城际铁路列车开行方案与运行图编制一体化研究

Research on Integrated Compilation of Intercity Railway Train Operation Plan and Working Diagram

摘要

随着城际铁路交通运输网日趋完善与客流量的日益增长，采用列车开行方案和运行图一体化编制可以充分发挥沿线及车站设备能力，提高列车运输计划编制的效率与质量。以旅客出行成本与列车开行成本最小、客流需求与列车匹配度最大为目标，构建一体化编制多目标优化模型，采用改进的免疫克隆算法进行求解。针对一体化模型求解困难的问题，构建列车交路优化模型确定各时段内的列车交路与各交路上的列车开行频率，构造一体化模型的初始解，提高算法的求解效率。以长株潭城际铁路为实例进行验证，结果表明：与原始运营方案相比，旅客出行总成本节约7.7%，铁路运营成本节约10.5%，列车总运行时间减少了0.6 h。在客流高峰时段内，长沙至株洲方向与长沙至湘潭方向列车发车间隔均在12 min内。实例分析验证了模型的科学性与合理性，为实现城际铁路运输组织的协同优化提供理论依据。

Abstract

With the improvement of the intercity railway transportation network and the growth of passenger flows, the integrated compilation of train operation plan and working diagram can give full play to the equipment capacity along the line and at the station and improve the efficiency and quality of train transportation plan compilation. In this paper, to minimize passenger travel cost and train operation cost and maximize passenger demand and train matching degree, a multi-objective optimization model for integrated compilation was constructed and solved by an improved immune cloning algorithm. In view of the difficulty in solving the integrated model, a train routing optimization model was constructed to determine the train routing in each period and the train operation frequency on each route, and the initial solution of the integrated model was obtained to improve the solving efficiency of the algorithm. By taking the Changsha-Zhuzhou-Xiangtan Intercity Railway as an example, the results show that compared with the original operation scheme, the total cost of passenger travel is saved by 7.7%, and the railway operation cost is saved by 10.5%. The total operation time of trains is reduced by 0.6 hours. During the peak hours of passenger flow, the departure interval of trains from Changsha to Zhuzhou and from Changsha to Xiangtan is within 12 min. The science and rationality of the model are verified, which provides a theoretical basis for realizing the cooperative optimization of intercity railway transportation organization.

Graphical abstract

关键词

城际铁路 / 列车开行方案 / 列车运行图 / 一体化编制 / 改进的免疫克隆算法

Key words

Intercity Railway / Train Operation Plan / Train Working Diagram / Integrated Compilation / Improved Immune Cloning Algorithm

0　引言

列车开行方案和运行图是整个城际铁路运输组织的关键，制定符合客流运输需求的列车开行方案和运行图可以充分发挥线路能力，并且最大程度节省城际铁路运营组织的开支费用。但是二者为相对独立的系统，目前列车开行方案制定无法考虑列车运行图的编制难点，列车运行图也难以完美实现列车开行方案，二者之间缺乏良好的反馈机制，造成列车开行方案与列车运行图编制工作进展较为缓慢，难以适应客流的变化需求。既有的研究中，Besinovic等^[1]提出了结合微观与宏观网络模型的分级列车时刻设计框架。针对车辆调度计划与运行时刻表综合优化问题，Fonseca等^[2]构建了双目标规划模型，Carosi等^[3]构建了一种多商品流集成调度模型，Heidari等^[4]构建了双目标规划模型并提出采用\epsilon约束法进行求解。周艳芳等^[5-7]提出城市轨道交通网络运行计划需要进行一体化编制，构建了基于线路多时段列车发车频率的模型，并基于极大代数构建列车运行计划编制优化模型。周文梁等^[8-10]研究了基于客运专线网络的列车开行方案和运行图，并将二者作为整体进行优化建模求解，采用双层规划模型和模拟退火算法取得了合理的结果。秦进等^[11]提出了基于时空网络的城际高速铁路列车开行方案优化方法，孙梦霞等^[12]研究了网络条件下轨道交通开行方案协调优化，孙国锋等^[13-16]研究了客流与列车开行方案的匹配机制，构建了相应的列车交路优化模型，并分析了一体化编制系统的可行性。

可以看出目前城际铁路列车开行方案与运行图一体化编制研究较少，既有研究主要为城际铁路列车开行方案和列车运行图的单独优化，独立编制的方案难以直接使用，容易造成后续工作效率低与结果并未达到预期的情况。现有的一体化编制研究中优化目标除了旅客出行成本和铁路运营成本外，大多考虑运输效率问题，并未涉及到客流需求。本研究将客流需求与列车匹配度最大作为一个研究目标，使得列车开行方案与运行图能够适配当前客流运输的需要。城际铁路列车开行方案与列车运行图的优化问题属于NP-hard问题，现有一体化编制研究求解中忽略了初始解对于问题求解的帮助，并且在一体化研究中并未强调列车交路的优化。以旅客出行成本与列车开行成本最小、客流需求与列车匹配度最大为目标，构建一体化编制多目标优化模型，采用改进的免疫克隆算法求解。在求解过程中，构建了列车交路方案优化模型来简化一体化模型求解，列车交路优化模型采用模拟退火算法进行求解，采用列车交路结果作为其初始解，提高算法的求解效率。

