基于虚拟编组的城市轨道交通列车开行方案研究

Train Operation Scheme of Urban Rail Transit Based on Virtual Coupling

摘要

为了匹配城市轨道交通存在的客流时空分布不均衡现象，改善乘客满意度及企业运营成本，提出一种基于虚拟编组的城市轨道交通开行方案模型。模型兼顾乘客和企业的利益，以乘客等待时间和车辆走行距离之和最小为目标，考虑因素包括列车满载率、可用车辆数、可用列车数等，以虚拟联挂/解编站位置、列车发车频率和列车编组数作为决策变量，建立双目标整数非线性规划模型，通过线性化和归一化处理后，以某城轨线路为例进行求解。结果表明，在领头车为3节编组的城市轨道交通虚拟编组开行方案相较于传统固定编组和多编组开行方案，乘客等待时间分别降低9.34%和7.31%，车辆走行距离分别降低12.29%和10.93%，匹配客流需求更加精准，有利于提高乘客满意度并降低企业运营成本。考虑到虚拟编组模式运行的条件，该模式更适用于自动化程度高的线路，今后可以为企业决策提供参考。

Abstract

To match the uneven spatio-temporal distribution of the passenger flow in urban rail transit, and improve passenger satisfaction and operational costs of enterprises, this paper proposed an operation scheme model for urban rail transit based on virtual coupling. The model took into account the interests of both passengers and enterprises and aimed to minimize the sum of waiting time for passengers and travel distance of vehicles. Meanwhile, the considered factors include the train load factor, number of available vehicles, and number of available trains, with the virtual coupling/uncoupling station location, train departure frequency and train formation number employed as decision variables. Finally, a bi-objective integer nonlinear programming model was built. After linearization and normalization, the solution was conducted by taking a certain urban rail line as an example. The results show that compared with the traditional fixed formation and multi-formation operation schemes, the virtual coupling operation scheme of urban rail transit with a leader train in a three-train formation can reduce the waiting time of passengers by 9.34% and 7.31% respectively, and decrease the travel distance of vehicles by 12.29% and 10.93% respectively. Additionally, the accuracy is higher in matching passenger demand, which is conducive to improving passenger satisfaction and reducing the operational cost of enterprises. Considering the operation conditions of the virtual coupling mode, this mode is more suitable for lines with a high degree of automation, thus providing references for the decision-making of enterprises in the future.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 虚拟编组 / 开行方案 / 运力匹配 / 整数规划

Key words

Urban Rail Transit / Virtual Coupling / Operation Scheme / Capacity Matching / Integer Programming

0　引言

近年来，我国城市轨道交通快速发展，线路数目不断增加且逐步迈向网络化运营，客流在时空分布中展现出越来越明显的不均衡性，采用传统的固定编组模式通常会造成线路上断面客流高的区间和断面客流量低的区间满载率差异较大，造成运能浪费。虚拟编组，是指采用虚拟联挂技术来实现列车编组在线改变的一种灵活编组列车运行组织方式，将该技术运用到城市轨道交通中，有望缓解客流分布的不均衡性，减少企业运营成本及乘客等待时间，提高车辆利用率和乘客满意度。

目前，国内外已经有学者开始对虚拟编组技术进行研究，Bock等提出了虚拟编组列车(Virtually Coupled Train Formations)^[1]这一设想。Schumann^[2]将DFSimu模拟器应用于日本新干线，用虚拟编组在大阪到东京间完成模拟列车运行。Wang等^[3]对虚拟编组和传统物理联挂下的列车特点及操作模式进行对比分析。Liu等^[4]提出了基于虚拟编组的全新智能化调度和协调化控制的方法，用于车站对列车进出站操作的时空路径规划。宋志丹等^[5]提出基于虚拟编组的列车控制技术实现方案。荀径等^[6]研究了虚拟重联技术下的安全制动模型。曹源等^[7]依托重大疫情的背景，研究将虚拟编组技术应用于城轨列车并进行重新编组，以此提高列车编组灵活性。纪玉清等^[8]认为实现虚拟编组需要高精度的列车实时定位，延时低、可靠性高的无线通信等关键及核心技术的支撑。罗啸林等^[9]提出了一种可以将虚拟编组的列车间隔缩短的控制方法。

