基于三维卷积神经网络的微结构性能快速预测

Fast Prediction of Microstructure Performance Based on 3D Convolutional Neural Network

摘要

微结构与宏观结构的显著尺度差异，以及复杂的微观几何构型与基材属性的耦合导致微结构的宏观等效性能分析十分困难。提出了一种基于三维卷积神经网络的微结构均质化弹性张量预测模型。采用水平集方法完成微结构的参数化建模，通过数值均质化计算微结构的等效弹性张量。提出几何构型与基材属性耦合的数据表达方法，实现混合输入与等效弹性张量标签的匹配，并将匹配的数据样本作为神经网络训练的数据集。最后，从预测结果的分项误差、计算效率两个方面进行了模型性能分析，所提模型在允许的误差范围内能显著提高微结构的性能分析效率。

Abstract

The significant scale difference between microstructure and macro structure， and the coupling of complex micro-geometric configuration and substrate properties which make the analysis of macro-equivalent performance of microstructure is very difficult. Therefore， a prediction model of microstructure homogenization elastic tensor was proposed based on three-dimensional convolutional neural network. A parametric modeling of microstructure was completed by level set method， and the equivalent elastic tensor of microstructure was calculated by numerical homogenization. A data representation method coupling geometric configuration and substrate properties was proposed to match the mixed inputs and equivalent elastic tensor labels， and the matched data samples were used as the dataset for neural network training. Finally， model performance was analyzed from partial errors of the predicted results and the calculation efficiency. The proposed model may significantly improve the performance analysis efficiency of the microstructure within the allowable error range.

Graphical abstract

关键词

神经网络 / 微结构 / 数值均质化 / 水平集方法

Key words

neural network / microstructure / numerical homogenization / level-set method

Author summay

龙千浩，男，2000年生，硕士研究生。研究方向为微结构拓扑优化设计。E-mail：[e-mail]

李好^*（通信作者），男，1985年生，教授、博士研究生导师。研究方向为结构拓扑优化设计。E-mail：[e-mail]。

0 引言

微结构广泛存在于自然界中，并具有优良的物理性能，因而受到国内外学者的高度关注。随着增材制造技术的快速发展，微结构在机械、航天航空、土木^［1-3］等工程领域的应用越来越广。目前，轻量化、高强度材料结构的设计几乎不可避免地会使用微结构。由于微观结构的复杂几何构型、体积分数及组分特性，分析微观结构的物理性能往往需要付出极高的代价。时间与计算资源的限制使得几乎不可能对大量不同几何构型、不同组分基材的微观结构进行物理实验，或对全尺度的有限元进行高分辨率的仿真分析^［4］。

为解决微结构的性能分析问题，提出了均质化理论，即将非均匀的微观结构等效成一种新的均匀分布基材，进而根据底层微观结构的响应来估计均质化后材料的宏观等效性能。均质化理论主要有以下几种类型。

1）解析法与半解析法。解析模型与半解析模型都只能分析简单微结构的近似等效性能。HASHIN等^［5］通过解析法得到了等效磁导率等参数的上限和下限，但只能得到材料宏观等效物理性能的粗略估计，且面向复杂的非线性结构时不可靠。基于Eshelby夹杂理论的半解析法中，Mori-Tanaka模型^［6-7］建立颗粒相和集体相的平均应力与平均应变的关系；自洽法^［8-9］基于近似解析公式求解微结构的等效性能，但求解的精度难以保证；广义自洽法^［10-11］基于近似平均场和近似相的关系推导微结构的等效性能。

2）代表体元法^［12-13］基于能量等效原理，选取周期性结构的单胞（代表体元）作为研究对象，通过施加狄利克雷边界条件（位移边界条件）或纽曼边界条件（力边界条件），使单胞应变能和相应的均质材料单胞应变能等效，从而获得非均质材料的宏观等效物理性能。代表体元法没有严格的数学理论推导作基础，计算模型只能作近似评估，虽然给出的结果不能保证准确性，但概念简单清晰、实施方便、通用性强，在多孔材料性能评估中得到广泛应用。

