春运期间人员有限情况下高速铁路乘务排班计划编制研究

Crew Shift Scheduling Scheme of High Speed Railway under Limited Personnel during Spring Festival Travel Rush

摘要

针对春运期间运输任务繁重导致乘务员人数不足的情况，客运段通常会考虑借调部分乘务员来分担值乘任务。为减少借调乘务员数量，提高乘务员运用效率，对排班模式进行调整，适当减少轮班模式中的休息时间，将轮班模式灵活组合直至完全覆盖排班周期。基于“生成与选择”的思想，首先，设计了搜索算法生成可行乘务排班方案集合；其次，以借调乘务员人数最少为优化目标构建集合覆盖模型，利用求解器对模型进行求解，实现可行排班方案集合的筛选；最后，运用某客运段春运期间的乘务交路计划对调整后的乘务排班模式进行验证。结果表明：依据提出的算法对乘务排班模式进行调整，不仅能够提高乘务员运用的灵活性，而且借调乘务组数量也有所减少，从原本所需的42组减少至36组，在一定程度上降低了铁路运输企业人力资源成本。

Abstract

Due to the high demand for railway services during the Spring Festival, there is often a shortage of available crew. To address this issue, passenger transport departments generally consider the secondment of crews to help with operations. To minimize the number of seconded crews and improve crew utilization efficiency, this study proposed adjusting the crew shift scheduling scheme by appropriately reducing rest time in shifts and flexibly combining shift scheduling to fully cover the operational period. Based on a "generation and selection" approach, this paper designed a search algorithm to generate a set of feasible crew shift scheduling schemes. Secondly, a set covering model was constructed to minimize the number of seconded crew, which was solved using a solver and realized the screening of feasible shift scheduling scheme set. Finally, the adjusted routing plan of a specific passenger transport department during the Spring Festival travel rush was used to verify the effectiveness of the crew shift scheduling scheme proposed in this paper. The results show that the adjustment of crew shift scheduling mode according to the proposed algorithm can improve crew utilization flexibility and reduce the number of seconded crew from 42 groups to 36 groups, thereby reducing the human resource costs of railway transportation enterprises.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 人员有限 / 乘务排班计划 / 生成与选择 / 集合覆盖

Key words

High Speed Railway / Limited Personnel / Crew Shift Scheduling Scheme / Generation and Selection / Set Covering

0　引言

近年来，我国铁路旅客出行需求旺盛，2024年第一季度全国铁路图定旅客列车已达到5 574.5对。日益增长的旅客运输需求与日益多元的列车开行模式对旅客运输组织管理水平提出更高要求。如何提高乘务服务质量，优化乘务排班结构，降低人力资源成本，已成为目前乘务运用管理的重要目标。乘务排班计划是铁路统筹调度乘务人员和乘务交路的重要抓手，其优化问题也是铁路旅客运输组织的核心问题，需以应用为导向，与旅客运输组织实践紧密结合。

目前乘务排班问题的研究重点在于结合不同应用场景，设立以工作时长均衡、人力成本最小为优化目标，以时空接续为约束的优化模型，并构建有针对性的求解算法。石俊刚等^[1]、罗红双^[2]、金华^[3]探讨了基于网络化资源共享的城市轨道交通乘务排班计划编制问题。王骁^[4]设计了一种权重分配方法表示乘务员对于不同休息日和不同班型的偏好程度，通过求解不同的优化目标得到个性化需求的乘务排班计划。赫富静^[5]对春运期间高速铁路新旧乘务计划交替时的乘务排班计划进行了优化。杨岳^[6]分别针对乘务员请假、临时加开列车、短编改长编3个场景下乘务排班计划的调整问题进行研究。许凤志^[7]分别对列车运行图调整后“只考虑受影响不可行班次”和“可加入正常班次”的乘务排班计划优化问题进行了研究。陈枭楠^[8]考虑到乘务计划与实际情况的匹配性，基于均衡性对多基地乘务员的乘务计划进行一体化优化。

乘务排班问题是经典的大规模组合优化问题，涉及乘务规则、乘务基地布局、乘务组数量和乘务员劳动强度等众多影响因素。既有研究中对于乘务排班计划的研究是将问题转化为求解基于可行排班方案的集合覆盖问题，求解算法主要为智能启发式算法^[9-11]。Breugem等^[12]提出了一个结合列生成技术和变深度领域搜索的FCRP三阶段启发式算法。张哲铭等^[13]建立了0-1整数规划模型，设计了嵌入CPLEX求解引擎的迭代优化算法进行求解。张增勇^[14]在研究城市轨道交通轮班计划优化问题时，对单一循环轮班和固定周期轮班下的轮班计划分别设计了相应的求解算法。马亮等^[15]针对便乘情况下的地铁乘务任务配对问题，设计了约束传播与启发式回溯的混合算法求解优化模型。薛锋等^[16]采用遗传禁忌混合搜索算法对不同时间参数设置下的乘务任务配对问题进行了研究。

