低碳视角下城市轨道交通列车交路运行方案优化研究

Optimization of Train Routing Operation Scheme of Urban Rail Transit from the Perspective of Low Carbon

摘要

从低碳视角出发，针对城市轨道交通列车交路运行方案进行优化研究。考虑到城市轨道交通客流分布不均衡性，提出采用大小交路运营模式，以缓解中心城区运力紧张、提高服务质量，并减少碳排放，促进城市低碳发展。以全线乘客总候车时间、列车的行车公里以及碳排放量最小化为目标，建立多目标优化模型；通过假设和约束条件的设定，综合考虑了乘客出行体验、列车运营成本、碳排放量和列车满载率等因素，采用麻雀优化算法求解模型；通过案例分析，对比了大小交路方案与单一交路方案的运营效果。结果表明，优化发车频率和起始站点得出的运营方案，最多减少总候车时间45 197.5 s，最多减少碳排放量601 192 kg，运输效率略有下降，最大断面满载率最多下降15%。

Abstract

From the perspective of low carbon, this paper optimized the train routing operation scheme of urban rail transit. Considering the unbalanced distribution of passenger flow in urban rail transit, this paper proposed to adopt the long and short routing operation mode to alleviate the shortage of transportation capacity in the central urban area, improve the service quality, reduce carbon emissions, and promote the low-carbon development of the city. In this paper, a multi-objective optimization model was established to minimize the total passenger waiting time on the entire railway line, the distance travelled by vehicles, and the carbon emission of trains. Through the setting of assumptions and constraints, factors such as passenger travel experience, train operation cost, carbon emissions, and full load rate of trains were comprehensively considered. The sparrow optimization algorithm was used to solve the model, and the operation effects of the long and short routing schemes and the single routing scheme were compared through case analysis. The results show that the operation scheme obtained by optimizing the departure frequency and the starting station can reduce the total waiting time of passengers by up to 45 197.5 s and cut down the carbon emissions by up to 601 192 kg. The transportation efficiency decreases slightly, and the full load rate of the maximum section decreases by up to 15%.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 列车运行交路方案 / 大小交路 / 麻雀优化算法 / 低碳

Key words

Urban Rail Transit / Train Routing Operation Scheme / Long and Short Routing / Sparrow Optimization Algorithm / Low Carbon

0　引言

城市轨道交通面临的挑战主要来源于不同区域交通需求的不均衡，中心城区需求大而近郊需求小，导致运力不足和资源浪费。优化列车运行交路，特别是早高峰时段，通过大小交路运营增加高需求区间的发车频率，有助于缓解运力紧张问题，提升服务质量。同时，随着气候变化和碳排放问题的加剧，城市轨道交通的低碳转型显得尤为重要。

国内外很多学者对列车运行交路方案优化进行了研究。Chang等^[1]提出了一个旨在最小化运营商总运营成本和最小化乘客总损失时间的多目标规划模型，其中损失时间指的是因列车在乘客不上车也不下车的中间站停车而损失的时间，Cadarso等^[2]建立了一个混合整数线性规划模型，在模型中考虑了乘客的舒适度，Deng等^[3]建立了多目标大小交路方案优化模型，通过设计三阶段求解方法来求解，这些研究者均使用实际铁路线路为案例，证明了优化方法的可行性和有效性。沈强等^[4]通过分析西安市地铁6号线的客流数据，考虑乘客二次候车的情况，确定了大小交路的最优折返站和编组方案，显著降低了乘客候车时间和运营成本。