1　问题描述与分析

一体化编制优化目标冲突为列车开行方案自身的冲突，以及列车开行方案与列车运行图之间的冲突。列车开行方案优化目标主要为旅客出行成本和铁路部门收益，但是这二者本身就互为冲突。铁路部门收益主要为客票收益，成本为开行列车所花费的成本等。通常可以通过减少列车开行数量降低成本花费，但会造成旅客候车时间增多。旅客出行成本主要为出行时间和车票支出，通常可通过增开直达列车减少旅客出行时间，但会造成列车开行数量增多。列车运行图优化目标主要是列车总旅行时间最小。但在列车总旅行时间相同的情况下，由于每列列车的实际载客量、列车停站时间与区间运行时间等开行情况不同，旅客总出行成本不同，从而出现列车运行图优化目标已达到最小，但列车开行方案优化目标并未达到最小的情况。对于列车开行方案优化目标自身的冲突，可以引入权重系数将双目标转化为单目标，即追求系统均衡解，来解决其矛盾。列车开行方案与列车运行图的冲突主要是旅客停站时间与列车停站时间的计算，所以如果将客流加载到列车运行线上，已知各列车上的OD客流，则列车运行图中对列车时间的优化可视为对旅客出行时间的优化，能够得到因列车停站造成的旅客停站总时间。

一体化编制约束条件的冲突可分为旅客需求约束、运力资源约束、停站约束的冲突，因此列车开行方案与列车运行图约束条件主要是客流与列车流之间的矛盾。同二者优化目标冲突的解决方式一致，将客流加载到列车运行线上，实现客流与列车流的结合，做到约束客流与约束列车流的同步。此外，列车开行方案通常是考虑满足一个较大时间尺度上的旅客运输需求，而列车运行图需要精确到分钟，因此时间尺度的选择是一体化编制的一项关键。在一个由若干天组成的客流时期中，可以将每一天的客流需求以小时为单位划分成若干个小的客流需求时段，在每一个客流需求时段中，将客流加载到列车运行线中，只要该客流时段中的列车运行线都成功铺画，则表示该时段的客流需求得到了满足，当满足一天内所有客流时段的客流需求，即得到以天为单位的列车运行图和该客流时期的列车开行方案。

下行列车运行线示意图如图1所示。以列车2为例，对如何将客流加载到列车运行线上进行说明。图1为某一客流时段下行方向列车运行图，时间跨度为\left[t_{\mathrm{1}}，t_n\right]，单位为min，将该客流时段记为一个时期，则列车运行图运营总时间可分为n个时期，时期集合T=\left\{T_{\mathrm{1}}，T_{\mathrm{2}}，...，T_n\right\}，时期T_i包含m个时间刻度t_i，T_i=\left\{t_{\mathrm{1}}，t_{\mathrm{2}}，...，t_m\right\}。q_{j,h,m}^i表示时期T_i内的列车t{r}_{i,j}携带起点为s_h站、终点为s_m站的客流量，则单方向运营中不同OD客流组数量为C_{\mathrm{运行}\mathrm{区段}\mathrm{车站}\mathrm{数量}}^{\mathrm{2}}。列车2的运行区段为[\mathrm{A}，\mathrm{D}]，属于站站停列车，可以满足的客流需求区段为A—B，A—C，A—D，B—C，B—D，C—D，共计C_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{6}。列车是否携带该区段的客流可用0-1变量表示，则列车2可编码成[\mathrm{1}，\mathrm{1}，\mathrm{1}，\mathrm{1}，\mathrm{0}，\mathrm{0}，\mathrm{100}，\mathrm{150}，\mathrm{100}，\mathrm{50}，\mathrm{0}，\mathrm{0}]，前六位表示列车是否携带该区段的客流，后六位表示列车2携带了客流需求为A—B的100人，A—C的150人，A—D的100人，B—C的50人，B—D和C—D无客流需求。

除本线列车外，城际铁路列车运行图中还存在跨线列车。跨线列车的存在势必会对区间通过能力、车站能力以及本线列车可选择的开行时间等造成影响，从而影响本线列车运行线的铺画。为解决跨线列车的影响，通常将跨线列车与本线列车进行协调优化。基于跨线列车在各站的到达和发车时间，得到可供本线列车的铺画时间段。

