考虑有限理性的多制式轨道交通客流分配研究

Passenger Flow Assignment of Multi-system Rail Transit Considering Bounded Rationality

摘要

在多制式轨道交通快速发展的背景下，为满足出行者多样化、个性化的出行需求，研究多制式轨道交通客流分配具有理论和实际意义。考虑乘客出行异质性，从有限理性乘客角度出发，基于多制式轨道交通贯通运营模式，分析出行者面对多样化乘车方案选择行为，引入效用-后悔理论，以出行成本及出行时间为效用最大化函数属性，换乘选择、滞留选择及列车选择为后悔最小化模型属性，从而构建出行者的混合选择模型。以“一”字形贯通运营模式为例，以重庆市域铁路江跳线及重庆市轨道交通5号线为研究对象，进行微观客流分配，构建随机用户均衡模型，并运用MSA算法求解模型。结果表明考虑乘客有限理性行为，可更好贴合出行决策者的抉择行为，为多制式轨道交通客流分配提供了新的研究视角。

Abstract

Under the background of the rapidly developing multi-system rail transit, to meet the diversified and personalized travel needs, the study of the passenger flow assignment of multi-system rail transit is of theoretical and practical significance. Considering the heterogeneity of passenger travel, from the perspective of bounded rational passengers, this paper analyzed the passenger's choice behavior when they were facing diversified riding plans based on the multi-system rail transit integrated operating model. By introducing the utility-regret theory, the paper constructed a mixed choice model with travel cost and travel time as utility maximization function attributes and transfer choice, retention choice and train choice as regret minimization model attributes. Taking the linear-shaped integrated operating model as an example, and Chongqing Rail Transit Jiangtiao Line and Chongqing Rail Transit Line 5 as the research object, the paper operated microcosmic passenger flow assignment, constructed a random user equilibrium model, and used the MSA algorithm to solve the model. The results show that considering the bounded rational behavior of passengers can better meet the decision-making behavior of travel decision-makers, and provide a novel perspective for the passenger flow assignment of multi-system rail transit.

Graphical abstract

关键词

多制式轨道交通 / 有限理性 / 效用-后悔混合函数 / 贯通运营模式 / 客流分配

Key words

Multi-system Rail Transit / Bounded Rationality / Utility-regret Mixed Function / Integrated Operating Model / Passenger Flow Assignment

0　引言

随着轨道交通跨线列车、大小交路、快慢车运行等运输组织方案的实施，并非所有出行决策者完全理性选择最优路径，出行决策者受到自身异质性偏好和列车容量约束的影响，从而选择不同的乘车方案。为更好地促进多种制式轨道交通衔接流畅，充分利用各制式轨道交通网络的优势，了解多制式轨道交通网络下乘客的出行需求，并进行多制式客流分配研究迫在眉睫。轨道交通客流分配较多以单制式轨道交通为研究对象，大多数研究内容为出行行为分析、分配方式优化等，多制式轨道交通客流分配研究仍处于起步阶段。罗玥^[1]以区域轨道交通的跨制式换乘模式为研究重点，结合运营中断位置及时间对乘客出行行为分析进行客流分配研究。倪少权等^[2]分析了换乘节点衔接性，对线网间衔接性系数进行计算，考虑线网熟悉度等指标，构建出行广义费用模型，然而，未考虑乘客在衔接模式影响下的出行选择变化。凌敏^[3]提出以运能匹配指标为约束，从而构建系统最优分配模型，第二阶段以区段分配流量为约束，提出了全有全无的多路径客流分配算法，但未将乘客与列车进行匹配，有待进一步研究。刘杰^[4]考虑乘客出行服务质量，从进站、候车、乘车、换乘及出站时间角度出发分析可容忍路径选择行为，基于C-Logit理论，构建随机用户均衡模型。劳亚龙^[5]提出从出行链着手，以出行时间、费用、舒适度等因素构建出行广义费用最小为目标函数的路径选择模型，运用A*算法对多制式轨道交通路径选择模型求解。董皓等^[6]提出MCA模型，以旅游场景为案例，研究结果表明MCA模型较适合旅游交通的情景。唐琼华等^[7]运用前景理论改进传统阻抗函数，建立动态高速铁路客流分配模型。毛亚兰^[8]分析不完全理性行为，引用心理账户相关理论，结合价值函数构建出行相关属性的选择模型。王晓玉^[9]基于广义随机后悔最小化构建出行者的路径选择模型，并结合实例进行模型拟合度分析。付一方^[10]提出嵌套Logit模型的迭代加权法来求解模型。

