城市轨道交通列车运行计划编制与优化研究综述

Review of Research on Train Operation Planning and Optimization for Urban Rail Transit

摘要

城市轨道交通列车运行计划是运输企业提供运输能力满足客流出行需求的体现，通过分析城市轨道交通列车运行计划核心要素的研究内容与研究现状，将现有研究的优化目标归纳为降低企业运输成本、降低乘客出行成本2类，阐释针对模型的主流优化方法，主要集中于直接使用求解器求解、使用传统运筹学方法求解、使用智能启发式或元启发式算法求解等。建议运行计划的研究考虑列车实际折返进路、列车出入段进路等实际应用场景以保证优化结果的实际可应用性，求解算法应兼顾其可扩展性与求解效率。结合现有研究与实际应用提出列车运行计划核心要素的泛化优化模型，为列车运行计划的实际应用提供理论支撑。

Abstract

The train operation plan for urban rail transit represents the transportation enterprise's capability to meet passenger travel demand through service capacity provision. By analyzing the research contents and current status of core elements in train operation plans for urban rail transit, the optimization objectives of existing studies were classified into two categories: enterprise operation cost reduction and passenger travel cost reduction. Mainstream optimization methods for these models were elaborated, primarily including direct solver application, traditional operational research approaches, and intelligent heuristic/metaheuristic algorithms. The study suggested incorporating practical operational scenarios such as actual train turnaround tracks and depot access tracks into operation plan research to ensure the applicability of optimization results. Solution algorithms should balance scalability with computational efficiency. A generalized optimization model for core elements of train operation plans was developed through the integration of existing research and practical applications, providing theoretical support for real-world implementation of train operation plans.

关键词

城市轨道交通 / 运行计划 / 运行图 / 开行方案 / 车底运用

Key words

Urban Rail Transit / Train Operation Plan / Train Working Diagram / Running Planning / Rolling Stock Utilization

0　引言

随着城市化进程的加快和公共交通需求的不断增长，城市轨道交通系统在现代交通出行网络中扮演着越来越重要的角色。高质量的列车运行计划不仅能够提升城市轨道交通系统的运作效率，还能改善乘客的出行体验。因此，研究列车运行计划编制与优化成为了城市轨道交通领域的重要课题。

城市轨道交通企业通过提供运输能力满足客流出行需求，运输企业在开行方案、运行图与车底运用方案间循环优化直至获得最佳匹配客流出行需求的结果。由于乘务组织对于列车运行计划的影响较小，满足车底运用需求的运行图一般作为结果直接下发至乘务部门编制乘务计划。不同于铁路系统，城市轨道交通的综合维修天窗对于列车运行图的影响也较小。因此，城市轨道交通运行计划的核心部分为开行方案、时刻表与车底运用方案，通过系统性回顾和总结城市轨道交通列车开行方案、时刻表与车底运用方案的典型研究成果，探讨当前研究的建模方法、求解方法、未来的发展方向，提出列车运行计划核心要素的泛化优化模型，为城市轨道交通列车运行计划优化提供理论支撑。

1　开行方案优化研究

开行方案是在给定的城市轨道交通网络和基础设施条件下，确定列车的运行交路、交路比例、开行频率、停站方案、编组方案等。研究的核心在于通过优化列车的开行方案，满足客流出行需求、提高系统效率，同时控制运营成本^[1-3]。

1.1　开行方案优化模型

开行方案的优化以列车的开行间隔、开行交路、停站方案等为决策变量，优化的目标可分为单独优化企业运营成本、单独优化乘客出行成本与同时优化企业运营成本与乘客出行成本3种情况^[4]。

从线路类型的角度分类，城市轨道交通开行方案的研究对象可分为直线形线路、环形线路、Y/T形线路、X形线路以及线网。直线形线路中的列车从始发站出发运行至终到站后通过折返线折返后继续向反方向运行，因此具备折返条件的车站可作为列车的始发站或终到站^[5]。环形线路的列车始终在一个方向循环运行，列车无需通过折返的方式更换方向，在对于环线的研究中，田佩宁等^[6]构建了环线和半径线之间的跨线列车开行方案规划模型。当2条线路在某车站相交时，乘客可在该车站换乘，列车可在该换乘站跨线运行。若该换乘站位于一条线路的中间与另一条线路的尽端，则两线路为Y/T形线路，若该换乘站位于两条线路的中间，则两线路为X形线路。杨安安等^[7]以Y/T形跨线为研究对象，构建考虑跨线列车对线路通过能力影响的开行方案优化模型；Sun等^[8]以构建X形线路的跨线列车开行方案规划模型；Ma^[9]构建了城市轨道交通网络开行方案优化模型。