在时段T_i内有跨线列车，基于跨线列车在各站的到达和出发时刻以及各项技术时间指标规定，将时段T_i内的各车站划分为可行时间区域与不可行时间区域。跨线列车影响下本线列车可选时间区间如图2所示，本线列车在在C站可始发终到的时间段为\left[t_{\mathrm{1}}，t_{k\mathrm{1}}\right]，\left[t_{k\mathrm{2}}，t_{k\mathrm{3}}\right]，\left[t_{k\mathrm{4}}，t_n\right]。

2　模型构建

2.1　模型假设

为方便模型构建与算法的设计，在保证合理性的基础上提出假设。

（1）假设所有城际列车编组模式固定，车辆配置相同。

（2）假设线路采用成对列车开行方式。

（3）假设线路与车站各项技术指标参数都固定，不随时间发生变化。

（4）假设提供的客流数据不受各项因素影响。

2.2　参数定义

一体化模型所需的相关参数和变量定义如表1所示。

2.3　目标函数

（1）城际铁路部门运营成本。城际铁路部门的运营费用主要为由固定成本与可变成本构成的开行列车的费用。固定成本是短期内不随列车开行里程变化的费用，可变成本是随列车开行里程变化和停站方案影响的变化费用。

城际铁路列车固定成本C_{\mathrm{1}}和可变成本C_{\mathrm{2}}为

C_{\mathrm{1}}=\sum _{T_i\in T}{\omega }_{\mathrm{1}}{f}_i⑴

C_{\mathrm{2}}=\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}{\omega }_{\mathrm{2}}{L}_{i,j}+\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h\in S}{\mu }_{\mathrm{1}}t(x_{i,j,h}^d，x_{i,j,h}^f)⑵

式中：t(x_{\mathrm{1}}，x_{\mathrm{2}})为两个时刻的时间间隔，min。

⑶

综上，城际铁路运营成本G_{\mathrm{1}}为

G_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{2}}⑷

（2）旅客出行成本。旅客出行成本分为票面费用和间接费用，票面费用按计程制计算，间接费用为旅客在途时间和在站候车时间组成的时间成本。由于旅客到站随时间呈随机分布，为便于计算旅客候车时间，以列车平均发车间隔时间确定。

旅客票面费用C_{\mathrm{3}}和旅客间接费用C_{\mathrm{4}}计算为

C_{\mathrm{3}}=\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h,s_m\in S}{\epsilon }_{\mathrm{1}}{q}_{j,h,m}^i{\mathrm{l}}_{h,m}⑸

t_y=\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h,s_m\in S}{q}_{j,h,m}^{i}t(x_{i,j,h}^f,x_{i,j,m}^d)⑹

t_w=\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h,s_m\in S}\sigma \frac{T_i^z}{f_i}{q}_{j,h,m}^i⑺

C_{\mathrm{4}}={\mu }_{\mathrm{2}}(t_y+t_w)⑻

综上，旅客出行成本G_{\mathrm{2}}为

G_{\mathrm{2}}=\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h,s_m\in S}{q}_{j,h,m}^i\left({\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{l}}_{h,m}+{\mu }_{\mathrm{2}}t(x_{i,j,h}^f,x_{i,j,m}^d)+\sigma \frac{T_i^z}{f_i}\right)⑼

（3）客流需求与列车匹配度。为尽可能多地利用线路运输能力，提高城际铁路运输效率，需要在各个时段开行与客流需求相匹配的列车。采用各时段中的列车满载旅客时的旅客周转量与实际旅客周转量之差表示客流需求与列车匹配度，二者匹配度越高，其差值之和越小。

综上，客流需求与列车匹配度G_{\mathrm{3}}为

G_{\mathrm{3}}=\sum _{T_i\in T}\sum _{s_h,s_m\in S}(PM{f}_i-q_{h,m}^i){\mathrm{l}}_{h,m}⑽

上述3个目标函数都取最小值，为便于后续求解将其转换为单目标函数，总费用Z如公式⑾所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=\alpha G_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\alpha )G_{\mathrm{2}}+\beta G_{\mathrm{3}}⑾

2.4　约束条件

（1）列车发车时间约束。对于不同时段的客流运输需求，列车t{r}_{i,j}在s_h站发车时间x_{i,j,h}^f需要在合理的时段内，此约束表示为

⑿

x_{i,j,h}^f\notin T_{i,h}^k\forall i\in T，h\in S⒀

（2）列车停站约束。当时段T_i内的列车t{r}_{i,j}在s_k站不停站时，该列车上到达此站或从此站出发的客流必须为0；只有列车停站时，列车才能携带与该站相关的客流，此约束表示为

⒁

其中x_{i,j,k}的取值约束为

x_{i,j,k}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{x}_{i,j,k}^d\ne x_{i,j,k}^f\\ \mathrm{0}{x}_{i,j,k}^d=x_{i,j,k}^f\end{array}\right.⒂

