基于双层规划的城市轨道交通运营中期票价制定方法研究

Midterm Fare Pricing Method for Urban Rail Transit Operations Based on Bi-Level Programming

摘要

城市轨道交通作为居民主要的出行方式之一，其票价合理性直接影响着人们是否选择这种交通方式。为了探索制定轨道交通运营中期的合理定价策略，建立旨在实现居民出行效用最大化和运营成本最小化的双层规划定价模型。通过分析国内外定价方面研究现状，总结现有研究的不足之处，并对现有票制和票价方案进行综合分析，构建居民出行效用函数，对影响因素进行量化，建立双层规划模型。基于实际工程案例进行求解验证，发现轨道交通运营的经济效益随票价的增长而增大，但增长到一定程度后又会随之下降，得到能够使出行者和轨道交通运营企业都能接受的票价方案，为城市轨道交通的定价提供理论依据。研究结果有助于优化轨道交通的票价策略，提升其服务水平，促进城市可持续发展。

Abstract

As one of the main modes of transportation for residents, the rationality of urban rail transit fare pricing directly affects whether people choose this mode of travel. To explore a reasonable midterm pricing strategy for rail transit, a bi-level programming pricing model was established, aiming to maximize the utility of residents’ travel and minimize operating costs. This study analyzed the current research status on fare pricing in China and abroad, summarized the shortcomings of existing research, and conducted a comprehensive analysis of existing fare systems and pricing schemes. A travel utility function was constructed, and influencing factors were quantified. A bi-level programming model was formulated. Based on practical engineering cases, the model was solved and validated. The results show that the economic benefits of rail transit operations increase with the increase in fare levels but decrease after exceeding a certain threshold. A pricing scheme acceptable to both passengers and operating enterprises was obtained, providing a theoretical basis for fare pricing in urban rail transit. The results help optimize fare strategies, improve service quality, and promote sustainable urban development.

Graphical abstract

关键词

轨道交通 / 票价制定 / 票制选择 / 双层规划 / 效用函数

Key words

Rail Transit / Fare Pricing / Fare System Selection / Bi-Level Programming / Utility Function

0　引言

轨道交通因其快速高效、节能减排等突出优势，被广泛认为是缓解城市交通拥堵的重要措施。城市轨道交通服务的主体是出行者，合理的票价政策对于引导人们选择轨道交通、提高其使用率至关重要。

国内外学者从不同角度研究了轨道交通票价制定。孟梦等^[1]为探究不同交通模式下的出行选择机理，构建组合出行广义费用函数。马文君^[2]从出行者的角度分析影响城际通勤行为的因素，建立高速铁路服务质量评价模型。李鹏凯等^[3]定量分析香港地铁的运营成本构成要素，并详细分析其特征及变化规律。黄国栋^[4]强调城市轨道交通票价的制定是一个涉及多方利益的复杂系统性工程。熊萍等^[5]提出城市轨道交通票价动态调整机制的政策建议。云雁^[6]建立符合带状城市居民出行特征的双层规划模型，实现分时分段混合定价，达到平衡客流的目的。赵鹏等^[7]构建高速铁路差别定价双层规划模型，通过基于灵敏度分析的启发式求解算法进行求解。秦进等^[8]基于前景理论分析旅客乘车选择行为，建立基于价格弹性需求的高速铁路差别定价模型，运用模拟退火算法求解。夏阳等^[9]等通过构建价格-时空三维网络，将问题转化为多商品流问题，验证基于拉格朗日松弛的求解算法的实用性。景云等^[10]建立双层规划模型，旨在求得最优的分时定价策略，运用Frank-Wolfe算法和改进的粒子群优化算法求解。李宁海等^[11]建立基于旅客出行频率的多项Logit模型。孟毅美等^[12]构建双层规划定价模型，通过基于灵敏度分析的启发式算法对产品进行差别定价研究。Thorhauge等^[13]采用潜在变量(ICLV)模型，研究出行习惯对出发时间决策的影响，并探讨居民出发时间受习惯影响的程度。Anupriya等^[14]通过使用来自全球24个地铁系统的独特面板数据集，估计地铁运营的短期成本函数。国内外学者对轨道交通定价的研究广泛而深入，但仍存在不足，主要包括以下方面。

第一，在以轨道交通运营企业收益最大化为导向的规划模型研究中，多数研究仅仅考虑到票务收入这一单一收入途径，忽略了轨道交通运营企业可能通过多种途径获取的其他收益，严重低估了轨道交通运营企业的营收潜力。

