城市轨道交通客流分配方法研究综述

Review of Passenger Flow Assignment Methods in Urban Rail Transit

摘要

研究城市轨道交通客流分配方法，有助于准确把握乘客出行行为和客流分布特征，为企业运输组织方案的制定提供客流依据。研究分析了城市轨道交通客流分配的研究现状，梳理了既有研究的基本思路和发展历程，总结了客流分配的理论模型和求解算法。结果表明：城市轨道交通客流分配问题的研究已形成较为清晰的理论框架和完备的方法体系，其研究内容从早期基于图论的简单交通网络路径分配问题，转变为考虑乘客出行异质性的客流分配、乘客-列车动态匹配、客流分配与列车运行调度协同优化、共线运营模式下的客流分配以及融合人工智能的客流分配等复杂场景建模，并实际应用于票务清分问题。研究可为城市轨道交通客流分配的理论创新及实际应用提供思路借鉴。

Abstract

Research on passenger flow assignment methods in urban rail transit contributes to a more accurate understanding of passenger travel behavior and flow distribution characteristics, providing essential data support for the development of operational plans by transit enterprises. This study analyzed the current state of the research on passenger flow assignment in urban rail transit, reviewed the fundamental approaches and development history of existing studies, and summarized the theoretical models and solution algorithms involved. The results indicate that the research on passenger flow assignment in urban rail transit has established a relatively clear theoretical framework and a comprehensive methodological system. The focus has evolved from early simple network path assignment problems based on graph theory to more complex scenarios, including flow assignment considering passenger travel heterogeneity, passenger-train dynamic matching, integrated optimization of flow assignment and train scheduling, flow assignment under multi-line operation, and flow assignment incorporating artificial intelligence. The research has been practically applied to the ticket clearing problem. This study offers valuable insights for both theoretical innovation and practical application in the field of passenger flow assignment in urban rail transit.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 网络化运营 / 客流分配 / 乘客出行行为 / 路径搜索算法

Key words

Urban Rail Transit / Networked Operation / Passenger Flow Assignment / Passenger Travel Behavior / Route Search Algorithm

0　引言

随着城市化进程的不断加快，城市轨道交通已成为解决城市交通拥堵、改善城市运行效率的重要手段。截至2024年底，我国城市轨道交通运营线路总里程达12 160.77 km，运营线路361条，覆盖58个城市，有29个城市的线网规模超过100 km^[1]。其中，北京、上海、广州、成都的城市轨道交通线网规模均超过700 km，已形成大规模轨道交通网络。线网规模的持续增长，使得客流量不断攀升。2024年全年客运量达322.57亿人次，日均客流超过8 800万人次，我国城市轨道交通已进入网络化运营时代。网络化运营下，线路之间互联互通更加频繁，乘客出行行为更加复杂，且客流时空分布受列车时刻表、线路换乘关系、站点周边的用地性质、客流的动态演变规律等多因素影响。因此，研究轨道交通客流分配方法，不仅有助于准确把握乘客出行行为和客流分布特征，还能为列车开行方案编制、交路计划以及互联互通列车运输组织方案编制提供数据支持，对城市轨道交通规划、运营管理具有重要意义。

综上，首先从实际运营场景出发，分析了城市轨道交通客流分配研究现状，作为理论建模的基础。在此基础上，归纳总结出轨道交通客流分配模型构建框架，明确决策变量、约束条件与费用函数等模型要素，并提出相应求解算法，建立系统的算法实现流程。最后提出未来客流分配研究的发展方向，以期为城市轨道交通客流分配相关领域研究提供参考。技术路线图如图1所示。

1　城市轨道交通客流分配研究现状分析

1.1　乘客出行选择行为研究

传统路径选择模型通常基于完全理性假设，即乘客总是选择出行效用值最大的路径，但该假设往往难以符合实际的交通出行。在实际出行中，乘客决策过程不仅依赖于对时间和成本的理性计算，还受到心理偏好、信息不对称以及外部环境变化等因素的影响。如乘客会习惯性选择并非时间最短或成本最低的固定路线，以及因交通拥堵、突发事件及对新路径的不了解而导致的非完全理性选择行为。因此，在乘客出行选择行为建模中，应充分纳入有限理性特征，构建更符合实际的路径选择模型。

为应对乘客出行中的非完全理性选择行为，Kahneman等^[2]首次提出了前景理论。该理论揭示了个体在面对收益和损失时的非对称心理，但其早期理论存在一定局限，例如前景理论主要针对单次独立决策，缺乏对动态、多阶段决策的解释，并且在不同场景下的损失厌恶系数、概率加权系数等参数的差异较大。为解决上述问题，Tversky等^[3]于1992年通过一系列经济实验确定了参数取值，对前景理论进一步完善和扩展，发展为累积前景理论，使其适用于更复杂的决策问题。累积前景理论将决策中的非理性偏差拓展至连续概率分布场景，更能准确刻画个体在风险面前的行为偏好。

在交通行为研究中，学者发现出行者的路径选择决策机制与前景理论存在显著关联，当面临路径风险与不确定性时，出行者的行为特征遵循类似前景理论所描述的规律。因此，研究者将前景理论整合至路径选择模型中，有效提升了路径选择模型的真实性与预测可靠性。田丽君等^[4]以通勤乘客为研究对象，分别在期望效用理论和累积前景理论框架下对通勤乘客的出行行为进行对比分析，结果表明累积前景理论框架下的乘客出行方式选择更符合实际；韩宝明等^[5]研究了城市轨道交通发生运营中断时乘客的出行方案选择行为，通过累积前景理论构造路径选择模型，得到了乘客出行选择行为随中断时长改变的动态变化，以及乘客面对中断事件时对于自身“利益”和“损失”的感知程度与原路径出行时间的关系。

在有限理性条件下，乘客更倾向于在可接受的范围内做出“满意”而非“最优”决策，这与非期望效用理论的核心观点一致。非期望效用理论认为，在面对不确定性时，乘客的决策主要基于主观判断而非严格按照效用最大化原则。在既有研究中，考虑乘客有限理性的出行决策特征时，往往采用后悔理论来模拟乘客在出行时个性化心理特征对乘客决策的影响。面对不同路径时，乘客不仅会关注最短或最快路径，还会基于过去出行经历或对拥堵情况的预期，动态排除可能带来负面体验的备选方案。这种决策机制本质上反映了出行者在风险感知与心理预期之间的动态平衡过程。Chorus等^[6-7]首次将后悔理论应用到公共交通领域，假设乘客对路径进行选择时存在后悔规避心理，提出随机后悔最小模型(Random Regret-Minimization Model，RRM)，在路径选择问题中，通过差量化的方式将多种出行方案表示为预期后悔值，能够更好地反映乘客在决策时的半补偿效应。RRM的泛用公式如下

R_i=\sum _{j\ne i}max\left[\mathrm{0}\right.,\beta (V_j-V_i)](1)

式中：R_i为路径i的总后悔值；\beta为待标定参数；V_i和V_j为路径i和j的可观测效用。

P(i)=\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-R_i)}{\sum _{j\in C}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-R_j)}(2)

式中：P(i)为乘客选择路径i的概率；C为所有路径的集合。

与传统的随机最大效用模型(Random Utility Model，RUM)相比，RRM模型对表现较差的属性惩罚力度更大，并且会重新考虑在所有属性上都表现较好的所谓折衷替代方案^[8]，而不是在某些属性上表现较好而在其他属性上表现较差的极端替代方案。Chorus^[9]详细比较了RUM模型和RRM模型在路径属性值描述和属性参数权重变化方面的差异，运用大量的实际数据进行求证，结果清晰表明，乘客在路径选择过程中会综合权衡多种因素，选择各方面都比较平衡的出行方案。同时，Prato^[10]和Ji等^[11]的研究也表明，相较于RUM模型，RRM模型的显著优势在于能够有效克服无关选择项独立性特性，这使得RRM模型在描述乘客实际出行中的决策过程时更加精准和适用。Van Cranenburgh等^[12]纳入了一个可估算的后悔厌恶参数(µ)，建立µ-RRM模型，能够捕捉到更极端的后悔厌恶程度。参数µ可能与特定属性有关，也可能在不同潜在类别的决策者之间存在差异。Boeri等^[13]将RUM模型和RRM模型结合，考虑不同乘客选择行为的异质性，根据观察到的乘客选择序列，以一定概率将乘客选择归入随机效用(Random Utility，RU)最大化者类别或随机遗憾(Random Regret，RR)最小化者类别。

