考虑运行标尺与车型选择的城市轨道交通节能运行方案研究

Energy-Efficient Operational Strategies for Urban Rail Transit Considering Operational Reference Time and Train Type Selection

摘要

降低能耗是实现轨道交通绿色低碳、可持续发展的关键策略。在传统运行标尺优化的基础上，进一步引入车型选择的因素，研究基于车型选择的差异化标尺节能运行图优化方法，并构建以牵引能耗和乘客旅行时间最小化为目标的0-1混合整数规划优化模型。该模型以车型与运行标尺选择为决策变量，考虑乘客流平衡与需求作为约束条件，并使用数学软件进行求解。算例结果显示，结合车型选择与运行速度选择的方案，在减少乘客旅行时间和降低列车牵引能耗方面，优于固定速度或车型的方案。最优方案相比传统标尺优化方案减少1.1%的乘客旅行时间，降低了5.0%的能耗。研究表明在不同客流条件下选择适合的列车类型与运行标尺，能够有效平衡不同运营时段的乘客需求与能耗，为企业编制节能运行图提供参考。

Abstract

Reducing energy consumption constitutes a critical strategy for achieving green, low-carbon, and sustainable development in rail transit. Building upon traditional operational reference time optimization, this study further introduced the factor of train type selection to investigate a differentiated reference time optimization method for energy-efficient operation based on train type selection. This paper developed a 0-1 mixed-integer programming optimization model with the dual objectives of minimizing traction energy consumption and passenger travel time. This model employed train type and operational reference time selections as decision variables while incorporating passenger flow equilibrium and demand constraints. Mathematical optimization software was implemented for model solving. Case study results indicate that the strategy combining train type selection with operation speed selection outperforms plans with fixed speed or fixed train types in both reducing passenger travel time and traction energy consumption. Compared to traditional operational reference time optimization, it reduced passenger travel time by 1.1% and traction energy consumption by 5.0%. The research demonstrates that selecting appropriate train types and operational reference time under varying passenger flow conditions can effectively balance passenger demand and energy consumption across different operational periods. These findings provide references for enterprises to formulate energy-efficient train working diagrams.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 开行方案 / 列车运行标尺 / 节能 / 牵引能耗

Key words

Urban Rail Transit / Operation Plan / Operational Reference Time of Train / Energy-Efficient / Traction Energy Consumption

0　引言

绿色低碳是现代化城市建设的重要方向，也是城市轨道交通可持续发展的关键目标。现有研究在列车节能运行领域取得一定成果，主要集中在优化列车运行速度、停站时间及提高再生制动能量利用效率等方面。例如，彭其渊等^[1]提出基于再生制动的节能运行策略，优化牵引与制动重叠时间以提高能量回收效率；魏润斌等^[2]研究重叠时间与能量利用的非线性关系，提出能耗最小化的时刻表优化方法；邓连波等^[3]和Goverde等^[4]分别通过速度调控与无冲突运行图设计，提升能量利用效率。这些研究多依赖列车加减速时间的精确控制，受运行误差影响较大，对客流的考虑不足，且实际推行效果并不理想。

近年来，运行标尺优化逐渐成为研究热点，旨在通过细化列车运行标尺进一步降低牵引能耗。李晶等^[5]研究基于列车自动驾驶系统(ATO)的多层次节能控制方法；Yin等^[6]构建结合动态客流的双目标优化模型；吕欢欢^[7]分析速度曲线对牵引能耗的影响，提出节能时刻表优化方案；宿帅等^[8]和卓丛林等^[9]分别从能耗重新分配和速度匹配角度，设计适应不同场景的节能运行方案；张伯男等^[10]以最小化列车周转牵引能耗为目标，探讨列车到站间隔标准差的问题，并采用Gurobi优化求解方法；褚蓄^[11]与刘缘等^[12]的研究关注于最小化列车牵引能耗和运行时刻，分别采用遗传算法进行求解，研究重点在于区间运行时间的优化；Wang等^[13]探讨最小化列车发车间隔与运营牵引能耗的问题，综合考虑发车间隔、停站时间及速度运行标尺，并通过Cplex工具进行求解；杨建国^[14]则聚焦于区间运行时间和停站时间的优化，应用了Gurobi求解方法。然而，这些研究普遍假设列车类型固定，缺乏灵活性，难以适应复杂客流波动对运力与能耗平衡的需求。而多数考虑动态客流的节能优化策略未纳入车型多样性，缺乏系统协同优化的综合框架。