在虚拟编组应用于列车运行方面，韩宝明等^[10]将虚拟编组技术和市域列车结合起来，提出了新的市域列车运行组织方案。赵兴东等^[11]以等间隔为出发点，将虚拟编组技术应用于列车运行图编制，可提高列车服务水平。付兵等^[12]考虑虚拟编组下的列车调度，提出基于虚拟编组的列车调度方法。杨安安等^[13]对虚拟编组下的列车大小交路进行了优化。游婷等^[14]以乘客时间和列车效率为优化目标，提出了虚拟编组列车优化模型。现有文献的侧重点大多为虚拟编组在技术层面以及结合交路方面的研究，极少有针对列车编组数、列车发车频率及虚拟联挂/解编站位置三方面结合的研究，而现实中无法满足所有的车站都可以完成虚拟联挂/解编的要求，因此，构建以乘客等待时间和车辆走行距离最小为目标的虚拟编组的列车开行方案模型。

与以往研究相比，本研究侧重于确定列车的发车频率、列车编组数及虚拟联挂/解编站位置。从列车的虚拟编组角度出发，考虑列车的满载率、编组数、可用列车数、可用车辆数等约束条件，构建以乘客等待时间和车辆走行距离最小的双目标优化模型，最后，以某条城轨线路进行案例分析，验证模型是否有效。

1　虚拟编组列车运行

1.1　虚拟编组列车的基本概念

虚拟编组列车指不再依赖物理车钩完成联挂，而是基于车与车之间无线通信自动控制和信息交互技术，将2列及以上列车联挂后虚拟为同一列车运行，共同承担同一输送任务的列车。在实际运行过程中各列车保持同步操控并以列车最小间距稳定追踪运行，按照列车的运行方向，位于前方的列车被定义为领头车，位于后方的列车被定义为跟随车，虚拟编组列车的构成如图1所示。

1.2　虚拟编组列车运行过程

上行方向虚拟编组列车在虚拟联挂/解编站完成虚拟联挂/解编过程示意图如图2所示，由下行方向开过来的虚拟重联列车在此站完成解编后，领头车(列车1)内乘客全部下车，然后驶入折返线，通过折返线进行列车折返，到达该车站的上行方向，等待即将运行来的同向列车，跟随车(列车2)继续向前运行，上行列车(列车3)在未到达虚拟联挂/解编站时，列车独立运行，和传统的列车运行方式一致，当驶入该车站时，与预先等待的列车虚拟联挂为重联列车共同向前运行。下行方向虚拟编组列车在虚拟联挂/解编站完成虚拟解编/联挂过程示意图如图3所示，在未到达虚拟解编/联挂车站时，重联列车正常完成列车运行作业，当到达该车站时，领头车(列车1)完成下客作业后，驶入折返线进行折返，等待下行列车(列车3)，跟随车(列车2)则继续向前运行，当下行列车驶入该车站时，与预先等待的列车完成虚拟重联，一起向前运行，如此完成一个循环。

