考虑冗余自由度的六轴机器人光顺运动路径规划方法

A Smooth Motion Path Planning Method for Six-axis Robots Considering Redundancy

摘要

现有的冗余优化方法在六轴机器人执行五轴加工任务时往往未能充分利用机器人的冗余自由度，影响所规划运动路径的光顺效果。提出了一种高效的六轴机器人无碰撞且光顺的关节运动路径规划方法，该方法通过改变每个刀位数据处的冗余变量来生成所有可行的机器人姿态，充分利用机器人的冗余自由度。为了提高计算效率，引入了结合粗搜索和精搜索的两步搜索策略，并采用贪心策略从可行姿态里选择机器人姿态。该方法无需分割加工路径，可以同时优化整个加工路径的机器人姿态。仿真计算了六轴机器人执行五轴铣削加工曲面任务的关节运动路径，验证了所提方法的有效性。

Abstract

The existing redundancy optimization methods might fail to fully exploit the robot's redundancy when six-axis industrial robots performing five-axis machining tasks， limiting the smoothness of the planned motion path. An efficient algorithm was proposed for collision-free and smooth joint motion planning of six-axis robots. The method fully utilized the robot's redundancy by varying the redundancy variable at each cutter location data to generate all possible candidate robot postures. To enhance computational efficiency， a two-step search strategy was introduced combining rough and fine searches with a greedy approach， and the robot postures were selected from feasible postures with greedy strategy. The proposed method does not require segmenting the machining path and may optimize the robot's posture along the entire machining path simultaneously. The effectiveness of the proposed algorithm was validated by simulation calculations on joint motion paths of six-axis industrial robots conducting five-axis milling surface machining tasks.

Graphical abstract

关键词

机器人加工 / 冗余优化 / 光顺关节运动 / 碰撞避免

Key words

robotic machining / redundancy optimization / smooth joint motion / collision avoidance

Author summay

梁海平，男，2000年生，硕士研究生。研究方向为骨科手术机器人。E-mail： [e-mail]。

0 引言

相较于数控机床，工业机器人在灵活性、工作空间和加工成本方面具有显著优势，其应用已从传统的重复性、低精度任务（如装配和搬运）逐步扩展到高精度制造工艺（抛光、铣削、增材制造等）。

在运动路径规划中，减小加速度可提高运动平稳性。理想的机器人关节运动路径应尽量减小加速度，实现平滑运动，且需考虑避免碰撞。LIU等^［1］将抛光执行器的3个关节作为冗余变量，通过冗余优化为轮毂抛光的九自由度机器人（六轴机器人末端安装三轴抛光执行器）规划关节运动路径。FERRENTINO等^［2］同步考虑机器人冗余优化和轨迹规划，有效利用机器人冗余自由度来优化轨迹。然而，上述方法在规划机器人关节运动路径时均未考虑碰撞检测问题。碰撞检测的主要瓶颈在于准确性与计算时间之间的平衡。为提高计算效率，研究人员通常采用包围盒技术简化机器人的几何形状，从而加快碰撞检测的计算速度。

使用六轴机器人执行五自由度的加工任务时会出现冗余自由度^［3］，合理利用冗余自由度可以优化关节运动路径，提高加工的精度和稳定性。研究人员提出了关节运动平滑^［3］、铣削稳定性^［4］和刚度^［5］等机器人姿态优化指标。LU等^［6］开发了一种考虑刀具方向约束的机器人曲面加工光顺关节轨迹规划方法，然而，此方法不适用于刀具方向急剧变化的加工路径。后来，他们提出通过同步规划刀具方向和机器人姿态来解决此问题^［7］。LIU等^［8］证明了当每个刀位数据处的冗余变量平滑变化时机器人的关节运动也会变光顺，还提出了一种基于Legendre代理模型的冗余变量整体优化方法，生成光顺的机器人关节运动路径。在机器人焊接中，焊枪绕自身轴线的旋转角度是冗余的，GAO等^［9］开发了一种改进的快速探索随机树（RRT*）算法解决机器人在焊接过程的运动路径规划问题。YANG等^［10］通过拟合算法建立了机器人冗余角度与刀具路径刀尖位置弧长的关系，提出了一种考虑机器人冗余自由度的光滑加工路径生成算法。针对机器人纤维铺丝，GAO等^［11］提出了将全局粗搜索与迭代局部精搜索相结合的机器人关节运动优化方法，获得光顺的关节运动路径，然而，该方法将每个刀位数据处的冗余变量设为常量，而且通过设定的构型指数选择机器人姿态，未能充分利用机器人的冗余自由度。YANG等^［12］提出了一种基于RRT*的冗余优化算法，用于规划七自由度机器人自动铺放纤维的光顺关节运动路径，该方法也是通过构型指数选择机器人姿态，同样未能充分利用六轴机器人的冗余自由度。

