刚度自调谐宽频动力吸振器设计与试验研究

Design and Experimental Study of Stiffness Self-tuning Wideband Dynamic Vibration Absorbers

摘要

为解决传统动力吸振器在外界激振力频率发生偏移时失谐、减振效果急剧下降的问题，设计了一种通过调节自身刚度来改变其固有频率以扩宽吸振频带的新型宽频动力吸振器。对吸振器的吸振及频率调节机理进行了理论分析，采用改进麻雀搜索算法（ISSA）进行PID参数优化，最后使用ISSA-PID控制器调节吸振器结构参数，实现自适应宽频吸振。仿真结果表明，ISSA寻优比麻雀搜索算法（SSA）寻优的迭代次数更少，寻优能力更强；ISSA优化后的控制方案超调量比优化前减少44.8%，比SSA优化后减少33.3%；ISSA优化后的控制方案调整时间比SSA优化后缩短16.2%。试验结果表明，该宽频动力吸振器吸振频带宽且减振效果显著，有较高工程应用价值。

Abstract

To address the issues of traditional dynamic absorbers losing resonance and exhibiting a significant decline in vibration reduction performance when the external excitation frequency shifted， a novel wideband dynamic vibration absorber was designed that altered the stiffness to change the natural frequency， and to broaden the vibration absorption bandwidth. The vibration absorption and frequency adjustment mechanism of the absorbers were theoretically analyzed， followed by PID parameter optimization by using an ISSA， finally， an ISSA-PID controller was employed to adjust the structural parameters of the absorbers， achieving adaptive wideband vibration absorption. Simulation results indicate that the ISSA optimization requires fewer iterations and demonstrates greater optimization capability compared to the sparrow search algorithm（SSA） optimization. The control scheme optimized by ISSA reduces the overshoot by 44.8% compared to that of the pre-optimization condition and reduces by 33.3% compared to that of the SSA-optimized scheme. In addition， the settling time of the control scheme optimized by ISSA is reduced by 16.2% compared to that of the SSA-optimized scheme. The testing results indicate that the wideband dynamic vibration absorber has a wide vibration absorption bandwidth and significant vibration reduction effectiveness， demonstrating substantial engineering application value.

Graphical abstract

关键词

动力吸振器 / 宽频 / 参数优化 / 改进麻雀搜索算法（ISSA） / PID控制

Key words

dynamic vibration absorber / wideband / parameter optimization / improved sparrow search algorithm（ISSA） / PID control

0 引言

动力吸振器是一种简单有效的减振设备，已在多个领域得到广泛应用。传统动力吸振器在其固有频率与外界激振力频率一致时能显著抑制主系统的振动，由于动力吸振器结构简单且性能可靠，在结构减振降噪工程中发挥着重要作用^［1-3］。近年来，关于悬臂梁式动力吸振器的研究已经取得了重要进展。MARTINS等^［4］基于不确定性和灵敏度分析优化动力吸振器参数，大幅提高了动力吸振器的减振性能。代林等^［5］构建了理想n级动力吸振器模型并进行参数优化，有效抑制了主系统共振响应。董成林等^［6］提出了一种三维动力吸振器，通过推导该吸振器的模态解析解，设计出一款可以抑制50 Hz线谱振动的动力吸振器，该吸振器在3个垂直方向上均表现出良好的减振效果。尽管这些研究在一定程度上有效抑制了振动，但传统动力吸振器在外界激振力频率变化时易失谐，限制了其应用范围，因此，设计开发一种能根据外界激振力频率变化自适应调节自身结构参数的宽频动力吸振器显得尤为重要。

目前，关于拓宽动力吸振器吸振频带方面的研究已有一些报道。许维炳等^［7］针对桥梁结构振动特性，提出了一种调频型颗粒阻尼器设计方法，为桥梁的减振控制提供了新思路。NAGAYA等^［8］设计了一种半主动式动力吸振器，通过改变悬臂梁刚度来实现宽频吸振。刘刚等^［9］设计了一种新型的变质量-负刚度动力吸振器，通过建立其动力学方程分析了吸振器的工作原理，并通过仿真与试验验证了该吸振器的固有频率连续可调，减振效果良好。肖和业等^［10］将功率流理论与有限元方法相结合，分析了连续参数型动力吸振器变阻尼复合梁的吸振特性，验证了该变阻尼复合梁具有吸振频带宽、吸振效果好的特性。操瑞志等^［11］通过调节悬臂梁轴向力大小来改变刚度，设计了一种新型半主动式动力吸振器，并在风洞测力模型上验证了该吸振器具有良好的减振效果。