3）数值均质化（numerical homogenization， NH）方法^［14-18］根据微结构周期性排布的特点，以连续介质理论为基础，将微观和宏观的尺度比例作为小参数，并将物理场进行关于小参数的渐进展开，先在微观尺度得到材料的等效性能，再从宏观尺度分析结构的响应。该方法具有相对完备的数学理论推导，虽数值均质化的计算成本较高，但对高度异质材料和复杂微观结构具有较高的预测精度，已成为多尺度结构设计的基础。多尺度结构设计中，频繁调用数值均质化导致优化仿真的时间成本极高。

为降低多尺度设计的分析计算成本，科研人员提出了许多新方法。①根据原有的数据插值计算目标对象均质化属性的方法^［18-24］，但这种方法需要大量的样本保证精度且只能针对较少类型的结构。②将机器学习和深度学习引入微结构分析，通过神经网络模型构建微结构与宏观性能的隐式映射。深度学习模型中，多层感知机（multilayer perceptron， MLP）、卷积神经网络（convolutional neural network， CNN）等在预测材料结构属性上取得一些成果。BERMEJILLO等^［25］利用三维CNN成功预测了结构的孔隙率（相对密度）。WU等^［26］基于图像卷积和递归神经网络设计出一种数据驱动模拟器来预测结构的弹性模量。ZHENG等^［27］提出一种双尺度拓扑优化框架，其中，使用神经网络构建的预测模型能准确将设计参数映射到刚度矩阵，成功取代了微观结构计算成本高昂的微尺度均匀化。除此之外，深度学习模型还能预测剪切模量^［28］、应力应变曲线^［29］。

以上研究成果并不能完全满足多尺度分析需求的原因是未充分考虑几何构型之外基材的属性对宏观等效物理性能的影响。基于深度学习的现有模型大多假定基材单一，将微结构的几何构型作为网络输入，或只能接受固定的几类微结构构型。

本文引入一种三维CNN来高效预测微结构的均质化弹性张量（对称的四阶张量，最终可写成与矩阵等价的二阶张量），即将体素模型与基材属性（弹性模量、泊松比）耦合，将几何构型的空间信息与材料信息嵌在一起作为神经网络的输入。基于迁移学习的思路提出二次训练微调的方法，使网络在面向新基材时表现出更优的泛化能力。在可接受的误差范围内，本文方法的计算效率大幅提升。

1 基于水平集方法的梯度填充微结构生成方法

1.1 基于水平集方法的微结构边界描述方法

基于水平集方法的微结构边界描述构建方法的核心思想是将填充微结构的边界隐式嵌入连续的水平集函数Φ（ x ）：

（1）

式中：Ω为所有可能形状的集合；Γ代表结构边界与对应的零水平集面； x 为设计空间离散后节点的坐标；D为微观结构的设计域。

如果结构是二维的，Φ（ x ）表示一个三维曲面。如果结构是三维的，Φ（ x ）表示一个三维场。Φ（ x ）的零水平集面可表征微结构的边界，即通过水平集函数Φ（ x ）的正负性表征结构材料的有无。基于水平集的结构边界描述方法构建的微结构具有边界曲线光滑、清晰等优点。

1.2 基于水平集方法的微结构生成方法

水平集函数Φ（ x ）可隐式地将填充微结构的边界表示为其零水平集面。对于任意微结构的构型，通过提取目标微结构的几何特征，构建微结构特征点集合：

η=｛P₁，P₂，…，P_M ｝（2）

式中：P_m 为微结构的第m个特征点，m=1，2，…，M。

基于特征集合η计算微结构的初始水平集函数：

\varphi (\eta ,\mathit{x})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{{\phi }_{\mathrm{1}}(\mathit{x}),{\phi }_{\mathrm{2}}(\mathit{x}),\dots ,{\phi }_M(\mathit{x})\}（3）