春运期间客流呈现指数式增长，铁路部门通常会采取加开列车等措施来缓解繁重的运输压力。这些措施的实施一般伴随着列车运行计划、动车组运用计划等的变化，同时乘务计划也要做出相应的调整。然而高速铁路乘务计划编制过程中，乘务交路一般由轮班模式机械组合，这种乘务计划对于突发状况的应对能力有限，不同时期的工作时间与工作强度不尽相同，因此需要动态地调整排班计划以适应实际需要，并同时减少运营成本。针对春运场景下的乘务排班问题，采用“压缩交路”的方式对乘务排班模式进行调整。基于“生成与选择”思想，首先根据轮班单元之间的接续规则，生成可行乘务排班方案集合，随后以借调乘务员人数最少(即总乘务人员数最少)为目标建立集合覆盖模型，通过求解模型对可行乘务排班方案集合进行筛选，得到春运期间最终的乘务排班计划。

1　问题分析

针对春运期间已经确定的乘务交路计划，解决春运期间乘务员的排班优化问题。为方便描述问题，引入“轮班模式包”的概念。轮班模式指乘务员采用“上几休几”的方式进行轮乘，1个轮班模式包中包含几种轮班模式。此次讨论的轮班模式包示例如表1所示，其中包含上2休1、上2休2、上3休2共3种轮班模式。

目前，我国高速铁路乘务组织通常采用1个轮班模式包内单一轮班模式循环或不同轮班模式机械组合的方式。单一轮班模式循环是指某些乘务组在值乘1个乘务交路时只采用1种固定的轮班模式进行轮班。这种排班方式下乘务人员的工作安排具有连续性和稳定性，能够减少人力资源管理的复杂性。但长期使用同一种轮班模式可能导致乘务人员出现工作疲劳和单调感，降低工作积极性和工作质量，而且工作时间的固定性导致排班不够灵活，难以应对突发情况或临时调整需求。不同轮班模式组合是指乘务员在值乘1个乘务交路时采用2种及以上轮班模式组合之后的形式进行轮班。这种排班方式下机械的排班组合可能无法完全适应不同乘务交路的特点和需求，而且排班方案的多样性和复杂性增加，导致人力资源的管理难度增加。但该方式可以根据实际情况，灵活地调整乘务人员的工作安排，满足不同时间段和工作强度的需求，提高排班的灵活性和适应性，有利于应对复杂多变的工作环境。

春运期间临客加开、车辆满编、动车组重联导致工作任务繁重，在不超过超劳上限的前提下，若乘务工作安排得更加紧凑，可提高乘务员工作效率，减少在班乘务员数量，进而减少运营部门的乘务组织成本。因此，提出一种新的轮班规则：当某个轮班模式的休息天数大于1 d时，可在原轮班模式基础上减少1 d休息，安排其继续完成轮班模式包内下一个轮班模式的工作任务，最终要求在整个排班周期内的总工作时长不超过规定范围。基于上述规则，在表1基础上，新增了模式2-2和模式3-2，变形后的轮班模式包如表2所示。

探讨的问题是在春运期间，当增开列车导致乘务资源不足时，如何有效地编制乘务员的排班计划，以减少从外段借调乘务员的需求，同时确保所有的值乘任务能够顺利完成。传统的2种排班模式未能充分考虑到人员有限情况下乘务员运用的优化空间。因此，在满足超劳约束的前提下，基于表2中的5种轮班模式，将2种传统的排班方式相结合，为春运期间借调乘务员的排班计划编制提供了一种新的方法。

2　生成规则

乘务排班计划是指运用某种轮班模式，对乘务人员在固定车次、固定时间、固定地点出乘、换乘或退乘等工作所作的一种安排。乘务排班具有周期性，1种轮班模式按照工作时间和休息时间分开组合后形成一个排班模式集合。例如，一类乘务员均采用WWR的轮班模式，考虑轮休后将乘务员可分为3组，即WWR-a、WWR-b、WWR-c，1个轮班周期内工作内容相同。为使乘务员的排班计划更加详细，以40 d为1个排班周期，基于原轮班模式排班后形成的基础排班方案如图1所示。以减少休息时间后新增的2种轮班模式进行排班，得到基于减少休息天数的基础排班方案如图2所示，图2中WWRR-a)，WWRR-b)等依次为图1中WWRR-a，WWRR-b等所对应的减少休息时间之后的排班方案。对于借调乘务员的排班，不要求轮班模式必须固定，可行乘务排班方案的生成是根据乘务交路计划的需要将图1和图2中不同的轮班模式组合，形成一个排班周期内的排班方案。

