内啮合齿轮泵补偿装置的设计研究

Design of the compensation device for internal gear pump

摘要

目的 补偿装置对高压齿轮泵的设计至关重要，为实现内啮合齿轮泵的压力提升，需对补偿装置进行精确建模。 方法 在分析径向补偿机理的基础上，详细分析装置在过渡区的压力分布规律，推导出在一个周期内过渡区的压力分布规律，根据内外月牙块力的平衡条件，建立装置的数学模型。并根据补偿装置中月牙块边界，密封棒、弹簧的分布夹角等设计参数，利用MATLAB程序计算压力补偿腔的夹角范围，最后进行试验研究。 结果 在排量为 101.2 mL/r，压力为 20.2 MPa，转速为 1 800 r/min条件下，补偿腔夹角为 30.12°，泵的容积效率可达 93.6%。 结论 泵运行过程无异常，无卡滞“抱死”的现象，补偿装置设计有效。

Abstract

Objective The compensation device is very important for the design of high-pressure gear pump. In order to increase the pressure of internal gear pump, it is necessary to accurately model the compensation device. Method In this study, based on the analysis of the radial compensation mechanism, the pressure distribution law of the device in the transition area in a cycle was analyzed and deduced in details, and then the mathematical model of the device was established according to the conditions of balancing the force of inner-outer crescent blocks.Finally, according to the design Parameters, which included the pressure boundary line, the distribution angle of the sealing rod, the spring, the installation angle and other parameters, the angle of the compensation cavity was calculated by MATLAB programming. Result Our results showed that the volumetric efficiency of the pump could reach 93.6% with the conditions of displacement of 101.2 mL/r, pressure of 20.2 MPa, rotation speed of 1 800 r/min, and the displacement angle of 30.12° in the crescent block.【Conlusion】 The design of the compensation device was effective since there was no abnormality in the whole running process and no "locked death" phenomenon of the sports assistant.

Graphical abstract

关键词

内齿轮泵 / 补偿装置 / 月牙块 / 平衡设计

Key words

internal gear pump / compensation device / crescent block / balance design

内啮合齿轮泵具有结构紧凑、体积小、噪音小、流量脉动小等特点，广泛应用于工业装备中，再加其吸入性能好、能量密度高和转化效率高等优点，适用于如动力系统、转向系统和变速系统等液压回路。因径向不平衡力的存在^［1］，使内啮合齿轮泵在压力提升方面受到制约，其压力与柱塞泵相比仍存在差距，因此高压内啮合齿轮泵的开发与设计仍是当前齿轮泵领域重要的研究方向^［2］。

为进一步提升内啮合齿轮泵的压力，国内外学者提出两种思路，一种致力于如何直接降低径向不平衡力的研究，典型的工作可参见文献^［3-4］；另一种是建立静压补偿槽结构抵消径向不平衡力，参见文献^［5-6］。因直接降低径向不平衡力并不能完全到零，往往与静压补偿结构结合使用。按此思路设计的补偿装置，其结构呈异型且受到过渡区多个动态的复杂压力影响^［7-8］，难以建立准确的数学模型。文献［9-10］对其外表面压力分布流场进行了仿真研究，文献［11-12］对静压装置的润滑性能进行了实验研究，然其工程设计指导性不强。鉴于此，本文旨对内啮合齿轮泵径向补偿机制的计算模型展开深入探讨。

1 工作原理及关键技术参数

内啮合齿轮泵在直径方向实现间隙补偿机理如图1所示。外齿轮1逆时针旋转通过齿槽和轮齿的啮合带动内齿轮2同向转动，在中轴线右侧形成吸油腔 P_o，在中轴线左侧形成排油腔P_h，高低压区由隔离装置分开。隔离装置由静止不动的止位销10、浮动的外月牙块9和内月牙3块组成。外月牙块9外表面与内齿轮2齿顶圆契合，内月牙块2内表面与外齿轮1齿顶圆契合。第一挡板弹簧5、第一密封棒6、第二挡板弹簧7、第二密封棒8设置于外月牙块的内表面和内月牙块外表面之间，使其分割出Ⅰ区、Ⅱ区和Ⅲ区。通过矩形压簧4把排油腔P_h高压引入到Ⅰ区。在隔离装置的外表面从高压区P_h到低压区P_o分布有依次递减的过渡压力。通过合理的布置第一挡板弹簧5、第一密封棒6、第二挡板弹簧7、第二密封棒8和矩形压簧4的位置使月牙块在直径方向上具有补偿量，可以弥补隔离装置与齿轮副之间表面磨损。可见，内啮合齿轮泵压力提升的关键是实现高压力下补偿装置的平衡，既要防止平衡不力造成泄漏增大容积效率下降，又要防止平衡过度破坏油膜层造成磨损灼伤。