2　开行方案优化模型

2.1　问题描述

考虑一条站站停城轨线路，列车虚拟编组运行模式如图4所示，线路共有s个车站，从车站1运行至车站s为上行方向，反之则为下行方向。其中上行方向从车站1开出n^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}编组的跟随车运行至车站a，与该站等待的n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}编组的领头车发生虚拟联挂，形成n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}+n^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}编组列车向前运行至车站b发生虚拟解编，领头车通过折返线运行至该站下行方向，等待下行列车发生联挂，跟随车继续向前运行至车站s后发生折返。列车以发车频率f运行，上行列车在车站a进行列车联挂，在车站b进行列车解编，同理，下行列车在车站b进行列车联挂，在车站a进行列车解编。在车站a进行列车解编。用S=\left\{\mathrm{1,2}，\cdots ，\right.\left.s\right\}表示车站集合，用I_{\mathrm{1}}=\left\{\mathrm{1,2}，\cdots ，a-\mathrm{1}\right\}和I_{\mathrm{3}}=\left\{b,b+\mathrm{1},\cdots ,s-\mathrm{1}\right\}表示列车非虚拟联挂运行区段，I_{\mathrm{2}}=\left\{a,a+\mathrm{1},\cdots ,b\right\}表示列车虚拟联挂运行区段，F=\left\{f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\mathrm{1},\cdots ,f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right\}为发车频率集合，Z =\left\{\mathrm{1}/f_{max}\right.，\left.\cdots ,\mathrm{1}/f_{min}\right\}为发车频率倒数的集合；N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}=\left\{\mathrm{2,3},\mathrm{4}\right\}为跟随车编组数集合，K=\left\{\mathrm{1,2},\cdots ,s-\mathrm{1}\right\}为列车运行区间集合，r为发车频率f_u与跟随车编组数n^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}乘积的集合，O^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站a到车站s距离的乘积的集合，O^{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站b到车站s距离的乘积的集合，T^{\mathrm{a}\mathrm{s}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站a到车站s的运行时分(包括停站时间t_{i,\mathrm{停}})乘积的集合；T^{\mathrm{b}\mathrm{s}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站b到车站s的运行时分(包括停站时间t_{i,\mathrm{停}})乘积的集合。

根据列车虚拟编组运行特点，研究的问题可归纳为：已知城轨交通线路各站的OD客流、各站站间距、各站间运行时分、各站停站时间、列车折返时间、领头车编组数等相关运营参数，确定虚拟联挂/解编车站a和b的位置、跟随车编组数及列车发车频率，在满足虚拟联挂/解编车站位置、编组数、发车频率、满载率等约束条件下，使乘客等待时间和车辆走行距离最少。

2.2　模型假设

为简化问题的难度，研究基于以下假设：①所有车站均满足虚拟联挂/解编条件，列车已完成虚拟联挂/解编车底接续循环；②列车折返时间相同；③列车在线路始末站、虚拟联挂/解编站的折返走行距离不考虑到车辆走行距离内；④线路始末站不作为虚拟联挂/解编站；⑤上行各区间运行时分等于下行各区间运行时分，各车站列车停站时间相同。

2.3　模型构建

2.3.1　目标函数

开行传统的固定编组列车会造成部分小客流区段运力浪费，故基于列车的虚拟联挂/解编，构建以乘客等待时间和车辆走行距离最小的双目标优化模型，以此来平衡乘客和企业的利益。

用Z表示目标函数，可表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z={\lambda }_{\mathrm{1}}T+{\lambda }_{\mathrm{2}}L⑴

式中：{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}为权重系数；T为乘客等待时间，s；L为车辆走行距离，m。

乘客等待时间由乘客在站等车时间和惩罚时间组成，可表示为

T={\displaystyle \sum _{\overline{i}=\mathrm{1}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{t}_{\overline{i},\mathrm{w}}+{\displaystyle \sum _{\underline{i}=\mathrm{2}}^{\left|S\right|}}{t}_{\underline{i},\mathrm{w}}+T_{\overline{\mathrm{惩}}}+T_{\underline{\mathrm{惩}}}⑵

式中：\overline{i}为上行车站索引，\overline{i}\in \left\{\mathrm{1,2},\dots ,s-\mathrm{1}\right\}；\underline{i}为下行车站索引，\underline{i}\in \left\{\mathrm{2,3},\dots ,s\right\}；t_{\overline{i},\mathrm{w}}为上行方向车站\overline{i}的乘客在站等车时间，s；t_{\underline{i},\mathrm{w}}为下行方向车站\underline{i}的乘客在站等车时间，s；T_{\overline{\mathrm{惩}}}为上行方向在虚拟联挂/解编站b乘坐虚拟重联列车，由于列车完成解编对乘客造成影响的惩罚时间，s；T_{\underline{\mathrm{惩}}}为下行方向在虚拟联挂/解编站a乘坐虚拟重联列车，由于列车完成解编对乘客造成影响的惩罚时间，s。

