考虑虚拟灵活编组的城轨列车运行图编制方法

Scheduling Method for Train Working Diagram Considering Flexible Train Composition with Virtual Coupling Technology

摘要

为了提高城轨车辆资源利用效率，降低运营成本，研究考虑虚拟灵活编组的城轨列车运行图编制方法。首先根据运营条件和列车运行特征构建了固定编组模式下的列车运行图编制模型。为了实现虚拟灵活编组条件下的运行图编制，本研究定义了二元变量序列来表征相邻列车编组和解编的状态，在此基础上构建了虚拟灵活编组条件下的到发间隔约束并以列车发车间隔均匀为目标构建模型目标函数。接着，将模型中的部分非线性约束转化为线性形式，利用商业软件CPLEX求解器求解模型。最后，以北京地铁19号线的实际运营数据设计算例并进行仿真，验证了列车运行图编制模型能够实现虚拟灵活编组条件下的列车运行图自动编制，为今后虚拟编组技术的工程应用提供参考。

Abstract

In order to improve the utilization efficiency of urban rail vehicles and reduce operating costs, this paper proposed a scheduling method for train working diagrams considering flexible train composition with virtual coupling technology. Firstly, according to the operating conditions and characteristics of train running, a scheduling model for the train working diagram under a fixed composition mode was developed. In order to realize scheduling under the flexible composition mode with virtual coupling technology, a set of binary variables was defined to represent the coupling and decoupling states of adjacent trains. On this basis, arrival and departure headway constraints under flexible composition were established, and an objective function was constructed with the goal of uniform train departure headway. Then, part of the nonlinear constraints was transformed into linear forms, and the commercial software CPLEX solver was used to solve the model. Finally, a case study based on the real-world operation data of the Beijing Metro Line 19 was designed and simulated, verifying that the proposed train working diagram scheduling model could automatically generate a train working diagram under flexible train composition with virtual coupling technology. This approach provides a reference for the future application of virtual coupling technology in engineering.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 列车运行图 / 虚拟灵活编组 / 运行图编制 / 混合整数线性规划

Key words

Urban Rail Transit / Train Working Diagram / Flexible Train Composition with Virtual Coupling Technology / Working Diagram Scheduling / Mixed-Integer Linear Programming

0　引言

城市轨道交通(以下简称“城轨”)是资源节约、环境友好型城市公共交通方式。相较于城市地面交通，城轨列车运行受地面交通拥堵影响小且自动化程度较高，能够为乘客提供快速、准时、便捷的运输服务^[1]。城轨的高效运营依赖于线路、信号、车辆和车站等多个部门的协同配合。其中列车运行图作为城轨运输行车组织的核心，是实现高效运营的关键。

近年来乘客需求分布呈现显著的时间和空间不均衡特性。然而，目前多数城轨运营公司仍然采用固定编组模式编制列车运行图，具体表现为在全天的运营过程中，列车的编组形式始终保持不变。该模式导致平峰时段车厢满载率较低，甚至出现部分车厢空载现象，造成车辆资源浪费严重。因此，提高车辆资源的利用效率、优化运力分配和降低运营成本具有实际需求。灵活编组模式是指在运营过程中将多组(含2组)列车重联形成大编组列车，并在需要时通过摘解恢复为多组(含2组)独立运行列车的运行方式，能够实时灵活调整列车编组使运力-运量精准匹配。

虚拟灵活编组技术是指不依赖机械联挂装置，基于无线通信的信息交互和自动控制等技术，将多列(含2列)列车编组后一体运行并承担同一个运输任务的技术。虚拟灵活编组条件下，列车之间不需要通过物理的车钩连接且不需要通过低速碰撞实现列车间的车钩联挂，因此编组和解编位置不再受到物理条件限制，可通过更灵活的方式改变列车编组的形式，从而适应不同时段和断面的客流分布情况。例如，在客流非高峰时段，可以通过减少列车编组数量或采用“小编组、高密度”的运营模式。这种模式能够适应城轨全日客流时空分布不均衡的特性，提高乘客的服务质量，减轻平峰运力浪费的问题，降低企业运营成本，同时提升车辆资源的利用率。