在以往拓宽吸振频带的研究中，学者们往往忽视了对吸振器固有频率的自适应调节，因此，本文在前人工作的基础上从实际应用出发，设计了一种基于改进麻雀搜索算法-PID（improved sparrow search algorithm-PID，ISSA-PID）控制的新型宽频动力吸振器。利用Euler-Bernoulli梁理论^［12-13］对频率方程进行简化求解，通过结合PID控制器^［14-15］改变吸振器自身刚度，实现固有频率自适应调节，并获得理想的振动抑制效果。该新型宽频动力吸振器结构简单、响应迅速、实时性强，具有高可控性，展现出了广阔的工程应用前景。

1 动力吸振器理论研究

主振动系统及其动力吸振器动力学模型如图1所示，其中主振动系统的质量、刚度、阻尼分别为m_{\mathrm{s}}、k_{\mathrm{s}}、c_{\mathrm{s}}，振动位移为x_{\mathrm{s}}，外界激振力为F；动力吸振器的质量、刚度、阻尼分别为m_{\mathrm{d}}、k_{\mathrm{d}}、c_{\mathrm{d}}，振动位移为x_{\mathrm{d}}。

振动微分方程如下：

\left.\begin{array}{l}{m}_{\mathrm{s}}{\ddot{x}}_{\mathrm{s}}+(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{d}}){\dot{x}}_{\mathrm{s}}+(k_{\mathrm{s}}+k_{\mathrm{d}})x_{\mathrm{s}}-c_{\mathrm{d}}{\dot{x}}_{\mathrm{d}}-k_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}=f\\ m_{\mathrm{d}}{\ddot{x}}_{\mathrm{d}}-c_{\mathrm{d}}{\dot{x}}_{\mathrm{s}}-k_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{d}}{\dot{x}}_{\mathrm{d}}+k_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}=\mathrm{0}\end{array}\right\}（1）

由式（1）推导可得主振动系统的量纲一响应放大因子\beta，其数学关系式如下：

\beta \left(\omega \right)=\sqrt[]{(\mathrm{1}-{\lambda }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+{(\mathrm{2}\zeta \frac{{\omega }_{\mathrm{s}}}{{\omega }_{\mathrm{d}}}\lambda )}^{\mathrm{2}}}/\sqrt[]{{\Delta }_{\mathrm{d}}}（2）

\begin{array}{c}{\Delta }_{\mathrm{d}}=[\frac{{\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}{\lambda }^{\mathrm{4}}-(\frac{{\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}+\mathrm{4}\zeta Z){\lambda }^{\mathrm{2}}{+\mathrm{1}]}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{4}{\zeta }^{\mathrm{2}}\frac{{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}{{\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\lambda }^{\mathrm{2}}[-(\mathrm{1}+\mu +\frac{Z}{\zeta })\frac{{\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+{(\mathrm{1}+\frac{Z}{\zeta }\frac{{\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}})]}^{\mathrm{2}}\end{array}

{\omega }_{\mathrm{s}}=\sqrt[]{k_{\mathrm{s}}/m_{\mathrm{s}}}{\omega }_{\mathrm{d}}=\sqrt[]{k_{\mathrm{d}}/m_{\mathrm{d}}}\mu =m_{\mathrm{d}}/m_{\mathrm{s}}

\zeta =c_{\mathrm{d}}/(\mathrm{2}{m}_{\mathrm{d}}{\omega }_{\mathrm{d}})Z=c_{\mathrm{s}}/(\mathrm{2}{m}_{\mathrm{s}}{\omega }_{\mathrm{s}}）