1.2　乘客-列车分配问题研究

城市轨道交通路网规模的持续扩张带来运载压力的显著增大，高峰时段客流激增导致的站台滞留问题日益凸显。传统的研究大多集中在客流与路径之间的配流问题，即通过优化乘客在各条路径之间的分配来缓解交通压力。然而，传统的路径选择模型普遍忽视乘客与列车之间的交互关系，这种单一的路径配流方法无法有效应对现实中复杂的交通需求。因此，客流的分配问题不仅涉及路径选择，还应涉及乘客与列车之间的有效匹配。随着自动售检票系统(Automatic Fare Collection，AFC)和自动车辆定位系统(Automatic Vehicle Location，AVL)的广泛应用，以数据驱动方法来实现“乘客-列车”的分配问题成为研究的热点。

在城市轨道交通领域中，Paul^[14]首次结合AFC与AVL数据，以只有一条可行线路乘客为切入点，假设乘客步行速度恒定，推导出每个站点的出站时间分布，并运用于伦敦地铁的管理中；Zhu^[15]对乘客步行距离做出假设，估计乘客走行速度分布参数，以乘客到达时间和列车发车时间建立乘客-列车分配模型(Passenger-Train Assignment Model，PTAM)，将“乘客-列车”分配方法应用于高峰时段以外的无换乘单次出行；Hörcher等^[16]考虑了乘客出行的拥挤成本，先根据乘客出行有无换乘进行筛选，对无换乘并且只有唯一可乘列车的乘客进行时间分布测算，以此为基础逐级对无换乘且有多个可乘列车的乘客、有换乘且有多个可乘列车的乘客进行推算。在此基础上，Zhu等^[17-18]运用贝叶斯理论估计乘客的步行速度分布和出站时间分布，考虑了拥堵条件下的乘客滞留概率，适用于高峰时段的地铁系统。但其研究局限于单条线路的客流分配问题，没有考虑换乘的情况。李婉君^[19]基于乘客进出站刷卡数据和行车调度计划，针对非换乘乘客和换乘乘客分别提出列车分配算法，算法思路同Hörcher等^[16]类似，但额外考虑了乘客的属性划分，并以大数据为驱动，对非换乘乘客的站点走行时间分布以及换乘乘客的换乘走行时间分布进行估计和整合，提高了分配结果的准确性。但其研究未考虑列车容量限制，不符合现实中因列车满载导致乘客滞留的情况，同时对换乘乘客列车分配算法只考虑了乘客出行的最短路径，未考虑乘客出行路径的多样化。茧敏等^[20]在此基础上，使用基于插点法的搜索算法推出全网OD可行路径，结合乘客进出站刷卡数据和列车时刻表数据，建立乘客-路径-列车分配模型，考虑了列车的容量限制，完成列车运行推演，确定乘客唯一的有效路径以及乘坐列车，并设计开发基于C#语言的城市轨道交通网络客流推算系统。闫旭等^[21]提出了一种融合深度学习的“乘客-列车”分配方法，通过构建双通道全连接神经网络模型，对乘客全出行过程时间进行估计，构建列车推断模型，利用高斯核函数(Gaussian Kernel Function，GKF)进行时间上的度量并转化为乘客搭乘列车概率，最后制定相应的偏差纠正策略，克服了数据异质性偏差，提高列车分配精度。

1.3　客流分配与列车运行调度协同优化研究

城市轨道交通网络化进程加速推进，运营模式由单线独立管理逐步转向多线协同运营管理新局面。在此局面下，各线路间相互关联和影响，客流组织更加复杂，乘客出行特征更加多样化，这对轨道交通系统的运输组织协调性提出了更高要求。近年来，客流分配模型在时刻表及开行方案优化问题中应用更加广泛。

换乘行为是乘客出行过程的重要环节之一，由于换乘站的最大换乘能力在车站建成时就已确定，因此需通过行车组织优化与多线协同调度来提升系统整体换乘效率。在乘客换乘接续方面，Shafahi等^[22]以换乘站乘客等待时间最小化为目标函数，考虑换乘等待时间以及列车停站时间，建立混合整数规划模型，对换乘站列车离站时刻进行协调，针对不同规模的网络采取MIP求解器或者启发式算法进行求解；白广争等^[23]在此基础上进一步拓展，通过分析换乘方向拓扑特征，建立列车离站时刻协调模型，结合丢弃法设计简单遗传算法进行求解；Cao等^[24]以错过换乘接续列车的乘客为研究对象，以线路第一列车的出发时刻为决策变量，考虑乘客灵活换乘步行时间，对列车时刻表进行协同优化；Wang等^[25]考虑了线路列车的满载率约束条件，以降低乘客等待时间和减少换乘失败乘客数量为目标进行乘客换乘接续优化；Yin等^[26]以解决高峰时段换乘站拥挤问题为研究目标，考虑客流需求随时间变化的条件下，通过引入多组客流变量，将列车时刻表协调问题表述为一个混合整数线性规划问题，并开发自适应大邻域搜索算法进行求解。

1.4　共线运营客流分配研究

在轨道交通网络化发展背景下，共线运营模式通过轨道资源共享显著提升了网络效能，其客流分配问题研究涉及2种典型场景：单线多交路协同运营与多线互联跨线运营。单线多交路运营通过设置不同交路嵌套的交路方案，在单一物理线路上实现不同交路的列车时空耦合运行，其核心在于平衡各交路列车的发车频率与乘客候车时间阈值的动态关系。多线互联跨线运营则突破线路物理边界，通过换乘站联络线实现列车无降级无缝跨线运行，可以有效降低车辆基地、车底和司乘人员等资源的配置需求，缓解换乘站客流拥堵，提高轨道交通系统服务水平，但缺点是乘客出行决策受多因素的影响。其侧重点在于网络资源协同调度，需开发融合时刻表协同与乘客选择的多层规划模型。

在多交路共线运营的客流分配方面，早期研究主要聚焦于常规公交系统中的相关问题。Chriqui等^[27］最早提出共线问题。随后，Nguyen等^[28]基于超图理论构建了共线问题的优化模型；Spiess等^[29]定义了乘客路径选择问题的优化策略概念，假设乘客选择第一辆到达的公交车，提出了共线问题及其流量分配的线性规划模型；Cominetti等^[30]探讨了拥挤条件下的共线问题与客流分配方法；Cepeda等^[31]则提出了在容量约束条件下的共线网络均衡分配模型；Codina等^[32]考虑拥堵网络下具有严格能力约束的网络配流问题，构建基于变分不等式和不动点理论的均衡客流分配模型，探讨了不同拥堵水平下客流分配模型的可靠性和有效性。

在城市轨道交通领域，共线运营客流分配方法主要应用在开行方案的优化研究中^[33-34]，然而这些客流分配方法仅适用于某种特定的交路形式，当同类型交路的形式发生变化时，既有方法将不再适用，在可拓展性和适用性上存在一定的局限性。为克服上述问题，许得杰等^[35]以单条线路上经典多交路运营形式为研究对象，充分考虑交路形式变化以及乘客在不同交路列车间的换乘行为，按照出行区段对乘客OD进行划分，并提出一种基于发车频率的客流分配方法，为增强客流分配方法适用性，进一步提出基于超路径出行策略的轨道交通多交路客流分配方法。但研究仍忽略了轨道交通共线运行时乘客路径选择行为的特殊性，乘客在出行前不会直接确定具体的路径选择，而是确定一个出行策略，并在出行过程中根据列车到站情况选择策略中的一条路径。因此，许得杰等^[36]充分考虑共线运营下乘客出行策略问题，以典型共线运营多交路列车开行方案为基础，构建了基于列车开行方案的客流分配用户均衡模型，并提出了轨道交通多交路共线问题求解算法和客流分配模型的连续平均算法(Method of Successive Averages，MSA)。

1.5　融合人工智能的客流分配研究

近年来，深度学习和强化学习已经成为人工智能领域的两大重要分支，在过去的几年中取得了显著的突破和应用，推动了计算机视觉、自然语言处理等多个领域的发展。城市轨道交通的客流分配问题具有高度的动态性、复杂性和多因素依赖性，既有研究虽然针对客流分配问题建立了不同的客流分配模型，取得了一定的成果，但多数方法对假设或数据的依赖性较强、模型复杂度较高，而且面对轨道交通网络中的不确定性因素时，如突发事件、运营中断或者大客流，传统的静态模型难以对动态性的系统状态进行描述。因此，智能决策与学习，特别是深度学习和强化学习，在解决城市轨道交通客流分配问题上具有独特优势。

