长大货车驼峰溜放中车辆底部与轨面最小距离计算方法及应用

Calculation Method of Minimum Distance between Rail Surface and Bottom of Oversize Freight Car during Hump Sliding and Its Application

摘要

为解决长大货车驼峰溜放过程中出现的触底问题，在建立长大货车驼峰溜放过程中车辆车底距钢轨轨面距离模型的基础上，给出了车辆车底距钢轨轨面距离最小值的计算公式。通过对车辆车底距钢轨轨面距离最小值这一参数进行定性和定量分析，得到长大货车车辆车底距钢轨轨面距离最小值出现的位置、车辆车底距钢轨轨面距离最小值的定量计算公式以及车辆能否通过驼峰进行溜放的判断条件。对于不能溜放长大货车的驼峰纵断面，提供了一种涉及峰顶竖曲线及加速区第一坡段的改造方案，最后以JSQ6型凹底双层汽车专用车辆驼峰溜放进行实例验证，结果表明该计算过程和判定方法可为制定长大货车溜放方案提供一定的理论依据。

Abstract

To solve the problem of bottoming out of oversize freight cars during hump sliding, this paper established a model of distance between rail surface and bottom of an oversize freight car during hump sliding and further provided a calculation formula of the minimum distance. Based on the qualitative and quantitative analysis of the minimum distance from the bottom of a freight car to the rail surface, the study determined the position where the minimum distance appears, the quantitative calculation formula of the minimum distance, and the judgment conditions of whether hump sliding is feasible for a freight car. For the hump profiles that cannot realize the hump sliding of oversize freight cars, this paper provided a modification scheme involving the vertical curve of the peak and the first slope section of the acceleration zone. The example analysis was based on the hump sliding of a JSQ6 concave-bottom double-decker freight car special for automobiles. The results show that the calculation process and judgment method can provide a theoretical basis for the formulation of sliding schemes of oversize freight cars.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 铁路编组站 / 驼峰溜放 / 禁溜车 / 长大货车 / 驼峰纵断面改造

Key words

Railway Transportation / Railway Marshalling Stations / Hump Sliding / Cars Forbidden to Slide / Oversize Freight Car / Hump Profile Modifications

0　引言

驼峰是铁路编组站用于解编车列的调车设备，对编组站提高列车解编效率具有重要作用，可有效缩短编组站调车作业时间。长大货车由于轴距过大、车辆过重、易倾覆等问题，在最开始投入铁路运输生产时常被列为禁溜车，而其必须保证在经过驼峰溜放时不触底、轨道电路占用无异常、溜放过程中不倾覆、驼峰制动设备制动能力充足时才可通过驼峰进行溜放^[1-2]。长大货车经过驼峰溜放完成调车作业，将进一步提升编组站调车作业效率，缩短长大货车在编组站内的停留时间。

近年来，随着小汽车制造业的发展，长大货车中的JSQ6型凹底双层汽车专用车辆(以下简称“JSQ6型车”)的数量在铁路货运车辆中的占比越来越高，且商品车运输的时效性要求偏高^[3-5]。虽然JSQ6型车在投入使用时就被归为禁溜车，但其经过大量的溜放实验，可经过驼峰溜放完成调车作业。其中，张小强^[6]通过理论计算和模拟仿真研究了驼峰溜放JSQ型车的可行性；肖旭航^[7]通过建立数学优化模型研究了不同驼峰线路情况下JSQ6型车经过驼峰溜放完成调车作业的可行性；刘旭^[8]以武汉站为例建立了仿真计算模型、优化驼峰线路、组织溜放实验等方法；贺鹏等^[9]设计开发了车辆底部与轨面最小距离动态测试系统；王文君等^[10]结合JSQ6型车溜放的技术条件研究了驼峰纵断面的调整原则；周琪^[11]在通过仿真计算分析影响JSQ6型车溜放安全的因素基础上，研究了驼峰溜放JSQ6型车的作业技术条件；贾国强等^[12]从理论上对影响JSQ6型车的5个安全因素进行分析，提出了完善安全技术规章、研发测距检测系统、改善驼峰平纵断面尺寸、修订调车作业办法等建议；丁五一^[13]以侯马北站、榆次站的实车溜放实验为基础，提出长轴距禁溜车的溜放方案；姜成^[14]在不设计新车型的前提下，研究了JSQ6型车辆通过驼峰的可行性；刘立存^[15]分析了JSQ6型车经过驼峰溜放的3个关键制约因素，并通过静、动态溜放仿真方法验证了纵断面改造后的驼峰对JSQ6型车的适应性。

