基于最优伪维格纳-维尔分布方法的载荷谱编辑研究

Research on Load Spectrum Editing Based on Optimal Pseudo Wigner-Ville Distribution Method

摘要

为提高载荷谱编辑的质量，研究利用伪维格纳-维尔分布（PWVD）方法编辑载荷谱。根据最小聚集性度量参数原理确定载荷谱的最优PWVD矩阵，计算载荷谱的瞬时能量分布并以此为依据删除小损伤载荷，生成压缩后的载荷谱。研究结果表明，基于最优PWVD方法编辑后的载荷谱在统计参数、功率谱密度、雨流计数和疲劳仿真等方面与原始载荷谱计算结果一致，车辆安装点最大载荷力方向（Y向）载荷经PWVD、维格纳-维尔分布（WVD）、S变换和短时傅里叶变换这4种方法编辑后谱的压缩量分别为28.21%、15.02%、19.15%、15.79%，使用编辑后的载荷谱预测寿命与原始载荷谱预测结果相同，因此，利用最优PWVD编辑载荷谱的方法在加速车辆零部件疲劳耐久分析中具有应用潜力。

Abstract

To improve the quality of load spectrum editing， this paper utilized the PWVD method to edit the load spectrums. According to the principle of the minimum clustering metric parameter， the optimal PWVD matrix for the load spectrum was determined， and the instantaneous energy distributions of the load spectrums were calculated， which was used to delete small damage loads and generate a compressed load spectrum. The results show that the edited load spectrum based on the optimal PWVD method is consistent with the original load spectrum calculation results in terms of statistical parameters， power spectral density， rain flow count and fatigue simulation. The compressions of the load spectrum（Y⁃direction） edited by PWVD， Wigner-Ville distribution（WVD）， S transform and short time Fourier transform are as 28.21%， 15.02%， 19.15% and 15.79%， respectively. The predicted life of the edited load spectrum is the same as that of the original load. Therefore， the method of utilizing the optimal PWVD to edit the load spectrum has the potential for applications in accelerating the fatigue durability analysis of vehicle components.

Graphical abstract

关键词

载荷谱编辑 / 时频变换 / 伪维格纳-维尔分布 / 疲劳分析

Key words

load spectrum editing / time-frequency conversion / pseudo Wigner-Ville distribution（PWVD） / fatigue analysis

Author summay

刘秀梅，女，1982年生，教授。研究方向为流体传动与控制、智能悬架及控制。E-mail：[e-mail]。罗云龙^*（通信作者），男，2001年生，硕士研究生。研究方向为流体传动与控制。E-mail：[e-mail]。

姚凌云^*（通信作者），男，1983年生，教授、博士研究生导师。研究方向为振动噪声控制、汽车CAE技术。发表论文30余篇。E-mail：[e-mail]。

0 引言

车辆零部件的耐久性分析是确保车辆在长期使用中保持性能和安全性的重要环节。在汽车产品开发过程中，对零部件进行疲劳试验分析是必不可少的。然而，传统方法直接将测试所得载荷谱数据作为输入进行疲劳耐久性分析，这会显著降低疲劳试验的效率，因此，对实测载荷谱信号进行合理的编辑从而压缩其时间长度，可以有效地提高疲劳试验的效率、节约实验成本以及缩短开发周期等。

目前，针对载荷谱的编辑方法有时域载荷谱编辑法和频域载荷谱编辑法两种。在时域编辑方法中，YU等^［1］提出一种二维时域阈值的编辑方法，成功地将一段模拟的道路试验载荷谱信号压缩了近33%，并且在台架试验中验证了该方法的正确性。多轴时域编辑法中，ZHOU等^［2］提出一种考虑不同相位的多轴载荷谱编辑方法，根据提出的多轴雨流投影滤波将输入的多通道时域数据进行多轴滞后滤波，提取其中的小疲劳片段，保留剩余部分， 并成功地将试验场获得的6通道时域数据进行时域压缩。