深度学习通过多层次的神经网络对数据进行学习，其主要目标是从大量数据中自动提取数据特征，并在这些特征上进行分类、回归或生成等任务。在城市轨道交通中，客流分配问题涉及的数据维度非常高，通常包括乘客出行时间、乘客出行经验、线路拥堵程度等，通过深度学习，乘客出行特征可以得到更精确的建模，为优化分配策略提供更精准的预测。目前在城市轨道交通领域关于深度学习的研究仍在探索中，闫旭等^[21]作为我国首个将深度学习应用于“乘客-列车”分配的学者，以“估计-推断-纠偏”的解决思路，采用双通道全连接神经网络(Dual-Channel Fully Connected Neural Network，DC-FCNN)模型展开特征学习，来预估乘客的出行行为选择；通过GKF推断各可行列车的分配概率，并采用偏差纠正策略输出每个乘客最可能选择的方案，是基于深度学习解决“乘客-列车”分配问题的初次尝试，也为该领域后续的研究提供思路。

与深度学习不同，强化学习主要通过智能体与环境进行交互，不断试探不同的动作和策略，利用从环境中获得的奖励信号来学习如何做出最佳决策，侧重于解决动态决策和序列决策问题。强化学习的“试错”机制使得系统能够在面对不同的环境和条件时自动调整策略，不断从历史数据和实时反馈中积累经验，从而实现持续优化。在城市轨道交通中，不同线路和站点的客流模式常常具有差异，强化学习能够自适应地调整各线路的运营管理策略，从而在长期内实现最优的客流分配效果。因此，强化学习通常用于处理客流分配与列车运行调度协同优化问题。Jiang等^[37]提出了一种基于Q-Learning方法的轨道交通线路跳停站与客流控制协同优化方法，通过Bellman方程对Q值进行迭代更新，最终得到最优的跳停列车调度策略；针对实时的乘客路线引导，贾飞凡^[38]在向每个乘客提供引导信息的基础上，实现了深度确定性策略梯度算法(Deep Deterministic Policy Gradient Algorithm，DDPG)，基于DDPG算法建立了乘客路径动态诱导策略学习网络，缓解了部分网络的拥堵问题。Ying等^[39]提出了一种基于深度强化学习的近端策略优化方法，实现了单线地铁服务调度与列车组成的一体化优化；随后，将单线协同优化问题扩展到地铁网络中的多条线路，并采用多智能体深度确定性策略梯度算法(Multi-Agent Deep Deterministic Policy Gradient，MADDPG)来解决这个问题。关于在线协同优化方面，Ning等^[40]提出了一种基于多智能体强化学习的列车调度和客流分配协同在线优化方法，列车调度采用多代理行为批判框架，客流分配采用深度确定性策略梯度框架，所有智能体与相同的地铁模拟环境交互，生成满足复杂约束的列车时刻表和客流分配结果。

由以上分析可知，深度学习与强化学习在面对城市轨道交通客流分配问题时具有其独特的优势，是目前客流分配方向的重点研究问题。不过目前在客流分配领域关于深度学习和强化学习的研究尚浅，将深度学习和强化学习相结合，能够更加准确地预测和分配客流，适应不同的交通需求变化，实现城市轨道交通系统的最优运行。因此结合深度学习和强化学习解决客流分配问题，是当前趋势下新的研究问题。

1.6　票务清分问题研究

城市轨道交通票务清分问题主要是指在存在多运营主体参与的城市轨道交通网络中，如何依据乘客实际使用的交通服务或资源，将乘客支付的票款在各运营商之间合理、公平、准确地进行分配，其核心在于构建一个能真实反映乘客出行路径、服务使用情况及资源占用的清分机制。

最早的清分方法为人工分账法，适用于城市轨道交通发展初期，该方法以运营商的线路运营状况、质量和投资比例等作为指标，得出每个运营商的贡献程度，人为地给出最终的清分比例。在城市轨道交通路网发展的过渡阶段，清分方法主要为出站确认法，以乘客刷卡出站的站点作为清分依据，将收入计入到该车站所在的线路上。以上2种清分方法具有简单易行的特点，但随着城市轨道交通线网规模的扩大及运营商数量的增多，其合理性和准确性逐渐降低。

目前被广泛运用的票款清分方法为基于乘客路径的清分方法^[41]，该方法根据路径搜索算法的不同又分为最短路径清分法和多路径选择概率清分法。最短路径清分法通过搜索起讫点之间的最短路径，将对应所有客流分配至该路径，基于各个运营商在路径上的里程比例计算最终清分比例。该方法适用于简单路网结构，早期曾被线网未成形的城市广泛采用。随着网络规模扩大与换乘节点数量的增长，多路径概率清分法逐渐成为票款清分的主流方法。该方法通过计算各路径的阻抗，筛选有效路径，考虑乘客出行行为的异质性建立路径选择概率模型，结合有效路径的客流分配比例和有效路径上的线路里程比例得到票款清分比例。其核心在于对乘客出行的实际路径选择的识别与判断，而这正是客流分配模型需要解决的关键问题，因此多路径选择概率清分法通常将客流分配模型作为路径识别的逻辑基础，结合随机效用理论或后悔理论等客流分配理论预测乘客可能选择的路径集合与选择概率，并以此作为票款分配的权重依据^[42]。

随着对票务清分方法研究的深入，学者提出了高斯混合模型清分方法。该方法是一种典型的非监督学习算法，其核心思想是基于AFC数据的进出站时间信息提取乘客出行关键特征，用多个高斯分布对数据样本进行聚类分析，通过最大化似然函数拟合乘客的出行行为数据，用不同路径的高斯成分权重表示乘客的路径选择概率。

综上，票务清分问题作为客流分配理论的重要延伸与实际应用方向，已经从基于经验规则确定清分规则发展为依托行为模型和数据分析的精细化清分方法。在轨道交通多运营主体协同发展的趋势下，进一步加强票款清分与客流分配模型的融合研究，不仅有助于提升票务管理的公平性与科学性，也为实现城市轨道交通系统的高效协同运营提供了关键技术支撑。

2　客流分配模型构建方法

客流分配既有研究虽然在研究目标、应用场景等方面存在差异，但其本质均需通过构建合理的客流分配模型来描述乘客在公共交通网络中的行为机制与客流演变过程，其客流分配模型构建方法存在显著的共性特征，即基于客流分配理论基础，确定客流分配模型的数学表达形式，包括定义适用的决策变量，构建能够反映乘客出行成本感知的广义费用函数，并结合实际运营条件和网络特性引入相应的约束条件。为了深入揭示各类客流分配问题背后的理论支撑与建模逻辑，归纳总结了客流分配模型的构建方法，旨在为不同研究问题提供统一的建模思路和理论框架。

2.1　客流分配理论基础

1952年，Wardrop^[43]针对道路交通网络提出了Wardrop均衡原理，为后续交通分配模型奠定了理论基础。其中，Wardrop第一原理从用户个体的角度出发，阐述了出行者总是选择出行费用最小的路径，在网络达到均衡条件时，所有出行者的选择路径费用相等且最小。Wardrop第二原理从系统整体的角度出发，针对产生拥堵的交通网络，提出在系统达到均衡条件时，全网出行者的总出行费用达到最小。在Wardrop均衡原理提出后，Beckmann等^[44]提出了描述均衡条件下的客流分配数学模型，即用户均衡(User Equilibrium，UE)模型，并由Leblanc等^[45]运用弗兰克-沃尔夫算法(Frank-Wolfe，FW)进行求解，得到了客流均衡下的分配结果；吴祥云等^[46]将均衡原理运用于轨道交通领域，基于路段阻抗和站点阻抗定义了广义出行费用函数，并构建了均衡条件下的城市轨道交通网络客流分配模型。UE模型的等价凸优化问题可表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z(x)=\sum _{r\in R}\sum _{i\in P_r}{\int }_{\mathrm{0}}^{x_i}{C}_i(\omega )\mathrm{d}\omega(3)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\sum _{i\in P_r}{x}_i=q_r\forall r\in R(4)

式中：P_r为OD对r的可行路径集合；x_i为路径i上的客流量，人次；C_i(x)为路径i的出行成本，元；q_r为OD对r的总需求，人次。

由于均衡模型中的乘客被假设为完全理性且对路网完全熟悉，而实际情况下乘客的路径选择行为受乘客自身的异质性、出行需求强度、外部环境等因素影响，因此用户均衡分配模型的结果与实际差距较大。为描述乘客出行路径选择的随机性，学者引入了随机效用理论，将乘客感知费用的随机误差项纳入广义出行费用的标定中，构建了随机概率分配模型。基于对随机误差项分布特征的拟合分析，分别形成了基于正态分布的二元概率模型(Probit)和基于极值分布的逻辑回归模型(Logit)两大随机概率分配建模体系。在规模较大的网络中，Probit模型由于非线性特征突出，导致模型求解难度显著增加，因此实际应用存在局限性；而Logit模型表达式简明、适用性强，在实际分配计算中采用的大多为Logit模型^[47]。Daganzo等^[48]将服从Gumbel分布的随机项纳入到用户均衡模型的路径效用函数中，提出了随机用户均衡(Stochastic User Equilibrium，SUE)模型，在公共交通网络配流领域被广泛应用。SUE模型的等价凸优化问题可表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z(x)=\sum _{r\in R}\sum _{i\in P_r}{\int }_{\mathrm{0}}^{x_i}{C}_i(\omega )\mathrm{d}\omega -\frac{\mathrm{1}}{\theta }\sum _{r\in R}{q}_r\mathrm{l}\mathrm{n}\sum _{i\in P_r}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\theta C_i(x_i)\right](5)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\sum _{i\in P_r}{x}_i=q_r\forall r\in R(6)

