我国铁路货运网络的级联失效抗毁性研究

Research on Cascade Failure Invulnerability in China’s Railway Freight Networks

摘要

为研究铁路货运网络在不同蓄意攻击方式下的级联失效抗毁性，运用复杂网络方法，构建无向加权的我国铁路货运网络。在分析其拓扑结构特性的基础上，分别利用节点强度、加权接近中心性、货物运输总量和综合性评价指标识别重要节点，并设计不同的蓄意攻击方式，借助网络效率比、失效规模比和综合抗毁性，评价铁路货运网络的级联失效抗毁性。研究结果表明，我国铁路货运网络可以归类为小世界网络，且具有无标度特性；铁路货运网络在加权接近中心性攻击模式下的抗毁性较强，在货物运输总量攻击模式下的抗毁性强于节点强度攻击模式，而在攻击节点比例较小时，综合重要度攻击模式下的网络抗毁性弱于节点强度攻击模式，当攻击节点达到一定比例后，2种攻击模式下的网络抗毁性没有差异。

Abstract

In order to study cascade failure invulnerability of railway freight networks under different intentional attacks, the complex network method was used to construct undirected weighted Chinese railway freight networks. By analyzing the topological structure characteristics of the networks, the important nodes were identified through node strength, weighted proximity centrality, total freight transport volume, and comprehensive evaluation indices, and different intentional attack modes were designed. The cascade failure and invulnerability of railway freight networks were evaluated by using the network efficiency ratio, failure scale ratio, and comprehensive invulnerability. The results show that China's railway freight networks can be classified as small world networks with scale-free characteristics. The railway freight networks demonstrate strong invulnerability under the attack mode of weighted proximity centrality. The invulnerability under the attack mode of total freight transport volume is stronger than that under the attack mode of node strength. However, when the proportion of attack nodes is small, the network invulnerability under the attack mode of comprehensive evaluation indices is weaker than that under the attack mode of node strength. When the attack nodes reach a certain proportion, there is no difference in the network invulnerability between the two attack modes.

Graphical abstract

关键词

铁路货运网络 / 重要节点识别 / 蓄意攻击 / 级联失效 / 抗毁性

Key words

Railway Freight Transport Network / Important Node Identification / Intentional Attack / Cascade Failure / Invulnerability

0　引言

铁路货物运输业是我国经济发展的基础产业之一，其健康可持续发展是国家经济发展、缩减地区间贫富差距的重要保障^[1]。铁路运输相较于公路、水路等具有安全性高、运输快、成本低等特点，因而研究铁路货运网络(Rail Freight Network，RFN)的抗毁性不仅在宏观层面有助于推动经济发展，还在微观层面为运输网络的优化设计、应急管理和控制提供理论支持。RFN是以运输城市为节点、运输路线为边所构成的复杂网络，极端天气或人为破坏都可能导致运输站点关闭，从而影响整个网络运营效率并造成经济损失。因此，研究RFN的抗毁性至关重要。

在铁路运输网络实证分析中，詹斌等^[2]发现全国铁路货运快运网络的度分布符合幂律分布规律，具有无标度特性，但小世界特性不明显；Wang等^[3]研究我国铁路客运网，发现其是一个具有2种状态幂律分布的小世界网络。在复杂网络抗毁性方面，国外率先展开研究，Albert等^[4]分析无标度网络在随机攻击和蓄意攻击下的抗毁性。国内对于复杂网络的研究相比于国外较晚，主要围绕攻击方式、抗毁性能评估指标及仿真实验等展开。Ma等^[5]基于平均最短路径、拥堵程度和平均客流强度，构建轨道交通抗毁性测度体系。王兴隆等^[6]通过建立度、加权度、介数等去点指标，研究不同攻击方式下航路网络效能的变化。徐凤等^[7]研究不同攻击模式下东航空铁联运双层加权网络的抗毁性，发现攻击节点达到一定比例后，选择性攻击下网络抗毁性会显著弱于随机性攻击。

