基于三阶段DEA和SE-DEA模型的城市轨道交通运输效率测度方法研究

Measurement Method for Transportation Efficiency of Urban Rail Transit Based on Three-Stage DEA and SE-DEA Modelsmodels

摘要

城市轨道交通项目投资巨大且影响时间长，其运输效率的研究对轨道交通可持续发展具有重要现实意义。针对传统DEA模型仅能体现决策单元DEA有效或无效，未考虑外在影响因素的缺陷，采用三阶段DEA模型和超效率DEA，对2019—2023年全国24个城市的轨道交通的运输效率进行了测算和投影分析。该模型引入随机前沿分析技术剔除了外部环境因素对效率的影响，获得了更加准确的运输效率排序，并给出了DEA无效城市投入产出的改进方向和策略。研究结果表明：制式结构、交通分担率、线网条件等环境因素对综合技术效率有不同程度的影响。剔除这些因素后，平均纯技术效率有明显提升，规模效率普遍下降，综合技术效率整体略有下降。投影分析结果显示，大多数城市轨道交通资源配置能力已较优，改进幅度不大，但规模效率不足，客运量和周转量都有待不同程度的提高。

Abstract

Due to the huge investment and long impact time of urban rail transit projects, the research on their transportation efficiency is of great practical significance for the sustainable development of rail transit. In response to the limitation of the traditional data envelopment analysis (DEA) model that only reflects the DEA effectiveness or ineffectiveness of the decision-making unit and does not consider external influencing factors, this paper applied a three-stage DEA model and super-efficiency DEA (SE-DEA) model to calculate and project the transportation efficiency of rail transit in 24 cities of China from 2019 to 2023. The model introduced stochastic frontier analysis (SFA) technology to eliminate the influence of external environmental factors on efficiency, obtained a more accurate ranking of transportation efficiency, and provided the improvement direction and strategies for input-output on DEA-ineffective cities. The research results indicate that environmental factors such as standard structure, traffic sharing rate, and network conditions have varying degrees of impact on comprehensive technical efficiency. After removing these factors, the average pure technical efficiency has significantly improved; the scale efficiency has generally decreased, and the overall comprehensive technical efficiency has slightly decreased. According to projection analysis, the resource allocation capacity of most urban rail transits is already relatively good, with less room for improvement, but the scale efficiency is insufficient, and the passenger volume and turnover volume need to be improved to varying degrees.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 运营效率 / 三阶段DEA / 超效率分析 / 投影分析

Key words

Urban Rail Transit / Operational Efficiency / Three-Stage DEA / Super-Efficiency Analysis / Projection Analysis

0　引言

城市轨道交通因其具有安全、准时、运量大、节能低碳等优点，已逐渐成为大中城市公共交通的骨干。截至2023年底，全国已有59个城市开通运营了城市轨道交通线路，运营里程达11 224.54 km^[1]。作为一项公共事业，城市轨道交通系统的运营不仅要注重经济效益，更要满足社会效益。综合效率测度是对城市轨道交通投入产出的有效性度量，能为轨道交通行业运营效率的改进提供数据支持，使城市轨道交通运营企业以较少投入获得更好的运营效率，具有重要现实意义。

综合效率测度的方法主要有随机前沿分析和数据包络分析(Data Envelopment Analysis，DEA)。前者是基于函数的参数估计方法，其结果依赖于函数的设定形式。后者将决策单元的效率定义为自身的产出权重之和与投入权重之和的比值^[2]，通过求解各自的线性规划问题，确定一组最优投入产出权重，使自身的效率最大化，更适用于分析多投入多产出的复杂系统^[3]。在轨道交通运营效率评估的相关研究方面，周强等^[4]采用DEA模型测算了2012年我国16个城市轨道交通系统的效率，找出了非DEA有效的城市。张浩等^[5]采用固定规模收益的CCR(由美国运筹学家Charnes、Cooper和Rhodes提出)和规模收益可变的BCC (Banker Charnes Cooper)2种模型分别对2015年我国20个城市的轨道交通运输效率进行了计算，针对非DEA有效城市提出了改进建议；李尚怡等^[6]研究了北京市2015—2019年17条地铁运营线路的动态效率及发展趋势。这些研究选取了表征城市轨道交通建设与运营投入情况的关键参数作为投入指标，选取客运量或周转量等作为产出指标，从投入产出的角度对城市轨道交通的运营效率进行测算，但未考虑居民出行习惯、交通环境等因素对投入产出值的影响，不能完全真实地反映决策单元的效率。三阶段DEA模型剔除了外部环境和随机误差的影响，能更加客观地测度出决策单元的效率，在碳排放效率^[7]、公交效率^[8]、航空企业效率^[9]、港口效率^[10]、高铁运营效率^[11]、城市轨道交通运营效率^[12]等方面应用广泛。

