混合时间窗下考虑模糊需求的多式联运路径优化

Multimodal Transport Path Optimization Considering Fuzzy Demand under Mixed Time Window

摘要

在多式联运中，货运需求的不确定性及混合时间窗约束的存在，往往成为引发物流成本攀升与碳排放量增加等问题的关键因素。从多式联运承运人的视角出发，运用梯形模糊数表示需求的不确定性，构建碳交易政策下的低碳多式联运路径优化模型。同时引入模糊期望值法与模糊机会约束规划对模型进行去模糊化，设计了改进的自适应模拟退火遗传算法对模型进行求解。最后以某多式联运系统为例，验证了模型与算法的有效性。结果表明：模糊期望值法与模糊机会约束规划理论能够有效应对模型中货运需求不确定的问题，提高运输方案的准确性与可靠性；相较于传统遗传算法和模拟退火遗传算法，改进的自适应模拟退火遗传算法下的方案总成本分别减少了48%和12%，更适用于该模型的求解；保证各节点处充足的运输能力和转运能力能够有效降低实际运输中不确定性因素的影响；合理设置碳交易价格系数有利于承运人选择环境友好型的运输方案。

Abstract

In multimodal transport, the uncertainty of freight demand and the existence of mixed time window constraints often become key factors leading to issues such as rising logistics costs and increased carbon emissions. From the perspective of multimodal transport carriers, trapezoidal fuzzy numbers were used to represent the uncertainty of demand, and a low-carbon multimodal transport path optimization model under carbon trading policies was constructed. At the same time, the fuzzy expected value method and fuzzy chance-constrained programming were introduced to defuzzify the model, and an improved adaptive simulated annealing genetic algorithm was designed to solve the model. Finally, taking a certain multimodal transport system as an example, the effectiveness of the model and algorithm was verified. The results indicate that the fuzzy expected value method and fuzzy chance-constrained programming theory can effectively address the problem of uncertain freight demand in the model and improve the accuracy and reliability of transport plans. Compared to traditional genetic algorithms and simulated annealing genetic algorithms, the improved adaptive simulated annealing genetic algorithm reduces the total cost by 48% and 12%, respectively, making it more suitable for solving this model. It ensures sufficient transport and transfer capacity at each node to effectively reduce the impact of uncertainty factors in actual transport. Reasonably setting carbon trading price coefficients is beneficial for carriers to choose environmentally friendly transport solutions.

Graphical abstract

关键词

多式联运 / 模糊需求 / 混合时间窗 / 碳交易 / 遗传算法

Key words

Multimodal Transport / Fuzzy Demand / Mixed Time Window / Carbon Trading / Genetic Algorithm

0　引言

多式联运作为一种高效的运输组织模式，通过不同运输方式的组合提升运输效率，是实现现代交通运输降本增效的有效途径之一。据相关数据显示^[1]，我国货运量逐年递增，截至2023年，我国货运量高达5 570 636万t，相较于2022年增长8.11%。受市场环境、政策变化等多方面因素影响，货运需求量难以预测，进而影响多式联运承运人制定联运方案的准确性。同时，虽然铁路、水路运输相比于公路运输有着货运量大、成本低的优点^[2]，但由于受自身运输班期限制，在实际运输中容易因超出收货时间窗而产生额外的物流成本。如何有效应对货运需求量的不确定性问题，同时减少受运输班期影响所产生的额外时间成本，是多式联运发展中亟需解决的关键。此外，交通运输行业作为能源消耗大户，在全球范围内与能源相关的碳排放总量中占比高达23%^[3]。因此，在碳交易政策下研究考虑模糊需求以及混合时间窗的多式联运路径优化问题，对于运输行业的降本增效以及节能减排有着重要意义。

对于多式联运中不确定性问题的研究，郭放等^[4]、Li等^[5]采用情景法与区间法表示各自模型中的不确定量如碳交易价格、需求等，建立相应的鲁棒优化模型。但情景法与区间法依赖于情景与区间的设定，不完备的场景集或区间容易降低解的质量。而模糊数理论通过隶属度函数可以连续地刻画不确定性，处理问题时更加灵活。王琴等^[6]在考虑碳排放量的前提下，引入三角模糊数表示不确定需求，通过模糊机会约束规划理论将模型转化为确定性形式，并对置信水平进行了灵敏度分析。三角模糊数应用广泛，但同时只能用一个点表示最可能的情况，缺乏灵活性。基于此，Sun等^[7]、Zhang等^[8]运用灵活性更高的梯形模糊数表示各自问题中的不确定量，使所建模型更加符合实际情况，其中Sun等^[7]运用模糊机会约束规划理论中的可信度模糊测度对模型进行清晰化，Zhang等^[8]则在此基础上引入区间规划处理不确定的运输时间，降低了模型求解的难度。

