新型并联复式活齿传动原理及其啮合特性

New Parallel Compound Movable Tooth Transmission Principle and Its Meshing Characteristics

摘要

单级活齿传动的传动比较小，而串联式活齿传动结构不紧凑且无法实现功率分流传动，为此，提出一种由一级行星齿轮传动和一级平面钢球活齿传动构成的新型并联复式活齿传动装置。介绍了该装置的传动原理及结构，给出了配齿计算方法，推导了双圆弧活齿啮合副齿廓方程，对其啮合特性进行了分析。研究结果表明，该新型传动装置结构紧凑，可获得大传动比，能通过齿数调整实现正反向输出，实现了功率分流传动和“凹-凸”齿接触，具有较高的承载能力，可应用于有大传动比和高功率密度要求的场合。

Abstract

The transmission ratio of single-stage movable tooth transmissions was relatively low，while the series-connected movable tooth transmission structure was lack of compactness and inability to achieve power splitting transmission.Therefore， a novel parallel compound movable tooth transmission device was proposed， which comprised of a primary planetary gear transmission and a planar steel ball movable tooth transmission. The operating principles and structures of this device were introduced， along with the tooth number calculation method. The profile equations of the double-circular-arc tooth profiles were derived， and the analysis of the meshing characteristics was conducted. The results show that this innovative transmission device features a compact structure， enabling a high transmission ratio. By adjusting the number of teeth， the device achieves both forward and reverse output rotation， power splitting transmission， and “concave-convex” tooth contact. It exhibits high load-bearing capacity and is suitable for applications requiring large transmission ratios and high power density.

Graphical abstract

Author summay

莫帅^*（通信作者），男，1987年生，教授、博士研究生导师。研究方向为齿轮超材料。E-mail：[e-mail]。

雷恒毅，男，2000年生，硕士研究生。研究方向为精密传动。E-mail：[e-mail]

杜雪松^*（通信作者），男，1970年生，副教授。研究方向为智能机器人精密传动技术。E-mail：[e-mail]。

0 引言

目前在机器人、医疗设备、航空航天等领域需要大传动比和高功率密度减速器，单级活齿传动难以满足上述要求，一些学者提出采用复式活齿传动来解决上述问题。陈仕贤等^［1］提出一种一级定轴齿轮传动和一级全滚动活齿传动相串联的复式活齿传动装置，尽管该装置采用了定轴齿轮传动难以实现大传动比，但为后续的研究者提供了思路。杨玉虎等^［2］提出了一种复式圆柱正弦端面活齿传动装置，该装置由一级行星齿轮传动和一级一齿差钢球活齿传动串联而成，其特点是刚度大、承载能力强、传动平稳，缺点是结构复杂、质量较大、未能实现功率分流传动。XU等^［3］提出了一种封闭主动轴式平面二级活齿减速装置，该装置由两级偏心平面钢球活齿传动并联而成，制造工艺和装配难度较大，传动精度难以保证。WEI等^［4］提出了一种串联偏心激波复式活齿传动装置，该装置由一级行星传动和一级滚动活齿传动串联而成，可实现大传动比，但理论上最多可实现一半活齿参与啮合，故承载能力受限。孙宇军^［5］基于平面活齿传动结构提出了串联式双级平面活齿减速装置，该装置具有较大的传动比和较高的承载能力，但因其两级激波器均有偏心量存在，故加工、装配难度较大。

综上所述，串联复式活齿传动装置虽可实现大传动比，但空间利用率不高，且无法实现功率分流传动，齿形大都采用“平-凸”齿接触，难以适配高功率密度的应用场景，制约了该装置在工程中的推广。本文提出了一种新型并联复式活齿传动，该型传动第一级为行星齿轮传动，第二级为平面钢球活齿传动，通过将内齿圈-激波器活齿动盘、行星架-活齿保持架固连实现两级传动的运动耦合，实现了大传动比和功率分流传动，并在活齿级采用双圆弧齿形避免齿廓干涉，以实现“凹-凸”齿接触，在提高该装置承载能力的同时减小了体积和质量。