以上学者研究的大都是网络静态抗毁性关系，但实际网络中的节点是相互关联的，一个节点的失效可能会引起其他节点的失效，因此Motter等^[8]提出经典的容量-负载线性模型，用于研究网络的级联失效。Gao等^[9]进一步提出非线性容量负载模型，指出增加节点负载能力系数可有效降低网络拥堵系数。于宝等^[10]基于高速铁路复杂网络模型，仿真分析站点重要度对该网络级联失效鲁棒性的影响。李树彬等^[11]基于非线性负荷-容量的级联失效模型，研究厦门市公交网络在有无级联失效情况下的指标变化情况。

目前，有关运输网络抗毁性的既有研究主要涉及航空运输网络和城市地铁公交等领域，而以铁路货物运输网络为主的研究较少。在少数货运网络研究中，学者们主要对比随机攻击和蓄意攻击下的网络抗毁性，未考虑不同蓄意攻击方式对网络抗毁性的影响。因此，以我国RFN为研究对象，构建节点失效时的级联失效模型，设计基于节点强度、节点加权接近中心性、节点货物运输总量，以及基于TOPSIS-CRITIC的节点综合重要度的攻击策略，对比研究4种不同蓄意攻击策略下的网络抗毁性，以期为后续网络优化和网络恢复等提供决策依据。

1　铁路货运网络的构建

研究数据来源于《中国统计年鉴2022》，获取国家铁路地区间货物交流量。将RFN抽象为图G=(V，E，W)，其中节点集合V=\left\{v_i：i=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdots ，n\right\}为铁路货物运输的站点，边集合E=\left\{e_i：i=\mathrm{1}，\mathrm{2}，\cdots ，m\right\}为站点之间的运输路线，边权W=\left\{w_{ij}：i，j=\mathrm{1}，\right.\left.\mathrm{2},\cdots ,n\right\}为边的货物运输总量。选取31个省份的省会城市为研究对象，所构建的RFN共包括31个节点、453条边。RFN拓扑结构图如图1所示。

RFN拓扑结构构建说明如下。

（1）由于从《中国统计年鉴2022》中获取的是地区间货物交流数据，不是城市间的货物交流数据，故将地区内的货物交流量聚集到其对应的省会城市节点上，并舍弃同一地区内的货物交流量影响。

（2）RFN的运输路线是对称的，故不考虑方向，将RFN抽象为无向加权网络。

（3）在RFN拓扑结构图中，不同大小和颜色的节点代表节点的加权度不同，不同粗细的线条代表边权不同，节点越大代表节点加权度越大，线条越粗代表边权越重。

2　RFN拓扑结构特性分析

2.1　节点加权度分布

许多现实世界中的复杂网络，节点度分布并不服从泊松分布，而是近似服从幂律分布P(k)=c{k}^{-r}，当2.1 < r < 4时，这种节点度的幂律分布为无标度特性。节点的度服从幂律分布的网络称为无标度网络^[12]。

在无向加权网络中，节点i的加权度K_i是指与该节点相连边的权重之和，节点加权度分布P(K)是指网络中加权度值为K的节点数占网络节点总数的比例。RFN的节点加权度分布如图2所示，可以看出，加权度值在10 000左右的节点约占节点总数的35%，加权度值为90 000左右的节点约占3%，说明绝大多数节点的加权度都较小，只有少数节点的加权度很大。再对节点加权度分布进行幂律分布函数的拟合，其分布函数为：P(K)=\mathrm{5.49}{K}^{-\mathrm{2.39}}。可以看出，2.1 < r = 2.39 < 4，因此我国RFN具有无标度特性。

2.2　聚类系数

网络的聚类系数是一种度量网络中节点聚集性的指标，考虑了节点邻居之间的边权重。网络聚类系数越高表示网络中节点之间的连接更加紧密和聚集，其计算公式为

C_i=\frac{\mathrm{2}{T}_i}{k_i(k_i-\mathrm{1})}(1)

