凸起凹陷特征表面的机器人变位姿喷涂涂层均匀性优化研究

Research on Optimization of Uniformity of Robot Spraying Coatings for Changing Positions on Convex and Concave Characteristic Surfaces

摘要

针对凸起凹陷特征表面喷涂的涂层均匀性优化问题，提出了一种基于变位姿喷涂工艺的喷涂轨迹优化方法。研究了垂直喷涂和变位姿喷涂时凸起凹陷几何参数对涂层均匀性的影响规律，并探讨了适用垂直喷涂方法的凸起高度和凹陷深度范围；针对不适用垂直喷涂的凸起凹陷特征，提出了一种采用圆弧过渡的连续变倾角喷涂轨迹优化方法；最后，建立连续变倾角涂层厚度模型和优化目标模型以提高凸起凹陷特征表面的涂层均匀性。仿真与实验结果表明，相较于垂直喷涂方法，所提出的方法应用于凸起凹陷特征表面时，膜厚标准差降低41.06%，能满足膜厚精度要求的区域占比提高15.23%。

Abstract

Aiming at the problems of optimizing coating uniformity in surface spraying involving convex and concave features， a novel spraying trajectory optimization method was proposed based on incorporated posture changes during the spraying processes. The effects of geometric parameters associated with convex and concave surfaces on coating uniformity during both vertical and variable posture spraying were studied， suitable bulge heights and depression depth ranges for the vertical spraying technique were identified. Subsequently， for convex and concave features that were incompatible with vertical spraying， a continuous variable inclination angle spraying trajectory optimization method utilizing arc transitions was introduced. Finally， a continuously variable inclination angle coating thickness model and an optimization target model were developed to enhance coating uniformity on surfaces with convex and concave features. Simulation and experimental results demonstrate that， compared to the vertical spraying method， the applications of the proposed technique to surfaces with convex and concave features result in a 41.06% reduction in the standard deviation of film thickness and a 15.23% increase in the proportion of areas meeting the required film thickness accuracy.

Graphical abstract

关键词

喷涂机器人 / 变倾角喷涂 / 轨迹优化 / 凸起凹陷特征 / 膜厚精度

Key words

spraying robot / variable inclination angle spraying / trajectory optimization / convex and concave feature / film thickness accuracy

Author summay

戴尧，男，1999年生，硕士研究生。研究方向为喷涂理论与技术。E-mail：[e-mail]

曾勇^*（通信作者），男，1982年生，教授。研究方向为数字化制造与智能制造、机器视觉检测技术、工业机器人集成制造技术。E-mail： [e-mail]。

0 引言

喷涂机器人具有喷涂质量稳定、喷涂效率高和自动化程度高等优点^［1-2］，因此用其代替人工完成涂装作业已成为趋势^［3-4］，并在汽车、航空等行业的涂装工艺中得到了广泛应用^［5-8］。然而，由于喷涂机器人存在工作时间长、依赖操作人员技能等缺点，使得喷涂机器人离线编程成为研究的热点^［9-12］。此外，随着现代工业产品外形设计的复杂化程度不断提高，采用现有技术对具有凸起、凹陷等特征的复杂工件（如型钢、阀门、船舶部件等）进行喷涂时，无法满足高膜厚误差精度的要求^［13-14］。因此，面向复杂形面的喷涂涂层均匀性优化已成为智能喷涂机器人推广应用的一大技术挑战。

针对复杂形面的喷涂轨迹规划和优化方法，国内外已进行了许多研究。文献［15］针对复杂船舶曲面的涂层均匀性优化问题，利用NURBS曲面控制顶点生成喷涂路径，并采用粒子群算法优化路径间距、喷涂高度及喷涂速度等喷涂参数，旨在获得最佳喷涂轨迹。文献［16］针对复杂曲面的喷涂优化问题，提出了以喷涂路径间距和喷涂速度为优化对象的多变量优化方法。尽管这些学者通过优化喷涂速度和高度等参数改善了喷涂效果，但尚未研究大曲率特征曲面的喷涂轨迹优化问题，且缺乏对凸起凹陷等复杂形面的考虑。在现有基于垂直喷涂工艺的凸起凹陷处喷涂轨迹优化研究中，文献［17］研究了不同相邻面片法向量夹角下直线、凸弧和凹弧三种喷涂轨迹过渡段对内、外犄角处涂层厚度误差的影响规律。文献［18］将大曲率组合曲面上的轨迹优化问题转换为自然二次组合曲面上的轨迹组合问题，并对面片连接交界处犄角特征的喷涂轨迹进行优化。但是当复杂形面的局部区域曲率超过特定范围并形成犄角特征时，传统的垂直喷涂方法在喷涂外犄角时容易造成涂料浪费，而在喷涂内犄角时难以保证内犄角深处的喷涂质量。文献［19］在喷涂含有凸起凹陷特征的型钢工件时，针对凹陷特征内犄角处喷枪易与工件发生碰撞的问题提出了变倾角喷涂方式，以补全喷涂路径未覆盖的区域。文献［20］以阀门表面不同曲面或曲线的交接点为喷涂点设计了矩形折线喷涂轨迹，但未针对阀门法兰处的凸起和凹陷特征进行轨迹优化，喷涂法兰上内外犄角特征时无法满足涂层均匀性和涂料利用率的要求。上述研究主要采用传统喷涂方法处理复杂工件的凸起和凹陷特征，缺乏对这些特征区域涂层均匀性的深入研究，同时也未提出针对凸起和凹陷特征的有效喷涂轨迹优化方法。

