不确定条件下公铁协同运输路径优化与货运量分配模型

A Model for Optimizing Routes and Freight Volume Distribution of Road-Rail Cooperative Transportation Based on Uncertainties

摘要

为解决货物运输过程中单一路径和单一运输方式运输成本高、服务效率低等问题，且考虑到货物在运输过程中可能受不确定因素的影响，从承运人的角度出发，依托现有运输网络进行货流拆分，基于不确定条件对公铁协同运输路径优化与货运量分配问题展开研究。首先，以网络运输能力和交货时间为约束条件，运输费用、中转费用、拆分费用以及超时惩罚和仓储惩罚费用作为成本目标，将不确定因素处理为随机参数，构建运输总成本最小化模型；其次，设计改良的模拟退火算法进行模型求解；最后，通过求解小规模算例来验证模型和算法的有效性和合理性。结果表明：该模型可帮助承运人提前规避风险，最大化地利用运输资源规划运输方案，进一步提高货物运输效率和货运服务水平。

Abstract

There are problems of high transportation costs and low service efficiency of a single route and a single mode of transportation in the process of freight transportation, and the cargo may be affected by uncertainties in the transportation process. In order to address these issues, this paper started from the carrier's point of view, relied on the existing transportation network to distribute the freight flow, and conducted research on transportation route optimization and freight volume distribution of road-rail cooperative transportation based on uncertainties. Firstly, by taking the network transportation capacity and delivery time as the constraints and the transportation cost, transit cost, distribution cost, overtime penalty, and storage penalty cost as the cost objectives, the uncertainties were processed into random parameters, and the model of minimizing the total cost of transportation was constructed. Secondly, an improved simulated annealing algorithm was designed for model solving. Finally, the validity and rationality of the model and the algorithm were verified by solving the small-scale arithmetic cases. The results show that the model can help carriers avoid risks in advance, maximize the use of transportation resources to plan transportation schemes, and further improve cargo transportation efficiency and freight service levels.

Graphical abstract

关键词

公铁协同运输 / 不确定条件 / 模拟退火算法 / 货流可拆 / 运量分配

Key words

Road-Rail Cooperative Transportation / Uncertainty / Simulated Annealing Algorithm / Freight Flow Distribution / Freight Volume Distribution

0　引言

我国社会经济发展迅速，货运需求大幅度增长，铁路和公路运输压力明显增大。根据国家统计局公布的数据，全社会货运总量如图1所示，近10年来我国全社会货运总量呈现持续上升的趋势，尽管在2019年和2020年受疫情影响略有下降，但2021年全社会货运总量已回升至529.85亿t，比2018年增长了2.8%。铁路和公路货运总量呈现出与全社会货运总量变化趋势相似的上升态势。然而，相较于货运量的急速增长，交通运输行业的发展速度明显滞后，在运输资源、服务质量和运输效率等方面的问题愈发突出。此外，由于货物运输过程中可能受突发情况等不确定因素的干扰，导致网络运输能力等参数发生不确定性变化，原计划运输方案失效。因此，如何在运输资源有限、不确定条件下，使得公铁联运2种运输方式间的货运量分配更加科学、输送路径更为合理，以实现货物运输的降本增效，是货物运输优化的一个至关重要的问题。当单一运输方式效率不高、经济成本较高或运输能力不足时，可根据运输网络的资源条件，对货流进行拆分，通过多路径运输或者选用其他运输方式替代运输或补充运输，从而提高运能，高效完成运输任务。通过有效的货流拆分和多路径运输的调度，可以最大程度地利用运输网络的资源条件，优化运输效能，提升货物运输速度。在应对运输方式有限或运输效率低下的情况下，能够提供一种更为灵活高效的运输方案，满足托运人需求。