在理论研究方面，固定编组模式下的城轨列车运行图优化问题近年来已经得到了国内外大量学者的广泛研究。在模型构建方面，大多数模型是基于混合整数规划的优化模型^[2-3]，这类模型的特点是能够采用分支定界等优化算法精确求解。然而为了解决一些复杂条件约束，也有一部分学者构建了非线性模型^[4]。在优化目标方面，以往研究考虑的优化目标包括乘客等待时间^[5]、列车运行能耗^[6-7]等。以上研究都是基于全交路、站站停的行车组织模式。在固定编组模式下为了应对客流分布的时空不均衡性，也有一些学者考虑了大小交路^[8]和快慢车^[9]的运营模式。在求解算法方面，大多学者采用的是运筹学^[10]或者启发式算法求解^[11]。运筹学方法的优势在于其能够获得模型的精确最优解，但缺陷在于求解效率较低。启发式方法可以在短时间获得一个高质量可行解，但其缺点在于无法评估解的质量^[12]。

为了应对固定编组模式下客流时间分布不均导致的运力浪费现象，一些学者提出了基于可变编组模式的运行计划优化模型。可变编组模式是指城轨运营公司提前配置2种及以上编组形式的列车，运营商能够根据不同时段的客流条件选择不同编组形式的列车运行。赵康祺^[13]提出了一种可变编组条件下列车运行图与车底运用计划一体化编制模型并且设计了基于拉格朗日松弛的求解方法，实现了可变编组运行图的自动编制。方开莎等^[14]构建多目标优化模型，优化可变编组模式下的大小交路开行方案，以线性加权法将多目标优化模型转化为单目标优化模型，并以受控随机搜索算法求解模型，实现了可变编组条件下的城轨交路方案优化。

可变编组的缺陷在于运营公司需要提前采购2种或多种不同编组的列车，增加了采购和维护成本。此外，列车编组难以根据客流动态变化的时间和地点进行实时调整。灵活编组技术则能够通过在线重联/摘解技术灵活地调整列车编组形式。目前灵活编组条件下的列车运行图研究正处于起步阶段。潘洋^[15]研究了城轨不同编组方案的综合评价方法。Zhou等^[16]针对城轨的客流时间分布不均问题进行了研究，提出了一种优化列车运行图和车底周转计划的混合整数线性规划模型。通过对北京地铁八通线的真实数据进行的数值实验，验证了所提方法的有效性和适用性。计算结果显示，与列车固定编组模式相比，所提出的方法能够在早高峰时段将运营成本降低17.1%。Wang等^[17]研究了灵活编组模式对车站运力的影响。

随着无线通信和先进控制等技术的发展，虚拟编组技术在近几年逐渐得到了国内外的广泛关注。Wang等^[18]研究了虚拟灵活编组技术对于城轨共线运行区段运力提升的效果。相关研究分析了虚拟编组概念和原理可行性，提出了虚拟编组技术的几种应用场景^[19]。此外，目前大部分研究主要针对列车安全防护方法^[20]、列车自动运行控制^[21]和面向虚拟编组列车动态编解控制^[22]开展。Wu等^[23]对虚拟编组控制技术的相关研究进行了综述。还有一些学者提出了虚拟编组技术应用后相关系统的调整方案^[24]。例如，在车载系统方面，需要对当前应用的控制算法升级，使其能够适用于虚拟编组列车同步运行控制场景；在信号系统方面，需对列车自动监控系统进行修改，实现不同编组列车的标识和显示，以及虚拟灵活编组运行图绘制等功能；此外，由于不同编组列车的停站方式不同，信号专业需要设置对应的站台门控制方式，实现不同编组列车进站停车时控制相应站台门的开启与关闭。信号机、应答器等信号设备布置需与虚拟编组列车相匹配。最后，乘客信息系统需要对车站乘客信息系统增设相关的联动接口，自动根据到站列车的编组形式进行相应的广播或者信息显示。

然而，目前针对城轨虚拟灵活编组条件下的列车运行图优化研究较为稀缺，很少有研究考虑到在虚拟灵活编组条件下，列车在不同车站站台以及折返轨等位置进行更加灵活的编组/解编作业。

综上所述，为了解决上述问题，研究考虑了虚拟灵活编组条件下的城轨列车运行图编制问题，以适应不同时间段和断面的客流需求，优化车辆资源利用率，减少运力浪费，降低运营成本，推动城市轨道交通的可持续发展，同时为今后虚拟灵活编组模式在城轨的工程应用提供参考。