为充分利用冗余自由度，应连续改变冗余变量，并计算对应的无碰撞机器人姿态，然后用动态规划方法选择机器人姿态序列完成指定加工任务。Dijkstra最短路径算法用于机器人关节运动路径规划，需要将连续优化问题转换为离散问题^［13-15］。虽然减小冗余变量的采样间隔、增加加工路径每个刀位数据处机器人姿态的个数会使机器人关节运动更平滑，但当Dijkstra最短路径算法构建的图中的边和顶点数量较多时，Dijkstra算法的计算效率就会降低且占用大量内存，使得该算法不适合具有大量刀位数据或每个刀位数据处具有大量可行机器人姿态的加工路径。为此，有研究者提出分割整个加工路径为一系列的子路径，缩小路径的刀位数据数量，从而提高Dijkstra算法的计算效率^［3，16］，但因不能同时优化整个加工路径的机器人姿态，只能获得次优解。为此本研究采用贪心策略，不考虑整体最优，期望在较短时间内寻找到近似最优解。

本研究通过改变五轴加工刀具路径上每个刀位数据处的冗余变量，充分利用六轴机器人的冗余自由度，提出了一种高效的无碰撞且光顺的关节运动路径规划算法，该方法使用粗搜索和精搜索相结合的机器人姿态搜索策略；使用两步法进行碰撞检测，即先使用有向包围盒（oriented bounding box，OBB）方法进行粗碰撞检测，然后使用PQP（proximity query package）方法进行精确的碰撞检测，提高碰撞检测效率。

1 机器人关节运动路径规划方法

1.1 冗余变量

刀具路径通常由大量的刀位数据组成，刀具路径的刀位数据在工件坐标系（workpiece coordinate system，WCS）中描述和定义。每个刀位数据可以用六维向量（x，y，z，α，β，γ）表示，其中（x，y，z）表示刀尖位置，（α，β，γ）表示刀具方向的z-y-z型欧拉角。刀具坐标系（tool coordinate system，TCS）的原点设在刀尖位置，刀具坐标系相对于工件坐标系的姿态矩阵{{}_{}{}^{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}可用（x，y，z，α，β，γ）描述：

{{}_{}{}^{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}=trans(x,y,z)ro{t}_{zyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )（1）

(i,j,k)=-(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta ,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta ,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta )（2）

式中：trans（·）用于设置刀具中心点在WCS中的位置；rot（·）用于定义刀具的姿态。

由式（2）可以看出，当使用六轴机器人执行五轴加工刀具路径时，围绕刀具轴线的旋转角度γ是冗余的，因此角度γ是冗余变量^［3］。

1.2 碰撞检测

无碰撞是工业机器人运动路径规划的基本要求。OBB法可以大大缩短碰撞检测的计算时间，但由于OBB法使用包围盒近似物体的形状，无法准确表示物体的几何形状，可能会导致碰撞检测的误判。PQP方法^［17］可以准确判断两个物体是否重叠，从而实现精确的碰撞检测。

为了兼顾计算效率和碰撞检测精度，本研究使用两步法进行碰撞检测：OBB法粗检测+PQP法精检测，流程见图1。当机器人的关节和连杆运动时，需要利用关节角度数据计算出变换矩阵，然后更新机器人的关节和连杆对应的OBB和PQP模型，再进行碰撞检测。