（3）列车携带客流数量约束。列车携带的客流量需要在一个合理的数量区间，当携带客流量过多时，为保证各列车载客量的均衡性和列车容量限制，单一列车不能携带全部的客流，造成客流的不均衡运输，此约束表示为

q_{j,h,m}^i\le \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{q}_{h,m}^i，PM\right\}\forall i\in T，h，m\in S⒃

（4）客流量守恒约束。时段T_i内s_h站至s_m站的客流总量与该时段内所有列车携带的该组客流量之和相同，此约束表示为

q_{h,m}^i={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}{q}_{j,h,m}^i\forall i\in T，h，m\in S⒄

（5）列车开行对数约束。列车开行对数必须满足客流需求，此约束表示为

f_i\ge \frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{q_{h,m}^i\right\}}{PM}\forall i\in T，h_{}，m\in S⒅

（6）车站能力约束。所有开行的列车总数之和不能超过车站一天始发和通过的最大列车数，此约束表示为

\sum _{T_i\in T}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{f_i}}\sum _{s_h\in S}{x}_{i,j,h}\le Q_{h,cz}⒆

（7）区间通过能力约束。所有开行的列车总数之和不能超过城际铁路系统一天通过的最大列车数，此约束表示为

\sum _{T_i\in T}{f}_i\le Q_{qj}⒇

（8）列车始发、终到站约束。所有列车必须满足其始发站、终到站具有始发终到能力。若列车t{r}_{i,j}的始发站为s_{h^{\mathrm{*}}}，终到站为s_{m^{\mathrm{*}}}，此约束表示为

(21)

(22)

（9）列车区间运行时分约束。列车区间运行时分由列车在相邻两站的停车情况与区间纯运行时间组成，此约束表示为

t(x_{i,j,h}^f,x_{i,j,h+\mathrm{1}}^d)=x_{i,j,h}{t}_{\mathrm{起}}+t_{h,h+\mathrm{1}}^{\mathrm{纯}}+x_{i,j,h+\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{停}}\forall i\in T，h\in S(23)

（10）列车追踪间隔时分约束。列车追踪间隔时分需要符合列车的作业技术时间标准，此约束表示为

t(x_{i,j,h}^d，x_{i,j+\mathrm{1},h}^d)\ge x_{i,j,h}{I}_d+(\mathrm{1}-x_{i,j,h})I_{zz}\forall i\in T，h\in S(24)

t(x_{i,j,h}^f，x_{i,j+\mathrm{1},h+\mathrm{1}}^f)\ge x_{i,j+\mathrm{1},h+\mathrm{1}}{I}_f+(\mathrm{1}-x_{i,j+\mathrm{1},h+\mathrm{1}})I_{zz}\forall i\in T，h\in S(25)

（11）车站追踪间隔时分约束。本研究暂不考虑列车在车站的会车、越行情况。车站追踪间隔时分考虑不同时到发时间间隔和不同时发到时间间隔，此约束表示为

t(x_{i,j,h}^d，x_{i,j+\mathrm{1},h}^f)\ge {\tau }_{df}\forall i\in T，h\in S(26)

t(x_{i,j,h}^f，x_{i,j+\mathrm{1},h}^d)\ge {\tau }_{fd}\forall i\in T，h\in S(27)

3　算法设计

城际铁路列车开行方案与列车运行图一体化编制问题属于NP-hard问题，该问题的求解主要采用启发式算法，如遗传算法、蚁群算法等。由于免疫克隆算法不受目标函数以及维数的限制，能有目的性地利用所求问题的特征信息，以抑制在算法迭代过程中退化现象的产生，且可以在保留上一代最佳个体的前提下，在算法迭代过程中实现整体收敛，从而较好地解决优化问题。因此针对一体化模型特点，采用改进的免疫克隆算法进行求解。改进内容分为2部分：一是初始抗体种群的生成(初始解)不再是随机生成，而是以列车交路方案结果生成，以此提高算法的收敛速度；二是在免疫克隆、变异和选择的过程中实现“自适应”，各操作次数等随着算法的进行程度动态变化，例如随着抗体与抗原的亲和度增加，抗体的克隆数量会不断增加。

3.1　列车交路模型构建

以列车开行频率f_i与各列车开行区段初始设置为例，二者与诸多约束条件有关联，初始设置极有可能造成后续求解的困难，若列车开行频率f_i的设置不合理，可能在求解过程中使得f_i增加，造成列车数量的增大，由于列车数目的增加，其涉及x_{i,j,h}^f，x_{i,j,h}^d与q_{j,h,m}^i数量也进一步增加，从而大幅增加决策变量规模，由于一体化模型约束条件过多，可能导致解变为不可行解，造成算法提前终止。此外f_i的变化趋势与变化幅度并不可知，极易造成算法不收敛。

