱站对应”装卸作业模式，这能有效提升货物流转效率。递阶优化算法被广泛应用于高速铁路周转箱调运研究中。这种算法通过构建多层次的优化模型，实现对高速铁路周转箱尺寸、承重、耐用性等关键参数的优化^[7]。席江月等^[8]对开放式托盘的调配和使用场景进行了深度调研，并提出一种铁路托盘循环共用模式，从而提升多式联运的转运效率。孙熙军等^[9]调研了托盘载运单元在市场规模、标准化建设、循环共用和促进绿色低碳等方面发展现状，提出实现托盘载运单元数字化转型和打造多式联运共享托盘的需求已经迫在眉睫。王威杰^[10]通过分析托盘循环共用系统的业务流程，提出了规模化运输的发展策略。可以发现目前木制和塑料托盘在物流系统中占据主要地位。然而，多个托盘之间无法自由组合，因此当货物体积过大时，其通用性大打折扣。为提高对货物的保护能力和通用性，本研究将设计一种组合式的装载单元并对其中的关键参数进行优化设计。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一种模拟鸟群社会行为的智能优化算法，通过群体之间的信息共享迭代更新个体粒子的速度和位置，使粒子群逐渐向最优解聚集^[11]。近年来，随着计算机技术的快速发展和大数据时代的来临，PSO算法在多个领域得到了广泛应用，特别是在多目标优化、控制系统优化、资源分配以及机器人轨迹规划等方面展现出了显著的优势^[12]。当然，从具体应用和实际需求出发，PSO算法也应该重点考虑粒子群初始化、适应度函数设计、粒子速度更新策略、粒子位置调整机制、惯性权重和学习因子等核心要素对算法的收敛速度和求解精度的影响^[13]。为了提高算法的性能，研究者们也提出了多种改进策略，如引入惯性权重自适应调整、种群熵^[14]、粒子多样性保持机制、多目标优化等改进思路^[15]。

杨宝杰等^[16]通过引入非支配排序算法和精英保留策略，提高了粒子群算法的搜索能力和优化效果。实验结果表明，该算法在解决电力工程数据优化问题时具有较高的实用性和有效性。左国玉等^[17]将变异算子和动态学习因子等思想引入传统PSO算法中，并成功提升了机械臂的运动速度和稳定性。黄训爱等^[18]将一种中垂线策略用于解决PSO算法的局部最优问题，并且通过PID控制参数整定实验证实了该算法在参数调试方面的有效性。为提高新能源车充电站的选址效率，肖志良等^[19]提出了一种基于混沌搜索协同优化的PSO算法。苏山等^[20]利用PSO算法解决空战场景下的多拦截器目标分配问题，并通过仿真证实了改进后的PSO算法在分配能力和收敛速度2个方面都有所提高。综上所述，目前PSO算法在协同优化、粒子变异性和学习策略方面都有了很大改进。但是，PSO算法的搜索空间和权重参数往往都是固定不变的。因此，粒子群逐渐向最优解收敛的过程中，解空间会存在许多不必要搜索的区域，从而影响整个算法的计算速度。另外，固定权重也无法很好地平衡计算速度和收敛精度两者之间的矛盾。

因此，以装载单元参数优化为背景研究如何改进传统PSO算法，重点体现在如下3个方面。

（1）提出基于信息熵的动态解空间求解方案，以提升计算速度。

（2）提出基于指数衰减的权重参数更新机制，更好地协调求解速度和精度两者之间的矛盾。

（3）将改进的PSO算法用于解决组合式载运单元的参数优化问题，提高其通用性和空间利用率。

后续内容安排如下：对装载单元的装箱优化过程进行数学建模；介绍传统PSO算法并指出需要重点改进的地方；阐述基于种群熵动态权重的PSO算法的数学推导过程；通过相关实例验证所提算法的有效性；对全文进行总结并对未来工作进行展望。