为此，本文通过建立垂直喷涂模型和变位姿喷涂模型，仿真获得垂直喷涂和变位姿喷涂时凸起凹陷几何参数对涂层均匀性的影响规律，然后提出基于变位姿喷涂工艺的喷涂轨迹优化方法，以提高凸起凹陷特征处的涂层均匀性。最后以具有凸起凹陷特征的工件喷涂为例，通过实验验证所提方法的有效性和可行性。

1 喷涂数学模型

1.1 喷枪静态喷涂模型

基于实验室喷涂机器人系统的实际喷涂实验数据，抛物线模型能够更加准确地表征涂层厚度分布的实际规律，因此，将喷枪的静态垂直喷涂涂层生长率模型设定为抛物线模型^［21］，如图1所示，其中喷涂高度为H，喷枪张角为φ，θ_S 为点S与喷枪喷嘴的连线与喷枪轴线之间的角度，r_S 为平面上一点S到沿喷射方向喷枪中心投影点的距离。首先保持喷枪始终垂直于待喷涂表面（即喷枪倾角α=0°），涂层生长率模型的表达式如下：

f(r_S)=\left\{\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{c}}(R^{\mathrm{2}}-r_S^{\mathrm{2}})|r_S|\le R\\ \mathrm{0}|r_S|>R\end{array}\right.（1）

式中：R为喷涂半径；A_c为常数，通过静态喷涂实验后利用涂层测厚仪测定计算获得。

若考虑喷枪倾角α为变量，如图2所示，则采用微分几何理论建立喷幅范围内任意点S（x，y）上喷枪静态喷涂涂层生长率模型^［22］，设定H_S 为喷枪轴线上喷枪至点S的距离，其表达式如下：

f(x,y,\alpha )=A_{\mathrm{c}}(R^{\mathrm{2}}-r_S^{\mathrm{2}}){(\frac{H}{H_S})}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha（2）

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta =\sqrt[]{\frac{x^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha +y^{\mathrm{2}}}{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}

r_S=\frac{H\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H+x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }　　 H_S=H+x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha

喷枪在倾角喷涂下的喷涂范围为一个椭圆形，则图2中椭圆形的长短轴a₁（H， α）和a₂（H， α）分别表示为

a_{\mathrm{1}}(H,\alpha )=\frac{H\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha -H\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{2}\alpha )-\mathrm{1}-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha +\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha }（3）

a_{\mathrm{2}}(H,\alpha )=\frac{H\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +H\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{2}\alpha )+\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha -\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha }（4）

1.2 喷枪动态喷涂模型

传统喷涂轨迹主要采用垂直喷涂方法，此方法喷涂凸起凹陷特征时容易出现喷涂质量低等问题。为确保复杂特征的喷涂效果，需要研究适用于垂直喷涂方法的凸起高度和凹陷深度范围。当凸起高度、凹陷深度超过临界值时，现有的垂直喷涂轨迹规划方法在犄角处难以获得理想的喷涂效果，因此，利用喷涂倾角改变涂膜厚度峰值位置的特性^［23］，通过优化喷涂倾角的大小来研究喷枪变位姿动态喷涂模型，最终达到改善喷涂效果的目的。

1.2.1 喷枪定位姿动态喷涂模型

以凹陷特征为例，设定d₁、d₂、d₃分别为凹陷处顶面、侧面和底面的长度，r_S1、r_S2、r_S3分别为横轴方向上点S₁、S₂、S₃到喷枪轴线的距离，v₀为初始喷涂速度，v_c为凹陷处喷涂速度，H₀为初始喷涂高度，σ为面片夹角。当对凹陷特征采用垂直喷涂方法时，涂层厚度示意图见图3a。凹陷处顶面的喷涂高度H_c1=H₀-d₂/2，凹陷处底面的喷涂高度H_c3=H₀+d₂/2。此时凹陷处顶面采用垂直喷涂时其上一点S₁的涂层厚度为

