铁路旅客列车运行计划调整与优化问题研究综述

Review of Research on Adjustment and Optimization of Railway Passenger Train Operation Plans

摘要

列车运行计划是铁路部门依据实际运营需求对现有列车进行排班布局的预设开行计划，是铁路部门组织列车于何时何地正常运转的凭据。研究对列车运行计划调整优化的必要性、影响因素及应用情景进行阐述，并基于2种运营情景(正常运营状况及突发事件状况)下的模型构建过程，对涉及的目标函数、约束条件及算法设计，开展国内外研究现状综述，罗列典型的约束条件设定形式，并对部分研究成果进行对比分析。最后，针对优化目标、约束条件、求解算法等方面的不足之处深入分析，提出应综合考虑多主体协同优化的目标函数、深化复合路网研究情景、融合模糊因素于约束条件中，并智能化拓展求解算法，以期为旅客列车开行计划的调整与运输组织优化提供一定的学术参考。

Abstract

The train operation plan is a preset operation plan for the railway department to arrange the existing trains according to the actual operation needs. It is the basis for the railway department to organize the normal operation of trains at a suitable time and place. This study elaborated on the necessity, influencing factors, and application scenarios for adjusting and optimizing train operation plans. The study constructed models under two operational scenarios (normal operations and emergency situations) and reviewed Chinese and international research on objective functions, constraints, and algorithm design. It also listed typical constraint settings and conducted a comparative analysis of some research results. Finally, the study deeply analyzed shortcomings in optimization objectives, constraints, and solution algorithms and proposed to comprehensively consider multi-agent collaborative optimization objectives, enhance research scenarios in complex networks, integrate fuzzy factors into constraints, and expand solution algorithms in an intelligent manner, so as to provide academic reference for the adjustment of passenger train operation plans and optimization of transportation organization.

Graphical abstract

关键词

列车运行计划 / 调整优化 / 研究综述 / 模型架构 / 求解算法

Key words

Train Operation Plan / Adjustment and Optimization / Review of Research / Model Architecture / Solution Algorithm

0　引言

列车运行计划是铁路部门面向旅客出行、货物运输等社会需求并借助调度经验及智能化机器协同编制的预测性计划。研究主体为铁路旅客列车运行计划的调整与优化，一般而言铁路部门制定的开行计划基于内外部因素一切正常，不受突发状况的影响，具有时效性与预测性。然而列车运行过程存在不确定性，突发事件易使列车偏离原计划运行，为应对各类突发状况并保障铁路运输任务按部就班执行，需及时采取相关措施对列车运行计划进行调整优化。因此，列车运行计划调整与优化是铁路调度部门为解决列车背离运行计划、维持列车正点运行并按时完成运输生产任务的必要举措。

由于不同因素对列车运行计划造成的影响程度不一，在设定约束条件及目标函数时需具体问题具体分析。就优化对象而言，高速铁路及城市轨道交通研究对象以旅客列车为主，在正常运营情况下线路结构较为稳定，列车运行计划偏离程度无调整必要，集中针对客流变化、出行需求、铁路部门运输成本效益等目标进行列车运行计划的调整优化。此外，对于列车运行计划影响而言，主要是基于突发状况下各类影响因素(动态客流、铁路设施设备故障及区间通过能力下降、自然灾害及不利天气等)对列车运行计划产生程度不一的影响后，对列车运行造成的延误以及导致的行车安全等应急事件进行列车运行计划的重新编排。

研究基于国内外学者对于列车运行计划调整优化的大量文献，对研究成果从优化目标、约束条件、算法设计等方面进行了归纳、分类、总结，并在此基础上对旅客列车运行计划调整与优化问题研究中，涉及的算法求解效率有限、约束条件考虑层次单一、研究对象维度较低等问题进行评述与展望。

1　列车运行计划调整优化概述

1.1　列车运行计划调整与优化问题研究历程

自1973年Bernardo^[1]提出“最优列车调度”问题以来，行业领域中对于列车运行调整策略和算法进行了广泛的研究，成果丰硕^[2-3]。早期基于运筹学优化理论对列车运行计划调整与优化进行研究，调度进程复杂缓慢，伴随着人工智能的迅捷发展，调度人员运用计算机智能控制等技术完善列车运行计划调整与优化工作，可在一定程度上及时了解列车当下的运行态势，针对突发事件所带来的不良影响迅速采取措施。列车运行态势基本信息的掌握压缩了调度作业工作时长，提高了调度人员工作效率。列车运行计划调整与优化研究历程如图1所示。