1　装载单元参数优化建模

本研究针对自主研发的一种组合式装载单元的装箱问题进行建模，从而为其结构参数的优化设计奠定基础。本次优化的目的是使得所设计的装载单元能够尽可能装满常规公铁联运集装箱并且满足相关重量、摆放方向和防振等约束条件。首先，假设第i类集装箱内部的长、宽、高可以用变量L_i，W_i，H_i表示，m，那么集装箱的容积可以表示成如下形式。

V_i=L_i\times W_i\times H_{i}i=\mathrm{1,2},\cdots ,M⑴

式中：M表示集装箱类型的总数。

一方面考虑到实际装载过程中需要在载运单元和集装箱所接触的平面之间放置海绵、泡沫等防振材料，另外也为了方便装卸，都应该在集装箱的长、宽、高3个方向预留出足够的间隙{\delta }_i^L，{\delta }_i^W，{\delta }_i^H，m。因此，能够用于容纳装载单元的最大体积应该用如下公式表示。

{\overline{V}}_i=(L_i-{\delta }_i^L)\times (W_i-{\delta }_i^W)\times (H_i-{\delta }_i^H)⑵

理想情况下，在编号为i的集装箱中所容纳的装载单元的总体积可以用如下公式描述。

v_i=N_i\times l\times w\times h⑶

式中：N_i表示在第i类集装箱中容纳的装载单元的总个数；l，w，h分别表示装载单元的长、宽、高，m。

因此，该优化问题可以用如下不等式描述。

\begin{array}{l}{v}_i\le {\overline{V}}_{i}i=\mathrm{1,2},\cdots ，M\\ v_i^g\le V_i^g\end{array}⑷

式中：v_i^g表示在第i类集装箱中所有装载单元及其所装载货物的总质量，kg；V_i^g表示第i类集装箱额定载重，kg。

基于公式⑷可以设计如下优化模型。

\begin{array}{l}f\left(h\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \sum _i^M}\left({\overline{V}}_i-v_i\right)\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{c}{v}_i\le {\overline{V}}_i\\ v_i^g\le V_i^g\end{array}\right.\end{array}⑸

其中，f\left(h\right)也被称为适应度函数，其设计形式会显著影响优化算法的求解精度和收敛速度。

2　传统PSO优化算法

传统PSO算法的核心思想是通过模仿鸟群的合作捕食行为去寻找优化问题的最优解。传统PSO算法可行解可以视为鸟群，它们之间不仅会进行信息共享，而且会不断调整各自的飞行位置和速度，从而快速接近最优解。传统PSO算法的核心是适应度函数设计，它为粒子群更新自身速度和位置提供了明确方向。最后，当最优解的变化范围小于给定阈值或者达到最大迭代次数后，PSO算法会自动终止并且输出结果。接下来，以装载单元的高度参数h优化为例，叙述PSO算法中的关键求解步骤。假设PSO算法给定的初始化粒子总数为K，其中，第k个粒子的位置和速度迭代更新律可以定义成如下形式。

\begin{array}{l}{h}_{k,\mathrm{v}}^{t+\mathrm{1}}=u{h}_{k,\mathrm{v}}^t+c_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}\left(h_{k,\mathrm{b}}^t-h_k^t\right)+c_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}\left(h_{k,\mathrm{g}\mathrm{b}}^t-h_k^t\right)\\ h_k^{t+\mathrm{1}}=h_k^t+h_{k,\mathrm{v}}^{t+\mathrm{1}}\end{array}⑹

式中：t，t+\mathrm{1}分别表示历史迭代序号和新迭代序号；h_{k,\mathrm{v}}^{t+\mathrm{1}}，h_{k,\mathrm{v}}^t均表示粒子在不同迭代序号下的速度；h_k^{t+\mathrm{1}}，h_k^t均表示粒子在不同迭代序号下的位置；c_{\mathrm{1}}和c_{\mathrm{2}}表示学习因子，其通常可以选取小于10的正实数；e_{\mathrm{1}}和e_{\mathrm{2}}均表示随机因子，其取值服从正态分布且是小于等于1的正实数；u表示权重参数；h_{k,\mathrm{b}}^t，h_{k,\mathrm{g}\mathrm{b}}^t分别表示个体最优和群体最优位置。