既有研究结果表明，在现有技术水平下，大多数驼峰可以实现JSQ6型车的溜放作业。但长大货车溜放的基础理论还不充足，且组织现场车辆溜放实验需要耗费大量的人力物力。为此，需要理论研究分析长大货车的溜放作业方案。为方便叙述，将车辆在经过驼峰溜放时不触底定义为车辆可以几何通过驼峰，反之则为车辆不能几何通过驼峰。由于推送坡上的限界检测器可保证溜放车辆能够安全通过驼峰制动位的减速器，抵达峰顶的溜放车辆都可安全通过减速器，因此，本研究仅针对长大货车能否几何通过驼峰的问题展开。

长大货车不能几何通过驼峰的原因有峰顶平台和加速区第一坡段之间的坡度差较大、长大货车内轴距较大、车底与轨面距离较小。这些原因导致该类车辆在经过峰顶平台和加速区第一坡段变坡点时，车辆车底距钢轨轨面距离最小值小于最小净空量，容易出现触底现象。为解决长大货车在溜放过程中车辆车底距钢轨轨面距离最小值不足的问题，从几何角度出发，分析并给出车辆车底距钢轨轨面距离最小值出现的判断条件、车辆车底距钢轨轨面距离最小值的计算公式以及不满足长大货车溜放条件的驼峰几何参数改造方案。研究结果可为长大货车驼峰溜放方案的制定提供一定的理论依据。

1　长大货车车底距钢轨轨面距离最小值分析

1.1　定性分析

线路纵断面可视作是一条具有表达式已知曲线f\left(x\right)，而车辆可视作长度为定值且具有一定倾斜角度的直线。则在长大货车经过驼峰溜放时，长大货车车底距钢轨轨面距离最小值出现的条件可抽象为问题1，而问题1又可以等价为问题2。以下证明均基于抽象出来的数学模型。

问题1：现有一条已知的曲线f\left(x\right)，曲线上有2个点P_{\mathrm{1}}\left(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}}\right),P_{\mathrm{2}}\left(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}}\right)满足\rho \left(P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}\right)=L(\rho \left(P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}\right)为P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点之间的距离，L为已知量)，求此曲线上位于P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点之间且距P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点构成的直线段距离最大的点出现的条件。

问题2：已知曲线f\left(x\right)与某一次函数交于P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点，交点满足\rho \left(P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}\right)=L(L为已知量)，P为曲线上位于P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点之间的一点，求\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}面积最大出现的条件。

问题等价性证明：根据问题1、问题2绘制出抽象数学问题的几何关系示意图如图1所示。

问题1中，当曲线上存在某一点距离该直线段距离最大时，此时\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的面积为

S_{\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}L{d}_P⑴

式中：S_{\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}}为三角形\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的面积，\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}；L为线段P_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的长度，\mathrm{m}\mathrm{m}；d_P为曲线上点与线段P_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的距离，\mathrm{m}\mathrm{m}。

此时，d_P最大与S_{\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}}最大是等价的。证毕。

问题1证明：记某时刻，车辆所在直线的斜率为k，则车辆车轮所在直线的表达式为y=kx+b_{\mathrm{1}}，过P点且与车辆平行的一次函数表达式为y=kx+b_{\mathrm{2}}，且P点还满足已知曲线的解析式y=f\left(x\right)，P点满足的等式为

f\left(x\right)=kx+b_{\mathrm{2}}⑵

则根据平行线距离公式可得此问题的优化目标函数为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{d}_P=\frac{\left|b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{1}}\right|}{\sqrt[]{\mathrm{1}+k^{\mathrm{2}}}}=\frac{\left|f\left(x\right)-kx-b_{\mathrm{1}}\right|}{\sqrt[]{\mathrm{1}+k^{\mathrm{2}}}}⑶

而在车辆状态给定的情况下，式⑶中的\sqrt[]{\mathrm{1}+k^{\mathrm{2}}}为常数，则式⑶可以等价为

\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left|f\left(x\right)-kx-b_{\mathrm{1}}\right|=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{f\left(x\right)-kx-b_{\mathrm{1}},-f\left(x\right)+kx+b_{\mathrm{1}}\right\}⑷