研究者们根据不同的运营需求和实际情况，构建了多样化的目标函数和约束条件。例如，贾斌等^[5]以最小化滞留乘客数、客流控制人数、列车运行时间，并最大化列车资源利用率为目标；王磊等^[6]以各区间列车运输能力与断面客流量差值的绝对值之和最小为优化目标；杨安安等^[7]以列车运营里程最小为目标；周佳莹等^[8]、只巍等^[9]则以最小化乘客出行成本及运输企业运营成本为优化目标，建立不同的运行方案优化模型。周佳莹等^[8]采用遗传算法优化列车开行方案，有效减少了乘客候车时间和在车时间，提升了乘客出行体验，只巍等^[9]研究了基于乘客出行特征的列车开行方案，提出大小交路结合的运营模式，有效匹配了乘客出行需求和运力供给。戴延泽等^[10]将乘客出行成本、列车运行的碳排放量以及企业运营成本作为优化目标，构建了考虑碳排放的交路优化模型。遗传算法作为一种有效的求解工具，在列车运行交路方案优化中得到了应用。在模型求解方面，Sun等^[11]利用改进遗传算法求解高速铁路列车开行方案模型，凌俊等^[12]结合权重系数变换法和遗传算法求解城市轨道交通非高峰期列车交路方案，蒋伟等^[13]使用嵌套遗传算法求解多编组开行方案优化问题，证明了算法在处理双层规划模型中的有效性。

在现有关于城市轨道交通运营优化的研究中，尽管众多学者已深入探讨了如何通过调整发车频率、车辆编组以及确定小交路起始站等手段来提升乘客的出行体验并降低运营成本，但较少有研究将碳排放纳入综合优化的考量中。为弥补这一不足，以城市A的一条连接城市中心和郊区的地铁线路为实例，通过综合优化小交路起始站的确定与发车频率的组合，实现乘客总候车时间最短、列车运行公里数最少以及列车碳排放量最低的多重目标；构建一套列车运行方案的优化模型，该模型将充分考虑乘客出行效率、列车运营效率以及环保减排需求；采用麻雀优化算法(Sparrow Search Algorithm，SSA)对模型进行求解，以期望在提高乘客出行体验的同时，实现运营成本的最小化和碳排放的有效控制，从而提升城市轨道交通的服务质量和运营效率，也为城市绿色交通和可持续发展做出贡献。

1　问题描述

1.1　大小交路概念

大交路指列车在线路的2个终点站之间运行的路径，小交路指列车在线路的部分区段往返运行，在具备折返功能的车站折返，大小交路运行路线示意图如图1所示，假设所有车站均具备折返能力，建立数学规划模型来求解最优的大小交路运行方案，包括小交路的起点S_a和终点S_b、大交路的起点S_{\mathrm{1}}和终点S_n、大交路发车频率f_{\mathrm{1}}和小交路发车频率f_{\mathrm{2}}。

1.2　模型假设

通过做出以下假设来简化实际运营情况，进行建模：①仅研究轨道交通路线为直线型的线路的列车运行方案；②列车在每个车站都可以折返；③列车在运行过程中不存在跨站停车的情况；④研究中用到的列车都是同种型号且编组情况相同；⑤碳排放计算基于列车的能耗数据和碳排放因子；⑥乘客均能在到达后登上第一辆到达的列车；⑦列车的发车间隔均匀且恒定。

2　模型与算法

2.1　模型建立

2.1.1　客流类型

为简化全线乘客的总候车时间的计算，基于乘客的出行OD差异，将客流划分为6类，客流分类示意如图2所示，以上行方向为例进行展示，下行方向同理。图2中，S为线路上车站的集合，S=\left\{S_h|h=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdots ，a，\cdots ，b，\cdots ，n\right\}；S_a和S_b为小交路折返站，车站编号关系满足；f_i为大小交路形式下列车交路i的发车频率，对/h；i为1代表大交路，为2代表小交路。

Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅵ类客流由于其起点位于大交路，故仅有大交路列车可以搭载，发车频率为f_{\mathrm{1}}^[14]。

Ⅱ类客流出发的区段既有大交路列车也有小交路列车，也就是其出行OD均位于小交路区段\left[s_a，s_b\right]，因此其既可搭载大交路列车，又可搭载小交路列车，由于乘客通常倾向于搭载先到达站台的列车，故发车频率为大小交路发车频率之和，即f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}。