{\phi }_m(\mathit{x})=\Vert \mathit{x}-{\mathit{p}}_m\Vert（4）

式中：{\mathit{p}}_m为微结构特征点P_m 的坐标。

则表征不同体积分数的微观结构全局水平集函数为

\Phi (\eta ,\mathit{x})=-\varphi (\eta ,\mathit{x})+t（5）

式中：t为特征系数。

由上述水平集函数\Phi (\eta ,\mathit{x})隐式描述的微结构的体积分数v与特征系数t呈单值映射关系。对体积分数进行采样并记为v，通过二分法求出相应的特征系数t，进而拟合特征系数t与体积分数v的映射关系。以水平集函数\Phi (\eta ,\mathit{x})的特征系数t为基体设计变量，调整微结构的体积分数

v=\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_D\Omega \mathrm{d}x={\int }_{D}H(\Phi (\eta ,\mathit{x}))\mathrm{d}\mathit{x}/{\int }_D\mathrm{1}\mathrm{d}\mathit{x}（6）

（7）

式中：s为设计域的面积或体积。

任意复杂的超材料结构构型都可通过微结构几何特征提取特征点，进而得到该结构的水平集参数化模型。通过调整特征系数t调整微结构的体分分数，从而生成任意构型、任意体分分数的微结构。

2 基于均质化法的微结构宏观等效弹性张量计算模型

2.1 基于均质化法的微结构性能等效计算方法

弹性张量用于表征材料的力学性质，本质上为四阶张量 C_pqrs （p，q，r，s=1，2，3）。由于它关于指标呈现对称性，因此可简化为二阶张量，形式上以矩阵表示。应注意的是，本文所提的弹性张量在具体公式中均记作矩阵形式。

均质化方法可求解具有周期性边界条件的一般边值问题。周期性排布的微结构单胞均质化后，宏观等效弹性张量^［30］的第i行第j列分量为

C_{ij}^{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{1}}{V}{\int }_V({\mathit{\epsilon }}_i^{\mathrm{0}}-{\mathit{\epsilon }}_i(u)){\mathit{C}}^{\mathrm{b}}({\mathit{\epsilon }}_j^{\mathrm{0}}-{\mathit{\epsilon }}_j(u))\mathrm{d}V（8）

式中：V为微结构单胞体积； ε{}_i^{\mathrm{0}}、 ε_i （u）分别为宏观应变和局部应变（通常根据虚功原理求解）；u为指定宏观应变下诱发的局部位移；下标i、j表示方向，i，j=1，2，…，6；{\mathit{C}}^{\mathrm{b}}为微结构基础材料的弹性张量。

ε{}_i^{\mathrm{0}}由以下平衡方程求得：

{\int }_V{\mathit{C}}^{\mathrm{b}}\mathit{\epsilon }(\upsilon ){\mathit{\epsilon }}_i(u)\mathrm{d}V={\int }_V{\mathit{C}}^{\mathrm{b}}\mathit{\epsilon }(\upsilon ){\mathit{\epsilon }}_i^{\mathrm{0}}\mathrm{d}V（9）

式中：υ为虚位移。

将微结构的设计域离散为若干单元，第e个离散单元的刚度矩阵为

{\mathit{K}}_e={\int }_{V_e}{\mathit{B}}_e^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_e^{\mathrm{b}}{\mathit{B}}_e\mathrm{d}{V}_e（10）

式中： B_e 、 C{}_e^{\mathrm{b}}分别为第e个离散单元的形状矩阵和弹性张量（与该单元上材料的有无和基材属性有关）。

微结构上第e个离散单元由于宏观应变 ε{}_i^{\mathrm{0}}而产生的方向i的负载为

{\mathit{f}}_{e,i}={\int }_{V_e}{\mathit{B}}_e^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_e^{\mathrm{b}}{\mathit{\epsilon }}_i^{\mathrm{0}}\mathrm{d}{V}_e（11）

\begin{array}{l}\begin{array}{cc}{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{1,0},\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}& {\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{0,1},\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{0,0},\mathrm{1,0},\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}& {\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{0,0},\mathrm{0,1},\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0},\mathrm{1,0})}^{\mathrm{T}}& {\mathit{\epsilon }}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{0}}={(\mathrm{0,0},\mathrm{0,0},\mathrm{0,1})}^{\mathrm{T}}\end{array}\end{array}