列车运营的模式可分为站站停的运营方式与快慢车的运营方式。在站站停的运营方式中，列车在每个车站停靠相同的时间，在客流量较大的车站列车需要停靠更长的时间使得乘客均可乘坐列车，反之则需要更小的停站时间，对于站站停模型的优化一般增加最小停站时间与最大停站时间的约束。在对于站站停模式下开行方案的研究中，王磊等^[10]建立以各区间列车运输能力与断面客流量差值的绝对值之和最小为优化目标的优化模型。在客流空间分布不均匀的长距离线路中，为节省乘客总在途时间与企业运营成本，运输企业使用快慢车的运营方式，快车可在中间车站越过慢车运行^[11-12]。例如，李团社等^[13]构建以企业运营成本、乘客出行成本以及列车越行成本最低为目标的既有城市轨道交通非站站停列车开行方案优化模型。

模型的优化目标可分为最小化企业运输成本^[14]、最小化乘客出行成本^[15-17]与协同最小化企业运输成本与乘客出行成本^[18-20]。在以最小化企业运输成本为目标的优化中，李伟等^[21]以最小化列车运营里程费用与最小化改编费用为目标函数，模型考虑线路通过能力、发车频率约束、乘客服务水平约束、客流运输需求约束、车辆运用约束、改编车站约束等条件。在以最小化乘客出行成本为目标的优化中，陈强等使用动态规划方法^[22]优化了乘客等待时间；牛惠民等^[5]使用遗传算法优化了拥挤环境下乘客人均等待时间；Ding等^[23]通过使用小交路的运营模式优化乘客人均等待时间。在实际运营中，乘客希望列车以更高的频率运行，而运输企业希望列车以更低的频率运行以节省成本，因此需要确定合理的开行频率以同时满足二者的需求^[24-26]。黄俊生等^[27]将乘客出行成本归纳为票价、在站候车时间、换乘时间、在车时间4部分，将企业运营成本归纳为车辆走行费用和车辆小时购置费用2部分，以列车交路与开行频率为决策变量优化跨线列车模型；温芳等^[28]优化了乘客出行时间与列车走行成本。此外，一部分学者建立双层模型协同优化企业成本与乘客成本，闫菲等^[29]以最大化运力运量匹配度与最小化运输成本为优化目标建立跨线列车双层优化模型；曾庆文等^[30]建立双层规划模型，上层旨在节省乘客出行时间并提高企业运营收益，下层旨在均衡跨线列车与非跨线列车的满载率。

综上，开行方案的研究在于优化运营商成本与收益及旅客成本与收益，模型的约束包含车站能力约束、区间能力约束、车底运用约束、乘务规则约束、客流关联约束与服务水平约束^[4]。城市轨道交通开行方案的优化一般将车站能力与区间能力合并为线路最小行车间隔约束h_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}。通过车底运用约束、乘务规则约束、列车实际供电情况、乘务人员数量等确定可行开行交路集合R，并要求开行的交路R_x为集合R的元素。对于客流关联、服务水平及满载率的约束可确定线路最大行车间隔h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}。因此，开行方案的泛化优化模型如下所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{w}_{\mathrm{1}}{f}_{L,\mathrm{1}}(h_x,R_x,t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})+w_{\mathrm{2}}{f}_{L,\mathrm{2}}(h_x,R_x,t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})⑴

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le h_x\le h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ R_x\subseteq R\end{array}\right.⑵

式中：h_x，R_x为开行间隔与开行交路；t_{\mathrm{0}}与t_{\mathrm{1}}为研究时段的开始时刻与结束时刻；f_{L,\mathrm{1}}(h_x,R_x,t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})为乘客出行成本；f_{L,\mathrm{2}}(h_x,R_x,t_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}})为企业的运营成本；w_{\mathrm{1}}与w_{\mathrm{2}}为乘客出行成本权重参数与企业运营成本权重参数；h_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为线路为保证行车安全所允许开行的最小行车间隔；h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为线路为保证服务频率所允许开行的最大行车间隔；R为可行的开行交路集合。