在频域载荷谱编辑方法中，朱茂桃等^［3］利用短时傅里叶变换（short-time Fourier transform，STFT）对汽车载荷谱进行编辑，通过识别不同信号片段的累计功率谱密度并以此为依据判断对零件的损伤贡献量，利用离散傅里叶变换点数为256时的计算结果，实现了对汽车动力总成后拉杆悬置X向的载荷谱压缩24.58%。YAO等^［4］采用小波变换的方法对多轴载荷谱进行40级小波分解，并根据包络线损伤法识别多轴载荷谱中对疲劳损伤贡献大的信号片段，拼接信号片段得到多轴编辑后的载荷谱。董国疆等^［5］利用S变换获得载荷谱的时频矩阵，并将矩阵中的最大幅值谱作为识别损伤依据，以统计参数误差不大于15%为判定，将一段六分力原始载荷谱的等效应变信号压缩了46.67%。YANG等^［6］提出将维格纳-维尔分布（Wigner-Ville distribution， WVD）方法用于载荷谱的编辑，通过计算载荷谱的WVD矩阵，从矩阵中获得载荷谱的瞬时能量分布，并对其划分阈值、识别低能量片段以实现载荷谱的编辑。

然而，WVD时频变换方法计算多分量信号时必然产生交叉干扰项^［7-8］，这会导致载荷谱编辑质量较低。相比之下，伪维格纳-维尔分布（pseudo Wigner-Ville distribution， PWVD）时频变换法具有较高的时频分辨率和有效抑制交叉项的优点。目前，PWVD时频变换方法已广泛地用于故障定位、信号处理和信号监测等^［9-10］。基于上述理论研究，本文利用最优PWVD方法编辑载荷谱来实现压缩载荷谱的时长，并验证该算法的可行性。通过计算某SUV右前下控制臂前悬置点Y向路试载荷谱的最优PWVD矩阵，获取载荷谱的瞬时能量分布并以此为依据删除小损伤载荷，最终生成最优PWVD方法编辑后的载荷谱。对比了最优PWVD、WVD、S变换和STFT方法编辑后的载荷谱，从时间压缩比例、统计参数、功率谱密度、雨流计数和疲劳仿真试验等方面验证了利用最优PWVD方法的载荷谱编辑具有合理性和高效性。

1 基于最优PWVD方法的载荷谱编辑

1.1 伪维格纳-维尔分布

维格纳-维尔分布（WVD）是一种典型的二次非线性分布，信号的WVD可以看作其能量在时域和频域中的分布。将随机信号x（t）的瞬时自相关函数定义为

r_x(t,\tau )=x(t+\frac{\tau }{\mathrm{2}})x^{\mathrm{*}}(t-\frac{\tau }{\mathrm{2}})（1）

式中：x^{\mathrm{*}}为x的复共轭；t为时移；τ为延迟变量。

信号x（t）的WVD是瞬时自相关函数r_x （t，τ）关于变量τ的傅里叶变换^［11］，因此随机信号x（t）的WVD计算公式如下：

D_{\mathrm{W}\mathrm{V},x}(\tau ,f)=

{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t+\frac{\tau }{\mathrm{2}})x^{\mathrm{*}}(t-\frac{\tau }{\mathrm{2}})\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\mathrm{i}\mathrm{2}\mathrm{\pi }f\tau )\mathrm{d}\tau（2）

式中：f为频率变量。

根据卷积定理，多分量信号的WVD必然产生交叉项^［6-7］，进而产生虚假信号。一个含有N个分量的信号将产生N（N-1）/2个交叉项，从而会降低信号WVD的时频聚集性。为减少交叉项的干扰，在自相关函数中引入核函数作为内积，以此抑制交叉项的产生。当核函数为窗函数h（τ）时，将伪维格纳-维尔分布（PWVD）定义为对WVD进行加窗处理^［11］，PWVD公式如下：

D_{\mathrm{P}\mathrm{W}\mathrm{V},x}(\tau ,f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t+\frac{\tau }{\mathrm{2}})x^{\mathrm{*}}(t-\frac{\tau }{\mathrm{2}})·

h(\tau )\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\mathrm{i}\mathrm{2}\mathrm{\pi }f\tau )\mathrm{d}\tau（3）

PWVD作为一种能量型时频分析，与其他时频分析相比有许多优点。其中，PWVD的能量分布特性被定义为PWVD关于时间和频率的双重积分（即信号的总能量E^［12］），其表达式如下：

E=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{D}_{\mathrm{P}\mathrm{W}\mathrm{V},x}(\tau ,f)\mathrm{d}\tau \mathrm{d}f（4）