尽管上述研究为列车节能运行提供了重要理论与方法支持，但其局限性依然显著：第一，大多数研究假设列车类型固定，忽视了车型多样性的潜在节能优势；第二，现有模型对复杂客流波动的适应性较弱，难以实现运力与需求的精准匹配；第三，缺乏运行标尺优化与车型选择的协同优化框架，限制了节能策略的实际效果。因此，研究如何通过协同优化运行标尺与列车车型选择，以满足动态客流需求并提升系统节能效率，是亟待解决的关键问题。

本研究源于节能运行策略研究中的局限性，即单一的车型选择限制了系统在不同负载条件下的灵活性，影响了整体运行效率和节能效果。因此，本研究提出一种结合列车区间运行标尺与车型选择的协同优化模型。通过动态选择不同容量的列车运力与运行标尺，精确匹配客流需求，以实现牵引能耗与乘客旅行时间最小化，从而提升城市轨道交通系统的整体能效和服务质量，更有效地应对客流的不确定性，满足节能与服务水平双重目标的优化需求。

1　列车运行标尺优化问题

1.1　传统列车运行标尺优化问题

国内城市轨道交通系统普遍采用的是平行运行图策略，然而在平峰时段，鉴于某些站点及特定时刻的乘客到达量显著减少，系统实际上存在过剩运力，为降低运行速度提供了可能。因此，综合考虑客运服务和节能双重需求，可在不同的运营时段实施差异化、精细化的运行标准。

列车区间运行标尺规定了列车在区间运行过程中进行各类作业的时间标准，决定了列车在区间的运行时间，不同运行时间对应不同牵引能耗。一般来说，区间运行时间越长，牵引能耗越低^[15]，区间运行时间-能耗关系图如图1所示。在实际中，ATO会预存多套标尺，对应不同列车运行等级，以满足列车运行调整需求，列车运行标尺示意图如图2所示。

1.2　结合车型考虑的列车运行标尺优化问题

在运行调整优化中，考虑到不同区段与时段的客运需求，可结合车型选择，采用不同的标尺优化策略来降低列车运行能耗，同时提高乘客出行效率，不同车型选择与运行标尺选择下的结果对比如图3所示。图3展示了不同车型选择与运行标尺选择对列车运行能耗的影响，在2种方案下，均假设现有3个车站，2列车，列车均从车站1开往车站3，列车开行间隔为240 s，停站时间为60 s，假设所有乘客的目的地均为车站3，大车质量为170 t，小车质量为120 t；大车容量为2 000人，小车容量为1 500人。列车滚动阻力系数a、机械阻力系数b、空气阻力系数c分别取1.75，0.023 4，0.000 184。不同列车容量与运行速度及其对应的运行时间如表1所示。方案一采取同种车型同种运行标尺的方式运行，方案二采取不同车型不同运行标尺的方式运行。

方案一的乘客旅行时间与列车牵引能耗计算如下。乘客等待时间：(800+900+1 000+700)×240×0.5=408 000 s，乘客乘车时间：(800+900)×(150+60+150)+(1 000+700)×150=1 275 000 s，乘客总旅行时间：408 000+1 275 000=1 683 000 s。列车总牵引能耗：4×0.5×170×(45/3.6)²+4×170×10×(1.75+0.023 4×45+0.000 184×45×45)×2.1=98 472.60 kJ。

方案二的乘客旅行时间与列车牵引能耗计算如下。乘客等待时间：(800+900)×240×0.5+(700+700)×240×0.5+300×240=444 000 s，乘客乘车时间：(800+900)×(190+60+120)+(1 000+700)×110=816 000 s，乘客总旅行时间：816 000+444 000=1 260 000 s。列车消耗总能耗：0.5×(120+170)×((40/3.6)²+(55/3.6)²)+(170+120)×10×(1.75+0.0234×40+0.000 184×40×40)×2.1+(170+120)×10×(1.75+0.023 4×55+0.000 184×55×55)×2.1=91 781.4 kJ。