1 新型并联复式活齿传动原理及配齿计算

1.1 传动原理及结构

并联复式活齿传动装置的传动原理如图1所示。它包括输入级NGW行星传动和输出级平面钢球活齿传动，行星传动包括太阳轮、行星轮、内齿圈和行星架，活齿传动包括激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘、活齿和活齿保持架。太阳轮为输入构件，活齿保持架为输出构件，将行星传动的内齿圈与活齿传动的激波器活齿动盘固连，同时将行星架与活齿保持架固连，实现轮系的封闭，保证机构的自由度为1。动力通过太阳轮输入后，一部分通过行星架直接传递到活齿保持架，另一部分通过内齿圈传递到激波器活齿动盘，各分流功率在活齿保持架上合流输出，实现了功率分流。输出级采用平面钢球式活齿传动，其空间利用率高，也易于制造和装配。

1.2 传动比计算

第一级行星轮系在转化轮系中的传动比i_{\mathrm{13}}^{\mathrm{H}}为

i_{\mathrm{13}}^{\mathrm{H}}=\frac{n_{\mathrm{1}}-n_{\mathrm{H}}}{n_{\mathrm{3}}-n_{\mathrm{H}}}=-\frac{Z_{\mathrm{3}}}{Z_{\mathrm{1}}}（1）

式中：Z₁为太阳轮齿数；Z₃为内齿圈齿数；n₁为太阳轮转速；n₃为内齿圈转速；n_H为行星架转速。

当中心轮活齿定盘固定，激波器活齿动盘和活齿保持架分别为输入和输出构件时，第二级活齿在转化轮系中的传动比i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}为^［6］

i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}=\frac{n_{\mathrm{J}}}{n_{\mathrm{G}}}=\frac{Z_{\mathrm{G}}}{Z_{\mathrm{G}}-Z_{\mathrm{K}}}（2）

式中：Z_G为活齿齿数；Z_K为中心轮活齿定盘齿数；n_J为激波器活齿动盘转速；n_G为活齿保持架转速。

由于内齿圈和激波器活齿动盘固连，行星架与活齿保持架固连，故n₃=n_J，n_H=n_G，则总传动比i_{\mathrm{1}\mathrm{G}}为

i_{\mathrm{1}\mathrm{G}}=\frac{n_{\mathrm{1}}}{n_{\mathrm{H}}}=\mathrm{1}-\frac{Z_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{K}}}{Z_{\mathrm{1}}(Z_{\mathrm{G}}-Z_{\mathrm{K}})}（3）

由式（3）可知，只要减小活齿与中心轮活齿定盘的齿数之差就能获得较大的传动比；当Z_G>Z_K时，输出轴与输入轴转向相反，当Z_G<Z_K时输出轴与输入轴转向相同，通过齿数的调整可实现输出反向这一特性，从而提高了该装置的灵活性。

1.3 配齿计算

第一级行星传动的配齿计算可参考文献［7］。第二级活齿传动配齿时，除了满足传动比条件，还需要满足齿差条件、 动平衡条件和活齿正确啮合条件。

1） 齿差条件。对于活齿传动，为获得大传动比，齿差数通常为1~3，由于二齿差结构理论上具有质量完全平衡的特点，故本文推荐选用二齿差结构，齿差条件为

Z_{\mathrm{K}}=Z_{\mathrm{G}}\pm \mathrm{2}（4）

2）动平衡条件。本文所述装置激波器活齿动盘轨道是标准椭圆，故其自身是平衡的，只需保证活齿的个数为偶数（对称分布于活齿级），就可以保证系统动平衡条件。若活齿个数取奇数，则系统平衡条件只能在特定位置处实现，故不推荐选奇数个活齿。

3）双圆弧齿形正确啮合条件。为提高活齿级传动的承载能力，本文采用双圆弧齿形。双圆弧齿形啮合时可以保证齿廓曲面的最小曲率半径大于零，避免了中心轮活齿定盘齿廓干涉的情况。在活齿与定盘轨道啮合的一个运动周期中实现“凹-凸”齿接触，为保证活齿和双圆弧轨道正确啮合，需保证在内接触时活齿轨道啮合点处主曲率小于活齿主曲率，在活齿级传动中轨道曲面主曲率是关于传动比的函数，故可以求出满足正确啮合条件的活齿数范围计算公式：

\frac{\mathrm{1}}{r}-k_{\mathrm{f}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}})\ge \mathrm{0}（5）