当t等于0时，h_k^{\mathrm{0}}，h_{k,\mathrm{v}}^{\mathrm{0}}均表示初始位置和速度，它们会在算法初始化阶段进行设置。h_{k,\mathrm{b}}^t，h_{k,\mathrm{g}\mathrm{b}}^t可以采用如下公式进行更新。

\begin{array}{l}{h}_{k,\mathrm{b}}^{t+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{ll}{h}_k^{t+\mathrm{1}}& f\left(h_k^{t+\mathrm{1}}\right)\le f\left(h_{k,\mathrm{b}}^t\right)\\ h_{k,\mathrm{b}}^t& \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\right.\\ h_{k,\mathrm{g}\mathrm{b}}^{t+\mathrm{1}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(f\left(h_{\mathrm{1},\mathrm{b}}^{t+\mathrm{1}}\right),f\left(h_{\mathrm{2},\mathrm{b}}^{t+\mathrm{1}}\right),\dots ,f\left(h_{K,\mathrm{b}}^{t+\mathrm{1}}\right)\right)\end{array}⑺

可以看出传统PSO优化算法采用固定权重参数和固定搜索空间实现参数寻优，这在一定程度上影响了求解精度和求解速度。为了保证算法的全局收敛能力和搜索速度，初始时刻往往设置较大的搜索空间和权重参数。这种设计容易使得PSO算法出现搜索空间浪费和求解不稳定等问题，因此需要进一步改进。

3　种群熵动态权重PSO优化算法

为更加合理地解决求解速度和精度这2个指标之间的矛盾，提出一种基于种群熵动态权重的PSO优化算法，其中种群熵解决求解空间浪费问题，动态权重解决算法执行后期的精度提升问题。

3.1　基于种群熵的搜索空间求解方案

通过观察可以发现，在算法执行的最初阶段，粒子群对最优解的位置信息了解较少，因此粒子在搜索空间中分布得就越随机和散乱。然而，随着迭代次数的增加，粒子群就能够逐渐掌握更多关于最优解的位置信息。随着粒子群开始规律性地朝着最优解前进，那么解空间的某些区域则没必要再进行搜索。因此，拟利用熵的概念对粒子群的散乱程度进行描述，从而建立熵值与求解空间之间的联系。即，熵值越小，解空间中的粒子群靠近最优解的概率就越大。那么，解的搜索区域就应该向熵值小的解空间区域靠近。以装载单元的尺寸参数优化为例，可以将基于种群熵的空间搜索方案描述如下：首先将解空间平均分成Q个子区间；然后，将每个子区间里面包含的粒子个数与粒子群总数K的比值用p_l表示，l=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdots ，Q，则第t次迭代完成后的种群熵可以描述为

E^t=\left\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^Q}{p}_l\mathrm{l}\mathrm{g}\left(p_l\right)& p_l\ne \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\right.⑻

根据公式⑻，可以将第t+1次迭代需要搜索的解空间定义成如下形式。

⑼

其中

\begin{array}{l}{\overline{h}}^t=\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{h}_k^t\right)/K\\ \beta =\frac{{\beta }_{\mathrm{I}}}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\mathrm{1}+{\beta }_{\mathrm{E}}t/t_{\mathrm{m}}\right)}\end{array}⑽

式中：{\beta }_{\mathrm{I}}，{\beta }_{\mathrm{E}}分别表示初始熵增益系数和熵衰减系数；t_{\mathrm{m}}表示迭代总数。

{\beta }_{\mathrm{I}}越大则所提算法的初始全局搜索能力越强。{\beta }_{\mathrm{E}}能够对\beta起到随迭代次数增加而不断衰减的作用，这有助于提高解的局部求解精度。

3.2　动态权重求解方案

为了让PSO算法在执行初期加快搜索速度和执行末期提高搜索精度，需要设计动态的权重参数。在此，提出基于指数衰减的动态权重参数更新律。

u=\frac{{\alpha }_{\mathrm{I}}}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\mathrm{1}+{\alpha }_{\mathrm{E}}t/t_{\mathrm{m}}\right)}⑾