\lambda =\omega /{\omega }_{\mathrm{d}}\beta =X_{\mathrm{s}}/X_{\mathrm{s}\mathrm{t}}X_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=F_{\mathrm{A}}/k_{\mathrm{s}}

F=F_{\mathrm{A}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega tx_{\mathrm{s}}=X_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t-\phi )

式中：{\omega }_{\mathrm{s}}为主系统固有角频率；{\omega }_{\mathrm{d}}为吸振器固有角频率；F_A为外部激振力幅值；ω为外界激振力角频率；\phi为相位角；X_{\mathrm{s}}为主系统振幅；X_{\mathrm{s}\mathrm{t}}为主系统在力F_A下的静变形。

不同阻尼条件下放大因子\beta随频率比\lambda的变化规律如图2所示。

由图2可知，对于理想无阻尼动力吸振器，当频率比\lambda =\mathrm{1}时，主系统振幅为零，可实现完全消振；对于实际有阻尼动力吸振器，当频率比\lambda \approx \mathrm{1}时，主系统振幅也可达到极小值，表现出良好的减振效果。然而，一旦外界激振力频率发生偏移，导致动力吸振器固有频率与之失谐，则主系统振幅将急剧增大，减振性能显著降低。

2 宽频动力吸振器结构设计

2.1 动力吸振器固有频率调节原理

为使动力吸振器具备调节自身固有频率的能力，采用了一种可变刚度的调频方法，该方法通过设计一种悬臂长度连续可调的悬臂梁结构来实现固有频率的调节。对于悬臂梁，梁本身一般由钢材制造，线密度较大，为计算准确，在计算固有频率时不能忽略悬臂梁的分布质量，悬臂梁动力学模型如图3所示。

图3中，l为悬臂梁长度，m为悬臂梁顶端质量块质量，y_{\mathrm{0}}为悬臂梁最大位移。当考虑等截面悬臂质量时，运用材料力学和微积分原理，推导可得系统最大动能为

T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(m+\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{140}}\rho l){\omega }_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}（3）

系统势能最大值为

U_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3}EI}{l^{\mathrm{3}}}{y}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}（4）

根据能量法T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=U_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，可得

{\omega }_{\mathrm{d}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{3}EI/l^{\mathrm{3}}}{m+(\mathrm{33}/\mathrm{140})\rho l}}（5）

其中，\rho为线密度，y_d为动力吸振器的位移，E为弹性模量，I为截面惯性矩。由此可见，可通过改变悬臂梁长度l来改变动力吸振器的固有角频率ω_d。

2.2 宽频动力吸振器结构设计

本文设计的宽频动力吸振器如图4所示。该装置由悬臂梁、质量块、步进电机、丝杠、滑块和龙门架等组件构成。质量块和悬臂梁均由45号钢制成，质量块固定于悬臂梁的末端，悬臂梁的另一端连接滑块。滑块通过丝杠与步进电机相连，利用步进电机控制丝杠旋转，进而驱动滑块移动来调节悬臂梁长度，并达到改变悬臂梁抗弯刚度的目的，以此实现动力吸振器固有频率能在较宽范围内变化。

3 SSA-PID控制算法研究

3.1 PID控制器

随着外界激振力频率的变化，为使宽频动力吸振器能够自适应调节自身刚度，使其固有频率总能与外界激振力频率保持一致，故加入了PID控制器。PID控制器作为生产中应用极其广泛的控制手段^［16］，按照比例积分微分系数计算系统的误差，最终获得控制量来控制受控对象。图5所示为PID控制器系统结构。

PID控制器的控制方式可表示为

u(t)=K_{\mathrm{p}}e(t)+K_{\mathrm{i}}\int e(t)\mathrm{d}t+K_{\mathrm{d}}\frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t}（6）

e(t)=r(t)-y(t)

式中：u（t）为控制器在时间t下输出的控制信号（即控制器输出）；K_{\mathrm{p}}为比例系数；K_{\mathrm{i}}为积分系数；K_{\mathrm{d}}为微分系数；e（t）为误差；r(t)为目标值；y(t)为实际值。