Ⅴ类客流从小交路区段出发，在大交路区段下车，乘客存在2种选择，一是搭载大交路列车直达，二是先搭载小交路列车然后换乘大交路列车到达目的地。无论乘客选择哪种方式，都需要乘坐大交路列车，故该类客流的发车频率为f_{\mathrm{1}}。

综上，只有出行OD均位于区段\left[s_a,s_b\right]的乘客可乘坐列车的发车频率为f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}，其他乘客可乘坐列车的发车频率均视为f_{\mathrm{1}}。

2.1.2　目标函数

研究中，列车交路运行方案的优化主要从低碳和乘客体验的双重视角出发，目标函数的构建旨在实现运营效率与环境效益的平衡。目标函数包括3方面：①最小化乘客总候车时间，提升乘客的出行体验；②最小化列车的行车公里，降低运营成本；③最小化碳排放量，助力轨道交通系统绿色低碳发展。这三者共同作用，以实现城市轨道交通系统在满足出行需求的同时，最大限度地减少对环境的影响。

（1）总候车时间。已有研究表明，城市轨道交通行车间隔较小，在高峰时段乘客的到达服从泊松分布，概率函数如公式⑴所示，期望如公式⑵所示。

P(X=k)=\frac{({\mathrm{e}}^{-\lambda }\cdot {\lambda }^k)}{k!}⑴

E(X)=\lambda⑵

式中：k为单位时间内到达的乘客人数，人；\lambda为单位时间内的平均到达率。

因此，在列车到达时，乘客的平均候车时间如公式⑶所示。

\overline{t}=\frac{{\int }_{\mathrm{0}}^I\lambda (t_{\mathrm{0}}-t)\mathrm{d}t}{{\int }_{\mathrm{0}}^I\lambda \mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}_{\mathrm{0}}⑶

式中：t_{\mathrm{0}}为发车间隔，s。

出行位于小交路的乘客候车时间如公式⑷所示，其他乘客的平均候车时间如公式⑸所示。

t_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{60}}{f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}}⑷

式中：t_{\mathrm{1}}为出行OD均位于小交路覆盖区段的乘客平均候车时间，s。

t_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{60}}{f_{\mathrm{1}}}⑸

式中：t_{\mathrm{2}}为出行OD均位于小交路覆盖区段外及出行O点或D点位于小交路覆盖区段外的乘客平均候车时间，s。

由此计算总候车时间，如公式⑹所示

z_{\mathrm{1}}=Q_{\mathrm{1}}\times t_{\mathrm{1}}+Q_{\mathrm{2}}\times t_{\mathrm{2}}⑹

式中：z_{\mathrm{1}}为乘客的总候车时间，s。

（2）行车公里。列车的行车公里计算如公式⑺所示。

z_{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{2}\times ⌊\frac{T_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{1}}⌋\times L_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}\times ⌊\frac{T_{\mathrm{2}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{2}}⌋\times L_{\mathrm{2}}\right)⑺

式中：⌊\frac{T_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{1}}⌋为大交路列车的开行数量；L_{\mathrm{1}}为大交路的行车公里，km；⌊\frac{T_{\mathrm{2}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{2}}⌋为小交路列车的开行数量；L_{\mathrm{2}}为小交路的行车公里，km。

（3）碳排放量。通过查找相关文献及规定^[10，15-16]可知，每发1 kW∙h电需要0.345 g标准煤，标准煤燃烧值为29.3 MJ/kg，原煤排放系数为94 600 TJ/kg(以CO₂计)。将列车的总能耗分为列车牵引产生的能耗与辅助系统产生的能耗。

依照文献，辅助系统需要的能耗主要包含照明系统、空调系统、信号系统产生的能耗。其中照明系统的能耗计算如下。

P_{\mathrm{1}}=\mathrm{单节}\mathrm{车厢}\mathrm{灯具}\mathrm{数}\times \mathrm{车厢}\mathrm{节数}\times \mathrm{40}⑻