公式⑴表示研究的目标函数为最小化企业运营成本与乘客出行成本；公式⑵第1项表示对开行频率的约束；公式⑵第2项表示对开行交路的约束。

1.2　开行方案求解算法

开行方案优化模型解空间的数量并不是很大，因此不需要使用过于复杂的求解方法。求解方法可通过直接使用求解器、使用传统运筹学算法和使用智能启发搜索方法求解。

对易于求解的模型，可以直接使用求解器求解，闫菲等^[29]通过Lingo求解下层模型。一部分学者采用传统的运筹学方法，Claessens等^[14]通过分支定界法求解非线性整数规划问题；陈强等^[22]使用动态规划的方法求解以等待时间最小为优化目标的模型；Guan等^[24]使用分支定界法求解整数线性规划模型。传统运筹学方法要求模型规模不能过大，并且一般要求模型可线性化，但实际问题往往更加复杂，这限制了模型的可应用性与可扩展性。此外还有一部分学者使用智能启发式算法求解模型，牛惠民等^[5]通过遗传算法降低乘客出行等待时间；Li等^[25]提出了一个局部搜索算法求解混合整数非线性规划模型；Ma等^[9]基于深度学习构建了城市轨道交通网络路线规划优化算法。

在实际运营中运输企业依据客流特征将全天客流划分为多个时域，并分别计算各个时域的开行方案^[31]，即通过确定各个时域的行车间隔与开行交路协同优化企业运营成本与乘客出行成本。因此，开行方案作为运行图优化的输入确定了各时域列车的行车间隔与开行交路。开行方案在优化目标中需要考虑客流稳定时域乘客出行成本、企业运营成本，并同时考虑企业利益与乘客利益。在客流波动较小的稳定时域需要考虑乘客出行的公平性问题，在客流波动较大的过渡时域需要考虑2个时域间运力配置与车辆段收发车能力，以此保证开行方案的可行性。开行方案应当考虑列车占用股道的周期规律与股道占用的时空冲突，以此保证优化的结果可作为运行图优化的指导。此外，实际应用对于算法的求解速度也提出极高的要求。

综上，学者对于城市轨道交通开行方案的研究内容涵盖各方面场景并取得了较好的应用效果，但仍存在以下改进空间。

（1）开行方案优化研究的决策变量大多仍为运行交路、交路比例、开行频率、停站方案、编组方案，但开行方案应当考虑列车占用股道的周期规律与股道占用的时空冲突，以保证优化结果的可行。

（2）城市轨道交通客流在高峰期与平峰期的分布并不相同，一般划分多个时域并分别计算开行方案^[31]，既有的研究大多集中于优化一个时域的开行方案，对于2个相邻时域的开行方案衔接研究较少，如何协同优化相邻时域的开行方案并确保衔接可行仍值得进一步研究。

（3）对于开行方案的既有研究未将车辆段与车场的分布及车站所能容纳的编组长度作为模型考虑因素，一部分车辆段与车场可能存储不同编组方式的列车并且这部分列车仅能在指定区段运行，如何在优化开行方案时建立列车与车辆段的衔接关系仍值得进一步研究。

（4）既有的算法在求解速度上仍然有进一步优化的空间。直接使用求解器求解可能导致需要花费大量的求解时间甚至出现无法求解的情况，Shi等^[17]验证了直接使用CPLEX或GURROBI等商业求解器求解模型时耗费4 h仍找不到可行解。使用传统的运筹学模型，虽然能保证最终优化结果的质量，但也同样很难在有效时间内获得最优解，且算法复杂度高^[15]。一部分学者通过使用智能启发式算法提高求解速度，例如陈晓敏等^[15]使用混合粒子群算法优化1条配备11个车站的线路运行图时，共21列列车在线路运行，运行图优化过程共用时194 s。Shi等^[17]使用提出的算法优化1条配备12个车站的线路快慢车运行图，共45列列车在线路运行，运行图优化过程共用时13 330 s。在实际运营中，一部分线路已投入更多的车站，所研究的时域也开行更多的列车，运输企业往往需要秒级的优化时间，因此应当进一步基于开行方案特征优化模型求解速度。