第二，在建立居民出行广义费用函数时，考虑的因素相对局限而不够全面，导致出行方式选择的模拟具有一定的局限性，这些因素包括但不限于经济性成本、时间成本、舒适度、便捷性及服务品质等。

第三，轨道交通运营企业对票价的调整机制不灵活，可能导致票价无法及时调整以适应市场需求和运营成本的变化，影响运营效益和服务水平。

基于上述分析，本研究旨在弥补现有研究的不足，通过定量分析居民出行行为与多维影响因素，构建全面、灵活且符合实际运营需求的轨道交通定价优化模型。

1　城市轨道交通票制分析

国内外的很多定价经验值得借鉴，包括定价机制、票价结构、营销策略及补贴政策等。德国铁路根据不同的服务等级(如ICE高速列车和区域列车)制定不同票价，并采用收益管理机制来动态调整价格；乘客可以通过提前购票获得折扣，同时还有针对特定人群(如儿童、老年人)的优惠政策。法国国家铁路公司(SNCF)提供多种类型的车票，包括灵活票、有条件调整票和不可调整票，票价随时间波动；实行按里程计价和收益管理相结合的定价策略，还提供针对学生、军人等群体的优惠。日本铁路票价基于成本并引入递远递减原则，即距离越长单位距离的费用越低；新干线票价由基本票价和加价组成，此外还有对学生、特殊群体的折扣和其他形式的优惠。

我国城市轨道交通定价通常遵循公益优先低票价原则，同时也兼顾轨道交通运营企业的经济效益和社会效益。定价模型包含边际成本定价、拉姆塞定价或双层规划定价等多种方式。票价体系中常设有单一票制、计程票制或分区段计价等不同形式，并为特殊群体(如学生、老年人)提供优惠政策。PPP模式(公私合作伙伴关系)被用于城市轨道交通项目，其中政府通过直接或间接的方式提供财政补贴以维持服务的公益性和可负担性。

国内外都强调产品营销的重要性，如通过联合营销活动、便捷的信息查询服务和旅程规划工具吸引乘客。补贴策略则旨在保障公共交通的公益性，确保其对所有社会阶层都是可及的，同时通过合理的补贴标准和计算方法促进可持续发展。

综上所述，国内外在轨道交通定价时都需要考虑多方面的因素，既要保证服务质量，又要考虑到乘客的承受能力和社会公平性。同时，灵活的定价机制和有效的补贴政策也是维持轨道交通系统健康发展的关键。城市轨道交通票制分析如表1所示。

鉴于我国建设地铁的城市均为人口超过300万的大城市，且具有较大的规划线网，同时出于对公平性、运输效率及经济性等多方面的综合考虑，计程票制更符合我国城市地铁可持续发展的要求，因此，在本研究中采用计程计价的票制方式。

2　基于出行效用的双层规划定价模型

2.1　居民出行效用函数建立

2.1.1　时间成本

城市出行者的出行时间成本通过将时间价值与花费时间相乘进行量化。出行时间分为车外和车内2个部分。

车外时间包括步行时间和候车时间。步行时间可以根据不同出行方式的服务范围半径与步行速度之比来计算。候车时间则以各种交通方式对应的平均发车间隔来计算。则车外时间为

t_{i\mathrm{1}}=\mathrm{2}\frac{r_i}{v_w}+\frac{\mathrm{1}}{f_i}(1)

式中：t_{i\mathrm{1}}为车外时间，h；r_i为交通方式i的车站覆盖半径，km；v_w为人均步行速度，km/h；f_i为出行方式i的发车频率，车次/h。

车内时间，指出行者选择交通工具后，从上车时间起，到下车后所花费的时间，其计算公式为

t_{i\mathrm{2}}=\frac{L_i}{v_i}+\frac{L_i}{L_i^o}{s}_i(2)

式中：t_{i\mathrm{2}}为车内时间，h；v_i为交通方式i的平均行驶速度，km/h；L_i为乘坐交通方式i的乘车距离，km；L_i^o为交通方式i的平均站间距，km；s_i为交通方式i的平均站点停车时间，h。

居民选择某种出行方式的总出行时间可表示为

t_i=t_{i\mathrm{1}}+t_{i\mathrm{2}}=\mathrm{2}\frac{r_i}{v_w}+\frac{\mathrm{1}}{f_i}+\frac{L_i}{v_i}+\frac{L_i}{L_i^o}{s}_i(3)