式中：C_i为节点的聚类系数；k_i为节点的度数；T_i为该节点邻居节点间连接的边数和。

网络的聚类系数C是所有节点聚类系数的平均值，C\in [\mathrm{0}，\mathrm{1}]。经计算，RFN的聚类系数为0.980 6，表明RFN中节点之间联系的紧密程度和聚集程度高。

2.3　加权平均最短路径长度

加权平均最短路径长度可以反映网络的整体连通性和节点间的关联程度，加权平均最短路径长度越大，则网络节点间的平均距离越远，网络连通性越差，其计算公式为

L=\frac{\sum _{i\ne j}{d}_{ij}}{N(N-\mathrm{1})}(2)

式中：d_{ij}为节点i和j之间的加权最短路径长度；N为网络中节点的总数。

经计算，RFN的加权平均最短路径长度为3.021 5，说明网络中的节点之间可能相对较短的路径较为常见，网络中存在一定程度的高效连接。

结合RFN的聚类系数，计算出和RFN有着相同规模的随机网络的聚类系数和加权平均最短路径长度。RFN与随机网络的对比如表1所示，发现与随机网络相比，RFN有着更高的聚类系数和更低的加权平均最短路径长度，表现出明显的小世界网络特性^[13]，也表明所构建的我国RFN符合现实。

3　RFN站点重要度评估

对于不同类型的复杂网络，拓扑结构的不同决定节点在网络中重要度的不同。在RFN中，对站点重要度进行评价与排序有利于为网络抗毁性研究提供攻击策略。

在节点重要度评估时，较多的学者采用单一指标进行排序，这通常是不利于全面衡量节点重要性的，故本研究从网络局部属性、网络全局属性及现实网络属性3个角度，选取节点强度、节点加权接近中心性、节点货物运输总量指标进行评估，并对以上3个指标进行加权得到节点重要度的综合性评价指标。

（1）节点强度。节点强度即节点的加权度值K_i是与节点i相连边的权重之和，若a_{ij}代表节点i与节点j直接连接，则取值为1，否则为0。一般情况下，节点强度可以反映网络的局部属性，该值越大，该节点在网络中越重要，其计算公式为

K_i=\sum _{i\ne j}{a}_{ij}{w}_{ij}(3)

式中：w_{ij}为节点i和j相连边的权重。

（2）节点加权接近中心性。通常情况下，用节点介数反映网络的全局属性，但在RFN中，除了北京、上海、福州等城市外，其余城市的介数都为0，不利于重要性评估，故选取加权接近中心性M_i反映节点i位于网络中心的程度。加权接近中心性越大，则该节点越重要，其计算公式为

M_i=\frac{N-\mathrm{1}}{\sum _{i\ne j}{d}_{ij}}(4)

（3）节点货物运输总量。以上2个指标仅能从网络拓扑结构上反映节点的重要性，但在现实网络中，铁路货物运输的节点由于地理位置和承担的功能不同，其货物运输量会有显著差异，货物运输总量Q_i越大的节点越重要。其计算公式为

Q_i=\overleftarrow{Q_i}+\overrightarrow{Q_i}(5)

式中：\overleftarrow{Q_i}为其他节点运输到节点i的货物量；\overrightarrow{Q_i}为节点i运输到其他节点的货物量。

（4）综合性评价指标。其计算公式为

F_i=\lambda K_i+\gamma M_i+\mu Q_i(6)

式中：F_i为节点i的综合性评价指标；\lambda ,\gamma ,\mu为权重系数，且\lambda +\gamma +\mu =\mathrm{1}。

对于综合性评价指标，参考文献[14]采用TOPSIS-熵权法进行排序，但由于CRITIC优于熵权法和变异系数法，其综合考虑了指标的对比强度与冲突性，完全利用数据自身的客观属性进行科学评价。故本研究采用TOPSIS-CRITIC法进行权重系数确定和节点重要度排序。各指标权重如表2所示，节点重要度排序如表3所示，表3中仅列举了重要度排名前5的节点。