2　时刻表优化研究

时刻表在确定的列车开行方案基础上，优化列车在每个车站的到达和出发时间。学者早期对于铁路运输的时刻表问题做了大量研究，王凯等^[32]梳理了计算机编制铁路时刻表的理论与方法，认为时刻表编制包含模拟方法、数学模型方法与人工智能方法。随着城市轨道交通的快速发展，学者将铁路运输与城市轨道交通合并为轨道交通运输。吴启琛^[33]将轨道交通运行图研究问题归纳为基于运行图编制的研究、基于运行图质量评价的研究、基于运行图质量优化的研究，并且决策变量多为0-1变量。牛惠民^[34]将轨道交通时刻表问题归纳为单纯时刻表问题、新增列车运行线问题、列车实时调度问题、时刻表停站协同优化问题、时刻表动车组调度协同优化问题、面向需求时刻表优化问题，约束条件包括到发时刻约束、停站时间约束、越行约束、载客能力约束、运力运量匹配约束等，时刻表问题具有大规模、多目标、强耦合的NP(Non-Deterministic Polynomial)完全问题特性。

但是不同于铁路运输方式，城市轨道交通以更小的行车间隔运行，这意味着城市轨道交通的求解精度极高。不同于铁路运输在车站配备多条站线，城市轨道交通的折返车站一般仅配备1~2条折返线及车辆段的联络线，这意味着轨道交通需要更合理地办理列车的到发作业、折返作业、场段作业。不同于铁路运输满足较远距离乘客出行需求，城市轨道交通需要满足城市内乘客出行需求，这对城市轨道交通列车服务频率与停站时间提出了更多的约束。综上，城市轨道交通运输与铁路运输在时刻表粒度、作业方式、乘客约束等方面有较大的不同，研究将详细分析城市轨道交通的时刻表优化方法。

2.1　时刻表优化模型

列车运行图的优化以列车在各车站的到发时刻与区间运行的速度曲线为决策变量，由决策变量可推导列车在区间的运行时间和车站的停站时间，优化的目标可分为优化企业运营成本与优化乘客出行成本。

从研究对象的角度，时刻表优化可分为线路时刻表优化与线网时刻表优化2类。单线时刻表优化考虑本线出行客流与列车运行过程^[35-37]，例如Wong等^[38]使用二进制变量构建模型降低乘客换乘等待时间；Jamili等^[39]使用模拟退火方法降低乘客总旅行时间；Hassannayebi等^[40]使用拉格朗日松弛的方法降低人均等待时间。对于线网运行图优化主要考虑列车在换乘车站跨线运营的模式，例如Shang等^[41]面向高峰时段客流过饱和场景建立多商品流模型减少乘客出行成本；Yang等^[42]通过优化跨线特快列车和本线列车的发车频率、停站模式和服务交路降低乘客出行成本与企业运营成本；Sun等^[43]提出了乘客有效旅行时间和非有效旅行时间的概念，构建了跨线列车运行的数学模型。

列车运营的模式可分为站站停的运营方式与允许越行的快慢车运营方式。对于站站停的模式，列车在各车站停靠，决策变量一般为列车的始发时刻与服务交路，例如王睿等^[44]调整发车时间及发车间隔降低总换乘时间。在越行模式下，快车可以在具备越行条件的车站超过慢车，相比于开行方案，时刻表明确规定了各列车的越行车站与越行时刻。Freyss等^[45]基于跳停模式建立时刻表优化模型；Niu等^[46]优化跳停模式下的列车时刻表减少乘客等待时间；Abdelhafiez等^[47]优化跳停模式下的列车时刻表减少总旅行时间。

依据研究的时域可将客流时域分为首班车时域、末班车时域、高峰时域、平峰时域。乘客无法在首班车运行之前或末班车之后乘坐列车，因此学者研究优化首末班车增加可乘坐列车的乘客数量。对于首班车的优化研究，禹丹丹等^[48]通过优化线路首列发车时刻降低路网内换乘总时间。对于末班车的优化研究中，宁丽巧等^[49]以总换乘等待时间最小化为目标优化末班车时刻表；温芳等^[50]通过最大关键OD对可达对数优化线路末班车的发车时刻。在高峰时域，部分车站乘客数量较大，可能出现乘客需要排队乘车的情况，基于此Niu等^[51]建立整数规划模型减少等待和滞留乘客的数量；Shi等^[52]通过优化限流场景下的进站乘客数量与时刻表缩短乘客出行时间；Yin等^[53]构建混合整数线性规划模型降低高峰时段车站的拥挤程度。