T_{S_{\mathrm{1}}}(x)=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{A}_c(R^{\mathrm{2}}-r_{S_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}})\mathrm{d}t（5）

t_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}/v_{\mathrm{0}}

考虑喷涂高度对涂料分布的影响，喷枪以恒定高度H_c3喷涂凹陷处底面时其上一点S₃的涂层厚度为

T_{S_{\mathrm{3}}}(x)=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{3}}}{A}_c(R^{\mathrm{2}}-r_{S_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}){(\frac{H_{\mathrm{c}\mathrm{1}}}{H_{\mathrm{c}\mathrm{3}}})}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t（6）

t_{\mathrm{3}}=\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}/v_{\mathrm{c}}

喷枪喷涂凹陷处底面时会对凹陷处侧面上的涂层厚度产生影响，此时凹陷处侧面上一点S₂到凹陷处顶面的距离为L_S2，喷涂高度为H_c2，其涂层厚度表示为

T_{S_{\mathrm{2}}}(x)=\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{2}}}{A}_c(R^{\mathrm{2}}-r_{S_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}){(\frac{H_{\mathrm{c}\mathrm{3}}}{H_{\mathrm{c}\mathrm{2}}})}^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\sigma -{\theta }_S)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_S}\mathrm{d}t（7）

H_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=H_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+L_{S_{\mathrm{2}}}　　 t_{\mathrm{2}}=\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}}/v_{\mathrm{c}}

以凹陷特征处任意一点S的涂层厚度与理想涂层厚度之间的方差最小值建立优化目标函数，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E(v_{\mathrm{c}})={\int }_{\mathrm{0}}^{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{3}}}(T_{S_i}(x,y)-T_{\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\end{array}\right\}（8）

其中，T_d为理想涂层厚度，优化目标函数可采用模式搜索法求解出v_c的值^［24］。若最优喷涂速度下各采样点的涂层厚度满足T_d-ΔT<T_S <T_d+ΔT（ΔT为允许涂层厚度误差），则当前凹陷深度为d₂时可采用垂直喷涂，否则无法满足涂层均匀度要求。通过调整凹陷深度d₂可以求解适用垂直喷涂轨迹规划方法的凹陷深度临界值d_c。同样的方法可用于求解适用垂直喷涂轨迹规划方法的凸起高度临界值，如图3b所示。

1.2.2 喷枪变位姿动态喷涂模型

相较于垂直喷涂，在凸起凹陷特征处采用连续变倾角喷涂轨迹，通过构建各段喷涂轨迹的喷枪变位姿动态喷涂模型，并对各变位姿动态喷涂模型的喷涂倾角、喷涂高度和喷涂速度进行优化，可以更好地控制喷涂质量，并且能够保证喷涂轨迹的连续性和光滑性，因此研究凸起凹陷特征处的连续变倾角喷涂轨迹有着重要意义。以图4中凸起凹陷特征处的单条喷涂轨迹为例，设定理想涂层厚度为T_d，顶面、侧面、底面长度为d₁、d₂、d₃，外、内犄角连续变倾角轨迹均分段数为i、n，凸起、凹陷特征的面片夹角分别为σ₁、σ₂，外、内犄角处的最大喷涂倾角分别为α_th1、α_th2，α_th1=（π-σ₁）/2，α_th2=（π-σ₂）/2；垂直喷涂轨迹段优化目标参数为顶面、底面的垂直喷涂高度H_z0、H_z1以及对应的轨迹段喷涂速度v₁、v₆，连续变倾角喷涂轨迹段优化的目标参数为过渡圆弧半径R₁、R₂以及喷涂速度v₂、v₃、v₄、v₅。连续变倾角喷涂轨迹规划方法的具体步骤如下：

1）设定喷涂高度范围［H_min，H_max］，凸起高度、凹陷深度范围［d_2min，d_2max］，凸起、凹陷特征宽度范围［d_3min，d_3max］，喷涂速度范围［v_min，v_max］。

2）设定凸起凹陷特征顶面、底面的垂直喷涂高度分别为H_z0、H_z1，外、内犄角处连续变倾角喷涂轨迹段的圆心O₂、O₃均在角平分线上，圆心O₃到相邻面片的垂直距离均为d₀，并在此基础上划分垂直喷涂轨迹段和连续变倾角喷涂轨迹段。