为了更加科学合理地评估各城市轨道交通运输效率，研究考虑了影响城市轨道交通系统运营的5项环境指标，基于三阶段DEA模型对我国24个城市的轨道交通运输效率进行测算，剔除外部因素对效率值的影响，在此基础上采用超效率(Super Efficiency，SE) DEA模型进行超效率计算和指标投影分析，找出未达到DEA有效城市的改进方向和改进值，从而为提高城市轨道交通综合效率提供相关建议。

1　模型设计

1.1　三阶段DEA模型

城市轨道交通运营效率受居民出行习惯、交通环境等外部因素的影响，传统DEA模型仅从投入产出的角度进行评价，外部因素因并非投入与产出指标故未被考虑，从而影响了评价结果的真实性。三阶段DEA模型的基本思想是：第一阶段基于原始的投入产出值进行效率分析；第二阶段通过随机前沿分析(Stochastic Frontier Analysis，SFA)，估计外部因素对投入或产出值的影响，调整得到等效的投入或产出值；第三阶段基于调整后的投入产出值再次进行效率分析，使效率测度结果更加真实有效。

第一阶段，基于原始投入的效率分析。对q个城市的轨道交通运输效率进行测算，即q个决策单元(Decision Making Units，DMU)，其中，第j个城市单元DMU _j 包括m个投入指标x_ij (i=1，2，...，m)，n个产出指标y_rj (r=1，2，..，n)，第j₀个DMU有效性的BCC-DEA评价模型如下。

D(\theta )=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[\theta -\epsilon ({\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^m}{s}_r^{+}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{s}_i^{-})]⑴

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_j{x}_{ij}+s_i^{-}=x_{i{j}_{\mathrm{0}}}\theta \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_j{y}_{rj}-s_r^{+}=y_{r{j}_{\mathrm{0}}}\\ {{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_j=\mathrm{1}，}^{}{\lambda }_j，s_r^{+}，s_i^{-}\ge \mathrm{0}\\ j=\mathrm{1,2},...,q\end{array}\right.⑵

式中：\theta为综合效率；\epsilon为非阿基米德无穷小量；s_r^{+}，s_i^{-}为投入与产出的松弛变量；{\lambda }_j(\mathrm{0}\le {\lambda }_j\le \mathrm{1})为权重变量。

若模型的最优解{\theta }^{\mathrm{*}}=\mathrm{1}表示该DMU为DEA有效；表示该DMU为DEA无效。本阶段计算得到各DMU的初始效率值\theta和投入松弛变量S。

第二阶段，基于随机前沿分析调整投入产出值。具体方法如下。

步骤1：将松弛变量S_i 作为被解释变量，环境因素Z作为自变量，构建类SFA回归方程如下。

S_{ik}=f(Z_k;{\beta }_i)+v_{ik}+{\mu }_{ik}⑶

式中：S_{ik}为第k个DMU的第i项投入的松弛值；Z_k=[z_{\mathrm{1}k}，z_{\mathrm{2}k}，...，z_{pk}]为环境变量，p为环境变量的个数；f(Z_k;{\beta }_i)为环境变量Z_k对松弛变量S_{ik}的影响，通常采用线性关系表示；{\beta }_i为线性回归的待估计参数向量；v_{ik}为随机干扰项，假设其服从均值为0的正态分布v_{ik}~N(\mathrm{0},{\sigma }_{vk}^{\mathrm{2}})；{\mu }_{ik}为管理无效率项，假设其服从均值为0的半正态分布{\mu }_{ik}~N^{+}(\mathrm{0},{\sigma }_{\mu k}^{\mathrm{2}})，且v_{ik}与{\mu }_{ik}独立不相关。