从列车的周期性分类，列车时刻表可分为周期性时刻表与非周期性时刻表。周期性的服务方式保证了运力供给的公平性，因此在客流稳定时域列车一般以周期方式运行。对于周期性时刻表的研究，Serafini等^[54]首次提出利用周期性事件调度问题模型(Periodic Event Scheduling Problem，PESP)求解周期运行图优化问题；Odijk等^[55]确定了PESP的可行解条件；汪波等^[56]以总停留时间最小化为目标函数建立周期运行图网络模型。在客流不稳定的过渡时域或开行快慢车的时域，列车以非周期的方式运行以更好地匹配客流，例如张海等^[57]建立大小交路时刻表优化模型，优化乘客人均旅行时间与列车行车间隔平均偏离值。

依据优化目标分类，可将优化目标分为乘客出行成本、企业运输成本与二者的协同优化^[42]。既有关于乘客出行成本的研究集中于乘客等待时间^[46]、换乘时间^[38]、乘客总旅行时间^[39]、乘客滞留量^[51]、乘客拥挤度^[53]、乘客的可达性^[50]。企业运输成本可分为不考虑速度曲线的成本研究与考虑速度曲线的成本研究。不考虑速度曲线的成本研究将列车在各区间的运行时间作为固定值，以列车的总运行时间或运行距离作为衡量企业运输成本的依据^[42]。考虑速度曲线的成本研究在精确计算能耗时需要考虑列车的速度曲线，优化企业能耗成本时考虑列车运行所造成的能源消耗与列车制动时所能利用的可再生能源，并以净能耗最小化为目标函数^[58]。例如，Li等^[59]提出综合节能运行模型优化列车时刻表与速度曲线降低列车运行能耗；Canca等^[60]推导总能耗的计算公式并将其线性化；Yang等^[61]优化列车跳站模式的能耗；冉昕晨等^[62]协同优化总能耗与乘客等待时间；贾斌等^[63]协同优化滞留人数、客流控制人数及列车运行时间。

考虑文献[33]与文献[34]等研究的优化目标、约束条件与城市轨道交通列车实际运行过程，提出时刻表的泛化模型如下所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{w}_{\mathrm{1}}{f}_{T,\mathrm{1}}(Z_x)+w_{\mathrm{2}}{f}_{T,\mathrm{2}}(Z_x)⑶

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x)=\mathrm{0}\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x)=\mathrm{0}\end{array}\right.⑷

式中：Z_x为时刻表决策变量；f_{T,\mathrm{1}}(Z_x)为乘客出行成本；f_{T,\mathrm{2}}(Z_x)为企业运营成本；w_{\mathrm{1}}与w_{\mathrm{2}}为乘客出行成本权重参数与企业运营成本权重参数；{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x)表示列车运行是否安全的变量，当列车安全运行时{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x)=\mathrm{0}，反之{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x)=\mathrm{1}；{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x)表示服务频率是否满足乘客出行要求的变量，当满足乘客出行需求时{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x)=\mathrm{0}，反之{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x)=\mathrm{1}。

公式⑶表示研究的目标函数为企业运营成本与乘客出行成本最小化；公式⑷表示对时刻表变量的约束。

实际运营中，列车在办理作业时间小于办理该项作业最小时间或列车间占用进路存在时空冲突时会出现不安全运营的情况，公式⑷第1项包括了文献[34]中的到发时刻约束、停站时间约束、越行约束。当列车服务间隔大于最大间隔或列车满载率大于允许的最大满载率时会出现不满足乘客出行需求的情况，公式⑷第2项包括文献[34]中的载客能力约束、运力运量匹配约束。

2.2　时刻表求解算法

不同于开行方案，时刻表的解空间更大，模型更为复杂。少数学者直接使用求解器求解，一部分学者采用传统的运筹学方法，一部分学者使用智能启发搜索的方法。以上3类方法均面临在简化模型与求解效率之间的取舍，对此很多学者基于模型定制化开发算法。