2 过渡区压力分布

隔离装置过渡区齿槽轮齿交错均匀间隔分布^［13-14］，每个轮齿齿顶圆与月牙块外表面存在微小缝隙^［15-16］。假使各微小缝隙在圆周上处处相等，轮齿正常运转时各密封环节牢靠不发生泄漏，且传递介质为不可压缩液体。如图2所示，由齿轮结构知，轮齿在齿顶圆上的中心夹角为{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}（{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}），齿槽在齿顶圆上的中心夹角为{\theta }_{\mathrm{1}}″({\theta }_{\mathrm{2}}″)，高压腔压力为P_h，低压区压力为P_o，月牙内（外）表面在过渡区有n_{\mathrm{1}}（n_{\mathrm{2}}）个齿槽轮齿，则每个轮齿顶圆与月牙外表面的缝隙压力呈线性分布^［17］，每个齿槽与月牙外表组成的腔体内压力处处相等。O_{\mathrm{1}}{O}_{\mathrm{2}}N为压力边界线，V\left(W\right)点为齿轮顶圆上的任意点，则在O_{\mathrm{1}}V(O_{\mathrm{2}}W)转过内（外）月牙表面过程中，压力分布规律根据文献^［18］可以表达为如下公式：

轮齿与外牙外表间缝隙压力为^［19］：

P_{\mathrm{隙}}=P_O+\frac{\mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\text{'}}}{\sum \theta \mathrm{\text{'}}}{P}_h.（1）

齿槽与外牙外表的腔体压力为：

P_{\mathrm{槽}}=P_O+\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\sum \theta \mathrm{\text{'}}}{P}_h.（2）

隔离装置过渡区的压力分布为^［20］：

P_g=P_{\mathrm{隙}}+P_{\mathrm{槽}}.（3）

\mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\text{'}}为所求点与压力边界间所有齿顶对应的圆心角之和，\mathrm{\Delta }\theta为所求齿槽与压力边界间所有齿顶对应的圆心角之和，\sum \theta \text{'}为月牙表面在过渡区所有齿顶对应的圆心角之和。

3 隔离装置的设计

3.1 外月牙块的受力

以外月牙块为研究对象进行力的分析如图3所示，外表面LH\mathrm{\text{'}}段受到过渡区压力，力的方向始终指向圆心O_{\mathrm{2}}；H\mathrm{\text{'}}J段受高压液压力，方向与H\mathrm{\text{'}}J段垂直；JE段Ⅰ区油腔引入高压油P_h，在直径方向上外推月牙，力的方向始终指向圆心O_{\mathrm{2}}；LN段受到止位销的支反力，力的方向始终与压力边界线垂直；Ⅱ、Ⅲ区为低压区，F点受过圆心的矩形压簧4弹力F_{N\mathrm{1}}；E点、D点受垂直于挡板弹簧力的弹力；内齿轮顶圆半径r_{O\mathrm{2}}，外齿轮顶圆半径r_{O\mathrm{1}}，齿轮厚度为b，外月牙块在直径方向上的厚度为d，内外月牙块之间理论间隙为\mathrm{\Delta }，挡板弹簧的位置角度为\epsilon、\delta；压力边界线与X轴的角度为{\alpha }_{\mathrm{0}}，第二密封棒距压力边界线的中心角为{\alpha }_{\mathrm{1}}，第一密封棒距第二密封棒的中心角为{\alpha }_{\mathrm{2}}，第一挡板弹簧距第一密封棒的中心角为{\alpha }_{\mathrm{3}}，弧LH\mathrm{\text{'}}为n_{\mathrm{2}}({\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)。