式中：t_i为总出行时间，h。

Gwilliam^[15]认为城市居民在非工作时间段出行时的时间价值，为工作时段时间价值的3/10。居民出行的单位出行时间价值为

{\lambda }_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.3}\frac{I}{T_L}(4)

式中：{\lambda }_{\mathrm{0}}为单位出行时间价值，元/h；I为人均年收入，元；T_L为人均劳动时长，h。

综上，出行时间成本的计算公式可以整合为

T_i={\lambda }_{\mathrm{0}}\times t_i=\mathrm{0.3}\frac{I}{T_L}\left[\mathrm{2}\frac{r_i}{v_w}+\frac{\mathrm{1}}{f_i}+\frac{L_i}{v_i}+\frac{L_i}{L_i^o}{s}_i\right](5)

式中：T_i为出行时间成本，元。

2.1.2　舒适性成本

采用舒适度损失成本来量化乘客乘坐公共交通所带来的舒适度降低程度。在一定范围内，乘客的舒适度与平均站立系数成反比关系。因此，本研究采用站立系数来量化车内的平均站立空间，其计算方法为车辆总面积与实际乘客人数的比值，表达式为

{\beta }_i=\frac{s_i}{n_i}(6)

式中：{\beta }_i为站立系数，m²/人；s_i为车厢面积，m²；n_i为乘客数量，人。

为了更好地理解城市居民出行中站立系数与拥挤费用之间的关系，采用费用量纲来评估出行，将站立系数转化为车厢内的拥挤成本，并将其分为6个等级，拥挤费率等级分类如表2所示。

拥挤费用表达式为

M_i=\mathrm{1.267}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1.618}{\beta }_i}\cdot D_i(7)

式中：M_i为交通方式i的拥挤费用，元；D_i为乘坐i种交通方式的出行距离，km。

2.1.3　便捷性成本

便捷性在结构方程模型中是一个重要影响因素。特别是在高峰时段，准时性和支付方便性会给出行带来不确定性。研究中以风险评估冗余时间，评估公共交通出行的便捷性，准时率则以平均拥堵时间来代替。即

T_{mi}=({\rho }_i-\mathrm{1})D_i/v_i(8)

式中：T_{mi}为i种交通方式便捷性成本，元；{\rho }_i为风险评估参数，轨道交通{\rho }_{\mathrm{1}} = 1.1，常规公交{\rho }_{\mathrm{2}} = 1.2。

2.1.4　经济性成本

居民在出行过程中通常需要支付费用，如购买车票。票价的合理性以及居民的支付意愿直接影响出行者选用何种交通方式。市内短途常规公交多采用固定票制，城市轨道交通多采用里程计价方式。用P_i表示i种交通方式的经济性成本。

2.1.5　安全性成本

安全性在居民出行选择交通工具时是一个重要考虑因素，安全性的提高通常意味着减少出行中发生事故或意外的可能性，减少因此而产生的额外时间成本。例如，选择更安全的交通方式可能会减少由于事故或拥堵造成的延误时间，因此节省了时间成本。因此，安全性成本的量化方式可以参照便捷性成本的量化方式，B_i为i种交通方式安全性成本。

至此，将出行过程中的舒适性成本、出行时间、经济性成本、便捷性成本、安全性成本因素进行量纲转换，以便于后续研究。不同交通方式的出行效用函数为

V_i=-C_i=-({\theta }_{\mathrm{1}}{T}_i+{\theta }_{\mathrm{2}}{M}_i+{\theta }_{\mathrm{3}}{T}_{mi}+{\theta }_{\mathrm{4}}{P}_i+{\theta }_{\mathrm{5}}{B}_i)(9)

式中：V_i为i种交通方式的出行效用，元；{\theta }_{\mathrm{1}}，{\theta }_{\mathrm{2}}，{\theta }_{\mathrm{3}}，{\theta }_{\mathrm{4}}，{\theta }_{\mathrm{5}}为不同影响因素对应的权重值。

各影响因素的权重通过结构方程路径系数分析可得，地铁与常规公交权重系数取值如表3所示。

2.2　双层规划模型的建立

双层规划中上层目标是利润最大化，以缓解财政压力。轨道交通运营企业利益最大化在具体表现上即为年度利润的最大化，该利润为轨道交通运营企业年收入与运营成本的差值。其收益函数表达式为