同时，多式联运的时效性关系着运输成本、客户满意度以及企业供应链的稳定性，也是学术界研究的一大热点。杨喆等^[9]针对运输时间，设置了节点处的作业时间窗，并加入了转运软时间窗以确保转运作业顺利进行，将运输时效性纳入成本考量。在实际运输中，铁路、水路运输按照一定班期进行，然而研究中班期的重要性往往容易被忽视。针对运输班期的研究，彭勇等^[10]在模型中加入不同运输方式的运输班期限制，使建模更符合实际情况；邓明君等^[11]将节点处因铁路、水路运输班期产生的等待成本纳入考量，建立不确定需求下的优化模型，分不同需求场景对模型进行鲁棒优化。

上述研究表明，多式联运优化问题的研究虽取得较大进展，但仍存在局限性。主要表现在：①对于不确定性需求问题，学者们大多选择运用三角模糊数表示不确定需求量，但因其缺乏灵活性，仿真结果容易存在误差。②运输时效性的研究中，大多数学者考虑了客户满意度并加入了混合时间窗限制，但却忽略了铁路、水路运输的班期限制。基于此，在碳交易政策下，从承运人的视角出发，引入铁路、水路的运输班期以及终点处混合收货时间窗。同时，由于梯形模糊数的隶属函数曲线呈梯形分布，能够通过区间的形式表示隶属度为1的情况，拥有更高的灵活性，故运用梯形模糊数表示需求的不确定性并建立模型，引入模糊期望值法与模糊机会约束规划理论对模型进行去模糊化，并设计了自适应模拟退火遗传算法进行求解，以某多式联运系统为例验证了模型与算法的有效性，为多式联运承运人提供决策支持。

1　问题描述与建模

1.1　问题描述

在由若干个节点组成的多式联运网络中，承运人需将一批货物从起点运送到终点。设V为网络节点城市集合，表示为V=O\bigcup D\bigcup R=\left\{i，j\right.\left|i，j=\mathrm{1}，\right.\left.\mathrm{2}，\cdots ，n\right\}。其中i，j为城市节点，O代表起点城市，D代表终点城市，R代表中转节点城市。各节点间最少存在一种运输方式可供选择，节点间运输方式的集合表示为G=\left\{h，k，l\left|h，k，l=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\mathrm{3}\right.\right\}。其中，\mathrm{1}代表公路运输，\mathrm{2}代表铁路运输，\mathrm{3}代表水路运输。货物在各中转节点处可以进行运输方式的转换。在实际多式联运作业中，铁路、水路运输往往按照一定的班期进行运输^[12]，故将铁路、水路的运输班期纳入考虑。同时还引入了终点处的软、硬时间窗，早于软时间窗到达需付仓储费，晚于则需付惩罚费；超出硬时间窗则方案无效。因此，本研究旨在需求不确定条件下，结合节点处的运输班期与终点混合时间窗，优化路径及运输方式选择，获取总成本最优的多式联运方案。

研究假设如下。

（1）运输过程中同一批货物不可分割，即货物不能被分割成2个及2个以上的部分进行运输。

（2）转运作业仅限于中转节点，每个节点只允许1次运输方式转换，且货物抵达后可立即进行转运。

（3）货物在中转节点的等待费用忽略不计，等待时间计入运输总时间。

（4）公路运输由于其本身的灵活性，因此在节点转运时不需要考虑其运输班期。

（5）不考虑运输过程中的天气、突发事故以及货物损坏等因素的影响。

1.2　模糊需求的建立

针对货运需求的不确定性，采用梯形模糊数进行表征。相较于三角模糊数，梯形模糊数提供了更高的灵活性，能更好地拟合实际数据分布^[13]。与不确定货运需求有关的梯形模糊数可通过4个参数表示为\tilde{q}=(q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，q_l，q_u，q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})，单位为t。梯形模糊数隶属度函数如图1所示。

q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}代表现实情况中货运的最小需求量，出现的概率较小。q_l与q_u则是隶属度为1时的货运需求量，分别对应实际运输中货运需求量最可能的下限与上限。q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}代表实际中可能出现的最大货运需求量，与q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}一样在现实作业中出现的概率较小。梯形模糊数\tilde{q}的隶属度函数如公式(1)所示。