分段进行分析：

LH\mathrm{\text{'}}段：

过渡区压力以转过一个齿槽和轮齿呈周期性的变化。先以一个齿槽在齿顶圆的端点R为始点，以R点刚转到外月牙块边界H\mathrm{\text{'}}J段的H\mathrm{\text{'}}点为初始位置，在转过一个齿槽在齿顶圆周上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\right)过程中，内齿轮与外月牙块间的过渡区包含有n_{\mathrm{2}}个轮齿，(n_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})个齿槽，i为第i个齿槽（轮齿），上月牙块的任意点V与圆心O_{\mathrm{2}}的连线O_{\mathrm{2}}V与x轴的夹角为\alpha，O_{\mathrm{2}}V在扫过整个月牙区({\alpha }_{\mathrm{0}}\le \alpha \le {\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})时LH\mathrm{\text{'}}的压力为齿槽与轮齿间隙的合力表示为：

\begin{array}{l}{F}_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}x}=F_{\mathrm{槽}}(\alpha )+F_{\mathrm{隙}}(\alpha )\\ =r_{o\mathrm{2}}b({\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}}Pocos\alpha d\alpha +{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+(n_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}{P}_{h}cos\alpha da+{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{i}{n_{\mathrm{2}}}(P_h-Po)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha da)\\ +{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}{P}_h{r}_{o\mathrm{2}}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha da\end{array}（4）

\begin{array}{l}{F}_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}y}=F_{\mathrm{槽}}(\alpha )+F_{\mathrm{隙}}(\alpha )=r_{o\mathrm{2}}b({\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}}Posin\alpha d\alpha +{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+(n_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}{P}_{h}sin\alpha da+{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{i}{n_{\mathrm{2}}}(P_h-Po)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha da)\\ +{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}{P}_h{r}_{o\mathrm{2}}b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha da\end{array}（5）

再以一个轮齿在齿顶圆的端点K为始点，以K点刚转到外月牙块边界H\mathrm{\text{'}}L段的H\mathrm{\text{'}}点为初始位置，在转过一个齿槽在齿顶圆周上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{2}}\left({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″\right)过程中，内齿轮与外月牙块间的过渡区包含有(n_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})个轮齿，n_{\mathrm{2}}个齿槽，则LH\mathrm{\text{'}}在过渡区的压力为：

\begin{array}{l}{F}_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{2}x}=F_{\mathrm{槽}}(\alpha )+F_{\mathrm{隙}}(\alpha )\\ ={\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{2})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}{P}_h{r}_{o\mathrm{2}}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha da+{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}[Po+\frac{\alpha -{\alpha }_{\mathrm{0}}-(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}(P_h-Po)]r_{o\mathrm{2}}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha da\end{array}（6）

\begin{array}{l}{F}_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{2}y}=F_{\mathrm{槽}}(\alpha )+F_{\mathrm{隙}}(\alpha )\\ ={\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{2})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\theta }_{\mathrm{2}}+(i-\mathrm{1})({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″)}\frac{(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}-{\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}{P}_h{r}_{o\mathrm{2}}b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha da+{\sum }_{i=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}[Po+\frac{\alpha -{\alpha }_{\mathrm{0}}-(i-\mathrm{1}){\theta }_{\mathrm{2}}″}{n_{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}}(P_h-Po)]r_{o\mathrm{2}}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha da\end{array}（7）

H\mathrm{\text{'}}J段：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(H\mathrm{\text{'}}J)X}=P_h{r}_{o\mathrm{2}}({\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})\\ F_{(H\mathrm{\text{'}}J)Y}=P_h{r}_{o\mathrm{2}}({\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})\end{array}\right..（8）

LN段：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(LN)X}=F_{(LN)}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{0}}\\ F_{(LN)Y}=F_{(LN)}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{0}}\end{array}\right..（9）

矩形压簧弹力为F_{N\mathrm{1}}：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(N\mathrm{1})X}=F_{(N\mathrm{1})}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}})\\ F_{(N\mathrm{1})Y}=F_{(N\mathrm{1})}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}})\end{array}\right..（10）

第一挡板的弹簧力为F_{N\mathrm{2}}：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(N\mathrm{2})X}=F_{(N\mathrm{2})}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+\epsilon )\\ F_{(N\mathrm{2})Y}=F_{(N\mathrm{2})}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+\epsilon )\end{array}\right..（11）

第二挡板的弹簧为F_{N\mathrm{3}}：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(N\mathrm{3})X}=F_{(N\mathrm{3})}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\epsilon )\\ F_{(N\mathrm{3})Y}=F_{(N\mathrm{3})}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+\epsilon )\end{array}\right..（12）