3.2 ISSA优化PID参数

相关研究表明，PID参数的选取对系统的控制效果有显著影响，因此对PID参数进行优化极其必要。麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）是XUE等^［17］于2020年提出的一种智能优化算法，该算法模拟麻雀群体觅食和反哺行为特性^［18］，具有良好的寻优能力，并且稳定性好。

SSA算法中，将PID的3个参数（K_{\mathrm{p}}\mathrm{、}{K}_{\mathrm{i}}\mathrm{、}{K}_{\mathrm{d}}）作为麻雀的位置向量，传统的生产者位置更新公式如下：

（7）

式中：{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{P}}^{(n)}为麻雀i在第n次迭代时第j维的生产者位置；I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大迭代次数；\alpha为一个随机数；S_{\mathrm{T}}为安全值；Q为服从正态分布的随机数；\mathit{L}为\mathrm{1}\times \mathrm{3}阶矩阵；R_{\mathrm{2}}为预警值，当时，表示觅食环境安全，生产者会扩大范围搜寻食物；当R_{\mathrm{2}}\ge S_{\mathrm{T}}时，表示麻雀监测到了捕食者，种群需要迅速移动到安全区域。

针对传统生产者位置更新算法优化时间长、易陷入局部最优的问题，本文采用黄金正弦策略^［19］优化生产者的位置更新算法。一方面，采用正弦函数寻优可以扩大搜索空间，避免陷入局部最优；另一方面，当每次迭代时麻雀个体都会与最优个体交流，可以充分利用当前最优信息；同时，引入黄金分割系数可以逐步缩小搜索空间，从而提高算法的寻优速度。

改进后的生产者位置更新公式如下：

（8）

x_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\mathrm{\pi }(\mathrm{1}-\tau )-\mathrm{\pi }x_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\tau -\mathrm{\pi }

式中：{\mathit{x}}_{\mathrm{b}}^{(n)}为麻雀在第n次迭代的全局最优位置；r_{\mathrm{1}}为决定下次迭代个体移动距离的随机数，r_{\mathrm{1}}\in [\mathrm{0,2}\mathrm{\pi }]；r_{\mathrm{2}}为决定下次迭代个体移动方向的随机数，r_{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0},\mathrm{\pi }]；x_{\mathrm{1}}、x_{\mathrm{2}}为根据黄金分割系数\tau (\tau =(\sqrt[]{\mathrm{5}}-\mathrm{1})/\mathrm{2})得到的系数。

传统的跟随者位置更新公式如下：

\begin{array}{c}{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n+\mathrm{1})}=\\ \left\{\begin{array}{l}Q\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{{\mathit{X}}_{\mathrm{w}}^{(n)}-{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n)}}{i^{\mathrm{2}}})i>\frac{N}{\mathrm{2}}\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{b}}^{(n+\mathrm{1})}+\left|{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n)}-{\mathit{X}}_{\mathrm{b}}^{(n+\mathrm{1})}\right|{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}(\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathit{L}i\le \frac{N}{\mathrm{2}}\end{array}\right.\end{array}（9）

式中：{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n)}为麻雀i在第n次迭代时第j维的跟随者位置；{\mathit{X}}_{\mathrm{w}}^{(n)}为迭代群体中某一个体在第n次迭代后的最差位置；{\mathit{X}}_{\mathrm{b}}^{(n+\mathrm{1})}为迭代群体中某一个体在第n+1次迭代后的最优位置；\mathit{A}为\mathrm{1}\times \mathrm{3}阶矩阵，其元素随机取\pm \mathrm{1}；N为种群数量。

当跟随者察觉到生产者搜寻到优质食物时会大量涌入，会导致生产者周围种群密度过高，极易陷入局部最优。针对这一现象，本文采用Levy飞行策略优化跟随者位置更新公式，可以产生随机多样的步长，从而扩大跟随者的搜索空间，提高全局寻优能力，避免陷入局部最优。对步长进行量纲一化处理，图6为Levy飞行策略仿真图，其中不同颜色代表不同的步长。