式中：\theta为路径选择参数，反映乘客对路径成本的敏感性。

在实际使用的Logit模型中，多项式Logit模型(Multinomial Logit Model，MNL)占据主导地位，其理论构建基于随机误差项服从独立同分布的Gumbel分布假设，这一前提条件直接导致模型具有无关选择的独立性特性，具体表现为：当选择新增或删除某一选项时，剩余备选方案间的相对概率比值将保持恒定。该特性虽赋予模型参数估计的便捷性，但也成为其处理复杂选择行为时的局限。因此，学者们对MNL模型进行改进，提出了交叉巢式Logit模型^[49]和配对组合Logit模型^[50]等。

城市轨道交通客流分配理论来源于道路交通流分配理论，既有的研究中构建城市轨道交通客流分配模型时，通常将道路交通流分配理论应用于城市轨道交通客流分配中^[51]。按照考虑路网客流时空分布的差异性，既有的城市轨道交通客流分配模型可以划分为基于发车频率的客流分配模型和基于时刻表的客流分配模型。

基于发车频率的客流分配模型采用固定的发车对数表示系统运力供给，由于该类模型较少考虑网络时刻动态特征，因此其属于静态模型。四兵锋等^[52]分析了在我国城市轨道交通无缝换乘的特征下的乘客出行选择行为，基于随机用户均衡原理构建客流分配模型；许得杰等^[35]针对多交路共线运营的线路，根据OD对乘客进行划分，并设计了静态客流分配方法，按照发车频率确定不同交路上的列车的客流分担比例；Oliker等^[53]假设乘客可以获取路径预计到达时间和车厢拥挤情况的在线信息，针对超过容量限制的区段，设计基于发车频率的客流分配算法对超载乘客进行重新分配；Li等^[54]建立了随机用户均衡分配模型，将分配问题转化为变式不等式问题，并选择对角化方法进行解决。

随着城市轨道交通线网的运营组织更加复杂，交路组合形式更加多样化，客流时空特征更加难以掌握。基于发车频率的客流分配模型在描述和刻画乘客出行轨迹、列车运行过程等方面缺陷较多，而基于时刻表的客流分配模型则能根据列车的实际到发时间驱动客流动态分布推演，且该类模型可以精准反映车厢载客负荷与站台候乘客流密度等关键参数。Poon等^[55]考虑列车容量限制，提出了动态均衡分配(Dynamic User Equilibrium， DUE)模型，描述了列车在每个车站的列车剩余容量及乘客的排队过程；杨东赤等^[56]构建了乘客出行时空网络，在此基础上建立了动态均衡配流模型，并通过MSA算法进行求解；胡见鹏等^[57]考虑了列车容量限制，提出了考虑换乘路径出行时间随客流时空特征变化的动态配流仿真方法。DUE模型的等价凸优化问题可表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Z(f)=\sum _{e\in E}{\int }_{\mathrm{0}}^{x_e(t)}{C}_e(t,\omega )\mathrm{d}\omega(7)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\sum _{p\in P_r}{f}_p(t)=q_r(t)\forall r,t(8)

f_p(t)\ge \mathrm{0}\forall p,t(9)

x_e(t)=\sum _{r\in R}\sum _{p\in P_r}{f}_p(t){\delta }_{e,p}^r(t)\forall t(10)

式中：P_r为OD对r的可行路径集；x_e(t)为时刻t下时空弧e的客流量，人次；C_e(t,x_e)为时刻t下时空弧e的出行成本，元；f_p(t)为时刻t下路径p的客流量，人次；q_r(t)为时刻t下OD对r的总需求，人次；{\delta }_{e,p}^r(t)为关联系数，{\delta }_{e,p}^r(t)=\mathrm{1}表示时空弧e属于OD对r的时空路径p，否则，{\delta }_{e,p}^r(t)=\mathrm{0}。

随着城市轨道交通AFC数据的广泛应用，乘客出行路径选择行为研究逐渐由基于陈述偏好(Stated Preference，SP)转变为基于显示偏好(Revealed Preference，RP)，根据乘客的AFC刷卡数据，结合列车时刻表和网络拓扑结构数据，具体推算乘客的出行过程，形成了以“乘客-列车”分配模型为主的推算型分配模型。客流分配理论发展历程如表1所示。

2.2　客流分配模型的数学表达

2.2.1　决策变量

在城市轨道交通客流分配模型中，决策变量的设置直接关系到模型的精度和适用性。既有研究中，一般的客流分配模型会设置各个路径上的客流量作为决策变量，基于乘客出行行为特征构建路径选择概率模型，通过起讫点(OD)矩阵推演全网客流分布。对于推算型客流分配模型，学者考虑乘客分配到列车的流量为决策变量^{[16，19，58]}，根据输入的AFC数据及列车时刻表数据实现个体与其乘坐列车的匹配。在研究客流分配与列车运营调度协同优化的模型中，主要的决策变量设置如下：首先，在客流分配与开行方案协同优化模型中，以折返站的设置^[34]、列车发车间隔^[59]、列车停站方案等为决策变量，通过协调列车调度安排，以提高系统的运行效率、服务质量和资源利用率；其次，在客流分配与时刻表协同优化模型中，以列车在换乘站的到发时间^[25]、区段运行时间^[24]、换乘站停站时间^[22]等作为常用的决策变量，能够提高乘客换乘接续过程中的服务水平，尤其是在运力紧张的高峰时段，可以有效应对不同强度下的客流需求。在融合智能决策与学习的客流分配模型中，常见的决策变量有系统状态变量，如乘客出行特征、网络拥堵程度等；动作变量，如乘客路径调整策略等；奖励函数变量，衡量系统采取动作后的收益或惩罚，反映模型优化的目标函数^[39-40]。

2.2.2　广义费用函数

学者通过构建广义费用函数，考虑影响乘客出行路径选择的不同因素，对乘客出行路径进行评估，以此确定不同乘客对于不同路径的选择概率。除去考虑乘客旅行时间以外，既有研究大多考虑换乘行为对广义费用函数的影响，如换乘失败概率^[60]、换乘次数^[61]、乘客心理状态^[62-63]等。在考虑拥堵网络时，将站台滞留人数^[64]、车厢舒适程度^[52]、拥挤延误时间^[65]等拥堵因素纳入广义费用函数中，反映出拥堵对于乘客路径选择的影响。同时，乘客对于路网的熟悉程度^[66-67]也是造成路径选择差异的关键因素。此外，随着城市轨道交通网络化程度加深，一些学者将网络拓扑结构也纳入到影响因素范围内，如出行路径偏离角度^[68-69]、拓扑示意图与现实网络的扭曲关系^[70]等。

2.2.3　约束条件

城市轨道交通客流分配问题，需要设置多种复杂的约束条件来使模型符合现实问题，通常考虑以下约束：一是流量平衡进行约束，确保在每个车站，流入的客流与流出的客流相等，即满足流量的连续性；二是列车最大容量约束，在实际问题中每条线路的列车有固定的承载能力，在高峰时段客流量较大的站点会出现拥堵导致的乘客未能登乘列车造成滞留，因此需要设置列车最大容量约束，客流量不能超过列车的最大容量；三是路径选择约束，乘客只能选择在交通网络中实际存在的路径，在考虑乘客路径选择的模型中，乘客选择路径的概率应满足一定的规律，如路径选择的概率与乘客出行广义费用函数相关；四是列车调度约束，在考虑列车运营调度和客流分配协同优化问题时，列车的开行方案会影响到客流分配的结果，如列车的到发时间会影响乘客换乘衔接和整体出行时间，因此需要对列车调度方面进行约束。城市轨道交通客流分配模型分类综述如表2所示。

3　客流分配算法

轨道交通客流分配算法的主要目标是将乘客的起讫点需求合理地分配到整个轨道交通网络中。通过考虑空间和时间2个维度，这些算法可以推算出客流在轨道交通网络中的时间分布和空间分布情况，从而为决策者提供关于路径、区间、线路、换乘站以及列车的客流量等关键指标的统计信息。一个完整的轨道交通客流分配算法通常包括3个主要部分：①网络路径搜索，即在轨道交通网络中找到从乘客起点到终点的所有可能路径；②客流分配模型求解，即将乘客的需求按路径、线路和区间分配到网络中；③客流分布仿真，即通过仿真模拟评估客流在网络中的动态分布与变化。客流分配算法流程示意图如图2所示。