1.2　列车运行计划调整与优化问题影响因素分析

由于列车运行过程存在不确定性及持续时间较长等特性，分析影响因素涉及维度较多。学者不限于铁路部门调度作业优化进程的实时调整，还从“人-机-环”3个维度分别分析列车受干扰状况时，不同运营情形下的列车运行计划的调整与优化，影响列车运行计划调整的主要因素如图2所示。

1.3　列车运行计划调整与优化问题层次划分

将列车运行计划调整优化问题归类为2个大类，即正常运营状况下面向优化对象层面的优化调整及突发事件情况下对列车运行计划造成重大影响的优化调整。列车运行调整是调度部门依据当前运行环境对列车运行计划进行调改，以便优化旅客出行及铁路运营效益。必要的调整计划可提升列车运用效率，最大限度地发挥车站及区间的通过能力，促使铁路运输部门成本及旅客出行时间缩减。列车运行调整优化问题划分层次结构图如图3所示。

列车运行调整优化问题关键在于特定情境下面向不同需求进行优化，优化目标的模型构建以及相应的求解算法也成为解决当下问题的关键。研究从列车运行情景的角度出发，将列车运行计划调整与优化问题研究划分为正常运营及非正常运营2种情况，探析不同运行条件下的列车运行计划优化目标，并对不同研究情景下的列车运行计划调整与优化问题进行梳理归纳。

1.4　列车运行计划调整与优化问题建模方式分析

列车运行计划调整与优化问题是运输领域中典型的NP-hard问题，是路径优化的一种特殊形式。在早期运筹学优化理论的基础上，衍生出了基于变分不等式的客流分配模型、运营调度模型、基于时空网络资源占用的数学模型、基于时变需求的Stackelberg博弈模型等构造形式^[4-6]。为便于建模分析，部分学者将列车运行过程抽象为事件-活动时空网络进行分析，用于解决突发事件下列车运行计划的调整与优化问题。模型类型从实时性角度来看，划分为静态模型与动态模型，动态模型多应用于研究时序变化，在突发事件及客流波动情况下，模型求解过程中的参数随着场景变化需进行不断调试，静态模型无法具象化体现时间维度的变化趋势。研究从2种运营状况出发，就国内外学者研究现状，通过目标函数选取以及约束条件对模型架构形式进行阐述。

2　正常运营状况下列车运行计划调整与优化

2.1　正常运营状况下优化目标分析

列车运输服务对象为旅客，编排列车运输任务对象为铁路运输部门，在正常运营情况下，实现资源配置效益最大化或运营成本最小化为铁路企业考虑的最优目标，而旅客出行主要考虑自身出行成本、舒适度及旅行时间等因素。列车运行调整优化问题在正常运营时优先考虑铁路层面与旅客层面需求，通常对列车开行时间、铁路部门运营成本、旅客出行成本、旅客出行满意度、旅客出行时间、资源利用以及延误调整等方面进行优化。优化目标的多样性也使得在实际运输生产过程中亟需衡量的因素增加，不少学者针对多目标优化情形开展深入研究。

2.1.1　单目标下列车运行计划调整与优化

在单目标优化研究上，多数学者将该问题分为旅客与铁路运营部门2个层面进行特定情形下的列车运行计划调整优化。在铁路部门调度以及列车开行方案制定方面，依据客座率对客运专线列车运行图进行调整，以便提升客运效益，这也体现了按需分配的原则，此举可有效优化列车的开行时间以及列车开行比例^[7]。在不违背轨道通过能力约束并满足行车安全的前提下，Brännlund等^[8]，Caprara等^[9]兼顾运营成本、开行列车数等目标，提出生成最优调度时刻表的方法。基于有限的行车资源，如何合理分配利用资源来提升路网运输效率，实现铁路部门运营效益最大化，也是列车运行计划优化实现的目标之一。与此同时，在时间价值层面上，蔡涛^[10]基于时空网络资源占用理念建立了列车在各车站发车时间价值最大的目标，为高速铁路列车运行调整建立了新的优化角度。