4　RFN级联失效模型

在复杂网络中，节点负载持续变化，当节点负载超过其容量导致失效后，该负载会通过网络的相互连接被重新分配到其他节点上，从而引起其他节点失效，产生级联效应，甚至导致整个网络的崩溃，这种由微小事件引发的连锁故障称为级联失效。由于RFN中某站点的失效也会引起其他站点的相继失效，故引入级联失效模型，分析节点的失效过程和网络的抗毁性。

4.1　负载-容量模型

现实中，站点货物运输量过多不会导致该站点完全失效，只会使其货物运输速度变慢。因此，将站点状态设置成“正常”“暂停”和“失效”3种^[15]。被攻击的站点仅有“正常”和“失效”2种状态，其余站点有以上3种状态。当某站点被蓄意攻击时，该站点处于“失效”状态，引起负载重分配，若分配后站点负载未超过最大容量，则该站点处于“正常”状态；反之，处于“暂停”状态，此时，该站点只允许货物流出，而不再接纳货物，故“暂停”状态的站点只会将超过最大容量部分的负载进行重分配。其中，“暂停”和“失效”状态的站点统称为“非正常”状态。

级联失效模型有沙堆模型、CASCADE模型与负载-容量模型等，但由于RFN中每个站点都具有一定的负载，且受自身和外界因素的限制，存在着最大容量的限制，因而采用负载-容量模型作为RFN级联失效模型。该模型主要由3个部分组成：节点初始负载、节点最大容量和负载重分配策略。

（1）节点初始负载。以往研究中，大多学者将网络节点的负载定义为节点的度、介数等指标值，而没有考虑网络中节点的实际物理负载，因此本研究将节点货物运输总量作为节点初始负载，计算公式为

Loa{d}_i(\mathrm{0})=Q_i(7)

式中：Loa{d}_i(\mathrm{0})为节点i的初始负载。

（2）节点最大容量。由于建设成本和运输成本的显著，节点容量具有上限，在多数实际网络中，初始负载较小的节点通常有较大的剩余容量，故容量和负载并非简单的线性关系^[16]。基于此，借鉴Kim等^[17]的模型，构建双变量的非线性负载容量模型，计算公式为

Capacit{y}_i=Loa{d}_i(\mathrm{0})+\alpha Loa{d}_i{(\mathrm{0})}^{\beta }(8)

式中：Capacit{y}_i为节点的最大容量；\alpha为负载容忍系数，\alpha >\mathrm{0}，当\alpha =\mathrm{1}时，该模型退化成线性模型，说明非线性模型更具普适性；\beta为容量可调参数，\beta >\mathrm{0}。

（3）负载重分配策略。节点失效后，其负载按一定方式进行分配，常见负载重分配方式有局部分配、全局分配、平均分配^[18]。考虑到在运输网络中，为了节省运输成本和减少货物质量的损耗，一般会按照近邻原则分配负载，因而选择策略时更倾向于局部分配，即当节点i处于“非正常”状态时，根据各邻居节点剩余容量与邻居节点总剩余容量的比值进行负载分配，计算公式为

P_j=\frac{Capacit{y}_j-Loa{d}_j}{\sum _{j\in {\mathrm{\Omega }}_i}(Capacit{y}_j-Loa{d}_j)}(9)

式中：P_j为节点i的邻居节点j分配到负载的概率；{\mathrm{\Omega }}_i为节点i的邻居节点集合。

根据分配概率P_j进行负载重分配后，邻居节点j的负载需进行更新，更新后的负载为

\left\{\begin{array}{cc}\begin{array}{l}Loa{d}_j(t+\mathrm{1})=Loa{d}_j(t)+Loa{d}_i·P_j\\ i\mathrm{为失}\mathrm{效节}\mathrm{点时}\end{array}& \\ \begin{array}{l}Loa{d}_j(t+\mathrm{1})=Loa{d}_j(t)+(Loa{d}_i-Capacit{y}_i)·P_j\\ i\mathrm{为暂}\mathrm{停节}\mathrm{点时}\end{array}& \end{array}\right.(10)