改进后的跟随者位置更新公式如下：

{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{\mathrm{*}(n+\mathrm{1})}=\left\{\begin{array}{l}Q\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{{\mathit{X}}_{\mathrm{w}}^{(n)}-{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n)}}{i^{\mathrm{2}}})i>\frac{N}{\mathrm{2}}\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{b}}^{(n+\mathrm{1})}+|{\mathit{X}}_{i,j,\mathrm{F}}^{(n)}-{\mathit{X}}_{\mathrm{b}}^{(n+\mathrm{1})}|Si\le \frac{N}{\mathrm{2}}\end{array}\right.（10）

S=\theta /|\delta {|}^{\frac{\mathrm{1}}{\varphi }}

其中，\theta和\delta遵循正态分布，\theta ~N(\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{\mu }}^{\mathrm{2}})，\delta ~N(\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{2}})，标准差{\sigma }_{\mathrm{v}}=\mathrm{1}、{\sigma }_{\mathrm{\mu }}={\left[\frac{\eta (\mathrm{1}+\varphi )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\pi \varphi /\mathrm{2})}{{\mathrm{2}}^{\left(\mathrm{1}+\varphi \right)/\mathrm{2}}\eta ((\mathrm{1}+\varphi )/\mathrm{2})\varphi }\right]}^{\mathrm{1}/\varphi }，\eta为一个标准伽马函数，\varphi通常取值1.5。

3.3 基于ISSA-PID宽频动力吸振器仿真分析

使用ISSA优化PID参数的目的就是寻找一组PID值，以使适应度值最小。图7为ISSA优化PID控制器流程图。考虑到动力吸振器在工程应用中通常需要长期稳定运行的特点，本文提出了一种多目标优化的适应度函数。该适应度函数对当前时间t进行加权积分，由误差项w_{\mathrm{1}}|e(t)|、控制量项w_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}(t)和超调惩罚项w_{\mathrm{3}}组成，其数学表达式如下：

F(t)={\int }_{\mathrm{0}}^{\infty }(w_{\mathrm{1}}|e(t)|+w_{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}}(t)+w_{\mathrm{3}})\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}（11）

式中：w_{\mathrm{1}}、w_{\mathrm{2}}、w_{\mathrm{3}}为适应度函数权值，取值分别如下：w_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.999}，w_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.001}，w_{\mathrm{3}}=\mathrm{100}。

该适应度函数的核心特征在于采用时间加权积分机制，通过对系统响应过程中的误差和控制量施加时变权重，使得相同幅值下的误差和控制量在响应后期具有更大的适应度贡献值，从而使优化结果向最优参数组合收敛。采用该权重配置方案后，适应度函数在系统动态性能和稳态性能之间实现了最优平衡：一方面，在响应初期保持良好的动态特性；另一方面，在稳态阶段通过施加较强的惩罚约束，有效抑制了系统的超调量和持续振荡，提高了系统的稳定性。

本文采用二相混合式步进电机驱动高精度丝杠旋转，从而使滑块移动来调节悬臂梁长度。当采集系统检测到外界激振力频率变化时，基于式（5）可实时计算出该频率所对应的理论悬臂梁长度l_{\mathrm{1}}（目标值），若此时悬臂梁长度为l_{\mathrm{2}}（实际值），则误差函数e(t)经ISSA-PID控制器运算后将向步进电机输出相应脉冲数，从而实现吸振器固有频率的自适应调谐。本文所用步进电机传递函数如下：

G_{\mathrm{2}}(s)=\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{0.04}{s}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}s+\mathrm{1}}（12）

式中：s为复频率。

本文在MATLAB环境下进行了数值仿真计算，并对使用未经优化（优化前）、SSA优化后和ISSA优化后的PID参数的控制效果进行了对比。SSA、ISSA参数均设置如下：种群规模为30，迭代次数为60，预警值S_{\mathrm{T}}=\mathrm{0.6}，生产者比例D_{\mathrm{P}}=\mathrm{0.5}，跟随者比例D_{\mathrm{F}}=\mathrm{0.3}，K_{\mathrm{p}}\mathrm{、}{K}_{\mathrm{i}}\mathrm{、}{K}_{\mathrm{d}}的搜索范围分别为：［0，10］、［0，1］、［0，300］。

