连续可调行星齿轮超材料非线性动力学

Nonlinear Dynamics of Continuously Tunable Planetary Gear Metamaterial

摘要

设计了一种基于行星齿轮的连续稳态可调力学超材料。研究了超材料优异的力学可调特性，表明所设计的超材料具有广泛的可编程刚度和显著可调的带隙，分析了可调性与结构参数的配置关系；建立行星齿轮超材料的刚柔耦合非线性动力学模型，通过数值模拟研究行星齿轮超材料在动态调节过程中的动力学特性，探讨耦合激励下系统动力学参数对其分岔特性和稳定性的影响，揭示系统振动响应在耦合参数平面上的分布特征；最后使用改进的非迭代胞映射方法来分析系统的振动响应对初始条件的依赖性。研究结果表明，行星齿轮超材料具有广泛的刚度可调谐性和显著可变的带隙间隔，在内外激励作用下系统表现出丰富的动力学特性，柔性结构的动力特性主要受结构参数的影响，刚性齿轮的动力学特性受多组耦合参数和初始条件的影响。

Abstract

A continuous steady-state metamaterial with tunable mechanics was designed based on planetary gears. The excellent tunable mechanics properties of metamaterials were studied， which showed the designed metamaterials had a wide range of programmable stiffness and a significantly tunning band gap. The configuration relationship between tunability and structural parameters was analyzed. Then， a rigid-flexible coupling nonlinear dynamics model of planetary gear metamaterials was established and the dynamics characteristics of planetary gear metamaterials were explored by numerical simulation in the processes of dynamic tunning. Moreover， the influences of the system dynamic parameters on the bifurcation characteristics and stability were explored under coupling excitations， and the distribution characteristics of the system vibration response with the coupling parameter plane were disclosed. Finally， an improved non-iterative cell mapping method was used to analyze the dependence of the vibration response of the system on the initial conditions. The results show that the planetary gear metamaterials have a wide range of stiffness tunability and significantly variable band gap interval. Under the influences of internal and external excitations， the system exhibits various dynamics characteristics. The dynamics characteristics of flexible construction are mainly affected by structural parameters， and the dynamics characteristics of rigid construction are affected by multiple sets of coupling parameters and initial conditions.

Graphical abstract

Author summay

莫帅^*（通信作者），男，1987年生，教授、博士研究生导师。研究方向为齿轮超材料。E-mail：[e-mail]。

pp.2509-2517

0 引言

力学超材料自提出至今，学者们已围绕仿生、折纸、手性等开展了大量研究工作^［1-3］，在此基础上，通过对单元结构与尺寸进行优化，具备改进力学性能的超材料展现出了重大的工程应用前景。

ZHANG等^［4］对折纸结构进行了重新设计，得到了负载能力强、开关力小的双稳态折纸超材料；MIZZI等^［5］通过控制平面五边形的尺寸，设计出一种二维多状态手性力学超材料，并研究了结构参数对其泊松比的影响；WEI等^［6］受金属原子和骨细胞的启发，设计了一种强度和韧性平衡的力学超材料。

近年来，力学可调超材料的设计应用等引起了广泛关注，这类力学超材料或借助4D打印技术使原有胞元重构^［7］，或在设计中引入内置可调性元件，通过主动或被动方式使得原有结构发生转变，进而获得可变力学性能。FLEISCH等^［7］通过引入额外的几何自由度，构建一种具有可调法向剪切变形和刚度的手性力学超材料；LI等^［8］通过在各向同性元件中添加具有非常规机械性能的微小单元，设计了一种具有负热膨胀系数和负泊松比的特殊调谐机械超材料；TAO等^［9］利用水凝胶的溶胀特性驱动复合结构弯曲，获得了带隙可调的三维力学超材料，表明该超材料的力学性能可以根据结构的演变作出积极快速的响应。

齿轮长期以来被应用于传动领域，尽管设计、制造技术成熟，但很少有其他用途，相较于上述所提的几类力学可调超材料，以齿轮为核心设计超材料显著简化了单元胞的设计流程，同时齿轮具有形式多变、可编程性强、动态稳定性好等优势，可为其齿轮超材料的开发与应用提供基础。MEEUSSEN等^［10］、FANG等^［11］成功引入齿轮元素作为超材料的内置可变单元；MO等^［12-13］在此基础上对齿轮超材料力学可调性进行分析，开发出一系列齿轮基连续稳态力学超材料，并设计出相应工程应用结构。