车辆走行距离由跟随车走行距离和领头车走行距离组成，可表示为

L=\mathrm{2}l{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{r}_{u,m}{x}_{u,m}+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left({\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{O}_{u,i}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{p}}{R}_{u,i}-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{O}_{u,i}^{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{t}}{V}_{u,j}\right)⑶

式中：l为线路全长，m；u为发车频率索引，u\in F；m为跟随车编组数索引，m\in N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}；i为虚拟联挂/解编站a的索引，i\in \left\{\mathrm{2,3},\cdots ，s-\mathrm{1}\right\}；j为虚拟联挂/解编站b的索引，j\in \left\{\mathrm{2,3},\cdots ，s-\mathrm{1}\right\}；r_{u,m}为发车频率f_u与跟随车编组数n_m^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}的乘积对应的数值；x_{u,m}为0-1决策变量，x_{u,m}=\mathrm{1}表示选择该发车频率及跟随车编组数，反之为0则不选择；R_{u,i}=\mathrm{1}表示选择该发车频率及该站为虚拟联挂/解编站a，反之为0则不选择；V_{u,j}=\mathrm{1}表示选择该发车频率及该站为虚拟联挂/解编站b，反之为0则不选择。

乘客在站等车时间近似为在站客流量与平均等车时间的乘积，当列车发车间隔较小时(低于10 min一列)，乘客的到达服从均匀分布，乘客的等待时间为发车间隔时间的一半^[15]，上行乘客在车站\overline{i}的等车时间可表示为

t_{\overline{i},\mathrm{w}}=\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{Z}_u{x}_{u,m}{\displaystyle \sum _{\overline{j}=\overline{i}+\mathrm{1}}^{\left|S\right|}}{p}_{\overline{i},\overline{j}}\mathrm{1}\le \overline{i}\le \left|S\right|-\mathrm{1}⑷

式中：Z_u为选择发车频率f_u的倒数；p_{\overline{i},\overline{j}}为上行方向车站\overline{i}到车站\overline{j}的客流量，人/h。

下行乘客在车站\underline{i}的等待时间可表示为

t_{\underline{i},\mathrm{w}}=\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{Z}_u{x}_{u,m}{\displaystyle \sum _{\underline{j}=\mathrm{1}}^{\underline{i}}}{p}_{\underline{i},\underline{j}}\mathrm{2}\le \underline{i}\le \left|S\right|⑸

式中：p_{\underline{i},\underline{j}}为下行方向车站\underline{i}到车站\underline{j}的客流量，人/h。

由于上行列车在联挂/解编站b需要完成解编，下行列车在联挂/解编站a需要完成解编，造成短时车站客流量增大，由此带来的乘客不满意度以惩罚时间作为等价转换，惩罚时间由惩罚系数和该站的人数共同决定。

上行乘客在联挂/解编站b的惩罚时间可表示为

T_{\overline{\mathrm{惩}}}=\omega {\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{V}_{u,j}{d}_j^{\mathrm{1}}⑹

式中：\omega为惩罚系数；d_j^{\mathrm{1}}为上行方向车站j的人数，人。

下行乘客在联挂/解编站a的惩罚时间可表示为

T_{\underline{\mathrm{惩}}}=\omega {\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{R}_{u,i}{d}_i^{\mathrm{2}}⑺

式中：d_i^{\mathrm{2}}为下行方向车站i的人数，人。

2.3.2　约束条件

（1）列车编组数约束。由于站台长度的限制，虚拟重联列车编组数不能超过站台允许的编组长度，可表示为

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{n}_m^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}{x}_{u,m}+n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}\le n_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}⑻

式中：n_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为虚拟联挂列车最大编组数，节。

（2）折返站位置约束。折返站位置在除线路始末站外的任意车站选择，但由于考虑到乘客舒适度，2个虚拟联挂/解编站位置不能相距过近，可表示为

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}j{V}_{u,j}-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{2}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}i{R}_{u,i}\ge \mathrm{3}⑼

（3）列车满载率约束。考虑到乘客的舒适度，上下行列车在虚拟联挂区段及非虚拟联挂区段的最大满载率应不大于列车最大满载率。上行列车满载率约束可表示为

c{\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{r}_{u,m}{x}_{u,m}+n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}\right|}}{f}_u{x}_{u,m}{\zeta }_k\right)\ge p_k^{\mathrm{1}}\forall k\in K⑽

