一种五轴机床旋转轴位置无关几何误差辨识方法

An Identification Method of PIGEs for Rotary Axes of Five-axis Machine Tools

摘要

为快速辨识五轴机床旋转轴位置无关几何误差（PIGEs），提高旋转轴几何误差辨识精度，提出了一种采用三种球杆仪安装模式的旋转轴PIGEs简便辨识方法。在三种球杆仪安装模式下，通过齐次坐标变换建立了包含安装误差与旋转轴PIGEs的杆长变化模型。利用仿真分析了PIGEs对三种安装模式下球杆仪轨迹的影响，结果表明三种安装模式下控制单轴运动可以实现8项PIGEs的辨识。在辨识实验中，通过对球杆仪安装误差的测量来消除其对辨识精度的影响，以实现旋转轴8项PIGEs的辨识。最后对旋转轴8项PIGEs进行了补偿，实验结果表明，补偿后的误差最大绝对值由103.9 μm减小至 0.46 μm，验证了所提辨识方法的有效性和准确性。

Abstract

In order to quickly identify PIGEs of rotary axis of five-axis machine tools， and improve the accuracy in identifying geometric errors of rotary axis， a simple identification method was proposed for PIGEs of rotary axis using three installation modes of DBB. The mathematical model of bar length changes included installation errors and PIGEs of rotary axis was established based on homogeneous coordinate transformation under three installation modes of DBB. The effects of PIGEs on the paths of DBB were analyzed by simulation under three installation modes， and the results show that eight PIGEs may be identified by controlling uniaxial motion under three installation modes. In the identification experiments， the influences of identification accuracy were eliminated by measuring the installation errors of DBB， and the identification of eight PIGEs of rotary axis was realized. Finally， eight PIGEs of rotary axis were compensated， and the experimental results show that the maximum absolute value of the compensated errors is reduced from 103.9 μm to 0.46 μm， which verifies the effectiveness and accuracy of the proposed identification method.

Graphical abstract

关键词

五轴机床 / 旋转轴 / 位置无关几何误差 / 球杆仪 / 安装模式

Key words

five-axis machine tool / rotary axis / position-independent geometric error（PIGE） / double ball bar（DBB） / installation mode

Author summay

李想，男，1999年生，硕士研究生。研究方向为数控装备技术及其动力学。E-mail：[e-mail]

刘焕牢^*（通信作者），男，1966年生，教授、博士研究生导师。研究方向为数控装备技术、智能制造。E-mail：[e-mail]。

0 引言

五轴机床相比三轴机床具有更好的灵活性，可以加工涡轮叶片、发动机缸体等复杂零部件，但两个旋转轴的增加引入了更多误差，影响五轴机床的精度。在机床加工过程中，影响加工精度的主要误差源可以分为几何误差、热误差和切削力误差，其中几何误差是构成机床误差的主要部分^［1］。根据几何误差与机床运动位置的相关性，可以分为位置相关几何误差（position-dependent geometric errors，PDGEs）和位置无关几何误差（position-independent geometric errors，PIGEs）^［2］。PDGEs由机床部件本身的缺陷导致，其值随着运动轴位置的变化而变化，而PIGEs由机床部件在装配过程中的误差导致，其值是恒定的，不受轴的位置变化影响^［3］。对于五轴机床，旋转轴几何误差是主要误差来源，且旋转轴PIGEs对机床的精度影响多于旋转轴PDGEs^［4-5］的影响，因此旋转轴PIGEs的测量与辨识对五轴机床精度的提升具有重要意义。

对于旋转轴PIGEs的测量，目前常用的仪器包括激光跟踪仪^［6-7］、接触式触发探头^［8-9］、R-test^［10-11］、球杆仪^［12-14］等。相比于其他仪器，球杆仪具有成本低、安装便捷、测量稳定等优点，被广泛应用于旋转轴误差的测量^［15］。球杆仪的两端球头通常吸附在测量目标的不同位置，在测量目标的运动过程中，根据球杆仪杆长的变化情况，结合误差辨识模型分离出旋转轴几何误差项。针对球杆仪对旋转轴PIGEs的测量，学者们已开展了许多研究。目前常用的测量模式包括多轴联动测量和单轴运动测量等。