多制式轨道交通运输组织的复杂性为出行者提供多样化的乘车方案选择。然而，既有文献的研究对象多为完全理性乘客，以效用最大化函数为准则，较少考虑有限理性乘客的路径选择行为，无法体现出行决策者的异质性。基于此，引入效用及后悔理论，从有限理性乘客角度出发，提出考虑滞留选择、换乘选择及列车选择等指标，剖析出行决策者选择有效乘车方案的行为，结合乘客有限理性及心理选择偏好的异质性，建立混合出行选择模型。通过列车运行方案，搜索有效乘车方案，进而建立多制式轨道交通客流分配模型，为实现不同制式轨道交通贯通一体化运营奠定了基础。

1　考虑有限理性及选择心理异质性的出行决策行为

定义有限理性乘客为：在有效的乘车方案中，考虑自身偏好及选择心理等条件，综合备选乘车方案的特征属性选择可行性乘车方案完成出行。通过SP调查结果，乘客在面对不同的乘车方案时存在个体异质性，在滞留心理选择、换乘心理选择、列车心理选择等方面存在差异，将这种情况称之为乘客选择心理异质性出行选择。

在轨道交通公交化运营条件下，考虑列车贯通运营，乘客面对多样化乘车方案时存在异质性，并非完全理性地选择乘车方案，即认为有限理性乘客在出行过程中对换乘选择、滞留选择、列车选择等存在非完全理性行为。出行决策者选择乘车方案时，存在选择滞留在站台，自主选择列车车次的行为；由于乘客自主偏好，有限理性乘客存在换乘选择；有限理性出行决策者存在偏好乘坐跨线列车的行为等。

因此，以列车运行方案为切入点，考虑滞留选择、换乘选择、列车选择等因素，搜索出行者可选乘车方案集合。定义有效乘车方案为出行决策者从自身需求及路径供给角度，能够接受的可选乘车方案集合，有效乘车方案示意图如图1所示。

2　基于效用-后悔的混合出行选择模型

在出行行为决策规则下，考虑抉择行为异质性，引用效用和后悔理论相关知识，从而构建有限理性决策者在出行过程中的混合选择模型。

2.1　随机效用最大化模型

随机效用最大化模型(RUM)是基于效用最大化准则，假设完全理性乘客根据已知信息进行出行路径选择行为。那么，若起讫点i,j存在K条乘车方案，出行者选择第k乘车方案，其随机效用函数如公式⑴表示。

U_{i,j}^k=u_{i,j}^k+{\epsilon }_{i,j}^k⑴

式中：U_{i,j}^k,u_{i,j}^k,{\epsilon }_{i,j}^k分别表示起讫点为i,j的乘客选择第k乘车方案的随机效用值、确定效用值及随机误差值。

有效乘车方案的效用值U_{i,j}^k由u_{i,j}^k及{\epsilon }_{i,j}^k构成。假设{\epsilon }_{i,j}^k分布已知，可求得起讫点i,j之间的乘车方案选择概率。假设第k乘车方案被选择，则满足

p_{i,j}^k=prob(U_{i,j}^k>U_{i,j}^{k^{\text{'}}},\forall k\ne k^{\text{'}})=prob(u_{i,j}^k+{\epsilon }_{i,j}^k>u_{i,j}^{k^{\text{'}}}+{\epsilon }_{i,j}^{k^{\text{'}}},\forall k\ne k^{\text{'}})⑵

假设{\epsilon }_{i,j}^k服从广义极值分布，出行决策者选择第k乘车方案的概率。

p_{i,j}^k=prob(U_{i,j}^k>U_{i,j}^{k^{\text{'}}},\forall k\ne k^{\text{'}})=\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(u_{i,j}^k)}{\sum _{k^{\text{'}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(u_{i,j}^{k^{\text{'}}})}⑶