1.3 机器人姿态计算

通过算法1可确定与给定刀位数据相对应的无碰撞机器人姿态，如下所示。

算法1：无碰撞的机器人姿态计算

输入：给定刀位数据，指定冗余变量γ，从TCS到机器人端面法兰坐标系的变换矩阵{{}_{}{}^{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}，从WCS到机器人基坐标系的变换矩阵{{}_{}{}^{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}}_{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}。机器人的逆运动学和三维几何模型，以及主轴和夹具的三维几何模型。

输出：与给定刀位数据对应的无碰撞机器人姿态。

1）通过式（2）计算刀位数据中刀轴矢量对应的α和β角度，然后根据指定的冗余变量γ用式（1）计算从TCS到WCS的变换矩阵{{}_{}{}^{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}。

2）^baseM_flange=^baseM_WCS·^WCSM_TCS·({{}_{}{}^{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}}\mathit{M}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}{)}^{-\mathrm{1}}，通过机器人的逆运动学计算关节角度θ，并将关节角度θ保存在集合Q。

3）遍历集合Q中的每一个关节角度{\theta }_j，如果iscols({\theta }_j)\ne \mathrm{0}或或islimit({\theta }_j)=\mathrm{0}，从集合Q中移除{\theta }_j。

其中，函数iscols用于检测机器人连杆、关节、夹具和主轴之间是否存在碰撞，iscols=0表示无碰撞。必须确保机器人在运动过程中不发生碰撞，保证机器人加工过程的安全。此外，函数islimit用于检查关节角度是否超出允许范围，islimit≠0表示机器人关节角度在允许的运动范围内。此外，为了防止机器人接近奇异姿态，机器人关节角度θ的雅可比矩阵 J （θ）的行列式必须大于指定的阈值ε。为充分利用六轴机器人的冗余自由度，采样冗余变量γ，并使用算法1计算相对应的无碰撞机器人姿态。

1.4 机器人关节光顺运动的优化模型

为评价机器人关节运动的光顺性，使用机器人沿指定加工路径的关节运动的速度和加速度作为光顺性评价指标。

令{P_{\mathbf{C}\mathbf{C}}}_i(i=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1})表示刀具切触（cutter contact，CC）曲线上离散的切触点（CC点），CC曲线上第i个刀位数据对应的第j个机器人关节的速度和加速度可近似为

\left.\begin{array}{l}{v}_{i,j}=\frac{{\theta }_{i+\mathrm{1},j}-{\theta }_{i,j}}{\mathrm{\Delta }{t}_{i+\mathrm{1}}}{a}_{i,j}=\frac{\mathrm{2}(v_{i+\mathrm{1},j}-v_{i,j})}{\mathrm{\Delta }{t}_{i+\mathrm{1}}+\mathrm{\Delta }{t}_i}\\ j=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{6}\end{array}\right\}（3）

\mathrm{\Delta }{t}_i=||{P_{\mathbf{C}\mathbf{C}}}_i-{P_{\mathbf{C}\mathbf{C}}}_{i-\mathrm{1}}||

式中：{\theta }_{i,j}为第i个刀位数据对应的第j个关节的关节角度。

机器人关节沿给定加工路径运动的速度和加速度之和可分别表示为

\left.\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{2}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}|v_{i,j}|\\ E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{3}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}|a_{i,j}|\end{array}\right\}（4）

通过冗余自由度优化，六轴机器人执行五轴加工刀具路径的光顺关节运动路径规划模型可表示为一个多目标非线性优化模型：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}}(\theta ),E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}(\theta ))（5）

\begin{array}{l}\mathrm{s}.\mathrm{t}.|\mathit{J}({\theta }_j)|>\epsilon \\ iscols({\theta }_j)=\mathrm{0}\\ islimit({\theta }_j)\ne \mathrm{0}\end{array}

j=\mathrm{0},\mathrm{1},\dots ,n-\mathrm{1}\theta =\{{\theta }_i|i=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1}\}

1.5 光顺关节运动路径规划方法

为了减少计算时间，本研究采用了启发式技术，通过粗搜索和精搜索相结合的方法来解决光顺关节运动路径规划问题。先用一个相对较大的采样步长Δγ_rough获得机器人姿态序列的初始解，然后用较小的采样步长Δγ在初始解附近迭代细化。所提的结合粗-精搜索的机器人关节运动路径规划方法的流程如图2所示。