对于力学可调超材料，除了上述的设计制造、静力学分析外，对超材料进行动力学建模以及分析系统动力学特性具有重要意义。由于齿轮的引入，齿轮力学可调超材料需要应对多边的内外部激励，系统响应复杂，其动态特性往往由多个参数控制以及系统初始条件共同决定^［14-15］。李卉等^［16］建立了一种手性惯容超材料扭转动力学模型，研究它在瞬态和稳态下的振动抑制机理；邱海等^［17］对双胞串联折纸超材料进行动力学建模，发现系统存在多种稳定共存响应，并对系统的吸引域稳定性进行了分析。由此可以得出，此类超材料具有动态调节能力，在复杂的应用场景中可能产生复杂的动力学特性，以往的静力学分析与实际服役场景出入较大，难以为其设计制造提供准确的参考。

为此，本文将研究由行星齿轮构建的连续稳态力学可调超材料在动态调节与外激励共同作用下的非线性动力学特性。首先对行星齿轮超材料的结构原理与力学可调性进行分析，引入Timoshenko梁简化柔性齿圈模型，建立刚柔耦合的行星齿轮超材料动力学模型，着重分析系统几何参数与动力学参数对系统动力学特性的影响。此外，采用二维参数-响应映射与非迭代胞映射法探究系统动力学响应随动力学参数以及初始状态的分布规律，可为行星齿轮超材料的设计与应用提供理论参考。

1 行星齿轮力学可调超材料设计

图1展示了行星齿轮超材料的三维结构与可调力学性能。图1a以普通2K-H行星齿轮为单胞构建齿轮力学超材料，图1b将行星轮数量减少至2，应用行星架保持结构稳定，与图1a中的结构相比，图1b中结构的力学可调范围更大，调节周期是前者的2倍。在此基础上可以得到一般形式的多胞行星齿轮超材料，如图1c所示。图1d所示为单胞行星齿轮超材料实物模型。以图1a中行星齿轮位置为初始角度，定义顺时针为行星齿轮转角正方向，以图1a中的结构为例，图1e计算了该结构的单轴压缩刚度随行星齿轮转角的曲线，最大调节范围可达53倍，基于模态叠加原理计算了四轮单胞在单向变激励的加速度传递率T_r，其计算表达式如下^［18］：

T_{\mathrm{r}}=\mathrm{20}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\frac{A_{\mathrm{2}}}{A_{\mathrm{1}}})（1）

其中，A₂为输出端的振幅，A₁为输入端的振幅。当T_r>0时表示超材料对振动具有放大作用，反之，当T_r<0时则表示当前形态下齿轮超材料具有减振降噪能力，结果如图1f所示。结合图1e和图1f可知，当超材料刚度较大时，带隙少而窄，当刚度减小时，带隙数量增加且带隙宽度增大。

2 行星齿轮超材料动力学建模

2.1 柔性齿圈力学模型

考虑到多个行星齿轮排列堆叠形成超材料时每个行星齿轮通过传动轴串联连接，传动轴与外啮合驱动齿轮相连，从而实现行星齿轮位置的统一变化。此时，太阳齿轮的支撑由传动轴提供，在受载状态下超材料的变形主要来源于齿圈，在动态成形过程中将环形齿轮简化为环形梁，将环形齿轮视为柔性体，梁受一般边界条件约束，采用有限元法进行求解。考虑含有剪切应变的Timoshenko梁模型^［19］，其变形模式可表示为

\left.\begin{array}{l}U(\theta ,z,t)=u(\theta ,t)+z\varphi (\theta ,t)\\ W(\theta ,z,t)=w(\theta ,t)\end{array}\right\}（2）

式中：U、W分别为梁模型的面内位移和弯曲挠度；u（θ，t）、w（θ，t）分别为梁上任意位置处的面内位移和弯曲挠度；\varphi（θ，t）为横向法线上的运动方程；θ、z分别为梁上中性层的轴向和切向运动方程；t为时间步长。

