基于扰动观测和摩擦补偿的气动摆角伺服系统滑模控制

Sliding Mode Control for Pneumatic Swing Angle Servo Systems Based on Disturbance Observation and Friction Compensation

摘要

外部不确定扰动与摩擦是影响气动摆角伺服系统控制性能的重要因素（分别引起局部波动与爬行现象）。提出了一种基于扰动观测和摩擦补偿的滑模控制策略，设计一种引入类双曲正切函数和角速度误差项的改进扩张状态观测器对外部不确定扰动进行观测，以提高系统抗扰能力。由于观测器不能有效地观测系统摩擦的静-动高阶突变，导致爬行现象不能有效改善，因此对摩擦力矩进行辨识以弥补观测不足。最后，针对系统存在鲁棒性较差的问题，设计一种非奇异快速滑模控制器，利用含积分特性的超螺旋算法平滑控制量来改善滑模控制中的固有抖振问题，并将扰动观测值和摩擦力矩辨识值进行反馈补偿。仿真与实验结果表明，与4种控制策略相比，所设计的控制方法有效增强了系统的抗扰能力，并提高了气动摆角伺服系统轨迹跟踪性能。

Abstract

External uncertain disturbances and friction were important factors affecting the control performance of pneumatic swing angle servo systems（causing local fluctuations and creep phenomena）. A sliding mode control strategy was proposed based on disturbance observation and friction compensation， an improved extended state observer was designed to observe external uncertain disturbances by introducing a hyperbolic tangent function and angular velocity error term to enhance the disturbance rejection ability of systems. Since the observer might not effectively observe the static-dynamic high-order jump of system friction， which leaded to ineffective improvement of the creep phenomenon， therefore the friction torques were identified to make up for the insufficient observation. Finally， aiming at the insufficient robustness and difficulty in tuning control parameters of the systems， a nonsingular fast sliding mode controller was designed. The controller outputs were smoothed by using the super-twisting algorithm with integral characteristics to improve the inherent chattering problems in sliding mode control， and the disturbance observation values and friction torque identification values were feedback compensated. Simulation and experimental results show that compared with four control strategies， the proposed control method effectively enhances the disturbance rejection ability of the systems and improves the trajectory tracking performance of the pneumatic swing angle servo systems.

Graphical abstract

关键词

气动摆角伺服系统 / 摩擦补偿 / 扰动观测 / 非奇异快速滑模 / 超螺旋算法

Key words

pneumatic swing angle servo system / friction compensation / disturbance observation / nonsingular fast sliding mode / super-twisting algorithm

Author summay

魏琼，女，1980年生，副教授。研究方向为流体传动控制、机电伺服系统设计。E-mail：20140058@hbut，edu.cn。

0 引言

气动摆角伺服系统具备安全性高、 可调性强、结构简单和能源清洁等特点，普遍应用于大幅度周向和周期摆动场合^［1-3］。但实际工况下系统会受到外部不确定扰动以及自身摩擦等因素影响，特别由于气动系统刚度低、换向时滑动副间静-动摩擦力矩发生突变的特性，导致摩擦影响显著^［4-5］。

近年来，国内外学者针对如何提高系统抗扰性能的问题展开了广泛研究。魏琼等^［6］提出了一种自适应鲁棒控制策略，仿真结果表明系统稳态跟踪误差小于1.2 mm，但控制器设计依赖精确的系统模型，因此设计与调试过程较为复杂。REN等^［7］采用径向基函数神经网络控制策略对未知扰动进行近似逼近，系统的最大均方根误差为0.3074 mm，但硬件算力要求较高。ZHANG等^［8］设计了一种基于误差驱动的变增益自抗扰控制策略，系统轨迹跟踪最大均方根误差为2.4673 mm。自抗扰控制在系统存在外部不确定扰动影响时表现出良好的控制性能，其核心在于设计扩张状态观测器（extended state observer，ESO）来估计并补偿系统受到的扰动^［9］，但其线性反馈PID控制器鲁棒性不足。梁定坤等^［10］提出一种扰动估计的非线性滑模控制策略，实验结果表明，该策略有效消除了系统存在的不确定干扰的影响。滑模控制因其结构简单和强鲁棒性备受关注^［11-12］，且结合ESO的控制策略在抗扰性能上表现更佳^［13-16］，近年来被广泛应用于受扰动工况下的伺服系统。