式中：{\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为列车最大满载率；k为区间索引，k\in K；p_k^{\mathrm{1}}为上行区段k的断面客流量，人/h；{\zeta }_k为0-1变量，{\zeta }_k=\mathrm{1}表示虚拟联挂区段覆盖区间k，反之为0则虚拟联挂区段不覆盖区间k；c为车辆定员，人/节。

下行列车满载率约束可表示为

c{\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{r}_{u,m}{x}_{u,m}+n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}\right|}}{f}_u{x}_{u,m}{\zeta }_k\right)\ge p_k^{\mathrm{2}}\forall k\in K⑾

式中：p_k^{\mathrm{2}}为下行区段k的断面客流量，人/h。

（4）可用车辆数约束。为了控制企业运营成本，保障每次列车虚拟联挂都可以联挂上，需要在每个虚拟联挂/解编站各增加n^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}节车辆数，同时可用车辆数不应超过列车固定编组时的车辆数，可表示为

\frac{{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{r}_{u,m}{x}_{u,m}{T}_{\mathrm{周}}}{\mathrm{3}\mathrm{600}}+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}+\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left({\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{T}_{u,i}^{\mathrm{a}\mathrm{s}}{R}_{u,i}-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{T}_{u,j}^{\mathrm{b}\mathrm{s}}{V}_{u,j}+{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{f}_u{x}_{u,m}{t}_{\mathrm{z}\mathrm{f}}\right)}{\mathrm{3}\mathrm{600}}\le \frac{n_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{周}}}{\mathrm{3}\mathrm{600}}⑿

式中：T_{\mathrm{周}}为车站1至车站s列车全周转时间，s；T_{u,i}^{\mathrm{a}\mathrm{s}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站a到车站s的运行时分(包括停站时间)乘积的数值；T_{u,j}^{\mathrm{b}\mathrm{s}}为发车频率f_u与虚拟联挂/解编站b到车站s的运行时分(包括停站时间)乘积的数值；t_{\mathrm{z}\mathrm{f}}为列车折返时间，s；n_{\mathrm{0}}为列车固定编组数，节；f_{\mathrm{0}}为列车固定编组发车频率，列/h。

（5）可用列车数约束。为了控制企业运营成本，保障每次列车虚拟联挂都可以联挂上，需要在每个虚拟联挂/解编站各增加1列车，同时虚拟联挂/解编列车数不应超过固定编组时列车数的2倍，可表示为

\frac{{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{f}_u{x}_{u,m}{T}_{\mathrm{周}}}{\mathrm{3}\mathrm{600}}+\frac{\mathrm{2}\left({\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{T}_{u,i}^{\mathrm{a}\mathrm{s}}{R}_{u,i}-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{T}_{u,j}^{\mathrm{b}\mathrm{s}}{V}_{u,j}+{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{f}_u{x}_{u,m}{t}_{\mathrm{z}\mathrm{f}}\right)}{\mathrm{3}\mathrm{600}}+\mathrm{2}\le \frac{\mathrm{2}{f}_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{周}}}{\mathrm{3}\mathrm{600}}⒀

（6）其他约束。

其中，列车发车频率及虚拟联挂/解编站a,b每次只能选择1个，可表示为

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{x}_{u,m}=\mathrm{1}⒁

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{R}_{u,i}=\mathrm{1}⒂

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{V}_{u,j}=\mathrm{1}⒃

关于{\zeta }_k的计算，可表示为

{\zeta }_k=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}k\in I_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}k\in I_{\mathrm{1}}\bigcup I_{\mathrm{3}}\end{array}\right.⒄

要保证每次决策变量对应的发车频率索引、虚拟联挂/解编站索引一致，要满足下述条件。

{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{x}_{u,m}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{R}_{u,i}\forall u\in \left|F\right|⒅

{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|}}{x}_{u,m}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}{V}_{u,j}\forall u\in \left|F\right|⒆