3）构建各喷涂轨迹段连续变倾角动态喷涂模型T_P1、T_P2、…、T_P6，在此基础上构建各面片采样点连续变倾角动态喷涂模型T_S1、T_S2、T_S3。

4）以涂层均匀性为目标构建多目标优化函数，求解最优圆弧半径R₁、R₂，最优喷涂高度H_z0、H_z1以及最优喷涂速度v₁、v₂、…、v₆。

5）将优化后的参数代入连续变倾角动态喷涂模型，最终形成所需的喷涂轨迹。

以凹陷特征为例，设定外、内犄角处连续变倾角喷涂轨迹的圆心O₂、O₃分别在外、内犄角的角平分线上，圆心O₃到凹陷处侧面和底面的垂直距离均为d₀，则d₀=R₂+H_z1。当凹陷处底面长度d₃>2d₀时，采用变倾角喷涂和垂直喷涂相结合的喷涂轨迹规划方法；当凹陷处底面长度d₃<2d₀时，则采用垂直喷涂轨迹规划方法。

构建凸起凹陷特征处的变倾角喷涂轨迹，包括垂直喷涂轨迹段和连续变倾角喷涂轨迹段。以凹陷处顶面为例，当喷枪远离外犄角时为垂直喷涂轨迹段P₁，当喷枪靠近外犄角时为连续变倾角喷涂轨迹段P₂，其轨迹段长度L₁、L₂分别为

L_{\mathrm{1}}=d_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}（9）

L_{\mathrm{2}}=R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}（10）

设定凹陷处顶面上垂直喷涂速度为v₁，则凹陷处顶面垂直喷涂轨迹段P₁上某一采样点S₁的涂层厚度表达式为

T_{P_{\mathrm{1}}}(x,y)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{1}}}{\int }_{-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\phi /\mathrm{2})}^{d_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}}f(\alpha =\mathrm{0},r_{S_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}z（11）

r_{S_{\mathrm{1}}}=\sqrt[]{y^{\mathrm{2}}+{(x-z)}^{\mathrm{2}}}

设定外犄角处连续变倾角喷涂轨迹段P₂和P₃上喷枪的最大倾角为α_th1，将连续变倾角轨迹段均分为i段，并设各段上的喷涂高度、喷涂倾角保持不变，喷涂高度分别为H₁、H₂、…、H_i，对应的喷涂倾角分别为α_th1/i、2α_th1/i、…、α_th1，轨迹段P₂和P₃上的喷涂速度分别为v₂、v₃，如图5所示。凹陷处顶面连续变倾角喷涂轨迹段P₂上某一采样点S₁的涂层厚度表达式为

\left.\begin{array}{l}{T}_{P_{\mathrm{2}}}(x,y,j)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{2}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{j-\mathrm{1}}{i}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})}^{d_{\mathrm{1}}-R_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{j}{i}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})}f(\frac{j}{i}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}},r_{S_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}z\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.R_{\mathrm{1}}\ge H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}\end{array}\right\}（12）

r_{S_{\mathrm{1}}}=\frac{H_j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_j\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H_j+(x-z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{j}{i}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})}　　 H_j=R_{\mathrm{1}}-\frac{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{j}{i}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})}

j=1，2，…，i

凹陷处侧面上包含外、内犄角处的圆弧过渡连续变倾角喷涂轨迹段P₃、P₄，考虑凹陷处侧面上外、内犄角处连续变倾角喷涂轨迹的光滑连接，两条喷涂轨迹的连接点S₄位于圆心连线O₂O₃与喷涂轨迹的交点上，其表达式为

O_{\mathrm{2}}{O}_{\mathrm{3}}=\sqrt[]{(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}+(d_{\mathrm{0}}+R_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}}（13）

由式（13）可推导得出此时外、内犄角连续变倾角喷涂时在凹陷处侧面上喷涂轨迹段P₃、P₄的长度L₃、L₄为

L_{\mathrm{3}}=R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}-\frac{(d_{\mathrm{0}}+R_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})}{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}}（14）

L_{\mathrm{4}}=d_{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+\frac{(d_{\mathrm{0}}+R_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})}{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}}（15）

此时凹陷处侧面上外犄角处连续变倾角喷涂轨迹段P₃上某一采样点S₂的涂层厚度表达式为

\left.\begin{array}{l}{T}_{P_{\mathrm{3}}}(x,y,j)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{3}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}-(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{j-\mathrm{1}}}^{d_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}-(R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}})\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_j}f({\alpha }_j,r_{S_{\mathrm{2}}})\mathrm{d}z\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.R_{\mathrm{1}}\ge H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}\end{array}\right\}（16）

{\alpha }_j=\frac{i-j}{i}({\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}-{\alpha }_{\mathrm{3}})+{\alpha }_{\mathrm{3}}

{\alpha }_{j-\mathrm{1}}=\frac{i-(j-\mathrm{1})}{i}({\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}-{\alpha }_{\mathrm{3}})+{\alpha }_{\mathrm{3}}

r_{S_{\mathrm{2}}}=\frac{H_j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_j\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H_j+(x-z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_j}　　 H_j=R_{\mathrm{1}}-\frac{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_j}