式中：{\alpha }_{\mathrm{I}}表示初始权重增益系数；{\alpha }_{\mathrm{E}}表示权重衰减系数。

采用公式⑾所定义的权重更新机制就能保证在初期设置较大权重值从而防止陷入局部最优解，在算法优化的末期{\alpha }_{\mathrm{E}}参数能保证较小的解更新尺度以提高求解精度。

4　实例仿真验证

首先选取公铁联运作业流程中最常见的3类集装箱作为标准装载单元的容器。然后，分别采用传统PSO优化算法和改进的EWPSO算法去优化组合式装载单元的高度参数，使其在装入上述3类公铁联运集装箱时所损失的空间综合来看达到最小值。最后，进行仿真结果分析并给出装载单元的相关模数尺寸系列数据。

4.1　仿真环境与参数设置

本次仿真选择了国际上常用的20 ft，40 ft和45 ft集装箱作为公铁联运装载单元的容器，集装箱内部尺寸如表1所示。每个集装箱的长、宽、高3个方向分别预留出0.3 m的间隙用于放置隔振、保温等材料，即{\delta }_i^L={\delta }_i^W={\delta }_i^H=\mathrm{0.3}。

组合式装载单元如图1所示，其底部采用标准托盘的尺寸参数，即长l=\mathrm{1.2}\mathrm{m}，宽w=\mathrm{1}\mathrm{m}。该组合式装载单元可以根据货物对结构强度的需求进行有针对性的设计开发。对于装载质量与价值较低的轻抛货物，通常采用中空式镁铝合金型材作为支撑部件，采用PE材料设计四周挡板及其底座。当装载密度和附加值较大的硅锭、硅方等货物时，通常采用钢材加工支撑部件和底座以提高承载能力；周围分布的对承载能力较低的挡板部件可以采用铝材料设计。此组合式装载单元的底托具有拼接组合功能，可以根据货物的体积调整单元格尺寸。因此，组合式装载单元与市面上流通的固定尺寸托盘相比，装载利用率较高。

接下来，组合式装载单元的高度尺寸将通过提出的EWPSO算法进行优化，从而给定推荐的模数尺寸参数。

EWPSO算法的程序执行流程如图2所示。接下来，对本次仿真的关键步骤及其参数设置进行说明。

步骤1：在初始化阶段设定整个粒子群的个体总数K=\mathrm{80}，解空间的初始区间为\left[\mathrm{0.1,0.9}\right]，学习因子c_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.5}，初始权重增益系数{\alpha }_{\mathrm{I}}=\mathrm{2.45}，权重衰减系数{\alpha }_{\mathrm{E}}=\mathrm{0.81}，初始熵增益系数{\beta }_{\mathrm{I}}=\mathrm{0.33}，熵衰减系数{\beta }_{\mathrm{E}}=\mathrm{4.34}，最大迭代次数为200，每个粒子运动速度的变化限定在\left[-\mathrm{6,6}\right]范围内，解空间的切分间隔设置为0.015。

步骤2：利用rand函数随机生成每个粒子的位置和速度。

步骤3：通过计算适应度函数确定个体最优位置参数h_{k,\mathrm{b}}^t和群体最优位置参数h_{k,\mathrm{g}\mathrm{b}}^t。

步骤4：进入迭代过程，首先，计算公式⑻定义的种群熵并按照公式⑼更新解空间；然后，更新粒子的速度并限制其幅值；紧接着，更新粒子的位置信息并按照解空间边界约束其幅值；接下来，计算适应度函数并更新个体和群体最优位置；最后，根据相邻迭代之间的最优解的变化幅值或者达到最大迭代次数等终止条件判断是否继续迭代优化。