2.3.3　约束条件线性化处理

公式⑽和公式⑾存在2个0-1变量相乘的情况，因而引入新的0-1变量{\xi }_{k,u,m}做线性化处理，可表示为

{\xi }_{k,u,m}=x_{u,m}{\zeta }_k\forall k\in K，\forall u\in \left|F\right|，\forall m\in \left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|⒇

{\xi }_{k,u,m}\le x_{u,m}\forall k\in K，\forall u\in \left|F\right|，\forall m\in \left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|

{\xi }_{k,u,m}\le {\zeta }_k\forall k\in K，\forall u\in \left|F\right|，\forall m\in \left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|

{\xi }_{k,u,m}\ge x_{u,m}+{\zeta }_k-\mathrm{1}\forall k\in K，\forall u\in \left|F\right|，\forall m\in \left|N^{\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\right|

公式⒄为分段函数，因而引入一个很大的数M，将其线性化处理，可表示为

{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}i{R}_{u,i}-k\le M\left(\mathrm{1}-{\zeta }_k\right)\forall k\in K

k-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}j{V}_{u,j}\le M\left(\mathrm{1}-{\zeta }_k\right)-\mathrm{0.1}\forall k\in K

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\left|K\right|}}{\zeta }_k={\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}j{V}_{u,j}-{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^{\left|F\right|}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^{\left|S\right|-\mathrm{1}}}i{R}_{u,i}

2.3.4　目标函数归一化处理

在确定权重系数时，以固定编组的目标值作为基准值来求得权重系数，即令

{\lambda }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{0}}={\lambda }_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{0}}

式中：T_{\mathrm{0}}为固定编组的乘客等待时间，s；L_{\mathrm{0}}为固定编组的车辆走行距离，m。

取{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，则

{\lambda }_{\mathrm{2}}=\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{0}}}{L_{\mathrm{0}}}

经过归一化处理后

{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}}

{\lambda }_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}

3　算例分析

3.1　算例条件

某城市轨道交通线路共有20个车站，为简化表达，各车站用大写英文字母表示：A，B，C，…，T，线路某平峰时段(1 h)各站客流OD如图5所示，线路区间距离及运行时分如表1所示。

平峰时期，考虑到乘客的服务水平，列车的最大满载率设置为90%，列车的最小发车频率不应低于固定编组的发车频率，其余部分参数参考《地铁设计规范》(GB 50157—2013)^[16]，相关参数取值如表2所示。

3.2　求解结果

在处理器为Intel(R) Core(TM) i7-9750H，机带RAM为8.00 GB的电脑上，利用编程软件对模型进行求解，得出该线路领头车折返站a为E站，领头车折返站b为N站，上下行列车发车频率为12列/h，跟随车列车编组数为3节；其中固定编组开行方案如图6所示，列车发车频率为10列/h，在A至T站采用6节编组运行；虚拟编组开行方案如图7所示，列车发车频率为10列/h，列车在A至E站和N至T站采用3节编组运行，在E至N站采用3+3节虚拟编组运行。

当改变领头车编组数时，求得的不同领头车编组数对应的虚拟编组方案如表3所示。

3.3　评价与分析

该线路在不同运营方案下对比结果如表4所示。

为进一步探讨虚拟编组运营模式的优劣势，以领头车编组数为3节对应的优化结果为基准，比较分析虚拟编组、多编组混跑之间的差异。其中多编组混跑方案为A至T站为6节编组，E至N站为6节和3节编组列车混跑(开行比例为1∶1)。虚拟编组和多编组混跑的对比结果如表5所示。各编组方案下的列车满载率如图8所示，各编组方案下列车发车间隔如图9所示，各编组方案下乘客的平均等待时间如表6所示。

由表3、表4、表5、表6、图8、图9可得出以下结论。

（1）虚拟编组方案中，不同的领头车编组数会导致不同的虚拟联挂/解编站的位置和列车的开行频率。

（2）对比固定编组和多编组，虚拟编组在乘客等待时间、车辆走行距离、所需车辆数和乘客平均等待时间方面均有一定的优势，乘客等待时间分别减少9.34%，7.31%；车辆走行距离分别减少12.29%，10.93%；所需车辆数分别减少6.45%，5.23%；乘客平均等待时间分别减少16.8 s，12.9 s。