针对多轴联动的旋转轴PIGEs的测量，TSUTSUMI等 ^［12］通过控制三轴同步运动保证球杆仪在每个旋转轴的切向、径向、轴向敏感方向上保持恒定，建立了考虑特定误差的数学模型，最终辨识出8项PIGEs。GUO等^［16］提出了针对单摆头五轴机床的4种测量模式，通过三轴同步运动对旋转轴10项PIGEs进行测量和辨识，并采用Morris全局灵敏度识别了几何误差元素的耦合，实现了可调节的4项PIGEs的补偿。但对于多轴联动的测量方法，由于无法完全补偿平动轴的几何误差，测量结果会受到平动轴误差的干扰，从而影响最终的辨识精度。

为解决平动轴和旋转轴几何误差的耦合问题，一些学者提出仅控制旋转轴运动的测量方法。项四通^［17］保持平动轴静止，仅控制两个旋转轴同步运动，消除了平动轴对旋转轴PIGEs测量的影响，提高了辨识精度。但在测量前需要准确辨识A轴和C轴轴线的位置，这增加了操作难度和安装时间，影响了测量的简便性。LEE等^［13］通过控制旋转轴单轴运动，根据4种安装模式建立了包含球杆仪安装误差的PIGEs模型，并通过调整夹具来最小化安装误差，提高了误差辨识模型的精度。但夹具的安装和调整增加了测量的复杂性，对辨识结果带来了不确定性因素。JIANG等 ^［3］通过使用球杆仪延长杆在单轴旋转的4种安装模式下实现了旋转轴8项PIGEs的辨识。该方法消除了球杆仪安装误差对辨识模型的影响，同时保证了测量过程的简便快速，但延长杆的使用可能会影响测量结果的准确性，降低最终辨识结果的精度。OSEI等^［5］提出了一种新的辨识旋转轴PIGEs方法，该方法需要的球杆仪安装模式较少，无需延长杆，也不需要识别旋转轴轴线，提高了测量过程的简便性，但在误差建模中未考虑球杆仪安装误差的影响，无法保证误差辨识模型的精度。张文斌等^［18］通过控制被测轴单轴运动建立了4种安装模式下包含球杆仪安装误差的杆长数学模型，并通过反求工件球在所测轴的实际初始坐标解决了坐标计算的不一致问题，提高了误差辨识模型的精度。但该方法需要较多的球杆仪安装模式，影响了测量的简便性。

总体来说，上述方法都需要较多的球杆仪安装模式或测量前的一些准备工作，无法在保证误差辨识精度的同时简化球杆仪测量的过程。由此可知，在旋转轴PIGEs的测量过程中，不仅要注意平动轴和旋转轴的误差耦合问题以及球杆仪可能引入的不确定性和安装误差对测量结果的影响，以保证误差辨识模型的精度，同时还需要考虑实际测量过程的简便性，简化球杆仪安装过程，从而提高误差测量与辨识的效率。针对上述问题，本文提出了一种基于三种球杆仪安装模式的旋转轴PIGEs简便辨识方法，实现了对旋转轴8项PIGEs的辨识。

1 五轴机床及旋转轴误差

1.1 机床结构和坐标系建立

本文针对一台双转台五轴机床进行实验研究，其结构与坐标系如图1所示。它由三个线性轴（X轴、Y轴、Z轴）以及两个旋转轴（A轴、C轴）组成，其运动链结构分为刀具链（R-Y-X-Z-T）和工件链（R-A-C-W）。由于只对旋转轴进行研究，因此在坐标系建立过程中不考虑线性轴，将A轴坐标系（ACS）｛S _A ｝建立在A轴和C轴轴线交点处，将C轴坐标系（CCS）｛S_C ｝建立在回转工作台的中心处。为简化建模，将工件坐标系（WCS）｛S_W｝与｛S_C ｝重合，将参考坐标系（RCS）｛S_R｝与｛S_A ｝重合，且上述四个坐标系的Z轴轴线共线。