式中：p_{i,j}^k为起讫点为i,j的乘客选择第k乘车方案的选择概率。

2.2　随机后悔最小化模型

随机后悔最小化模型(RRM)，是指在出行者面对乘车方案抉择时，对比乘车方案的相关属性阻抗值，选择后悔值最小的备选乘车方案。假设其独立同分布，并服从Gumbel分布，以此表示尚未观察到的影响因素对决策者进行选择时产生的影响。

综上所述，对于出行者选择备选方案k的随机后悔值V_{i,j}^k的计算公式为

V_{i，j}^k=v_{i,j}^k+{\epsilon }_{i,j}^k=\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}\sum _{W}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_w(x_{i,j}^k-x_{i,j}^{k^{\text{'}}})]+{\epsilon }_{i,j}^k\}⑷

式中：v_{i,j}^k为出行者后悔值的固定项，即后悔函数值；{\beta }_w为乘车方案中属性w变量的后悔程度；W为乘车方案中属性w的集合；x_{i,j}^k，x_{i,j}^{k\mathrm{\text{'}}}为当前方案k与备选方案k^{\text{'}}中变量的属性值；K为备选方案的集合。

在RRM理论中，出行决策者优先选择乘车方案中后悔程度最小的方案，取乘车方案k的后悔值V_k为v_k的相反数，假设{\epsilon }_k服从Gumbel分布，起讫点为i,j的乘客选择第k乘车方案时的概率。

p_{i,j}^k=\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-v_{i,j}^k)}{{\displaystyle \sum _{k^{\text{'}}}^K}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-v_{i,j}^{k^{\text{'}}})}⑸

学者杨飞^[11]引用韦伯定律改进RRM模型。韦伯定律用以表明心理感知量和物理实际量间关系。其常数即韦伯比例，表示为

\mathrm{\Delta }x/x=c⑹

式中：x为实际变量；\mathrm{\Delta }x为变量间差值；c为常数。

改进RRM模型中运用韦伯比例来权衡多个乘车方案中相关属性的影响程度。其中，由于乘车方案相关属性值存在取值为0的情况，则认为其后悔值为0。改进后的后悔值函数的确定项v_{i,j}^x为

v_{i,j}^k=\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}\sum _W\mathrm{l}\mathrm{n}\{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[{\beta }_w(x_{i,j}^k-x_{i,j}^{k^{\text{'}}})/x_{i,j}^k]\}⑺

2.3　混合出行选择模型

混合模型总效用(URM)由效用最大化函数(RUM)和后悔最小化函数(RRM)采用线性组合方式构建，如公式⑻所示。

\begin{array}{l}U(URM)=aU(RUM)+bU(RRM)\\ =a\left(\sum u_{i,j}^k+{\epsilon }_{i,j}^k\right)+b\left(\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}\sum _{W}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_{}(x_k-x_{k^{\text{'}}})/x_k]\}+{\epsilon }_{i,j}^k\right)\end{array}⑻

式中：a,b分别表示混合效用模型中效用最大化函数和后悔最小化函数的权重系数，\mathrm{0}\le a\le \mathrm{1}\mathrm{0}\le b\le \mathrm{1}且a+b=\mathrm{1}。

混合选择模型概率如公式⑼所示。

P(URM)=aP(RUM)+bP(RRM)=a\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(u_{i,j}^k)}{{\displaystyle \sum _k^K}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(u_{i,j}^{k^{\text{'}}})}+b\times \frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-v_{i,j}^k)}{{\displaystyle \sum _k^K}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-v_{i,j}^{k^{\text{'}}})}⑼

3　考虑有限理性乘客的客流分配研究

3.1　问题描述

以不同制式轨道交通“一”字形贯通模式为例，其中，r，r^{\text{'}}为2种不同制式的轨道交通，“一”字形贯通模式示意图如图2所示。

以图2所示的运行线路为例，研究不同区段的乘客出行影响因素，依据所处乘客出行区段，贯通区段为[S_o,S_{\mathrm{Ⅱ}}]，其中\mathrm{Ⅰ}\in [S_o,S_{\mathrm{Ⅰ}}]，\mathrm{Ⅱ}\in [S_{\mathrm{Ⅰ}},S_{\mathrm{Ⅱ}}]，\mathrm{Ⅲ}\in [S_{\mathrm{Ⅱ}},S_d]表示各部分区间范围，区间Ⅰ由r制式轨道交通线路本线列车运营，区间Ⅱ由r制式轨道交通跨线列车和r^{\text{'}}制式轨道交通本线列车共线运营，区间Ⅲ由r^{\text{'}}制式轨道交通线路列车本线列车运营。S_{\mathrm{Ⅰ}}节点为实现贯通运营的车站，以上行方向为例。