那么，外月牙块所受的外推力合力可表示为：

F_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}+F_{(H\mathrm{\text{'}}J)X}+F_{(LN)X}+F_{(N\mathrm{1})X}+F_{(N\mathrm{2})X}+F_{(N\mathrm{3})X}（13）

\mathrm{}{F}_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}+F_{(H\mathrm{\text{'}}J)Y}+F_{(LN)Y}+F_{(N\mathrm{1})Y}+F_{(N\mathrm{2})Y}+F_{(N\mathrm{3})Y}（14）

式中：在转过一个齿槽时{\theta }_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\right) 上式脚标为1，即F_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\mathrm{外}\mathrm{1}X}，F_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\mathrm{外}\mathrm{1}Y}，F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}X}，F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}Y}；继续转过一个轮齿时{\theta }_{\mathrm{2}}\left({\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\le {\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{2}}″\right)，上式脚标为2，即F_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\mathrm{外}\mathrm{2}X}，F_{\mathrm{外}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\mathrm{外}\mathrm{2}Y}，F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{2}X}，F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(LH\mathrm{\text{'}}\right)\mathrm{2}Y}。

3.2 内月牙的受力

如图4所示，以内月牙块为研究对象进行力的分析，内表面AB段受到过渡区压力，力的方向始终通过圆心O_{\mathrm{1}}；BC段受到止位销的支反力，力的方向始终与压力边界线垂直；AI段受高压液压力，方向与AI段垂直；IH段受高压液压力，方向指向圆心O_{\mathrm{2}}；HG段受液压力，方向与HG段垂直；F_{N\mathrm{1}}、F_{N\mathrm{2}}、F_{N\mathrm{3}}的大小与外月牙相同方向相反。

分段进行分析：

AB段：

分别以一个齿槽在齿顶圆的端点M为始点，转过一个齿槽，对应圆心角为{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}})；以一个轮齿在齿顶圆的端点Q为始点，在转过一个齿槽，对应圆心角为{\theta }_{\mathrm{1}}\left({\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{1}}″\right)。月牙上的任意点W与圆心O_{\mathrm{1}}的连线O_{\mathrm{1}}W与X轴的夹角为\beta，O_{\mathrm{1}}W在扫过整个月牙区({\beta }_{\mathrm{0}}\le \beta \le {\beta }_{\mathrm{0}}+{\beta }_{\mathrm{1}})时AB的压力为齿槽与轮齿间隙的合力，与上述2.1相似可以推出F_{(AB)X}，F_{(AB)Y}。

BC段：

F_{(BC)}为销支反力。

AI段：

在\mathrm{\Delta }{O}_{\mathrm{1}}{O}_{\mathrm{2}}A中运用正弦定理

\begin{array}{l}\frac{O_{\mathrm{2}}A}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{1}}}=\frac{e}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{O}_{\mathrm{1}}A{O}_{\mathrm{2}}}\\ =\frac{r_{O\mathrm{1}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1.5}\pi -{\alpha }_{\mathrm{1}}-{\alpha }_{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{3}}-{\alpha }_{\mathrm{4}}-{\alpha }_{\mathrm{5}})}\end{array}.（15）

得，AI=r_{O\mathrm{2}}-O_{\mathrm{2}}A故

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(AI)X}=P_h\times AI\times d\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}})\\ F_{(AI)Y}=P_h\times AI\times d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}})\end{array}\right..（16）

IH段：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(IH)X}={\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}}}{P}_h\times r_{o\mathrm{2}}\times {\alpha }_{\mathrm{5}}\\ \times b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ F_{(IH)Y}={\int }_{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}}^{{\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{5}}}{P}_h\times r_{o\mathrm{2}}\times {\alpha }_{\mathrm{5}}\\ \times b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \end{array}\right.（17）

HG段：

\left\{\begin{array}{l}{F}_{(HG)X}=P_{h}bd(r_{o\mathrm{2}}-d-\mathrm{\Delta })\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{0}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})\\ F_{(HG)Y}=P_{h}bd(r_{o\mathrm{2}}-d-\mathrm{\Delta })\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{0}}\\ +{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})\end{array}\right..（18）