ZHAO等^［17］提出了一种基于高增益ESO的积分滑模控制方法，根据系统的状态量输出、控制量输入构建高增益ESO对系统受到的不确定扰动进行观测，并设计积分滑模控制律以提高气动机械臂位置跟踪性能，实验结果表明0.08 Hz时误差指标为0.37°。刘国海等^［18］提出一种基于线性ESO的非奇异终端滑模控制方法，通过线性ESO实时补偿外界干扰，基于等速趋近律设计一种非奇异终端滑模控制律，田间环境实验结果表明该方法具有较强的适应性与抗干扰能力，系统的前后轴转向角最大误差分别为2.60°和3.45°。LU等^［19］提出一种基于非线性ESO的反步动态面滑模控制方法，仿真结果表明最大俯仰角仅约为17°，满足飞行要求。尽管这些基于ESO的滑模控制方法有效提高了系统的抗扰性能，但仍然存在以下不足：①高增益ESO需要较高的控制增益，可能加剧噪声的影响；②传统滑模趋近律因含符号函数易引发高频切换，影响稳定性；③传统非线性ESO中的饱和函数为非连续函数，在断点处易引起高频抖振；④传统非线性ESO仅依赖角度误差项逼近实际状态量与扰动量，无法获得较优的角速度项观测精度，且当角速度项观测误差较大时会增加滑模控制项调参难度；⑤ESO无法有效观测系统摩擦力矩突变，使系统轨迹跟踪出现爬行现象^［20-23］。

本文针对气动摆角伺服系统中同时存在的外部不确定扰动和摩擦等因素导致的轨迹跟踪性能下降问题，提出一种基于扰动观测和摩擦补偿的滑模控制策略，采用改进扩张状态观测器（IESO）观测外部不确定扰动，并结合摩擦力矩进行辨识补偿，以弥补IESO对摩擦高阶突变观测的不足。通过将扰动观测值与摩擦力矩辨识值反馈补偿至控制量，以提前消除扰动和摩擦的不利影响。通过仿真与实验验证了该控制策略可有效提高气动摆角伺服系统抗扰能力与轨迹跟踪性能。

1 系统建模

考虑到系统外部不确定扰动与摩擦影响，将气动摆角伺服系统动力学方程表示为

M\ddot{x}+F_{\mathrm{f}}+F_{\mathrm{L}}=A(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{b}})+F_{\mathrm{n}}（1）

式中：M为气缸摆动型活塞质量；\ddot{x}为活塞运动时的加速度；F_{\mathrm{L}}为气缸受到的外部负载力矩；F_{\mathrm{f}}为系统摩擦力矩；A为摆动型活塞有效面积；p_{\mathrm{a}}、p_{\mathrm{b}}分别为左右腔压力（由压力传感器测得）；F_{\mathrm{n}}为各种环境扰动因素（噪声、连接件磨损等）。

由质量守恒定律可知，流入和流出气缸腔室的气体质量流量与腔室的质量变化率相等。根据文献［24］将气缸左右腔的质量流量表示为

\left.\begin{array}{l}{q}_{m\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{1}}{R{T}_{\mathrm{a}}}(\frac{V_{\mathrm{a}}}{\gamma }\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t}+p_{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{d}{V}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{d}t})\\ q_{m\mathrm{b}}=\frac{-\mathrm{1}}{R{T}_{\mathrm{b}}}(\frac{V_{\mathrm{b}}}{\gamma }\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}t}+p_{\mathrm{b}}\frac{\mathrm{d}{V}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}t})\end{array}\right\}（2）

式中：q_{m\mathrm{a}}、q_{m\mathrm{b}}分别为左右腔质量流量；R为理想气体常数；T_{\mathrm{a}}、T_{\mathrm{b}}分别为左右腔气体温度；\gamma为绝热指数；V_{\mathrm{a}}、V_{\mathrm{b}}分别为左右腔气体体积。

设摆动气缸的总行程为\theta。将气缸活塞处于中间位置，根据文献［25］，此时研究气缸的运动性能最具代表意义，且忽略温度变化的影响，则T_{\mathrm{a}}=T_{\mathrm{b}}=T_{\mathrm{s}}（T_{\mathrm{s}}为气源温度）。设气缸的摆动角度为x，则两腔容积为

\left.\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{a}}=A(\frac{\theta }{\mathrm{2}}+x)\\ V_{\mathrm{b}}=A(\frac{\theta }{\mathrm{2}}-x)\end{array}\right\}（3）

气体通过阀口的流动过程可视为理想气体的一维等熵流动，则其质量流量表示为

q_m=S_{\mathrm{q}}W{x}_{\mathrm{v}}{p}_{\mathrm{u}}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{RT}}f(\frac{p_{\mathrm{d}}}{p_{\mathrm{u}}})（4）

（5）

式中：S_{\mathrm{q}}为质量流量系数；W为阀开口面积梯度；x_{\mathrm{v}}为阀芯位移；p_{\mathrm{u}}、p_{\mathrm{d}}分别为阀口的上下游气体压力；T为气体绝对温度。