为方便理解问题，建立接续网络来描述排班模式的调整过程。将每个轮班模式看作节点，将不同轮班模式之间的接续关系看作弧，建立接续网络，用G=(N,E)表示。节点集合设为N=\left\{n_i\right\}，节点n_i具有开始日期t_i^s、结束日期t_i^e、工作天数d_i^w、休息天数d_i^r、日平均工作时间t_i共5个属性；当2个轮班模式之间可以建立接续关系时，建立有向弧，弧的集合设为E=\left\{e_{ij}\right\}。同时设置虚拟起点和虚拟终点，作为排班方案的起始节点和终止节点。

可行排班方案的生成是1个从虚拟起点出发，搜索到若干轮班模式并将其衔接组成40 d的排班计划，最后回到虚拟终点的过程。2个轮班模式之间的接续需要满足的条件为：后续轮班模式的开始日期必须是前一个轮班模式结束日期的第二天。轮班模式接续示意图如图3所示，例如，从虚拟起点出发，先从第一行的“WWR”开始搜索，其结束日期t_{\mathrm{1}}^e=\mathrm{3}，那么与其接续的轮班模式必须有t_{\mathrm{2}}^s=\mathrm{4}；选择一个t_i^s=\mathrm{4}的轮班模式作为第二个轮班模式；图中选择了“WWR-”这个单元，由于“WWR-”中的“-”表示该天已经可以开始工作，所以该轮班模式的结束日期t_{\mathrm{2}}^e=\mathrm{6}；下一步则需要接续一个t_i^s=\mathrm{7}的轮班模式，以此类推；第十二个轮班模式t_{\mathrm{12}}^e=\mathrm{38}，则选择一个t_i^s=\mathrm{39}的单元作为40 d排班周期内的最后一个单元，图中选择了紧接着的“WWR”，但是该轮班模式的第二天是排班周期的最后一天，所以结束单元是一个不完整的轮班模式；最后连接到虚拟终点。至此，生成一个可行的排班方案。

每种轮班模式对应产生不同的排班情况。如图1所示的“WWRR-b”和“WWRR-c”，若排班周期里的第一天处于“R”或者“-”的状态，在排班周期的第一天便为乘务员安排休息是不符合实际情况的，因此，不允许从以“R”或者“-”起始的轮班模式开始搜索可行排班方案。对轮班模式的属性做出以下规定。①起始轮班模式：从排班周期第一天起，以“W”开始，不以“R”或者“-”开始的单元。②中间轮班模式：完整的轮班模式，如“WWR”或者“WWRR”等。③终止轮班模式：排班周期最后一天附近的以“W”开始，以“W”或者“R”结束的单元，但不能以“-”结束。

3　模型构建

3.1　可行排班方案生成

在一个排班方案中，如果将乘务员的工作安排得相对紧凑，将会使乘务员的运用效率提高。这种效率的提高一方面能有效紧凑调用乘务员工作时间，另一方面还能在值乘任务要求不变的条件下减少乘务组数量。由于1种排班方案对应1个乘务组的工作模式，轮班模式的数量会直接影响乘务组数量。因此，在生成可行乘务排班方案的过程中，目标是使每种排班方案中接续的轮班模式数量最少，从而间接减少乘务组的数量，实现更高效的乘务员运用。目标函数如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{Z}_{\mathrm{1}}=\sum _{i\in N}{x}_i^m\begin{array}{cc}& \end{array}m\in M⑴

式中：M为生成的可行乘务排班方案集合；N为轮班模式集合；x_i^m表示生成的第m个排班方案中是否包含轮班模式i，包含时取值为1，否则为0。

可行排班方案由轮班模式按照乘务规则组合而成，因此需满足以下约束。

t_j^s=t_i^e+\mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}i,j\in N⑵

T^m=\sum _{i\in N}{x}_i^m{t}_i\begin{array}{cc}& \end{array}m\in M⑶

T^m\le \frac{\mathrm{166.67}T}{d}(\mathrm{1}+\alpha )⑷

\left\{\begin{array}{l}{x}_i^m{t}_i^s=\mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}i\in N^{\mathrm{f}},m\in M\\ x_i^m{t}_i^e=T\begin{array}{cc}& \end{array}i\in N^{\mathrm{l}},m\in M\end{array}\right.⑸

x_i^m\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\begin{array}{cc}& \end{array}i\in N,m\in M⑹