步骤2：环境因素影响的估计。令{\epsilon }_{ik}={\mu }_{ik}+v_{ik}，表示混合误差项。环境因素{\widehat{\mu }}_i的计算公式如下。

\widehat{E}({\mu }_i|{\epsilon }_i)={\sigma }^{\mathrm{*}}\left[\frac{\varphi \left(\lambda \frac{\epsilon }{\sigma }\right)}{\mathrm{\Phi }\left(\lambda \frac{\epsilon }{\sigma }\right)}+\lambda \frac{\epsilon }{\sigma }\right]⑷

\sigma =\sqrt[]{{\sigma }_{\mu }^{\mathrm{2}}+{\sigma }_v^{\mathrm{2}}}⑸

{\sigma }^{\mathrm{*}}=\frac{{\sigma }_{\mu }\cdot {\sigma }_v}{\sigma }⑹

式中：\varphi (\cdot )\mathrm{和}\mathrm{\Phi }(\cdot )分别代表概率密度函数和累计概率密度函数。

步骤3：随机误差{\widehat{v}}_i的估计，计算公式如下。

\widehat{E}(v_i|{\epsilon }_i)=S_{ik}-f(Z_k;{\widehat{\beta }}_i)-{\widehat{\mu }}_i⑺

步骤4：投入值的调整。在测算出环境因素影响{\widehat{\mu }}_i和随机误差{\widehat{v}}_i的估计值后，对原始投入值进行调整，调整公式如下。

X_{ni}^A=X_{ni}+[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(f(Z_i;{\widehat{\beta }}_n))-f(Z_i;{\widehat{\beta }}_n)]+[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(v_{ni})-v_{ni}]⑻

式中：X_{ni}^A为调整后投入值；X_{ni}为调整前投入值；[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(f(Z_i;{\beta }_n))-f(Z_i;{\beta }_n)]是以最差环境为基础外部环境进行的调整量；[\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(v_{ni})-v_{ni}]是将所有决策单元调整至相同的随机情况。

步骤5：重复步骤1—4依次对所有松弛变量的原始投入值进行调整。

本阶段计算得到各DMU剔除了环境等外部影响后的等效投入值。

第三阶段，调整后再次效率评估。用调整后的投入值X_{ni}^A和原始产出值一起代入第一阶段的BCC-DEA模型，再次进行效率测度。由于指标值已剔除了环境与随机因素的影响，效率测度结果更加真实有效。

1.2　 SE-DEA模型

三阶段DEA模型使用的是传统的BCC-DEA模型，其评价结果可能会出现多个DMU的效率值同时为1的情况，无法对这些DMU进行排序。针对上述问题，引入SE-DEA模型在三阶段DEA效率测算的基础上，对有效的DMU进行效率高低比较^[13]，其基本思路是：在评价相对有效DMU _k 时，将其排除在样本集合之外，用剩下所有DMU形成新的生产前沿面，得到的即为其超效率值。SE-DEA模型表示为

D(\theta )=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[\theta -\epsilon (s_{{}^i}^{-}+s_r^{+})]⑼

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}，j\ne k}^n}{\lambda }_j{x}_{ij}+s_i^{-}=x_{i{j}_{\mathrm{0}}}\theta \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne k}^n}{\lambda }_j{y}_{ij}-s_r^{+}=y_{r{j}_{\mathrm{0}}}\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_j=\mathrm{1}\\ {\lambda }_j，s_{{}^i}^{-}，s_r^{+}\ge \mathrm{0}\end{array}\right.⑽

该SE-DEA模型的最优解{\theta }^{\mathrm{*}}，即为DMU的超效率值，与传统DEA模型不同的是，其取值可能会超过1。当{\theta }^{\mathrm{*}}\ge \mathrm{1}时，决策单元DEA有效；当时，决策单元为非DEA有效。每个DMU的超效率值均不完全相同。通过对{\theta }^{\mathrm{*}}值的排序，可直接反映出各DMU综合效率的相对优劣。

2　城市轨道交通运输效率与评价指标

2.1　城市轨道交通运输效率

学者们在经济学效率的基础上提出了运输效率的概念：通过有效产出和资源投入的比例来反映运输资源利用状态^[5，14]。城市轨道交通提供社会公共运输服务，作为一种特殊的生产经营活动，尽管存在服务产出，但盈利能力并不是最重要的衡量标准，而是追求资源利用的有效程度以及提供服务的有效程度。Farrell提出通过技术效率反映企业投入要素的利用情况和产出水平^[15]，故本研究中城市轨道交通运输效率是指技术效率，不考虑成本收益，分析城市轨道交通进行乘客运输的生产活动过程中投入要素与产出要素的比值关系。