那么，内月牙块所受的外推力合力可表示为：

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}+F_{(AI)X}+F_{(IH)X}+F_{(HG)X}\\ +F_{(BG)X}+F_{(N\mathrm{1})X}+F_{(N\mathrm{2})X}+F_{(N\mathrm{3})X}\end{array}.（19）

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}+F_{(AI)Y}+F_{(IH)Y}+F_{(HG)Y}\\ +F_{(BG)Y}+F_{(N\mathrm{1})Y}+F_{(N\mathrm{2})Y}+F_{(N\mathrm{3})Y}\end{array}.（20）

式中：在转过一个齿槽时{\theta }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}})，上式的脚标为1，即F_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\mathrm{内}\mathrm{1}X}，F_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\mathrm{内}\mathrm{1}Y}，F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(AB\right)\mathrm{1}X}，F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(AB\right)\mathrm{1}Y}；在继续转过一个轮齿时{\theta }_{\mathrm{1}}\left({\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\le {\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}+{\theta }_{\mathrm{1}}″\right)，上式的脚标为2，即F_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\mathrm{内}\mathrm{2}X}，F_{\mathrm{内}\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\mathrm{内}\mathrm{2}Y}，F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})X}=F_{\left(AB\right)\mathrm{2}X}，F_{\left(AB\right)\mathrm{1}(\mathrm{2})Y}=F_{\left(AB\right)\mathrm{2}Y}。

3.3 设计计算

齿轮泵工作时为减小径向泄漏量要保证内外月牙块始终契合齿顶圆，且为防止月牙块与齿轮过度卡滞“抱死”，月牙外表面与齿轮间必须具有润滑属性^［21-22］，补偿腔的压力又不能设计太小或太大，故需要合理设计补偿装置中内外月牙块形成补偿腔JE段的角度\alpha \mathrm{\text{'}}(\alpha \mathrm{\text{'}}={\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}})。JE段的补偿力大小相等方向相反，在高压齿轮泵设计中力F_{N\mathrm{1}}、F_{N\mathrm{2}}、F_{N\mathrm{3}}远小于过渡区中的液压力^［23］。故在建立约束规划时，可以忽略F_{N\mathrm{1}}、F_{N\mathrm{2}}、F_{N\mathrm{3}}的大小，求得F_{(LN)}、F_{(BC)}。齿轮泵正常运转时内外月LN、BC端始终贴紧止位销，即满足F_{(LN)}\ge \mathrm{0}，F_{(BC)}\ge \mathrm{0}。将其值代入公式（13）、（14）、（19）、（20），求得内外月牙块在转过一齿槽和一轮齿时对应的X，Y分量。一个周期内分别求得其平均值，\overline{F_{\mathrm{外}X}}、\overline{F_{\mathrm{外}Y}}、\overline{F_{\mathrm{内}X}}、\overline{F_{\mathrm{内}Y}}。求得内外月牙块的外推力和F_{\mathrm{内}}=\sqrt[]{{(\overline{F_{\mathrm{内}X}})}^{\mathrm{2}}+{(\overline{F_{\mathrm{内}Y}})}^{\mathrm{2}}}，F_{\mathrm{外}}=\sqrt[]{{(\overline{F_{\mathrm{外}X}})}^{\mathrm{2}}+{(\overline{F_{\mathrm{外}Y}})}^{\mathrm{2}}}。

建立的目标函数为：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[\left|F_{\mathrm{外}}-P_h(r_{O\mathrm{2}}-d)b\alpha \mathrm{\text{'}}\right|+\left|F_{\mathrm{内}}-P_h(r_{O\mathrm{2}}-d)b\alpha \right|]\\ s.t.F_{LN}\ge \mathrm{0},F_{BC}\ge \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\le \alpha \mathrm{\text{'}}\le {\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}\end{array}\right.（21）