式中：t_j^s表示轮班模式j的开始日期；t_i^e表示轮班模式i的结束日期；t_i^s表示轮班模式i的开始日期；T^m表示排班周期内排班方案m的总工作时长，h；t_i表示轮班模式i对应的总工作时长，h；T表示排班周期长度，d；d表示一个月的天数；\alpha表示规定的工作时长超劳比例，\mathrm{0}\le \alpha \le \mathrm{1}；N^{\mathrm{f}}为起始轮班模式集合；N^{\mathrm{l}}为终止轮班模式集合。

公式⑵为相连接轮班模式结束、开始日期的接续约束，即轮班模式j的开始日期必须比轮班模式i的结束日期晚一天；公式⑶表示借调乘务员的总工作时长；为了保证借调乘务员的劳动权益，要求生成排班方案时借调乘务员的总工作时长在合理的工作时长范围之内，公式⑷则表示乘务员在排班周期内总工作时长不能超出规定的超劳上限；公式⑸表示生成的每个排班方案必须完全覆盖整个排班周期，即每个排班方案中起始轮班模式的开始日期必须是排班周期第1天，终止轮班模式的结束日期必须是排班周期最后1天；公式⑹为决策变量的0-1约束。

3.2　最终排班方案生成

已知春运期间任意站段每日担当乘务交路数量固定，筛选满足所有乘务交路的可行排班方案便可确定最终排班方案。抽象最终排班方案生成问题为集合覆盖模型，目标是借调乘务组数最少，因为每个乘务组对应1个排班方案，所以模型目标转化为最终排班计划中包含的排班方案数量最少，目标函数如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{Z}}_{\mathrm{2}}=\sum _{m\in M}{y}_m⑺

式中：y_m表示最终排班计划中是否包含排班方案m，包含时取值为1，否则为0。

为保证所有的乘务交路均被覆盖，应满足以下约束。

\sum _{m\in M}{a}_{mk}\cdot y_m\ge \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}k\in K⑻

y_m\in \{\mathrm{0,1}\}\begin{array}{cc}& \end{array}m\in M⑼

式中：a_{mk}表示排班方案m是否能满足乘务交路k，满足时取值为1，否则为0；K为客运段要完成的乘务交路任务集合。

公式⑻是为了保证每天所有的乘务交路任务都能够被满足，要求每个乘务任务至少被1个排班方案覆盖；公式⑼为决策变量的0-1约束。

4　算法设计

乘务员排班计划编制模型分为2个阶段，因此分2个阶段设计算法，第一阶段设计搜索算法生成可行乘务排班方案集合；第二阶段利用编程软件调用Gurobi求解器求解集合覆盖模型得到最终的排班计划。

4.1　可行乘务排班方案搜索算法设计

可行乘务排班方案的搜索，必须满足轮班模式之间的接续规则以及总工作时长的要求范围。搜索算法基本步骤如下。

步骤1：将图1和图2中的所有轮班模式依次进行编号。

步骤2：为所有的轮班模式设置属性，用于区分起始轮班模式、中间轮班模式以及终止轮班模式。

步骤3：将所有节点按照各自的开始日期t_i^s进行分组，比如将t_i^s=\mathrm{1}的所有轮班模式归为第1组，组别记为g_{\mathrm{1}}，该组中既包含所有可作为起始轮班模式的节点，也包括以“R”或者“-”开始不能作为起始轮班模式的节点。排班周期为40 d，所以图1和图2中的所有轮班模式根据开始日期t_i^s可分为40组。

步骤4：搜索过程：从虚拟起点出发，在g_{\mathrm{1}}中选择第一个可以作为起始轮班模式的节点，根据该轮班模式的结束日期t_i^e，选择g_{i+\mathrm{1}}中的第一个节点作为第二个接续节点，以此类推，直至搜索到一个能覆盖40 d的排班方案。