3.1　路径搜索算法

路径搜索算法是客流分配算法中的基础部分，其目标是基于给定的网络结构，为每个乘客的起讫点对寻找合理的出行路径。研究初期，针对大规模交通网络的最短路径搜索算法中，形成了Dijkstra^[71]和Floyd^[72]算法等常用算法，其简单且高效的特性使其迅速成为图论与路径优化领域的基础算法，并在此基础上，形成了DKA和DKD等改进的Dijkstra算法^[73]。在网络路径搜索中，通常不仅需要找到最短路径，还需获取次短路径、K短路径等路径或路径集合，从而引出了K短路径搜索问题。Hoffman等^[74]于1959年首次提出了K短路(K-Shortest Paths，KSP)搜索算法，用于解决无回路的K短路问题。Yen^[75]针对无回路的K短路问题提出一种多项式算法，降低了算法复杂度。在后续的研究中，Martins等^[76]对Yen算法进行了改进，提出了MPS算法，该方法利用候选路径集合X来确定第K条无回路的最短路径。

乘客在选择轨道交通出行时，不会考虑起讫点之间的全部连通路径，而是只会考虑其中更合理的一部分路径，即有效路径^[52]。针对有效路径搜索方法，徐瑞华等^[77]提出了一种基于删边法的路径生成方法，在确保路径完备性的情况下，能够为轨道交通网络中任意2点生成不重复的K条路径；四兵锋等^[52]利用深度优先遍历算法设计了一种有效路径搜索方法。但上述算法仅聚焦于静态网络拓扑结构中的路径规划问题，未充分考虑时变条件下列车运行状态对路径可达性的动态时间约束。既有研究中，关于时变路网下的有效路径搜索算法主要集中于改进的公交网络环境下动态时变路径搜索算法，如Wong等^[78]提出时间依赖网络的路径搜索问题，建立基于时间依赖型OD矩阵的公共交通网络配流框架；Xu等^[79]采用车辆到达时间列表排序进行路径遍历，提出基于时刻表的公交网络K短路径搜索方法；周玮腾等^[80]通过将静态K短路径按照列车到发时刻进行扩展并排序获得时变K短路径，提出了大规模网络条件下的时变K短路径搜索算法。

KSP具有较强的实用性，但其在解决随机时变网络下的路径搜索问题时缺乏对时变特性的适应性，时变路网中的路径阻抗为时间函数，而KSP默认路径属性不变，导致K条路径在不同起始时刻并不成立，无法满足动态客流下不同乘客不同时段的客流需求。为此学者们尝试通过非支配条件、遗传算法、A*算法以及拉格朗日松弛等方法实现随机时变路网的路径搜索。Rajabi-Bahaabad等^[81]采用非支配排序遗传算法在随机时变网络中获取非支配路径集合；Chen等^[82]分析了空间距离对路段行程时间分布的影响，并提出一种基于动态矩匹配法的A*算法，用于拟合总路径时间分布参数；Zhang等^[83]提出了一种基于新的凸问题重构的拉格朗日松弛算法来求解随机时变网络下可靠最短路径搜索问题，并提出了约束生成算法和次梯度投影算法来有效地更新拉格朗日乘子。

随着大数据与人工智能技术的发展，机器学习方法已应用于路径搜索领域。机器学习方法通常利用融合历史与实时数据，通过运用聚类算法识别乘客群体的相似路径偏好，进而实现出行需求的建模与分类分析。Wang等^[84]提出了一种基于AFC数据的不规则出行人群识别方法，利用K-means聚类和DBSCAN聚类，对非常规出行人群进行出行相似度度量，识别非常规出行人群；李诚胜^[85]指出乘坐城市轨道交通的同一OD中所有乘客的旅行时间满足混合高斯分布，分析了AFC记录的乘客出行时间数据特征，提出基于高斯混合模型的乘客出行路径推荐算法，并将其应用于票务清分问题中。

3.2　模型求解及客流加载

在基于发车频率的客流分配模型中，常用算法有FW算法^[86]和MSA算法^[87]。FW算法是一种用于解决带约束的凸优化问题的一阶迭代优化方法，该算法的核心思想是通过将目标函数线性化，将复杂的优化问题转化为一系列简单的线性子问题，逐步逼近最优解。针对城市轨道交通均衡模型，根据网络拓扑特征和阻抗函数的可分解特性，将线性规划问题转换为最短路径搜索问题，使得运算效率显著提升。然而，对于复杂的轨道交通网络，由于每次迭代都需解决一个线性规划问题，计算量较大，达到收敛所需的时间较长^[88]。MSA算法作为FW算法的衍生算法，通过迭代平均化流量分配，以简单稳定的方式逼近用户均衡解。与FW算法相比，MSA算法采用固定步长，无需通过一维搜索更新步长，更适合应用于大规模路网的配流问题，但其收敛速度相对较慢。在以随机效用理论为基础的随机概率分配模型中，通常采用模拟最大似然估计方法^[61]或者贝叶斯方法^[89]等，对模型的参数进行回归分析拟合，近似计算路径选择概率。

基于时刻表的客流分配模型常通过构建时刻表服务网络，将网络节点拓展为“站点”和“时间”的组合形式^[56]，在模型求解时需按照时间片段动态更新路径-时间流分配结果，且每轮迭代都需在时刻表服务网络中重新计算最短路径。苏焕银等^[90]将静态拓扑网络在时间维度上进行拓展，构建了乘客换乘网络，设计出基于有效路径的动态MSA算法对模型进行求解；Wu等^[91]设计了一种基于丹齐格-沃尔夫算法(Dantzig-Wolfe，DW)的分解算法，用于求解考虑连续时变需求的大规模高速铁路时空旅行网络，将每次迭代中的子问题作为无容量约束的单源最小成本流量问题来求解，解决了分配问题中的连续和离散时变需求。

3.3　客流分布仿真

客流分配仿真方法近年来在轨道交通领域得到了广泛应用与研究。这种方法通过模拟乘客的实际出行过程，能够动态反映客流在时间和空间上的分布特征，以及乘客在出行过程中面对不同情况的决策行为。仿真方法的核心是基于乘客行为模型和轨道交通网络特性，模拟乘客的路径选择、候车决策等行为过程，进而实现对客流分布规律的全面解析。

国外在客流仿真领域的研究起步较早，Tong等^[92]用时刻表描述车辆运行状态，建立了基于时刻表的动态公交配流模型，并采用蒙特卡罗方法对客流分配过程进行仿真，在公共交通中较早地将数值仿真方法应用于客流分配过程中；Cats^[93]将多智能体客流仿真技术应用于公交系统以模拟乘客的动态客流需求及其与底层公交系统的相互作用，构建了基于乘客行为的出行信息认知建模框架；Erfan等^[94]提出了一种基于两阶段客流仿真的最小发车间隔优化方法，考虑随机运行时间和容量约束构建了列车动态运行的仿真模型。参考这些仿真模型，逐渐发展出乘客出行行为的仿真模型框架。

关于国内的客流仿真领域，李贺^[95]实现了大小交路下的网络动态配流，并提出适应较大配流规模的仿真推演方法，简化乘客出行过程，提高计算效率；为进一步简化仿真的标定过程，林增^[96]将列车代替乘客成为仿真主体，结合列车时刻表，以站台乘客先到先发的规则实现乘客与列车的交互，提出列车动态仿真配流算法；胡健鹏等^[57]考虑了列车容量限制，提出了考虑换乘路径出行时间随客流时空特征变化的动态配流仿真方法。

相比传统的数值优化方法，仿真方法能够更真实地体现复杂交通网络中多种因素的相互作用，包括列车运行动态、车站容量约束以及突发事件等，因此具有较高的灵活性和适应性。此外，仿真方法还具有处理动态和随机性特征的独特优势，能够用于分析不同情境下的客流变化，如高峰时段的拥挤分布、突发事件的应急客流疏散，以及多交路运行模式下的客流分配。然而，仿真方法也存在模型标定复杂、依赖大量行为参数以及在较大规模的网络中计算效率下降等诸多挑战。尽管如此，仿真方法仍是当前研究轨道交通客流分布规律的关键手段，并在提高轨道交通服务质量、优化运营策略和制定应急方案等方面发挥着不可替代的重要作用。