(1)

通过隶属度函数，多式联运承运人可以根据实际情况调整相应参数，对实际货运需求情况作出判断，更好地调配运输资源。

1.3　模型建立

1.3.1　参数说明

模型中各参数与决策变量说明如表1所示。

1.3.2　基础模型建立

（1）多式联运总运输成本。多式联运总运输成本包括运输成本、转运成本、早到时的仓储成本以及迟到时的惩罚成本，如公式(2)所示。

C=\tilde{q}\left[{\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{j\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{C}_{ij}^k{d}_{ij}^k{X}_{ij}^k+{\displaystyle \sum _{i\in R}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{\displaystyle \sum _{l\in G}^{}}{C}_i^{kl}{Y}_i^{kl}+Z_s\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(T_a-T_D，\mathrm{0})+Z_p\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(T_D-T_b，\mathrm{0})\right](2)

其中，总运输时间包括运输时间、转运时间以及在节点处完成转运后的班期等待时间，如公式(3)所示。

T_D={\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{j\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{t}_{ij}^k{X}_{ij}^k+\sum _{i\in R}\sum _{k\in G}\sum _{l\in G}{t}_i^{kl}{Y}_i^{kl}+\sum _{i\in R}\sum _{l\in G}{W}_i^l(3)

运输过程中的总碳排放量由货物在运输过程中产生的碳排放量以及转运产生的碳排放量组成，如公式(4)所示。

E=\tilde{q}\left({\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{j\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{e}_{ij}^k{d}_{ij}^k{X}_{ij}^k+{\displaystyle \sum _{i\in R}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{\displaystyle \sum _{l\in G}^{}}{e}_i^{kl}{Y}_i^{kl}\right)(4)

（2）模型约束条件。模型的约束条件包括最大运输能力限制、最大转运能力限制、硬时间窗限制以及运输连续性约束等。

公式(5)表示相邻节点i，j间的货运量不能超出节点间所选运输方式的最大运输能力。

\tilde{q}{X}_{ij}^k\le Q_{ij}^k\forall i，j\in V，k\in G(5)

公式(6)表示节点处发生转运时，转运量不能超出节点最大转运能力。

\tilde{q}{Y}_i^{kl}\le Q_i^{kl}\forall i\in R，k，l\in G(6)

公式(7)表示运输终点客户可接受的最大收货时间窗，即硬时间窗限制。超出硬时间窗则不考虑相应的运输方案。

T_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le T_D\le T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(7)

公式(8)表示货物在节点i处等待运输方式l发车的时间。

(8)

公式(9)表示相邻节点间运输时间的计算方法。

t_{ij}^k=\frac{d_{ij}^k}{v_k}(9)

公式(10)和公式(11)分别表示多式联运的运输起点、运输终点唯一。

\sum _{j\in V}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^G}{X}_{ij}^k=\mathrm{1}i\in O(10)

{\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^G}{X}_{ij}^k=\mathrm{1}j\in D(11)

公式(12)表示各个节点处货物运输的流量平衡。

\sum _{i\in V}\sum _{k\in G}{X}_{ij}^k-\sum _{h\in V}\sum _{k\in G}{X}_{jh}^k=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}j=D\\ \mathrm{0}j\in R\\ -\mathrm{1}j=O\end{array}\right.(12)

公式(13)保证货物在运输过程中运输方式的连续性。

X_{ij}^k+X_{jh}^l\ge \mathrm{2}{Y}_j^{kl}i，h\in V，j\in R，k，l\in G(13)

公式(14)确保任意2个相邻节点间只能选择一种运输方式进行运输。

\sum _{k\in G}{X}_{ij}^k\le \mathrm{1}\forall i，j\in V(14)

公式(15)确保每个中转节点至多只能进行一次运输方式的转换。

\sum _{k\in G}\sum _{l\in G}{Y}_i^{kl}\le \mathrm{1}\forall i\in R，k\ne l(15)