1　问题描述

考虑一条双方向的城轨线路，包括|I|座车站、\mathrm{2}|I|-\mathrm{2}个区间、车辆段、车辆段进出线以及折返轨区域。城轨线路拓扑结构示意图如图1所示，图中车站的编号由1到|I|表示，其中位于线路两端的车站(车站1和车站|I|)提供折返设施，供列车运行至终点站后改变运行方向。每个城轨车站都提供2个站台分别供上行和下行方向的乘客乘降，其中上行方向的站台由编号1到|I|表示，下行方向的站台由编号|I|+\mathrm{1}到\mathrm{2}|I|表示。该城轨线路包含一个车辆段，设有2条出入线，分别与车站1的2条折返轨和车站2的站台相连接。下行方向的列车可以选择运行至车站1后进入折返轨然后再返回车辆段，也可以在车站2站台清客后直接驶入车辆段。类似的，上行方向的列车可以从车辆段直接到达与车站1相连的折返轨并驶入上行站台，也可以直接到达车站2的上行站台。用进出线1表示与车站1折返轨相连的进出线，用进出线2表示与车站2相连的进出线。

虚拟灵活编组条件下列车在车站站台编组的作业流程，是2列单独运行的列车在站内(或折返轨区域)进行虚拟编组的过程，主要分为4个阶段。解编作业是编组作业的反过程，在此不再赘述。

阶段1：前车准备阶段。独立运行的小编组列车首先到达车站，并在站台规定位置停车，等待后车编组。

阶段2：后车接近阶段。后车在站台已有列车的情况下仍然可以驶入站台停车，2列独立运行的列车逐渐接近并通过无线通信的方式交互信息准备进行虚拟编组。后车可以是从车辆段进出线直接驶出的列车也可以是正常运营的计划车次。

阶段3：虚拟编组阶段。前车和后车逐渐接近并且2列车之间的距离到达临界值即形成了虚拟编组。在虚拟编组模式下，后车无须通过机械车钩与前车联挂，因此也无须进行碰撞试拉、数据装载等作业。2列车完成虚拟编组后，信号系统地面设备将标记该2列车为1列车。

阶段4：发车阶段。ATS将2列车各自的车次号并为1列新车次号，根据相应运行计划排列进路发车，继续投入运营。编组作业完成。

研究的主要难点在于过渡时段运行图的铺画。因为城轨在高峰时段必须提供充足的运力来满足客流需求。因此，高峰时段列车全部按照大编组形式并且保持小间隔运行，平峰时段为了节约运力可按照小编组形式大间隔运行。所以，虚拟灵活编组模式下高峰和平峰时段的运行图编制可以借鉴固定编组模式下的运行图编制方法。在高峰向平峰过渡时段，大编组列车在折返轨或中间站台拆解成小编组列车，然后逐渐按照平峰的间隔运行。该时段需要综合考虑列车是否编组、解编的决策变量，同时兼顾是否回段、出段的决策。在该过程中如果不能合理决策列车出入段或者列车编组的形式，可能会导致列车发间隔的不均匀，影响乘客出行体验，也影响城轨运营公司的服务水平。平峰向高峰过渡是上述过程的逆过程，也具有类似的特点。因此，在过渡时段实现大小编组、发车间隔以及出入段列车等决策的优化，同时保持各个车次的发车间隔均匀是研究的难点。

2　模型构建

结合问题描述，构建数学优化模型。首先，给出基本假设和模型所涉及的符号说明。然后，从目标函数和约束条件2部分构建列车运行图编制模型。

2.1　基本假设

假设1：城轨高峰时段为了提供充足的运力，所有列车都以大编组形式运行，平峰时段所有列车均拆解成小编组形式运行。高峰和平峰时段的发车间隔已知且固定。

假设2：城轨站台的长度是有限的，因此列车编组的长度不能无限长。为了满足站台长度限制，假设线路中只有大编组和小编组2种类型的列车，其中大编组列车是由2个小编组列车组成的。

假设3：假设虚拟灵活编组列车之间的间距与机械联挂条件下一致，不会对乘客乘降造成影响。列车的编组和解编作业可以在任意车站站台或折返轨区域进行，不考虑列车在区间编组和解编的情况。