式中：k_{\mathrm{f}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}})为轨道啮合点处的主曲率；r为活齿半径。

综上，在给定激波器活齿动盘刀具轨道基本尺寸和总传动比的情况下，先分配两级传动比，再根据行星传动的配齿计算方法、活齿级配齿条件确定两级齿数配比，从而得到满足总传动比的配齿方案。

2 双圆弧活齿齿廓设计

如前文所述，活齿传动为输出级，其激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘齿廓形状既影响到活齿传动的传动比，也决定了整机的承载能力，由于凸-凹齿接触可显著提高装置的承载能力^［8］，故本文提出了一种新型双圆弧活齿齿廓。

2.1 定盘刀具运动轨迹

第二级活齿传动机构为平面钢球式活齿传动（图2），动盘与定盘齿廓由刀具包络而成。激波器活齿动盘的刀具轨迹为标准椭圆，中心轮活齿定盘的刀具轨迹是由第二级活齿传动保持定比传动时，激波器活齿动盘推动活齿沿活齿保持架径向槽移动并同时随活齿保持架做圆周转动过程中形成的活齿运动轨迹。

定盘刀具轨迹方程可采用图3所示的三个坐标系来推导，其中O_mX_mY_m为与激波器活齿动盘固结的动坐标系，O_bX_bY_b为与活齿保持架固结的动坐标系，O_pX_pY_p为静坐标系。设三个坐标系在初始位置时彼此重合，活齿在活齿保持架的径向槽中移动，故将活齿中心与O_bX_b轴固连。由啮合原理可知，活齿中心在坐标系O_mX_mY_m的轨迹为激波器活齿动盘的加工刀具轨迹，则活齿中心在坐标系O_pX_pY_p的轨迹为中心轮活齿定盘的加工刀具运动轨迹^［9］。

坐标系O_mX_mY_m相对于坐标系O_pX_pY_p的转角为α，坐标系O_bX_bY_b相对于坐标系O_pX_pY_p的转角为β，且α与β的关系满足活齿级传动比i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}，故活齿中心和原点的连线与坐标系O_mX_mY_m的X_m轴的夹角为α-β。将活齿中心和原点的连线转换到坐标系O_pX_pY_p中，则可推导出中心轮活齿定盘刀具轨迹方程为

\left.\begin{array}{l}X=\frac{ab\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }{\sqrt[]{b^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}-\mathrm{1})\beta +a^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}-\mathrm{1})\beta }}\\ Y=\frac{ab\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta }{\sqrt[]{b^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}-\mathrm{1})\beta +a^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(i_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}-\mathrm{1})\beta }}\\ Z=\mathrm{0}\end{array}\right\}（6）

式中：a、b分别为动盘加工刀具轨迹的长半轴和短半袖。

2.2 齿廓方程

基于刀具轨迹方程（式（6））可以推导出动盘、定盘齿廓方程。如图2中B-B所示，双圆弧形啮合副由两段半径为R且圆心不同的圆弧组成，为得到啮合点的准确位置，减少接触区域的滑移，必须保持轨道圆弧半径R与活齿半径r之比大于1，常取1.04~1.11^［10］。

设点A为半圆弧轨道上的任意一点，只要通过计算双圆弧轨道圆心O₁相对于活齿截面圆心O沿Z、Y方向偏移量H、L，即可确定了双圆弧轨道圆心O₁相对于活齿截面圆心O的位置，则可以根据改变角度φ来确定圆弧上任意点的位置。若已知活齿的尺寸并确定了啮合点处的接触角φ₀（常取φ₀=45°），即可确定圆心O₁的位置为^［11-12］

H=(R-r)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{0}}（7）

L=(R-r)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{0}}（8）

根据式（7）、式（8）即可确定双圆弧轨道圆心O₁相对于原点O的位置，由于双圆弧形啮合副的四段圆弧轨道是相同的，故本文只推导轨道D_dF_d段齿廓方程，其余齿廓方程可以通过相同方式推导得到。