式中：Loa{d}_j(t)为t时刻节点j本身的负载；Loa{d}_j(t+\mathrm{1})为节点j负载重分配后更新的实时负载。

4.2　仿真流程

级联失效仿真的攻击策略采用节点强度攻击、节点加权接近中心性攻击、节点货物运输总量攻击和节点综合重要度攻击。并假设对RFN的节点攻击只进行1次，以及在研究期内，RFN不具备自我恢复能力。级联失效仿真流程如图3所示。

5　RFN级联失效抗毁性分析

RFN的级联失效抗毁性是指在受到自然灾害、人为破坏等事件攻击时，某些运输站点关闭，但RFN仍能保证货物正常运输的能力^[19]。

5.1　级联失效抗毁性评价指标

因为复杂网络中节点的失效会影响到网络功能和网络拓扑结构，因此分别选取网络效率比和失效规模比2个指标来衡量RFN的级联失效抗毁性。

（1）网络效率比\mathrm{\Delta }E，该值越大表示网络的级联失效抗毁性越强，计算公式为

\left\{\begin{array}{c}E=\frac{\mathrm{1}}{N(N-\mathrm{1})}\sum _{i\ne j}\frac{\mathrm{1}}{d_{ij}}\\ \mathrm{\Delta }E=\frac{E^{\mathrm{\text{'}}}}{E}\end{array}\right.(11)

式中：E为初始网络效率；E^{\mathrm{\text{'}}}为级联失效后的网络效率。

（2）失效规模比\mathrm{\Delta }Z，是指级联失效结束后网络中处于“非正常”状态的节点数与初始网络中节点总数的比，\mathrm{\Delta }Z\in [\mathrm{0}，\mathrm{1}]，失效规模比越小，级联失效抗毁性越强，计算公式为

\mathrm{\Delta }Z=\frac{N^{\mathrm{\text{'}}}}{N}(12)

式中：N^{\mathrm{\text{'}}}为处于“非正常”状态的节点数。

（3）综合抗毁性K，由于网络效率比与网络抗毁性成正向关系，而失效规模比与抗毁性成反向关系，因此将2个指标以一定的权重综合起来更易于分析RFN的抗毁性。K值越大，网络的抗毁性越强，计算公式为

K=\sigma ·\mathrm{\Delta }E+\delta (\mathrm{1}-\mathrm{\Delta }Z)(13)

式中：\sigma ，\delta为权重系数，由于2个指标对网络抗毁性的评价有着同样程度的影响，故设置权重\sigma =\delta =\mathrm{50}\mathrm{\%}。

根据以上公式，得到初始网络的级联失效抗毁性指标值如表4所示。

5.2　参数\alpha ，\beta取值的确定

级联失效模型中站点的最大容量受参数\alpha ，\beta的影响，而站点最大容量与站点失效有着显著关系，因此合适的参数对级联失效程度有一定的影响。采用节点强度的单站点攻击模式，以网络效率比、失效规模比和综合抗毁性为判断依据，采用控制变量法，确定合适的\alpha ，\beta值。参数\alpha赋值范围为0.2~2，以0.6为增量；参数\beta赋值范围为0.6~1.2，以0.1为增量，每个\alpha对应一组\beta，参数仿真结果如图4所示。

（1）\alpha固定为0.2时，由图4可知，当\beta \le \mathrm{0.9}时，所有站点故障，RFN完全崩溃(\mathrm{\Delta }E=\mathrm{0}，\mathrm{\Delta }Z=\mathrm{1}，K=\mathrm{0})；当\beta \ge \mathrm{1}时，RFN未发生级联失效，仅1个站点故障，此时网络接近初始状态(\mathrm{\Delta }E=\mathrm{0.909}\mathrm{5}，\mathrm{\Delta }Z=\mathrm{0.032}\mathrm{3}，K=\mathrm{0.938}\mathrm{6})。说明当\alpha固定时，提高\beta可以提高网络的抗毁性。同时，\alpha在取值不同情况下，\beta \le \mathrm{0.8}时，可能由于铁路运输货物的各个站点容量较小，整个RFN容易瘫痪；\beta \ge \mathrm{1}时，铁路运输货物的站点容量较大，不易发生级联失效，网络效率比较高，失效规模比较小，综合抗毁性较强，因此，\beta可取中间值0.9进行后续RFN的级联失效仿真研究。