工程应用中，比例阀的响应速度远大于气缸的响应速度^［24］，因此比例阀的控制电压与阀芯位移存在一定的比例关系，即

x_{\mathrm{v}}=K_{\mathrm{v}}u（6）

式中：u为阀控制电压；K_{\mathrm{v}}为电压比例系数。

令(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}{)}^{\mathrm{T}}=(x,\dot{x},p_{\mathrm{a}},p_{\mathrm{b}}{)}^{\mathrm{T}}，x、 分别为活塞运动时的角位移（角度）和角速度，根据式（1）~式（6）建立气动摆角伺服系统的状态空间方程模型，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\dot{x}=x_{\mathrm{2}}\\ {\dot{x}}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{M}(A{x}_{\mathrm{3}}-A{x}_{\mathrm{4}}-F_{\mathrm{f}}-F_{\mathrm{L}}+F_{\mathrm{n}})\\ {\dot{x}}_{\mathrm{3}}=\frac{\gamma R{q}_{m\mathrm{a}}}{V_{\mathrm{a}}}-\frac{\gamma A{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}}{V_{\mathrm{a}}}\\ {\dot{x}}_{\mathrm{4}}=\frac{-\gamma R{q}_{m\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{b}}}+\frac{\gamma A{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{4}}}{V_{\mathrm{b}}}\end{array}\right\}（7）

2 控制策略设计

系统控制框图见图1，具体流程为：①针对实际离散系统“难微分”特性引入一种微分器；②设计一种IESO对系统存在的不确定外部扰动进行观测；③针对IESO无法有效观测系统摩擦中静-动高阶突变这一问题，对摩擦力矩进行辨识；④设计一种超螺旋非奇异快速终端滑模控制器，并将扰动观测值和摩擦力矩辨识值进行反馈补偿。

为便于控制器设计与分析，将状态方程（式（7））中系统所受外部负载干扰与各种环境扰动因素等视为外部不确定扰动，则系统的状态方程可简化为

\left.\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{2}}\\ {\dot{x}}_{\mathrm{2}}=f(x_{\mathrm{2}},F_{\mathrm{n}},p_{\mathrm{a}},p_{\mathrm{b}},F_{\mathrm{L}})+b_{\mathrm{0}}u-F_{\mathrm{f}}\end{array}\right\}（8）

式中：f(x_{\mathrm{2}},F_{\mathrm{n}},p_{\mathrm{a}},p_{\mathrm{b}},F_{\mathrm{L}})表示外部不确定扰动（下文简写为f(·)）；b_{\mathrm{0}}为控制量增益。

2.1 系统摩擦模型参数辨识

为改善摩擦引起的位置爬行现象，本文采用LuGre摩擦模型表征系统摩擦，LuGre摩擦模型假设相对运动的刚性物体间通过弹性鬃毛接触，该模型建立在鬃毛的平均形变量上，能较全面描述系统的静-动摩擦特性，其摩擦模型描述如下：

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{f}}={\sigma }_{\mathrm{0}}z+{\sigma }_{\mathrm{1}}\dot{z}+\alpha v\\ \dot{z}=v-{\sigma }_{\mathrm{0}}\frac{|v|}{G(v)}z\\ G(v)=F_{\mathrm{c}}+(F_{\mathrm{s}}-F_{\mathrm{c}})\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{(\frac{v}{V_{\mathrm{s}}})}^{\mathrm{2}})\end{array}\begin{array}{l}\\ \end{array}

式中：{\sigma }_{\mathrm{0}}、{\sigma }_{\mathrm{1}}分别为气缸活塞与缸体内壁接触面鬃毛刚度系数和阻尼系数；\alpha为黏性摩擦因数；z为接触面鬃毛的平均变形量；F_{\mathrm{c}}为库仑摩擦力矩；F_{\mathrm{s}}为最大静摩擦力矩；V_{\mathrm{s}}为Stribeck效应速度；v为相对角速度。

LuGre摩擦模型共存在6个待辨识参数，其中F_{\mathrm{c}}、F_{\mathrm{s}}、V_{\mathrm{s}}、\alpha为静态参数，{\sigma }_{\mathrm{0}}、{\sigma }_{\mathrm{1}}为动态参数。首先对静态参数进行辨识，由于外界条件改变对静态参数影响较小，故将其视为定值，并采用离线的形式辨识。通过多次实验获取不同匀速下系统受到的摩擦力矩数据^［26］，然后通过遗传算法辨识得到摩擦模型静态参数，其摩擦力矩表示为

F_{\mathrm{f}}=(p_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{b}})A-F_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}（10）

式中：F_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}为系统受到的外力矩（力矩传感器测得）。

动态参数辨识对系统硬件精度的要求较高，本文参考文献［27］对动态参数进行估算。LuGre摩擦模型参数如表1所示。

2.2 微分器

实际工程中，由于系统为离散型，不利于信号微分，因此引入一种微分器^［28］，通过调节微分器参数可以有效地跟踪目标信号及其微分信号，其具体数学表达式如下：

\left.\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{s}}=fst(x_{\mathrm{1}}(k)-x_{\mathrm{d}},x_{\mathrm{2}}(k),r,h)\\ x_{\mathrm{1}}(k+\mathrm{1})=x_{\mathrm{1}}(k)+h{x}_{\mathrm{2}}(k)\\ x_{\mathrm{2}}(k+\mathrm{1})=x_{\mathrm{2}}(k)+h{f}_{\mathrm{s}}\end{array}\right\}（11）