图8为SSA、ISSA的适应度值的迭代曲线，可以看到，与SSA相比，ISSA的适应度值更快收敛，表明ISSA可以更快找到最优解。图9~图11为SSA、ISSA分别优化PID参数的收敛曲线，可以明显看出，经ISSA优化后的参数值在更少的迭代次数内达到收敛。表1所示为优化前和经SSA、ISSA优化后的PID参数值。

本文在仿真中模拟了变化的外界激振力频率（初值为f_{\mathrm{0}}=28.1 Hz，终值为f_{\mathrm{2}}=31.3 Hz），并对传统动力吸振器与宽频动力吸振器的吸振效果进行了对比。动力吸振器上悬臂梁的弹性模量E=210 GPa，截面惯性矩I=5.2\times10^-4 m⁴，线密度\rho=7850 kg/m³，悬臂梁顶端质量块的质量m=0.1 kg。吸振器和主系统参数如表2所示。

吸振器固有频率的跟踪曲线见图12，可以看出：基于ISSA优化后的控制方案超调量比优化前减少44.8%，比SSA优化后减少33.3%；ISSA优化后的控制方案响应迅速，在5.92 s左右完成调整，调整时间相较优化前缩短24.4%，比SSA优化后缩短16.2%。这充分证明了ISSA优化所得的PID参数组合相比于SSA优化时具有明显的性能优势，是式（6）所需的全局最优解。同时也证明了ISSA-PID控制器可以更迅速、准确地实现吸振器固有频率对外界激振力频率的跟踪。

将传统动力吸振器与宽频动力吸振器分别安装在主系统上，其振动位移的时域与频域响应分别如图13和图14所示。

由图13和图14可以看出：在外界激励力频率为f_{\mathrm{0}}=28.1 Hz时，安装任意一种吸振器时其主系统振动位移均维持在较低水平，表明此时吸振器具备良好的振动抑制性能。然而，当外界激励力频率变化到f_{\mathrm{1}}=30.0 Hz和f_{\mathrm{2}}=31.3 Hz时，传统动力吸振器因其结构参数无法调节，导致主系统的振动位移显著增大，与f_{\mathrm{0}}时相比，f_{\mathrm{1}}和f_{\mathrm{2}}时的振动位移分别增大了186%和169%。相比之下，宽频动力吸振器所安装的主系统的振动位移变化不明显，仍然保持在较低水平，显示出其优异的宽频吸振性能。

4 宽频动力吸振器减振试验

为验证基于ISSA-PID控制的宽频动力吸振器的减振效果，搭建了图15所示的装置进行减振试验。试验对象为两端简支梁，将其作为主振动系统和减振对象。在梁上安装带有偏心轮的可调速电机以模拟外界激振力频率变化，并在简支梁、动力吸振器以及偏心轮电机上分别安装了ICP加速度传感器。对加速度传感器2的振动信号进行傅里叶变换以实时获取外界激振力频率，并将该频率信号传输至预设ISSA-PID控制算法的PLC控制器中，以实现宽频动力吸振器的自动调谐。试验过程中，当步进电机控制器断开时，吸振器表现为传统动力吸振器，其固有频率不可调节。当步进电机接通并使用ISSA-PID控制时，吸振器转变为本文设计的宽频动力吸振器。使用SIEMENS LMS Test.Lab软件对简支梁的振动加速度响应进行测试。比较分析安装不同动力吸振器情况下简支梁的振动加速度响应以验证仿真计算结果的准确性，进而证实宽频动力吸振器的优异性能。

为模拟外界激振力频率的变化，将宽频动力吸振器的固有频率设定为基准值f_{\mathrm{0}}，并通过调控电机转速，从1686 r/min提高到1800 r/min再调整至1878 r/min，以模拟频率从f_{\mathrm{0}}变化到f_{\mathrm{1}}再到f_{\mathrm{2}}。当频率为f_{\mathrm{0}}时，安装传统动力吸振器以及安装宽频动力吸振器的主系统（简支梁）的振动加速度（加速度传感器1，测点1）均如图16所示。当频率调整至f_{\mathrm{1}}和f_{\mathrm{2}}时，其振动加速度分别如图17和图18所示。