（2）同理，\beta固定为0.7时，由图4可知，当\alpha \le \mathrm{0.8}时，RFN中所有站点故障；当\alpha \ge \mathrm{1.4}时，仅1个站点故障，整个网络抗毁性较强。说明当\beta固定时，提高\alpha也可以提高网络的抗毁性。此外，在不同的\beta取值情况下，当\alpha \le \mathrm{0.2}时，全部运输站点发生故障；\alpha \ge \mathrm{1.4}时，整个RFN基本维持初始状态，故\alpha可取中间值0.8进行后续的研究。

5.3　仿真结果分析

采用节点强度攻击、节点加权接近中心性攻击、节点货物运输总量攻击和节点综合重要度攻击作为级联失效的攻击策略，以网络效率比、失效规模比和综合抗毁性作为判断依据，比较RFN在不同攻击方式下的抗毁性差异。选取容量参数组合\alpha =\mathrm{0.8}，\beta =\mathrm{0.9}进行级联失效仿真，级联失效仿真结果如图5所示。

从图5a和图5b可知，网络效率比整体呈下降趋势，失效规模比呈增长趋势，说明随着攻击节点比例的增加，在任一攻击策略下，RFN的级联失效抗毁性都在减弱。同时，在面对强度攻击和货物运输总量攻击时，网络效率比在攻击节点比例为0.3时下降为0，失效规模比变为1，此时整个网络无正常节点，网络完全瘫痪；在面对节点综合重要度攻击时，攻击节点比例为0.5时网络全部瘫痪；在节点加权接近中心性攻击策略下，网络效率比虽比其他攻击策略低，失效规模比比其他大，但在攻击节点比例为1时网络才全部失效，说明在加权接近中心性攻击策略下，RFN不易发生级联失效，抗毁性相对较强。

为了更好地对比节点强度攻击、货物运输总量攻击和综合重要度攻击下网络抗毁性的不同，对图5c进行分析。强度攻击与货物运输总量攻击的综合抗毁性趋势走向一致，但在攻击节点比例为0.2时，节点强度攻击的综合抗毁性值K=\mathrm{0.868}\mathrm{8}，而货物运输总量攻击的综合抗毁性值K=\mathrm{0.888}\mathrm{9}，略高于强度攻击，即货物运输总量攻击策略下的网络抗毁性微强于节点强度攻击策略。对于强度攻击和综合重要度攻击，当攻击节点比例为0~0.2时，综合重要度攻击下的综合抗毁性弱于强度攻击，攻击节点比例为0.3~0.4时，强度攻击下的综合抗毁性弱于综合重要度攻击，攻击节点比例大于等于0.5时，2种攻击策略下的综合抗毁性值一样，说明在RFN中，并不是综合重要度攻击下的网络抗毁性就一定弱于节点强度攻击。

综上，节点加权接近中心性攻击策略下的网络抗毁性最强，其次是节点货物运输总量攻击策略，最后是节点强度攻击策略；而节点强度攻击策略和综合重要度攻击策略的网络抗毁性与攻击节点比例相关，不同攻击节点比例，2种攻击策略的网络抗毁性差异也不同。

6　结论及建议

6.1　结论

（1）我国RFN具有无标度特性和小世界特性，说明RFN中存在少数高度连接的枢纽站点，同时大部分站点之间的联系紧密，能够更好地满足货物运输需求。

（2）我国RFN的抗毁性与负载容忍系数和容量可调参数呈正相关，增大这2个参数可减小级联失效行为对RFN的破坏程度。但当容量可调参数超过阈值1时，继续提高对抗毁性的增强也不会有明显效果。