目前，关于不确定条件下多式联运中各运输方式间货运量的分配问题，主要涉及货流不可拆分和货流可拆分2方面，对于不确定因素的处理方法主要包括灵敏度分析^[1-2]、不确定规划^[3]2种。前者已有多项相关的研究，主要以实现运输成本的最小化和缩短运输时间为优化目标展开，此类问题的研究需要满足一系列约束条件，如网络运输能力限制、交货时间限制等。为了解决这一问题，学者们提出了多种求解算法，其中包括模拟退火算法、分支定界算法、启发式算法^[4-6]等，此外，一些学者还采用了Lingo^[7]，Cplex等软件工具对问题进行求解，以提高求解效率和精确度，如王清斌等^[8]利用改进区间规划方法对不确定因素进行处理，将运输需求区间划分为不同的需求等级，基于此构建网络优化模型，将不确定性模型转换为确定性模型进行求解，最后通过算例对该模型的合理性以及改进区间规划方法的有效性进行了验证。此外，考虑到突发事件对运输网络中运输能力和运输时间等参数的影响，Uddin等^[9]构建了以运输费用最小为目标的随机混合整数规划模型。Wang等^[10]构建了以运输时间为约束的最小费用模型，并通过将问题转化为最短路径模型来求解。Wang等^[11]则将货物的期望送到时间与货物实际送到时间作为不确定因素，基于模糊理论构建了以服务水平最高和资源消耗最少为目标的优化模型。Tian等^[12]运用区间排序等方法对存在不确定性的因素进行处理，构建了一个以运输成本最小为目标的混合整数规划模型。考虑到运输成本和运输时间的不确定性，Yang等^[13]构建了一个以最小化运输成本为目标的优化模型，并运用模糊随机模拟方法、多启动模拟退火算法进行了实证研究。

在货流可拆分的情况下，整批货物可以被拆分并分配到多个运输路径上进行运输，可以根据不同路径的成本、时间和服务水平优化运输策略，从而提高整体运输效率。相较于不可拆分货流，可拆分货流的灵活性更强，可以更好地应对网络运输能力波动和运输资源有限的问题，进一步提升运输系统的适应性和响应能力。但由于货流可拆分情况下的运量分配问题引入了多条路径和多种可能的货物分配方式，导致问题的规模和复杂性显著增加，问题求解困难，所以现阶段关于货流可拆分的运量分配研究非常少，主要集中在优化模型的构建和实际应用效果上，如于鲁通^[14]以节点能力和运输成本等为约束，构建了一个混合整数线性规划模型，旨在最小化系统成本和系统风险。该模型以京津冀地区作为实证研究的案例，得出结论，较不可拆分的货流而言，可拆分货流对于降低系统的成本和风险更为有效。另一方面，齐颖秀^[15]以利益最大化和运输费用最小化为目标，构建了一个双层规划模型，并对其进行了求解，研究结果表明，运能不足时，对货流进行拆分可明显提高运输收益。Chang^[16]和Moccia等^[17]基于货流可拆分这一前提条件，对多式联运网络中的货物运输路径规划问题进行了探讨研究。

综上可见，当前多式联运的研究大多基于确定性环境且货流不可拆分的前提，缺乏对不确定环境及货流可拆分问题的研究探讨。处理不确定因素的方法主要包括随机数、区间数和模糊数3种，分别对应不确定规划理论中的随机规划、区间规划和模糊规划。考虑到自然因素等突发情况发生的随机性特征以及问题背景的现实性，选择将不确定因素处理为随机参数进行求解，可以更好地反映实际情况，提高模型的适用性。

1　不确定条件下公铁协同运输路径优化与货运量分配

1.1　协同运输路径优化与货运量分配问题描述

在公铁联运过程中，受自然因素、人为因素、设备故障及意外事故等多种不确定因素的影响，运输时间、运输费用及运输能力等会产生波动变化，继而造成最优运输方案的失效。为此，在组织公铁联运时需考虑联运过程中存在的诸多不确定因素，对其运输路径及货运量分配进行重新规划，根据不确定因素产生的机理，将其分为3类进行考虑，在后续建模过程中处理为随机参数，不确定因素分类如表1所示。

假设公铁联运网络\left(N，L，A\right)，其中N表示网络中节点的集合，L表示网络中弧段的集合，A表示可选运输方式的集合。在这个运输网络中，i,j\in N表示公铁联运网络中的节点，起点和终点分别用O和D表示，（i，j）\in L表示公铁联运网络中的弧段。\omega \in \phi表示运输过程中的突发情况。从承运人的角度出发，基于各种突发情况\omega的影响，考虑如何合理规划运输方案，以实现运输总成本最小。