梁上任意位置处的法向应变ε和切向应变γ可分别表示为

\epsilon =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+z/R}({\epsilon }_{\mathrm{0}}+z\chi )（3）

\gamma =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+z/R}{\gamma }_{\mathrm{0}}（4）

式中：ε₀、γ₀、χ分别为梁上基准面的法向应变、剪切应变、曲率变化；R为曲梁半径。

梁上的应力应变关系根据Kristhenko梁模型可表示为

\left[\begin{array}{l}{N}_{\theta }\\ Q_{\theta }\\ M_{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{11}}& D_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& A_{\mathrm{55}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\epsilon }_{\theta }\\ {\chi }_{\theta }\\ {\gamma }_{\theta }\end{array}\right]（5）

{\epsilon }_{\theta }=\frac{\partial u}{R\partial \theta }+\frac{w}{R},{\chi }_{\theta }=\frac{\partial \varphi }{R\partial \theta },{\gamma }_{\theta }=\frac{\partial w}{R\partial \theta }-\frac{u}{R}+\varphi（6）

式中：N_θ 、Q_θ 、M_θ 分别为轴向力、弯曲力与弯曲力矩；A₁₁、B₁₁、D₁₁、A₅₅均为刚度矩阵的系数，其计算过程见文献［19］；ε_θ 、χ_θ 、γ_θ 分别为与轴向相关的法向应变、曲率变化、剪切应变。

据此可以得到曲梁在局部坐标系下的单元质量矩阵 M_e和单元刚度矩阵 K_e，全局坐标系下曲梁单元的质量矩阵{\overline{\mathit{M}}}_{\mathrm{e}}与刚度矩阵{\overline{\mathit{K}}}_{\mathrm{e}}可分别表示为

\left.\begin{array}{l}{\overline{\mathit{M}}}_{\mathrm{e}}={\mathit{R}}_{\mathbf{e}}^{\mathbf{T}}{\mathit{M}}_{\mathrm{e}}\\ {\overline{\mathit{K}}}_{\mathrm{e}}={\mathit{R}}_{\mathbf{e}}^{\mathbf{T}}{\mathit{K}}_{\mathrm{e}}\end{array}\right\}（7）

式中：{\mathit{R}}_{\mathrm{e}}为局部坐标系转换为全局坐标系的变换矩阵，矩阵值见文献［19］。

为求解曲梁的质量矩阵与刚度矩阵，采用三节点高阶拉格朗日插值函数N_i （ξ）表示曲梁在振动过程中的位移场，其表达式如下：

u={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{N}_i(\xi )u_i,w={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{N}_i(\xi )w_i,\varphi ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{N}_i(\xi ){\varphi }_i（8）

式中：u_i\mathrm{、}{w}_i\mathrm{、}{\varphi }_i分别为在每一插值函数下的面内位移、弯曲挠度、横向法线上的位移。

借助能量法将位移场 δ 与刚度矩阵 K_e和质量矩阵 M_e联系起来，即

U_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{\delta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}_{\mathbf{e}}\mathit{\delta }{T}_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{\delta }}^{\mathrm{T}}{\mathit{M}}_{\mathbf{e}}\mathit{\delta }（9）

U_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\theta }(N_{\theta }\epsilon +M_{\theta }\gamma +Q_{\theta }\chi )R\mathrm{d}\theta（10）

T_{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\theta }({\overline{I}}_{\mathrm{0}}{(\frac{\partial u}{\partial t})}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\overline{I}}_{\mathrm{1}}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial \varphi }{\partial t}+{\overline{I}}_{\mathrm{2}}{(\frac{\partial \varphi }{\partial t})}^{\mathrm{2}}+{\overline{I}}_{\mathrm{0}}{(\frac{\partial w}{\partial t})}^{\mathrm{2}})R\mathrm{d}\theta（11）

式中：U_e、T_e分别为曲梁振动过程中的动能和应变能；{\overline{I}}_{\mathrm{0}}\mathrm{、}{\overline{I}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\overline{I}}_{\mathrm{2}}为惯性项，具体计算式见文献［19］。