2.2　指标选择与数据来源

城市轨道交通运输生产的投入指标主要涵盖基础设施投入、运营服务投入和人员投入3个方面^[15-16]。考虑到数据的可用性，选择城市轨道交通的车站数、日开行列次数、运营车公里和运营公司员工数量作为投入指标，反映资源、服务和人员的投入量，其中运营车公里是指列车为运营业务在运营线路上载客行驶和空车行驶的全部里程。以年客运量和年旅客周转量作为产出指标，反映运载能力的产出量。

不同城市的交通环境和线网条件等存在较大差异，从而导致城市轨道交通的运营环境也存在差异。本研究选择制式结构和交通分担率表征交通环境。其中制式结构反映了城市整体的交通环境；交通分担率反映了城市居民的出行结构，是外部交通环境的体现。选择线路条数、换乘站数和车辆段数量3个参数表征轨道交通线网条件，通常在成网条件下列车运营组织难度上升，但客流吸引力明显上升。城市轨道交通运输效率评价具体指标如表1所示。

数据引用于2019—2023年《城市轨道交通年度统计分析报告》^[1]、相关城市统计年鉴及城市轨道交通公司官方网站等。

3　模型求解与分析

3.1　第一阶段DEA模型下效率分析

运用DEAP2.1软件对2019—2023年我国24个城市轨道交通运输效率进行评价，将投入变量和产出变量作为参考技术集构造生产前沿面，得到第一阶段平均效率变化趋势如图1所示。2019—2023年我国24个城市轨道交通平均规模效率均低于平均纯技术效率，说明规模效率偏低，影响了综合技术效率值。

以2023年为例，平均综合技术效率为0.687，平均纯技术效率为0.891，平均规模效率为0.770，纯技术效率高于规模效率。具体而言，上海、广州和长沙等3个城市的综合技术效率值为1，其余21个城市为非DEA有效，其中大连的综合技术效率值最低，为0.378。从纯技术效率看，有11个城市为纯技术效率DEA有效，其中长春、大连等8个城市由于规模效率小于1，最终导致综合效率小于1。

3.2　第二阶段SFA回归分析与指标值调整

由于城市轨道交通的制式结构、交通分担率、线路条件等因素会影响城市轨道交通的运输效率，在第二阶段以日开行列次等4个投入量的松弛量作为被解释变量，以制式结构等5个环境变量作为自变量。基于Frontier4.1软件，得到SFA回归方程拟合系数如表2所示，可以发现在10%，5%，1%显著性水平下，LR单边检验值均高于临界值，说明环境变量与投入松弛量之间存在显著的影响。\gamma值均接近1，说明随机干扰的影响较小，但仍然对效率测度有重要影响。车辆段数量与投入松弛量在5%显著水平下均呈正相关，说明增加车辆段数量，会阻碍综合效率的提升。制式结构、换乘站数量、线路条数和交通分担率与日开行列次等4个投入松弛量均呈负相关(其中制式结构与车站数松弛量弱相关)，说明当城市轨道交通的制式结构丰富、换乘站数量增多、线路条数增加、分担率提高的情况下，投入资源能得到充分利用，其松弛量会减少。

通过回归分析，按照公式⑷至公式⑺计算出环境因素和随机因素的估计值，再按照公式⑻对原始投入量进行调整。

3.3　第三阶段调整后效率分析

将调整后的投入值和原始产出值重新代入BCC-DEA模型中再次进行效率测算，测算结果显示，与第一阶段效率值相比，第三阶段综合技术效率整体略有下降，纯技术效率均值有明显的提升，规模效率普遍下降，说明规模效率是致使综合技术效率下降的主要原因。为更加直观观察调整前后综合技术效率值的变化，取2019—2023年第一阶段和第三阶段综合技术效率值作为对比，得到2019—2023年第一阶段、第三阶段综合技术效率变化如图2所示。