步骤5：针对生成的排班方案计算总工作时长，判断是否超过规定的最大工作时长，符合工作时长要求时保留该方案，否则删除该方案。

步骤6：遍历从该起始节点开始的所有可行接续节点，生成以该起始节点起的所有可行排班方案。

步骤7：更换起始节点，从步骤4至步骤6重新开始循环，直到从所有起始节点开始的排班方案均已生成。

4.2　集合覆盖模型求解算法设计

为求解上述集合覆盖模型的精确解，采用编程软件调用Gurobi对模型进行求解，调用Gurobi求解集合覆盖模型流程图如图4所示。

5　算例分析

5.1　基础数据

以2023年春运期间(1月7日—2月15日，共40 d)加开列车后某客运段乘务排班计划编制为例，验证模型和算法的可行性及有效性。某客运段春运期间乘务交路计划如表3所示，包括图定列车和增开列车在内的所有列车组成的乘务交路有48个，其中增开列车组成的乘务交路有10个。该客运段具备动车组列车值乘条件的乘务组共有170组，图定列车的值乘任务按照单一轮班模式循环的排班方式进行排班，需要163组乘务组，若增开列车也采用该方式排班，需要42组乘务组，则所有的值乘任务共需要205组乘务组。因此，既有乘务组不足以完成增开动车组列车的值乘任务，需要从外段借调乘务员。为保障借调乘务员的劳动强度，在编制该客运段的乘务排班计划时，先派遣本段的乘务员值乘较长的乘务交路，为借调乘务员安排强度较低的乘务交路。乘务组担当既有图定列车的值乘任务时，按照原来的排班模式进行排班，增开列车值乘任务按照调整后的排班模式进行排班。增开的动车组列车共生成了10组乘务交路任务，其中需要以“WWR”模式轮乘的任务有2组，以“WWRR”模式轮乘的任务有5组，以“WWWRR”模式轮乘的任务有3组。

5.2　结果分析

案例分析的程序运行环境为11th Gen Intel(R) Core(TM) i7-11700@2.50GHz，16G内存的个人计算机。在“可行排班方案生成”阶段，根据设计的可行乘务排班方案搜索算法，搜索得到可行乘务排班方案集合，其中包含约30万组方案。

在“最终排班方案生成”阶段，由于假设图定列车的值乘仍然遵循既有的排班模式，故算例只对增开列车的值乘任务进行排班。将表3中增开列车的具体乘务交路计划，按照图1所示的排班方案进行排班，可以得到既有模式下乘务排班计划如图5所示。从既有模式下得到的乘务排班计划来看，春运期间增开列车的值乘任务需要42组乘务组。

根据建立的集合覆盖模型对可行乘务排班方案进行筛选，使用编程软件调用Gurobi求解器求解，得到的最终乘务排班计划如图6所示，得到增开列车值乘任务所需的乘务组数为36组，则该客运段春运期间按照调整后的排班模式进行排班共需要199组乘务组。

图6中调整后的最终乘务排班计划与图5中既有模式下乘务排班计划的区别主要体现在3个方面。一是压缩了休息时间，排班更加紧凑，所需乘务组总数由205组减少至199组，降低了人力资源成本。以乘务组4的排班计划为例，乘务组原本应以“WWRR”模式进行轮班，即需要在1月9日和10日进行休息，而调整之后的结果显示，其只在1月9日休息，结束休息之后接着值乘下一个乘务交路。二是在满足超劳约束的前提下，人力资源短缺时充分发挥了乘务员的作用。乘务组在排班周期内(40 d)的标准总工作时长为222.23 h，研究允许的超劳上限\alpha为10%，图6中各乘务组排班计划的总工作时长计算结果显示，时长均满足超劳上限约束。另外，每个乘务组轮班模式的接续不再按照固定的模式轮换，增强了乘务运用灵活性。如图5中深蓝色部分所示，春运期间乘务组1从始至终都担当表3中的乘务交路1，而在图6中对排班模式调整之后，乘务组1完成乘务交路1之后，接着担当了“G9470—G5987—G7507—G7512—G7517—G7522”这一乘务交路。

6　结束语

春运期间，铁路部门面临客流激增的压力，增开旅客列车成为常态。面对乘务员数量有限的问题，现阶段通常采用向其他客运段或其他路内单位借调乘务员的方式来弥补人力缺口，但效率不高且成本较大。为此，提出了一种“优化交路压缩”的策略，通过灵活调整乘务员的休息安排和工作模式，不仅提升了乘务员的使用效率，而且减少了所需借调乘务组数量，有效降低了人力资源成本。未来，随着铁路运输需求的持续增长，此类优化策略有望进一步推广，助力铁路部门更好地应对高峰客流挑战，实现更加科学、高效的运营管理。

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基金资助

国家自然科学基金项目(72161023)

国家自然科学基金项目(71761023)

甘肃省优秀研究生“创新之星”项目(2023CXZX-580)

兰州交通大学交通运输学院青年科学基金项目(YQN202204)