之后，对所有的离散单元施加周期性边界条件，组装全局刚度矩阵 K 与载荷 F_i，根据式（9）计算得到位移：

U_i = K^-1F_i（12）

第e个离散单元方向i的应变 ε_e，i （u）由单元节点位移 u_e，i 求得，即

{\mathit{\epsilon }}_{e,i}(u)={\mathit{B}}_e\mathit{u}{}_{e,i}{}^{}（13）

将式（13）代入离散化后的式（8）求解微结构均质化的弹性张量。三维微结构的张量为

{\mathit{C}}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{\mathrm{11}}& c_{\mathrm{12}}& \cdots & c_{\mathrm{16}}\\ c_{\mathrm{12}}& c_{\mathrm{22}}& \cdots & c_{\mathrm{26}}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{\mathrm{16}}& c_{\mathrm{26}}& \cdots & c_{\mathrm{66}}\end{array}\right]（14）

均质化获得的等效弹性张量 C^H的独立参数至多有21个。

2.2 微结构各类等效力学性能计算

获得等效弹性张量后，根据元素c_ij 计算微结构的宏观等效力学性能。针对正交各向异性的微结构力学性能指标如下：

弹性模量

E=\frac{c_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{11}}{c}_{\mathrm{12}}-\mathrm{2}{c}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{2}}}{c_{\mathrm{11}}+c_{\mathrm{12}}}（15）

剪切模量

G=c₄₄（16）

泊松比

ν=1-c₁₂/c₁₁（17）

3 基于3D卷积神经网络的微结构等效性能预测

基于3D卷积神经网络微结构性能预测模型的构建过程主要分成三个阶段：①数据集制备与标记，基于水平集方法制备微结构样本，通过均质化方法标记微结构；②数据预处理，耦合微结构的几何构型与基础材料，并将形成的统一数据结构作为网络的输入；③神经网络的框架构建与训练。

3.1 微结构样本制备与标记

基于典型的基础微结构单胞，制备的数据集训练样本除了包括6类基础微结构单胞，还包括2种基础单胞组合获得的15种几何构型（二元胞）、3种基础单胞组合获得的20种几何构型（三元胞）。表1所示为部分微结构的几何构型。41种微结构单胞在体积分数0.1≤v≤0.6的区间内以间隔0.02进行等距采样。基础材料选用钢材，弹性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.3。总样本数为41×26×1=1066，测试集由随机选取的20%全体样本数据组成，其余数据组成网络训练集。

利用水平集法生成微结构几何模型。针对典型的基础微结构及其组合微结构的几何构型提取特征点，根据式（5）获取全局水平集函数值。对表征几何构型的节点水平集函数值进行插值，获取整个微结构的密度分布即微结构的体素模型（三阶张量） V_n×n×n （后文简写为 V ），其中，n为体素网格的分辨率。

将各个微结构样本的体素模型、弹性模量和泊松比作为均匀化方法的输入，将计算得到的均匀化弹性张量作为对应样本的标签。本文中的微结构为正交各向异性单胞，其弹性张量为

{\mathit{C}}^{\mathrm{H}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{11}}& c_{\mathrm{12}}& c_{\mathrm{13}}\\ c_{\mathrm{12}}& c_{\mathrm{22}}& c_{\mathrm{23}}\\ c_{\mathrm{13}}& c_{\mathrm{23}}& c_{\mathrm{33}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{44}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& c_{\mathrm{55}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& c_{\mathrm{66}}\end{array}\right])（18）

由于c₁₁=c₂₂=c₃₃，c₁₂=c₁₃=c₂₃，c₄₄=c₅₅=c₆₆，因此将c₁₁、c₁₂、c₄₄作为标签。

3.2 数据预处理

当前，采用深度学习预测微结构宏观等效性能的模型通常针对特定材料，仅以微结构的几何构型作为输入。微结构的性能是由几何构型与组成材料共同决定的，因此将表达几何构型的体素模型 V 与基础材料属性（弹性模量E、泊松比ν）耦合后的张量作为网络模型的输入。