假设4：目前虚拟编组条件下列车同步进站、开/关门、同步启停过程可能存在一定的误差，因此在一定程度上可能导致列车区间运行时分要素发生改变，因此认为虚拟灵活编组运营条件下列车的区间运行时分相较于固定编组需要延长。

2.2　符号说明

为方便对所研究的问题进行建模，符号定义如表1所示，包括集合、索引、参数以及决策变量的定义及单位。

2.3　目标函数

城轨运营公司在编制列车运行图时尽可能使列车发车间隔均匀。一方面，以往的研究已经证明当乘客到达服从均匀分布、泊松分布等分布形式时，按照均匀发车间隔铺画运行线可以使得乘客等待时间达到最小值。另一方面，均匀的发车间隔也方便乘客记忆，能够提供更好的乘客出行体验^[25]。因此，以发车间隔均匀为目标构建目标函数。

在城轨运行图编制的研究中，将目标函数表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sigma =\frac{\sum _{k\in K}\sum _{i\in I}(d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}{-\mu )}^{\mathrm{2}}}{(|K|-\mathrm{1})·(\mathrm{2}|I|)}(1)

\mu由公式(2)计算。

\mu =\frac{\sum _{k\in K}\sum _{i\in I}(d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i})}{(|K|-\mathrm{1})·(\mathrm{2}|I|)}(2)

此时的目标函数是一个二次表达式，可能会造成模型求解效率的下降。因此，在不改变目标函数效果和作用的前提下，可以将公式(2)改写为公式(3)的形式^[11]。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sigma =\frac{\sum _{k\in K}\sum _{i\in I}|d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}-\mu |}{(|K|-\mathrm{1})·(\mathrm{2}|I|)}(3)

公式(3)仍然可以使得各车次的发车间隔向平均发车间隔“靠拢”，进而实现均匀铺画运行线的目的。注意到此时的目标函数是一个非线性的绝对值表达式，可以通过添加辅助约束的方式改写如下。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sigma =\frac{\sum _{k\in K}\sum _{i\in I}{\xi }_{k，i}}{(|K|-\mathrm{1})·(\mathrm{2}|I|)}(4)

{\xi }_{k，i}\ge d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}-\mu \forall k\in K，i\in I(5)

{\xi }_{k，i}\ge \mu +d_{k-\mathrm{1}，i}-d_{k，i}\forall k\in K，i\in I(6)

式中：{\xi }_{k,i}为辅助变量，用以替代绝对值符号。当d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}\ge \mu时，约束(6)的右侧是一个负值，对{\xi }_{k，i}的取值没有影响；当d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}\le \mu，约束(5)不起作用。因此，上述转化过程是可行的。

2.4　约束条件

2.4.1　列车时刻表约束

一般来说，城轨运营公司确定列车停站时间的原则是在满足客运组织作业需要的情况下，最大限度地缩短列车停站时间，以提高线路通过能力和旅行速度。城轨列车的停站时分必须满足最大和最小值的限制约束，构建列车停站时分约束如公式(7)所示。

d_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le d_{k，i}-a_{k，i}\le d_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall k\in K，i\in I(7)

区间运行时分就是指列车在2个相邻车站之间的运行时间，构建列车区间运行时分约束如公式(8)所示。

r_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le a_{k，i}-d_{k，i-\mathrm{1}}\le r_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall k\in K，i\in I(8)

为保障行车安全，相邻的2列车间须保障一定的时间间隔。同时，相邻2列车的运行间隔不能过大，否则会导致乘客等待时间的延长。定义列车在站台的到达和发车间隔约束如下。

h_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le a_{k，i}-a_{k-\mathrm{1}，i}\le h_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall k\in K，i\in I(9)

h_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}\le h_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\forall k\in K，i\in I(10)

根据模型假设，高峰和平峰时段列车的发车间隔已知且固定不变。高峰和平峰时段发车间隔约束如下。

d_{k,i}-d_{k-\mathrm{1}，i}=H^{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}\forall k\in K_{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}，i\in I(11)

a_{k，i}-a_{k-\mathrm{1}，i}=H^{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}\forall k\in K_{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}},i\in I(12)

d_{k，i}-d_{k-\mathrm{1}，i}=H^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\forall k\in K_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}，i\in I(13)

a_{k，i}-a_{k-\mathrm{1}，i}=H^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}\forall k\in K_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}，i\in I(14)