公式(16)和公式(17)均表示决策变量的取值约束。

X_{ij}^k\in \left\{\mathrm{0}，\mathrm{1}\right\}\forall i，j\in V，k\in G(16)

Y_i^{kl}\in \left\{\mathrm{0}，\mathrm{1}\right\}\forall i\in R，k，l\in G(17)

1.3.3　碳交易政策下的优化模型建立

碳交易政策即政府为各企业配备一定的碳排放额度，并允许企业交易买卖额度。企业运输碳排放低于限额时则可出售余额，超出限额则需购买额度，相关收支计入多式联运总成本。令\mu为单位碳交易价格系数，M_{\mathrm{1}}为碳交易政策下企业的碳排放额度。总成本公式更新为公式(18)，C^{\mathrm{*}}表示更新后在碳交易政策下的运输方案总成本。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{C}^{\mathrm{*}}=C+\mu \left(E-M_{\mathrm{1}}\right)(18)

同时公式(2)—公式(17)成立。

2　模型求解

2.1　去模糊化

上述建立的模型中含有梯形模糊变量\tilde{q}，由于该参数的不确定性，无法直接求解模型以获得最优解。为了提供可行的路径规划，需对模型的目标函数及约束进行去模糊化。

2.1.1　目标函数的去模糊化

模糊期望值法融合了模糊数学与期望值理论，旨在处理不确定性决策问题。常见的模糊期望值计算方法为等权平均法^[14]。梯形模糊数\tilde{q}=(q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，q_l，q_u，q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})的计算方法如方式(19)所示。

EV\left(\tilde{q}\right)=\frac{q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+q_l+q_u+q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\mathrm{4}}(19)

由于公式(2)和公式(4)都涉及不确定需求的梯形模糊数，根据公式(19)和相关文献^[15]，公式(2)、公式(4)可改写为公式(20)、公式(21)，以便于后续模型求解。

C=\frac{\left(q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+q_l+q_u+q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{4}}\left[{\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{j\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{C}_{ij}^k{d}_{ij}^k{X}_{ij}^k+{\displaystyle \sum _{i\in R}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{\displaystyle \sum _{l\in G}^{}}{C}_i^{kl}{Y}_i^{kl}+Z_s\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(T_a-T_D，\mathrm{0})+Z_p\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(T_D-T_b，\mathrm{0})\right](20)

\begin{array}{l}E=\frac{\left(q_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+q_l+q_u+q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{4}}\left({\displaystyle \sum _{i\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{j\in V}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{e}_{ij}^k{d}_{ij}^k{X}_{ij}^k+\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{i\in R}^{}}{\displaystyle \sum _{k\in G}^{}}{\displaystyle \sum _{l\in G}^{}}{e}_i^{kl}{Y}_i^{kl}\right)\end{array}(21)

与原表达式(2)和式(4)相比，改写后的目标函数更加清晰直观，减小了不确定的货运需求的干扰。

2.1.2　模型约束的去模糊化

上述构建的模型约束中，公式(5)和公式(6)同样含有模糊变量。对于模糊约束，引入模糊机会约束规划理论(Fuzzy Chance-Constrained Programming，FCCP)。该理论需要确定模糊事件的模糊度量，将约束方程转化为基于可能性、必要性和可信度3种模糊测度之一。相关文献^[16]认为可能性测度和必要性测度缺乏自对偶性，而可信度测度综合考虑了事件的可能性和确定性场景，具有自对偶性，适用于复杂的求解环境。因此，基于可信度测度针对公式(5)和公式(6)构造模糊机会约束，可表示为

Cr\left\{\tilde{q}{X}_{ij}^k\le Q_{ij}^k\right\}\ge {\lambda }_{\mathrm{1}}(22)

Cr\left\{\tilde{q}{Y}_i^{kl}\le Q_i^{kl}\right\}\ge {\lambda }_{\mathrm{2}}(23)

式中：Cr\left\{\right\}为模糊事件的可信度；{\lambda }_{\mathrm{1}}和{\lambda }_{\mathrm{2}}为置信水平，保证了模糊事件的可信度不小于该置信度。对于式中仍然存在的模糊数\tilde{q}，采用以下方法进行去模糊化^[13]：给定一个确定数a和梯形模糊数\tilde{b}=(b_{\mathrm{1}}，b_{\mathrm{2}}，b_{\mathrm{3}}，b_{\mathrm{4}})，当采用可信度测度时，有如下关系。