空调系统的能耗计算如下。

P_{\mathrm{2}}=\mathrm{车厢}\mathrm{内表}\mathrm{面积}\times \mathrm{2}\times \mathrm{车厢}\mathrm{内外}\mathrm{温度}\mathrm{差}\times \mathrm{3}\times \mathrm{车厢}\mathrm{节数}⑼

信号系统的能耗计算如下。

P_{\mathrm{3}}=\mathrm{车厢}\mathrm{节数}\times \mathrm{2}\times \mathrm{230}⑽

列车牵引功率使用运动学方法求解。其中粘着系数的经验公式如公式⑾所示，粘着牵引力的计算如公式⑿所示，基本单位阻力的计算如公式⒀所示。

{\mu }_j=\mathrm{0.24}+\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{100}+\mathrm{8}v}⑾

F_{\mu }=P_{\mu }\times g\times {\mu }_j⑿

{\omega }_{\mathrm{0}}=A+Bv+C{v}^{\mathrm{2}}⒀

式中：v为列车运行速度，km/h，由两站之间的路程/时间求出；P_{\mu }为粘着质量，t。

得到计算每两站之间牵引力做的功为

W_x={\int }_{\mathrm{0}}^x\left(F_{\mu }+{\omega }_{\mathrm{0}}\times P_{\mu }\times g\right)\mathrm{d}x⒁

式中：x是两站之间的距离，km。

由此计算列车运行的碳排放总量为

z_{\mathrm{3}}=T\cdot \left(f_{\mathrm{1}}\cdot {\displaystyle \sum _{x=l_{\mathrm{1,2}}}^{l_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}-\mathrm{1},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}}}{W}_x+f_{\mathrm{2}}\cdot {\displaystyle \sum _{x=l_{a,a+\mathrm{1}}}^{l_{b-\mathrm{1},b}}}{W}_x\right)+\left[\left(f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}\right)\cdot T\cdot \left(P_{\mathrm{1}}+P_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{3}}\right)\right]\cdot \epsilon \cdot \mathrm{0.345}\times \mathrm{29.3}\times \mathrm{94}\mathrm{600}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}⒂

式中：l_{a,a+\mathrm{1}}是第a站和第a+\mathrm{1}站之间的距离，km；z_{\mathrm{3}}为列车运行产生的碳排放，kg；T为运营时段的时长，h；\epsilon为火力发电比例，本次取0.7^[17]。

综上，构建的模型的目标函数为

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{1}}=Q_{\mathrm{1}}\times t_{\mathrm{1}}+Q_{\mathrm{2}}\times t_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{2}\times ⌊\frac{T_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{1}}⌋\times L_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}\times ⌊\frac{T_{\mathrm{2}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{2}}⌋\times L_{\mathrm{2}}\right)\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_{\mathrm{3}}=\left(f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}\right)\times T\times E\times \mu \times \mathrm{0.345}\times \mathrm{29.3}\times \mathrm{94}\mathrm{600}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}\end{array}\right.⒃

2.1.3　约束条件

（1）列车开行数量约束。运输企业的经济效益直接受列车开行数量的影响，特别是在决定开行大小交路时，所需调度的列车数量应控制在单一线路所需开行列车数量的范围内。这种对列车开行数量的限制条件为

⌊\frac{T_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{1}}⌋+⌊\frac{T_{\mathrm{2}}}{\mathrm{60}}\times f_{\mathrm{2}}⌋\le ⌊\frac{T_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}}\times f⌋⒄

式中：T_{\mathrm{1}}为大交路列车周转时间，s；T_{\mathrm{2}}为小交路列车周转时间，s；f为单一交路下列车交路的发车频率，对/h。

大交路列车的周转时间为

T_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\times \left({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}{t}_j^{\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^n}{t}_h^{\mathrm{2}}+\sum t_{\mathrm{3}}\right)⒅