3.2　模型假设及符号说明

3.2.1　模型基本假设

为便于刻画多制式轨道交通跨线运行的运营场景，建立模型求解客流分配结果，提出以下假设。

（1）研究时段内客流以均匀速率进站。

（2）本线及跨线列车采取“站站停”运输组织方案。

（3）乘客在过程中可多次滞留、换乘，不应超过滞留、换乘最大可接受次数。

（4）跨线列车以插入式、跨线同速模式运营。

（5）为方便列车运行组织，跨线列车发车频率是本线列车发车频率整数倍。

（6）一般乘客不出现提前下车的现象，因此，忽略乘客提前下车的乘车方案搜索，默认乘客到达列车运营交路的折返站下车。

3.2.2　符号说明

符号定义如表1所示。

3.3　URM混合函数

3.3.1　效用最大化函数(RUM)

参考乘客出行选择相关研究，效用最大化模型一般考虑出行成本作为乘客出行选择较为敏感的决策因素，因此，构建的效用最大化模型以出行时间、出行费用2个指标表示。

根据效用最大原则，则出行成本最低，效用最大化模型的确定项如公式⑽所示。

u_{i,j}^k=（-\mathrm{1}）\times c{t}_{i,j}^k+(-\mathrm{1})\times c{f}_{i,j}^k⑽

式中：c{t}_{i,j}^k为乘客起讫点i，j第k乘车方案的出行时间；c{f}_{i,j}^k为乘客起讫点i，j第k乘车方案的出行费用。

（1）出行时间。依据乘客出行全过程，起讫点为i，j的乘客所需出行时间，是指其在车时间、候车时间及换乘时间，如公式⑾所示。

c{t}_{i,j}^k=c{t}_{i,j,a}^k+c{t}_{i,j,b}^k+c{t}_{i,j,c}^k⑾

式中：c{t}_{i,j,a}^k,c{t}_{i,j,b}^k,c{t}_{i,j,c}^k分别表示乘客起讫点i，j第k乘车方案的在车时间、候车时间及换乘时间。

①在车时间。乘客在多制式轨道交通的在车时间与乘客的起讫点无关，其在车时间，与不同类型列车在线路上运行时间及停站时间有关，如公式⑿所示。

c{t}_{i,j,a}^k=\sum _e(t_{r,travel}^e\times {\phi }_{i,j,travel}^{k,e})+\sum _n(t_{r,\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}^n\times {\phi }_{i,j,\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}^{k,n})\begin{array}{cc}& \end{array}\forall r\in R⑿

式中：t_{r,\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}}^e为第r轨道交通上第e区间的列车运行时间；t_{r,\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}^n为第r制式轨道交通上第n站停站时间。

②候车时间。候车时间表示乘客在出行途中等候列车时间。依据上述有限理性乘客出行特性分析，有限理性乘客想要乘坐的列车并非当前列车，则等候时间延长。因此，候车时间的长短与滞留次数有关，单次候车时间一般取发车频率的均值。乘客在不同运营区段的候车时间，如公式⒀所示。

c{t}_{i,j,b}^k={\sum }_{k_{i,j}}{t}_{r,\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}^n\times {\phi }_{i,j,\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{k,n}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall r\in R⒀