4　结论

在对目前城市轨道交通客流分配问题的不同研究方向进行系统分析后，针对客流分配全过程涉及的客流分配理论、决策变量、广义费用函数、求解算法进行了全面综述。近年来相关研究不断深入，不仅为提升轨道交通系统的运营效率和服务质量提供了重要支撑，还推动了交通领域在大规模网络优化、智能决策与学习等方面的学术进展。但面对复杂路网中多种不确定性因素时，现有模型在适应性与灵活性上仍存在局限。基于国内外研究现状与我国实际发展需求，以下客流分配问题值得进一步研究与探讨。

（1）乘客行为建模的多样化与精准化。既有研究多集中于宏观层面的平均化假设，对不同类型乘客出行特征描述不够清晰，模型对个体化行为的刻画能力有限。其次对乘客行为分析还不够精准，关于乘客出行选择分析的研究大多采用SP调查的方式，缺乏理论深度。因此，如何提高乘客出行选择模型的多样性和准确性，是目前研究领域亟需解决的关键问题。

（2）模型求解算法的高效化与实用化。轨道交通客流分配模型的求解通常被视为一个NP-hard问题，并且问题的求解难度随着网络规模扩大而呈现指数级増长，开发具有实际应用价值的求解算法，具有重要的理论价值和实践意义。当前研究主要聚焦于2个方向：一是结合模型特性改进现有启发式算法；二是借鉴其他领域的研究成果和计算原理，构建新型求解框架；这些都是未来值得深入研究的方向。

（3）极端情境下的不确定性分析。随着城市轨道交通系统的复杂性增加，应急情况和极端情景(如自然灾害、突发事故、大型活动引发的客流高峰等)对客流分配的影响日益受到关注。现有的客流分配研究大多集中于常态化运营的客流分配方法，对于应急情况和极端情景下的客流分配研究相对有限。在交通网络状态稳定的条件下，乘客行为具有可预测性。在突发情况下，网络会产生动态演变，乘客出行选择行为具有随机性，因此既有的客流分配模型在应急情况和极端情景下并不适用。其次，网络的弹性和抗干扰能力也可以纳入客流分配模型中，评估网络在应急条件下的运行效率和可靠性。因此，研究应急情况和极端情景下的客流分配方法，具有重要的理论和现实意义。

（4）人工智能与大数据技术的深度融合。随着轨道交通系统规模的不断扩大和出行需求的日益复杂化，传统的客流分配模型和方法在精度、实时性和适应性方面面临诸多挑战，基于深度学习、强化学习等技术的客流分配算法将成为研究热点。这些技术能够通过挖掘历史数据和实时数据，自动学习客流分布规律，突破多源数据融合与大数据驱动的动态建模，设计基于人工智能的分配算法，优化个性化服务与乘客行为建模、协同研究多目标优化与智能调度。目前在轨道交通客流分配领域结合人工智能与大数据技术方面的研究尚浅，是当前趋势下的新的热门研究问题。

参考文献

[1] 中国城市轨道协会.城市轨道交通2024年度统计和分析报告[R/OL].(2025-03-28)[2025-04-02].

[2] KAHNEMAN D， TVERSKY A. Prospect Theory：An Analysis of Decision under Risk[J]. Econometrica，1979，47(2)：263-292.

[3] TVERSKY A， KAHNEMAN D. Advances in Prospect Theory：Cumulative Representation of Uncertainty[J]. Journal of Risk and Uncertainty，1992：297-323.

[4] 田丽君，杨 茜，黄海军，等. 基于累积前景理论的出行方式选择模型及实证[J]. 系统工程理论与实践，2016，36(7)：1778-1785.

[5] TIAN Lijun， YANG Qian， HUANG Haijun，et al. The Cumulative Prospect Theory-Based Travel Mode Choice Model and Its Empirical Verification[J]. Systems Engineering—Theory & Practice，2016，36(7)：1778-1785.

[6] 韩宝明，陈佳豪，周玮腾，等. 城市轨道交通运营中断条件下乘客路径选择模型[J]. 同济大学学报(自然科学版)，2023，51(2)：238-246.

[7] HAN Baoming， CHEN Jiahao， ZHOU Weiteng，et al. Passenger Route Choice Model under the Condition of Urban Rail Transit Operation Disruption[J]. Journal of Tongji University (Natural Science)，2023，51(2)：238-246.

[8] CHORUS C G， ARENTZE T A， TIMMERMANS H J P. A Random Regret-Minimization Model of Travel Choice[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2008，42(1)：1-18.

[9] CHORUS C G. A New Model of Random Regret Minimization[J]. European Journal of Transport and Infrastructure Research，2010：181-196.

[10] WONG S D， CHORUS C G， SHAHEEN S A，et al. A Revealed Preference Methodology to Evaluate Regret Minimization with Challenging Choice Sets：A Wildfire Evacuation Case Study[J]. Travel Behaviour and Society，2020，20：331-347.

[11] CHORUS C G. Applicability of Random Regret Minimization-Models，and Their Strong and Weak Points[EB/OL]. (2012-04-05)[2025-03-18].

[12] PRATO C G. Expanding the Applicability of Random Regret Minimization for Route Choice Analysis[J]. Transportation，2014，41(2)：351-375.

[13] JI X F， ZHANG J， HU Y K，et al. Location-Based Route Choice Model under Random Regret Minimization[EB/OL]. (2014-07-02)[2025-03-18].

[14] VAN CRANENBURGH S， GUEVARA C A， CHORUS C G. New Insights on Random Regret Minimization Models[J]. Transportation Research Part A：Policy and Practice，2015，74：91-109.

[15] BOERI M， SCARPA R， CHORUS C G. Stated Choices and Benefit Estimates in the Context of Traffic Calming Schemes：Utility Maximization，Regret Minimization，or Both[J]. Transportation Research Part A：Policy and Practice，2014，61：121-135.

[16] PAUL E C. Estimating Train Passenger Load from Automated Data Systems： Application to London Underground[D]. Massachusetts：Massachusetts Institute of Technology，2010.

[17] ZHU Y. Passenger-to-Train Assignment Model Based on Automated Data[D]. Massachusetts：Massachusetts Institute of Technology，2014.

[18] HÖRCHER D， GRAHAM D J， ANDERSON R J. Crowding Cost Estimation with Large Scale Smart Card and Vehicle Location Data[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2017，95：105-125.

[19] ZHU Y W， KOUTSOPOULOS H N， WILSON N H M. A Probabilistic Passenger-to-Train Assignment Model Based on Automated Data[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2017，104：522-542.

[20] ZHU Y W， KOUTSOPOULOS H N， WILSON N H M. Inferring Left Behind Passengers in Congested Metro Systems from Automated Data[J]. Transportation Research Procedia，2017，23：362-379.

[21] 李婉君. 基于地铁刷卡数据的乘客列车分配算法及运营状态特征分析研究[D]. 北京：北京交通大学，2020.

[22] 茧 敏，王 卓，陈哲轩，等. 基于时空路径推算的城轨网络客流分配方法[J]. 西南交通大学学报，2023，58(5)：1117-1125.

[23] JIAN Min， WANG Zhuo， CHEN Zhexuan，et al. Passenger Flow Assignment Method for Urban Rail Transit Networks Based on Inference of Spatiotemporal Path[J]. Journal of Southwest Jiaotong University，2023，58(5)：1117-1125.

[24] 闫 旭，彭其渊，张永祥，等. 拥堵条件下城市轨道交通“乘客-列车”分配方法[J]. 铁道科学与工程学报，2025，22(5)：2027-2039.

[25] YAN Xu， PENG Qiyuan， ZHANG Yongxiang，et al. Passenger-to-Train Assignment Method for Urban Rail Transit under Congestion[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2025，22(5)：2027-2039.

[26] SHAFAHI Y， KHANI A. A Practical Model for Transfer Optimization in a Transit Network：Model Formulations and Solutions[J]. Transportation Research Part A：Policy and Practice，2010，44(6)：377-389.

[27] 白广争，郭 进，石红国，等. 基于离站时刻协调的地铁换乘站列车衔接优化研究[J]. 交通运输系统工程与信息，2013，13(5)：134-139，201.

[28] BAI Guangzheng， GUO Jin， SHI Hongguo，et al. Optimization of Convergence Based on the Coordination of Train Departure Time in the Subway Transfer Station[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2013，13(5)：134-139，201.

[29] CAO Z C， CEDER A， LI D W，et al. Optimal Synchronization and Coordination of Actual Passenger-Rail Timetables[J]. Journal of Intelligent Transportation Systems，2019，23(3)：231-249.

[30] WANG Y Z， LI D W， CAO Z C. Integrated Timetable Synchronization Optimization with Capacity Constraint under Time-Dependent Demand for a Rail Transit Network[J]. Computers & Industrial Engineering，2020，142：106374.

[31] YIN J T， D’ARIANO A， WANG Y H，et al. Timetable Coordination in a Rail Transit Network with Time-Dependent Passenger Demand[J]. European Journal of Operational Research，2021，295(1)：183-202.