1.5.1 粗搜索

第一阶段称为粗搜索，在冗余变量γ的全局范围内以相对较大的步长Δγ_rough进行采样，利用算法1计算每个CC点处与采样的冗余变量γ相对应的无碰撞机器人姿态。通常情况下，每个CC点处都存在多个可行的机器人姿态。为了最大限度地减少计算时间，本研究采用贪心策略来选择加工路径上各CC点处的机器人姿态。贪心策略在每一步做出决定时都不考虑对未来步骤的影响，虽然这种方法不能保证获得全局最优解，但往往能在合理的时间范围内获得近似全局最优解的局部最优解。

令{P_{\mathbf{C}\mathbf{C}}}_i(i=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1})为CC曲线上的CC点，{\theta }_{i,j}(i=\mathrm{0,1},\dots ,n-\mathrm{1},j=\mathrm{0,1},\dots ,m_i)表示第i个CC点处可行的机器人姿态集合，m_i 为第i个CC点处可行机器人姿态的数量。用{\theta }_{i-\mathrm{1}}表示第i-1个CC点处选择的机器人姿态，然后从第i个CC点处的可行机器人姿态集合{\theta }_{i,j}中选择令下式最小的机器人姿态，即可得到第i个CC点处的机器人姿态：

\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{F}_j={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}}{w}_k[|{\theta }_{i-\mathrm{1},k}-{\theta }_{i,j,k}|-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(|{\theta }_{i-\mathrm{1},k}-{\theta }_{i,j,k}|)]/

［\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(|{\theta }_{i-\mathrm{1},k}-{\theta }_{i,j,k}|)-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(|{\theta }_{i-\mathrm{1},k}-{\theta }_{i,j,k}|)］（6）

式中：w_k为机器人各关节的指定权重。

需要注意的是，在第一个CC点处通常有许多可行的无碰撞机器人姿态，如图3所示。第一个CC点处选择的机器人姿态为机器人的运动路径设定了初始条件，会影响后续CC点处机器人姿态的选择。设{\theta }_{\mathrm{0},j}（j=0，1，…，m₀）为第一个CC点（P_{\mathbf{C}\mathbf{C}\mathrm{0}}）处无碰撞可行机器人姿态集合，m₀为可行姿态的个数。如图3所示，对于P_{\mathbf{C}\mathbf{C}\mathrm{0}}处的每一个可行姿态，利用结合式（6）的贪心策略来选择其余CC点处的机器人姿态。以{\theta }_{\mathrm{0},k}为初始关节角度，使用贪心策略在加工路径上所有CC点处选择的关节角度集合为S_k。最后，集合S_j（j=0，1，…，m₀）中的每个元素代表整个加工路径的机器人关节角度解。

对于集合中的每个元素S_j（j=0，1，…，m₀），可以获取沿CC曲线的每个刀位数据处的关节角度，然后通过式（4）计算光顺性评价指标。加权法是一种广受认可的用于根据各种决策标准对多个备选方案进行评估的方法。式（5）中的目标函数被修改为E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}}(\theta )和E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}(\theta )的加权和。为了进行归一化处理，加权和的优化目标公式修改为下式：

\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\frac{E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l},j}-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l},j})}{\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l},j})-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(E_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l},j})}+

\frac{E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c},j}-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c},j})}{\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c},j})-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(E_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c},j})})（7）

据此可选出加工路径对应的机器人姿态序列。

1.5.2 精搜索

在第一阶段粗搜索获得初始解的邻域内采用更小的步长采样冗余变量进行第二阶段精搜索，如图4所示。在此阶段中，冗余变量γ的采样步长和搜索范围不断迭代缩小，直到满足终止条件。具体来说，在第k次迭代中，冗余变量γ的搜索范围和采样步长分别定义为［-Δγ_k-1，Δγ_k-1］和Δγ_k =Δγ_k-1/2，其中Δγ_k-1表示第k-1次迭代的采样步长。首先根据冗余变量确定可行的机器人姿态，然后采用贪心策略选择最优解。这种局部搜索方法缩小了搜索空间，可以在初始解的基础上快速获得最优解。