L=R-C(10)

式中：L为轨道交通运营企业的利润，元；R为轨道交通运营企业的收入，元；C为轨道交通运营企业的运营成本，元。

在理论构架中，假设出行者在选择不同出行方式时整体客流量是连续变化的。则双层规划模型的上层规划为

L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=(P_{\mathrm{1}}+P_{\mathrm{0}})\times q_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{1}}-C(11)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{P}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le P_{\mathrm{1}}\le P^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ q_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}\\ R_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}\\ C\ge \mathrm{0}\end{array}\right.(12)

式中：P_{\mathrm{1}}为轨道交通均衡票价，元；P_{\mathrm{0}}为政府根据轨道交通实际客流量向轨道交通运营企业提供的票价补贴，元，本研究设P_{\mathrm{0}} = 2元；q_{\mathrm{1}}为轨道交通客流量，人次；R_{\mathrm{1}}各站点和线路的广告投放年收入，元；P^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为最低票价限制，元；P^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最高票价限制，元。

下层规划为

Z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{q_i}\left(a\times {q_i}^b-V_i\right)\mathrm{d}x(13)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{q}_i=Q\\ q_i\ge \mathrm{0}\end{array}\right.(14)

式中：Z为广义出行费用，元；Q为总客流量，人次；q_i为i种交通方式客流量，人次；a，b为参数，分别取1.2和0.1。

3　算例分析

3.1　均衡票价计算

以石家庄新建的地铁5号线为研究对象，以实际调查数据为基础进行实例验证。石家庄市区常规公交线网密集，乘车方便，研究选取地铁5号线谈固北大街站、市庄站作为OD对进行演算，该区域存在一条轨道交通线路与多条常规公交线路与之竞争，经调查该区间日出行需求约5 000人次。车辆行驶距离为8.2 km，居民总出行距离约9 km，基于已知数据计算居民广义出行费用，进而对双层规划模型进行求解。

根据迭代结果可知，地铁的客流量随着票价的升高而逐渐减少，客流逐渐向常规公交转移，该结果符合客运市场的规律。经计算得到轨道交通均衡票价为3.19元，此时轨道交通客流量约为2 318单位，占公共交通出行的48%。取2~6元中的任何一个值都收敛于同一解，这表明尽管双层规划一般具有非凸性，很难得到其全局最优解，但在求解轨道交通票价方面仍具有一定可行性。

地铁票价水平与经济效益的关系如图1所示。从图中可以看出，轨道交通运营的经济效益随票价的增长而增大，但增长到一定程度后又会随之下降，因此，地铁票价维持在合理的水平上才能保障轨道交通运营企业的收益，达到可持续发展的目的。随着价格的增加，起初收益会随之增长，即使价格上涨，乘客仍然愿意乘坐地铁出行，这反映了需求在此阶段相对缺乏弹性。然而，当价格超过某个点之后，进一步提高价格会导致需求显著下降，这时需求变得更加富有弹性。由于销量的减少超过了价格上升带来的正面效应，总收益开始下降。

3.2　票价方案的确定

根据前期构建的理论模型，求解出双层规划模型的均衡解。据此可以进一步确定轨道交通票价的设计方案。

3.2.1　基本票价的确定

借鉴国内外轨道交通行业的实践经验，一般将基本票价设置为均衡票价的30%，即

P_j=\mathrm{0.3}{P}_{\mathrm{1}}(15)

式中：P_j为轨道交通基本票价，元。

3.2.2　运价率的确定

在地铁运营中，运价率是指乘客乘坐地铁时单位距离所需支付的费用。合理的运价率既要能够覆盖地铁运营的成本，又要考虑乘客的承受能力，以及市场竞争和公共利益。其计算公式为

r=\frac{P_{\mathrm{1}}-P_j}{D_{\mathrm{1}}}(16)

式中：r为运价率；D_{\mathrm{1}}为轨道交通乘坐距离，km。

3.2.3　晋级里程的确定

在地铁票价制定过程中，晋级里程的设定可以根据乘车距离的不同划分为不同的区间，每个区间对应着不同的票价。其计算公式为

L\text{'}=\frac{\mathrm{1}}{r}(17)

式中：L'为晋级里程，km。

3.2.4　晋级站数的确定

在地铁票价制定过程中，晋级站数是指乘客在乘坐地铁出行过程中每多花费单位票价所能乘坐的站数，通常根据晋级里程确定，即

m=\frac{L\text{'}}{D_{\mathrm{0}}}(18)