式中：t_j^{\mathrm{1}}为列车在区间j运行所需要的时间，s；t_h^{\mathrm{2}}为列车在车站h的停站时间，s；t_{\mathrm{3}}为列车折返时所需要的最小折返间隔时间，s。

小交路列车的周转时间为

T_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\times \left({\displaystyle \sum _{j=a}^{b-\mathrm{1}}}{t}_j^{\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{h=a}^b}{t}_h^{\mathrm{2}}+\sum t_{\mathrm{4}}\right)⒆

式中：t_{\mathrm{4}}为列车在中间站的最小折返间隔时间，s。

（2）满载率约束。在确保满足客流需求的同时，为了维护乘客的乘车体验与舒适度，即便是在早高峰人流密度高的时段和区段，列车内部的拥挤程度也应被控制在合理范围内。关于满载率的限制条件，具体可参考公式⒇的规定。

\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left({\displaystyle \sum _{k=j+\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{h=\mathrm{1}}^j}{q}_{hk}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{f}_i，{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^j}{\displaystyle \sum _{h=j+\mathrm{1}}^n}{q}_{hk}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{f}_i\right)\le \alpha ·C_{\mathrm{Z}}⒇

式中：q_{hk}为在车站h上车，在车站k下车的客流量，人；\alpha为列车满载率上限；C_{\mathrm{Z}}为列车定员，即标准载客人数，人。

（3）最小追踪间隔约束。最小追踪间隔是确保两列连续运行的列车互不干扰所需的最短时间差，它对于评估线路的整体通行能力具有关键作用。这一间隔的约束条件如公式 所示。

f_{\mathrm{1}}+f_{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{I_{\mathrm{0}}}(21)

式中：I_{\mathrm{0}}为列车最小追踪间隔，s。

（4）折返能力约束。中间站的折返能力一般用列车在起始站折返所需时间表示，会直接限制列车的发车频率。因此，各交路列车的发车频率需要与折返站的折返能力相匹配，以确保线路运行的顺畅。折返能力对发车频率的约束如公式 和公式 所示。

f_{\mathrm{1}}\le \frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{t_{\mathrm{3}}}(22)

f_{\mathrm{2}}\le \frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{t_{\mathrm{4}}}(23)

（5）最小发车频率约束。为减少乘客的候车时间，需设定列车发车频率的下限，最小发车频率约束条件为

f_{\mathrm{1}}\ge f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(24)

式中：f_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为列车最小发车频率，对/h。

（6）列车发车频率的协调性。注重实现线路上不同区段列车发车间隔的均衡分布。因此，规定大小交路的列车以成对的形式发车，确保在非小交路区段的列车发车频率是小交路区段的频率的一个整数倍，用\beta表示，这样可以实现更高效且稳定的线路运营。

f_{\mathrm{1}}=\beta f_{\mathrm{2}}\beta =\mathrm{1,2},\dots ,⌊\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{I_{\mathrm{0}}\cdot f_{\mathrm{2}}}⌋-\mathrm{1}(25)

（7）其他约束。公式 表示需限制小交路起终点车站编号的取值范围；公式 表示需限制大、小交路列车的发车频率为正整数。

(26)

f_i\in N_{+}(27)

2.2　相关评价指标的选取

为了能够全面地评价交路优化方案，确保在提高运输效率的同时，保障乘客舒适性和安全性，构建了包括断面满载率均衡性、运输效率和最大断面满载率的指标体系，共同构成了衡量地铁线路运营质量的全面框架。

（1）最大断面满载率，是指地铁列车在特定区间内的最高乘客拥挤程度。当断面满载率过高时，列车的拥挤程度会极大影响乘客的乘车体验，甚至可能危及安全。因此，控制最大断面满载率有助于提升乘客出行的舒适性，减少因过度拥挤带来的潜在安全隐患。最大断面满载率的计算为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{P_j^{\mathrm{u}}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{f}_i\cdot C_{\mathrm{Z}},P_j^{\mathrm{d}}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{f}_i\cdot C_{\mathrm{Z}}\right\}(28)