1.2　模型符号定义及相关假设

考虑到理论模型的合理性，现对模型做以下假设。

（1）货流的可拆分性：货流仅能在中转节点进行拆分。

（2）运输方式变更：货物仅能在中转节点处变更运输方式，且每个节点处只能变更1次。

（3）运输工具速度的稳定性：各类载运工具均假定为平均速度运输。

（4）不考虑不同货物类型和运输方式的具体车型。

（5）若中转节点的前后运输方式相同，则不进行实际中转作业，若进行货流拆分，则仅记录该点由拆分作业产生的费用与时间。

模型参数如表2所示，决策变量如表3所示。

1.3　模型构建

为了在不确定条件下，使得运输总成本最小化，构建公铁协同运输路径优化与货运量分配模型。在运输方案规划中，主要考虑运输费用、拆分费用、中转费用以及超时惩罚和仓储惩罚费用等成本。目标函数如式⑴所示。

\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z=\sum _{\omega \in \phi }{P}_{\omega }\sum _{a\in A}\sum _{(i，j)\in L}{c}_{ij}^a\cdot q\cdot x_{ij}^a\left(\omega \right)\cdot {\mathrm{d}}_{ij}^a+\sum _{\omega \in \phi }{P}_{\omega }\sum _{a,b\in A}\sum _{s\in N}q\cdot \left(c_s^{ab}+f_s^{ab}\right)\cdot y_s^{ab}\left(\omega \right)+\\ \sum _{\omega \in \phi }{P}_{\omega }\cdot q\cdot (\mathrm{1}-\sum _{a\in A}\sum _{i\in N}{x}_{iD}^a\left(\omega \right))\cdot \psi \cdot H+\sum _{\omega \in \phi }{P}_{\omega }\sum _{a,b\in A}\sum _{s\in N}q\cdot y_s^{ab}\left(\omega \right)\cdot {\lambda }_s^{ab}\left(\omega \right)\cdot \theta \end{array}⑴

流量平衡性约束如下。

\sum _{a\in A}\sum _{j\in N}{x}_{ij}^a\left(\omega \right)-\sum _{a\in A}\sum _{h\in N}{x}_{hi}^a\left(\omega \right)\left\{\begin{array}{l}=+\mathrm{1}\forall i=O\\ \ge -\mathrm{1}\forall i=D，\omega \in \phi \\ =\mathrm{0}\forall i\in N\backslash \left\{O，D\right\}\end{array}\right.⑵

式⑵保证了公铁联运过程中路径选择的连通性和流量的平衡性，具体而言，起点\mathrm{O}只进行货物的发送作业，不存在货物的到达作业；而终点\mathrm{D}只进行货物的到达作业，不存在货物的发送作业。中间节点既有货物的流出也有货物的流入，并且需要满足流量守恒的原则，即进入某个节点的货物量必须等于离开该节点的货物量。

变量兼容性约束如下。

\sum _{b\in A}{y}_s^{ab}\left(\omega \right)=\sum _{h\in N}{x}_{hs}^a\left(\omega \right)-\sum _{j\in N}{x}_{sj}^a\left(\omega \right)\forall s\in N，a\in A，\omega \in \phi⑶

式⑶为决策变量之间的兼容性约束，表示在中转节点s处由运输方式a更换至运输方式b的货运量比例等于以运输方式a流入节点s的货运量比例减去以运输方式a流出节点s的货运量比例，其中\left(h,s\right)表示流入节点s的弧，\left(s,j\right)表示从节点s流出的弧，确保货物在中转节点s选择由运输方式a更换至运输方式b运输时，在后续弧段该批货物由中转节点s运往节点j时必须使用运输方式b。

运输能力约束如下。

q\cdot x_{ij}^a\left(\omega \right)\le Q_{ij}^a\left(\omega \right)\forall \left(i,j\right)\in L，a\in A，\omega \in \phi⑷