式中：m为晋级车站数，个；D_{\mathrm{0}}为轨道交通平均站间距，km。

石家庄地铁5号线的均衡票价约为3.19元。将P_{\mathrm{1}} = 3.19代入公式(15)—(18)中，得到P_j=\mathrm{0.96}，r=\mathrm{0.23}，L\text{'}=\mathrm{4.44}，m=\mathrm{4}。根据计算结果，晋级车站数应设置为4站，每多乘坐4站票价增加1元，为了兼顾乘客的实际需求和公益性质，结合递远递减原则，将初始价格设置为2元，晋级里程分别设置为4 km，4 km，5 km，5 km。石家庄地铁5号线票价方案如图2所示。

3.3　票价方案分析

将设计的票价方案与现行的票价方案进行对比，两者各有优势与不足之处，设计票价方案与现行票价方案对比分析如表4所示。

现行票价方案中，居民在近距离出行时所花费的票价与本研究设计方案中的票价一致，均为2元，而在长途出行时，设计票价方案略高于现行票价方案。现行票价方案有利于吸引客流，降低居民的出行成本，彰显轨道交通的社会公益性。然而，现行票价方案使得轨道交通运营企业入不敷出，需要政府补贴才能维持运营，使得政府财政压力增大。设计方案票价虽然略高于现行票价，但通过平衡轨道交通运营企业与出行者的利益进行定价，在不损失客流的情况下达到轨道交通运营企业与出行者都相对满意的票价水平，减轻政府财政压力，保障轨道交通的可持续发展。

以谈固北大街—市庄为例，日出行人次为5 000，现行方案票价为2元，计算所得收益为10 000元，设计方案票价为3元，计算所得收益为15 000元，而轨道交通运营企业成本变化可以忽略不计。乘客出行成本增长50%，票价仅增长1元，并不影响乘客出行体验，轨道交通运营企业收益增长50%，有利于轨道交通运营企业为乘客提供更优质的服务。

平衡公共交通中的财政补贴和票价关系是一个复杂的过程，涉及到多个利益相关方，包括政府、轨道交通运营企业、乘客及社会整体。票价应当能够覆盖运营成本的一部分，但同时考虑到公共交通的社会公益性，票价不宜过高。可以采用分段计价或基于时间(高峰/非高峰)的差异化定价策略调节需求，鼓励在非高峰时段出行。

（1）制定有效的财政补贴机制。政府应根据轨道交通运营企业的实际运营情况提供必要的补贴，确保服务质量的同时避免过度补贴导致效率低下。补贴可以针对特定的成本项目，如燃油补贴、车辆更新补贴等，也可以是直接对低收入群体或特殊人群(如学生、老年人)的票务补贴。

（2）引入市场机制。部分城市尝试引入市场竞争机制，如通过招标分配部分线路给私营企业经营，提高服务质量和运营效率。在保证公共服务的前提下，允许一定程度的价格浮动，使轨道交通运营企业可以通过优化运营增加收入。

（3）绩效考核与监管。对轨道交通运营企业进行绩效评估，确保补贴资金被有效利用于提升服务质量和运营效率。实施透明的监督机制，防止轨道交通运营企业虚报成本获取不当补贴。

（4）公众参与和社会沟通。在调整票价或补贴政策前，充分听取公众意见，确保决策过程公开透明。向公众解释票价调整的原因及其预期效果，争取理解和支持。

总之，平衡财政补贴和票价之间的关系需要综合考虑经济效益和社会效益，既要保障公共交通作为一项基本公共服务的可负担性，又要确保其财务健康和可持续发展。

4　结束语

城市轨道交通从投入运营到逐步完善，会经历运营初期、运营中期和运营远期3个阶段。在不同阶段中，市场环境、竞争条件及公众对轨道交通的需求都各有不同。因此，需要根据每个阶段的特点制定运营策略，以确保轨道交通的持续发展。运营中期，主要目标是稳定客流量，通过科学的定价方法，找到票价与收益之间的关系，平衡政府、乘客、轨道交通运营企业的利益关系，制定合理的票价，实现收支平衡^[16]，必要时可实施分时定价策略，进一步调节客流，并逐步减少对政府财政的依赖。

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基金资助

河北省自然科学基金项目(E2024210032)