1.2 旋转轴PIGEs的定义

旋转轴PIGEs是由机床部件在装配过程中的偏差导致的，它会引起轴的位置与角度产生误差，对机床实际加工的精度产生影响。本文研究的机床结构如图1所示，其旋转轴由A轴和C轴组成，根据ISO 230-7^［19］的定义，每个旋转轴有4项PIGEs，其中包括2项位置误差和2项垂直度误差，如图2所示。δ_YA 、δ_ZA 分别为A轴轴线沿机床参考坐标系中Y_R和Z_R方向上的位置误差，S_YA 、S_ZA 分别为A轴轴线绕Y_R和Z_R两轴线的垂直度误差，δ_XC 、δ_YC 分别为C轴轴线沿A轴坐标系中X_A 和Y_A 方向上的位置误差，S_XC 、S_YC 分别为C轴轴线绕X_A 和Y_A 两轴线的垂直度误差。

2 球杆仪安装模式及PIGEs模型

2.1 三种安装模式

本文仅对旋转轴PIGEs进行测量，在测量过程中控制单个旋转轴运动，以减少其他各轴对PIGEs测量的影响。如图3所示，采用三种安装模式分别对各轴的两个位置误差和两个垂直度误差进行测量。在三种安装模式中，刀具球通过工具杯与主轴连接，工件球通过中心座和磁力座固定在工作台上。

模式一中，控制A轴或C轴运动分别对4项位置误差进行测量。如图3a所示，将刀具球球心安装在A、C两轴线交点处，工件球安装在距离A轴轴线80 mm、C轴轴线60 mm的位置。模式二中，控制A轴运动对2项垂直度误差进行测量。如图3b所示，将刀具球球心安装在A轴轴线上，距离另一轴线100 mm。模式三中，控制C轴运动对2项垂直度误差进行测量。如图3c所示，将刀具球球心安装在C轴轴线上，距离另一轴线100 mm。

2.2 PIGEs模型的建立

本研究采用齐次坐标变换理论建立旋转轴PIGEs模型。首先，根据机床工件端运动链依次建立坐标系，如图1所示，参考坐标系｛S_R｝的中心建立在A、C两轴线的理想相交点处。根据三种安装模式，在｛S_R｝下依次建立包含球杆仪安装误差的刀具球球心B₁和工件球球心B₂的初始坐标。测量中只控制单个旋转轴运动，球心B₁坐标不发生改变，通过逆变换矩阵确定球心B₂在所测轴上的初始位置。然后通过齐次变换矩阵确定球心B₂在｛S_R｝下的实际坐标，使球心B₁和B₂的实际坐标都在｛S_R｝下，从而保证两球心坐标的一致性，提高模型的辨识精度。

在模式一中，刀具球球心B₁和工件球球心B₂在参考坐标系｛S_R｝下的初始坐标分别为

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{1}}}^{(\mathrm{1})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（1）

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}+{\mathrm{L}}_{\mathrm{X}}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}-{\mathrm{L}}_{\mathrm{Y}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（2）

式中：e_X 、e_Y 分别为刀具球球心B₁在｛S_R｝下的X和Y方向上的安装误差；L_X 、L_Y 分别为工件球球心B₂相对于刀具球球心B₁在X和Y方向上的偏移量。

如图4所示，工具杯和刀柄在安装过程中轴线偏离参考坐标系轴线，导致刀具球球心在X和Y方向上产生误差e_X 和e_Y。而工件球安装误差对杆长变化量的影响很小，对实际测量试验的影响可以忽略^［20］。

仅控制A轴运动时，工件球绕A轴做圆周运动，A轴转角为θ_A，A轴坐标系｛S_A ｝到参考坐标系｛S_R｝的实际变换矩阵为

{}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{R}}\mathit{T}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& -S_{ZA}& S_{YA}& \mathrm{0}\\ S_{ZA}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& {\delta }_{YA}\\ -S_{YA}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& {\delta }_{ZA}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\cdot

\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（3）

通过逆矩阵变换计算工件球球心B₂在｛S_A ｝下的初始坐标为

{}^A{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}{=}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{R}}{{\mathit{T}}^{-\mathrm{1}}}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}（4）

经过坐标矩阵变换，得到模式一下仅控制A轴运动时球心B₂在｛S_R｝下的实际坐标为

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}\_\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{(A\mathrm{1})}{=}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{R}}\mathit{T}{}_{}{}^A{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}（5）

而刀具球球心B₁在测量过程中固定不动，所以在｛S_R｝下的坐标不变。代入球心B₁和B₂的坐标，计算化简并忽略高阶误差小量，得到模式一下仅控制A轴运动时球杆仪的实际长度为