传统动力吸振器和宽频动力吸振器的减振效果对比如图19所示。可以看出：随着外界激振力频率的变化，装有宽频动力吸振器的主系统的振动加速度波动很小，而装有传统动力吸振器的主系统的振动加速度显著增大。宽频动力吸振器表现出优越的宽频吸振特点，与仿真计算结果相一致，进一步验证了ISSA-PID控制器的控制性能和宽频动力吸振器的宽频吸振效果。

5 结论

本研究设计了一种基于改进麻雀搜索算法（ISSA）-PID控制的刚度自调谐宽频动力吸振器，该吸振器具有结构简单、实时性强和高精度的特点，并得出以下结论：

1）该吸振器采用悬臂梁结构设计，通过步进电机调整悬臂梁的长度以改变其刚度，从而有效调节吸振器的固有频率。

2）在ISSA算法中，引入黄金正弦策略来优化生产者位置更新公式，并利用Levy飞行策略优化跟随者位置更新公式，较传统麻雀搜索算法（SSA）表现出了更快的迭代速度和更强的寻优能力。

3）基于ISSA优化的PID控制表现出优异的动态响应特性，与传统PID控制和SSA优化的PID控制相比，大幅减少了超调量和调整时间，且实现了宽频动力吸振器固有频率的自适应调谐。

4）通过仿真计算和试验验证了宽频动力吸振器在较宽频带内均具有良好的减振效果，有较高的工程应用价值。

参考文献

[1] ZHOU S， JEAN-MISTRAL C， CHESNE S. Closed-form Solutions to Optimal Parameters of Dynamic Vibration Absorbers with Negative Stiffness under Harmonic and Transient Excitation［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2019， 157： 528-541.

[2] KUMBHAR M B， SALUNKHE V G， BORGAONKAR A V， et al. Mathematical Modeling and Experimental Evaluation of an Air Spring-air Damper Dynamic Vibration Absorber［J］. Journal of Vibration Engineering & Technologies， 2021， 9： 781-789.

[3] 邢子康， 申永军， 邢海军， 等. 一种含有杠杆元件的动力吸振器参数优化［J］. 振动工程学报， 2020， 33（2）： 347-355.

[4] XING Zikang， SHEN Yongjun， XING Haijun， et al. Parameter Optimization for a Type of Dynamic Vibration Absorber with Lever Component［J］. Journal of Vibration Engineering， 2020， 33（2）： 347-355.

[5] MARTINS L A， LARA-MOLINA F A， KOROISHI E H， et al. Optimal Design of a Dynamic Vibration Absorber with Uncertainties［J］. Journal of Vibration Engineering & Technologies， 2020， 8： 133-140.

[6] 代林， 上官文斌， 张少飞. n级动力吸振器的建模及参数优化［J］. 噪声与振动控制， 2012， 32（3）： 45-48.

[7] DAI Lin， SHANGGUAN Wenbin， ZHANG Shaofei. Modeling and Parameters Optimization of n-Grade Tuned Mass Dampers［J］. Noise and Vibration Control， 2012， 32（3）： 45-48.

[8] 董成林， 蔡龙奇， 李毅， 等. 基于并联机构的三维动力吸振器各向同性设计及减振特性研究［J］. 中国机械工程， 2023， 34（3）： 307-313.

[9] DONG Chenglin， CAI Longqi， LI Yi， et al. Isotropy Design and Vibration Reduction of a Three-dimensional Dynamics Vibration Absorber Based on Parallel Mechanisms［J］. China Mechanical Engineering， 2023， 34（3）： 307-313.

[10] 许维炳， 闫维明， 王瑾， 等. 调频型颗粒阻尼器与高架连续梁桥减震控制研究［J］. 振动与冲击， 2013， 32（23）： 94-99.

[11] XU Weibing， YAN Weiming， WANG Jin， et al. A Tuned Particle Damper and Its Application in Seismic Control of Continuous Viaducts［J］. Journal of Vibration and Shock， 2013， 32（23）： 94-99.