方案二的乘客总旅行时间相比方案一降低423 000 s，牵引能耗降低6 691.2 kJ，表明在不同区间选择不同运行标尺和不同车型组合能有效降低列车能源消耗和乘客旅行时间。

2　问题描述

选取某一条城市轨道交通线路某一时间段T的运行时刻表，该线路共有Z+1个车站，Z个区间，该时间段内共有Q列列车通过，各车站按照1至Z+1依次编号。N=\left\{\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，Z\right\}表示区间集合，K=\left\{\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，Q\right\}表示列车集合，其中，每列车共有2种车型可供选择，不同车型的质量与容量均不相同。地铁线路及时刻表示意图如图4所示，每列车从始发站(站点1)出发，在对应区间选择对应的速度曲线运行，沿途经停所有车站，直到其到达终点站(站点Z+1)。列车的发车间隔均为H，停站时间均为\delta，M=\left\{\mathrm{1}，\mathrm{2}，\dots ，p\right\}表示每个区间可选择的运行速度曲线的集合。

根据以上条件，研究的问题可归纳为：在已知所有列车的发车间隔、停站时间、区间长度及乘客OD量的条件下，确定每一列列车的车型选择及在各个区间选择的运行标尺，在满足乘客流平衡与出行需求的约束条件下，使得乘客旅行时间与列车牵引能耗最小。

2.1　模型假设

模型假设：①不同列车在同一区间的操纵策略相同；②所有列车在所有车站的停站时间相同且发车间隔固定；③仅考虑单向运行；④乘客到达率固定；⑤当列车剩余能力不足，上车人数按照到站OD客流比例进行分配；⑥仅考虑列车运行时的基本阻力。

2.2　模型构建

2.2.1　目标函数

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}z={\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^K}（c_{\mathrm{1}}{E}_n^k）+c_{\mathrm{2}}{W}_L\forall n\in N，\forall k\in K⑴

式中：z为总目标函数；c_{\mathrm{1}}与c_{\mathrm{2}}分别为牵引能耗与乘客旅行时间的权重系数；E_n^k为在区间n列车k所消耗的牵引能耗，kJ；W_L为所有乘客旅行时间，s。

列车k在区间n内所消耗的牵引能耗E_n^k由2部分组成，一是列车起步阶段由0加速至巡航速度V_n^{\mathrm{0}}所消耗的能量，二是列车运行过程中克服阻力做功产生的能耗，单位基本阻力{\varpi }_n可参考Davis方程进行计算^[16]，计算公式为

{\varpi }_n=a+b{V}_n^{\mathrm{0}}+c(V_n^{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}\forall n\in N⑵

消耗的牵引能耗计算公式为^[17]

E_n^k=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\cdot m_k\cdot (V_n^{\mathrm{0}}{/\mathrm{3.6})}^{\mathrm{2}}+{\varpi }_n\cdot m_k\mathrm{g}\cdot l_n\forall n\in N，\forall k\in K⑶

式中：m_k为列车k的质量，t；g为重力加速度，m/s²；l_n为区间n的长度，km。

其中，(V_n^{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}计算公式为

（V_n^{\mathrm{0}}{）}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^p}（V_{nm}^{\mathrm{0}}{）}^{\mathrm{2}}\cdot y_{nm}\forall n\in N，m\in M⑷

式中：V_{nm}^{\mathrm{0}}为区间n第m种速度曲线的运行速度，km/h；y_{nm}为0-1决策变量，表示在区间n选择第m种速度曲线。

本研究共考虑2种车型选择，列车k的质量m_k计算公式为

m_k=m_{\mathrm{1}}+(m_{\mathrm{2}}-m_{\mathrm{1}})\cdot x_k\forall k\in K⑸

式中：m_{\mathrm{1}}为小车质量，t；m_{\mathrm{2}}为大车质量，t；x_k为0-1决策变量，表示列车k选择的车型，若x_k=\mathrm{1}，则列车k为质量m_{\mathrm{2}}的车型，反之，则为质量m_{\mathrm{1}}的车型。