式⑷表示每种运输方式弧段的运输能力约束条件，确保运输货物的数量不超过各个运输方式弧段的运输能力。具体而言，对于每个运输方式弧段，其运输能力必须大于或等于运输经过该弧段的货物总量。

中转能力约束如下。

q\cdot y_s^{ab}\left(\omega \right)\le Q_s^{ab}\left(\omega \right)\forall s\in N，a，b\in A，\omega \in \phi⑸

式⑸表示中转节点中转能力的约束条件，确保在中转节点发生运输方式变更时，货物数量不超过该节点中转能力。具体而言，对于每个中转节点，其中转能力必须大于或等于通过该节点进行运输方式变更的货物数量。

交货时间约束如下。

\sum _{a\in A}\sum _{\left(i，j\right)\in L}{t}_{ij}^a\left(\omega \right)+\sum _{a,b\in A}\sum _{s\in N}\left(t_s^{ab}\left(\omega \right)+k_s^{ab}\left(\omega \right)\right)\le T\forall \omega \in \phi⑹

式⑹为保证货物能够在客户规定的时间内送达终点。

x_{ij}^a\left(\omega \right)\le {\alpha }_{ij}^a\left(\omega \right)\forall \left(i,j\right)\in L，a\in A，\omega \in \phi⑺

y_s^{ab}\left(\omega \right)\le {\beta }_s^{ab}\left(\omega \right)\forall s\in N，a，b\in A，\omega \in \phi⑻

式⑺和⑻分别建立了决策变量与中间变量之间的联系。

\mathrm{0}\le x_{ij}^a\left(\omega \right)\le \mathrm{1}\forall \left(i,j\right)\in L，a\in A，\omega \in \phi⑼

\mathrm{0}\le y_s^{ab}\left(\omega \right)\le \mathrm{1}\forall s\in N，a，b\in A，\omega \in \phi⑽

式⑼和⑽表示决策变量的取值约束。

{\alpha }_{ij}^a\left(\omega \right)\in \left\{\mathrm{0}，\mathrm{1}\right\}\forall \left(i,j\right)\in L，a\in A，\omega \in \phi⑾

{\beta }_s^{ab}\left(\omega \right)\in \left\{\mathrm{0}，\mathrm{1}\right\}\forall s\in N，a，b\in A，\omega \in \phi⑿

{\lambda }_s^{ab}\left(\omega \right)\in \left\{\mathrm{0}，\mathrm{1}\right\}\forall s\in N，a，b\in A，\omega \in \phi⒀

式⑾、⑿以及⒀表示中间变量为0-1变量。

1.4　算法设计

模拟退火算法是一种全局搜索算法，其原理是按照一定概率接受劣解，以防止算法过早陷入局部最优。通过不断降低接受劣解的概率，可逐步收敛至全局最优。相比其他启发式算法，模拟退火算法具有全局搜索能力、跳出局部最优解能力、处理大规模问题能力、灵活处理约束条件的能力，以及较为简单易用的参数调整方法，具有更为突出的优势。在路径优化和货流分配等问题中，涉及到大量的变量和约束条件，使得搜索空间巨大。模拟退火算法通过随机搜索和局部优化策略，能够有效地解决这类复杂问题，只需随机生成初始解，即可进行迭代求解优化问题，为承运人快速高效地找到最优运输方案提供了有力支持。根据模型构建的特性，对模拟退火算法进行了改良，以提高其效率和精度，经过改良的模拟退火算法需要遵循以下步骤。

步骤1：参数设置。设置起始温度为{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}，终止温度为0.1，利用线性温度递减函数等间隔迭代100次进行降温。此外，设置外循环迭代次数为100和内循环迭代次数为10，然后转步骤2继续迭代。