[12] NAGAYA K， KURUSU A， IKAI S， et al. Vibration Control of a Structure by Using a Tunable Absorber and an Optimal Vibration Absorber under Auto-tuning Control ［J］. Journal of Sound and Vibration， 1999， 228（4）： 773-792.

[13] 刘刚， 郑大胜， 丁志雨， 等. 变质量-负刚度动力吸振器试验研究 ［J］. 中国机械工程， 2018， 29（5）： 538-543.

[14] LIU Gang， ZHENG Dasheng， DING Zhiyu， et al. Experimental Study on Variable Mass Negative Stiffness Dynamic Vibration Absorbers［J］. China Mechanical Engineering， 2018， 29（5）： 538-543.

[15] 肖和业， 盛美萍， 雷烨. 连续参数型吸振器吸振分析及优化［J］. 振动、测试与诊断， 2012， 32（3）： 447-451.

[16] XIAO Heye， SHENG Meiping， LEI Ye. Absorption Analysis and Optimization of Dynamic Vibration Absorber with Consecutive Parameters［J］. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2012， 32（3）： 447-451.

[17] 操瑞志， 邵敏强， 陈卫东. 悬臂式刚度自调谐吸振器动力学特性研究 ［J］. 振动、测试与诊断， 2020， 40（5）： 888-894.

[18] CAO Ruizhi， SHAO Minqiang， CHEN Weidong. Dynamic Characteristics of Cantilever Self-tuning Vibration Absorber with Variable Stiffness ［J］. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis， 2020， 40（5）： 888-894.

[19] 潘旦光， 吴顺川， 张维. 变截面Timoshenko悬臂梁自由振动分析［J］. 土木建筑与环境工程， 2009， 31（3）： 25-28.

[20] PAN Danguang， WU Shunchuan， ZHANG Wei. Free Vibration of Non-uniform Timoshenko Cantilever Beams［J］. Civil， Architectural and Environmental Engineering， 2009， 31（3）： 25-28.

[21] EPPELL S J， FRIEDENBERG D， PAYTON O， et al. Euler-Bernoulli Theory Accurately Predicts Atomic Force Microscope Cantilever Shape during Non-equilibrium Snap-to-contact Motion［J］. Nanotechnology， 2020， 31（18）： 185702.

[22] 王伟， 张晶涛， 柴天佑. PID参数先进整定方法综述［J］. 自动化学报， 2000，26（3）： 347-355.

[23] WANG Wei， ZHANG Jingtao， CHAI Tianyou. A Study of Advanced PID Parameter Tuding Methods ［J］. Acta Automatica Sinica， 2000，26（3）： 347-355.

[24] 杨智， 朱海锋， 黄以华. PID控制器设计与参数整定方法综述［J］. 化工自动化及仪表， 2005（5）： 1-7.

[25] YANG Zhi， ZHU Haifeng， HUANG Yihua.Recent Studies of PID Design and Parameter Tuning Method［J］. Control and Instruments in Chemical Industry， 2005 （5）： 1-7.

[26] PSONIS T K， NIKOLAKOPOULOS P G， MITRONIKAS E. Design of a PID Controller for a Linearized Magnetic Bearing ［J］. International Journal of Rotating Machinery， 2015， 2015（1）： 656749.

[27] XUE Jiankai， SHEN Bo. A Novel Swarm Intelligence Optimization Approach： Sparrow Search Algorithm［J］. Systems Science & Control Engineering， 2020， 8（1）： 22-34.

[28] 陈宝奇， 周再祥， 张强. 基于混沌麻雀搜索算法优化BP神经网络的短期风电功率预测［J］. 工业仪表与自动化装置， 2022（6）： 13-17.

[29] CHEN Baoqi， ZHOU Zaixiang， ZHANG Qiang. Short Term Wind Powerprediction Based on BP Neural Network Optimized by Chaos Sparrow Search Optimization Algorithm［J］. Industrial Instrumentation and Automation， 2022（6）： 13-17.

[30] TANYILDIZI E， DEMIR G. Golden Sine Algorithm： a Novel Math-inspired Algorithm［J］. Advances in Electrical and Computer Engineering， 2017： 17（2）.

基金资助

国家自然科学基金(12172231)