[32] CHRIQUI C， ROBILLARD P. Common Bus Lines[J]. Transportation Science，1975，9(2)：115-121.

[33] NGUYEN S， PALLOTTINO S. Equilibrium Traffic Assignment for Large Scale Transit Networks[J]. European Journal of Operational Research，1988，37(2)：176-186.

[34] SPIESS H， FLORIAN M. Optimal Strategies：A New Assignment Model for Transit Networks[J]. Transportation Research Part B：Methodological，1989，23(2)：83-102.

[35] COMINETTI R， CORREA J. Common-Lines and Passenger Assignment in Congested Transit Networks[J]. Transportation Science，2001，35(3)：250-267.

[36] CEPEDA M， COMINETTI R， FLORIAN M. A Frequency-Based Assignment Model for Congested Transit Networks with Strict Capacity Constraints：Characterization and Computation of Equilibria[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2006，40(6)：437-459.

[37] CODINA E， ROSELL F. A Heuristic Method for a Congested Capacitated Transit Assignment Model with Strategies[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2017，106：293-320.

[38] 戎亚萍，张星臣，柏 赟，等. 城市轨道交通多编组列车开行方案优化研究[J]. 交通运输系统工程与信息，2016，16(5)：117-122.

[39] RONG Yaping， ZHANG Xingchen， BAI Yun，et al. Optimization for Train Plan of Urban Rail Transit Based on Hybrid Train Formation[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2016，16(5)：117-122.

[40] 许得杰，曾俊伟，麻存瑞，等. 考虑满载率均衡性的大小交路列车开行方案优化研究[J]. 交通运输系统工程与信息，2017，17(6)：185-192.

[41] XU Dejie， ZENG Junwei， MA Cunrui，et al. Optimization for Train Plan of Full-Length and Short-Turn Routing Considering the Equilibrium of Load Factor[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2017，17(6)：185-192.

[42] 许得杰，巩 亮，朱 宁，等. 城市轨道交通多交路共线运营客流分配方法[J]. 交通运输系统工程与信息，2021，21(5)：206-213.

[43] XU Dejie， GONG Liang， ZHU Ning，et al. Passenger Flow Assignment Method for Common-Line Operation with Multi-Routing of Urban Rail Transit[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2021，21(5)：206-213.

[44] 许得杰，潘 星，巩 亮，等. 基于列车开行方案的城市轨道交通多交路客流分配方法[J]. 交通运输系统工程与信息，2023，23(5)：238-246，289.

[45] XU Dejie， PAN Xing， GONG Liang，et al. Passenger Flow Assignment Method for Multi-Routing Operation of Urban Rail Transit Based on Train Plan[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2023，23(5)：238-246，289.

[46] JIANG Z B， GU J J， FAN W，et al. Q-Learning Approach to Coordinated Optimization of Passenger Inflow Control with Train Skip-Stopping on a Urban Rail Transit Line[J]. Computers & Industrial Engineering，2019，127：1131-1142.

[47] 贾飞凡. 城市轨道交通乘客路径动态诱导策略优化研究[D]. 北京：北京交通大学，2021.

[48] YING C S， CHOW A H F， WANG Y H，et al. Adaptive Metro Service Schedule and Train Composition with a Proximal Policy Optimization Approach Based on Deep Reinforcement Learning[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2022，23(7)：6895-6906.

[49] NING X Y， DONG W， SUN X Y，et al. A Collaborative Optimization Method for Train Scheduling and Passenger Flow Assignment Based on Multi-Agent Reinforcement Learning[EB/OL]. (2024-02-11)[2025-03-18].

[50] 王 耀，李继铭，高 申，等. 城市轨道交通线网票务清分方法综述[J]. 城市轨道交通研究，2024，27(12)：317-321.

[51] WANG Yao， LI Jiming， GAO Shen，et al. Review of Urban Rail Transit Ticket Clearing Methods[J]. Urban Mass Transit，2024，27(12)：317-321.

[52] 朱 炜，田一含，张炜晗.城市轨道交通网络清分理论与实践发展综述[J]. 铁道运输与经济，2025，47(9)：44-57.

[53] ZHU Wei， TIAN Yihan， ZHANG Weihan. Development of Theory and Practice in Fare and Passenger Flow Clearing for Urban Rail Transit Networks：A Review[J]. Railway Transport and Economy，2025，47(9)：44-57.

[54] WARDROP J G. Road Paper. Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research[J]. Proceedings of the Institution of Civil Engineers，1952，1(3)：325-362.

[55] BECKMANN M， MCGUIRE C B， WINSTEN C B. Studies in the Economics of Transportation[M]. New Haven：Yale Univ. Press，1956.

[56] LEBLANC L J， FARHANGIAN K. Efficient Algorithms for Solving Elastic Demand Traffic Assignment Problems and Mode Split-Assignment Problems[J]. Transportation Science，1981，15(4)：306-317.

[57] 吴祥云，刘灿齐. 轨道交通客流量均衡分配模型与算法[J]. 同济大学学报(自然科学版)，2004，32(9)：1158-1162.

[58] WU Xiangyun， LIU Canqi. Traffic Equilibrium Assignment Model Specially for Urban Railway Network[J]. Journal of Tongji University，2004，32(9)：1158-1162.

[59] 李 军，赖信君，余 志. 基于Probit等效阻抗的配对组合Logit路径选择模型[J]. 交通运输系统工程与信息，2013，13(4)：100-105，148.

[60] LI Jun， LAI Xinjun， YU Zhi. A Paired Combinatorial Logit Route Choice Model with Probit-Based Equivalent Impedance[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2013，13(4)：100-105，148.

[61] DAGANZO C F， SHEFFI Y. On Stochastic Models of Traffic Assignment[J]. Transportation Science，1977，11(3)：253-274.

[62] GHADER S， CARRION C， TANG L，et al. A Copula-Based Continuous Cross-Nested Logit Model for Tour Scheduling in Activity-Based Travel Demand Models[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2021，145：324-341.

[63] WANG J， PEETA S， HE X Z，et al. Combined Multinomial Logit Modal Split and Paired Combinatorial Logit Traffic Assignment Model[J]. Transportmetrica A：Transport Science，2018，14(9)：737-760.

[64] 周玮腾，韩宝明，冯 超. 城市轨道交通网络客流分配模型和算法综述[J]. 系统工程理论与实践，2017，37(2)：440-451.

[65] ZHOU Weiteng， HAN Baoming， FENG Chao. A Review of Passenger Flow Assignment Model and Algorithm for Urban Rail Transit Network[J]. Systems Engineering—Theory & Practice，2017，37(2)：440-451.

[66] 四兵锋，毛保华，刘智丽. 无缝换乘条件下城市轨道交通网络客流分配模型及算法[J]. 铁道学报，2007，29(6)：12-18.

[67] SI Bingfeng， MAO Baohua， LIU Zhili. Passenger Flow Assignment Model and Algorithm for Urban Railway Traffic Network under the Condition of Seamless Transfer[J]. Journal of the China Railway Society，2007，29(6)：12-18.

[68] OLIKER N， BEKHOR S. A Frequency Based Transit Assignment Model that Considers Online Information and Strict Capacity Constraints[J]. EURO Journal on Transportation and Logistics，2020，9(1)：100005.

[69] LI G Y， CHEN A. Strategy-Based Transit Stochastic User Equilibrium Model with Capacity and Number-of-Transfers Constraints[J]. European Journal of Operational Research，2023，305(1)：164-183.

[70] POON M H， WONG S C， TONG C O. A Dynamic Schedule-Based Model for Congested Transit Networks[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2004，38(4)：343-368.

[71] 杨东赤，任华玲，四兵锋，等. 基于时刻表的轨道交通网络动态配流模型研究[J]. 系统工程理论与实践，2015，35(5)：1214-1223.

[72] YANG Dongchi， REN Hualing， SI Bingfeng，et al. Research on Schedule-Based Dynamic Traffic Assignment Model for Rail Transit Networks[J]. Systems Engineering—Theory & Practice，2015，35(5)：1214-1223.

[73] 胡剑鹏，罗 霞. 城市轨道交通动态客流分配仿真方法研究[J]. 系统仿真学报，2022，34(3)：512-526.

[74] HU Jianpeng， LUO Xia. Research on the Simulation Method of Urban Rail Transit Feedback Assignment[J]. Journal of System Simulation，2022，34(3)：512-526.

[75] 刘 源. 基于AFC数据的城市轨道交通客流分配方法研究[D]. 北京：北京交通大学，2019.

[76] CANCA D， ANDRADE-PINEDA J L， DE LOS SANTOS A，et al. The Railway Rapid Transit Frequency Setting Problem with Speed-Dependent Operation Costs[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2018，117：494-519.