记g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx-b_{\mathrm{1}}，因为驼峰峰顶的线路的解析式满足f_{}"\left(x\right)\le \mathrm{0}，则满足式⑷的点x_{\mathrm{0}}为

f_{}\mathrm{\text{'}}\left(x_{\mathrm{0}}\right)=k=\frac{f\left(x_{\mathrm{2}}\right)-f\left(x_{\mathrm{1}}\right)}{x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}}⑸

式中：x_{\mathrm{0}}为线路上与车辆车底距离最小的点所在的横坐标；x_{\mathrm{1}}为点P_{\mathrm{1}}的横坐标；x_{\mathrm{2}}为点P_{\mathrm{2}}的横坐标。

式⑸表明，该问题的解空间为曲线上位于P_{\mathrm{1}},P_{\mathrm{2}}两点间且满足拉格朗日中值定理的点。又因线段P_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}之间的距离为定值L，可知当线路侵入车辆车底最严重时各量之间满足的方程为

f\left(x_{\mathrm{1}}+\frac{L}{\sqrt[]{\mathrm{1}+k^{\mathrm{2}}}}\right)-f\left(x_{\mathrm{1}}\right)=\frac{kL}{\sqrt[]{\mathrm{1}+k^{\mathrm{2}}}}⑹

式中：L为车辆前后转向架间距，\mathrm{m}\mathrm{m}；x_{\mathrm{1}}为车辆后转向架所在点坐标，\mathrm{m}\mathrm{m}。

式⑸所得的条件为问题1所述的充分条件，若曲线f\left(x\right)的一阶导数连续且单调，则该条件严格变为充要条件。

问题2证明：假设每个倾斜角度下的最大侵入点已知，由此最大侵入点向下做高，将车长分成l和L-l这2部分，且三角形2个底角的角度分别为{\beta }_{\mathrm{1}}和{\beta }_{\mathrm{2}}，如图1所示。则\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的2条腰长可表示为 ：l\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}和\left(L-l\right)\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}。当底角足够小时，可认为其两腰的长度约等于l和L-l。则\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的面积如式⑺所示。

S_{\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}l\left(L-l\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\pi -{\beta }_{\mathrm{1}}-{\beta }_{\mathrm{2}}\right)\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}l\left(L-l\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\pi -\mathrm{\Delta }\alpha \right)\le \frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\Delta }\alpha⑺

式中：\mathrm{\Delta }\alpha为线路的转角；L为车辆前后转向架间距，\mathrm{m}\mathrm{m}。

式⑺表明，\mathrm{\Delta }P{P}_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{2}}的面积存在上界，当且仅当l=L-l且\mathrm{\Delta }\alpha最大时式⑺取得最大值。即，当l=\mathrm{0.5}L时，由最大侵入点和两轮对下端点构成的三角形为等腰三角形时侵入量最大。而这种情况只会有以下3种。

（1）车辆完全在圆曲线上，最大侵入点在连接峰顶平台与加速区第一坡段的圆曲线上。

（2）车辆跨1个圆曲线，最大侵入点也在连接峰顶平台与加速区第一坡段的圆曲线上。

（3）车辆跨2个圆曲线，则其最大侵入点在峰顶平台某处上。由于压钩坡的坡度远小于加速区第一坡段的坡度，线路转角\mathrm{\Delta }\alpha并非最大，因此车辆的最大侵入点还是出现在连接峰顶平台与加速区第一坡段的圆曲线上。

综上，车辆的最大侵入点最可能出现在连接峰顶平台与加速区第一坡段的圆曲线上。

1.2　定量计算

1.2.1　车辆跨1个圆曲线

当车辆的长度大于竖曲线长度时，即车辆和竖曲线长度满足

L-r\alpha \ge R\alpha⑻

式中：L为车辆二三轴距，\mathrm{m}\mathrm{m}；r为车轮半径，\mathrm{m}\mathrm{m}；R为竖曲线半径，\mathrm{m}\mathrm{m}；\alpha为竖曲线相邻直线坡段的锐夹角。

根据坡度的定义，可得竖曲线转角满足

\alpha =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{1}\mathrm{000}}=\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{1}\mathrm{000}}⑼