式中：P_j^{\mathrm{u}}为区间j的上行断面客流量，人次/h；P_j^{\mathrm{d}}为区间j的下行断面客流量，人次/h。

（2）断面满载率均衡性，是指沿线路各个区间断面满载率的平衡程度，反映了列车负载的分布情况。均衡的满载率可以减少乘客因列车在不同区间拥挤程度差异较大而带来的不便。如果某些区间乘客过多导致拥挤，而后续区间相对宽松，会让前期上车的乘客体验较差。另外，均衡的满载率可以避免列车在某些区间过度拥挤，而在其他区间空载运行的情况，进而提升整条线路的运输效率。满载率均衡性使用列车在不同时间段、不同区间的断面满载率与线路的平均断面满载率的方差表示，其计算公式为

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}{\left({\alpha }_j-\overline{\alpha }\right)}^{\mathrm{2}}(29)

式中：{\alpha }_j为区间j的断面满载率；\overline{\alpha }为线路的平均断面满载率。

（3）运输效率，指地铁线路在单位时间内运输乘客的能力，计算如公式 所示。使用旅客周转量与线路所提供的运力之比表示。运输效率越高，单位时间内运送的乘客越多，列车的运营成本就越低，另外，高效的地铁运输能力可以分流地面交通压力，减少拥堵，提升整个城市交通系统的效率。

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}\left(P_j^{\mathrm{u}}+P_j^{\mathrm{d}}\right)·l_j/\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{C}_{\mathrm{Z}}·f_i·l_j(30)

式中：l_j为区间j的长度，km。

2.3　算法设计

多目标规划模型直接使用Gurobi或Cplex等商业求解器求解帕累托最优解较为困难，因此采用SSA算法进行求解，算法主要步骤如下。

步骤1：编码。建立的优化模型包括4个变量，分别是小交路起点、小交路终点、大交路发车频率和小交路发车频率，故采用实数编码。编码示意图如图3所示，以小交路的起终点分别为第6站和第12站，大交路发车频率为15对/h，小交路发车频率为12对/h为例进行编码。

步骤2：初始种群生成。n只麻雀在D维空间的位置如公式 所示。随机产生初始解x，保证产生的每一个初始解均为可行解。

X=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}& \cdots & x_{\mathrm{1}}^d\\ ⋮& & ⋮\\ x_n^{\mathrm{1}}& \cdots & x_n^d\end{array}\right](31)

步骤3：适应度函数设计。所建立的列车运行交路方案优化模型的目标函数是求最小值问题，目标函数可以作为个体的适应度函数，即适应度。所有麻雀的适应度如公式 所示。在评估适应度后，麻雀群体按能量等级分层，前20%的个体被定义为“探索者”，占据优势地位，其余个体为“追随者”。同时，考虑到捕食者威胁，选取10%至20%的麻雀作为“侦查者”，以提高群体对环境变化的适应性和警觉性。

F=\left[\begin{array}{c}fit\left(x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}},x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},\cdots ,x_{\mathrm{1}}^d\right)\\ \begin{array}{l}fit\left(x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}},\cdots ,x_{\mathrm{2}}^d\right)\\ ⋮\end{array}\\ fit\left(x_n^{\mathrm{1}},x_n^{\mathrm{2}},\cdots ,x_n^d\right)\end{array}\right](32)