2.4.2　车底周转关系约束

接着，构建车底周转关系的相关约束。列车运行至终点站后需要在折返轨区域进行换端折返。列车折返作业的过程包括清客、入段、换端、出段，因此需要满足作业时间最小值的约束条件如下所示。

\begin{array}{l}{a}_{l，\eta (i)}-d_{k，i}\ge u_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-M·(\mathrm{1}-x_{k，l，i})\forall k，\\ l\in K，i\in I\end{array}(15)

式中：u_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}表示列车在站台i进行折返作业的最小时间，s；M为人工变量，表示只有当车次k折返后开行车次l时约束才生效，即x_{k，l，i}=\mathrm{1}，否则该约束无效。

除了最小折返时间约束，列车在折返时还需要满足最大折返作业时间约束，因为列车长时间占用折返轨可能会导致后续列车在终点站拥堵。因此，定义列车最大折返作业时间约束如下。

\begin{array}{l}{a}_{l，\eta (i)}-d_{k，i}\le u_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+M·(\mathrm{1}-x_{k，l，i})\forall k，\\ l\in K，i\in I\end{array}(16)

式中：u_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}表示列车在站台i进行折返作业的最大允许时间，s。

对虚拟编组条件下的高峰、平峰过渡时段的出入段车底数量进行约束如下。

\sum _{k\in K}(c_k^{\mathrm{1}}+c_k^{\mathrm{2}})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{N^{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}-N^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}},M·p\}(17)

\sum _{k\in K}(b_k^{\mathrm{1}}+b_k^{\mathrm{2}})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{N^{\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}}-N^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}},M·(\mathrm{1}-p)\}(18)

式中：c_k^{\mathrm{1}}=\mathrm{1}表示车次k从车辆段出入线1返回车辆段，c_k^{\mathrm{1}}=\mathrm{0}表示车次k不使用车辆段出入线1回段。b_k^{\mathrm{1}}=\mathrm{1}表示车次k从车辆段出入线1驶出。b_k^{\mathrm{1}}=\mathrm{0}表示车次k不使用车辆段出入线1驶出。类似地，c_k^{\mathrm{2}}和b_k^{\mathrm{2}}表示与车辆段出入线2相关的变量。p为当前运行图编制时段的参数，p=\mathrm{0}表示平峰向高峰过渡，p=\mathrm{1}表示高峰向平峰过渡。

由于列车只能选择从任意一条出入线进入或驶出车辆段，因此定义约束如下。

c_k^{\mathrm{2}}+c_k^{\mathrm{1}}\le \mathrm{1}\forall k\in K(19)

b_k^{\mathrm{2}}+b_k^{\mathrm{1}}\le \mathrm{1}\forall k\in K(20)

车次k在站台i是否停站提供乘客乘降服务与列车的车底周转关系密切相关，具体定义如下。

z_{k，i}\ge b_k^{\mathrm{1}}+b_k^{\mathrm{2}}+\sum _{l\in K}{x}_{l，k，\eta (i)}\forall k\in K，i\in I(21)

公式(20)表示如果车次k在站台i停站并提供乘客服务，那么必须有反方向的车底折返后开行该车次，或者该车次由出段列车执行。研究考虑的线路拓扑结构中车辆段出入线与2个车站相连，因此上式中出现了b_k^{\mathrm{1}}+b_k^{\mathrm{2}}的形式。同时，上述条件不可能同时满足，因此需要以下约束进行限制。

b_k^{\mathrm{1}}+b_k^{\mathrm{2}}+\sum _{l\in K}{x}_{l，k，\eta (i)}\le \mathrm{1}\forall k\in K，i\in I(22)

如果车次k在站台i不停站，那么说明该车次已经返回车辆段或者折返后执行其他车次，构建约束如下。

(23)

车次k在站台i折返执行其他车次或者返回车辆段的作业必须保证该车次在站台停站，可以由如下约束保证。

(24)