从2023年看，在第一阶段和第三阶段，上海和广州2个城市的综合技术效率均达到了DEA有效；重庆、武汉、南京和青岛4个城市的综合技术效率有不同程度的增加，说明这些城市轨道交通资源的配置和产出受到了复杂环境因素的影响；其余18个城市综合技术效率下降，其中天津、成都、苏州、郑州、宁波、合肥6个城市的纯技术效率上升，深圳、沈阳、西安、南宁4个城市的纯技术效率略有下降，北京等8个城市的纯技术效率均等于1。第一阶段纯技术效率等于或接近1的13个城市，例如长沙、杭州等，第三阶段其综合技术效率平均值从0.761降为0.627，降低了0.134，其他11个城市的综合技术效率平均值从0.599降为0.574，降低了0.025，说明运营较为成熟的城市，其综合技术效率受环境等外在因素的影响更大。

3.4　超效率评价与投影分析

利用SE-DEA模型进行超效率评价分析，得到2023年我国城市轨道交通运输超效率如表3所示，可以发现，综合技术效率排名前3位的城市分别是上海、广州和长沙，说明这些城市轨道交通在2023年处于高效运营状态。其中上海地铁、广州地铁由于注重新技术在地铁运营和运维方面的应用，其技术水平和管理水平已达到较高水平。有14个城市的综合效率小于1，说明这些城市在投入产出方面还需要进行改进。

针对DEA分析缺失的效率相对较低原因和改进，通过投影分析法，得到非DEA有效的我国城市轨道交通运营的投入冗余量和产出不足量如表4所示。

由表4可知，北京、上海、广州等10个城市的轨道交通资源投入量和产出量均有效，各种资源的投入充足且利用充分，城市轨道交通所能接收的乘客数量接近饱和。其余城市则或多或少存在投入过剩和产出不足的现象，以天津市为例，在投入冗余方面，天津市冗余运营车公里约为1 986万车公里、冗余车站数为27.7座。

通过投影分析可以快速定位各个城市轨道交通系统运营存在的问题，同时为后续改进提供依据。

2023年非DEA有效城市投入产出指标改进幅度如表5所示。以天津市为例，在投入指标方面，车站数量存在冗余，改进幅度为15.64%，同时年客运量和年旅客周转量存在不足，分别需要提高103.31%和124.15%，说明2023年天津市轨道交通的客流强度不够，客运能力未得到充分发挥。

从整体来看，在投入指标中造成非DEA有效的主要因素集中于车站数量的冗余，平均改进幅度为19.21%，其中天津等11个城市这一项的改进幅度最大，可能由于尚有新线未开通运营，部分建成的车站尚未完全投入运营；其次是日开行列次数和运营车公里的冗余。在产出指标中，年客运量及年旅客周转量平均需要扩大31.42%和46.38%，改进幅度都偏大，造成这一现象的原因可能是受经济环境等因素的影响，轨道交通客流强度不足，客运能力未得到充分发挥。

4　研究结论

采用考虑外在影响因素的三阶段DEA模型和SE-DEA模型，对2019—2023年我国24个城市轨道交通进行运输效率测度分析和投影分析，得到以下结论。

（1）城市轨道交通制式结构、交通分担率、线网条件等外部影响因素对综合效率存在显著影响，剔除这些影响因素后，平均纯技术效率有明显提升，规模效率普遍下降，致使综合技术效率整体略有下降，其中运营较为成熟的城市，例如长沙、杭州等，其综合技术效率受环境等外在因素的影响更大。

（2）通过SE-DEA模型得出，2023年有11个城市的综合效率DEA有效，其中排序最高的3个城市分别是上海、广州和长沙。通过投影分析，发现造成非DEA有效的主要因素为车站数量冗余，在所有投入指标中改进幅度最大；部分城市开行列次数和运营车公里存在冗余，客运能力未得到充分发挥。

（3）对提高城市轨道交通运输效率的建议如下：综合技术效率较低的城市应更加注重轨道交通建设和运营时间的规划，合理配置资源，加强人工智能、大数据等新技术在调度指挥、列车运行控制、设备设施健康管理中的应用，以减少运营投入成本，提升运营管理水平和服务水平，扩大城市轨道交通的品牌影响力，进而持续提高乘客的满意度和忠诚度，最大限度地发挥线网的运输能力。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52105202)

广东省教育科学规划课题(2023GXJK516)

江门市科技计划基金项目(2022JC01003)