基于旅客层面，列车晚点、旅客出行满意度、出行成本等都会对旅客出行造成一定的影响。考虑旅客出行成本及满意度，基于动态客流下，有学者提出以所有OD客流选择乘车路径成本最小化为目标优化列车运行计划。此外，Tomii等^[11]通过问卷调查形式统计乘客各种不满意因素所占比例，并对不满意因素赋权综合评估旅客满意度，进而以旅客满意度最大化为目标对列车运行计划进行调整优化。

2.1.2　多目标下列车运行计划调整与优化

随着模型算法的迭代更新，多目标优化问题成为列车运行计划调整优化的热潮，因此大多数学者对铁路部门及旅客群体综合考虑二者协同优化问题。为体现列车运输服务效率，不产生大规模的列车运行晚点现象，遵循国家节能降碳相关政策，降低列车运行能耗，以能耗及晚点时间最小化为主导理念的列车运行计划调整模型应运而生。除此之外，部分学者统筹考虑旅客换乘次数、列车到发时刻调整次数、列车延误时间等因素研究列车运行计划调整与优化问题^[12-14]。在以成本效益为优化目标的研究中，铁路部门运营成本、旅客广义费用、时间效益成本、旅客出行成本等都应考虑在内，为此国内外学者在容量受限及不考虑站场容量约束情况下，兼顾列车运输服务效率，对车辆编组和路径规划优化问题进行综合研究^[15-17]。

综上所述，多目标函数所囊括的优化问题较于单目标函数而言更为全面丰富，能顾全多维度下的优化调整。然而随着问题复杂多样化，模型的求解也会更加困难，涉及的约束条件以及求解规模会愈加庞大。因此在抉择优化目标时，需要结合实际需求抓取关键优化点，舍弃非核心要素。

2.2　约束条件

为满足不同需求下的列车运行计划调整与优化，通过限定设施设备的使用数量^[5，10]、车站及区间通过能力^[6，16-17]、列车运行顺序^[7，13]、保障行车安全的时间间隔约束^[12，14]等设定相应的约束条件。一般而言，车站及区间到发线数量均已固定，列车在正常运营情况下按图行驶，因而为保障列车运行安全通畅，对列车的到发线运用及行车间隔时间均会有一定的限制。

2.2.1　运能效益约束

此外，为迎合客运需求，体现铁路运输的服务宗旨，彰显旅客运输效益，满足最小车头时距和最大满载率的目标要求，需对列车出发时刻、路径选择、运行模式和开行数量进行约束条件限制^[18]。针对客运约束，考虑铁路运输企业的运营成本，Wang等^[19]在发挥车站列车最大运输效能前提下，以直达客流输送量最大化为目标，构造客流量关联和价值约束。此外从铁路运输效益及旅客出行时间的角度，可考虑构造客流约束、区段开行列车数量约束、运输能力约束等对列车运行计划做出调整与优化^[20-21]。

2.2.2　资源分配约束

在资源配置层面，车站所提供的基础设施设备是有限的，固定设施与移动设备的循环运转共同保障铁路运输生产任务按部就班得以实现。为了提升资源利用率，Chang等^[22]从列车运行时间及停站时间出发，对所有调度列车施加一个负载因子约束，实现了乘客平均出行时间最小化及列车利用率最大化。资源利用不均衡会造成不同种类列车运行所需配置不足，使其难以正点完成运输生产任务，造成列车晚点且易产生晚点传播现象。在考虑同一到发线上的列车运行顺序优先级问题时，需综合考虑列车出发间隔时间、停车间隔时间、以及是否允许列车越行等因素进行约束条件设定。季学胜等^[23]提出时间与空间映射约束形式，将列车运行顺序与行车资源占用约束采用映射形式加以限定；俞胜平等^[24]考虑区间列车越行约束，并对列车行车间隔及股道允许运行的列车数量等进行限制，提出了以列车总晚点时间最小为目标的高速铁路列车运行计划动态调整方法。

相关约束条件表达形式如公式⑴—⑸所示。

（1）列车上座率约束。

{\theta }_{\mathrm{1}}\le \frac{Q_{ij}}{f\times A}\le {\theta }_{\mathrm{2}}⑴

式中：{\theta }_{\mathrm{1}}为列车上座率下限；Q_{ij}为车站i到车站j区间内所承载的总客运量，人；f为列车运行频率；A为列车通过能力；{\theta }_{\mathrm{2}}为列车上座率上限。

（2）列车在车站之间的最小区间运行时分约束。

a_{i,l}-d_{j,l}\ge t_{i,j}^{low}+s_{i,l}\times {\tau }_q+s_{j,l}\times {\tau }_t⑵