根据啮合副的运动关系推导动盘和定盘的轨道齿廓方程时，采用图4所示的坐标系，其中，O₁X₁Y₁坐标系是用于描述双圆弧啮合副轨道某截面齿廓的坐标系，其原点O₁代表该截面圆弧的圆心；OXY坐标系的原点与活齿截面圆心重合，并随刀具运动，其所在平面与O₁X₁Y₁坐标系相同（均位于XY平面），两者之间存在Z、Y方向的偏移量H、L；O₂X₂Y₂为静坐标系；φ₂为坐标系OXY的各坐标轴旋转到与O₂X₂Y₂的各坐标轴平行时的旋转角；d₁、d₂分别为坐标系OXY沿X₂方向（横向）和Y₂方向（纵向）运动到O₂X₂Y₂的距离。

坐标系O₁X₁Y₁、O₂X₂Y₂的齐次变换矩阵为

{\mathit{M}}_{O_{\mathrm{2}}{O}_{\mathrm{1}}}={\mathit{M}}_{\mathrm{S}}{\mathit{M}}_{\mathrm{R}}{\mathit{M}}_{O{O}_{\mathrm{1}}}（9）

式中：{\mathit{M}}_{O{O}_{\mathrm{1}}}为坐标系O₁X₁Y₁、OXY的齐次变换矩阵；{\mathit{M}}_{\mathrm{R}}为旋转矩阵；{\mathit{M}}_{\mathrm{S}}为移动矩阵。

D_dF_d段啮合副圆弧在坐标系O₂X₂Y₂中表示为

{\mathit{P}}_{D_{\mathrm{d}}{F}_{\mathrm{d}}}^{(O_{\mathrm{2}})}={\mathit{M}}_{O_{\mathrm{2}}{O}_{\mathrm{1}}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \\ R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \\ \mathrm{1}\end{array}\right]（10）

则D_dF_d段的轨道齿廓方程为

\left[\begin{array}{c}{X}_{D_{\mathrm{d}}{F}_{\mathrm{d}}}^{(O_{\mathrm{2}})}\\ Y_{D_{\mathrm{d}}{F}_{\mathrm{d}}}^{(O_{\mathrm{2}})}\\ Z_{D_{\mathrm{d}}{F}_{\mathrm{d}}}^{(O_{\mathrm{2}})}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}L\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{2}}+R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{1}}\\ L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{2}}+R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{2}}\\ H+R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \end{array}\right]（11）

3 啮合特性分析

3.1 功率分流特性

本文中复式活齿传动的功率流向如图1a所示。对于第一级行星传动，根据力矩平衡和功率平衡条件应满足^［13］：

T_{\mathrm{A}}+T_{\mathrm{32}}+T_{\mathrm{H}\mathrm{2}}=\mathrm{0}（12）

T_{\mathrm{A}}{n}_{\mathrm{A}}+T_{\mathrm{32}}{n}_{\mathrm{3}}+T_{\mathrm{H}\mathrm{2}}{n}_{\mathrm{H}}=\mathrm{0}（13）

式中：T_A为输入扭矩；T₃₂为内齿圈输出扭矩；T_H2为行星架输出扭矩；n_A为输入转速。

联立式（12）、式（13）可得第一级行星传动各构件扭矩如下：

行星轮对内齿圈的扭矩为

T_{\mathrm{23}}=-T_{\mathrm{32}}=i_{\mathrm{13}}^{\mathrm{H}}{T}_{\mathrm{A}}（14）

行星轮传递到行星架的扭矩为

T_{\mathrm{2}\mathrm{H}}=-T_{\mathrm{H}\mathrm{2}}=(\mathrm{1}+\frac{z_{\mathrm{3}}}{z_{\mathrm{1}}})T_{\mathrm{A}}（15）

内齿圈传递到活齿保持架的扭矩为

T_{\mathrm{3}\mathrm{H}}=i_{\mathrm{13}}^{\mathrm{H}}{i}_{\mathrm{J}\mathrm{G}}^{\mathrm{K}}{T}_{\mathrm{A}}（16）