为验证所提方法的正确性，将单元质量矩阵与单元刚度矩阵进行组装，得到曲梁整体的质量矩阵 M_b与刚度矩阵 K_b。利用本文得到的刚度矩阵与质量矩阵求解曲梁的固有频率，并将结果与ANSYS仿真得到的结果进行对比，如表1所示，可知两种方法的最大误差小于5%，由此验证了所提方法的合理性。

2.2 行星齿轮非线性动力学模型

在动态调节过程中，刚性齿轮的振动不可忽略，齿轮引入的非线性激励是影响系统稳定性的重要因素。由于行星齿轮超材料为旋转对称结构，故将齿轮系统动力学建模过程分为两个步骤：①将行星齿轮的周期性啮合过程转化为载荷沿环形齿轮运动的过程，由此可表征出行星齿轮超材料在动态调节过程中行星齿轮对柔性齿圈的时变支撑关系；②重新考虑由齿轮系统引入的时变非线性因素。需要注意的是，步骤①中移动载荷的移动速度应与行星齿轮转动速度相同，其中行星齿轮的啮合频率ω_m=2πn_cz_r/60，其中n_c为行星架的转速，z_r为齿圈的齿数。基于势能法可求得行星齿轮系统各级齿轮副的时变啮合刚度，上述过程描述的动力学模型如图2所示。

将行星齿轮系统的广义坐标 X 表示为

\mathit{X}=(x_{\mathrm{p}\mathrm{1}},y_{\mathrm{p}\mathrm{1}},u_{\mathrm{p}\mathrm{1}},x_{\mathrm{p}\mathrm{2}},y_{\mathrm{p}\mathrm{2}},u_{\mathrm{p}\mathrm{2}},x_{\mathrm{s}},y_{\mathrm{s}},u_{\mathrm{s}},x_{\mathrm{r}},y_{\mathrm{r}},u_{\mathrm{r}})（12）

式中：x、y、u分别为齿轮的横向、纵向和扭转位移；下标s、p、r分别表示胞元中的太阳轮、行星轮和齿圈；下标1、2为行星轮标号。

齿圈动节点与行星轮的相对位移为

{\delta }_{\mathrm{r}\mathrm{p}n}=(x_{\mathrm{r}}-x_{\mathrm{p}n})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_n+(y_{\mathrm{r}}-y_{\mathrm{p}n})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_n+u_{\mathrm{r}}-u_{\mathrm{p}n}-e_{\mathrm{r}\mathrm{p}n}（13）

太阳轮与行星轮的相对位移为

{\delta }_{\mathrm{s}\mathrm{p}n}=(x_{\mathrm{p}n}-x_{\mathrm{s}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_n+(y_{\mathrm{p}n}-y_{\mathrm{s}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_n+u_{\mathrm{p}n}-u_{\mathrm{s}}-e_{\mathrm{s}\mathrm{p}n}（14）

式中：下标n为胞元行星轮的编号，n=\mathrm{1,2}；α_n 为啮合角；e_rpn 、e_spn 分别为齿圈-行星轮齿轮副和太阳轮-行星轮齿轮副的传递误差。

齿间啮合力可表示为

F_{\mathrm{n}}=K(t)f({\delta }_{\mathrm{n}})+C\frac{\mathrm{d}{\delta }_{\mathrm{n}}}{\mathrm{d}t}（15）

式中：K（t）为齿轮啮合的时变啮合刚度；f（δ_n）为传递误差函数，δ_n为齿间相对位移；C为啮合阻尼。

由此，系统的振动微分方程以矩阵形式可表示为

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{M}}_{\mathrm{b}},{\mathit{M}}_{\mathrm{g}})\ddot{\mathit{X}}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{C}}_{\mathrm{b}},{\mathit{C}}_{\mathrm{g}})\dot{\mathit{X}}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{K}}_{\mathrm{b}},{\mathit{K}}_{\mathrm{g}})\mathit{X}=\mathit{F}（16）

{\mathit{C}}_{\mathrm{b}}=p{\mathit{K}}_{\mathrm{b}}+q{\mathit{M}}_{\mathrm{b}}

式中： C_b为曲梁整体的阻尼矩阵，其中元素取值使用Rayleigh模型；p、q为阻尼系数； M_g、 K_g、 C_g分别为齿轮模型的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵； F 为外载荷矩阵。