乘客旅行时间由所有乘客的乘车时间与等待时间组成，所有乘客旅行时间W_L计算公式为

W_L={\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \sum _{d=o+\mathrm{1}}^{Z+\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{o=\mathrm{1}}^Z}\left(S_{od}^k+W_{od}^k\right)⑹

式中：S_{od}^k为从o站出发到d站乘坐列车k的乘客的乘车时间，s；W_{od}^k为从o站出发到d站等待列车k的乘客的等待时间，s。

其中，S_{od}^k计算公式为

\begin{array}{l}{S}_{od}^k=P_{od}^k\cdot \left({\displaystyle \sum _o^{d-\mathrm{1}}}{t}_i+(d-o)\cdot \delta \right)\\ \forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}\end{array}⑺

式中：P_{od}^k为从o站出发到d站等待列车k的乘客数，人；t_i为列车在区间i的运行时间，s；\delta为列车停站时间，s。

其中，P_{od}^k计算公式为

P_{od}^k=u_k\cdot P_{od}\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}⑻

式中：u_k为在列车k-1发车后至列车k到达此站，这一时间段内新进站的乘客到达比例；P_{od}为本时段从o站出发到d站的所有乘客总数，人。

从o站出发到d站等待列车k的乘客数由前一列车在该站滞留的人数加上本时段到达该站的人数构成，计算公式为

l_{odk}^{+}=l_{od(k-\mathrm{1})}^{-}+P_{od}^k\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}⑼

式中：l_{odk}^{+}为从o站出发到d站等待列车k的乘客数，人；l_{od(k-\mathrm{1})}^{-}为从o站出发到d站，列车k-1的滞留乘客数，人。

其中，从o站出发到d站，列车k滞留的乘客数l_{odk}^{-}由公式⑽至⒁推出。

从o站出发到d站登乘列车k的乘客数根据以下规则计算：当该时段下列车k的剩余容量大于等于等待列车k的人数时，则为l_{odk}^{+}，否则，遵循先到先服务的原则，上车乘客按照到站OD客流比例进行分配。

⑽

式中：l_{odk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}为从o站出发到d站登乘列车k的乘客数，人；C_{(o-\mathrm{1})，k}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为列车k在车站o-1的剩余容量，人。

乘坐列车k到达车站d的在车人数由d-1站的在车乘客数、乘坐列车k到达车站d的乘客数、在车站d登乘列车k的乘客数组成。

l_{dk}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}=l_{(d-\mathrm{1})k}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\displaystyle \sum _{o=\mathrm{1}}^{d-\mathrm{1}}}{l}_{odk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}+{\displaystyle \sum _{j=d+\mathrm{1}}^Z}{l}_{djk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}\forall k\in K，\mathrm{2}\le d\le Z+\mathrm{1}⑾

式中：l_{dk}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}为乘坐列车k到达车站d的在车人数，人；l_{(d-\mathrm{1})k}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}为乘坐列车k到达车站d-1的在车人数，人；l_{djk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}为从d站出发到j站登乘列车k的乘客数，人。

在车站d完成上下客作业后的列车k的剩余容量C_{dk}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}计算公式为

C_{dk}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}=C_k-l_{dk}^{\mathrm{i}\mathrm{n}}\forall k\in K，\forall d\in S⑿

式中：C_k为列车k的容量，人。

其中，C_k可参照公式⑸，计算公式为

C_k=C_{\mathrm{1}}+(C_{\mathrm{2}}-C_{\mathrm{1}})\cdot x_k\forall k\in K⒀

式中：C_{\mathrm{1}}为大车容量，人；C_{\mathrm{2}}为小车容量，人。

因此，l_{odk}^{-}计算公式为

l_{odk}^{-}=l_{odk}^{+}-l_{odk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}⒁