步骤4：快速非支配排序。快速非支配排序用于将种群中的个体按支配关系划分为不同的帕累托等级，每个等级中的个体都是彼此之间不支配的。支配指的是如果解A在所有目标上不差于B，至少在1个目标上A优于B，则A支配B；非支配指的是如果解A不被其他任何解支配，属于帕累托前沿。快速非支配排序的步骤如下：①对每个解，计算它支配的解集(即被它支配的解)，同时计算被其他解支配的次数；②如果一个解，没有被任何解支配(即支配它的次数为0)，则将其归类为第一个帕累托等级；③对于每一个帕累托等级中的解，将它们支配的解的支配次数减1，如果某个解的支配次数变为0，则将其归类为下一个帕累托等级；④重复上述过程，直到所有解都分配到不同的帕累托等级。

步骤5：计算拥挤距离。拥挤度的设计目的是为了在帕累托前沿上保持解的多样性。个体有可能在帕累托前沿上过度集中在某些区域，导致解的多样性下降。拥挤度通过衡量个体之间的稀疏程度，确保解在帕累托前沿上均匀分布，从而覆盖整个帕累托前沿的不同区域。对于第i个解的第m个目标，拥挤度的计算为

d_i^m=\frac{fi{t}_{i+\mathrm{1}}^m-fi{t}_{i-\mathrm{1}}^m}{fi{t}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^m-fi{t}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^m}(33)

式中：fi{t}_{i+\mathrm{1}}^m和fi{t}_{i-\mathrm{1}}^m为相邻的解的目标函数值。

对该解的所有目标的拥挤距离累加，得到总拥挤距离，而边界的解拥挤距离设置为很大的常数。

步骤6：探索者位置更新，探索者位置更新如公式 所示。

(34)

式中：t为迭代次数；ite{r}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大的迭代次数；R_{\mathrm{2}}为预警值，R_{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0,1}]；\alpha为0-1范围内的随机数；ST是安全阈值，ST\in [\mathrm{0.5,1}]；Q是0-1范围内服从正态分布的随机数；L是\mathrm{1}\times D的1矩阵。

当时，表明没有捕食者的存在，觅食区域目前是安全的，这为探索者提供了更开阔的探索范围。当R_{\mathrm{2}}\ge ST时，说明有少数麻雀已经感知到了潜在的危险，触发了群体向更安全的区域迁移的行为。这种动态的搜索策略不仅增强了算法在全局范围内的探索能力，同时也提升了在局部区域内的细致搜索效率^[18]。

步骤7：追随者与探索者争夺食物。追随者会与探索者争夺食物，其位置更新为

x_{ij}^{t+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{c}Q·{\mathrm{e}}^{\frac{x_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}-x_{ij}^t}{i^{\mathrm{2}}}} i>n\\ x_P^{t+\mathrm{1}}+\left|x_{ij}^t-x_{ij}^{t+\mathrm{1}}\right|A^{+}Li\le n\end{array}\right.(35)

式中：x_P^{t+\mathrm{1}}为当前追随者占据的最佳位置；x_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}为全局的最差位置；A是每个元素都是1或-1的\mathrm{1}\times D的矩阵，且A^{+}=A^{\mathrm{T}}(A{A}^{\mathrm{T}}{)}^{-\mathrm{1}}。

步骤8：侦查者位置更新。侦查者占种群的10%~20%，位置更新公式为

x_{ij}^{t+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t+\beta \left|x_{ij}^t-x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t\right| fi{t}_i>fi{t}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\\ x_{ij}^t+K\frac{\left|x_{ij}^t-x_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t\right|}{(fi{t}_i-fi{t}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}})+\epsilon }fi{t}_i=fi{t}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}\end{array}\right.(36)

式中：x_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t为整体最优位置；\beta为服从正态分布的随机数；\epsilon为一个较小的数，防止分母为0；fi{t}_i为当前的麻雀的适应度；fi{t}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}为最差的适应度；K为随机数，K\in (-\mathrm{1,1})；fi{t}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}为最佳的适应度。

若fi{t}_i>fi{t}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}，说明麻雀的适应度较低，有被捕食的可能性；若fi{t}_i=fi{t}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}，说明麻雀察觉到了威胁，开始向其他麻雀的位置移动。