3 行星齿轮超材料非线性动力学特性

3.1 柔性齿圈非线性振动特性

假设系统初始状态下的位移、速度均为0，齿轮参数见表2，利用数值积分求解系统的振动响应，首先分析了柔性齿圈在不同外激励F下的振动响应，结果如图3所示。为研究不同齿圈结构参数对齿圈振动的影响，图4给出了R-b平面内齿圈的最大位移幅值，结果表明，齿宽b减小、半径R增大时的振动更为显著。

3.2 动态调节下行星齿轮超材料振动特性

3.2.1 外激励对系统振动特性的影响

为研究外激励F对刚性齿轮振动特性的影响，选取行星轮的稳定振动响应进行分析，图5给出了行星轮振动位移最大值随外激励F的波动情况，可以看出，外激励F=10 N下行星轮最大振动位移随径向载荷移动并产生20%的波动。此外，利用变步长Runge-Kutta计算并绘制图6所示的行星轮振动随F变化的分岔图，可以看到，随着F逐渐增大，行星轮振动位移由一点逐渐增大，并有向外扩散的趋势，表明外载荷对齿轮的振动具有激励作用。

3.2.2 扭转阻尼对系统振动特性的影响

为探究系统的动力学参数对其振动特性及其稳定性的影响，以太阳轮上的扭转阻尼c_us为对象，图7给出了c_us位于［15，60］ N·s/mm时齿轮的振动位移相轨迹演化过程。图8绘制了c_us位于［15，60］ N·s/mm区间内系统振动位移的分岔图，结合图9所示的最大李雅普诺夫指数（largest Lyapunov exponent，LLE）可以发现，系统振动特性随扭转刚度c_us变化表现出丰富的动力学特性，包括分岔、混沌、跳跃等，尽管系统在移动载荷下没有标准的周期运动，但在［23.8，53］ N·s/mm之外的区间内仍表现出稳定解。

3.2.3 支撑阻尼对系统振动特性的影响

保持系统的动力学参数不变，继续研究支撑阻尼c_s对其动力学特性的影响，图10展示了当c_s取值为2、5 N·s/mm时系统表现出的两种不同的运动状态，即一种混沌运动与三周期运动。图11绘制了c_s位于［1，28］ N·s/mm时系统振动的分岔图，结合图12中对应的LLE图可以观察到，系统振动随c_s变化交替出现分岔和混沌，并表现出多种分岔状态，尽管从整体上看，增大支撑阻尼c_s有助于系统保持稳定解，但分岔混沌交替演化过程较为漫长，仅当c_s>120 N·s/mm时（图中未画出），系统才进入稳定解，因此增大c_s有助于提高系统稳定性，但效率较低。

4 行星齿轮超材料振动分布特性

4.1 耦合参数平面振动分布特性

为更清晰地展示系统在耦合参数c_us和c_s下的振动特性演化规律，捕捉系统在多关联参参数下可能出现的多种复杂动力学响应，图13对比了支撑阻尼 c_s取值为20、35、50、65 N·s/mm四种情况下系统振动随扭转阻尼c_us的分岔图，可以看出，增大c_s有利于系统远离混沌状态，进而提前进入得到稳定解，但同时也要注意到，当c_us较小时增大c_s会使原有的分岔状态逐渐转化为混沌状态。由此可知，对系统单个动力学参数进行调节有可能使系统向欠稳定的状态转化。

将c_s和c_us所组成的平面区域离散成150×150的胞元，求解每个胞元对应的稳定解，并用不同颜色对稳定解进行区分，得到的参数-响应映射关系如图14所示，其中P1代表稳定周期解，CH代表混沌运动状态，P2（1）、P2（2）分别代表两种不同的分岔状态，其相应的振动响应用图15中相同颜色的相轨迹进行匹配，可以得出系统振动状态沿着参数平面左下角向右上角逐渐演化至稳定。