步骤5：若满足迭代终止条件则输出最优解。

4.2　仿真结果分析与模数尺寸设计

所提EWPSO算法采用了基于种群熵的动态空间搜索和动态权重设计方案，这2种改进策略一方面可以提高初期粒子的搜索速度，另一方面有效避免了无效解空间区域的搜索开销。因此EWPSO算法相比于传统PSO算法在执行效率上有了一定程度的提升。仿真结果表明，在相同初始化环境下，传统PSO算法进行优化求解的时间需要0.38 s，然而，所提EWPSO算法完成200次迭代优化仅仅需要0.29 s，因此，执行效率提升\left|\mathrm{0.38}-\mathrm{0.29}\right|/\mathrm{0.38}=\mathrm{23.68}\mathrm{\%}。

另外，传统PSO算法最终求解得到的高度尺寸为0.68 m，在20 ft集装箱中能够容纳24个装载单元，其空间损失率达到了18.3%。然而，利用EWPSO算法求解得到最优高度尺寸是0.52 m，其在20 ft集装箱中能够容纳32个装载单元，其空间损失率减小到16.7%。因此，EWPSO算法能够寻找到空间损失率更小的高度尺寸设计方案，损失率减小\left|\mathrm{0.167}-\mathrm{0.183}\right|/\mathrm{0.183}=\mathrm{8.74}\mathrm{\%}。经过EWPSO算法的寻优计算后最终得到推荐的装载单元尺寸数据为长1.2 m，宽1 m，高0.52 m。将该尺寸作为基础模数，从而可以设计载运单元的模数尺寸系列如表2所示。

5　结束语

本研究开展了面向公铁联运场景下基于EWPSO算法的组合式装载单元模数尺寸优化。首先，针对装载单元的装箱过程进行建模并设计适应度函数。然后，结合当前迭代的全局最优解所在位置设计了基于种群熵的动态解空间求解方案。接下来，设计了基于指数衰减特性的动态权重更新律。最后，开展了实例仿真和推荐模数尺寸设计。仿真结果表明所提EWPSO算法相比于传统PSO算法在计算效率上提高23.68%。另外，EWPSO算法在全局寻优能力上也获得了一定提升，具体表现在以20 ft集装箱为容器时，其空间损失率相比传统PSO算法减小\mathrm{8.74}\mathrm{\%}。未来将进一步对组合式装载单元的结构进行细节设计，并且加入温度、湿度、GPS传感器，从而设计出更加可靠耐用的新一代智能化组合式装载单元。

参考文献

[1] 张学礼，李　臣，黄超智. 运输装备标准化是多式联运发展的基础[J]. 专用汽车，2019(7)：29-33.

[2] ZHANG Xueli， LI Chen， HUANG Chaozhi. Transportation Equipment Standardization Is Basis for Development of Multimodal Transport[J]. Special Purpose Vehicle，2019(7)：29-33.

[3] 姚新虎，余　理，冯　帆. 公铁联运物流中心功能区布局的三阶段法[J]. 铁道运输与经济，2024，46(4)：51-57.

[4] YAO Xinhu， YU Li， FENG Fan. Three Stage Method for Layout of Functional Areas in Road-Rail Intermodal Logistics Centers[J]. Railway Transport and Economy，2024，46(4)：51-57.

[5] GEORGE J A， ROBINSON D F. A Heuristic for Packing Boxes into a Container[J]. Computers & Operations Research，1980，7(3)：147-156.

[6] 喻　乐. 铁路托盘运输发展政策措施的研究[D]. 北京：北京交通大学，2008.

[7] 周　康. 铁路单元化快捷货运服务下的集装器具共用组织优化研究[D]. 北京：北京交通大学，2017.

[8] 邸　斌. 基于铁路物流的集装单元技术研究[D]. 大连：大连交通大学，2015.

[9] 邸　斌，潘　驰，郭志达. 基于递阶优化算法的高铁周转箱标准研究[J]. 大连交通大学学报，2015，36(4)：64-68.

[10] DI Bin， PAN Chi， GUO Zhida. Analysis of Standard of Pass Boxes in High Speed Rail Based on Hierarchical Optimization Algorithm[J]. Journal of Dalian Jiaotong University，2015，36(4)：64-68.