当窗函数取h（τ）=1时，由式（3）可知PWVD将转变成WVD，因此，窗函数直接影响信号时频变换的准确性。为度量时频变换的准确性，引入时频聚集性度量参数M_p，且该值越小代表时频变换精度越高^［13］。当时频变换结果满足式（4）时，可推出PWVD时频聚集性度量参数的计算公式为

M_{\mathrm{p}}={({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|D_{\mathrm{P}\mathrm{W}\mathrm{V},x}(t,f){|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t\mathrm{d}f)}^{\mathrm{2}}（5）

其离散形式可表示为

M\mathrm{p}={({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^m}|D_{\mathrm{P}\mathrm{W}\mathrm{V},x}(t,f){|}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}})}^{\mathrm{2}}（6）

式中：m为载荷信号包含的频率分量数；n为采样时间点的总数；k为频率积分点；i为时间积分点。

1.2 最优PWVD方法的载荷谱编辑流程

利用最优PWVD方法对随机载荷谱进行时频变换需要先获得载荷谱的最优PWVD二维实值矩阵，根据矩阵计算载荷谱瞬时能量分布并对其划分最优阈值；瞬时能量越小的位置，代表此位置载荷对零部件损伤越小；通过删除小损伤和无损伤的载荷，以实现原始载荷谱在时间上的缩短。编辑载荷谱的基本流程如图1所示，其具体步骤如下：

1）输入预处理后的载荷谱信号x（t），将信号归一化到零均值，再将归一化后的信号通过希尔伯特变换转成解析信号z（t），以消除负频率的影响。

2）本文选用汉明窗函数以减少能量扩散，从而提高时频聚集性。计算解析信号z（t）的PWVD，生成一个二维实值矩阵 B，其表达式如下：

\mathit{B}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m\mathrm{1}}& a_{m\mathrm{2}}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]（7）

式中：a_{mn}为信号在时间n和频率m处的瞬时能量密度。

3）保留矩阵 B 中的非负部分^［13］，根据式（5）计算矩阵的M_p；改变汉明窗函数的窗宽，重新计算新矩阵的M_p；绘制M_p随窗宽变化的曲线，得出最小M_p值时的最优窗宽和最优PWVD矩阵。

4）信号的WVD沿频率轴的积分等于该信号在t时刻下的瞬时功率|x(t){|}^{\mathrm{2}}，其计算表达式如下：

|x(t){|}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{D}_{\mathrm{W}\mathrm{V},x}(\tau ,f)\mathrm{d}f（8）

将步骤3）计算得出的最优PWVD矩阵代入式（8），即将PWVD矩阵沿频率轴进行累积，本文定义累计结果为载荷谱的瞬时能量分布（instantaneous energy distribution，IED）D_IE，其表达式如下：

D_{\mathrm{I}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{D}_{\mathrm{P}\mathrm{W}\mathrm{V},x}(\tau ,f)\mathrm{d}f（9）

5）设置损伤定位阈值，阈值过小会导致删除的载荷片段小，编辑效果不明显；阈值设置过大则会导致删除片段较多，数据将失效。将统计参数误差作为判断依据，定位载荷谱的IED中低于阈值的部分，删除对应载荷谱片段，得到经最优PWVD方法编辑后的PWVD编辑谱。

2 载荷谱编辑实例研究

2.1 实测载荷谱预处理

对某SUV底盘的实测载荷谱数据进行编辑前需要对数据进行预处理。底盘零部件载荷数据包含了铺装和非铺装路面的6类行驶工况，考虑到实测数据中Y方向载荷远大于X和Z方向载荷，因此，本节选择受力最大的右前下控制臂悬置点Y向载荷谱（LCA_Right_Front_Y）进行编辑。为得到信号的频率信息，对实测载荷谱进行傅里叶变换得到频谱图，如图2所示。实测载荷谱的频谱图得出路面激励主要包含40 Hz以内的信号，因此，对数据进行50 Hz低通滤波、去毛刺、去漂移处理^［14］，并根据奈奎斯特采样定理进行256 Hz重采样。最终得到预处理后的载荷谱如图3所示。