{\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{d_{\mathrm{0}}+R_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}}

设定内犄角处连续变倾角喷涂轨迹段P₄和P₅上喷枪的最大倾角为α_th2，将连续变倾角轨迹段均分为n段，并设各段上的喷涂高度、喷涂倾角保持不变，喷涂高度分别为H₁、H₂、…、H_n，对应的喷涂倾角分别为α_th2/n、2α_th2/n、…、α_th2，轨迹段P₄和P₅上的喷涂速度分别为v₄、v₅，如图6所示。凹陷处侧面上内犄角处连续变倾角喷涂轨迹段P₄上某一采样点S₂的涂层厚度表达式为

T_{P_{\mathrm{4}}}(x,y,m)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{4}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{m-\mathrm{1}}}^{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_m}f({\alpha }_m,r_{S_{\mathrm{2}}})\mathrm{d}z（17）

{\alpha }_m=\frac{m}{n}({\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{3}})+{\alpha }_{\mathrm{4}}

{\alpha }_{m-\mathrm{1}}=\frac{m-\mathrm{1}}{n}({\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{3}})+{\alpha }_{\mathrm{4}}

H_m=\frac{d_{\mathrm{0}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_m}-R_{\mathrm{2}}　　 r_{S_{\mathrm{2}}}=\frac{H_m\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_j\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H_m+(x-z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_m}

{\alpha }_{\mathrm{4}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{d_{\mathrm{0}}+R_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}-H_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+d_{\mathrm{0}}}

m=1，2，…，n

当喷枪靠近凹陷处底面内犄角时为连续变倾角喷涂轨迹段P₅，其轨迹段长度L₅=R₂+H_z1，其上某一采样点S₃的涂层厚度表达式为

T_{P_{\mathrm{5}}}(x,y,m)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{5}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{0}}-d_{\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{n-(m-\mathrm{1})}{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}})}^{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{0}}-d_{\mathrm{0}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{n-m}{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}})}f(\frac{n-m}{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}},r_{S_{\mathrm{3}}})\mathrm{d}z（18）

H_m=\frac{d_{\mathrm{0}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{n-m}{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}})}-R_{\mathrm{2}}

r_{S_{\mathrm{3}}}=\frac{H_m\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_j\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H_m+(x-z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{n-m}{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}})}

当凹陷处底面长度d₃>2d₀时，在连续变倾角轨迹段P₅后建立垂直喷涂轨迹段P₆，此时喷涂速度为v₆，垂直喷涂高度为H_z1，轨迹段长度L₆=d₃-2d₀，轨迹段P₆上某一采样点S₃的涂层厚度表达式为

T_{P_{\mathrm{6}}}(x,y)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{6}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{0}}}^{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{3}}-d_{\mathrm{0}}}f(\alpha =\mathrm{0},r_{S_{\mathrm{3}}})\mathrm{d}z（19）

r_{S_{\mathrm{3}}}=\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}

喷枪在外、内犄角处喷涂时会对相邻面上的涂层厚度产生影响。以凹陷处顶面为例，在凹陷处顶面上外犄角处采用连续变倾角喷涂时会对凹陷处侧面上涂层厚度产生影响，影响的喷涂距离为a₂，为此，可假设凹陷处顶面上喷涂对凹陷处侧面的影响看作是喷枪对凹陷处侧面延长面喷涂对凹陷处侧面的影响，如图7所示。喷枪历经凹陷处顶面上外犄角处连续变倾角喷涂轨迹段P₂后在凹陷处侧面上形成的涂层厚度可表示为

T_{P_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}(x,y)=\frac{\mathrm{1}}{v_{\mathrm{2}}}{\int }_{d_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}(H_{L_{\mathrm{1}}},{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})}^{d_{\mathrm{1}}}f({\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}},r_{S_{\mathrm{2}}})\mathrm{d}z（20）

a_{\mathrm{2}}=\frac{H_i\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}+H_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{2}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}})+\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\frac{\phi }{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}}

H_{L_{\mathrm{1}}}=H_i-\mathrm{2}z\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}　　 r_{S_{\mathrm{2}}}=\frac{H_{L_{\mathrm{1}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_i\sqrt[]{{(x-z)}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}}}{H_{L_{\mathrm{1}}}+(x-z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}}

采用相同方法可以求解得出凹陷处侧面对顶面上影响的涂层厚度T{}_{P_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{*}}、凹陷处侧面对底面上影响的涂层厚度T{}_{P_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{*}}、凹陷处底面对侧面上影响的涂层厚度T{}_{P_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{*}}。