步骤9：多样性保护机制选择下一代。在每个帕累托等级中，首先选择那些拥挤度大的解，以保证种群在解空间中均匀分布。当种群超过最大规模时，通过拥挤度的大小来裁剪解，保证帕累托前沿中解的多样性。同时，避免在整个算法过程中解的过早收敛，确保种群能够探索到不同的解区域，避免陷入局部最优，从而有更高的机会找到更优的帕累托解。

3　案例分析

3.1　研究区域与数据

在明确了OD客流分布及相关运营参数的前提下，探讨了大小交路列车运营模式的最优化。研究目标是减少全线乘客的总候车时间、降低列车的行车公里以及减少碳排放量。在模型中，考虑列车运营过程中基于列车运营安全及乘客服务体验而带来的约束条件，确定小交路列车的运行区段以及大、小交路列车的发车频率。以城市A的某条轨道交通线路为例，对比优化后的列车大小交路方案与单一交路方案的效果。

该线路作为城市A主城区对外辐射的重要交通骨干，全长33.9 km，沿途设有23座车站。城市A某线路区间长度及运行时分如表1所示。根据客流预测报告，城市A某线路远期早高峰小时(7：00—8：00) OD预测值及区间上下行的断面客流分布如图4所示。值得注意的是，该线路在远期早高峰小时的客流量高达95 956人，其中上行最大断面客流量为8 320人，下行最大断面客流量为7 071人，显示出显著的断面客流分布不均衡性，为探讨优化方案提供了重要的参考依据。

3.2　参数设置

基于对特定线路的乘客流量分析和列车运行安排，设定车站停靠时间为30 s，同时，考虑到首末站和途经站点的折返操作，将折返时间设定为120 s。为了平衡运输公司的经济效益和乘客的乘车体验，早高峰期间的列车断面满载率设定为90%。

该线路采用6节编组B型车，列车定员为1 460人。根据《地铁设计规范》的要求，系统设计应确保远期最大运力能够达到每小时不少于30对列车的行车密度^[19]，相应的列车的最小追踪间隔为120 s。同时，《城市轨道交通工程项目建设标准》规定，在初期阶段的高峰时段，列车的运营密度不得低于12对/h。因此，早高峰时段交路的最小发车频率被设定为12对/h^[20]。

3.3　求解结果

设定初始种群大小n_{\mathrm{0}}为100，经过计算达到最大迭代次数ite{r}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{100}后，求出帕累托解，经过插值得到帕累托曲面如图5所示。

鉴于帕累托解数量较多，仅罗列部分在各项评价指标中表现突出的解。得到单一交路与大小交路运营效果对比如表3所示。在确保使用的列车总数一致的条件下，方案1、方案6和方案7在总候车时间、行车公里和碳排放量上均优于单一交路方案，最大断面满载率和满载率均衡性大幅降低，运输效率略有降低。方案7最多可减少总候车时间45 197.5 s，但是最大断面满载率下降了14%，运输效率下降了0.5%；方案1最多减少碳排放量601 192 kg，最大断面满载率下降的最多，达到15%，运输效率略微下降。

4　结束语

通过对低碳视角下城市轨道交通列车交路运行方案的优化，提出的多目标优化模型在提升运营效率和环境可持续性方面都展现出了显著的潜力。优化方案通过调整发车频率和起始站点，改善了城市中心区域的运力问题，有效减少了乘客总候车时间和行车公里数，提升了乘客的出行体验，缓解了中心城区的交通拥堵，明显降低了碳排放，尽管运输效率有所下降，但在低碳和服务质量提升方面证明了该方案的可行性与应用价值。进一步研究可以更细致地分析乘客行为对交路方案的具体影响以及探索多交路形式，以应对客流需求不同的情况。

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基金资助

国家重点研发计划项目(2023YFB4302504)

中铁第四勘察设计院集团有限公司科研课题(2022K061)