步骤2：初始化，记录当前解为最优解。首先，初始化路径集合，设置起点节点和货运总量，通过连接新的节点扩展路径，直到所有路径都抵达终点。具体操作为：不断遍历集合中所有路径的最后一个节点，检查是否抵达了终点。若未抵达终点，则从最后一个节点所能连接的下一个节点中随机选择一个新的节点。若新节点与当前节点间的网络运输能力(弧段运输能力和中转节点的中转能力)大于等于需要运输的货物量，则将新节点保存到当前路径。若新节点与当前节点的网络运输能力小于需要运输的货物量，则从当前节点出发拆分产生一条新的路径，完成超额货物量的运输，将新节点保存到原路径中。若已抵达终点，记录当前解为最优解，转至步骤3继续迭代。

步骤3：进化产生新解。检查初始运输方案的路径数量。若只存在一条运输路径，则转至步骤2，生成新的运输方案。若当前运输路径包含2条运输路径，则随机选择一条路径，并在该路径中随机选择一个节点，通过连接新的节点扩展成新的路径，直到该路径抵达终点。具体操作为：从选定节点能连接的下一个节点中随机选择一个新的节点，对其弧段运输能力进行判断。若新节点与当前节点间的网络运输能力大于等于需要运输的货物量，则将新节点保存到当前路径。若新节点与当前节点的网络运输能力小于需要运输的货物量，则从当前节点出发拆分产生一条新的路径，完成超额货物量的运输，将新节点保存到原路径中。然后，转至步骤4继续迭代。

步骤4：模拟退火过程。计算目标函数的增量\mathrm{\Delta }f=f\left(X\right)-f\left(X_{\mathrm{0}}\right)，按Metropolis准则接受新解，若，则接受新解，即X_{\mathrm{0}}=X；若\mathrm{\Delta }f\ge \mathrm{0}，计算P=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{\Delta }f/T\right)，若P大于随机生成的(0，1)区间上的一个均匀分布的随机数，则接受新解；否则，保留当前运输方案。然后，转至步骤5继续迭代。

步骤5：更新最优解。与最优解进行比较，若运输方案的目标函数值小于最优解，则更新当前解为最优解，转至步骤6继续迭代。

步骤6：判断内循环迭代次数是否满足设定条件。在进行内循环迭代之前，需要判断内循环迭代次数是否满足设定的条件。若满足，则转至步骤7；否则，更新迭代次数，并回到步骤3继续迭代。

步骤7：通过线性降温函数降低温度，控制接受劣解的概率逐渐减小。然后，转至步骤8继续迭代。

步骤8：判断外循环迭代次数是否满足设定条件。在进行外循环迭代之前，需要判断外循环迭代次数是否满足设定的条件。若满足，则转至步骤9，否则更新迭代次数，并回到步骤3继续迭代。

步骤9：返回最优目标函数值，结束算法。根据最优运输方案中的每条运输路径，计算出各项成本费用，包括运输费用、中转费用、拆分费用、超时罚款和仓储费用。然后，根据各项成本费用计算出总的运输费用，返回最优目标函数值，结束算法。

改进模拟退火算法流程图如图2所示。

2　算例分析

2.1　算例描述

假设有100 t货物需要从A运往M，运输网络如图3所示，根据各城市位置，从A到M存在多条运输路径，每2个城市之间均可选择公路或铁路作为运输方式，客户要求在35 h内送达，若无法按时送达，将会产生每吨每小时600元的惩罚费用；若在中转节点处需要存储货物，则会产生300元/t的仓储费用，铁路运输的平均速度为75 km/h，运输费用为1.6元/(t·km)，公路运输的平均速度为80 km/h，运输费用为3.5元/(t·km)，每个中间城市可以更换运输方式和货流拆分。在运输过程中，可能会受到设备故障、自然灾害等各种突发情况的干扰，针对可能出现的突发情况，承运人需要在有限的运输资源条件下，合理地规划运输方案，实现运输总成本最小化。

按照运输方式对图3各城市节点进行拆分，以B点为例，将其拆分成为2个虚拟节点，分别命名为B1和B2，代表铁路站场与公路站场。弧A—B1表示铁路运输，使用红色虚线表示；弧A—B2表示公路运输，使用绿色实线表示，所构建的节点拆分虚拟网络如图4所示。