式中：a_{i,l}为线路l上列车在车站i的实际到达时刻；d_{j,l}为线路l上列车在车站j的实际出发时刻；t_{i,j}^{low}为列车从车站i到车站j之间的最小纯运行时分，min；s_{i,l}为线路l上列车是否在车站i停站，停站取1，否则取0；{\tau }_q为列车启动附加时分，min；s_{j,l}为线路l上列车是否在车站j停站，停站取1，否则取0；{\tau }_q为列车停站附加时分，min。

（3）列车占用到发线约束。

\sum z_{m,i,p}\le \mathrm{1}⑶

a_{i,n,l}-d_{i,m,l}\ge H-M\times \left(\mathrm{1}-x_{m,n,i,l}-z_{m,i,p}-z_{n,i,p}\right)⑷

a_{i,m,l}-d_{i,n,l}\ge H-M\times \left(\mathrm{1}-x_{m,n,i,l}-z_{m,i,p}-z_{n,i,p}\right)⑸

式中：z_{m,i,p}为列车m在车站i是否占用到发线p，是取1，否则为0；a_{i,n,l}为线路l上列车n在车站i的实际到达时刻；d_{i,m,l}为线路l上列车m在车站i的实际出发时刻；H为列车最小到发间隔时间，min；M为常数，趋于正无穷；x_{m,n,i,l}为两列车的先后顺序，即线路l上列车m在车站i是否在列车n之前运行，是取1，否则取0。

通过上述分析，选取部分正常运营情况下列车运行计划调整与优化研究相关文献，从目标函数、约束条件、求解算法3个方面，进行类别划分及研究成果对比。正常运营情况下列车运行计划调整与优化研究相关文献如表1所示。

3　非正常运营状况下列车运行计划调整与优化

3.1　突发状况下优化目标分析

列车运行过程处于一个随机扰动状况之中，难以准确判断列车行进时偶然事件的发生。从“人-机-环”角度而言，骤增的客流量、客流的动态变化、不利的天气因素、突发的自然灾害、车站及区间设施设备故障等都会对列车运行造成程度不一的影响，需要针对不同情境下的列车运行态势进行把控并做好精准优化。

3.1.1　基于突发动态客流下的优化目标

对于突发变化的客流，铁路部门需要针对规模大小对列车运行图进行调整，在客流爆发积聚时要考虑是否增开列车来匹配客流需求，或是在客流平稳期间提高列车周转效率降低运输成本。在高峰客流条件下，冉江亮等^[25]以列车延误总时间最小为优化目标；刘颂^[26]对延误列车以晚点时间和乘客等待时间最小为优化目标对高峰客流进行调整优化。基于动态客流情形，不少学者通过客流信息采集技术对短时客流进行预测并构建基于动态客流的列车运行计划调整优化模型，以列车晚点时间最小^[27]、列车晚点时间均衡性最优^[28]、乘客出行时间及成本最小^[29-31]、列车运行时间偏差最小^[32]或运行计划偏差最小^[33]为优化目标。从多维度优化目标而言，以节约成本能耗来调整列车运行计划也成为铁路运输部门亟需考虑的优化方向^[34]。此外，在列车开行计划不发生较大调整的情形下，压缩旅客出行时间、削减出行费用成本并维持开行方案鲁棒性均衡也是大多研究考虑的优化目标^[35-37]。

3.1.2　基于车站及区间通过能力失效下的优化目标

在车站及区间通过能力受限的情况下，列车运行股道数量削减，列车难以再依图行车，需对占用该股道的列车进行调整，依据情节严重适量开行列车甚至停开部分列车以满足线路通过能力供给。在区间完全中断的情形下，列车运行将受到较强冲击，列车难以依图正点行驶至固定站点，将造成运行计划偏离，产生影响程度不一的晚点情况。部分学者以开行计划偏离度最小^[38]、不同等级列车晚点时间最小^[39]为目标对高速铁路列车进行调整。在运营中断情形下，李登辉等^[40]、杨梦童等^[41]从调整列车开行方案、缩短乘客等待时间等角度构建目标函数，使得乘客旅行时间、列车晚点、车底运用达到目标最优化。此外，运营中断条件下列车运营受阻，为缓解运营中断所带来的不利影响，除晚点现象以外，针对路网密度限制，取消列车开行计划等措施也纳入考虑。然而列车取消停运过多将会给旅客及铁路企业部门带来较大的亏损，为此学者在满足车站及线路能力约束条件下，以取消列车数和列车晚点时间加权求和最小化构造双优化目标^[42-43]。车站及区间通过能力受到干扰时，易使运行过程中的列车无法按计划通过相应车站完成运输生产任务，在极其严重时甚至产生车流堆积效应造成晚点传播。高心瑜^[44]以列车延误时间最小为目标建立区间通过能力临时失效条件下高速列车运行调整混合整数线性规划模型；黄治中^[45]、尚靖蕃^[46]通过引入列车取消惩罚值和晚点惩罚值的理念以二者总加权求和最小为目标，探讨区间通过能力下降时的列车运行调整。