t_{r,\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}^n=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{30}}{f_{r,m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\times (z{l}_{i,j}^{k,n}+\mathrm{1})\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r\in k_{i,j}，n\in \mathrm{Ⅰ}\\ \frac{\mathrm{30}}{f_{r,m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\times (z{l}_{i,j}^{k,n}+\mathrm{1})\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r^{\text{'}}\in k_{i,j}，n\in \mathrm{Ⅰ}\\ \frac{\mathrm{30}}{f_{r^{\text{'}},m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\times (z{l}_{i,j}^{k,n}+\mathrm{1})\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_{r^{\text{'}}}\in k_{i,j}，n\in \mathrm{Ⅱ}\\ \frac{\mathrm{30}}{f_{r^{\text{'}},m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\times (z{l}_{i,j}^{k,n}+\mathrm{1})\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r^{\text{'}}\in k_{i,j}，n\in \mathrm{Ⅱ}\\ \frac{\mathrm{30}}{f_{r^{\text{'}},m}}\times (z{l}_{i.j}^{k,n}+\mathrm{1})\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_{r^{\text{'}}}\in k_{i,j}，n\in \mathrm{Ⅲ}\end{array}\right.⒁

式中：z{l}_{i,j}^{k,n}为乘客在起讫点i\mathrm{、}j选择第k乘车方案在站点n的滞留次数；t_{r,\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}^n为第r制式轨道交通的第n站点所需等待时间。

③换乘时间。若出行者无法选坐直达列车完成出行，其备选的有效乘车方案中存在多趟列车组合。基于此，出行者在换乘站下车后，通过换乘设施步行至其他线路上等候列车，则其换乘时间为在换乘站所需的步行时间(包括安检时间)。

c{t}_{i,j,c}^k=\sum _{h_{i,j}^k}{t}_{r,transfer}^n\times {\phi }_{i,j,\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}}^{k,n}⒂

式中：h_{i,j}^k为乘客在起讫点i，j选择第k乘车方案的换乘次数；t_{r,\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}}^n为第r制式轨道交通的第n站点所需换乘时间。

（2）出行费用。研究对象为多制式轨道交通，则依据不同制式轨道交通运营里程及单位公里的票价，求得乘客出行费用。

c{f}_{i,j}^k=\sum _r[(\sum _e(l_r^e\times {\phi }_{i,j}^{k,e})\times {\lambda }_r]\times \epsilon⒃

式中：c{f}_{i,j}^k为乘客在起讫点为i，j选择第k乘车方案的出行费用；l_r^e为第r制式轨道交通的第e区间的运行里程；{\lambda }_r为第r制式轨道交通的单位公里票价；\epsilon为票价优惠率。

当乘客跨制式出行时，选择乘坐跨线列车乘客无需换乘，同时其出行费用存在一定优惠。

\epsilon =\left\{\begin{array}{c}\mu m^{\text{'}}\in k_{i,j}\\ \mathrm{1}{m}^{\text{'}}\notin k_{i,j}\end{array}\right.⒄

式中：\mu为乘坐跨线列车时其出行票价折扣率。

3.3.2　后悔最小化函数(RRM)

依据心理异质性的乘客出行决策，考虑换乘选择、滞留选择、列车选择属性为影响乘客后悔情绪的因素。

（1）换乘选择后悔值。换乘选择的后悔值以乘车方案中的换乘次数为函数属性。

H{C}_{i,j}^k=\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_h(h{c}_{i,j}^k-h{c}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/h{c}_{i,j}^k]\}⒅

式中：H{C}_{i,j}^k,h_{i,j}^{k^{\text{'}}}分别表示为起讫点为i,j的第k乘车方案的换乘选择后悔值及换乘次数；{\beta }_h为乘客本身对换乘选择产生的后悔情绪，由调查数据标定参数。

考虑乘客的舒适度，定义乘车方案的换乘次数不超过一定的阈值，如公式⒆所示。

h_{i,j}^k\le h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⒆

式中：h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为乘客所选乘车方案最大换乘次数。

（2）滞留选择后悔值。滞留选择的后悔值以乘车方案中的滞留次数为函数属性。

Z{L}_{i,j}^k=\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_z(z{l}_{i,j}^k-z{l}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/z{l}_{i,j}^k]\}⒇

式中：Z{L}_{i,j}^k,z{l}_{i,j}^k为起讫点为i,j的第k乘车方案的滞留选择后悔值及滞留次数；{\beta }_z为乘客本身对滞留选择属性的后悔情绪，由调研数据标定参数。