其中，f_{\mathrm{s}}为快速函数fst（·），x_{\mathrm{1}}(k)跟踪的是系统期望信号x_{\mathrm{d}}，x_{\mathrm{2}}(k)跟踪的是系统期望信号x_{\mathrm{d}}的微分，x_{\mathrm{1}}(k+\mathrm{1})、x_{\mathrm{2}}(k+\mathrm{1})分别为对应的下一时刻的信号，r为跟踪因子，h为滤波因子。通过调节合适的控制参数可使x_{\mathrm{1}}(k)=x_{\mathrm{d}}、x_{\mathrm{2}}(k)={\dot{x}}_{\mathrm{d}}。

2.3 改进扩张观测器设计

为抑制外部不确定扰动对气动伺服系统角度跟踪造成的局部波动现象，采用具备结构简单且精度较高的经典非线性ESO来估计并补偿扰动^［29-31］。

如图2所示，经典非线性ESO中的饱和函数fal（·）在分段点处存在不可导点，易引起高频振动^［32］，而类双曲正切函数在定义域内是单调递增奇函数且处处可导，能有效地抑制观测信号振动现象，同时满足ESO中饱和函数的选取要求。类双曲正切函数的表达式如下：

\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,\epsilon ,\chi )=\delta \frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\chi \epsilon )-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\chi \epsilon )}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\chi \epsilon )+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\chi \epsilon )}（12）

式中：\delta为幅值参数；\chi为变化率参数；\epsilon为偏移参数。

由图2可以看出，相比于fal(·)函数，\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(·)函数在零点附近的线性度更高且更加光滑，同时饱和特性更好。

令z_i为x_i的观测值，i=1，2，3。对于气动摆角系统及控制器，角速度\dot{x}具备实际的物理意义。系统给定的角速度信号x_{\mathrm{2}}由微分器根据期望信号x_{\mathrm{d}}求得，同样也具备实际物理意义。为使得z_{\mathrm{2}}逼近x_{\mathrm{2}}，从而获得更好的角速度项观测效果，将z_{\mathrm{2}}观测的角速度状态误差引入ESO中，则IESO的计算表达式如下：

\left.\begin{array}{l}{\epsilon }_{\mathrm{1}}=z_{\mathrm{1}}-x{\epsilon }_{\mathrm{2}}=z_{\mathrm{2}}-\dot{x}\\ {\dot{z}}_{\mathrm{1}}=z_{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}\\ {\dot{z}}_{\mathrm{2}}=z_{\mathrm{3}}-{\beta }_{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})+b_{\mathrm{0}}u\\ {\dot{z}}_{\mathrm{3}}=-{\beta }_{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{2}})-{\beta }_{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})\end{array}\right\}（13）

式中：{\beta }_i（i=1，2，3）为观测量控制增益；{\epsilon }_{\mathrm{1}}为角度项观测误差；{\epsilon }_{\mathrm{2}}为角速度项观测误差；{\chi }_{\mathrm{1}}、{\chi }_{\mathrm{2}}为变化率参数。

由式（13）可得IESO观测误差{\epsilon }_i（i=1，2，3）满足：

\left.\begin{array}{l}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}\\ {\dot{\epsilon }}_{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{3}}-{\beta }_{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})\\ {\dot{\epsilon }}_{\mathrm{3}}=-{\beta }_{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{2}})-{\beta }_{\mathrm{3}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})-f(·)\end{array}\right\}（14）

在正常工况下系统受到的外部扰动f(·)有界，假设存在常数H\ge |f(·)|。当系统达到稳态时存在{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{1}}={\dot{\epsilon }}_{\mathrm{2}}={\dot{\epsilon }}_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}。由式（14）可得

\left.\begin{array}{l}\mathrm{0}={\epsilon }_{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}={\epsilon }_{\mathrm{3}}-{\beta }_{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})\\ H\ge {\beta }_{\mathrm{3}}|\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{2}})+\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\delta ,{\epsilon }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{1}})|\end{array}\right\}（15）

由式（12）和式（15）可得

\frac{H}{{\beta }_{\mathrm{3}}}\ge \delta \left|\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\chi }_{\mathrm{2}}{\epsilon }_{\mathrm{1}})-\mathrm{1}}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\chi }_{\mathrm{2}}{\epsilon }_{\mathrm{1}})+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\chi }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{2}})-\mathrm{1}}{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\chi }_{\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{2}})+\mathrm{1}}\right|（16）

由指数函数特性可知\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\chi }_i{\epsilon }_i)+\mathrm{1}>\mathrm{0}，其中\delta为正数，因此当{\beta }_{\mathrm{3}}取足够大的值时，{\epsilon }_{\mathrm{1}}与{\epsilon }_{\mathrm{2}}能收敛到较小值。同理，将式（15）代入式（16），{\epsilon }_{\mathrm{3}}能收敛到较小值，因此当选择合适的参数{\beta }_i时IESO能够有效地实现对系统状态的观测，使得观测误差收敛到较小值^［33］。

为验证IESO的性能，分别将经典ESO与IESO应用于本文所提控制器，设计观测量控制增益均相同。在幅值90°、频率0.5 Hz的正弦轨迹跟踪仿真条件下检测两种观测器中z_{\mathrm{1}}的角度误差与z_{\mathrm{2}}的角速度误差。