W_{od}^k由两部分组成：一部分是列车k的前一列车滞留导致的等待时间{\widehat{W}}_{od}^k，一部分是本时段到达的乘客的等待时间{\stackrel{⌣}{W}}_{od}^k。其中，到达本区间后等待首列车的乘客的等待时间按照乘客均匀到达车站进行近似计算，可被处理为与时间间隔有关的累积曲线^[18]，因此，{\stackrel{⌣}{W}}_{od}^k计算公式为

{\stackrel{⌣}{W}}_{od}^k=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\cdot H\cdot l_{odk}^{+}\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}⒂

式中：{\stackrel{⌣}{W}}_{od}^k为从o站出发到d站乘坐列车k的乘客等待时间，s；H为列车发车间隔，s。

滞留乘客的等待时间为两列车的发车间隔之差，计算公式为

{\widehat{W}}_{od}^k=H\cdot l_{odk}^{-}\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}⒃

式中：{\widehat{W}}_{od}^k为从o站出发到d站滞留登乘列车k的乘客等待时间，s。

结合公式⒂，W_{od}^k最终表示为

\begin{array}{l}{W}_{od}^k=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\cdot H\cdot l_{odk}^{+}+H\cdot l_{odk}^{-}\\ \forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}\end{array}⒄

2.2.2　约束条件

对于每一个区间，只能选择一种速度曲线，约束为

{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^p}{y}_{nm} =\mathrm{1}\forall n\in N⒅

全部载完约束为

{\displaystyle \sum _{\mathrm{1}}^K}{C}_k\ge DS{}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{}^{}⒆

式中：D{S}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大断面客流量，人。

2.2.3　模型线性化与归一化处理

公式⑽为分段函数，为加速求解，引入1个二元变量{\gamma }_{ok}与1个无穷大数G将其线性化为

\begin{array}{l}{l}_{odk}^{\mathrm{o}\mathrm{n}}={\gamma }_{ok}\cdot \left(C_{(o-\mathrm{1})，k}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}\cdot \frac{P_{od}^k}{{\displaystyle \sum _{j=o+\mathrm{1}}^Z}{P}_{oj}^k}\right)+\left(\mathrm{1}-{\gamma }_{ok}\right)\cdot l_{odk}^{+}\\ \forall k\in K，\mathrm{2}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}\end{array}⒇

{\gamma }_{ok}\cdot G\ge {\displaystyle \sum _{j=o+\mathrm{1}}^Z}{l}_{ojk}^{+}-C_{(o-\mathrm{1})，k}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}\forall k\in K，\mathrm{2}\le o\le Z(21)

\left(\mathrm{1}-{\gamma }_{ok}\right)\cdot G\ge C_{(o-\mathrm{1})，k}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}-{\displaystyle \sum _{j=o+\mathrm{1}}^Z}{l}_{ojk}^{+}\forall k\in K，\mathrm{2}\le o\le Z(22)

公式⑶和公式⒇存在2个0-1变量相乘的非线性情况，引入新的0-1变量v_{odk}和f_{knm}分别对其进行线性化处理，表达式为

f_{knm}=x_k\cdot y_{nm}\forall n\in N，\forall k\in K，\forall m\in M(33)

f_{knm}\le x_k\forall n\in N，\forall k\in K，\forall m\in M(24)

f_{knm}\le y_{nm}\forall n\in N，\forall k\in K，\forall m\in M(25)

f_{knm}\ge x_k+y_{nm}-\mathrm{1}\forall n\in N，\forall k\in K，\forall m\in M(26)

v_{odk}={\gamma }_{ok}\cdot x_k\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}(27)

v_{odk}\le x_k\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}(28)

v_{odk}\le {\gamma }_{ok}\forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}(29)

\begin{array}{l}{v}_{odk}\ge x_k+{\gamma }_{ok}-\mathrm{1}\\ \forall k\in K，\mathrm{1}\le o\le Z，o+\mathrm{1}\le d\le Z+\mathrm{1}\end{array}(30)

考虑到双目标优化存在量纲不统一的情况，为避免这一因素的影响，将目标函数部分进行归一化处理可得

g_{\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{E}_n^k(31)