3.1.3　基于突发自然灾害影响下的优化目标

自然因素不可掌控，不良天气或突发的自然灾害都会影响列车运行状况。部分学者针对不同自然因素下的列车运行计划调整优化问题开展研究。天气因素带来的列车延误晚点、旅客滞留、列车开行方案取消等问题成为了铁路部门及乘客关注的焦点。基于博弈论理念，胡严艺等^[47]以铁路企业运营成本和旅客出行成本最小化为目标对自然灾害下高速铁路列车运行径路进行调整。为实现列车平均晚点时间最小化；孟学雷等^[48]建立考虑旅客接触时间的高速列车运行调整模型，开展疫情期间的高速铁路列车运行计划调整研究；王荣笙^[49]考虑大风限速情形，构建基于运行图冗余时间特性改进的列车运行自动调整模型，对列车运行计划进行优化调整。大面积持续雪灾对于列车运行而言风险较大，接触网冻坏瘫痪、轨道结冰湿滑、股道雪量堆积都会对列车运行产生不利影响；谢正媛^[50]从旅客角度考虑列车运行计划调整问题，最大限度保障车站滞留旅客在安全前提下满足出行需求。面对多类干扰条件下造成列车初始晚点、限速和到发线不可用等情形，高速铁路列车运行计划调整可以从列车晚点时间、列车在车站变更到发线次数等方面进行讨论分析^[51]。在突发情况及时采取调整策略后，新线运营的列车或径路迂回运行的列车运行时间会受到约束限定，为保障列车在迂回径路上运行时间最小和被调整的列车在新径路上运行时间最小，部分学者基于山区路网等自然灾害情形对列车开行方案做出调整优化^[52-53]。

综合上述文献研究，在突发状况下，列车运行的主要问题为列车晚点、阻碍列车正常开行等。面向旅客角度需以延误等待时间、滞留量为主体，发挥列车最大运输能力完成旅客输送。在突发状况下，列车运行计划调整与优化以晚点优化为主开展研究，综合考虑旅客、列车运用、运营成本等因素，构建多目标优化模型。突发事件造成的晚点是铁路调度部门亟需解决的重点，为使铁路网络不发生大面积晚点传播，尽可能做到“晚点赶正点，接晚不增晚”。

3.2　约束条件

由于非正常运营情况下列车延误带来的晚点问题比较普遍，除在正常运营情况下的车站及区间通过能力、列车运行安全间隔时间等约束外，还需考虑的约束条件有列车停站时间及数量约束^[36-37，48]、事件早晚点时刻约束^[42]、列车取消数量约束^[43，45]、列车运行间隔及区间运行时间约束^{[27，44，49]}、客流需求运能匹配约束^[36，50]、折返越行约束^[38，46]、列车运行径路约束^[51，53]等。

3.2.1　运行时间约束

列车停站时间及停站位置设定得当可减少冗余时间的浪费并缓解列车延误晚点问题，去除不必要的车站停站等待时间，压缩列车区间运行时间以便后续列车调整。在面临突发状况时，研究学者基于事件-活动网络引入事件早点、晚点约束形式，以列车偏离计划运行时刻与取消列车开行造成罚数的加权最小值为优化目标，对区段干扰条件下的列车运行进行调整^[54-55]。