通过搜索有效乘车方案，对不同乘车方案，量化乘客滞留选择属性值，见公式 所示。

z{l}_{i,j}^k=z{l_{i,j}^k}^{\mathrm{\text{'}}}+z{l_{i,j}^k}^{″}

式中：z{l}_{i,j}^k,z{l_{i,j}^k}^{\mathrm{\text{'}}},z{l_{i,j}^k}^{″}为乘客起讫点i\mathrm{、}j乘坐第k乘车方案的滞留选择属性值、被迫滞留次数及自主滞留次数。

被迫滞留的原因是受到列车在车客流量影响，如公式 所示。

式中：q_{r,m}^e,z_{r,m},{\psi }_{r,m}分别为第r制式轨道交通列车m在区间e的客流量、列车定员及满载率。

考虑乘客的满意度，定义有效乘车方案的滞留次数不超过一定的阈值，如公式 所示。

z{l}_{i,j}^k\le z{l}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}

式中：z{l}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为乘客所选出行路径最大滞留次数。

（3）列车选择后悔值。列车选择的属性值计算如公式 所示。

L{C}_{i,j}^k=\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_c(l{c}_{i,j}^k-l{c}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/l{c}_{i,j}^k]\}

式中：L{C}_{i,j}^k,l{c}_{i,j}^k为起讫点为i,j的第k乘车方案的列车选择后悔值及列车选择属性值；{\beta }_c为乘客本身对列车选择属性的后悔情绪，由调研数据标定参数。

其中，乘客选择第k乘车方案的列车选择属性值，如公式 所示。

l{c}_{i，j}^k=\sum _{k_{i,j}}{\rho }_{i,j}^k\times {\delta }_{i,j}^{k,n}\times {\phi }_{i,j,\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{k,n}

式中：l{c}_{i,j}^k为起讫点为i,j的第k乘车方案的换乘选择属性值；{\rho }_{i,j}^k为乘客自身对列车的偏好程度；{\delta }_{i,j}^{k,n}为乘客能享受到不同列车的概率。

在出行过程中，乘客自身对列车的偏好程度，如公式 所示。

{\rho }_{i,j}^k=\left\{\begin{array}{l}\theta \begin{array}{cc}& \end{array}{m}^{\text{'}}\in k_{i,j}\\ \mathrm{1}-\theta \begin{array}{cc}& \end{array}m\in k_{i,j}\end{array}\right.

式中：\theta ,(\mathrm{1}-\theta )分别表示乘客自身对跨线列车、本线列车的偏好程度。

贯通运营状态下，乘客在不同区段所享受的列车概率不同，如公式 所示。

{\delta }_{i,j}^{k,n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{f_{r,m}}{f_{r,m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r\in k_{i,j},n\in \mathrm{Ⅰ}\\ \frac{f_{r,m^{\text{'}}}}{f_{r,m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r^{\text{'}}\in k_{i,j},n\in \mathrm{Ⅰ}\\ \frac{f_{r^{\text{'}},m}}{f_{r^{\text{'}},m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_{r^{\text{'}}}\in k_{i,j},n\in \mathrm{Ⅱ}\\ \frac{f_{r,m^{\text{'}}}}{f_{r^{\text{'}},m}+f_{r,m^{\text{'}}}}\begin{array}{cc}& \end{array}{m}_r^{\text{'}}\in k_{i,j},n\in \mathrm{Ⅱ}\\ \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}n\in \mathrm{Ⅲ}\end{array}\right.

式中：{\delta }_{i,j}^{k,n}为起讫点为i,j的乘客选择第k乘车方案时在n站能享受到不同类型的列车概率。

（4）后悔最小化函数。根据上述乘车方案的相关属性后悔值，起讫点为i,j的第k乘车方案的改进后悔值函数的确定项v_{i,j}^k，如公式 所示。

\begin{array}{l}{v}_{i,j}^k=H{C}_{i,j}^k+Z{L}_{i,j}^k+L{C}_{i,j}^k\\ =\sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_h(h{c}_{i,j}^k-h{c}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/h{c}_{i,j}^k]\}+\\ \sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_z(z{l}_{i,j}^k-z{l}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/z{l}_{i,j}^k]\}+\\ \sum _{k^{\text{'}}\ne k,k^{\text{'}},k\in K}ln\{\mathrm{1}+exp[{\beta }_c(l{c}_{i,j}^k-l{c}_{i,j}^{k^{\text{'}}})/l{c}_{i,j}^k]\}\end{array}