（3）多编组模式虽然在一定程度上可以减少乘客等待时间、车辆走行距离及均衡列车在各区间的满载率，但在单独运行6编组列车的区段发车间隔相对增加，达到450 s，难以满足该区段的服务水平，相反，虚拟编组模式不仅保证了各区间列车的发车间隔相对较低(为300 s)且满足各区间发车间隔相同，而且乘客等待时间、车辆走行距离、所需车辆数及均衡列车在各区间的满载率方面效果更加显著。

（4）虚拟编组模式在上述方面具有一定的优势，但在列车数方面相较于其他2种模式分别高出88.46%，63.33%。可见，当线路的自动化程度不高或者非无人驾驶模式下将会产生大量的乘务成本，同时，对列车的调度也会带来一定的挑战。

在虚拟编组运行模式下，各个区间的运力匹配较高，乘客满意度更高，车辆利用率更加充分，同时实现了线路上“同等间隔、差异编组”^[18]的运行模式，但这种模式对线路的设施设备具有较高的要求，否则将产生大量的乘务成本，甚至无法实现虚拟编组的运行，因此该模式更加适用于自动化程度高的线路。

4　结束语

以虚拟编组下的城市轨道交通列车开行方案为研究目标，分析虚拟编组下列车编解过程，以此为基础建立开行方案优化模型，通过某城轨线路运行数据进行案例分析，结果表明，虚拟编组可以有效地进行运力匹配，减少乘客等待时间和车辆走行距离。相较于固定编组和多编组运行模式，虚拟编组运行模式在乘客满意度和企业运行成本方面具有显著优势，提高了列车服务水平和运营效率。然而，本研究考虑的情况为每一列列车都发生虚拟联挂解编，未考虑到是否部分列车不需要进行虚拟联挂解编，未来研究可将重点放在列车的虚拟联挂解编策略上。

参考文献

[1] BOCK U， BIKKER G. Design and Development of a Future Freight Train Concept：“Virtually Coupled Train Formations”[J]. IFAC Proceedings Volumes，2000，33(9)：395-400.

[2] SCHUMANN T. Increase of Capacity on the Shinkansen High Speed Line Using Virtual Coupling[J]. International Journal of Transport Development and Integration，2017，1(4)：666-676.

[3] WANG Y， LIU L， LIU J，et al. Carrying Capacity Calculation Method of Regional Rail Transit Line Based on Flexible Train Formation[C]//2020 IEEE 23rd International Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC). September 20-23，2020，Rhodes，Greece. IEEE，2020：1-6.

[4] LIU L， WANG P， WEI W，et al. Intelligent Dispatching and Coordinated Control Method at Railway Stations for Virtually Coupled Train Sets[C]//2019 IEEE Intelligent Transportation Systems Conference (ITSC). October 27-30，2019，Auckland，New Zealand. IEEE，2019：607-612.

[5] 宋志丹，徐效宁，李 辉，等. 面向虚拟编组的列控技术研究[J]. 铁道标准设计，2019，63(6)：155-159.

[6] SONG Zhidan， XU Xiaoning， LI Hui，et al. Study on Virtual-Coupling-Orientated Train Control Technique[J]. Railway Standard Design，2019，63(6)：155-159.

[7] 荀 径，陈明亮，宁 滨，等. 虚拟重联条件下地铁列车追踪运行性能衡量[J]. 北京交通大学学报，2019，43(1)：96-103.

[8] XUN Jing， CHEN Mingliang， NING Bin，et al. Train Tracking Performance Measurement under Virtual Coupling in Subway[J]. Journal of Beijing Jiaotong University，2019，43(1)：96-103.

[9] 曹 源，温佳坤，马连川. 重大疫情下的列车动态编组与调度[J]. 交通运输工程学报，2020，20(3)：120-128.

[10] CAO Yuan， WEN Jiakun， MA Lianchuan. Dynamic Marshalling and Scheduling of Trains in Major Epidemics[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering，2020，20(3)：120-128.