Cr\left\{\tilde{b}\le a\right\}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}a\le b_{\mathrm{1}}\\ \frac{a-b_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}(b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{1}})}{b}_{\mathrm{1}}\le a\le b_{\mathrm{2}}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}\le a\le b_{\mathrm{3}}\\ \frac{a-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}(b_{\mathrm{4}}-b_{\mathrm{3}})}{b}_{\mathrm{3}}\le a\le b_{\mathrm{4}}\\ \mathrm{1}a\ge b_{\mathrm{4}}\end{array}\right.(24)

由公式(24)可知，当置信水平\lambda \in \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，\mathrm{1}\right]时，Cr\left\{\tilde{b}\le a\right\}\ge \lambda即可表示为

\begin{array}{l}\frac{a-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}(b_{\mathrm{4}}-b_{\mathrm{3}})}\ge \lambda \iff a-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{4}}\ge \mathrm{2}\lambda \left(b_{\mathrm{4}}-b_{\mathrm{3}}\right)\iff \\ a\ge b_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}\lambda -\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{b}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\end{array}(25)

通过进一步推导，当置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}\in \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，\mathrm{1}\right]时，公式(22)和公式(23)分别转化为

Q_{ij}^k\ge \mathrm{2}{q}_U{X}_{ij}^k(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}})+q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{X}_{ij}^k(\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{1}}\in \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，\mathrm{1}\right](26)

Q_i^{kl}\ge \mathrm{2}{q}_U{Y}_i^{kl}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{2}})+q_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{Y}_i^{kl}(\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{2}}\in \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，\mathrm{1}\right](27)

上述方法将模糊机会约束转化为等效清晰的线性表述，降低了模型的求解难度。

2.2　模拟退火遗传算法(Simulated Annealing Genetic Algorithm，SA-GA)的改进设计

研究探讨的多式联运优化问题涉及模糊需求、运输班期以及混合时间窗等因素，所得方案数量随节点和运输方式的增加呈指数增长，属于组合优化及NP-hard问题。解决此类问题主要采用精确算法和启发式算法。精确算法计算量大，效率低；而启发式算法能针对问题特点快速找到近似最优解，更适用于该问题。遗传算法(Genetic Algorithm，GA)作为启发式算法，虽有良好的全局性，但局部寻优能力差。而模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)能够通过随机扰动和Metropolis准则避免局部最优。因此，引入模拟退火算法的思想改进遗传算法，增强算法的局部搜索能力，并加入自适应交叉与变异策略提高算法的整体效率。

2.2.1　Metropolis准则

Metropolis准则根据上一代个体与下一代个体的目标函数差值计算是否接受新解的概率。即使新解比当前解差，仍会根据该准则进行判断是否接受。概率同时受温度影响，相关公式如下。

(28)

\mathrm{\Delta }f=f(x_{\mathrm{2}})-f(x_{\mathrm{1}})(29)

f\left(x\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}C(30)

式中：T_k为第k次迭代时系统的温度，f(x_{\mathrm{1}})为当前可行解x_{\mathrm{1}}对应的目标函数值，f(x_{\mathrm{2}})为新可行解x_{\mathrm{2}}对应的目标函数值。当p>rand(\mathrm{0,1})时，则接受新解。

退火过程则表示为

T_{k+\mathrm{1}}=\delta T_k(31)

式中：\delta为降温系数。

2.2.2　自适应交叉与变异操作

传统遗传算法固定的交叉、变异概率容易使算法陷入局部最优。为了提高解的质量以及算法的收敛性能，引入自适应交叉概率P_c和自适应变异概率P_m^[17]。

(32)

(33)

式中：F_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为群体中的最大适应度值；F_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为群体中的最小适应度值；F^{\text{'}}为交叉的2个个体中较大的适应度值；F为待变异个体的适应度值；F_{avg}为群体的平均适应度值；k_{\mathrm{1}}，k_{\mathrm{2}}，k_{\mathrm{3}}，k_{\mathrm{4}}均为区间\left(\mathrm{0}，\mathrm{1}\right)内的常数。