式中：\mathrm{\Delta }i为竖曲线连接的两侧直线坡度差，\mathrm{‰}。

而当长大货车的车底距钢轨轨面距离最小值出现时，车辆在驼峰竖曲线上的几何关系如图2所示。

由图2可得到轮对及竖曲线的外矢距为

e_{\gamma }=\gamma \left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)⑽

式中：e_{\gamma }为圆的外矢距，\mathrm{m}\mathrm{m}；\gamma为圆的半径，\mathrm{m}\mathrm{m}；\alpha为圆的转角。

则长大货车在通过驼峰峰顶竖曲线时，其车辆底部距离轨面的距离满足

h=\frac{L}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}-e_R-e_r+H⑾

式中：h为车辆静止在平直道上时，车辆底部距离轨面的距离，\mathrm{m}\mathrm{m}；e_R为峰顶平台与加速区第一坡段连接的竖曲线的外矢距，\mathrm{m}\mathrm{m}；e_r为车辆车轮的外矢距，\mathrm{m}\mathrm{m}；H为车辆经过驼峰峰顶竖曲线时，车辆车底距离钢轨轨面的距离，\mathrm{m}\mathrm{m}。

结合式⑼—式⑾可得，该距离的表达式为

H=h-\frac{L}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}+\left(R+r\right)\left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}-\mathrm{1}\right)⑿

式中：R为竖曲线半径，\mathrm{m}\mathrm{m}； r为车轮半径，\mathrm{m}\mathrm{m}。

因为驼峰峰顶平台和加速区第一坡段之间的坡度差一般不大于55‰，对式⑿中的三角函数进行无穷小代换，可用多项式表示该距离为

H\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)=h-\frac{L}{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}+\frac{R+r}{\mathrm{2}}\times {\left(\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}\right)}^{\mathrm{2}}⒀

经分析，在上述无穷小代换下，该多项式的计算误差不超过0.1 mm，在工程上应用属于可接受范围。

1.2.2　车辆不跨圆曲线时

当驼峰与过峰车辆之间的关系不满足式⑻时，意味着出现车辆车底距钢轨轨面最小时，车辆完全在竖曲线上。车辆车轮与竖曲线相切，此时，夹曲线的长度为

l=L-r\beta =R\beta⒁

式中：l为车辆完全在竖曲线上时的内轴距夹曲线长度，\mathrm{m}\mathrm{m}；\beta为车辆完全在竖曲线上时2个切点之间的转角。

可得到2个切点之间的转角为

\beta =\frac{L}{R+r}⒂

为计算在此情况下的车辆车底距钢轨轨面的最小值，需要引入等效坡度，其计算式为

\mathrm{\Delta }i\mathrm{\text{'}}=\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta =\mathrm{1}\mathrm{000}\beta =\frac{\mathrm{1}\mathrm{000}L}{R+r}⒃

式中：\mathrm{\Delta }i\mathrm{\text{'}}为不跨曲线车辆过竖曲线时的等效坡度，\mathrm{‰}。

在这种情况下，可以直接计算此时车辆车底距钢轨轨面的最小值为

H=h-\left(R+r\right)\left(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\beta }{\mathrm{2}}\right)=h-\frac{R+r}{\mathrm{2}}\times {\left(\frac{\beta }{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}=h-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}⒄

1.2.3　车辆跨2个圆曲线

研究已证明此情况下的最大侵入点仍然出现在峰顶平台与加速区第一坡段之间的圆曲线上，而对于圆曲线来说，最大侵入状态在圆曲线中点处，但该点处的切线斜率大于跨2个圆曲线的车辆的斜率，因此，其侵入值会小于式⒀的计算结果，因此，如果跨2个圆曲线的车辆在式⒀的计算结果下可几何通过驼峰，则其也可几何通过驼峰。

2　长大货车几何通过驼峰判断条件

2.1　长大货车几何过竖曲线的判断条件

因为竖曲线向上凸出，部分线路侵入车辆底部限界。则在给定最小净空量时，长大货车过竖曲线的判断条件为

H_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)=h-\frac{L}{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}+\frac{R+r}{\mathrm{2}}\times {\left(\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}\right)}^{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \mathrm{0}⒅

式中：H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为给定的最小净空量，\mathrm{m}\mathrm{m}。

而式⒅的恒成立条件为

H_{\mathrm{1}，\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)=c-\frac{b^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}a}=\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}\ge \mathrm{0}⒆