[11] 纪玉清，欧冬秀，常 鸣，等. 列车虚拟编组应用需求及关键技术研究‍[J]. 城市轨道交通研究，2022，25(11)：57-61.

[12] JI Yuqing， Dongxiu OU， CHANG Ming，et al. Research on Application Requirements and Key Technologies of Train Virtual Formation[J]. Urban Mass Transit，2022，25(11)：57-61.

[13] 罗啸林，唐 涛，林炳跃，等. 一种缩短虚拟编组列车追踪间距的鲁棒模型预测控制方法[J]. 铁道学报，2023，45(8)：68-76.

[14] LUO Xiaolin， TANG Tao， LIN Bingyue，et al. A Robust Model Predictive Control Approach for Reducing Following Distance between Virtually Coupled Unit Trains[J]. Journal of the China Railway Society，2023，45(8)：68-76.

[15] 韩宝明，龙宇轩，张 琦，等. 基于虚拟编组的市域列车运行组织优化研究[J]. 都市快轨交通，2023，36(1)：43-50.

[16] HAN Baoming， LONG Yuxuan， ZHANG Qi，et al. Optimization of Suburban Train Operation Organization Based on Virtual Coupling[J]. Urban Rapid Rail Transit，2023，36(1)：43-50.

[17] 赵兴东，王 伟，武紫玉，等. 基于虚拟编组的均衡间隔列车运行图编制研究[J]. 都市快轨交通，2023，36(1)：51-58.

[18] ZHAO Xingdong， WANG Wei， WU Ziyu，et al. Using Virtual Coupling Technology to Develop Train Timetable with Equilibrium Interval[J]. Urban Rapid Rail Transit，2023，36(1)：51-58.

[19] 付 兵，马新源，田婉琪，等. 面向虚拟编组的城市轨道交通运行优化调度方法[J]. 铁道运输与经济，2024，46(1)：124-132.

[20] FU Bing， MA Xinyuan， TIAN Wanqi，et al. Urban Rail Transit Scheduling Optimization Method for Virtual Coupling Trains[J]. Railway Transport and Economy，2024，46(1)：124-132.

[21] 杨安安，孙继营，汪 波，等. 基于虚拟编组技术的大小交路列车开行方案优化‍[J]. 北京交通大学学报，2022，46(4)：9-14.

[22] YANG An'an， SUN Jiying， WANG Bo，et al. Optimization of Virtual-Coupling-Orientated Train Operation Plan Based on Full-Length and Short-Turn Routing[J]. Journal of Beijing Jiaotong University，2022，46(4)：9-14.

[23] 游 婷，马法运，苗 峰，等. 城市轨道交通虚拟编组列车优化运行方案研究[J]. 都市快轨交通，2023，36(1)：36-42.

[24] YOU Ting， MA Fayun， MIAO Feng，et al. Optimal Operation Plan Design for Virtually Coupled Trains in Urban Rail Transit[J]. Urban Rapid Rail Transit，2023，36(1)：36-42.

[25] 李星阳. 城市轨道交通线路列车多编组方案研究[D]. 北京：北京交通大学，2018.

[26] 中华人民共和国住房和城乡建设部. 地铁设计规范：GB 50157—2013 [S]. 北京：中国建筑工业出版社，2014：12.

[27] 白佳薇，张 琦，鲁 放. 城市轨道交通虚拟编组列车快慢车组织方案研究[J]. 都市快轨交通，2022，35(1)：126-133.

[28] BAI Jiawei， ZHANG Qi， LU Fang. Skip-Stop Operation Organization Plan of Virtual Coupling Trains in Urban Rail Transit[J]. Urban Rapid Rail Transit，2022，35(1)：126-133.

[29] 李 伟，陈思倩，周 珺，等. 在线编解模式下城市轨道交通列车灵活编组开行方案优化方法[J]. 中国铁道科学，2024，45(1)：203-214.

[30] LI Wei， CHEN Siqian， ZHOU Jun，et al. Optimization Method of Flexible Train Composition Scheduling in Urban Rail Transit under Online Coupling/Decoupling Mode[J]. China Railway Science，2024，45(1)：203-214.

基金资助

国家自然科学基金项目(72371154)