2.2　基本数据

确定突发情况的概率需基于历史数据和统计分析，适用于数据充足的情况。但在实际的调查中显示，运输能力等参数受环境因素影响较大，且变化程度不确定，导致可利用的数据样本有限，无法满足概率分布函数的要求。只能依靠铁路运输和公路运输行业专家和相关从业者的知识和经验，给出突发情况概率区间的极大极小估计值。X^{\pm }可作为一个没有具体分布信息但已知上下界的区间数，具体可表示为：X^{\pm }=\left[X^{-}，X^{+}\right]=\left\{x\in X^{\pm }|X^{-}\le x\le X^{+}\right\}，其中，X^{+}和X^{-}分别是X^{\pm }的上下界，当X^{-}=X^{+}时，X^{\pm }即为一个确定值。对于服从均匀分布的区间数，可利用MATLAB内置的rand函数进行随机模拟，产生相应的服从均匀分布的随机数，对货物运输过程中可能发生的突发情况的概率值进行估算^[18]，计算公式如下。

X^{\pm }=X^{-}+\left(X^{+}-X^{-}\right)\cdot \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(\right)⒁

式中：\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\left(\right)为0~1分布均匀随机数。

根据铁路运输和公路运输行业专家和相关从业者的经验和知识，突发情况概率区间的极大极小估计值分别为0.5和0.1，通过式⒁计算可得，3类突发情况的概率值为0.3，0.4，0.3。运输网络中不同运输方式节点间的距离及弧段运输能力如表4所示。

在各类突发情况影响下，中转节点相关数据表如表5所示。

2.3　求解结果

使用上述改进后的模拟退火算法迭代1 000次进行求解，通过不断比较寻找更优解，目标函数值迭代至482 900元达到最优，目标函数值迭代优化过程如图5所示。

最优运输方案如图6所示，货物的运输路径为A—B—E—H—K—M和A—B—D—E—H—K—M。货物由节点A经铁路运至节点B，并在节点B处进行货流拆分。其中，路径1：95%的货物继续经铁路运输到达城市E，然后经铁路运输依次送至城市H和城市K，最后再经铁路运输到达终点城市M。路径2：剩余5%的货物在节点B拆分后，经铁路运输送至城市D，再继续经铁路运输至城市E和城市H，在城市H，该批货物更换运输方式，转为公路运输到达城市K，再经公路运输到达终点城市M。经计算，此运输方案的总运输费用为482 900元，路径1的运输时间为35.97 h，路径2的运输时间为34.60 h。经路径1运输的货物因进行货流拆分未按时送达，产生了惩罚费用，金额为55 480元。

3　结论

如何在现有的运输资源条件下，科学合理地规划运输方案是公铁协同运输问题研究的重点。从承运人角度出发，考虑到实际运输过程中存在的问题，以降低运输成本为目标构建了基于公铁联运的协同运输路径优化与货运量分配模型，得出如下研究结论。

（1）本研究旨在以货物交付时间及网络运输能力等因素为约束，构建系统运输总成本最小的混合整数规划模型，从而为承运人确定最优的运输方案。同时，针对模型特点对模拟退火算法进行改良，通过求解小规模算例对算法的有效性进行了验证。区别于大多数的既有研究成果，基于货流可拆分这一前提条件展开研究，更加贴合实际，当单一运输方式运能不足时，通过其他运输方式协同运输，实现了替代运输和运能补充，充分利用了现有运输资源，提高了运输效率和运输服务水平，最大程度地降低了运输成本。

（2）综合考虑了各类不确定因素在实际货物运输过程中的影响，根据其产生的机理，分类归纳为系统因素、自然因素和其他因素3类突发情况进行研究并依托铁路运输和公路运输行业专家和相关从业者的经验和知识，利用Matlab内置的rand函数进行随机模拟，产生相应的服从均匀分布的随机数，对货物运输过程中可能发生的突发情况的概率值进行估算，将其处理为随机参数进行建模，利用改进的模拟退火算法进行求解，对所提出的模型的合理性以及算法的有效性进行了检验，可帮助承运人提前规避风险降低经济损失，提高货运服务水平。

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基金资助

甘肃省教育厅高等学校创新基金项目(2020A-038)

兰州交通大学青年基金项目(2014029)