L_{A\mathrm{1}}=|{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}^{(A\mathrm{1})}{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}^{(A\mathrm{1})}|=|{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}\_\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{(A\mathrm{1})}-{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{1}}}^{(\mathrm{1})}|=\begin{array}{c}\{[L_X+L_Y(S_{ZA}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A-S_{YA}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A-S_{ZA}{)]}^{\mathrm{2}}+\\ [{\delta }_{YA}+L_X{S}_{ZA}-e_Y+\left({\delta }_{ZA}-L_X{S}_{YA}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A-\\ \left({\delta }_{YA}+L_Y+L_X{S}_{ZA}-e_Y\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A{]}^{\mathrm{2}}+\\ [{\delta }_{ZA}-L_X{S}_{YA}-\left({\delta }_{ZA}-L_X{S}_{YA}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A-\end{array}\left({\delta }_{YA}+L_Y+L_X{S}_{ZA}-e_Y\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A{]}^{\mathrm{2}}{\}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（6）

仅控制C轴运动时，工件球绕C轴做圆周运动，C轴转角为θ_C，C轴坐标系｛S_C ｝到A轴坐标系｛S_A ｝的实际变换矩阵为

{}_C^A\mathit{T}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& S_{YC}& {\delta }_{XC}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& -S_{XC}& {\delta }_{YC}\\ -S_{YC}& S_{XC}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\cdot

\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -Z_{AC}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（7）

通过逆矩阵变换先计算工件球球心B₂在｛S_C ｝下的初始坐标：

{}_{}{}^C{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}={(}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{R}}\mathit{T}{}_C{}^A\mathit{T}{)}^{-\mathrm{1}}{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}（8）

然后求出模式一下仅控制C轴运动时球心B₂在｛S_R｝下的实际坐标：

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}\_\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{(C\mathrm{1})}{=}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{R}}\mathit{T}{}_C{}^A\mathit{T}{}_{}{}^C{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{1})}（9）

最后根据两球心坐标得到模式一下仅控制C轴运动时球杆仪的实际长度为

L_{C\mathrm{1}}=|{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}^{(C\mathrm{1})}{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}^{(C\mathrm{1})}|=|{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}\_\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{(C\mathrm{1})}-{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{1}}}^{(\mathrm{1})}|=\begin{array}{c}\{[{\delta }_{XC}-e_X+({\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}+L_Y-e_Y)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C-\\ ({\delta }_{XC}-L_X-e_X)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C{]}^{\mathrm{2}}+[{\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}-e_Y-\\ ({\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}+L_Y-e_Y)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C-\\ ({\delta }_{XC}-L_X-e_X)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C{]}^{\mathrm{2}}+[L_X{S}_{XC}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C+\\ L_X(S_{YA}+S_{YC})(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C)+\end{array}

L_Y{S}_{XC}(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C)-L_Y(S_{YA}+S_{YC})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C{]}^{\mathrm{2}}{\}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（10）

在模式二中，仅控制A轴运动，由于球杆仪的安装位置发生改变，球心B₁和B₂在｛S_R｝下的初始坐标也发生改变，分别为

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{1}}}^{(\mathrm{2})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}+\mathrm{l}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（11）

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{2})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}+\mathrm{l}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}-\mathrm{L}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（12）

式中：l为刀具球球心到C轴轴线的距离；L为球杆仪的标称长度。

与模式一中相同，先计算工件球球心B₂在｛S_R｝下的实际坐标，然后得到模式二下仅控制A轴运动时球杆仪的实际长度为

\begin{array}{c}{L}_{A\mathrm{2}}=\{[L(S_{ZA}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A-S_{YA}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A-S_{ZA}{)]}^{\mathrm{2}}+\\ [{\delta }_{YA}+l{S}_{ZA}-e_Y+\left({\delta }_{ZA}-l{S}_{YA}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A-\\ \left(L+{\delta }_{YA}+l{S}_{ZA}-e_Y\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A{]}^{\mathrm{2}}+\\ [{\delta }_{ZA}-l{S}_{YA}-\left({\delta }_{ZA}-l{S}_{YA}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_A-\end{array}

\left(L+{\delta }_{YA}+l{S}_{ZA}-e_Y\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_A{]}^{\mathrm{2}}{\}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（13）