微观结构在体素化处理后变为n×n×n的三阶张量 V。需要指出的是，微结构的原始数据样本基于水平集法生成，对其进行体素化时以背景网格上实体材料的占比作为该网格单元的密度，此时不可避免地出现微结构边界切割背景网格的现象导致部分网格单元并非标准的实体或孔洞，因此部分张量元素相应地取［-1，1］内的中间密度。卷积神经网络中，卷积与池化操作的处理对象是稠密张量。体素模型中元素为0的部分看作孔洞材料，其弹性模量相对于实体材料非常小。3D卷积网络模型输入的计算公式如下：

{\mathit{V}}_{\mathrm{M}}=\left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{b}\mathrm{h}}\\ \nu \end{array}\right]\otimes \mathit{V}+(\mathit{I}-\mathit{V})\otimes \left[\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{b}\mathrm{s}}\\ \nu \end{array}\right]（19）

式中： V_M为体素基材耦合张量（2×n×n×n的四阶张量）；E_bh、E_bs分别为实体材料、孔洞材料的弹性模量，E_bs=10^-6E_bh； I 表示所有元素均为1的三阶张量；\otimes表示克罗内克积操作，用于将基材向量与体素张量耦合。

针对正交各向异性微结构，通过均匀化计算所得的弹性张量 C^H为6行6列的矩阵，其中的独立参数只有3个，将3个独立参数组成的向量作为预测结果的评价指标。

3.3 三维卷积网络的构建与训练

本文将三维CNN用于预测微结构的等效弹性张量，表2列出了三维CNN的主要结构，网络工作流程如图1所示。网络输入张量维度为（2×40×40×40），2个通道的输入如式（19）所示，其中单元的弹性模量为基材弹性模量关于单元密度的线性插值，单元的泊松比等于基材的泊松比。网络输出为3个独立参数组成的向量。输入数据先后通过包括卷积、池化、批标准化、激活操作的3个卷积块。将张量进行拉直后，送入全连接层，再通过神经元数目为128、64、32、3的全连接层。最后一个全连接层是输出层。

卷积和池化均属于下采样操作，目的是提取输入数据的特征，减少网络参数、降低网络复杂度，提高网络训练效率。如图2所示，卷积操作是让一个尺寸较小的卷积核在尺寸较大的数据网格上做步进，同时以卷积核为加权因子对数据网格的局部信息进行采样。池化是一种局部信息提取和数据降维操作，如图3所示，最大池化操作是求取局部区域的最大值。

批标准化是数据的归一化处理。神经网络通过层间串联实现数据的连续映射，数据在每层网络映射后都会出现微小的偏差，随着网络不断加深，偏差积累，导致数据数据的分布与原数据的分布有明显差异。批标准化可适当改善这种分布差异，操作公式如下：

{\widehat{x}}_k=\frac{x_k-E(x_k)}{\sqrt[]{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_k)}+\epsilon }（20）

y_k={\gamma }_k{\widehat{x}}_k+{\beta }_k（21）

式中：x_k 为待批标准化层数据，即第k层网络的输出；E（x_k ）是数据均值；\sqrt[]{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_k)}为数据的方差；β_k 、γ_k 为网络中可学习的参数；ε为人工添加的扰动，通常取10^-5；y_k 为经过批标准化层的网络输出x_k 的最终输出。

本卷积网络模型的激活函数全部为ReLu函数：

\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{u}(x)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(x,\mathrm{0})（22）

理论上，多个激活层的叠加可使神经网络能逼近任意2个参量的映射关系。

神经网络的目标是最小化损失函数。本文选用均方差作为模型的损失函数：

MSE(C^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}},C^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}})=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}=(C_i^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}-C_i^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}}{)}^{\mathrm{2}}（23）

式中：C^pred、C^target分别为网络预测输出值和标签值；C{}_i^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}、C{}_i^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}}分别为两者的第i个样本。