式中：a,b,c为二次函数的系数，分别为a=\mathrm{0.5}\left(R+r\right)，b=-\mathrm{0.5}L，c=h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}。

又因式⒆等价于

H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le h-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}⒇

当满足式⒇时，式⒅不存在零点，此时车辆的第二轴和第三轴全部位于竖曲线上，任何车辆经过此驼峰竖曲线时，车辆车底距钢轨轨面的最小距离都大于给定的最小净空量，此时不用考虑加速区第一坡段的坡度大小。

当不满足式⒇时，式⒅在部分加速区第一坡段的坡度下成立，此时式⒅存在零点，且零点判别式为

\mathrm{\Delta }=b^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}ac=\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}-\mathrm{2}\left(R+r\right)\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\ge \mathrm{0}(21)

整理得

H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge h-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}(22)

当溜放车辆满足式 ，式⒅存在零点，此时车辆在过峰时，车底距钢轨轨面距离最小值可能小于给定的最小净空量，代表在该竖曲线半径下，长大货车经过驼峰竖曲线时有一部分坡度不能保证其几何通过驼峰。

2.2　驼峰加速区第一坡段取值范围

当车辆可以经过竖曲线时，有部分坡度可以保证长大货车通过竖曲线，即在满足式 的情况下，可解出加速区第一坡段坡度的2个临界值为

\mathrm{\Delta }i=\frac{L\pm \sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}(23)

结合二次函数的开口方向，加速区第一坡段坡度的取值范围为

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }i\le \mathrm{\Delta }{i}_{-}=\frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\\ \mathrm{\Delta }i\ge \mathrm{\Delta }{i}_{+}=\frac{L+\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\end{array}(24)

上述边界对竖曲线半径的导数为

\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial R}\mathrm{\Delta }{i}_{-}\left(R\right)=\frac{\mathrm{1}\mathrm{000}}{R+r}\left[\frac{\mathrm{4}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)}{\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}-\frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\right]\\ \frac{\partial }{\partial R}\mathrm{\Delta }{i}_{+}\left(R\right)=-\frac{\mathrm{1}\mathrm{000}}{R+r}\left[\frac{\mathrm{4}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)}{\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}+\frac{L+\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\right]\end{array}(25)

其中，式 表明，\mathrm{\Delta }{i}_{+}随着竖曲线半径的增大而减小；\mathrm{\Delta }{i}_{-}关于R的导数大于等于0的条件等价于

h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\ge \mathrm{0}(26)

式 的含义为车辆静止在平直道上时，车辆底部距离钢轨轨面的距离大于给定的最小净空值，该式是车辆能够在铁路线路上走行的基本条件，所以式 是恒成立的。因此，随着竖曲线半径的增大，加速区第一坡段坡度的取值范围会变大。

2.3　判断步骤

综上可得，对于车辆过峰来说，判断其能否过峰的条件步骤如下。

步骤1：判断车辆是否为跨曲线车辆。

L\ge \left(R+r\right)\frac{\mathrm{\Delta }i}{\mathrm{1}\mathrm{000}}

如果上式成立，则该车辆为跨曲线车辆；反之则为不跨曲线车辆。

步骤2：在给定竖曲线半径的条件下计算车辆车底距钢轨轨面最小距离为H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)=h-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}。

步骤3：比较车辆车底距钢轨轨面最小距离与给定的最小净空量之间的大小。

如果H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)\ge H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，则该车辆在此竖曲线半径下，所有溜放情况下的车辆都可以过竖曲线，结束；如果，且车辆为跨曲线车辆，该车辆在此竖曲线半径下，有部分加速区第一坡段的坡度情况下不能过竖曲线，继续步骤4；如果，且车辆为不跨曲线车辆，则该车辆不能通过竖曲线，结束。

步骤4：进一步基于车站调车工作要求的最小净空量，计算驼峰加速区第一坡段的坡度是否在下述区间内。

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }i\le \frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\\ \mathrm{\Delta }i\ge \frac{L+\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\end{array}