在模式三中，仅控制C轴运动，球心B₁和B₂在｛S_R｝下的初始坐标分别为

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{1}}}^{(\mathrm{3})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}& \mathrm{h}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（14）

{}_{}{}^{\mathrm{R}}{\mathit{P}}_{B_{\mathrm{2}}}^{(\mathrm{3})}={[\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}_{\mathrm{X}}+\mathrm{L}& {\mathrm{e}}_{\mathrm{Y}}& \mathrm{h}& \mathrm{1}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（15）

式中：h为刀具球球心到A轴轴线的距离。

同理可求出球心B₂在｛S_R｝下的实际坐标，最后得到模式三下仅控制C轴运动时球杆仪的实际长度为

\begin{array}{c}{L}_{C\mathrm{3}}=(\{{\delta }_{XC}-e_X+h(S_{YA}+S_{YC})+\\ [L+e_X-{\delta }_{XC}-h(S_{YA}+S_{YC})]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C+\\ ({\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}-e_Y-h{S}_{XC})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C{\}}^{\mathrm{2}}+\\ \{{\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}-e_Y-h{S}_{XC}+\\ [L+e_X-{\delta }_{XC}-h(S_{YA}+S_{YC})]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C-\\ ({\delta }_{YA}+{\delta }_{YC}-e_Y-h{S}_{XC})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C{\}}^{\mathrm{2}}+\end{array}

\{L[(S_{YA}+S_{YC})(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_C)+S_{XC}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_C{]\}}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（16）

3 仿真分析

为验证辨识方法的可行性，本文通过仿真分析了三种安装模式下各项误差对球杆仪轨迹的影响。仿真中用到的各项基本参数如表1所示，球杆仪的标称长度为100 mm，位置误差和垂直度误差的取值参考文献［12］和文献［17］，各项位置误差的预设值为10 μm和-10 μm，各项垂直度误差的预设值为0.005°和-0.005°。将8项PIGEs的预设值代入三种安装模式下的误差模型，可以拟合出各项PIGEs对球杆仪长度的影响，如表2所示，其中蓝色曲线是误差为正值的轨迹，红色曲线是误差为负值的轨迹，空白处表示该误差对球杆仪轨迹无影响。

模式一中仅A轴旋转时，位置误差δ_YA 、δ_ZA 对球杆仪轨迹产生影响，而垂直度误差S_YA 、S_ZA 以及C轴PIGEs对圆轨迹不产生影响。模式二中，位置误差δ_YA 、δ_ZA 和垂直度误差S_YA 、S_ZA 对球杆仪轨迹均产生影响，而C轴PIGEs不影响圆轨迹。模式一中仅C轴旋转时，位置误差δ_YA 、δ_XC 、δ_YC 对球杆仪轨迹产生影响，且δ_YA 、δ_YC 的影响效果相同，而垂直度误差S_YA 、S_XC 、S_YC 对圆轨迹无影响。模式三中，位置误差δ_YA 、δ_XC 、δ_YC 和垂直度误差S_YA 、S_XC 、S_YC 对球杆仪轨迹均产生影响，其中δ_YA 、δ_YC 、S_XC 引起圆轨迹在Y方向上的偏心，且δ_YA 、δ_YC 的影响效果相同，S_YA 、δ_XC 、S_YC 引起圆轨迹的半径变化和在X方向上的偏心，且三者的影响效果均相同。

通过仿真可以看出，在模式一下分别控制A轴和C轴单轴运动时可以辨识出4项位置误差。结合模式一中辨识的位置误差值δ_YA 、δ_ZA，在模式二下可以辨识出A轴两项垂直度误差。最后根据前两种模式中的辨识值，在模式三下可以实现C轴两项垂直度误差的辨识。仿真结果表明，在模式一下，先后控制A轴和C轴单轴运动可以实现4项位置误差的辨识，通过球杆仪的三种安装模式可以辨识出旋转轴8项PIGEs。

4 实验测量与验证

4.1 球杆仪安装误差测量

球杆仪安装误差是由刀具球和工件球两端的安装误差组成，刀具球安装误差主要由工具杯和刀柄在安装过程中的轴线偏离导致，而工件球安装误差则由中心座在锁紧过程中的偏差导致，其中工件球安装误差可以忽略。