式中：g_{\mathrm{1}}为所有列车牵引能耗之和，kJ。

g_{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\displaystyle \sum _{d=o+\mathrm{1}}^{Z+\mathrm{1}}}{\displaystyle \sum _{o=\mathrm{1}}^Z}(S_{od}^k+W_{od}^k)(32)

式中：g_{\mathrm{2}}为所有乘客旅行时间之和，s。

z_{\mathrm{1}}=\frac{g_{\mathrm{1}}-g_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{g_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-g_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}，z_{\mathrm{2}}=\frac{g_{\mathrm{2}}-g_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{g_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-g_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}(23)

式中：g_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最小牵引能耗，kJ；g_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大牵引能耗，kJ；g_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最短乘客旅行时间，s；g_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最长乘客旅行时间，s。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}z=c_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{2}}(34)

3　算例分析

3.1　算例条件

某城市轨道交通线路共20个站，19个区间，各车站用A，B，…，T来表示，区间用1，2，…，19来表示。列车类型有A型车与B型车2种，在某平峰时段(1 h)共开行15列车，列车开行间隔为240 s，平峰时段(1 h)OD客流量(单向)如图5所示，平峰时段(1 h)各区间可选运行时间如表2所示，参数设置参考《地铁设计规范》(GB 50157—2013)^[19]，参数设置如表3所示。

3.2　结果分析

使用数学软件对模型进行求解，得出的最优方案是列车速度选择为｛1，3，3，3，4，5，5，4，5，5，5，5，4，3，2，1，1，1，1｝，车型选择方案为｛1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，0，0｝，最优方案下的列车运行时刻图如图6所示。图6详细展示了列车在不同区间运行标尺选择、车型选择与每一区间的等待与滞留乘客数，从中可看出，区间运行标尺与车型选择随乘客需求波动而改变；在乘客需求量较大的区间，模型更偏向于选择最高等级的运行标尺与大车，以满足乘客需求；而在乘客需求量较小的区间或列车间隔，例如O—T车站间，模型选择的速度曲线等级较低，以降低牵引能耗。

为进一步分析不同标尺下的最优方案对整体目标函数的影响，设置5种不同固定标尺方案。不同固定标尺方案下的目标值对比图如图7所示。通过对图7的数据分析可看出最优方案较其他固定速度选择方案展现出显著且均衡的优化效果，同时在能耗与乘客旅行时间之间达到最佳平衡。对比可看出：速度选择为1和速度选择为5的方案表明了单一速度优化的局限性，速度选择为1的方案显著延长了乘客旅行时间，而速度选择为5的方案牵引能耗过高。最优方案通过速度等级的动态调整，对比速度选择为5的方案，在乘客旅行时间仅增加2.75%的情况下，有效减少32.76%的牵引能耗。

不同开行方案下的目标函数如表4所示。从表4中数据可以看出，最优方案在乘客旅行时间与列车能耗之间展现出显著优势。与固定车型和固定速度的方案相比，最优方案在总目标函数上显著优化。尤其是与固定大车型、速度选择为5的方案相比，能耗降低40.2%。相比固定为大车的方案(即传统运行标尺优化方案)，最优方案在旅行时间上减少1.1%，同时能耗降低5.0%，表明其在相对较短的旅行时间内实现更为节能的效果。这一结果凸显结合车型组合优化的效果。在高负载区间，模型可选择大车型避免滞留，在低负载区间，则可通过选择小车型来降低能耗，同时对乘客的整体出行体验影响较小。

4　结束语

针对轨道交通列车牵引能耗问题，提出一种结合车型选择与区间运行标尺优化的策略。通过构建双目标0-1混合整数规划模型，优化列车型号和运行标尺，以实现最小化乘客旅行时间和列车牵引能耗。算例分析显示，结合车型选择的运行标尺优化后的方案相较于固定速度选择方案和固定车型方案，在乘客旅行时间和列车能耗方面均具有优势。研究建议结合运行标尺优化策略，根据客流情况灵活选择列车类型，尤其在平峰时段采用小型车，可进一步减少能耗与乘客旅行时间。

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基金资助

国家自然科学基金项目(72371154)

国家自然科学基金项目(52472322)