[77] KHANI A. An Online Shortest Path Algorithm for Reliable Routing in Schedule-Based Transit Networks Considering Transfer Failure Probability[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2019，126：549-564.

[78] 林 湛，蒋明青，刘剑锋，等. 城市轨道交通客流分配的改进Logit模型及方法[J]. 交通运输系统工程与信息，2012，12(6)：145-151.

[79] LIN Zhan， JIANG Mingqing， LIU Jianfeng，et al. Improved Logit Model and Method for Urban Rail Transit Network Assignment[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2012，12(6)：145-151.

[80] 许心越，谢兰诗雨. 诱导信息下城市轨道交通乘客路径选择行为研究[J]. 交通运输系统工程与信息，2022，22(3)：63-73.

[81] XU Xinyue， XIE Lanshiyu. Route Choice Behavior of Urban Rail Transit Passengers Based on Guidance Information[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2022，22(3)：63-73.

[82] 颜 研. 基于无缝换乘的城市轨道交通客流分配研究[D]. 成都：西南交通大学，2015.

[83] 苏光辉. 数据驱动的城市轨道交通网络时空客流推演及管控方法研究[D]. 北京：北京交通大学，2023.

[84] 赵烈秋，孔繁钰. 基于GA的城市轨道交通客流分配问题[J]. 后勤工程学院学报，2008，24(2)：106-110.

[85] ZHAO Lieqiu， KONG Fanyu. Using GA to Solve Passenger Flow Assignment Problem for Urban Rail Transit[J]. Journal of Logistical Engineering University，2008，24(2)：106-110.

[86] 费 爽. 基于乘客对路网熟悉程度的城市轨道交通客流分配研究[D]. 北京：北京交通大学，2019.

[87] 乔 珂，赵 鹏，秦志鹏. 基于乘客类别的轨道交通网络乘客路径选择[J]. 北京交通大学学报，2012，36(6)：102-106.

[88] QIAO Ke， ZHAO Peng， QIN Zhipeng. Route Choice Based on Passenger Classification for the Urban Mass Transit Network[J]. Journal of Beijing Jiaotong University，2012，36(6)：102-106.

[89] 张永生，姚恩建，代洪娜. 成网条件下地铁换乘量预测方法研究[J]. 铁道学报，2013，35(11)：1-6.

[90] ZHANG Yongsheng， YAO Enjian， DAI Hongna. Transfer Volume Forecasting Method for the Metro in Networking Conditions[J]. Journal of the China Railway Society，2013，35(11)：1-6.

[91] RAVEAU S， MUÑOZ J C， DE GRANGE L. A Topological Route Choice Model for Metro[J]. Transportation Research Part A：Policy and Practice，2011，45(2)：138-147.

[92] GUO Z. Mind the Map！ The Impact of Transit Maps on Path Choice in Public Transit[J]. Transportation Research Part A：Policy and Practice，2011，45(7)：625-639.

[93] DIJKSTRA E W. A Note on Two Problems in Connexion with Graphs[J]. Numerische Mathematik，1959，1(1)：269-271.

[94] FLOYD R W. Algorithm 97：Shortest Path[J].Communications of the ACM，1962，5(6)：345.

[95] 李树彬，高自友，林 勇，等. 大规模交通网络实时路径搜索算法研究[J]. 交通运输系统工程与信息，2009，9(5)：141-147.

[96] LI Shubin， GAO Ziyou， LIN Yong，et al. Real-Time Path Searching Algorithm for Large Traffic Network[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2009，9(5)：141-147.

[97] HOFFMAN W， PAVLEY R. A Method for the Solution of the Nth Best Path Problem[J]. Journal of the ACM，1959，6(4)：506-514.

[98] YEN J Y. Finding the K Shortest Loopless Paths in a Network[J]. Management Science，1971，17(11，Theory Series)：712-716.

[99] MARTINS E， PASCOAL M， SANTOS J. Deviation Algorithms for Ranking Shortest Paths[J]. International Journal of Foundations of Computer Science，1999，10(3)：247-261.

[100] 徐瑞华，罗 钦，高 鹏. 基于多路径的城市轨道交通网络客流分布模型及算法研究[J]. 铁道学报，2009，31(2)：110-114.

[101] XU Ruihua， LUO Qin， GAO Peng. Passenger Flow Distribution Model and Algorithm for Urban Rail Transit Network Based on Multi-Route Choice[J]. Journal of the China Railway Society，2009，31(2)：110-114.

[102] WONG S C， TONG C O. Estimation of Time-Dependent Origin-Destination Matrices for Transit Networks[J]. Transportation Research Part B：Methodological，1998，32(1)：35-48.

[103] XU W T， HE S W， SONG R，et al. Finding the K Shortest Paths in a Schedule-Based Transit Network[J]. Computers & Operations Research，2012，39(8)：1812-1826.

[104] 周玮腾，韩宝明. 城市轨道交通网络时变路径搜索算法[J]. 北京交通大学学报，2017，41(4)：115-122.

[105] ZHOU Weiteng， HAN Baoming. Temporal Path Searching Algorithm of Urban Rail Transit Network[J]. Journal of Beijing Jiaotong University，2017，41(4)：115-122.

[106] RAJABI-BAHAABADI M， SHARIAT-MOHAYMANY A， BABAEI M，et al. Multi-Objective Path Finding in Stochastic Time-Dependent Road Networks Using Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm[J]. Expert Systems with Applications，2015，42(12)：5056-5064.

[107] CHEN P， TONG R， YU B，et al. Reliable Shortest Path Finding in Stochastic Time-Dependent Road Network with Spatial-Temporal Link Correlations：A Case Study from Beijing[J]. Expert Systems with Applications，2020，147：113192.

[108] ZHANG Y L， SHEN Z J MAX， SONG S J. Lagrangian Relaxation for the Reliable Shortest Path Problem with Correlated Link Travel Times[J]. Transportation Research Part B：Methodological，2017，104：501-521.

[109] WANG L， ZHANG Y， ZHAO X，et al. Irregular Travel Groups Detection Based on Cascade Clustering in Urban Subway[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2020，21(5)：2216-2225.

[110] 李诚胜. 城市轨道交通票务清分模型的研究[D]. 广州：华南理工大学，2017.

[111] ABDULAAL M， LEBLANC L J. Methods for Combining Modal Split and Equilibrium Assignment Models[J]. Transportation Science，1979，13(4)：292-314.

[112] SHEFFI Y. Urban Transportation Networks：Equilibrium Analysis with Mathematical Programming Methods[M]. New Jersey，USA：Prentice Hall，1985.

[113] 四兵锋，高自友. 交通运输网络流量分析与优化建模[M]. 北京：人民交通出版社，2013.

[114] 翁小雄，汪周盼，黄靖翔. 基于朴素贝叶斯轨道交通网络客流分配模型[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2018，37(6)：110-113，120.

[115] WENG Xiaoxiong， WANG Zhoupan， HUANG Jingxiang. Model of Passenger Flow Assignment in Rail Transit Network Based on Naive Bayes[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University (Natural Science)，2018，37(6)：110-113，120.

[116] 苏焕银，莫尚霖，代慧子. 城市轨道交通拟动态随机用户均衡分配方法[J]. 交通运输系统工程与信息，2025，25(2)：273-281.

[117] SU Huanyin， MO Shanglin， DAI Huizi. Quasi-Dynamic Stochastic User Equilibrium Assignment Method for Urban Rail Transit[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2025，25(2)：273-281.

[118] WU R F， SHI F， ZHAO S，et al. A Dantzig-Wolfe Decomposition-Based Algorithm for Capacitated Passenger Assignment Problem with Time-Varying Demand in High Speed Railway Networks[J]. Transportation Research Part C：Emerging Technologies，2022，145：103909.

[119] TONG C O， WONG S C. A Stochastic Transit Assignment Model Using a Dynamic Schedule-Based Network[J]. Transportation Research Part B：Methodological，1999，33(2)：107-121.

[120] CATS O. Multi-Agent Transit Operations and Assignment Model[J]. Procedia Computer Science，2013，19：809-814.

[121] HASSANNAYEBI E， SAJEDINEJAD A， MARDANI S. Urban Rail Transit Planning Using a Two-Stage Simulation-Based Optimization Approach[J]. Simulation Modelling Practice and Theory，2014，49：151-166.

[122] 李 贺. 城市轨道交通网络动态客流计算方法及实证研究[D]. 北京：北京交通大学，2019.

[123] 林 增. 基于客流时空分布的城市轨道交通列车时刻表优化研究[D]. 北京：北京交通大学，2019.

基金资助

国家自然科学基金项目(72261025)

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(N2023X007)

兰州交通大学-天津大学联合创新基金项目(2021056)