（3）不同攻击方式下，我国RFN的级联失效抗毁性也不同。RFN在面对节点加权接近中心性攻击方式时抗毁性较强，而对其余3种攻击方式表现出脆弱性；在节点强度攻击和节点货物运输总量攻击方式下，攻击运输站点比例在0.3时网络瘫痪；在综合重要度攻击方式下，站点比例在0.5时瘫痪。通过对比各抗毁性评价指标的变化情况发现，节点强度攻击对货运网络的破坏性强于节点货物运输总量攻击；在节点攻击比例较小时，综合重要度攻击对货运网络的破坏性强于节点强度攻击，而节点攻击比例超过0.5时，两者破坏程度一样。

6.2　建议

（1）增加备用连接或采用多样化的网络连接方式，如适当增加枢纽站点周边支线城市的运输路线，从而提高网络的抗毁性。

（2）在建设成本允许的情况下，适当扩大运输站点的最大容量，但需要注意超过一定阈值后对抗毁性的增强效果不大。

（3）针对不同的攻击方式，采取相应的防御策略和技术手段，如加强对关键节点的保护和监控，建立应急响应机制。

（4）建立完善的网络监控和预警系统，及时发现异常情况并采取应对措施，同时建立健全网络应急预案，定期进行演练和评估，以提高面对各种攻击和突发事件时的应对能力和抗毁性。

参考文献

[1] 徐　红，覃恩来，张娅婷. 基于灰色关联分析模型的铁路货运影响因素分析[J]. 黑龙江交通科技，2023，46(6)：170-173.

[2] XU Hong， QIN Enlai， ZHANG Yating. Analysis of Influence Factors of Railway Freight Transportation Based on Grey Correlation Analysis Model[J]. Communications Science and Technology Heilongjiang，2023，46(6)：170-173.

[3] 詹　斌，杨雨婷，鲁寒宇，等. 全国铁路货物快运网络的复杂性分析[J]. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版)，2018，42(3)：393-397.

[4] ZHAN Bin， YANG Yuting， LU Hanyu，et al. Complexity Analysis of Countrywide Railway Freight Express Network[J]. Journal of Wuhan University of Technology (Transportation Science & Engineering)，2018，42(3)：393-397.

[5] WANG W， CAI K Q， DU W B，et al. Analysis of the Chinese Railway System as a Complex Network[J]. Chaos，Solitons & Fractals，2020(130)：109408.

[6] ALBERT R， JEONG H， BARABASI A L. Error and Attack Tolerance of Complex Networks[J]. Nature，2000，406(6794)：378-382.

[7] MA F， LIANG Y， YUEN K F，et al. Assessing the Vulnerability of Urban Rail Transit Network under Heavy Air Pollution：A Dynamic Vehicle Restriction Perspective[J]. Sustainable Cities and Society，2020(52)：101851.

[8] 王兴隆，王　宽，赵　末. 鱼骨式航路网络建模及抗毁性分析[J]. 中国安全科学学报，2018，28(3)：167-172.

[9] WANG Xinglong， WANG Kuan， ZHAO Mo. Fishbone Air Route Network Modeling and Invulnerability Analysis[J]. China Safety Science Journal，2018，28(3)：167-172.

[10] 徐　凤，朱金福，陈　丹. 东航空铁联运双层加权网络的关键节点识别与抗毁性分析[J]. 铁道运输与经济，2023，45(1)：93-100.

[11] XU Feng， ZHU Jinfu， CHEN Dan. Identification of Key Nodes and Invulnerability Analysis of Double-Layer Weighted Network of Air-Rail Inter-Modal Transport by China Eastern Airlines[J]. Railway Transport and Economy，2023，45(1)：93-100.

[12] MOTTER A E， LAI Y C. Cascade-Based Attacks on Complex Networks[J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys，2002，66(2)：065102.