2.4.3　虚拟灵活编组列车运行约束

为了满足虚拟灵活编组条件下的列车运行约束，在原有模型的基础上进行改进。虚拟灵活编组下，列车可以在中间车站灵活编组/解编。为此，定义2个不同的二维二元变量序列，分别记作a{c}_{k，i}和d{c}_{k，i}。具体地，变量a{c}_{k，i}=\mathrm{1}表示车次k和车次k+\mathrm{1}在到达站台i时处于虚拟编组的状态，否则这2个车次在到达站台i时为独立运行的小编组车次。类似地，d{c}_{k，i}=\mathrm{1}表示车次k和车次k+\mathrm{1}离开站台i时处于虚拟编组的状态，否则这2个车次为独立运行的小编组车次。虚拟灵活编组条件下列车编组/解编状态变量定义如图2所示。图中的车次k-\mathrm{1}和车次k从车站1出发时处于虚拟编组的状态，因此可以得到a{c}_{k-\mathrm{1}，\mathrm{1}}=\mathrm{1}，d{c}_{k-\mathrm{1}，\mathrm{1}}=\mathrm{1}。这2个车次在到达车站3时仍然处于虚拟编组的状态，然而它们从车站3发车时进行了解编作业，因此可以得到a{c}_{k-\mathrm{1}，\mathrm{1}}=\mathrm{1}，d{c}_{k-\mathrm{1}，\mathrm{1}}=\mathrm{0}。该定义模式的优点是将上述二元变量进行不同的组合可以得到相邻列车在各个车站站台的编组/解编状态，从而推断出编组/解编作业的类型。例如，当a{c}_{k，i}=\mathrm{1}，d{c}_{k，i}=\mathrm{0}时，可以推断出车次k和k+\mathrm{1}在站台i进行了解编作业。若a{c}_{k，i}=\mathrm{0}，d{c}_{k，i}=\mathrm{1}，则说明车次k和k+\mathrm{1}在站台i进行了编组作业。利用上述定义进一步给出虚拟灵活编组条件下列车运行约束的数学表达形式。

根据上述二元变量序列的含义和虚拟灵活编组的列车运行特征，定义列车编组运行长度约束如下。

d{c}_{k，i}+d{c}_{k+\mathrm{1}，i}\le \mathrm{1}\forall k\in K，i\in I(25)

a{c}_{k，i}+a{c}_{k+\mathrm{1}，i}\le \mathrm{1}\forall k\in K，i\in I(26)

上面的约束保证了最多只能有连续2个小编组列车形成虚拟编组。接着，重新构建列车发车间隔约束如下式所示。

a{c}_{k，i}·(a_{k+\mathrm{1}，i}-a_{k，i})=\mathrm{0}\forall k\in K，i\in I(27)

d{c}_{k，i}·(d_{k+\mathrm{1}，i}-d_{k，i})=\mathrm{0}\forall k\in K，i\in I(28)

上式保证当a{c}_{k,i}=\mathrm{1}时，则车次k和k+\mathrm{1}同时到达站台i。同时，当d{c}_{k,i}=\mathrm{1}时，则车次k和k+\mathrm{1}同时从站台i发车。上述非线性约束可以通过添加如下辅助约束进行线性化。

a_{k+\mathrm{1}，i}-a_{k，i}\ge h^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}·(\mathrm{1}-a{c}_{k，i})\forall k\in K，i\in I(29)

d_{k+\mathrm{1}，i}-d_{k，i}\ge h^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}·(\mathrm{1}-d{c}_{k，i})\forall k\in K，i\in I(30)

a_{k+\mathrm{1}，i}-a_{k，i}\le M·(\mathrm{1}-d{c}_{k，i})\forall k\in K，i\in I(31)

d_{k+\mathrm{1}，i}-d_{k，i}\ge M·(\mathrm{1}-d{c}_{k，i})\forall k\in K，i\in I(32)

3　算例分析

3.1　模型效果验证

为了验证虚拟灵活编组模式下列车运行图编制模型的有效性，以北京地铁19号线的实际数据为例进行了算例设计与实验仿真。由于虚拟灵活编组技术大幅提高了列车编组/解编的作业效率，在仿真实验中，设置虚拟灵活编组条件下列车编组和解编作业的时间均小于10 s。实验求解使用的是IBM ILOG CPLEX optimization studio 12.10版本，用于仿真的服务器CPU型号为Intel Xeon Gold 5218，服务器内存为192 GB。