3.2.2　径路调整约束

由于列车遵循编制计划开行，运行路径选择较为固定，但在突发紧急情况时可通过越行、折返、迂回等形式对列车运行径路做出调整。然而列车执行上述可变操作时须遵循特定必要条件，并非无规则地进行调整。因此，部分学者考虑通过路径选择对突发情况进行列车运行优化时，需针对当时运行环境、路况以及铁路区间车站的能力，增设越行、迂回、折返的限定约束。在大风预警形势下，雷艳红^[56]对于列车开行计划取消、列车迂回及绕线列车运行径路设定约束条件，以多点受灾情形下采取列车停开、降速运行、绕线运行3种方案的广义费用最小为研究目标对高速铁路行车做出调整。在灾情紧急避险前提下，为加快旅客疏散效率，通过对受灾地区等待疏散客流量及车站设备运输能力约束来衡量疏散旅客路径优化的效能^[57]。

面向不同的需求及优化模式，额外增设的约束依情况而定。不但要满足基本的行车约束、运能约束，对不同建模情景所需考虑的约束问题也要纳入范畴之内。相关的典型约束形式如公式⑹—⑼所示。

（1）列车停站时间约束。

t_{mi}^d-t_{mi}^a\ge x_{mi}\times u_{dwe}\times q_m⑹

式中：t_{mi}^d为列车m在车站i运行调整后的发车时间；t_{mi}^a为列车m在车站i运行调整后的到站时间；x_{mi}为列车m在车站i是否停站，停站取1，否则取0；u_{dwe}为列车在车站的最小停站时分，min；q_m为列车m是否被迫组织停运，停运取1，否则取0。

（2）晚点时分约束。

t_{mi}^d-d_{mi}-q_m\times N\le w_{mi}^d⑺

t_{mi}^a-a_{mi}-q_m\times N\le w_{mi}^a⑻

式中：d_{mi}为列车m在车站i的计划发车时间；N为无限大的常数；w_{mi}^d为列车m在车站i的发车延误时分，min；a_{mi}为列车m在车站i的计划到站时间；w_{mi}^a为列车m在车站i的到站延误时分，min。

（3）区间不越行约束。

\left(t_{mi}^d-t_{ni}^d\right)\times \left(t_{mj}^a-t_{nj}^a\right)\ge \mathrm{0}⑼

式中：t_{ni}^d为列车n在车站i的实际出发时刻；t_{ni}^a为列车n在车站i的实际到达时刻。

3.3　求解算法

正常运营状况与非正常运营状况为列车运行计划调整与优化问题讨论的2个分支，二者在本质上均属于列车运行计划调整与优化问题，在算法设计上类似。

列车运行计划调整是一个典型的优化问题，不论是面向单层面优化或多目标优化，建模环境基于铁路网络这个庞大的系统，约束条件较多，比较复杂，求解规模较大。依据不同的模型选取适宜求解的算法会对问题求解达到事半功倍的效果。从大多数国内外学者的模型架构上看，以混合整数线性规划模型^[51，54-55]及混合整数非线性规划模型^[17-18，24]居多。在模型构建过程中，需设定研究前提(相邻站间互不影响、资源无限可用、列车优先级不变、无突发事件影响等)，且列车运行调整通常涉及大量约束(乘客换乘约束、资源配置约束、安全间隔约束、优先级约束等)，这些复杂约束导致构建的模型呈现非线性与高维性，给列车运行计划调整与优化问题带来求解的难点。为解决非线性规划问题带来的求解不便，通过对上述复杂约束线性化或进行子问题分解(如分段线性函数逼近、拉格朗日松弛法、近似算法、二次约束线性化等)来简化求解过程。在求解规模不大时，为获取精确解，可采用部分商业优化软件如CPLEX，CVX工具箱，GUROBI，ILOG CPLEX Optimizer等进行求解^[37-38，58]。当求解规模呈指数级增长，面对大规模网络优化问题，一般的优化软件无法达到快速求解要求，在求解过程中，研究学者采取分阶段迭代策略，优先解决关键约束如资源配置、行车安全等，逐步加入次要约束如列车优先级等，进而逼近全局最优解；或设定分布式计算技术框架来加快求解过程。为满足快速求解能力要求，亟需反馈实时性结果时，通常依据历史数据或简单启发式方法拟定一个初始解，进而依据局部搜索进行解的优化，提高求解鲁棒性及高效性。为此学者对启发式算法展开了较为宽泛的研究，并使得启发式算法在处理复杂问题、探索全局最优解和具有良好的可扩展性等方面具有显著优势。