实验过程中，球杆仪安装误差会对杆长变化量产生影响，造成测量数据的偏差，从而使最终的PIGEs辨识结果产生误差，因此需要消除球杆仪安装误差对PIGEs辨识实验的影响。本文通过数显千分表和球杆仪对安装误差进行测量，测量原理如图5所示，其中R为刀具球球心到主轴轴线的距离，θ为主轴旋转角度，L₀为主轴旋转角度为0°时对应的球杆仪长度。

本实验以捷甬达V545-5AXIII型五轴机床为对象，使用雷尼绍QC20-W型球杆仪对旋转轴PIGEs进行测量与辨识。根据ISO 230-1^［21］和ISO 230-7^［19］的建议，实验前保证环境温度在20 ℃左右，并通过热机程序对机床进行充分预热。

测量时先将中心设定球安装在工具杯上，通过sylvac μs234型千分表测量出设定球到主轴的距离Z_s，如图6a所示。然后将主轴移动到NC系统中C轴回转中心的坐标位置，刀具球安装在主轴一侧，工件球安装在刀具球沿X正向移动100 mm的位置，如图6b所示。通过转动主轴观察球杆仪长度和主轴旋转角度变化，记录转动过程中球杆仪长度的最小值L_min、最大值L_max和对应的主轴旋转角度θ₁和θ₂，以及球杆仪长度L₀。

安装误差e_X 和e_Y 的计算表达式分别如下：

e_X=-R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta（17）

（18）

R=\frac{L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{\mathrm{2}}　　 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{R^{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-(L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{+R)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}R{L}_{\mathrm{0}}}

本实验中，设定球到主轴的距离Z_s=198.421 mm，安装误差e_X =0.0653 mm、e_Y =-0.0063 mm。

4.2 辨识实验与补偿验证

测量实验中球杆仪标称长度为100 mm，A轴测量范围为-15°~70°，C轴测量范围为0°~360°。安装误差测量完成后，根据图3所示的三种安装模式对球杆仪进行安装。安装完成后在各模式下控制A轴或C轴单轴运动，每5°记录一次球杆仪长度数据，A轴每组测量重复三次，C轴每组测量重复两次，以避免测量结果的偶然性。实际测量现场如图7所示，在模式一和模式二下控制A轴运动，在模式一和模式三下控制C轴运动。

测量完成后，将球杆仪长度数据与安装误差代入式（6）、式（10）、式（13）、式（16），并通过曲线拟合每组测量数据的平均值，辨识出旋转轴8项PIGEs，补偿前后的结果如表3所示。可以看出，各项误差均具有较好的补偿效果，补偿后8项PIGEs的降低率均高于65%，其中，S_YA 的误差降低率最低，为67.66%。

补偿前后的球杆仪长度数据L的趋势如图8所示，可以看出补偿后的四次测量结果相较于补偿前均有显著提升，补偿后的球杆仪轨迹与理想轨迹基本重合。

与已有旋转轴PIGEs辨识方法的对比如表4所示，可以看出，本文方法需要的球杆仪安装次数较少，同时与其他两种方法相比，经本文方法补偿后8项PIGEs的平均降低率最高，补偿后的误差最大绝对值由103.90 μm减小至0.46 μm，降低率最高为99.56%，验证了所提辨识方法的有效性和准确性。

5 结论

1）本文提出了一种基于球杆仪三次安装的旋转轴位置无关几何误差（PIGEs）简便辨识方法。通过将刀具球球心安装在A、C轴轴线交点处，工件球在X、Y方向偏置安装，先后控制两轴单轴运动，利用一次安装下两种测量模式的切换，实现了旋转轴4项位置误差的辨识，保证了球杆仪安装与测量的简便性。

2）在建模过程中考虑了球杆仪安装误差的影响，并通过实验测量消除球杆仪安装误差的影响，同时通过仿真分析验证了辨识方法的有效性，仿真结果表明，球杆仪在3种安装模式下可以实现旋转轴8项PIGEs的辨识。

3）通过与其他辨识方法的对比，本文方法需要较少的球杆仪安装次数，补偿后的8项PIGEs均有显著降低，补偿后的误差最大绝对值由103.90 μm减小至0.46 μm，验证了所提辨识方法的有效性和准确性。

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基金资助

国家自然科学基金(52175458)

广东省普通高校重点领域专项(2022ZDZX3006)

广东省科技厅高新技术专题(2021A05186)