如图3、图4所示，与经典ESO相比，IESO的角度与角速度观测信号更加平滑、误差更小。经典ESO追求的是z_{\mathrm{1}}角度观测，即使z_{\mathrm{2}}角速度观测精度较低，也能通过z_{\mathrm{3}}扰动观测量的线性反馈来实现z_{\mathrm{1}}的有效观测。但当系统动态运行的过程中z_{\mathrm{2}}的观测误差值较大时，会导致输入到滑模控制器的二阶误差增大，从而增加其调参难度，甚至影响系统稳定性。而IESO通过在z_{\mathrm{2}}角速度观测项引入角速度误差以提高其观测精度，并将角度项误差与角速度项误差共同集中于z_{\mathrm{3}}的扰动观测项中，从而在提高状态观测效果的基础上更有利于扰动补偿，进而实现系统更优的控制性能。

2.4 超螺旋非奇异快速滑模控制器设计

传统滑模面s_{\mathrm{1}}=c{e}_{\mathrm{1}}+{\dot{e}}_{\mathrm{1}}，当系统到达滑动模态后，状态误差会持续渐近收敛为零，可以通过修改滑模面参数来控制其收敛速度，但无法使其在有限时间内收敛，而快速滑模面s_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{2}}+c{e}_{\mathrm{1}}^{q/p}，其中，e_{\mathrm{1}}、e_{\mathrm{2}}为系统状态变量误差；c为滑模面调节因子，c>\mathrm{0}；q/p用于非线性控制，使系统具有更好的收敛特性，p>q且p和q为奇数。快速滑模面虽能在有限时间内使得状态误差收敛为零，但存在奇异点问题，可能导致系统出现崩溃或损坏。基于此，本文设计一种非奇异快速滑模面，实现状态误差在有限时间内收敛与克服控制器出现奇异性问题。定义气缸状态变量误差为

\left.\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{d}}\\ e_{\mathrm{2}}={\dot{x}}_{\mathrm{1}}-{\dot{x}}_{\mathrm{d}}\end{array}\right\}（17）

根据式（8），系统状态误差为

\left.\begin{array}{l}{\dot{e}}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{2}}\\ {\dot{e}}_{\mathrm{2}}=f(·)+b_{\mathrm{0}}u-F_{\mathrm{f}}-{\ddot{x}}_{\mathrm{d}}\end{array}\right\}（18）

将非奇异快速滑模面设计为

s_{\mathrm{3}}=e₁+c₁|e₁| ^a sgn（e₁）

+c₂|e₂|{}^{n/m}sgn（e₂）

（19）

其中，c_{\mathrm{1}}、c_{\mathrm{2}}为调节收敛速度增益，且为正实数；a为常数；n、m为正奇数；当系统远离平衡状态时，c₁|e₁| ^a sgn（e₁）项决定系统误差收敛速度，当系统接近平衡状态时，c₂|e₂| ^n/m sgn（e₂）项决定系统误差收敛速度，两者结合可以有效保证系统全局状态误差的收敛速度；令1<n/m<2、n/m<a，则e_{\mathrm{1}}、e_{\mathrm{2}}不会出现负指数项，因此可以有效避免滑模面产生奇异问题。

滑模控制律由等效控制律u_{\mathrm{1}}和切换控制律u_{\mathrm{2}}组成。根据式（19），令{\dot{s}}_{\mathrm{3}}=0得到等效控制律u_{\mathrm{1}}为

u_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{b_{\mathrm{0}}}[-\frac{m}{c_{\mathrm{2}}n}|e_{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}-n/m}(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}})+{\ddot{x}}_{\mathrm{d}}]（20）

切换项是造成滑模抖振现象的主要原因^［34］，因此本文选择鲁棒性较强的高阶超螺旋控制算法设计切换控制律，它满足如下关系：

\begin{array}{cc}\begin{array}{l}{\dot{s}}_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})+\tau \\ \tau =\int c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})\mathrm{d}t\end{array}& \end{array}（21）

其中，c_{\mathrm{3}}、c_{\mathrm{4}}为正常数，\tau为滑模变量积分项。因为将不连续项\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})引入到积分环节中，而积分环节具有低通滤波特性和消除不连续性，能够平滑信号，所以能有效改善抖振现象。

选取式（21）所示的高阶超螺旋算法设计切换控制律u_{\mathrm{2}}，即

u_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{1}}{b_{\mathrm{0}}}(c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})+\int c_{\mathrm{4}}sgn(s_{\mathrm{3}}))（22）

则所设计的超螺旋非奇异快速滑模控制律u_{\mathrm{3}}为

u_{\mathrm{3}}=u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{b_{\mathrm{0}}}[-\frac{m}{c_{\mathrm{2}}n}|e_{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}-n/m}(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}})+{\ddot{x}}_{\mathrm{d}}]-