3.3.1　启发式算法

随着路网规模以及研究对象的扩大，精确算法用于求解小规模问题的短处也随之彰显。为适应大规模问题所建模型求解的需要，启发式算法虽然不及精确算法所得结果精准，但在求解时间效率较短的情况下可得到较优的结果，研究学者开发了众多的模型算法，基于求解过程以及适用条件对部分算法做出了改进。常见的启发式算法有模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法、滚动时域算法^[59]、基于分布式模型预测控制(DMPC)算法^[60]、贪心算法^[61]等。为加快求解收敛效率，在对可行域进行可行解搜索时，有学者对邻域解的构造及邻域搜索策略加以改进提出模拟退火算法求解非线性单目标模型^[62]。此外，按阶段划分求解过程可实现对模型求解的简化，先通过对难约束或非线性模型进行松弛处理，进而转化为线性约束模型便于利用常规启发式算法进行求解。两阶段法结合启发式算法的使用在求解混合整数非线性规划模型中得到了运用^[63-64]。

3.3.2　精确算法

精确算法旨在通过精确的数学分析和建模来求解最优解，依据问题复杂度、计算效率和算法实现的不同分为传统精确算法和分解精确算法^[65]。传统精确算法包括分支定界法、列生成法、拉格朗日松弛算法等，分解精确算法包含拉格朗日分解法、代数分解、Benders分解法等。刘小洪等^[66]、王艺楠等^[67]利用CPLEX内嵌算法分别对西南山区高速铁路非正常情况下列车运行调整和高速铁路故障持续时间确定条件下的混合整数规划模型进行求解。依据求解问题的精度要求，精确算法在寻找最优解上占据较大优势，能够贴合决策者所需的优化方案得出满意解。然而其缺陷也比较明显，随着求解规模扩张，问题复杂性加剧，精确算法的求解效率也愈显吃力。列车运行计划调整与优化问题典型算法如表2所示。

综上所述，启发式算法与精确算法在研究列车运行调整优化问题上各有千秋，其适应性依据不同环境变量进行抉择。精确算法基于严格的数学分析，能够保证得到全局最优解，适用于中小规模的优化问题，如线性规划、整数规划等。启发式算法基于启发式规则和经验，不能保证得到全局最优解，但是计算效率较高，适用于大规模复杂优化问题，如旅行商问题、排程问题等。因此，在进行算法选取之前，需分析当下问题情境选取哪类算法较为适宜，并考虑问题求解结果所需达到的目标(最优解、计算效率、精度)。非正常运营情况下列车运行调整优化研究相关文献如表3所示，进行对比分析。

4　评述与展望

4.1　研究现状评述

（1）优化目标选取角度多样化。在正常运营情况下列车运行计划调整与优化问题主要面向客流及铁路企业双层面，一方面为维持运输任务需及时输送客流到站，另一方面需合理编开列车使得铁路部门运输成本降低。就单目标规划而言，目标函数从旅客和运营企业2个角度进行选取，大多考虑旅客的出行成本或铁路部门的运营成本。从旅客角度分析，包括旅行时间、旅行费用、旅行满意度等；从铁路企业角度分析，包括运输成本、运输能力、列车周转运用效率等。涉及多目标优化调整问题，则兼容双方需求融合考虑旅客与运营层所期望的理想结果。当突发事件发生时，旅客安全以及列车晚点时间恢复成为首当其冲的优化目标，旅客在紧急情况下的疏散速度以及车站所能提供的疏散能力、列车调度措施下晚点恢复强度、合理编排列车新线运行的时间都将纳入列车运行计划调整优化的范畴内。

（2）算法设计在模型求解时针对性较强。在列车运行计划调整与优化问题算法设计上，模型从简至繁，传统的整数线性规划模型算法已经不能直接用于解决非线性规划问题，各类启发式算法的兴起改善了模型的可解性以及精确性。就早期单个区段乃至零星线路的研究而言，数据规模膨胀不大且受到的约束条件限定也较之甚少，模型求解过程较为明朗，一些商用求解软件即可达到精确求解的效果。但如今铁路网络纵横交错，大多研究面向路网枢纽层面，此时列车运行计划调整与优化问题提升了较大维度，需从空间布局角度分析路网结构带来的多方面影响，这也带来了约束条件的增加、考虑因素的积聚以及模型求解难度的加重。往日的精确算法及普适的启发式算法难以容纳大规模的求解任务，不断更迭的启发式算法融入特殊模型的特定求解需求，衍生了更多求解思路(如模型线性化再针对性设计算法求解)及改良算法(如邻域搜索策略下的模拟退火算法、混合遗传算法、线性减重粒子群优化算法等)。然而算法适用性因问题场景不同显现出求解效果差异性，面对精度不高或求解时间较长等问题仍需要加强改进。