2.2 基于最优PWVD方法的实测载荷谱编辑

对悬置点Y向载荷谱进行如下编辑过程：

1）将悬置点Y向载荷谱归一化到零均值并进行希尔伯特变换。

2）由图2可知，实测载荷谱的频率分量主要集中在40 Hz以内，为能完全计算载荷谱的频率信息，计算PWVD时设置频率分量参数m=50。根据式（3）和式（6）改变汉明函数的窗宽，得出不同窗宽对应PWVD的M_p，绘制M_p随窗宽变化的曲线，见图4。当窗宽为51时M_p值最小，因此，本文以汉明窗函数窗宽为51进行计算，从而得到载荷谱的最优PWVD二维实值矩阵。

3）根据式（9），将得到的最优PWVD矩阵沿列方向累积，得到实测载荷谱瞬时能量分布。在疲劳数据编辑技术中，均方根和峰度的计算对保持信号行为的原创性非常重要^［15］，现有的评价变幅试验结果的ISO标准要求载荷谱的统计误差应控制在15%以内。基于以上要求，计算出编辑前后载荷谱的均方根值和峰度系数误差不大于15%时，最优识别阈值为5.74×10⁷ N²，绘制阈值划分和载荷谱瞬时能量（即第i个时间积分点的能量E_i ）分布，如图5所示。

4）定位能量分布中低于5.74×10⁷ N²的位置信息，删除原始载荷谱中对应位置的载荷片段，保留剩下的片段得到编辑后的载荷谱，PWVD编辑谱如图6所示，原始载荷谱由112 s缩短为79.55 s。

使用STFT、S变换（ST）和WVD时频变换方法进行实测载荷谱编辑。STFT窗口宽度采用给出的参考值256^［3］，S变换最大频率和最小频率分别设置为50 Hz和0 ^［5］，WVD设置频率成分为50 Hz^［6］。最优阈值选取的边界条件与所获得PWVD编辑谱的条件相同，最终得出经STFT方法、S变换方法、WVD方法编辑后的时间依次为95.15 s、90.55 s、96.23 s，采用三种方法编辑载荷谱后的结果如图7所示。

2.3 编辑方法的合理性验证

零部件加速耐久性测试的准确性和真实性由编辑后载荷谱的质量决定，为验证最优PWVD方法对Y向实测载荷谱编辑具有合理性，需要对比编辑后的载荷谱与原始载荷谱的相关参数，合理性分析参数参考如下：统计参数分析、功率谱密度（power spectral density，PSD）分析和雨流计数分析^［16］。

1）统计参数分析。统计参数分析包括均值、均方根和峭度系数。一组数据中大量的小值数被删除必然会引起均值的剧烈变化，因此实际工程应用中通常要求编辑前后载荷谱的均方根值和峭度系数误差在15%内 ^［16-17］。经4种方法编辑后的载荷谱统计参数误差见表1。研究结果表明，4种编辑方法得到的载荷谱满足工程的要求。因为小载荷片段被删除，所以会导致PWVD编辑谱的均值变大，表1数据中PWVD编辑谱的均值和均方根值与原始载荷相比均有增大，符合实际。统计参数分析验证了PWVD编辑谱与原始载荷谱具有较高的相似性。

2）PSD分析。功率谱密度反映的是信号在不同频率下的能量分布情况^［18-20］，通过对比编辑前后载荷谱的PSD分布，能直观地感受载荷谱的能量变化和频率分布情况。经4种方法编辑后的载荷谱和原始载荷谱的PSD曲线见图8。PSD曲线表明实测载荷谱的能量主要集中在20 Hz以内，并且4种方法编辑后载荷谱的PSD分布与原始信号PSD分布走势一致。由于编辑后的载荷谱比原始载荷谱的时间更短，因此，编辑后载荷谱中载荷的能量值会增大^［18］。图8表明经最优PWVD方法编辑后载荷谱的时间压缩量最大，其曲线应处于上方，原始谱曲线应处于下方，图8中曲线符合实际。通过PSD对比分析验证了经最优PWVD方法编辑后的载荷谱与原始载荷谱的频域特征保持一致。

3）雨流计数分析。在工程设计和计算中，雨流计数能将复杂的载荷数据转换为一系列的循环和均值信息^［20］。利用雨流计数得出PWVD编辑前后载荷谱的均值和循环信息，如图9所示。编辑后的载荷谱中幅值小于1000 N的循环数明显减少，对比图9a和图9b可得出PWVD编辑谱的最大循环数从原始332次减少为编辑后的260次，表明编辑后载荷谱的小损伤被删除，满足编辑的目的。