4.2 系统吸引域分布与全局演化特性

非线性系统的振动特性不仅与系统参数有关，往往还与系统初始状态密不可分。为研究行星齿轮超材料系统振动特性对初始条件的依赖性，在图8的基础上改变系统初始条件，得到刚性齿轮全局分岔特性如图16所示，当扭转阻尼c_us位于［18.2，21.8］ N·s/mm时，振动连续跳跃，振动中存在两个二周期的响应。为揭示系统全局性态演化规律，将相平面划分为200×200的子单元，采用非迭代胞映射算法求解每个子单元的振动响应，选取稳定共存周期解并对其分布特性进行判断。如图17所示，随着c_us从18.2 N·s/mm增大至20 N·s/mm再增大至21.4 N·s/mm，深蓝色区域分布逐渐扩宽，表明该过程中较大振动响应逐渐占据主体，其发生概率从36.26%变化到56.45%再到70.98%。

5 试验验证

为对所建模型中的行星齿轮动力学模型进行验证，根据相似性原理搭建了图18所示的行星齿轮箱振动试验台。该试验台主要由交流异步电动机、动态转矩传感器、行星齿轮箱、多通道数据采集器和压电式振动加速度传感器组成，分别与太阳轮和行星轮相连，通过多通道数据采集器相连对振动信号进行处理与传输。试验中，振动加速度传感器灵敏度为100 mV/g（g为重力加速度），电机转速为600 r/min，采样频率为10 kHz，提取行星齿轮箱上各齿轮的振动信号，舍弃试验结果中0~500 ms内不稳定信号，并与数值模拟振动加速度信号进行对比，其中行星齿轮上振动加速度的比较结果如图19所示，太阳齿轮上的振动加速度的对比结果如图20所示。对比分析结果表明，所建立的行星齿轮动力学模型与试验结果吻合较好，验证了行星齿轮动力学模型的有效性。

6 结论

齿轮力学超材料在动态控制和减振领域具有重大前景，通过使用可广泛编程的齿轮部件，极大简化了设计过程。分析结果表明，所设计的超材料具有显著的动态控制性能和大幅可调力学性能，零件的互换性允许实现其承载能力和力学性能的调控，使其易于在工程领域应用。行星齿轮的动力学模型考虑了各种结构力和边界，分析了结构参数和动态参数对系统动态特性的影响，并研究了系统动态特性随系统参数和初始状态之间的关系，为行星齿轮超材料的开发和利用提供理论参考，主要结论如下：

1）所设计的行星齿轮单元超材料表现出连续的大范围力学性能，其刚度调节范围超过50倍，带隙分布在2000 Hz以上，超材料的承载和可调性与行星轮的数量直接相关，通过配置部分元件可以直接完成超材料的重新设计。

2）行星齿轮超材料在快速调节过程中表现出丰富的动态响应，柔性齿圈的振动随结构参数的变化呈现非线性增大或减小趋势，刚性齿轮在受到内外激励耦合后，其动力学特性不再表现出一周期运动，但仍表现出经典的分岔和混沌现象。

3）刚性齿轮的整体振动波动随着外部激励F的增大而加剧，F=10 N引起20%的齿轮最大振动波动，振动响应同时取决于系统的动态参数和系统的初始状态，两种分岔状态的分布和发生概率与系统动力学参数密不可分，当扭转阻尼c_us位于［18，21.8］ N·s/mm中时系统的振动连续跳跃。增大系统的阻尼和刚度通常有利于系统远离混沌，但增大支撑阻尼c_s对系统稳定性的提升效果远小于增大扭转阻尼c_us时的提升效果。

参考文献

[1] ZHENG X， LEE H， WEISGRABER T， et al. Ultralight， Ultrastiff Mechanical Metamaterials［J］. Science， 2014， 344（6190）： 1373-1377.

[2] 王海瑞， 申薛靖， 王宙恒， 等. 折纸超材料折展稳态特性研究［J］.力学学报，2022，54（10）： 2726-2732 .

[3] WANG Hairui， SHEN Xuejing， WANG Zhou-heng， et al. Study on Folding Stability of Origami Metamaterials［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2022， 54（10）： 2726-2732.

[4] 宋毅帆， 杨楠. 由折痕构建的扭转-吸能结构的形变与力学行为研究［J］. 机械工程学报， 2022， 58（17）： 125-134

[5] SONG Yifan， YANG Nan. Deformation and Mechanical Behavior of Torsional Energy Absorbing Structures Constructed by Folding Creases［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2022， 58（17）： 125-134.