通常情况下城轨高峰时段的发车间隔不低于120 s，平峰发车间隔不低于240 s。因此，以高峰120 s和平峰240 s发车间隔的运行图编制效果为例对模型的有效性进行说明。根据模型假设，高峰时段列车均以虚拟编组的形式即大编组形式运行，而在平峰时段列车解编成小编组列车运行。虚拟灵活编组模式下早高峰运行图如图3所示。从宏观上来看，在早高峰退峰之前，线上的车底数为64个小编组列车。所有车次均按照高峰发车间隔120 s运行，其中红色运行线表示上行方向车次，绿色运行线表示下行方向车次，浅绿色运行线将上下行方向的车次连接在一起表示的是车底周转关系。从图中可以看出高峰时段所有的车次均为大编组形式，从而为线路提供足够的运力，保证乘客服务质量。

虚拟灵活编组模式下早高峰向平峰过渡时段的运行图如图4所示。虚拟灵活编组模式下，部分列车在新发地车站在线解编，接着一列小编组列车(在图中用细线表示)继续向终点站运行，另一列小编组列车则通过新发地的出入线返回车辆段。也有一部分大编组列车选择在折返轨区域拆解成2列小编组列车，其中一列列车返回车辆段，另一列继续折返运行。日间平峰时段列车运行图如图5所示，可以看出，在平峰时段所有车次均按照发车间隔240 s运行；同时所有列车都是以小编组形式运行的，可以在满足客流需求的条件下节约运营成本。

当日间平峰向晚间高峰过渡时，即开始由车辆段出车，实现从平峰到高峰的过渡衔接。虚拟灵活编组模式下日间平峰向晚平峰过渡时段的运行图如图6所示。从图中可以看出，部分小编组列车在折返轨区域与刚刚出段的小编组列车通过虚拟编组的方式形成大编组列车，还有一部分小编组列车在新发地站台与经出入线2出段的小编组列车进行虚拟编组。整个过渡时段列车运行图保持均匀并且发车间隔不断缩小，最终实现了由平峰向高峰时段的过渡。

综上所述，虚拟灵活编组模式下的列车运行图编制模型能够满足列车在车站动态编组/解编的作业需求，实现高峰、平峰以及过渡时段的运行图铺画，最终实现全天的运行图自动编制。

为了进一步验证所提方法有效性，设置一系列实验。设置最大求解时间600 s，并且固定平峰发车间隔240 s。在此基础上设置了不同高峰发车间隔进行了一系列仿真实验，不同发车间隔下的高峰向平峰过渡时段运行图编制结果如表2所示。从表2中可以看出，随着高峰发车间隔的增加，运用车底数量逐渐减少。此外，可以看出随着高峰和平峰发车间隔的逐渐接近，目标函数的数值也随之变小。这主要是因为高峰、平峰发车间隔差值的减小使得过渡时段的发车间隔更为均匀。例如，高峰发车间隔120 s时目标函数值为109，而当高峰发车间隔增加至180 s时，目标函数降低至63.70。此外，还可以看出，高峰发车间隔的增加使得模型求解时间随之减少，这是因为高峰时段涉及车底数量的减少降低了模型决策变量和约束的数量，进而提高了求解效率。

3.2　结果讨论

3.2.1　虚拟灵活编组和固定编组模式的区别

按照上文所述，在高峰时段列车均采取虚拟编组的方式形成大编组列车运行。然而，目前虚拟编组列车的同步运行存在一定误差，虚拟灵活编组模式下列车的全周转时间不可避免地延长，设置虚拟编组条件下的误差导致每个站间的运行时分相比于固定编组模式的数据都延长7 s。

上述误差在一定条件下可能会导致运用车底数的增加从而增加了运营成本。虚拟灵活编组和固定编组2种运营模式下高峰时段运营指标对比如表3所示。表中列出了发车间隔为160 s时高峰时段2种运营模式下的折返时间、全周转时间以及运用车底数对比。从表中可以看出虚拟编组模式下列车全周转时间明显延长，导致运用车底数增加。因此，城轨运营公司在采取虚拟灵活编组运营模式时应当充分考虑该问题，避免出现不必要的运营成本浪费。另一方面，应尽可能提高控制、通信等技术在虚拟编组领域运用的技术成熟度，从而缩短列车同步进站/发车等作业带来的延误时间。