凹陷处顶面、侧面、底面上任意一点S₁、S₂、S₃的涂层厚度是由上述各段喷涂轨迹的涂层厚度叠加获得的，其表达式分别为

（21）

（22）

（23）

H_{L_{\mathrm{2}}}=H_i-\mathrm{2}z\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{1}}　　 H_{L_{\mathrm{3}}}=H_n+\mathrm{2}z\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}}　　 H_{L_{\mathrm{4}}}=H_n+\mathrm{2}z\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{2}}

采用相同方法可获得凹陷特征另一侧的变位姿动态喷涂模型。设定v_max为喷涂速度最大值，以涂层均匀度为目标对连续变倾角轨迹段的圆弧半径R₁、R₂，喷涂高度H_z0、H_z1以及喷涂速度v₁、v₂、…、v₆进行优化，优化目标函数为

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}E(v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},\cdots ,v_{\mathrm{6}},R_{\mathrm{1}},R_{\mathrm{2}},H_{\mathrm{z}\mathrm{0}},H_{\mathrm{z}\mathrm{1}})=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{3}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\delta }(T_{S_i}(x,y)-T_{\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.v_j\le v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\\ j=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6}\end{array}\right\}（24）

其中，δ为轨迹间距。对式（24）中的多变量优化函数可采用NSGA-Ⅱ算法进行求解^［25］。采用相同方法可求解出凸起特征处的最优喷涂轨迹。

2 仿真研究

2.1 定位姿喷涂对凸起凹陷处涂层均匀性的影响

设定理想涂层厚度T_d为50 μm，涂层厚度误差ΔT为10 μm，初始喷涂高度H₀和喷枪张角φ分别为200 mm和28°。喷枪垂直喷涂时，通过平板上的实验数据拟合得到涂层的生长速率函数（单位：μm/s）为f（r）=0.1（R²-r²）。

设定凸起、凹陷特征的面片夹角σ₁、σ₂均为90°，初始喷涂速度v₀为300 mm/s，d₁、d₂、d₃的初始值分别为450、10、600 mm，凸起凹陷处喷涂速度v_c范围为［100，700］mm/s。通过不断调整凸起高度、凹陷深度d₂的数值，结合式（5）~式（8）优化最优喷涂速度v_c^*，如表1所示。

设定图4中面片交界处采样点A、B、C、D在X轴上的坐标分别为d₁、d₁+1、d₁+d₂、d₁+d₂+1，喷涂轨迹间距为60.8 mm，并在凸起凹陷特征y=30.4、91.2、152、212.8 mm的位置上沿X轴方向分别对表1中各类凸起凹陷特征尺寸进行喷涂仿真，如图8所示。可以看出，当凹陷深度d₂≥47 mm、凸起高度d₂≥52 mm时，凹陷处采样点C₃、C₄和凸起处采样点B₃、B₄的涂层厚度超过涂层厚度误差值，因此求解得到适用垂直喷涂轨迹规划方法的凹陷深度、凸起高度临界值d_c分别为47 mm和52 mm。

2.2 变位姿喷涂对凸起凹陷处涂层均匀性的影响

设定理想涂层厚度T_d=50 μm，d₁=450 mm，d₃=600 mm，i=n=3，凸起、凹陷特征的面片夹角σ₁=σ₂=90°，外、内犄角处最大喷涂倾角α_th1=α_th2=45°。喷涂倾角α根据喷枪变位姿动态喷涂模型求解得出，以凹陷特征d₂=40、47、50、60 mm以及凸起特征d₂=50、52、60、70 mm分别进行仿真对比研究，优化得到凹陷深度为47、50 mm以及凸起高度为52、60 mm时喷涂轨迹最优喷涂参数，如表2所示。

将优化得到的喷涂参数代入涂层厚度模型计算凸起凹陷特征处各采样点的涂层厚度，如图9所示。图10中的虚、实线分别为垂直喷涂、变位姿喷涂时使用优化的喷涂轨迹参数得到的涂层厚度极值。通过对比图8~图10发现，相较于垂直喷涂轨迹，采用变位姿喷涂时可以显著提高凸起凹陷特征侧面、顶部、底部的喷涂质量和涂层均匀性，其中满足涂层厚度要求的区域占比提高了17.3%，膜厚标准差减小了43.7%。