[6] ZHANG Lei， PAN Fei， MA Yong， et al. Bistable Reconfigurable Origami Metamaterials with High Load-bearing and Low State-switching Forces［J］. Extreme Mechanics Letters， 2023， 63： 102064.

[7] MIZZI L， GRASSELLI L， SPAGGIARI A， et al. Design of Isotropic 2D Chiral Metamaterials Based on Monohedral Pentagonal Tessellations［J］. Thin-Walled Structures， 2023， 187： 110739.

[8] WEI Yuling， YANG Qingsheng， LIU Xia， et al. Multi-bionic Mechanical Metamaterials： a Composite of FCC Lattice and Bone Structures［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2022， 213： 106857.

[9] FLEISCH M， THALHAMER A， MEIER G， et al. Chiral-based Mechanical Metamaterial with Tunable Normal-strain Shear Coupling Effect［J］. Engineering Structures， 2023， 284： 115952.

[10] LI Z， GAO W， KESSISSOGLOU N， et al. Multifunctional Mechanical Metamaterials with Tunable Double-negative Isotropic Properties［J］. Materials & Design， 2023， 232： 112146.

[11] TAO Ran， CHEN Yu， ZHI Geng， et al. Three-phase Soft Mechanical Metamaterials for Tunable Negative Expansion Deformation and Bandgaps［J］. Composite Structures， 2024， 329： 117808.

[12] MEEUSSEN A， PAULOSE J， VITELLI V. Geared Topological Metamaterials with Tunable Mechanical Stability［J］. Physical Review X， 2016， 6（4）： 041029.

[13] FANG X， WEN J， CHENG L， et al. Programmable Gear-based Mechanical Metamaterials［J］. Nature Materials， 2022， 21（8）： 869-876.

[14] MO Shuai， HUANG Xuan， HUANG Zurui， et al. Continuously Tunable Mechanical Metamaterials Based on Gear Cells［J］. Extreme Mechanics Letters， 2024， 67： 102133.

[15] MO Shuai， CHEN Keren， TANG Xu， et al. Metamaterial Design and Continuously Adjustable Mechanical Properties Based on Novel Planetary Gear Trains［J］. Structures， 2023， 58： 105466.

[16] MO Shuai， LIU Yiheng， HUANG Xuan， et al. Nonlinear Vibration and Superharmonic Resonance Analysis of Wind Power Planetary Gear System［J］. Nonlinear Dynamics， 2024， 112： 4085-4115.

[17] 莫帅， 黄轩， 黄祖瑞， 等. 连续多稳态齿轮元胞机械超结构及其力学性能［J］. 中国机械工程， 2025， 36（4）： 857-863.

[18] MO Shuai， HUANG Xuan， HUANG Zurui， et al. Continuous Multi-stable Gear Cell Mechanical Metastructures and Mechanics Properties［J］. China Mechanical Engineering，2025， 36（4）： 857-863.

[19] 李卉， 魏国崇， 姚红良， 等. 手性超材料惯容吸振器的扭转振动抑制研究［J］. 力学学报， 2023， 55（10）： 2252-2260.

[20] LI Hui， WEI Guochong， YAO Hongliang， et al. Research on Torsional Vibration Suppression of Chiral Metamaterial Inerter Dynamic Vibration Absorber［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2023， 55（10）： 2252-2260.

[21] 邱海， 方虹斌， 徐鉴. 多稳态串联折纸结构的非线性动力学特性［J］. 力学学报， 2019， 51（4）： 1110-1121.

[22] QIU Hai， FANG Hongbin， XU Jian. Nonlinear Dynamical Characteristics of a Multi-stable Series Origami Structure［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2019， 51（4）： 1110-1121.

[23] ZHUANG Yaoze， LI Qing， YANG Deqing， et al. Vibration Suppression of Power Cabin for Underwater Vehicle Based on Mechanical Metamaterial Flanges［J］. Ocean Engineering， 2024， 310： 118540.

[24] SARPARAST H， EBRAHIMI-MAMAGHANI A. Vibrations of Laminated Deep Curved Beams under Moving Loads［J］. Composite Structures， 2019， 226： 111262.