以此为思路，在一体化模型求解前，先构建列车交路优化模型求得同样客流需求下的列车交路、将此结果作为一体化模型初始解的一部分，即确定了初始的列车开行频率f_i与各列车的始发、终到站，从而保证一体化模型在求解过程中f_i保持相对稳定的状态，提高后续求解的速度。

3.1.1　参数定义

列车交路模型假设采用一体化模型相同的假设，列车交路模型中增加的参数定义如表2所示。

3.1.2　目标函数分析

列车交路模型与一体化模型的目标相同，但是计算方式不同，列车交路模型主要计算交路r_p中铁路部门运营成本、旅客出行成本和客流需求与列车匹配度。

（1）城际铁路部门运营成本。

列车固定成本C_{\mathrm{1}}为

C_{\mathrm{1}}=\sum _{r_p\in R}{\omega }_{\mathrm{1}}{f}_{r_p}(28)

列车变动成本C_{\mathrm{2}}为

C_{\mathrm{2}}=\sum _{r_p\in R}\sum _{l_q\in L}{\omega }_{\mathrm{2}}{f}_{r_p}\sigma (r_p，l_q)d(l_q)(29)

综上，铁路部门运营成本G_{\mathrm{1}}为

G_{\mathrm{1}}=C_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{2}}(30)

（2）旅客出行成本。

旅客出行票面费用C_{\mathrm{3}}为

C_{\mathrm{3}}=\sum _{s_i,s_j\in S}{\epsilon }_{\mathrm{1}}{q}_{i,j}{l}_{i,j}(31)

在第k条路径上的s_i站至s_j站的旅客候车时间t_{i,j,k}^H和旅客所花费的总时间t_{i,j,k}为

t_{i,j,k}^H=\frac{{\tau }_H}{\sum _{r_p\in R}{\sigma }_{i,j}^k(r_p，s_i)\cdot f_{r_p}}(32)

t_{i,j,k}=t_{i,j,k}^H+t_{i,j,k}^C(33)

旅客出行间接费用C_{\mathrm{4}}为

C_{\mathrm{4}}=\sum _{s_i,s_j\in S}\sum _{k\in K}{\epsilon }_{\mathrm{2}}{q}_{i,j,k}{t}_{i,j,k}(34)

旅客出行成本G_{\mathrm{2}}为

G_{\mathrm{2}}=C_{\mathrm{3}}+C_{\mathrm{4}}=\sum _{s_i,s_j\in S}\left({\epsilon }_{\mathrm{1}}{q}_{i,j}{l}_{i,j}+\sum _{k\in K}{\epsilon }_{\mathrm{2}}{q}_{i,j,k}\left(t_{i,j,k}^H+t_{i,j,k}^C\right)\right)(35)

（3）客流需求与列车匹配度。

此优化目标与2.3一致，具体表达形式为

G_{\mathrm{3}}=\sum _{r_p\in R}\sum _{l_q\in L}PM{f}_{r_p}\sigma (r_p，l_q)d(l_q)-\sum _{s_i,s_j\in S}{q}_{i,j}{l}_{i,j}(36)

通过上述分析，城际铁路列车交路优化模型为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=\alpha G_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\alpha )G_{\mathrm{2}}+\beta G_{\mathrm{3}}(37)

3.1.3　约束条件分析

（1）客流量守恒约束。s_i站至s_j站的总客流量等于所有s_i站至s_j站各路径上的客流量，也等于所有列车上s_i站至s_j站的客流量，此约束表示为

q_{i,j}=\sum _{k\in K}{q}_{i,j,k}=\sum _{t\in T}{q}_{i,j,e}(38)

（2）列车停站约束。当列车e在s_j站不停站时，则该列车上到达此站或从此站出发的客流必须为0，此约束表示为

(39)

（3）各断面的通过能力及服务水平约束。城际铁路列车开行数量必须保持在一个合理的区间范围内，此约束表示为

f_{l_q,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le \sum _{r_p\in R}{f}_{r_p}\sigma (r_p，l_q)\le f_{l_q,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall l_q\in L(40)

（4）区段交路数约束。为保证所有的列车区段都能被列车交路所覆盖，需要对区段上的交路数进行约束，此约束表示为

\sum _{r_p\in R}\sigma (r_p，l_q)\ge \mathrm{1}\forall l_q\in L(41)

（5）线路交路数约束。城际铁路线路的交路数必须保持在一个合理的区间范围内，此约束表示为

r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le \sum _{r_p\in R}{x}_{r_p}\le r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(42)