[11] 席江月，刘启钢，周凌云，等. 铁路托盘循环共用发展模式优化对策探讨[J]. 铁道运输与经济，2020，42(12)：65-70.

[12] XI Jiangyue， LIU Qigang， ZHOU Lingyun，et al. Strategy for the Optimization of Railway Pallet Cycling and Sharing Development Mode[J]. Railway Transport and Economy，2020，42(12)：65-70.

[13] 孙熙军，王　芮. 托盘行业2022年回顾与2023年展望[J]. 物流技术与应用，2023，28(3)：62-68.

[14] 王威杰. 开放式托盘循环共用系统调运模型研究[D]. 大连：大连交通大学，2023.

[15] WANG D S， TAN D P， LIU L. Particle Swarm Optimization Algorithm：An Overview[J]. Soft Computing，2018，22(2)：387-408.

[16] 彭思文，梁　科，潘　雷，等. 基于改进粒子群算法的机械臂时间最优轨迹规划[J]. 组合机床与自动化加工技术，2023(6)：31-34.

[17] PENG Siwen， LIANG Ke， PAN Lei，et al. Time Optimal Trajectory Planning of Manipulator Based on Improved Particle Swarm Optimization Algorithm[J]. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique，2023(6)：31-34.

[18] 黄　磊. 粒子群优化算法综述[J]. 机械工程与自动化，2010(5)：197-199.

[19] HUANG Lei. Overview of Particle Swarm Optimization[J]. Mechanical Engineering & Automation，2010(5)：197-199.

[20] 冉茂鹏，王　青. 一种基于EPSO的航天器交会轨迹优化方法[J]. 宇航学报，2013，34(9)：1195-1201.

[21] RAN Maopeng， WANG Qing. Spacecraft Rendezvous Trajectory Optimization Method Based on EPSO[J]. Journal of Astronautics，2013，34(9)：1195-1201.

[22] 余锦伟，谢 巍，张浪文，等.粒子群算法多目标优化下的超混沌人脸图像加密[EB/OL]. (2024-03-05) [2024-09-03].

[23] 杨宝杰，石凯元，陈佳凯，等. 基于改进粒子群算法的电力工程数据多目标优化方法[J]. 电子设计工程，2024，32(5)：95-99.

[24] YANG Baojie， SHI Kaiyuan， CHEN Jiakai，et al. Multi-Objective Optimization Method of Power Engineering Data Based on Improved Particle Swarm Optimization Algorithm[J]. Electronic Design Engineering，2024，32(5)：95-99.

[25] 左国玉，李　宓，郑榜贵. 基于改进自适应多目标粒子群算法的机械臂最优轨迹规划方法[J]. 实验技术与管理，2024，41(3)：184-191.

[26] ZUO Guoyu， LI Mi， ZHENG Banggui. Optimal Trajectory Planning for Robotic Arms Based on an Improved Adaptive Multi-Objective Particle Swarm Algorithm[J]. Experimental Technology and Management，2024，41(3)：184-191.

[27] 黄训爱，杨光永，樊康生，等. 基于改进粒子群算法的PID控制参数优化[J]. 组合机床与自动化加工技术，2024(2)：89-92，98.

[28] HUANG Xun’ai， YANG Guangyong， FAN Kangsheng，et al. Optimization of PID Control Parameters Based on Improved Particle Swarm Algorithm[J]. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique，2024(2)：89-92，98.

[29] 肖志良，汪丽娟，郑雁予. 基于粒子群优化算法的新能源车充电站选址策略研究[J]. 交通科技与管理，2024(4)：38-40.

[30] 苏　山，马泽远，张　立，等. 改进粒子群优化多拦截器目标分配方法研究[J]. 弹箭与制导学报，2024，44(1)：41-48.

[31] SU Shan， MA Zeyuan， ZHANG Li，et al. Research on Multi-Interceptor Target Assignment Method Using Improved Particle Swarm Optimization[J]. Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2024，44(1)：41-48.

基金资助

交通运输部公路科学所(院)交通强国试点项目(QG2021-4-17-1)