2.2.3　算法流程

自适应模拟退火遗传算法流程图如图2所示，具体步骤如下。

步骤1：各项参数的初始化。

步骤2：对种群个体进行染色体编码，生成初始种群。

步骤3：计算种群每个个体的适应度值以及种群的平均适应度值，并记录种群的最大、最小适应度值。

步骤4：进行轮盘赌选择操作。

步骤5：根据公式(32)、公式(33)进行自适应交叉和变异操作。

步骤6：计算新个体的目标函数值与上一代个体的目标函数值的差值，根据Metropolis准则，根据公式(28)计算相应概率并判断是否接受新个体。

步骤7：判断是否达到最大迭代次数K_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，若未达到则根据公式(31)进行退火操作，更新温度并返回步骤3；若达到则停止迭代，输出最优解。

3　算例分析

3.1　基础数据

承运人需要将一批货物从广州运至济南，途经厦门、福州、长沙、上海等城市。根据某物流企业的运营数据，不确定的货运量用梯形模糊数表示为\tilde{q}=[\mathrm{100}，\mathrm{110}，\mathrm{118}，\mathrm{130}]，单位为t。基于该多式联运系统，多式联运网络图如图3所示。

其中节点\mathrm{O}，\mathrm{D}分别为起点广州和终点济南，节点1—8按顺序分别代表厦门、长沙、福州、南昌、武汉、上海、南京、郑州。每2个节点间最多有3种运输方式可供选择。根据实际作业情况，货物需要在软时间窗\left[T_a，T_b\right]=\left[\mathrm{70}\mathrm{h}，\mathrm{85}\mathrm{h}\right]内到达终点。若提前到达，根据铁路95306平台的仓储规则将产生Z_s= 7元/(t·h)的仓储成本；若延迟到达则产生Z_p= 30元/(t·h)的惩罚成本。货物最晚需要在4 d内到达，即硬时间窗为\left[T_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]=\left[\mathrm{60}\mathrm{h}，\mathrm{96}\mathrm{h}\right]，超出该时间窗则视为运输任务失败。

节点间的距离与对应运输方式的最大运输能力如表2所示，其中括号内的值代表节点间对应运输方式的最大运输能力。运输时货运量应在相应运输方式的最大运输能力范围内。各数据通过OpenStreetMap、铁路95306等平台获取。

各运输方式的运输速度、单位运输成本及单位运输碳排放量如表3所示。

根据相关文献资料^[11]并结合物流企业相关数据，各运输方式间的单位转运价格、单位转运时间及单位转运碳排放量如表4所示。

货物在节点处发生转运时，转运货物量应不大于节点对应运输方式的最大转运能力。各节点的最大转运能力如表5所示。

鉴于实际作业中班次信息的动态性，采用通用班次表提供近似估计，以确保研究的可行性和普适性，同时减少计算冗余，提高后续求解效率。根据相关资料及参考文献^[10]，各运输方式的运输班期如表6所示。

根据相关文献^[18]、中国碳排放交易网“碳k线”、全国市场碳排放配额交易数据统计(CEA)以及上海环境能源交易所股份有限公司的数据，取碳交易价格系数为\mu =\mathrm{88.61}元/t，企业运输任务排放配额设置为M_{\mathrm{1}}=\mathrm{15}\mathrm{t}。对于上述模糊机会约束规划中的置信水平，参考相关文献资料^[15]，置信水平取{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.8}。

3.2　结果分析

基于上述所建立多式联运优化模型以及3.1节的算例数据，运用改进自适应SA-GA算法对模型进行求解。相应的参数设置如下：种群大小N=\mathrm{100}，最大迭代次数K_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{200}^[19]；选择、交叉和变异操作采用式(32)与式(33)进行改进；算法中退温系数\delta设置为0.9，初始温度设置为100 ℃^[20]。

3.2.1　算法有效性

分别运用传统GA算法、SA-GA算法与改进的自适应SA-GA算法对该多式联运案例进行求解寻优。各算法收敛曲线对比图如图4所示。GA算法在进行了89次迭代以后，得到的最优结果稳定在267 301元附近。SA-GA算法在第80次迭代后寻找到了更优的个体，最终结果稳定在了157 174元附近。而改进的自适应SA-GA算法加入了自适应的交叉、变异策略，加快了算法的收敛速度，提高了解的质量，最终在第41次迭代后稳定在了137 587元附近。