（6）车底运用数量约束。城际列车可用车底数不能超过限定值，此约束表示为

{\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^{n_r}}{f}_{r_p}(t_{r_p,u}+t_{r_p,d})+{\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^{n_r-\mathrm{1}}}\left|f_{r_p+\mathrm{1}}-f_{r_p}\right|\cdot t_{r_p,z}\le N_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(43)

（7）客流运输需求约束。列车总运输能力要满足其交路上所有的客流需求，此约束表示为

\sum _{s_i,s_j\in S}\sum _{k\in K}{q}_{i,j,k}{\sigma }_{i,j}^k(r_p，l_q)\le \gamma PM{f}_{r_p}\forall l_q\in L，\forall r_p\in R(44)

其中{\sigma }_{i,j}^k(r_p，s_i)，\sigma (r_p，l_q)，{\sigma }_{i,j}^k(r_p，l_q)与x_{r_p}均可由f_{r_p}得到。所以列车交路优化模型的求解重点为决策变量f_{r_p}，利用模拟退火算法进行求解。

步骤1：抗体编码。抗体可以完整表示为列车运行线和列车所携带的各区段客流量，具体编码形式为A_k=(T_d，T_f，Q)。

步骤2：抗体种群P的初始化。基于城际铁路列车交路方案优化模型求解结果，对抗体种群进行特定初始化。城际铁路列车交路优化模型采用模拟退火算法进行求解，依据各时段客流需求对其进行列车的分配。

步骤3：亲和度计算。本模型的目标函数是求取最小值，而抗体与抗原适配度是呈正相关，所以亲和度计算公式为

A(A_k)=\frac{\gamma }{Z(A_k)}(45)

式中：Z(A_k)为抗体A_k解码后的目标函数值；\gamma为常数。

步骤4：抗体克隆操作。为该抗体种群中需要进行克隆操作的抗体数量。

步骤4.1：计算该抗体种群中所有抗体的亲和度。

步骤4.2：根据抗体亲和度的大小，将抗体按从大至小的顺序进行排列，然后将各抗体进行顺序编号\mathrm{1}~N，因此A(A_{\mathrm{1}})\ge A(A_{\mathrm{2}})\ge ...\ge A(A_N)。

步骤4.3：通过下式计算确定各抗体的克隆数量，i为步骤4.2中的编号，i\in [\mathrm{1}，N]，当i值越小，说明抗体A_i的亲和度A\left(A_i\right)值越大，则q_i越大，说明该抗体的克隆数量是随着亲和度的提高而增加的。改进算法的克隆选择“自适应”也表现于此。

q_i=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(q_{max}\cdot \left(\mathrm{1}-\frac{i}{N}\right)，q_{min}\right)(46)

式中：q_i为各抗体的克隆数量；q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大的抗体克隆数量；q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最小的抗体克隆数量。

步骤5：抗体变异操作。变异操作是改变列车在各站的到、发车时间，从而改变各列车的停站方案，具体采用发车时间增加或减少的替换操作；客流量可采用替换、交换的变异操作。变异概率计算如公式 所示。

p_i=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(p_{max}\cdot \left(\mathrm{1}-\frac{m}{M}\right)，p_{min}\right)(47)

式中：p_i为抗体变异概率；p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大的抗体变异概率；p_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最小的抗体变异概率；m为当前抗体种群的进化次数；M为抗体种群的最大进化次数。

步骤6：抗体选择操作。将原抗体种群和新抗体种群中的抗体按亲和度由大到小顺序排列，选出新抗体种群的前k个抗体替换原抗体种群的后k个抗体，选择抗体替换的数量k为

k=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(k_{max}\cdot \left(\mathrm{1}-\frac{m}{M}\right),k_{min}\right)(48)

式中：k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大的抗体选择数量；k_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最小的抗体选择数量。

步骤7：终止判断。在设定的迭代次数内，若本次得到的最优抗体种群与前次的最优抗体种群相同，则算法终止；若不同，则继续进行迭代计算。在完成设定的迭代次数时，算法终止。

4　算例分析

长株潭城际铁路连接了长沙市、株洲市与湘潭市，线路全长105 km，共设有24个车站，运营速度160 km/h，长株潭城际铁路线路图如图3所示。长株潭城际铁路目前采用“公交化”运营模式，开行麓谷至长沙、麓谷至株洲南、麓谷至湘潭、长沙至株洲南、长沙至湘潭的列车。长株潭城际铁路的投入运营，对促进沿线站点周边区域经济发展、方便群众出行有重大积极作用，加快了长株潭城市化进程，提高了长株潭城市群资源整合能力。

以长株潭城际铁路为研究对象，取客流高峰时段数据作为验证城际铁路列车开行方案与运行图一体化编制优化模型的实验数据。

考虑到长株潭城际铁路客流特征与列车运营特点，取长株潭城际铁路下行方向客流高峰期(6：50—8：30)作为研究对象，将路线分为麓谷—株洲南和麓谷—湘潭两条线路，由于暮云站、九郎山站、昭山站和荷塘站单日客流量不足100人，所以在客流高峰时期不考虑列车在这些站的停站方案。通过整理可得长株潭城际铁路高峰时段各区段断面客流量如表3所示。