整机的输出扭矩为

T_{\mathrm{B}}=T_{\mathrm{2}\mathrm{H}}+T_{\mathrm{3}\mathrm{H}}（17）

可以看出，输入功率经行星传动的内齿圈一部分流入激波器活齿动盘，一部分通过行星架流入活齿保持架，最终在输出轴功率合流，实现了装置的功率分流传动。

3.2 活齿啮合副接触分析

活齿受力分析模型如图5a所示，F_ni 为第i个活齿与中心轮活齿定盘轨道的法向啮合力，F_mi 为第i个活齿与激波器活齿动盘轨道的法向啮合力，F_bi 为第i个活齿保持架和活齿的法向啮合力，三力的作用线均通过活齿球心；F_niXY 为F_ni 在XY平面的投影，F_niZ 为F_ni 在Z方向的投影，F_miXY 为F_mi 在XY平面的投影，F_miZ 为F_mi 在Z方向的投影。由图5a所示的几何关系可得到活齿在XY平面的受力平衡计算公式：

\left.\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{n}iXY}=F_{\mathrm{m}iXY}(\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_i+{\gamma }_i)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\zeta }_i}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_i+{\gamma }_i-{\zeta }_i)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{0.5}\mathrm{\pi }+{\zeta }_i-{\theta }_i)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\zeta }_i})\\ F_{\mathrm{b}i}=F_{\mathrm{m}iXY}(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_i+{\gamma }_i)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{0.5}\mathrm{\pi }-{\gamma }_i)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\zeta }_i}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{0.5}\mathrm{\pi }+{\zeta }_i-{\theta }_i)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i})\end{array}\right\}（18）

{\theta }_i=(i-\mathrm{1})\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{Z_{\mathrm{G}}}（19）

{\gamma }_i=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{a\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i}{b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i}{a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i}（20）

式中：γ_i 为图5b中O₂O_i 与O_iP_i 的夹角；ζ_i 为第i个活齿与定盘外侧啮合线接触点法线方向与固定坐标系X轴的夹角；θ_i 为第i个活齿中心O_i 到O₂点的连线与X轴的夹角。

稳定工作状态下激波器活齿动盘、活齿保持架和中心轮活齿定盘均处于平衡状态。激波器活齿动盘对各活齿施加的作用力在反作用下产生的力矩恰好与输入至动盘的力矩T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}相等，则有

T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{Z_{\mathrm{G}}}}{F}_{\mathrm{m}iXY}|O_{\mathrm{2}}{P}_i|（21）

活齿齿廓为圆弧面，激波器活齿动盘和中心轮活齿定盘的齿廓为双圆弧截面的扫掠包络面。活齿与动盘和定盘的接触均为点接触，而活齿与保持架为点-面接触，满足Hertz接触的两物体点接触时接触变形δ为^［14］

\delta ={\delta }^{\mathrm{*}}\sqrt[\mathrm{3}]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{(\mathrm{1.5}E)}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}\sum \rho }（22）

式中：Q为作用在接触面上的法向力；∑ρ为接触曲面的主曲率和；E为当量弹性模量；δ^*为量纲一的接触变形系数，可根据主曲率差函数F（ρ）查表得出^［15］。

同理，满足Hertz接触的活齿与活齿保持架点-面接触时接触变形为

\delta =r-\sqrt[]{r^{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}（23）

式中：r₀为接触区域半径。

在系统稳定工作状态的情况下，由激波器输入一个微小转角Δτ，δ_miXY 、δ_niXY 、δ_bi 分别为活齿与激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘和活齿保持架的接触法向变形，如图5b所示。故在激波器活齿动盘轨道和活齿接触法向方向的变形协调方程为

{\epsilon }_{\mathrm{m}iXY}=\mathrm{\Delta }\tau |O_{\mathrm{2}}{P}_i|={\delta }_{\mathrm{m}iXY}+\frac{{\delta }_{\mathrm{n}iXY}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_i}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\theta }_i-{\zeta }_i\right)}+

{\delta }_{\mathrm{b}i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left({\theta }_i-{\zeta }_i\right)（24）

式中：ε_miXY 为动盘发生微小转动Δτ时在动盘内侧轨道啮合点与活齿接触法向（δ_miXY 变形方向）上产生的微位移。

将式（18）代入式（22）、式（23）得到各微小变形量，通过给定一个微小转角Δτ的初值即可确定ε_miXY 值，再根据变形协调方程与力矩平衡方程即可迭代求解各啮合力。

理论上，活齿与轨道的接触为点接触，受载变形使点接触转化为面接触，由Hertz理论可知其最大接触应力为^［16］

P_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{3}F}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{a}_{\mathrm{L}}{b}_{\mathrm{L}}}（25）