使用求解器求解的方法中，一般需要对模型线性化。例如，宁丽巧等^[49]使用CPLEX求解器求解模型，优化末班车时刻表。城市轨道交通时刻表问题由于精度较高具备解空间大的特征，而列车的实际运营过程也决定了模型的复杂程度较高，这意味着可线性化的模型可能假设了实际的一部分条件，这可能导致优化的结果无法应用。一部分学者使用传统的运筹学方法求解模型，这种方法对模型的复杂程度提出一定要求，更复杂的模型可能导致算法失效，而使用更简单的模型时可能无法满足实际运行的需求。例如，Hassannayebi等^[40]使用拉格朗日松弛方法放松车辆约束，将原问题可以分解成多个子问题求解。传统运筹学求解模型也存在权衡解空间规模和模型复杂程度的问题，当模型过于复杂时可能会导致运筹学模型失效。一部分学者使用智能启发搜索的方法，这降低了算法对于模型复杂程度的限制，但同时也可能进一步增加迭代收敛的时间。近年来，自适应大邻域搜索算法(Adaptive Large Neighborhood Search，ALNS)受到越来越多的学者关注，Yin等^[53]使用ALNS算法求解混合整数线性规划模型，以最小化高峰时段车站的拥挤程度。此外，也有一部分学者使用遗传算法求解模型，Yang等^[42]设计遗传算法优化乘客出行时间与成本。一部分学者基于模型的特征，定制化设计模型的求解方法，在保证模型复杂程度的同时节省了求解时间。Wong等^[38]提出基于优化的启发式算法求解模型，降低换乘等待时间；Abdelhafiez等^[47]设计启发式算法求解跳停模式的列车时刻表；Shi等^[52]建立了一种改进的局部搜索方法，使用CPLEX求解器求解所提出的模型。

综上，对于时刻表的研究可在以下方面加强：一方面，轨道交通时刻表优化通常涉及多个目标和约束条件，如能耗、运力、乘客体验等，这使得优化模型过于复杂；另一方面，未考虑车底接续与乘务运用的单一时刻表优化很有可能导致优化的结果无法应用。因此，时刻表的单独优化可作为协同优化整体中的一部分，即首先确定时刻表可行解集合，再将该集合作为车底接续计划的输入，这将进一步对算法的求解速度提出要求。如何在满足实际运用的复杂度下快速求解模型，仍值得进一步研究。

3　车底运用方案优化研究

车底运用计划优化主要解决如何在已确定列车时刻表的基础上，为每一列车分配合适的车底。这涉及车底的配置、调度和运用管理，以保证车底资源的最优使用。

3.1　车底运用方案优化模型

铁路列车可办理联挂、摘解作业并且需要办理检修作业，机车车辆的分配方式较为复杂，因此学者们对铁路机车车辆运用问题做了大量的研究^[64-65]。车底运用优化一般以时刻表作为输入^[66]，分配机车车辆担任运输任务^[67]、安排列车检修作业^[68-69]，从而匹配客流出行需求^[70]、确定列车接续方案，消除机车车辆运用冲突^[71]，降低机车车辆走行的总里程^[66]、调车次数^[66]、使用的机车车辆数量^[72-73]，从而提高运营效率^[74-75]。

城市轨道交通在站场布置、列车作业等方面不同于铁路，当列车时刻表确定时车底的接续关系可以通过就近接续或就近出入段的方法推算，因此很少有学者单独以城市轨道交通时刻表作为输入优化车底运用方案，学者一般将车底运用问题与时刻表优化问题结合，协同优化车底运用方案与时刻表以保证优化时刻表的可行性^[76-78]。

3.2　时刻表与车底运用协同优化模型

城市轨道交通时刻表与车底运用协同优化问题通过优化时刻表与车底运用方案降低企业运营成本与乘客出行成本，车底运用方案主要包括列车的接续关系与列车的出段、入段关系。相比于单独优化时刻表，协同优化时刻表与车底运用方案不仅规定了列车在各车站的到发时刻，还规定了担任列车运输任务的车底、列车折返时间与列车的接续关系。