结合城际铁路运营设计要求及长株潭城际铁路实际运营情况，对城际铁路列车开行方案与运行图一体化编制优化模型相关数据、参数等进行合理配置，模型参数设置如下：列车固定成本6 000元/列，列车变动成本75元/km，列车定员为250人，列车运行速度为160 km/h，车站可同时进行旅客乘降人数5 000人，车站一天始发和通过的最大列车数为160列，单一列车携带的客流上限权重系数{\alpha }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为0.85，起停车附加时分1 min，列车追踪间隔时间和列车不同时到发、发到时间间隔都为3 min，列车时间转换费用系数和旅客时间转换费用系数分别为569.1和2.38，票价率0.5，旅客成本和效能费用权重系数都为0.6。

一体化编制模型采用的改进免疫克隆算法参数设置如下：最大进化次数M=80，抗体克隆最小数量q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和最大数量q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为3和12，抗体变异最小概率p_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和最大概率p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为0.2和0.8，列车交路优化模型参数取一体化编制模型参数设置。

列车交路优化模型采用模拟退火算法进行求解，算法求解参数设置如下：初始温度100，终止温度0.5，Mapkob长度800，温度下降函数t_{k+\mathrm{1}}=\gamma t_k，下降系数\gamma为0.95。

本实例验证使用设备为Intel Core i5、2.30 GHz处理器与8 GB内存的计算机，模型算法采用数学软件编程实现。列车交路优化模型求解结果如表4所示。

长株潭城际铁路高峰时段列车交路模型收敛情况如图4所示。

以上表明在温度下降次数为104时，算法停止，目标函数在温度下降次数为18、38处下降明显，在温度下降次数为61处达到收敛，此时目标函数为261 567元。此时麓谷—株洲南、麓谷—湘潭间均采用大小交路，列车开行区段与开行频率如表5所示。

基于长株潭城际铁路高峰时段的列车交路可构造抗体大小为12的初始种群。改进的免疫克隆算法设置额定时间为3 h，额定迭代次数为100 次。长株潭城际铁路一体化模型收敛情况如图5所示。

由图5可知，长株潭城际铁路一体化模型在迭代次数为36时，目标函数达到收敛，其最优值为348 596元。将一体化模型目标函数最优时对应的抗体种群进行解码，并整理数据可得到以下结论。

在客流高峰时段内，总计开行12列列车，开行站站停列车4列，择站停列车8列，优化后列车运行图如图6所示，列车停站类型与开行频率如表6所示。

长株潭城际铁路原运营方案与一体化编制优化模型指标对比如表7所示。

指标对比说明采用一体化编制优化模型能够在满足客流需求的前提下，旅客出行总成本节约7.7%，铁路运营成本节约10.5%，列车总运行时间减少了0.6 h。在客流高峰时段内，长沙至株洲方向与长沙至湘潭方向列车发车间隔均在12 min内，符合长株潭城际铁路公交化开行模式。以上结果证明了一体化编制优化模型具有一定的合理性。

5　结束语

研究提出一种城际铁路列车开行方案与列车运行图一体化编制方法，解决传统静态客流需求下分阶段编制列车运输计划所造成的列车开行方案与运行图不匹配问题。在综合考虑城际铁路运力配置与客流需求的前提下，构建以旅客出行与铁路部门成本最小和客流与列车匹配度最大为目标的一体化编制优化模型。针对一体化模型求解困难问题，采用列车交路优化模型求得的结果构造一体化模型初始解，降低一体化模型初始解的构造难度，并提高其求解速度。通过对长株潭城际铁路客流高峰时段下行方向实际数据的案例研究，证明了本研究提出的一体化模型能够有效地降低旅客出行成本和铁路运营成本，缩短列车总运行时分，满足高峰时段下旅客出行需求与保证列车运行图的质量。未来可针对跨线列车数量较多并与本线列车存在大量冲突的场景进行研究，并设计求解一体化模型更准确快速的算法。

参考文献

[1] BEŠINOVIĆ N， GOVERDE R M P， QUAGLIETTA E，et al. An Integrated Micro-Macro Approach to Robust Railway Timetabling[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2016，87：14-32.

[2] FONSECA J P， VAN DER HURK E， ROBERTI R，et al. A Matheuristic for Transfer Synchronization through Integrated Timetabling and Vehicle Scheduling[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2018，109：128-149.

[3] CAROSI S， FRANGIONI A， GALLI L，et al. A Matheuristic for Integrated Timetabling and Vehicle Scheduling[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2019，127：99-124.