式中：F为啮合力；a_L、b_L分别为接触椭圆的长半轴和短半轴。

活齿与保持架的接触为点-面接触，接触区域为圆形，由Hertz理论可知其最大接触应力为

P_{\mathrm{J}}=\frac{\mathrm{3}F}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{r}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}（26）

根据上述接触分析流程即可求出啮合副各啮合力大小，进而求解接触应力和接触变形。值得一提的是，激波器活齿动盘与中心轮活齿定盘的距离d（图2）是保证活齿啮合副良好接触的关键参数，考虑到加工及装配误差会影响该参数的值，建议在结构设计时设置d为可调环节（通过垫片组或螺纹件）以提高容差性。

4 样机设计示例

某样机的设计要求如下：总传动比为90，输出转矩为160 N·m，空间尺寸不超过200 mm×200 mm×80 mm。根据总传动比要求和两级配齿条件初步分配两级传动比，并根据空间尺寸限制确定活齿级刀具轨迹与齿廓方程，初步选定啮合副参数，根据式（1）~式（5）确定两级传动比。样机设计参数如表1所示。

4.1 运动学仿真

导入样机三维模型到ADAMS软件，根据并联复式活齿传动装置的运动规律添加如下约束：中心轮活齿定盘与机架为固定约束，激波器活齿动盘、活齿保持架和输入轴为旋转副约束，活齿啮合副添加接触约束；输入轴的输入转速为3830 r/min。仿真时间设置为0.3 s，仿真步数设置为3000步。

运动学仿真结果如图6所示，输出轴的转速为42.64 r/min，仿真得出的传动比为89.82，与式（3）中计算结果基本相符。

4.2 功率流分析

在4.1节仿真模型中，添加1.87 N·m的输入转矩，提取行星级啮合力与输出扭矩，如图7所示。从图7中的行星轮与内齿圈的圆周力、行星轮对行星架的圆周力可以计算出T₂₃=-16.44 N·m、T_2H=18.42 N·m，同时，根据输出扭矩可求出T_3H=149.46 N·m，根据式（15）、式（17）、式（19）可计算出T₂₃=-16.61 N·m、T_2H=18.48 N·m、T_3H=149.50 N·m，理论计算结果与仿真结果误差在2%以内，验证了本文装置具有功率分流特性。

4.3 接触分析

建立该装置的啮合有限元模型如图8所示。定义活齿啮合副的接触类型为摩擦接触，摩擦因数设置为0.1。输入轴施加1.87 N·m的扭矩，输出轴与中心轮活齿定盘施加固定约束。考虑求解规模，激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘和活齿采用六面体网格，其余采用四面体网格，活齿接触部分加密网格。整机具有900 465个单元，1 384 236个节点。

经计算可得到激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘及活齿啮合的应力云图（图9）。由图9所示的仿真结果可知，活齿啮合副最大von-Mises应力值出现在活齿与活齿保持架接触点处，为595.73 MPa，激波器活齿动盘von-Mises应力值较小（为433.75 MPa）。活齿与激波器活齿动盘、中心轮活齿定盘、活齿保持架接触，接触应力分布状态与上述活齿啮合副三点接触相符。

活齿编号见图2，由于结构对称，故提取1~10号活齿啮合的接触应力，如图10所示，可以看出，有限元仿真结果和理论计算结果规律相符，数值误差在12%以内，验证了前文接触分析方法的正确性。活齿在啮合区域参与啮合的齿对数较多，啮合齿数占比达到88.9%，啮合状况良好，各接触齿对间的载荷分配较为合理，有利于实现高承载能力。

5 结论

1）该新型并联复式活齿传动耦合了行星传动和活齿传动，可以实现大传动比，结构紧凑，空间利用率高，同时可通过齿数调整实现正反向输出，具有较好的适应性。

2）力矩分析结果表明，通过行星架与活齿保持架固连、内齿圈和激波器活齿动盘固连实现了功率分流传递，有利于实现高功率密度。

3）活齿级采用了本文提出的双圆弧齿廓，实现了“凹-凸”齿接触，在啮合区参与啮合的齿数较多，齿间载荷分配较为合理，可以实现大负载的传递。

参考文献

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