日间平峰时段虚拟灵活编组模式和固定编组模式对比如图7所示，显示了相同发车间隔下，平峰时段北京地铁19号线的部分断面客流量以及分别采用虚拟灵活编组和固定编组2种模式下各个断面的运力。从图中可以看出，在平峰时段，固定编组模式提供的运力是虚拟灵活编组的2倍，这是由于平峰时段虚拟灵活编组模式能够将大编组列车拆解为独立的小编组列车运行，从而减少了断面运力。在这种情况下，由于平峰时段客流需求较低，当采取固定编组模式时，各断面车厢满载率较低，约为40%，导致运力资源的浪费。当采用虚拟灵活编组模式时，车厢满载率提升至80%以上，同时也能够满足各断面的客流需求，有效减少了运力浪费。因此，虚拟灵活编组模式在一定条件下相比于固定编组模式更具有优势，能够提高车辆资源利用率，减少运力浪费。

3.2.2　虚拟灵活编组和机械灵活编组模式的区别

虚拟灵活编组模式下列车编解作业的效率大幅提升，列车之间不需要通过物理的车钩连接且不需要通过低速碰撞实现列车间的车钩联挂，减少了对乘客舒适性的影响。虚拟灵活编组模式下列车可以选择在线路中不同位置编组或解编，而机械灵活编组模式只能在折返轨或其他固定区域进行编解作业，虚拟编组技术提高了编组和解编作业的灵活性。

随着城轨线路运营里程的增加，许多线路都配备了多个停车基地以及相应的出入线，其中一条通常位于线路尽头，另一条则位于线路中间，列车可以根据客流变化的情况选择在线路中间与出入线相连的车站提前编组或者解编，从而更加快速高效地完成高峰和平峰的过渡，能够在一定程度上减少运力的浪费。例如在高峰向平峰过渡时段，列车先按照大编组形式发车以满足高峰时段的客流需求。当列车运行到线路中间的车辆段附近且客流需求较小时，则可以选择在中间车站拆解成2个小编组列车，前面的小编组列车继续运行，后车则清客后回段。在平峰向高峰过渡时，可以先铺画小编组列车运行线。当列车运行至中间车辆段附近的车站时，再与车辆段发出的小编组列车虚拟编组形成大编组列车。此外，虚拟灵活编组模式下，列车在不同位置进行编组和解编作业，例如实验中，列车可以在新发地站台进行编组或解编，然后利用出入线2驶入或驶出车辆段，这也能够在一定程度上缓解出入线1的作业压力。最后，由于虚拟灵活编组不涉及牵引/制动等系统的贯通连接，减少了编组列车必须类型相同的要求，可实现网络化条件下跨类型列车的编组运行，相较于机械灵活编组模式更具有灵活性。

4　结束语

结合虚拟灵活编组运营模式，研究虚拟灵活编组条件下的列车运行图编制问题。以发车间隔均匀为目标构建目标函数构建固定编组模式下列车运行约束。然后，针对虚拟灵活编组的特征，定义了表征列车在各车站编组/解编状态的二元决策变量序列，构建了虚拟灵活编组条件下的列车运行约束。最后，基于北京地铁19号线线路数据进行仿真验证，利用CPLEX求解器对模型进行求解。仿真结果表明，研究提出的方法能够实现虚拟灵活编组条件下的列车运行图自动编制。

有待未来进一步研究完善的方向：① 研究假设高峰时段列车都按照大编组形式运行，平峰时段列车均按照小编组运行。实际运营过程中客流需求复杂，高峰和平峰时段列车仍然可能以不同编组形式混合运行，因此需要进一步考虑高峰、平峰过渡时段线路中存在不同编组形式列车的情况；② 考虑不同的乘客服务指标，包括乘客等待时间、乘客旅行时间等，进一步改进优化目标函数，分析客流变化条件下对目标函数的影响，为城轨运营公司提升乘客服务水平提供参考；③ 结合Y字型城轨线路、大小交路等运营模式进行虚拟灵活编组模式研究；④ 结合故障及应急条件下的列车运行调整进行虚拟灵活编组模式研究，探索包括突发大客流、列车救援等突发事件场景在内的列车运行调整方法。

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基金资助

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中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(L2024X002)

先进轨道交通自主运行全国重点实验室自主研究课题(RAO2023ZZ001)

国家能源投资集团有限责任公司科研项目(M23L01540)

国家能源投资集团有限责任公司科研项目(24KY-F-114)