各算法运行结果方案如表7所示。

由结果可知，GA算法在运输方式上采用了公路运输，虽然在时间上优于其他2种方案，但总成本分别比SA-GA算法以及自适应SA-GA算法高70.07%、94.28%，碳排放总量也均高于其他2个方案。由此可见铁路、水路的联运组合在运输时间窗允许的范围内，有利于大幅降低碳排放量以及运输成本。SA-GA算法得出的方案在时间上和碳排放量上优于自适应SA-GA算法，但由于案例中的碳排放成本占总成本比重较小且SA-GA方案的铁路运输里程大于自适应SA-GA算法的铁路运输里程，故自适应SA-GA算法在总成本方面优于SA-GA算法。综上所述，自适应SA-GA算法的各项结果均优于GA算法，同时自适应SA-GA算法在求解速度和总成本方面优于GA算法和SA-GA算法，更适用于本研究模型的求解。

3.2.2　置信水平灵敏度分析

分别改变置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，分析其对运输能力、转运能力以及运输方案总成本的影响。{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}的灵敏度分析如图5所示。保持其他参数不变，改变置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}，随着置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}上升，节点间需要满足的最大运输能力也随之上升。当{\lambda }_{\mathrm{1}}= 0.9时，各节点间各运输方式的最大运输能力需满足127.6 t，会出现部分路径运输能力不足的情况，需要更改运输方案。同理，保持其他参数不变，改变置信水平{\lambda }_{\mathrm{2}}，随着置信水平{\lambda }_{\mathrm{2}}上升，节点处需满足的最大转运能力也随之上升，届时会出现部分节点中转能力不足的情况。

置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}与目标函数值的关系如图6所示，保持其他参数不变，同时改变置信水平{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，结果显示目标函数值不发生变化。这是由于最优方案中节点间的运输能力以及各节点的中转能力均满足模糊需求中最可能情况的上限q_u。但在实际运输中，承运人需保证运输能力及转运能力充足以应对需求波动，避免因运输方案变动而产生额外的运输时间与成本。

3.2.3　碳交易价格系数灵敏度分析

碳交易价格系数因受各地碳市场环境影响而存在波动性，为了探究不同的碳交易价格对运输总成本和碳排放量的影响，对碳交易价格系数\mu进行灵敏度分析。碳交易价格系数\mu与运输总成本及碳排放量的关系如图7所示。

当\mu为30元/t时，运输方案的碳排放量高于碳排放额度，承运人需购买额外的碳排放额度，运输成本与碳排放量均处于较高水平；随着碳交易价格\mu的增加，原方案需要支出更多的碳交易费用，此时承运人更偏向于选择碳排放量较低的环境友好型方案，运输碳排放量以及总成本逐渐下降。当\mu大于或等于80元/t时，运输方案总成本以及碳排放趋于稳定。因此，合理设置碳交易价格系数有利于承运人选择环境友好型的运输方案，降低运输总成本以及碳排放量。

4　结论

本研究从多式联运承运人的视角出发，在碳交易政策下考虑货运需求的不确定性、铁路与水路的运输班期、以及客户混合收货时间窗，引入模糊期望值法与模糊机会约束规划理论处理需求的不确定性，建立多式联运路径优化模型。同时，针对该模型设计了改进的自适应SA-GA算法，以某多式联运系统为例，验证了模型与算法的有效性。研究结果表明：模糊期望值理论与机会约束规划理论能够有效应对货运需求的不确定性问题，提高运输方案的准确性与可靠性；改进的自适应SA-GA算法在迭代速度和求解结果方面均优于SA-GA算法和GA算法；通过对置信水平的灵敏度分析可知，各节点间需满足的运输能力以及节点处的中转能力随着置信水平的增大而增大，容易出现运输能力和转运能力不足的情况，导致运输方案的变动，实践中承运人应确保运输能力以及中转能力充足，降低不确定性因素对于运输方案的影响。同时，碳交易价格系数的灵敏度分析结果表明，合理设置碳交易价格系数有利于承运人选择环境友好型的运输方案，降低运输总成本以及碳排放量。

完善现代多式联运体系，优化运输结构是推进行业提质降本增效的关键战略。研究主要围绕碳交易政策下多式联运中的需求不确定性、混合时间窗等因素展开，使优化方案更符合实际情况，但并未考虑到实际情况中运输时间的不确定性、碳交易价格的波动性等其他问题，下一步可以此切入进行研究，提高运输方案的可靠性。

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基金资助

教育部人文社会科学基金项目(24YJA790014)

福建省自然科学基金项目(KY310420)