3.4　客流分配模型

根据随机用户平衡原理，以乘客的混合出行效用函数值最小为目标函数，从而构建随机用户均衡模型，如下式所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}z(q)=\sum _e{\int }_{\mathrm{0}}^{x_e}a\times (-u_{i,j}(x))+b\times v_{i,j}(x)\mathrm{d}x

\begin{array}{cc}\mathrm{s}.\mathrm{t}.& \sum _k{f}_{i,j}^k\end{array}=q_{i,j}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in N，\forall k\in K_{i,j}

f_{i,j}^k=q_{i,j}\times p_{i,j}^k\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in N，\forall k\in K_{i,j}

x_e=\sum _{e(i,j)\in k}\sum _k{f}_{i,j}^k\times {\phi }_{i,j}^{k,e}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall e\in E

f_{i,j}^k\ge \mathrm{0}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in N，\forall k\in K_{i,j}

3.5　求解模型

基于上述构建的多制式轨道交通随机用户均衡模型，参考文献^[12]，结合有效乘车方案，采用MSA算法求解，具体步骤如下，MSA算法流程图如图3所示。

步骤1：输入基础参数信息，轨道交通物理拓扑网络结构及列车运行信息等。令迭代次数n=\mathrm{0}，将所有区间的客流量初始化为0，即f^{\mathrm{0}}=0。

步骤2：有效乘车方案搜索。结合列车运行时间及乘客进站时间，判断起讫点i\mathrm{、}j在列车停站序列H_m条件下采用Dijstra算法寻找有效路径，在每个路径上通过判断换乘次数阈值、滞留次数阈值及列车在车人数获取有效乘车方案集合，寻找每个起讫点i，j之间的有效乘车方案集合，并存储到有效乘车方案集合K_{i,j}中，计算有效乘车方案中效用-后悔函数值，从而获得各有效乘车方案的选择概率。

步骤3：更新路段阻抗。根据第n次迭代的每个起讫点i，j之间单位时间客流量f^n，更新列车运行弧流量x_e^n。

f_{i,j}^{k,n}=q_{i,j}^n\times p_{i,j}^k,\forall k\in K_{i,j}

判断列车运行弧容量是否超过列车容量，如果，，则客流量不需要减少；如果x_e^n\ge Z，{\eta }_e^n\ge \psi则客流量应该减少。

Z/x_e^n=Z/(\sum _{e(i,j)\in k}\sum _k{f}_{i,j}^{k,n}\times {\phi }_{i,j}^{k,e})

{\eta }_e^n=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\psi ，x_e^n/Z\}

f_{i,j}^{k,n^{\text{'}}}=f_{i,j}^{k,n}\times {\eta }_e^n

乘车方案的客流量减少后，其对应的起讫点客流量随着减少，因此，需要将路径客流总量扩大为原来的值。

{\eta }_{i,j}^n=q_{i,j}^n/\sum _k{f}_{i,j}^{k,n^{\text{'}}}

在第n+1次迭代时，其客流量迭代值如公式 所示。

f_{i,j}^{k,n+\mathrm{1}}=f_{i,j}^{k,n}\times {\eta }_e^n\times {\eta }_{i,j}^n

步骤4：收敛判断。若公式 成立，认为满足收敛条件要求，则停止迭代；否则，令n=n+\mathrm{1}，返回步骤2。

\sum _{i,j}\sum _k\frac{\sqrt[]{f_{i,j}^{k,n+\mathrm{1}}-f_{i,j}^{k,n}}}{f_{i,j}^{k,n}}\le \epsilon