\frac{\mathrm{1}}{b_{\mathrm{0}}}(c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})+\int c_{\mathrm{4}}sgn(s_{\mathrm{3}})\mathrm{d}t)（23）

将外部不确定扰动观测值与摩擦力矩辨识值进行前馈补偿，则系统的总控制律u_{\mathrm{4}}设计为

u_{\mathrm{4}}=u_{\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{1}}{b_{\mathrm{0}}}{z}_{\mathrm{3}}+L{F}_{\mathrm{f}}（24）

式中：L为摩擦力矩等效控制量系数。

2.5 超螺旋非奇异快速滑模控制器稳定性及有限时间收敛验证

2.5.1 稳定性验证

针对上述滑模控制器进行稳定性分析，构造\mathrm{L}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{v}函数为

V=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{s}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}（25）

结合式（24）、式（25）可得

\begin{array}{c}\dot{V}=s_{\mathrm{3}}{\dot{s}}_{\mathrm{3}}=s_{\mathrm{3}}(e_{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{2}}\frac{n}{m}|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m-\mathrm{1}}{\dot{e}}_{\mathrm{2}})=\\ s_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}\frac{n}{m}|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m-\mathrm{1}}[f(\cdot )-\frac{m}{c_{\mathrm{2}}n}|e_{\mathrm{2}}{|}^{\mathrm{2}-n/m}(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}})+\\ {\ddot{x}}_{\mathrm{d}}-c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})-\int c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})\mathrm{d}t-\end{array}

z_{\mathrm{3}}+L{b}_{\mathrm{0}}{F}_{\mathrm{f}}-F_{\mathrm{f}}-\ddot{x}]（26）

由不确定扰动观测观测误差收敛与摩擦补偿可得

\dot{V}=s_{\mathrm{3}}(e_{\mathrm{2}}-|e_{\mathrm{2}}|)(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}})-s_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}\frac{n}{m}|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m-\mathrm{1}}·

(c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})+\int c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})\mathrm{d}t)（27）

其中，e_{\mathrm{1}}、e_{\mathrm{2}}为任意数值时设置合适的c_i（i=1，2，3，4）^［35］，可得

s_{\mathrm{3}}(e_{\mathrm{2}}-|e_{\mathrm{2}}|)(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}a|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}})\le \mathrm{0}（28）

-s_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}\frac{n}{m}|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m-\mathrm{1}}(c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})+\int c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(s_{\mathrm{3}})\mathrm{d}t)\le

c_{\mathrm{2}}\frac{n}{m}|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m-\mathrm{1}}(-c_{\mathrm{3}}|s_{\mathrm{3}}{|}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}-c_{\mathrm{4}}\int |s_{\mathrm{3}}|\mathrm{d}t)\le \mathrm{0}（29）

由式（28）、式（29）可得，当{\epsilon }_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}时，式（27）恒小于或等于零，即\dot{V}\le \mathrm{0}。根据\mathrm{L}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{v}定理，存在V>\mathrm{0}\mathrm{、}\dot{V}\le \mathrm{0}，即本文设计的超螺旋滑模控制器是渐近稳定的。

2.5.2 有限时间收敛验证

令式（19）中s_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，此时系统状态到达滑模面，可得

|e_{\mathrm{2}}{|}^{n/m}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(e_{\mathrm{2}})=e_{\mathrm{2}}^{n/m}=-\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}}(e_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{1}}|e_{\mathrm{1}}{|}^a\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(e_{\mathrm{1}}))（30）

因此有

\frac{\mathrm{d}{e}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=-{(\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}})}^{m/n}(e_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{1}}|e_{\mathrm{1}}{|}^a\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(e_{\mathrm{1}}{))}^{m/n}=

-{(\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}})}^{m/n}{e}_{\mathrm{1}}^{{}^{m/n}}(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}}{)}^{m/n}（31）

定义经历时间t使得任意初始时刻下e_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})\ne \mathrm{0}到e_{\mathrm{1}}(t)=\mathrm{0}，即此时系统角度误差为0，系统到达稳定状态。对式（31）等号两端进行积分可得

{\int }_{e_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})}^{e_{\mathrm{1}}(t)}{e}_{\mathrm{1}}^{-m/n}\mathrm{d}{e}_{\mathrm{1}}=-{(\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}})}^{m/n}{\int }_{\mathrm{0}}^t(\mathrm{1}+c_{\mathrm{1}}|e_{\mathrm{1}}{|}^{a-\mathrm{1}}{)}^{m/n}\mathrm{d}t（32）

由于c_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}\mathrm{、}a>\mathrm{1}，则有

{\int }_{e_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})}^{e_{\mathrm{1}}(t)}{e}_{\mathrm{1}}^{-m/n}\mathrm{d}{e}_{\mathrm{1}}\le -{(\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}})}^{m/n}{\int }_{\mathrm{0}}^t\mathrm{d}t（33）

对式（33）求解可得t\le \frac{c_{\mathrm{2}}^{m/n}n}{n-m}(e_{\mathrm{1}}{(\mathrm{0}))}^{\frac{n-m}{n}}，即系统状态误差在有限时间内收敛。