依据优化目标分类可将城市轨道交通时刻表与车底运用协同优化研究分为优化企业运输成本、优化乘客出行成本与协同优化二者的研究。在优化企业运输成本的研究中，学者们优化了使用列车车底数量^[79]、空驶走行公里^[80]、空驶走行时间^[81]、列车出入段次数^[82]。在优化乘客出行成本的研究中，学者优化了乘客最长等待时间^[83]、列车满载率^[84]、滞留乘客人数^[84]、乘客总等待时间^[85]。单独优化企业运营成本可能导致乘客出行成本过大，单独优化乘客出行成本可能导致企业运营成本过大，因此越来越多的学者协同优化二者^[86]。不同于时刻表的单独优化，车底运用可将列车的接续及出入段作业均视为企业运营成本的一部分^[87]。在协同优化乘客出行成本与企业运营成本的研究中，一部分学者通过以行车间隔变化提供不同的运力以适应时变客流，例如Zhang等^[88]优化了行车间隔偏差与车底运用数量；Wang等^[89]优化了满载率偏差、行车间隔偏差等。由于一部分线路乘坐轨道交通的乘客居住在郊区，而在城市中心工作，因此在早高峰乘坐列车而在晚高峰乘坐相反方向列车，这样线路的客流时空分布具备潮汐特征。对此，Mo等^[90]建立模型优化了乘客出行时间与企业运营成本；李思杰等^[91]优化了乘客等待时间费用、固定使用费用和列车接续走行费用。以上研究大多建立在列车固定编组的假设下，一部分学者开始考虑列车可在部分车站办理解编、联挂作业改变列车编组的场景，例如Zhou等^[92]建立允许列车解编、联挂作业下的时刻表和机车车辆接续计划协同优化模型。

在考虑速度曲线与能耗的城市轨道交通时刻表与车底运用协同优化研究中，Yin等^[93]建立时空网络模型降低乘客等待时间和运营成本；Mo等^[94]建立了最大化车站制动-牵引重叠时间为目标函数的优化模型；Wang等^[95]建立一种混合整数非线性规划模型降低行车间隔偏差、行车间隔变化、出入车辆段次数以及整体能耗；周文梁等^[96]设计一种高效粒子群算法优化列车运行节能与车底运用时间。

在协同优化开行方案、时刻表编制、机车车辆接续计划的研究中，Schöbel^[97]建立双目标模型以集成开行方案、时刻表编制和机车车辆接续计划；Li等^[98]以企业运营成本与客流出行成本最小化为目标建立混合整数非线性规划模型。

考虑既有协同优化研究的优化目标、约束条件与城市轨道交通列车实际运行过程，提出协同优化时刻表与车底运用方案的泛化模型如下所示。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{w}_{\mathrm{1}}{f}_{R,\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)+w_{\mathrm{2}}{f}_{R,\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)⑸

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}\end{array}\right.⑹

式中：Z_x、{\mathrm{{\rm B}}}_x和{\mathrm{\Lambda }}_x分别为列车时刻表变量、机车车辆接续关系变量和担当运输任务的车底与存储在车辆段或车场车底的对应关系的变量；f_{R,\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)为乘客出行成本；f_{R,\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)为企业运营成本；w_{\mathrm{1}}与w_{\mathrm{2}}为乘客出行成本权重参数与企业运营成本权重参数；{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)为表示列车运行是否安全的变量，当列车运行安全时{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}，反之{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{1}；{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)为表示服务频率是否满足乘客出行要求的变量，当列车运行可以满足乘客出行需求时{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}，反之{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{1}；{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)表示车底的运用方法是否合理并符合规范，当车底运用符合规范时{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{0}，反之{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}(Z_x,{\mathrm{{\rm B}}}_x,{\mathrm{\Lambda }}_x)=\mathrm{1}。

公式⑸表示研究的目标函数为最小化企业运营成本与乘客出行成本；公式⑹表示对时刻表变量与车底运用方法的约束。

在考虑车底接续与运用的实际运营时，相比于单独优化时刻表Z_x的模型，协同优化的模型除考虑列车的到发作业外，还需要考虑列车的场段作业与折返作业，因此列车占用进路具体可分为车辆段出入段进路、列车到发进路与列车折返进路等。车底运用方法的规范一般包括从车辆段或车场使用的列车数量不得大于其存储的列车数量、存放到车辆段或车场的列车数量不得大于其容量、列车每日运行里程不得大于运营规定的最大里程等。

3.3　时刻表与车底运用协同优化的求解算法

考虑协同优化时刻表与车底运用方案使得决策变量的解空间比单独优化时刻表时的解空间更大，尽管仍有一部分研究可以通过线性化后使用求解器求解^[80]，但这往往适用于相对简单的模型，在更大规模的协同优化中往往无法直接使用求解器求解。