4　案例分析

以2种制式轨道交通为例，以重庆市域铁路江跳线(跳蹬—圣泉寺)及重庆市轨道交通5号线为研究对象。江跳线为市域快线，是国内首条双流制列车运营线路，用以连接重庆市郊区和中心城区。江跳线以通勤为主的长距离出行需求较大，且在近期规划中，江跳线的跳磴站与5号线实现贯通运营。5号线是重庆市轨道交通网络的一条骨干线路，同时与重庆地铁其他线路存在换乘站，其客流需求量较大。依次为江跳线的11个车站进行编号，则江跳线站点集合为n_sy =[1，2，3，4，5，5，6，8，9，11]，5号线设站31个，站点编号为n_cg =[11，12，13，…，41，42]，贯通共线区段为支坪站至石桥铺站[1—22]。以上行方向支坪—跳磴—悦港北路为例。

结合多制式轨道交通物理网络相关知识，将上述2种轨道交通的线路耦合得多制式物理网络示意图，江跳线—5号线示意图如图4所示。

4.1　客流信息

根据相关文献及数据来源^[12-14]，参考预测年限2030年的客流量数据，以此作为客流分配基础数据，其高峰小时进出站客流量如图5所示，断面客流量如图6所示。

4.2　线路条件

江跳线及5号线的列车编组为6节编组，列车类型为As双流制列车，车厢定员为2 322人/列。江跳线高峰时间段本线列车、跨线列车发车频率为6对/h、2对/h。5号线本线列车的发车频率为8对/h。根据符号表示，江跳线列车集合为m_{sy}=[\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6},\mathrm{7,8}]，同理，实现贯通运营后，添加跨线列车后，5号线列车集合为m_{cg}=[\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6},7，\mathrm{8}，\mathrm{9,10}]。重庆市多制式轨道交通部分站点里程表如表2所示，轨道交通站点停站时间如表3所示。

4.3　分配结果

（1）参数估计。参考相关文献及资料^[13-15]，权重系数采用黄金分割数。由于研究对象为2条路线，因此，定义换乘次数及滞留次数最大限制均为2。参数取值如表4所示。

（2）客流分配结果。将客流需求、列车运行信息及参数取值等信息代入到模型进行计算，求得分配结果。为了便于直观分析，求得江跳线各断面列车满载率如图7所示，5号线各断面列车满载率如图8所示。

江跳线满载率超过1的列车为跨线列车，且集中于6号车站的断面附近，5号线满载率超过1的列车有7趟，其中，跨线列车在18号车站、21号车站的断面客流量满载率超过1，本线列车存在1，3，6，7，10列车在22号车站的满载率超过1，在24号车站的满载率降低至1以下。江跳线跨线列车、本线列车的平均满载率为70.49%，60.12%，满载率不均衡系数67.289%，63.757%。5号线的跨线列车、本线列车平均满载率为79.46%，61.99%，满载率不均衡系数51.179%，89.205%。

（3）对比分析。考虑传统效用函数的随机用户均衡(RUM-SUE)客流分配模型是基于乘客完全理性状态下进行路径选择，因此，求解RUM-SUE客流分配进行结果对比分析，各断面列车平均满载率对比图如图9所示。

比较对比URM-SUE与RUM-SUE客流分配结果，列车差异较小，但仍然可以发现跨线列车的平均满载率有所下降，非跨线列车的平均满载率有所增长，主要原因是URM-SUE模型乘客存在跨线列车偏好，存在有限理性行为，趋向于选择跨线列车，然而，RUM-SUE模型中只考虑乘车方案的出行成本。其中，对比URM-SUE模型，RUM-SUE模型中的跨线列车平均满载率下降了4.13%，满载率均衡系数下降了2.82%，本线列车满载率增加了1.607%，满载率均衡系数增长了3.83%。结果表明，对比传统的效用最大化模型(RUM-SUE)，混合决策准则下的客流分配(URM-SUE)，能够更好地避免无关选择独立性假设(IIA)。

5　结束语

以多制式轨道交通为研究对象，考虑在“一”字形贯通运营模式下，从有限理性角度出发，引入效用理论和后悔理论，分析出行决策者抉择不同乘车方案产生的后悔程度，有助于研究复杂运输组织模式下出行者的抉择行为；基于混合决策准则下的客流分配，适用于公交化运营的多制式轨道交通系统，为多制式轨道交通运营管理提供参考。此外，后续会进一步运用AFC数据对客流分配模型进行修正。

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基金资助

国家重点研发计划项目(2022YFB4300502)