2.4 几种编辑后的载荷谱压缩量对比

为验证基于最优PWVD编辑载荷谱的方法具有高效压缩载荷谱的效果，需要对比几种方法编辑不同通道载荷谱的压缩量。对前悬置右下安装点3个通道的载荷谱数据进行压缩分析，通道1、2、3分别对应X、Y、Z轴受力情况，载荷谱数据包含高速路、鹅卵石路、谐振路、归波路、坑洞路、扭转路6类路面。该载荷谱信号能够较为全面地反映车辆行驶过程中的真实情况，因此对其进行压缩编辑并对比分析具有实际意义，压缩效果对比见表2。

表2中数据表明，针对3个通道的不同数据进行多方法编辑时，通道1数据经不同方法编辑后的时间压缩量均较低；通道3数据经编辑后得到的PWVD编辑谱的时间压缩量最大，为29.37%，效果最优。因此，针对不同数据编辑的效果分析可得出，最优PWVD编辑载荷谱的方法具有工程意义。

3 疲劳仿真验证

疲劳仿真分析通过数值计算的方式模拟零部件受到随机载荷作用时的疲劳寿命。本文使用Hyper-Works和nCode软件进行联合计算。根据企业标准1D焊接单元使用weld类型，使用RB2代替螺栓连接。表3统计了网格单元质量。模型中三角形单元占总单元的4.73%；仅翘曲度不合格，比例为3%；工程上一般要求理想网格超过75%，因此，该计算模型的网格质量和网格类型满足工程计算的要求。

在Hypermesh中设置载荷谱测试点Y向的单位静载荷加载，约束安装点的6个方向自由度，应力计算模型如图10所示。

仿真模型的材料参数、网格质量、单元尺寸类型、计算边界条件等符合企业标准，满足工程计算的要求。将得到的图10所示模型计算的应力结果导入nCode软件中搭建疲劳计算流程，疲劳计算理论选择Miner线性损伤准则，并添加材料SAPH440属性到S-N曲线，最终疲劳计算流程如图11所示。

仿真结果如图12所示，得到零件在随机载荷作用下发生疲劳失效的理论循环次数。由仿真结果可知，当PWVD编辑谱循环作用在零部件上3.682×10⁵次时，零件将产生疲劳破坏，与原始载荷谱作用效果相同。

经不同方法编辑后的载荷谱和原始载荷谱的疲劳寿命和误差见表4。研究结果表明，编辑后的载荷谱与原始谱的理论疲劳时间相同，同时满足寿命误差要求，因此，从数值计算的角度分析，基于最优PWVD编辑载荷谱的方法具有理论依据，能用于获取加速疲劳试验的载荷谱。

4 结论

1）利用最优伪维格纳-维尔分布（PWVD）方法编辑载荷谱时，通过计算载荷谱的瞬时能量分布并对其划分最优阈值的方法能够高效地识别小损伤。最优PWVD、维格纳-维尔分布（WVD）、S变换和短时傅里叶变换（STFT）方法编辑某SUV的实测载荷谱时都实现了对时间的压缩。12个编辑后的载荷谱时间压缩结果表明，最优PWVD方法编辑通道3（Z轴）载荷谱的时间压缩量最大，为29.37%。

2）对最优PWVD、WVD、S变换和STFT方法编辑后的载荷谱进行了功率谱密度（PSD）分析、雨流计数和疲劳仿真对比分析。研究结果表明，最优PWVD方法编辑后的载荷谱与原始载荷谱在时域和频域上的一致性高，编辑前后的载荷谱高度相似；nCode仿真结果从数值计算的角度验证了该方法满足工程疲劳寿命误差的要求，表明新方法具有工程应用潜力。

3）最优PWVD方法在编辑载荷谱时能够有效地提高载荷谱编辑的时频变换精度，实现高质量的载荷谱编辑，结合有限元仿真结果，验证了该方法在理论上具有可行性。

本文针对随机信号的编辑方法也可以推广到加速度、应变和应力等信号的编辑处理，为车辆零部件耐久性试验加速提供一种理论方法。

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基金资助

国家自然科学基金(52175121)