若加速区第一坡段的坡度在上述区间内，车辆可几何通过驼峰竖曲线，结束；若加速区第一坡段的坡度不在上述区间内，则该车辆不可几何通过驼峰竖曲线，结束。

3　不满足条件的驼峰改造方案

当车辆不可几何通过竖曲线时，应对驼峰的纵断面进行改造，改造思路及方案有以下2类3种。

第1类：改变圆曲线半径，在不改变加速区第一坡段坡度的前提下，改变圆曲线半径使得车辆能够几何通过驼峰。

方案I：直接将驼峰竖曲线半径改造至满足任意车辆的过峰需求。驼峰与过峰车辆之间不满足式⒇时，即在相应的设备参数下，有部分车辆车底距离钢轨轨面的最小值小于规定的最小净空量，此时可直接将驼峰的竖曲线半径改造至满足下式。

R\ge \frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)}-r(27)

当驼峰竖曲线半径满足式 时，任何车辆都可以通过竖曲线而不触底。

方案II：当驼峰竖曲线半径只能满足部分车辆时，即驼峰与过峰车辆之间不满足式⒇，且驼峰加速区第一坡段的坡度不在式 所述的取值范围内时，需要改造驼峰的纵断面使该驼峰加速区第一坡段的坡度处于该取值范围内。可通过减小加速区第一坡段的坡度或增大竖曲线半径，达到改造目标。

针对增大竖曲线半径的技术路线，应使其满足

\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}H\left(\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}\right)=h-\frac{L}{\mathrm{2}}\times \frac{\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}+\frac{R+r}{\mathrm{2}}\times {\left(\frac{\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}}{\mathrm{2}\times \mathrm{1}\mathrm{000}}\right)}^{\mathrm{2}}\ge H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(28)

式中：\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}为驼峰实际的第一加速坡的坡度。

此时，竖曲线半径应满足的条件为

R\ge \frac{\mathrm{2}\mathrm{000}\left[L\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}-\mathrm{4}\mathrm{000}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\right]}{\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\mathrm{2}}}-r(29)

第2类：改变加速区第一坡段的坡度。在不改变竖曲线半径的前提下，改变加速度第一坡段的坡度使车辆可几何通过驼峰。

方案III：如果不改变最大侵入点位置，需要保证改造之后各坡段之间的坡度差都不大于峰顶平台与加速区第一坡段之间的坡度差。则加速区第一坡段的坡度应满足

\mathrm{\Delta }i\le \mathrm{\Delta }{i}_{-}=\frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}(30)

但无论采用哪种方案，过大的峰顶圆曲线或者过小的加速区第一坡段坡度都会导致溜放车辆在脱钩后的加速过程变慢、溜放时间变长^[1，10]。因此，对于需要改造后才能进行长大货车溜放作业的驼峰来说，如果长大货车的溜放比例占站内驼峰溜放车辆比例较小，则不建议使用驼峰完成长大货车的溜放作业，通过平面牵出线调车法实现长大货车的调车作业是更经济合理的。

4　算例分析

算例分析背景：JSQ6型长大货车，车辆定距为20 800 mm，车辆二三轴距为18 970 mm，车轮半径840 mm，车辆底部最低点在平直道上距离钢轨轨面190 mm；某驼峰竖曲线半径均为350 m，加速区第一坡段的坡度为45‰，分别判断在给定最小净空量为50 mm，55 mm，60 mm，65 mm，70 mm的情况下，该长大货车是否可以几何通过驼峰，如果不可以通过驼峰，则需要计算相应的驼峰竖曲线半径或者加速区第一坡度的坡度改造值。

算例分析过程：根据相应的计算指标，可以得到车辆经过驼峰时车辆车底距离钢轨轨面的最小距离为

H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left(\mathrm{\Delta }i,R\right)=h-\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(R+r\right)}=\mathrm{190}-\frac{\mathrm{18}{\mathrm{970}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\times \left(\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}\right)}=\mathrm{61.79}\mathrm{m}\mathrm{m}

根据判断条件，在给定最小净空量为50 mm，55 mm，60 mm的情况下，可以不考虑加速区第一坡段的坡度，车辆均可以几何通过驼峰而不发生触底现象。

进而计算最小净空量为65 mm，70 mm情况下，加速区第一坡段坡度的取值范围。

最小净空量为65 mm时，加速区第一坡段坡度为

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{i}_{-}=\frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}=\frac{\mathrm{18}\mathrm{970}-\sqrt[]{\mathrm{18}{\mathrm{970}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\times \left(\mathrm{190}-\mathrm{65}\right)\times \left(\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}\right)}}{\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\\ =\mathrm{45.51}\mathrm{‰}\end{array}