3 系统仿真与实验验证

3.1 控制策略仿真分析

本文采用AMESim与MATLAB/Simulink联合仿真平台，其中气动摆角伺服系统物理模型在AMESim软件中搭建，基于扰动观测与摩擦补偿的滑模控制算法在MATLAB/Simulink中编写。选取PID控制、无补偿项的超螺旋快速滑模控制（NFTSMC）、基于改进扩张观测器的滑模控制（NFTSMC-IESO）、基于经典扩张观测器和摩擦补偿的滑模控制（NFTSMC-ESO-F）以及基于扰动观测和摩擦补偿的滑模控制（NFTSMC-IESO-F）策略进行对比分析，主要仿真参数如表2所示，仿真模型如图5所示。

3.1.1 幅值90°、频率0.5 Hz正弦轨迹跟踪仿真

为验证本文所提控制策略的有效性，对气动摆角伺服系统进行轨迹跟踪仿真。频率0.5 Hz时不同控制策略下的轨迹跟踪曲线及其跟踪误差曲线分别见图6和图7。

由图6和图7可知，采用PID控制策略时，系统在换向处由于摩擦力矩影响而出现了约0.08 s的爬行现象，且伴随一定的滞后，系统位置最大跟踪误差约为3.22°。采用NFTSMC控制策略能在一定程度上减弱爬行现象，但较大的控制增益使系统出现明显的抖振现象，最大跟踪误差约为1.53°。基于NFTSMC-IESO控制策略时，由于采用IESO在线观测并补偿系统所受扰动，可以减小控制器增益，能进一步抑制系统抖振现象，但由于转向时静-动摩擦突变的因素导致IESO不能有效补偿摩擦影响，因此仍出现爬行现象，最大跟踪误差约为0.59°。当采用NFTSMC-IESO-F控制策略时，最大跟踪误差仅约为0.32°，且明显改善了系统的抖振现象与爬行现象，这表明系统在引入扰动观测与摩擦补偿的情况下能有效增强系统鲁棒性与可控性。

3.1.2 幅值100°、频率1.5 Hz正弦轨迹跟踪仿真

由频率1.5 Hz时不同控制策略下的轨迹跟踪曲线（图8）及其轨迹跟踪误差曲线（图9）可以看出，较低频率时，系统出现的稳态误差更大、爬行现象更加明显。当采用PID控制策略时，系统在低速换向处出现约0.04 s的爬行现象，系统轨迹最大跟踪误差约为8.47°。虽然NFTSMC控制策略有效抑制了爬行现象，但系统出现了明显的抖振现象，最大轨迹跟踪误差约为3.68°。 NFTSMC-IESO控制策略的最大轨迹跟踪误差约为2.38°，但在系统换向时仍出现明显的爬行现象。当采用NFTSMC-IESO-F控制策略时，系统的爬行现象得到明显改善，且最大轨迹跟踪误差约为1.77°。这表明在加入扰动观测与摩擦补偿后系统控制性能得到明显提高。

3.1.3 外界动态负载干扰仿真

为更好地验证IESO控制策略对外界扰动的抑制能力，提供幅值为2 N·m的动态负载模拟系统受到的外部负载扰动，设置NFTSMC-IESO-F与NFTSMC-ESO-F控制策略的增益均相同。角度控制期望信号为x_{\mathrm{d}}=\mathrm{90}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t+\mathrm{1.5}\mathrm{\pi })，负载力矩期望信号为F_{\mathrm{d}}=\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t+\mathrm{1.5}\mathrm{\pi })，负载力矩F_{\mathrm{L}}响应曲线见图10。

由图11和图12可以看出，系统受到外界负载扰动时控制性能会出现一定的下降。采用NFTSMC-ESO-F控制策略的最大跟踪误差约为1.90°，系统出现了强烈波动。而NFTSMC-IESO-F控制策略的最大跟踪误差约为1.38°，可有效抑制波动现象，跟踪精度明显提高，表明IESO对扰动抑制性更强。

3.2 实验验证

为进一步验证所提出的基于扰动观测和摩擦补偿控制策略的有效性，搭建图13所示的气动伺服平台。实验设备主要参数见表3，其中分辨率用每转脉冲数（pulses per revolution，PPR）来表示。

为更好地验证所提策略的优越性，设计与仿真验证相同类型的实验。利用最大跟踪误差e_{\mathrm{m}}和均方根误差e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}综合分析评价系统的轨迹跟踪精度和对扰动的抑制性能，其中均方根误差的计算表达式如下：

e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt[]{[{\sum (x-x_{\mathrm{d}})}^{\mathrm{2}}/n_{\mathrm{s}}]}（34）

式中：n为采样数据个数。

3.2.1 幅值90°、频率0.5 Hz正弦轨迹跟踪实验

频率0.5 Hz时位置跟踪系统的性能指标如表4所示。对比图14、图15与图6、图7可知，由于实验环境中存在安装误差、噪声等不利因素的影响，使不同控制策略下仿真系统的性能指标均明显优于实验中的性能指标。