在此阶段，第一个CC点P_{\mathbf{C}\mathbf{C}\mathrm{0}}处通常也有多个可行机器人姿态。对于P_{\mathbf{C}\mathbf{C}\mathrm{0}}处的每个可行机器人姿态，采用贪心策略来确定其余CC点处的机器人姿态，然后利用式（7）选出最优解。

2 实验验证

为了验证所提方法的有效性，本研究利用两个机器人系统（Motoman MH180和UR5）进行了模拟计算实验，使用的计算机硬件配置参数为： 16 GB内存、英特尔酷睿i7-9750H处理器（主频2.60 GHz）。检测机器人奇异姿态的阈值ε设为0.01，{\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{\pi },{\gamma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=-\mathrm{\pi }。

2.1 UR5机器人

选择图5a所示的叶轮叶片曲面五轴侧铣加工刀具路径来计算机器人的关节运动路径。该刀具路径包含2095个刀位数据，加工设置如图5b所示。设从机器人末端端面法兰坐标系到TCS的变换矩阵为

{{}_{}{}^{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{245.0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{100.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

WCS相对于机器人基坐标系的变换矩阵为

{{}_{}{}^{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}}_{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{cccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{700.0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{100.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{310.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

UR5机器人的关节范围均为\left[\mathrm{0,2}\mathrm{\pi }\right]，每个刀位数据处可行机器人姿态的数量较多。式（6）中的权重w设为0.2，0.2，0.2，0.15，0.15，0.1。

在粗搜索时，冗余变量γ首先在区间［γ_min，γ_max］内采样，步长Δγ=30°。在精搜索过程中，采用更小的采样步长并逐渐减小Δγ。在本例中，当Δγ<1°时算法终止。图6给出了通过本文方法、RoboDK软件和文献［1］方法获得的机器人关节运动路径结果。RoboDK软件中的“最小刀具方向变化”策略用于生成沿刀具路径的机器人关节运动路径。在RoboDK软件中，每个刀位数据处都会计算出8个机器人姿态，并从这8个姿态中选出最终的机器人姿态。

由图6可知，相较于RoboDK软件的计算结果，使用本文方法和文献［1］方法得到的关节角度变化较小，而本文方法和文献［1］方法的关节运动结果几乎相同。根据式（4）计算机器人关节运动的速度和加速度之和，本文方法的结果为E_vel=0.5113，E_acc=0.06152，而文献［1］方法的结果为E_vel=0.5078，E_acc=0.06063，两种方法的结果接近。不过，由于文献［1］方法采用了Dijkstra最短路径算法，计算时间（2957.4 s）比本文所提方法的计算时间（210.5 s）更长。

2.2 Motoman MH180机器人

计算如图7a所示的五轴侧铣加工刀具路径对应的机器人关节运动路径，刀具路径由1443个刀位数据组成，加工设置如图7b所示。设机器人法兰坐标系到TCS的变换矩阵为

{{}_{}{}^{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}}}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& -\mathrm{510.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{175.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

WCS相对于机器人基坐标系的变换矩阵为

{{}_{}{}^{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}}_{\mathrm{W}\mathrm{C}\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{cccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{34.0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{1551.0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

式（6）中的权重w为0.2，0.2，0.2，0.15，0.15，0.1。冗余变量在粗搜索时的步长设为Δγ=20°，当Δγ<1°时，算法终止。

图8给出了本文方法和文献［1］方法得到的关节运动路径结果，两种方法得到的关节角度变化都很小且平滑。然而，在使用文献［1］方法时，必须将整个刀具路径划分为一系列较短的子路径来计算相应的机器人关节运动路径，这虽然减少了计算时间，但却会产生次优解。相比之下，本文方法无需分割整个加工路径，可以同时优化整个刀具路径对应的机器人关节运动。对比图8a和图8b，相较于文献［1］方法，本文方法得到的关节4和关节5的关节角度变化更小，这表明本文方法可以获得更平滑的机器人关节运动。

3 结论

当使用六轴机器人执行五轴加工任务时，围绕刀具轴线的旋转角度是冗余的。本文通过改变每个刀位数据处的冗余变量，充分利用六轴机器人的冗余自由度，提出了一种利用冗余自由度光顺优化机器人关节运动路径的方法，该方法采用粗搜索和精搜索相结合的方式缩短计算时间，可以同时优化整个加工路径的机器人姿态。六轴机器人执行叶片曲面五轴铣削加工任务的模拟计算验证了所提方法的有效性。

参考文献

[1] LIU Zhiheng， LI Ruifeng， ZHAO Lijun， et al. Automatic Joint Motion Planning of 9-DOF Robot Based on Redundancy Optimization for Wheel Hub Polishing［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2023， 81： 102500.