一部分学者考虑针对原模型的特征设计启发式方法求解。例如，Wang等^[89]提出迭代非线性规划 (Iterative Nonlinear Programming，INP)方法求解所提出的多目标混合整数非线性规划模型；Zhou等^[92]基于变邻域搜索(Variable Neighborhood Search，VNS)方法求解整数线性规划模型。一部分学者考虑改变原模型使之易于求解，包括将原模型分解为多个易于求解的模型与求解原模型的对偶模型2种方法。例如，Yin等^[87]提出基于Benders分解的求解算法求解双目标混合整数线性规划模型；Yin等^[93]提出了一种基于拉格朗日松弛的启发式算法求解混合整数规划模型，优化列车的时刻表与速度曲线。近几年机器学习受到了许多学者的关注，在城市轨道交通方面，一部分学者将机器学习的方法应用在列车控制领域^[99-100]。一部分学者使用深度强化学习的方法优化时刻表与车底运用，例如，Ying等^[101]通过使用人工神经网络开发了一种深度确定性策略梯度算法优化时刻表与车底运用方案，该研究实验结果表明，所提出的方法在不同随机环境下的计算时间、系统效率和鲁棒性方面优于一系列已建立的元启发式方法。

运行图是运输企业提供运力的具体体现，车底运用方案是运行图可行性的重要保障。越来越多的学者已经注意到了时刻表优化与车底运用方案优化的关联性，采用协同优化的方式研究二者，部分学者已建立开行方案、时刻表与车底运用方案三者的关联，使得流程性的顺序优化可转化为循环优化。在实际运营中，各城市轨道交通的运输企业在以下2个维度受到挑战：从线路特征的角度看，不同线路的折返特征与车辆段分布特征均有所不同。不同线路配备折返车站的数量有所不同，折返车站在线路的位置有所不同，不同折返车站的折返线数量、折返线位置均可能不同。车辆段可能位于线路尽端，也可能位于线路的中间，出段列车可能仅可向某一方向发出，也可能向2个方向发出。从客流特征的角度看，在不同线路客流分布存在不同，在同一线路不同客流日客流分布存在不同，在同一客流日不同时域的客流量存在不同，在同一时域不同车站的客流量仍存在不同。

如何面向极为复杂的线路特征与客流分布优化列车时刻表与车底运用方案以保证列车运营可行，并且最优地匹配客流，仍值得进一步研究。因此，既有研究可在以下方面进一步加强。

（1）车底运用方案应当包括列车的接续方案与出入段方案，但一部分研究尚未考虑列车的出入段路径，并且假设线路配备唯一车辆段且处于线路的尽端。随着城市轨道交通的快速发展，部分线路开始延长或扩建，许多线路已经配备了多个车辆段，这很有可能导致既有的研究无法在现场应用。

（2）目前大多数研究仍假设列车的折返方式为站后单渡线折返的方式，而在实际运用时列车除站后折返外也可在站前办理折返作业，并且一部分车站已配备多个折返线，这同样导致既有的研究可能无法应用。

（3）面对更大规模解空间与求解难度的多目标协同优化问题，一部分学者针对模型特性设计启发式方法求解或将模型分解后求解^[102]，一部分学者采用机器学习的方法代替启发式算法求解^[103]。基于模型的特征设计算法或分解的算法均利用了模型的特性，当模型进一步扩展或放宽一部分假设条件时求解算法可能失效。而使用机器学习代替启发式算法的求解思路保证了模型的可扩展性，但随着模型扩大将增加求解时间。

（4）时刻表与车底运用协同优化研究的约束条件一般聚焦于列车的运用约束与乘客满意度约束，但列车实际运行面临更多方面的约束。例如，线路的牵引供电能力约束了列车在部分车站的到达频率。当列车以刚好满足折返能力的折返时间办理折返作业时需要配备调车司机，而线路配备的司机数量是有限的。一部分线路的乘务人员仅在指定位置完成换班，时刻表可能导致乘务人员的工作时间存在不公平性。而以上内容在既有的研究体现较少，这也有可能导致优化的结果无法应用。

4　结束语

鉴于城市轨道交通列车运行计划的重要性，系统性分析了近年来开行方案、时刻表及车底运用方案等方面研究取得的进展。这些研究成果在多目标优化、算法改进以及实时决策支持等方面表现出强大的潜力，为轨道交通系统的精细化管理提供了坚实的理论依据和实践指导。当前的研究已为轨道交通运营管理的智能化发展奠定了坚实基础，但未来仍需在理论创新和实际应用中不断突破，以应对日益复杂的运营需求。

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基金资助

国家自然科学基金面上项目(72371019)