4 试验研究

以福州大学液压件厂的IPFY系列内啮合齿轮泵为试验对象（图5），理论排量为101.2 mL/r，额定压力为20 Mpa。其设计参数为：齿轮模数m=3，外齿轮齿数Z_{\mathrm{1}}=13，内齿轮齿数Z_{\mathrm{2}}=19，压力角为20°，齿宽厚度b=41 mm，外齿轮变位系数{\xi }_{\mathrm{1}}=0.432，内齿轮移距系数{\xi }_{\mathrm{2}}=0.553，齿轮副中心距e=9.253 mm，齿顶高系数h_a^{\mathrm{*}}=1 mm，顶隙系数c^{\mathrm{*}}=0.25 mm，外月牙厚度d=2.6 mm，内外月牙块的初始间隙\mathrm{\Delta }=0.3 mm，压力分界线的初始角度{\alpha }_{\mathrm{0}}={\beta }_{\mathrm{0}}=90°，内齿轮齿顶圆半径r_{o\mathrm{1}}=23.8 mm，外齿轮齿顶圆半径r_{o\mathrm{2}}=27.15 mm，外齿轮齿槽在齿顶圆上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\text{'}}=25°，外齿轮齿顶在齿顶圆上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{1}}″=2.7°，内齿轮齿槽在齿顶圆上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{\text{'}}=13.8°，内齿轮齿顶在齿顶圆上对应的圆心夹角{\theta }_{\mathrm{2}}″=5.1°，外月牙边界弧长对应的圆心角{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}=75.6°，内月牙边界弧长对应的圆心角{\beta }_{\mathrm{1}}=83.1°，第一挡板与第二挡板弹簧安装角度为\epsilon =\mathrm{30.9}°，\delta =18.4°，取F_{N\mathrm{1}}=F_{N\mathrm{2}}=F_{N\mathrm{3}}= 250 N，且取{\alpha }_{\mathrm{1}}={\alpha }_{\mathrm{2}}，{\alpha }_{\mathrm{3}}={\alpha }_{\mathrm{4}}。采用MATLAB编程计算内、外月牙块在转过一个齿槽和一个轮齿的过程中外推力F_{\mathrm{外}}、F_{\mathrm{内}}随角度的变化曲线如图5所示。图中可见，内、外月牙块在齿轮啮合旋转过程中所受外推力呈周期分布，转过一个齿槽的过程中斜率较小，力随转角的变化较为平稳，脱开齿槽后，进入轮齿旋转阶段，外推力有个突增过程，转过一个轮齿，外推力又呈线性下降。利用优化工具fminbnd对目标函数进行约束优化，解析得到\alpha \mathrm{\text{'}}=\mathrm{29.3}°。计算出的角度\alpha \mathrm{\text{'}}对应补偿压力如图5虚线部所示。补偿装置的合力为平均值，因角度压力固定，受力呈水平直线分布。因在优化过程中忽略了弹簧力，故通过多次试验，调整角度为\alpha \mathrm{\text{'}}=\mathrm{30.12}°，{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{18.5}°，{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{27}°，此刻实际值对应补偿腔的压力如图5所示，实测角度对应图中直线部分。图中可见，调整角度后月牙块实际的受力比（5）计算值大，因补偿装置要始终保持贴合内、外齿轮顶部，防止内泄。

内外月牙的材质为铍青铜，密封棒的材质为填加25%石墨的四氟乙烯，挡板弹簧材质为SiCrMo。在采用L-HM46液压油，入口压力为0.13 Mpa，出口压力为20.2 Mpa，试验油温为（50±4）℃，额定转速为1 800 r/min的环境条件下，通过《JB/T 7041-2006-液压齿轮泵》进行跑合试验，其容积效率可达93.6 % ，内外月牙的表面均无异常磨损痕迹。

5 结论

1） 以高压内啮合齿轮泵的径向补偿装置为研究对象，对内、外月牙块进行受力分析，在齿轮转一齿的周期内建立了设计模型，据此进行fminbnd约束优化可得到补偿腔夹角，及挡板弹簧、密封棒和矩形压簧的角度位置。

2） 绘制内、外月牙块的液压外推力随旋转角度的变化曲线，在转过一个齿槽时，外推力呈线性增大，转过一个轮齿时，外推力呈直线下降趋势。

3） 该内啮合齿轮在输出压力为20.2 MPa、转速1 800 r/min时，补偿腔夹角为\alpha \mathrm{\text{'}}=\mathrm{30.12}°时，其输出效率为93.6% ，运转正常，无卡滞“抱死”的现象，通过实际算例验证了该模型的可行性和正确性。

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[19] 下转第 219 页）

基金资助

福建省自然科学基金-引导性项目(2020H0026)

福建省教育科学“十四五”规划课题(FJJKBK21-031)

福建省教育教改项目(FBJG20200100)

福建江夏学院项目(JXZ2021015)

福建江夏学院项目(J2021B024)

福建江夏学院项目(J2021B002)