[2] FERRENTINO E， SAVINO H J， FRANCHI A， et al. A Dynamic Programming Framework for Optimal Planning of Redundant Robots along Prescribed Paths with Kineto-dynamic Constraints［J］. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2024， 21（4）： 6744-6757.

[3] LU Yaoan， TANG Kai， WANG Chengyong. Collision-free and Smooth Joint Motion Planning for Six-axis Industrial Robots by Redundancy Optimization［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2021， 68： 102091.

[4] MOUSAVI S， GAGNOL V， BOUZGARROU B C， et al. Stability Optimization in Robotic Milling through the Control of Functional Redundancies［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2018， 50： 181-192.

[5] XUE Xiangru， ZHANG Chengrui， CHEN Qizhi， et al. The Posture Optimization Method Based on Deformation Index in Robotic Milling Process［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2022， 121（7）： 4999-5014.

[6] LU Lei， HAN Jiang， DONG Fangfang， et al. Joint-smooth Toolpath Planning by Optimized Differential Vector for Robot Surface Machining Considering the Tool Orientation Constraints［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2021， 27（4）： 2301-2311.

[7] LU Lei， ZHANG Lei， FAN Cheng， et al. High-order Joint-smooth Trajectory Planning Method Considering Tool-orientation Constraints and Singularity Avoidance for Robot Surface Machining［J］. Journal of Manufacturing Processes， 2022， 80： 789-804.

[8] LIU Yuesheng， CHEN Xindu， WU Lei， et al. Global Optimization of Functional Redundancy in a 6R Robot for Smoothing Five-axis Milling Operations［J］. Engineering Optimization， 2024， 56（1）： 138-154.

[9] GAO Wenxiang， TANG Qing， YAO Jin， et al. Automatic Motion Planning for Complex Welding Problems by Considering Angular Redundancy［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2020， 62： 101862.

[10] YANG Jixiang， QI Qi， ADILI A， et al. An Analytical Tool Path Smoothing Algorithm for Robotic Machining with the Consideration of Redundant Kinematics［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2024， 89： 102768.

[11] GAO Jiuchun， PASHKEVICH A， CARO S. Optimization of the Robot and Positioner Motion in a Redundant Fiber Placement Workcell［J］. Mechanism and Machine Theory， 2017， 114： 170-189.

[12] YANG Qian， QU Weiwei， WANG Yanzhe， et al. Smooth Joint Motion Planning for Redundant Fiber Placement Manipulator Based on Improved RRT［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2025， 91： 102851.

[13] ERDŐS G， KOVÁCS A， VÁNCZA J. Optimized Joint Motion Planning for Redundant Industrial Robots［J］. CIRP Annals， 2016， 65（1）： 451-454.

[14] DAI Chengkai， LEFEBVRE S， YU Kaiming， et al. Planning Jerk-optimized Trajectory with Discrete Time Constraints for Redundant Robots［J］. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2020， 17（4）： 1711-1724.

[15] LU Yaoan， WANG Chengyong， SUI Jianbo， et al. Smoothing Rotary Axes Movements for Ball-end Milling Based on the Gradient-based Differential Evolution Method［J］. Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2018， 140（12）： 121008.

[16] YAO Jianjun， QIAN Chen， ZHANG Yikun， et al. Multi-objective Redundancy Optimization of Continuous-point Robot Milling Path in Shipbuilding［J］. Computer Modeling in Engineering & Sciences， 2023， 134（2）： 1283-1303.

[17] LARSEN E， GOTTSCHALK S， LIN M C， et al. Fast Proximity Queries with Swept Sphere Volumes［C］∥IEEE International Conference on Robotics and Automation. San Francisco， 2000： 3719-3726.

基金资助

广东省基础与应用基础研究基金(2025A1515012218)