可知，该驼峰的加速器第一坡段坡度在该区间范围内，在溜放时车辆可几何通过驼峰而不发生触底现象。

最小净空量为70 mm时，先判断此情况下能否经过驼峰进行溜放。

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{i}_{-}=\frac{L-\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}=\frac{\mathrm{18}\mathrm{970}-\sqrt[]{\mathrm{18}{\mathrm{970}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\times \left(\mathrm{190}-\mathrm{70}\right)\times \left(\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}\right)}}{\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\\ =\mathrm{40.38}\mathrm{‰}\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{i}_{+}=\frac{L+\sqrt[]{L^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\left(R+r\right)}}{R+r}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}=\frac{\mathrm{18}\mathrm{970}+\sqrt[]{\mathrm{18}{\mathrm{970}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}\times \left(\mathrm{190}-\mathrm{70}\right)\times \left(\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}\right)}}{\mathrm{350}\mathrm{000}+\mathrm{840}}\times \mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{‰}\\ =\mathrm{67.76}\mathrm{‰}\end{array}

该车站驼峰加速区第一坡段的坡度为45‰，则在给定最小净空量为65 mm时，可以在不改造驼峰纵断面的情况下几何通过。但在给定最小净空量为70 mm时，需要改造驼峰，改造方案如下。

如果改造至在任意加速区第一坡段的坡度下都可以几何通过驼峰，竖曲线半径最小值为

R_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{L^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)}-r=\frac{\mathrm{18}{\mathrm{970}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\times \left(\mathrm{190}-\mathrm{70}\right)}-\mathrm{840}=\mathrm{374}\mathrm{015.10}\mathrm{m}\mathrm{m}=\mathrm{374.02}\mathrm{m}

此情况下，建议竖曲线半径改造至不小于380 m。

如果保证仅在此车站加速区第一坡段的坡度下可几何通过驼峰，则竖曲线半径最小值为

\begin{array}{l}{R}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{000}\left[L\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}-\mathrm{4}\mathrm{000}\left(h-H_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\right]}{\mathrm{\Delta }{i}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\mathrm{2}}}-r=\frac{\mathrm{2}\mathrm{000}\times \left[\mathrm{18}\mathrm{970}\times \mathrm{45}-\mathrm{4}\mathrm{000}\times \left(\mathrm{190}-\mathrm{70}\right)\right]}{{\mathrm{45}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{840}\\ =\mathrm{368}\mathrm{197.04}\mathrm{m}\mathrm{m}=\mathrm{368.20}\mathrm{m}\end{array}

此情况下，建议竖曲线半径改造至不小于370 m。

通过算例可以得到以下结论：由于竖曲线半径远远大于车轮半径，在实际应用中可以不考虑车轮半径的影响；若车辆的二三轴距难以获取，采用车辆定距代替二三轴距计算得到的判断条件较采用二三轴距计算得到的判断条件更加严格，可在实际应用中选择车辆定距代替二三轴距来判断车辆能否几何通过驼峰纵断面。

5　结论

禁溜车中的长大货车对编组站调车作业效率的影响非常大，而驼峰调车是编组站内作业效率最高的调车方式，研究在理论层面分析并给出了长大货车几何通过驼峰的判断条件，并以目前我国铁路编组站最常见的长大货车JSQ6型车为算例进行分析，得到以下结论。

（1）在对长大货车车底距钢轨轨面最小距离进行定性分析的基础上，得到线路侵入车辆底部的最大侵入点为满足拉格朗日中值定理的点，且对于驼峰纵断面来说，每个车辆倾斜角度下的最大侵入点是唯一的，而最大侵入点最有可能出现在连接峰顶平台和加速区第一坡段的圆曲线上。

（2）在对长大货车车底距钢轨轨面最小距离进行定量分析的基础上，给出了计算车辆溜放过程中车底净空量的计算式。并在给定计算式的基础上给出了判断该车辆能否几何通过驼峰的判断条件。

（3）对于不能几何通过驼峰的车辆，给出了相应的驼峰线路纵断面改造方案。经过计算发现，在实际应用中可以不考虑车轮半径对此问题的影响；同时在计算中可直接采用车辆定距进行近似分析，不会影响最后的判断结果。

（4）由于各个改造方案都会导致车辆在脱钩后的加速时间变长，因此对于有调长大货车占比较小的车站，建议仍然采用平面牵出线调车法对长大货车进行调车作业。

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基金资助

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2019JBM033)