3 喷涂实验分析

根据上述连续变倾角喷涂轨迹生成算法生成的机器人空间喷涂轨迹见图11。在此基础上搭建图12所示的喷涂实验系统，该系统由IRB4600型机器人和岩田WA-200喷枪组成。实验过程中，选取一块凸起高度为60 mm及一块凹陷深度为50 mm的板材作为试样进行喷涂实验，其中变位姿喷涂轨迹在凹陷区域的实际沉积效果如图12所示。喷涂完成后，建立直角坐标系如图13所示，并设定X、Y轴上采样点间隔分别为30 mm和50 mm，凸起、凹陷特征板材上分别设定采样点数量为280和270，利用涂层测厚仪测量喷涂涂层厚度，喷涂实验结果如表3所示。从表3中可以看出，相比于垂直喷涂方法，本文所提出的连续变倾角喷涂方法应用于凸起、凹陷特征板材时，可满足涂层厚度要求的区域占比分别提高了16.14%和14.29%，总体提高了15.23%；膜厚标准差分别减小了39.62%和42.55%，总体减小了41.06%。物理喷涂实验结束后将涂层厚度分布状况与仿真结果进行对比，如图14所示，可以看出不同凸起凹陷特征处的涂层厚度分布形状上基本一致，仿真数据与实验数据之间的误差可能与喷涂环境和涂膜的流平等因素相关，验证了仿真与实验的有效性和可行性。

4 结论

仿真与实验验证表明，与垂直喷涂方法相比，在凸起凹陷特征处采用变位姿喷涂工艺的喷涂轨迹优化方法时的膜厚标准差降低了41.06%，能满足膜厚精度要求，且满足膜厚精度要求的区域占比提高15.23%，显著提高了喷涂质量。由此可见，本文提出的喷涂轨迹优化方法可行有效，在提高喷涂质量的同时实现了涂层均匀性的有效提升，为进一步实现凸起凹陷特征表面高质、高效喷涂轨迹优化提供了一种新途径。

参考文献

[1] 王秋爽，钟羽中，郭斌，等.基于改进OMP算法的喷涂机器人轨迹规划研究［J］.现代制造工程，2021（12）：28-34.

[2] WANG Qiushuang， ZHONG Yuzhong， GUO Bin， et al. Research on Trajectory Planning of Spraying Robot Based on Improved OMP Algorithm［J］. Modern Manufacturing Engineering，2021（12）：28-34.

[3] 卢晓冬，唐倩，蒋敏，等.基于遗传算法的双层喷涂自动轨迹规划［J］.计算机集成制造系统，2018，24（9）： 2157-2167.

[4] LU Xiaodong， TANG Qian， JIANG Min， et al. Automated Robot Trajectory Planning for Double-layer Spray Painting Based on Genetic Algorithm［J］. Computer Integrated Manufacturing Systems，2018， 24（9）：2157-2167.

[5] CHEN Heping， XI Ning. Automated Robot Tool Trajectory Connection for Spray Forming Process［J］. Journal of Manufacturing Science and Engineering， 2012， 134（2）： 021017.

[6] 齐淑林，郑权，赵晨辉，等.基于涂层厚度模型的机器人喷涂轨迹规划研究［J］.机床与液压，2023，51（15）：88-94.

[7] QI Shulin， ZHENG Quan， ZHAO Chenhui， et al. Research on Trajectory Planning of Spraying Robot Based on Coating Thickness Model［J］. Machine Tool & Hydraulics， 2023， 51（15）： 88-94.

[8] DANIEL G， STEFAN J， RAAD S， et al. Generating Optimized Trajectories for Robotic Spray Painting［J］. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2022， 19（3）： 1380-1391.

[9] IBRAHIM Z， RAHIM R A， ARIFFADILLAH S， et al. Parameter Settings for an Automated Gantry-robot Painting System Using a 3-Gun Atomization Spray Method for an Anti-static Coating Process［J］. American Journal of Engineering and Applied Sciences， 2019， 12（4）： 508-524.

[10] 胡小才，陈铮，吴彪，等.船舱狭窄封闭空间喷涂机器人结构设计与自动喷涂流程［J］.机械设计与研究，2023，39（4）：21-26.

[11] HU Xiaocai， CHEN Zheng， WU Biao， et al. Design and Automatic Operation Planning of Cabin Spraying Robot System［J］. Machine Design and Research， 2023， 39（4）： 21-26.

[12] LIU Yi， ZENG Yong， ZHAO Xueya， et al. Analysis of Film Forming Law and Characteristics for an Air Static Spray with a Variable Position of the Plane［J］. Coatings， 2021， 11（10）： 1236.

[13] 刘亚军，訾斌，王正雨，等.智能喷涂机器人关键技术研究现状及进展［J］.机械工程学报，2022，58（7）：53-74.

[14] LIU Yajun， ZI Bin， WANG Zhengyu， et al. Research Progress and Trend of Key Technology of Intelligent Spraying Robot［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2022，58（7）：53-74.

[15] CAI Zhenhua， LIANG Hong， QUAN Shuhai， et al. Computer-aided Robot Trajectory Auto-generation Strategy in Thermal Spraying［J］. Journal of Thermal Spray Technology， 2015， 24（7）： 1235-1245.