由图14、图15和表4可知，当采用PID控制策略时，系统在换向处出现了较为明显的爬行现象，系统的e_{\mathrm{m}}约为7.75°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为3.56°，这是由于系统运行惯性较大，摆动活塞在换向处静-动摩擦出现高阶突变，迫使气缸出现爬行现象。当采用NFTSMC控制策略时，系统换向处爬行现象明显减弱，但由于较高的切换项控制增益而出现了一定的抖振现象，系统的e_{\mathrm{m}}约为3.63°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为1.66°。采用NFTSMC-IESO控制策略可以通过IESO对系统扰动进行观测补偿降低切换项增益，以减弱系统的抖振现象，从而提高运行精度，系统的e_{\mathrm{m}}约为1.39°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为0.70°。由前文分析可知，IESO并不能有效观测换向处发生突变的摩擦力矩，仍会出现爬行现象，如图14中局部放大图所示。采用NFTSMC-IESO-F控制策略后，由摩擦而导致的爬行现象明显减弱，系统的e_{\mathrm{m}}约为1.05°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为0.65°，表明NFTSMC-IESO-F控制策略能有效提高系统的抗扰动能力。

3.2.2 幅值100°、频率1.5 Hz正弦轨迹跟踪实验

频率1.5 Hz时位置跟踪系统得性能指标如表5所示。由图16、图17和表5可以看出，系统运行速度提高后出现明显的波动与滞后现象。采用PID控制策略的系统在换向处出现很明显的爬行现象且位移无法达到最大处，系统的e_{\mathrm{m}}约为17.88°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为7.61°。采用NFTSMC控制策略时，系统的爬行现象减弱，出现抖振现象，系统的e_{\mathrm{m}}约为10.92°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为4.24°。采用NFTSMC-IESO控制策略时能抑制系统抖振现象，但仍出现爬行现象，如图16中局部放大图所示，系统的e_{\mathrm{m}}约为7.03°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为2.84°。系统采用NFTSMC-IESO-F控制策略后，由于摩擦补偿弥补了观测器观测不足的问题，此时爬行现象大幅度减弱，系统的e_{\mathrm{m}}约为4.19°，e_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}约为2.55°，其控制精度较对比控制策略分别提高了76.6%、61.6%和40.4%，表明所提出的控制策略在气动摆角伺服系统中具备更好的应用效果。

3.2.3 外界动态负载干扰实验

使NFTSMC-IESO-F与NFTSMC-ESO-F两种控制策略的增益一致，模拟气缸在运动工况下受到幅值为2 N·m的外动态负载力矩干扰。位置控制系统期望信号为x_{\mathrm{d}}=\mathrm{90}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t+\mathrm{1.5}\mathrm{\pi })。力矩控制系统采用PID控制策略，负载力矩期望信号为F_{\mathrm{d}}=\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t+\mathrm{1.5}\mathrm{\pi })，负载力矩F_{\mathrm{L}}响应如图18所示，位置跟踪系统性能指标见表6。

由表6可知，外界负载工况下气动伺服系统的控制性能明显降低。图19、图20表明在较大外部负载工况下，基于经典ESO控制策略的位置跟踪出现较为明显的波动现象，而利用类双曲正切函数特性和引进速度项误差提出的IESO控制策略有效改善了位置跟踪出现的波动现象，实验结果表明与经典ESO相比，IESO明显增强了系统的抗干扰能力，使其运行精度提高了47.6%。

4 结论

1）为解决外部不确定扰动与摩擦导致气动摆角伺服系统控制性能下降问题，提出一种基于扰动观测和摩擦补偿的复合控制策略。利用ESO对系统外部干扰进行观测，并采用LuGre摩擦模型补偿系统摩擦以弥补观测器观测不足。针对经典ESO采用角度误差顺序逼近角速度项观测值所导致的观测器观测精度不高问题以及经典非线性饱和函数存在不可导点易引起信号抖振问题，通过引入类双曲正切函数和角速度项误差设计一种IESO，从而有效提高观测器观测精度。

2）引入一种微分器解决实际系统中存在的“难微分”问题。为提高气动系统鲁棒性，设计一种非奇异快速滑模控制器，利用含积分特性的超螺旋算法平滑控制量输出，从而改善滑模控制中固有抖振问题，将观测器观测值和摩擦项辨识值进行反馈补偿，有效提高了系统的控制性能。

3）将本文提出的NFTSMC-IESO-F分别与PID、NFTSMC、NFTSMC-IESO和NFTSMC-ESO-F控制策略进行对比分析，仿真与实验结果均表明，采用NFTSMC-IESO-F控制策略提高了系统的轨迹跟踪性能，表明所提出的控制策略更具优势。

本文存在如下工作有待进一步研究：①外部负载扰动工况下摩擦对系统影响加剧，有必要深入研究气动伺服系统的摩擦特性，并分析出更适合的摩擦模型；②提高气动伺服系统抗高频扰动能力。

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基金资助

国家自然科学基金(51905159)

国家自然科学基金(52075152)