选择Adam算法进行网络的参数更新：

w_{t+\mathrm{1}}=w_t-l_{\mathrm{r}}\frac{\partial L}{\partial w_t}（24）

b_{t+\mathrm{1}}=b_t-l_{\mathrm{r}}\frac{\partial L}{\partial b_t}（25）

式中：w为网络的权重参数；b为偏置参数；下标t、t+1表示时间步；l_r为学习率；L为预测值和目标值的差值。

神经网络第k层的数据输出A_k 为

A_k =f（w_kA_k-1+b_k ）（26）

式中：f（·）表示激活操作；w_k 、b_k 分别为第k层网络的权重超参数与偏置向量；A_k-1为神经网络第k-1层的输出。

训练神经网络就是不断修正各个神经元的权重系数和偏置系数，使损失函数不断减小。

4 数值算例与结果讨论

4.1 3D卷积网络的训练情况与性能分析

通过随机数种子打乱所有训练样本后，按照8∶2的比例将数据分成训练集与验证集。由图4可见，损失误差收敛非常快，迭代35次已经收敛；验证集与训练集的误差基本一致。

损失误差迭代图只能显示训练集、验证集的损失误差，无法直接显示单个样本的误差。制备的样本数据中，微结构体积分数的百分位均为偶数，因此针对5种典型的微结构构型进行等距采样，重新生成体积分数11%、23%、35%、47%、59%的个体（不存在于初始的样本集）。对这些个体计算等效弹性张量及独立参数向量，并对独立参数向量分析误差。三维卷积网络预测结果与数值均质化计算结果相对误差的平均值都在3%以内，如表3所示。

根据均质化弹性张量绘出微结构的力学性能画像。在验证集中抽取1个基础单胞、1个二元胞、2个三元胞绘制弹性模量曲面与剪切模量曲面，见表4。4个测试对象的三维卷积网络预测结果与数值均质化结果中，弹性模量与剪切模量的最大值相对误差和最小值相对误差均在5%以内。

基于卷积神经网络与数值均质化的结果，根据式（15）～式（17）对表3中的25个单胞进行等效力学性能估计，泊松比和弹性模量的相对误差不超过5%。这表明三维卷积网络预测模型能在可接受的误差范围内预测微结构的宏观等效弹性张量。如表5所示，三维卷积神经网络的预测效率明显高于数值均质化方法。由三维卷积神经网络的预测效率并结合上述对不同种类微结构预测精度的探究可知，训练后的三维卷积网络对不同的微结构都能迅速输出均质化的弹性张量。

4.2 面向新基材的迁移学习

基础材料种类多，难以在一次数据制备和网络训练中将所有基础材料属性考虑在内。因此，基于迁移学习的思想，先利用基础数据集训练模型，面向新基础材料的微结构时，再利用构建的少量样本微调模型。

对于硬铝合金（E=70 GPa，ν=0.3），结合已有的微结构几何构型，构建100个微结构的数据样本微调深度神经网络参数。由图5可知，基于新样本数据的二次微调训练的收敛远远快于初始训练。这是因为新样本数据训练得到的网络模型参数适应新的材料属性。对于结构拓扑优化常用的弹性模量E和泊松比ν，首次训练的输入主要表达几何构型的体素模型。分辨率40×40×40的点阵微结构需用一个包含64 000个数据点的三阶张量表达，其复杂程度远高于二维向量。因此模型微调（迁移学习的二次训练）所需的样本少于首次训练，训练速度远高于首次训练。

在验证集中随机抽取2个单胞进行微结构力学画像的对比分析，如表6所示。测试对象1的弹性模量曲面的最大值E_max相对误差为0.78%，最小值E_min相对误差为6.12%；剪切模量曲面的最大值G_max相对误差为1.82%，最小值G_min相对误差为5.88%。测试对象2的对应上述数据分别为2.87%、0.61%、3.03%、0。从力学画像最大值、最小值的相对误差来看，面向新基材时，卷积神经网络模型的预测准确度依然比较稳定。尽管个别极值误差超过5%，但微结构宏观等效力学性能的误差仍在可接受范围内。

5 结论

本文基于水平集方法提出一种能生成任意复杂构型、任意体积分数的微结构方法，并利用数值均质化计算了微结构的宏观等效弹性张量。在此基础上提出基于三维卷积神经网络的微结构宏观等效性能预测方法。该方法能在可接受的预测误差范围内，显著提高微结构的性能分析效率。面向新基材时，通过微调模型参数有效弥补了网络模型只面向一种基材、几种特定的微结构、缺乏泛化能力等不足。

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基金资助

国家重点研发计划(2021YFB1714600)