[16] FANG Dandan， ZHENG You， ZHANG Botao， et al. Automatic Robot Trajectory for Thermal-sprayed Complex Surfaces［J］. Advances in Materials Science and Engineering， 2018： 1-11.

[17] ZHOU Y Z， MA S M， LI A P， et al. Path Planning for Spray Painting Robot of Horns Surfaces in Ship Manufacturing［J］. IOP Conference Series： Materials Science and Engineering， 2019， 521： 47-52.

[18] CHEN Wei， LIU Junjie， TANG Yang， et al. Trajectory Optimization of Spray Painting Robot for Complex Curved Surface Based on Exponential Mean Bezier Method［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2017，11： 1-10.

[19] NIETO B S， LIN C Y. Autonomous Trajectory Planning for Spray Painting on Complex Surfaces Based on a Point Cloud Model［J］. Sensors， 2023， 23（24）： 9634.

[20] 马淑梅，罗曦，李爱平，等.船舶工业机器人曲面喷涂喷枪轨迹离线规划［J］.同济大学学报（自然科学版）， 2017，45（2）：289-295.

[21] MA Shumei， LUO Xi， LI Aiping， et al. Offline Trajectory Planning on Curved Surface for Spray Painting Robot in Shipbuilding Industry［J］. Journal of Tongji University（Natural Science）， 2017， 45（2）： 289-295.

[22] 华霄桐，张思敏，刘兴杰，等.基于椭圆双β喷枪模型的喷涂轨迹优化［J］.清华大学学报（自然科学版）， 2020，60（12）：985-992.

[23] HUA Xiaotong， ZHANG Simin， LIU Xingjie， et al. Optimization of Spraying Trajectory Based on Elliptical Double β Spraying Gun Model［J］. Journal of Tsinghua University（Science and Technology）， 2020， 60（12）： 985-992.

[24] GUAN Liwen， CHEN Lu. Trajectory Planning Method Based on Transitional Segment Optimization of Spray Painting Robot on Complex-free Surface［J］. Industrial Robot， 2019， 46（1）： 31-43.

[25] 张鹏，龚俊，宁会峰，等.面向大曲率组合曲面的喷涂机器人喷枪轨迹组合与连接问题研究［J］.四川大学学报（工程科学版），2016，48（4）：217-222.

[26] ZHANG Peng， GONG Jun， NING Huifeng， et al. Study on Trajectory Combination and Connection Problems of Spray-painting Robot for Large Curvature Combination Surfaces［J］. Journal of Sichuan University（Engineering Science Edition）， 2016， 48（4）： 217-222.

[27] 陈洁涛.面向型钢的工业机器人喷涂运动规划［D］.广州： 广东工业大学，2021.

[28] CHEN Jietao. Spraying Motion Planning of Indust⁃rial Robots for Formed Steels［D］. Guangzhou： Guangdong University of Technology，2021.

[29] 许勇，王义灿，王春燕，等.阀体喷涂机器人运动学分析及能效匹配设计［J］.上海交通大学学报，2016，50（7）：1108-1113.

[30] XU Yong， WANG Yican， WANG Chunyan， et al. Kinematic Analysis and Capacity-efficiency Matching Design of a Valve Spraying Robot［J］. Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2016，50（7）： 1108-1113.

[31] CHEN Heping， XI Ning. Automated Tool Trajectory Planning of Industrial Robots for Painting Composite Surfaces［J］. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2008， 35（7/8）： 680-696.

[32] ZENG Yong， CHEN Yang， ZHANG Yakun， et al. Spraying Trajectory Planning for Outer-horn Surface with Two Patches Based on Continuous Varied Dip-angle［J］. International Journal of Robotics and Automation， 2018， 33（4）： 346-354.

[33] ZENG Yong， ZHANG Yakun， HE Junxue， et al. Prediction Model of Coating Growth Rate for Varied Dip-angle Spraying Based on Gaussian Sum Model［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2016：1-7.

[34] 曾勇，于永庆，刘毅，等.不规则平面边界约束喷涂轨迹参数优化［J］.机械科学与技术，2020，39（6）：904-909.

[35] ZENG Yong， YU Yongqing， LIU Yi， et al. Para⁃meter Optimization of Boundary-constrained Spray Trajectory for Irregular Plane［J］. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2020， 39（6）： 904-909.

[36] 陈岁繁，林佳伦.圆柱工件变锯深工况下恒定锯切力约束多目标进给速度优化方法［J］.机床与液压，2023， 51（22）：72-79.

[37] CHEN Suifan， Lin Jialun. Multi-objective Feed Rate Optimization Method with Constant Sawing Force Constraint under Variable Sawing Depth for Cylindrical Workpiece［J］. Machine Tool & Hydraulics， 2023， 51（22）： 72-79.

基金资助

国家自然科学基金(51405418)