（3）模型构建考虑因素相对全面，研究对象维度相对单一。不确定因素是列车运行过程中产生的无规律性因素，难以精准限定。模糊影响是指对研究问题产生影响但难以细化而不纳入研究考虑范畴的影响要素。为了问题分析的可行性以及简易性，大多数研究基于理想化情景进行建模，难以全面贴合运输过程的现状实况，故建模时摒除了部分模糊因素的影响。伴随轨道交通的迅猛发展，模型由传统的静态形式逐步过渡到动态理念，针对实时变化的情形可及时依据模型得出可靠结果。然而对整个枢纽路网而言，针对单一场景下车站及区段的研究较多，涉及复杂路网、天窗维修作业、态势推演等方面的研究较少。

4.2　研究趋势展望

通过分析现有研究的不足之处，后续研究在列车运行计划调整与优化问题模型构建时，可依据节能减排理念设定约束条件。此外，引入态势推演理论开展列车运行态势评估与推演研究，对列车运行态势做出预测，为调度人员提供调度依据，辅助调度人员做出调度决策。相关研究展望总体框架图如图4所示。

（1）优化目标兼顾节能低碳发展理念进行选取设定。针对不同运行场景，考虑的优化层次优先性也截然不同，排除次要因素的影响，以主要优化要素为核心才能保证列车运行计划调整优化的时效性。在今后的研究中，乘客出行与列车运行计划协同优化可以考虑节能减排作为优化目标，实现能耗与运输效率双重优化。从换乘角度优化列车运行计划也可考虑枢纽中各轨道交通系统的衔接情况，以客流输送量最大、乘客换乘等待时间最小等角度进行多维度协同优化。在突发事件发生时，可从提升列车周转效率、乘客延误时间成本最小、列车晚点程度最小等方面进行运行计划的优化调整。

（2）算法设计融合大数据智能化理念提升求解精度与解决问题维度。今后的研究中，伴随站城融合、都市圈发展的推进，路网结构愈发复杂，单个研究对象(区段或枢纽)需与之贯通的多层次路网融合考虑，打造模型假设前提理想化、研究情景高维化、内外诱因多样化的研究格局。面对建模维度的骤增以及掌握列车运行实时信息的需求，协同优化与动态优化或将成为该研究领域的进一步探索，算法的改良将与时俱进，结合机器学习智能化与自动化理念，依据数据驱动、大数据融合推演形式对列车运行计划开展优化预测研究，使得列车运行计划调整与优化更加智能化、实时化和综合化。

（3）模型构建时约束条件考虑纳入模糊因素进行设定。在模型构建上，为了达到较好的预期，所考虑的约束条件除了传统的列车运行过程涉及的能力约束、运行安全约束、广义费用等，“人-机-环”不确定因素的模糊影响(不良天气、设施设备超负荷运转、信号故障、工作人员状态不佳等)也应考虑在内。未来研究将逐步扩大研究范围，顺应轨道交通大融合发展时代，面向枢纽路网的交叉层面进行考虑，由此约束条件考虑范畴将从传统理念的单一场景拓展于复杂线网场景进行全方位多维度拟定。此外，为体现列车运输低碳高效特点，将列车资源运用效率及运行过程碳排放纳入约束影响因素也逐渐成为铁路运输的热门研究角度。

综上，列车运行计划调整与优化问题今后的研究理念可将难约束及不确定因素融合考虑，并考虑碳排放等节能要素。随着站内单体研究过渡至站与站间、枢纽与枢纽间的融合线网研究，未来研究场景涉及的研究对象不仅仅考虑自身空间维度影响，要放眼整个联通的交织路网进行大规模分析建模。此外，为更好地对列车运行计划做出调整，对列车运行态势的把握也是未来研究的重点，列车运行态势推演将为列车运行计划调整优化提供可靠的参照依据。在模型算法上可考虑将近几年的新型启发式算法应用于列车运行计划调整优化模型及列车运行态势预测模型综合求解，以提高模型算法对于不同研究情景的适用性。

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基金资助

国家重点研发计划项目(2022YFB4300502)