[13] GAO Y L， LIANG C S， ZHOU J，et al. Robustness Optimization of Aviation High Speed Rail Coupling Network[J]. PhysicaA：Statistical Mechanics and Its Applications，2023(610)：128406.

[14] 于　宝，冯　春，朱　倩，等. 中国高速铁路网络脆弱性分析[J]. 中国安全科学学报，2017，27(9)：110-115.

[15] YU Bao， FENG Chun， ZHU Qian，et al. Vulnerability Analysis of China's High Speed Railway Network[J]. China Safety Science Journal，2017，27(9)：110-115.

[16] 李树彬，林兆丰，孔祥科，等. 城市公交网络级联失效分析[J]. 山东建筑大学学报，2023，38(5)：105-113.

[17] LI Shubin， LIN Zhaofeng， KONG Xiangke，et al. Cascading Failure Analysis of Urban Public Transit Network[J]. Journal of Shandong Jianzhu University，2023，38(5)：105-113.

[18] 詹　斌，袁　野，杨世武，等. 基于加权网络的城市轨道交通网络特性与级联失效分析[J]. 武汉理工大学学报(信息与管理工程版)，2022，44(6)：917-923，929.

[19] ZHAN Bin， YUAN Ye， YANG Shiwu，et al. Analysis of the Structural Characteristics and Cascading Failure of Urban Rail Transit Network Based on Weighted Network Model[J]. Journal of Wuhan University of Technology (Information & Management Engineering)，2022，44(6)：917-923，929.

[20] WATTS D J， STROGATZ S H. Collective Dynamics of 'Small-World' Networks[J]. Nature，1998，393(6684)：440-442.

[21] 吕　敏，帅　斌，张　玥，等. 熵-TOPSIS-IFPA聚类方法在中欧班列运输节点风险识别中的应用[J]. 安全与环境学报，2023，23(3)：667-674.

[22] Min LYU， SHUAI Bin， ZHANG Yu，et al. Application of Entropy-TOPSIS-IFPA Clustering Method in Risk Identification of Transportation Node of China Railway Express[J]. Journal of Safety and Environment，2023，23(3)：667-674.

[23] 种鹏云，尹　惠. 蓄意攻击策略下危险品运输网络级联失效仿真[J]. 复杂系统与复杂性科学，2018，15(1)：45-55，74.

[24] CHONG Pengyun， YIN Hui. Simulation of Cascading Failure on Hazardous Materials Transportation Network under Targeted Attack[J]. Complex Systems and Complexity Science，2018，15(1)：45-55，74.

[25] 王学光，张爱新，窦炳琳. 复杂网络上的非线性负载容量模型[J]. 计算机科学，2021，48(6)：282-287.

[26] WANG Xueguang， ZHANG Aixin， DOU Binglin. Non-Linear Load Capacity Model of Complex Networks[J]. Computer Science，2021，48(6)：282-287.

[27] KIM D H， MOTTER A E. Resource Allocation Pattern in Infrastructure Networks[J]. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2008，41(22)：224019.

[28] 段东立，吴　俊，邓宏钟，等. 基于可调负载重分配的复杂网络级联失效模型[J]. 系统工程理论与实践，2013，33(1)：203-208.

[29] DUAN Dongli， WU Jun， DENG Hongzhong，et al. Cascading Failure Model of Complex Networks Based on Tunable Load Redistribution[J]. Systems Engineering—Theory & Practice，2013，33(1)：203-208.

[30] 郑亚晶，李雨恒，李耀辉. 基于可达性的铁路路网抗毁性研究[J]. 铁道运输与经济，2019，41(10)：76-81.

[31] ZHENG Yajing， LI Yuheng， LI Yaohui. A Study on Survivability Analysis of Railway Network Based on the Accessibility[J]. Railway Transport and Economy，2019，41(10)：76-81.

基金资助

国家自然科学基金项目(72363015)

江西省社会科学“十四五”项目(21YJ05)

江西省高校人文社会科学研究项目(GL24104)