[4] HEIDARI M， HOSSEINI-MOTLAGH S M， NIKOO N. A Subway Planning Bi-Objective Multi-Period Optimization Model Integrating Timetabling and Vehicle Scheduling：A Case Study of Tehran[J]. Transportation，2020，47(1)：417-443.

[5] 周艳芳. 城市轨道交通网络列车运行计划一体化编制理论与方法研究[D]. 北京：北京交通大学，2012.

[6] 吴婷婷. 基于客流匹配的城市轨道交通列车开行方案与运行图一体化编制研究[D]. 成都：西南交通大学，2019.

[7] 刘　璐，孟令云，李新毅，等. 考虑旅客需求的停站方案与列车运行图一体化模型与算法[J]. 铁道科学与工程学报，2019，16(2)：518-527.

[8] LIU Lu， MENG Lingyun， LI Xinyi，et al. Integrated Optimization of Stopping Pattern and Train Timetable for Passenger Demand[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2019，16(2)：518-527.

[9] 周文梁，史　峰，陈　彦，等. 客运专线网络列车开行方案与运行图综合优化方法[J]. 铁道学报，2011，33(2)：1-7.

[10] ZHOU Wenliang， SHI Feng， CHEN Yan，et al. Method of Integrated Optimization of Train Operation Plan and Diagram for Network of Dedicated Passenger Lines[J]. Journal of the China Railway Society，2011，33(2)：1-7.

[11] 石敏涵，吕红霞，倪少权，等. 考虑要素协同的高铁列车运行图双层优化模型[J]. 交通运输工程与信息学报，2022，20(2)：125-135.

[12] SHI Minhan， Hongxia LYU， NI Shaoquan，et al. Bilevel Optimization Model for High Speed Railway Train Operation Diagram Considering Multifactor Cooperation[J]. Journal of Transportation Engineering and Information，2022，20(2)：125-135.

[13] 李天琦，聂　磊，谭宇燕. 基于换乘接续优化的高铁周期性列车运行图编制研究[J]. 铁道学报，2019，41(3)：10-19.

[14] LI Tianqi， NIE Lei， TAN Yuyan. Study on Cyclic Timetable Generation of High Speed Rail Based on Transfer Connection Optimization[J]. Journal of the China Railway Society，2019，41(3)：10-19.

[15] 秦　进，谭宇超，张　威，等. 基于时空网络的城际高速铁路列车开行方案优化方法[J]. 铁道学报，2020，42(2)：1-10.

[16] QIN Jin， TAN Yuchao， ZHANG Wei，et al. Train Planning Optimization for Intercity Railway Based on Space-Time Network[J]. Journal of the China Railway Society，2020，42(2)：1-10.

[17] 孙梦霞，倪少权，吕红霞. 网络条件下轨道交通开行方案协调优化研究[J]. 交通运输工程与信息学报，2020，18(1)：26-33，60.

[18] SUN Mengxia， NI Shaoquan， Hongxia LYU. Rail Transit Optimization for Train Operation Plan under Network Operation[J]. Journal of Transportation Engineering and Information，2020，18(1)：26-33，60.

[19] 孙国锋，景　云，马亚雯. 考虑旅客多维出行需求的动态列车开行方案优化[J]. 铁道学报，2022，44(11)：10-18.

[20] SUN Guofeng， JING Yun， MA Yawen. Optimization of Dynamic Train Line Planning Considering Multi-Dimensional Travel Demand of Passengers[J]. Journal of the China Railway Society，2022，44(11)：10-18.

[21] 李　科，李　刚，吕红霞. 列车开行方案与客流需求的匹配性评估与优化研究[J]. 铁道科学与工程学报，2022，19(7)：1830-1837.

[22] LI Ke， LI Gang， Hongxia LYU. Matching Evaluation and Optimization of Train Operation Plan and Passenger Flow Demand[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2022，19(7)：1830-1837.

[23] 李文卿，倪少权，杨渝华，等. 基于开行方案的高速铁路客流分配方法研究[J]. 铁道学报，2021，43(3)：1-8.

[24] LI Wenqing， NI Shaoquan， YANG Yuhua，et al. Research on Passenger Flow Assignment Method of High-Speed Railway Based on Line Plan[J]. Journal of the China Railway Society，2021，43(3)：1-8.

[25] 孟宇坤，钱广民，常　利，等. 基于客流匹配的城市轨道交通列车运行图优化研究[J]. 铁道运输与经济，2024，46(9)：185-194.

[26] MENG Yukun， QIAN Guangmin， CHANG Li，et al. Optimization of Urban Rail Transit Train Diagram Based on Passenger Flow Matching[J]. Railway Transport and Economy，2024，46(9)：185-194.

基金资助

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(K2023X030)