融合道路曲率前馈的车辆横向控制策略

Vehicle Lateral Control Strategy Integrating Road Curvature Feedforward

摘要

针对自动驾驶汽车在道路大曲率弯道下跟踪精度不高的问题，聚焦于道路曲率对横向控制策略的影响，分别从车辆模型建模、横摆稳定性和时域优化三个角度对基于传统模型预测控制（MPC）算法的横向控制策略进行了改进优化。将道路曲率融入车辆模型，建立了曲率前馈的误差动力学模型，并以此为基础设计了基于曲率前馈MPC算法的横向控制策略。然后在策略中添加了一个由横向车速和稳态横摆角速度组成的横摆稳定性约束来提高车辆在大曲率工况时的横摆稳定性。基于遗传算法建立了车速、道路曲率和时域三者之间的MAP图，以优化策略的预测时域和控制时域。进行了仿真分析，结果表明改进后的横向控制策略能够有效提高车辆的路径跟踪精度和横摆稳定性。最后，实车道路试验验证了曲率前馈MPC策略的有效性。

Abstract

Aiming at the problems of low tracking accuracy of autonomous vehicles in the road with large curvature curves， the influences of road curvature on the lateral control strategy were focused， the lateral control strategy was improved and optimized based on the traditional model predictive control（MPC） algorithm from three aspects of vehicle model modeling， yaw stability and time domain optimization， respectively. The road curvature was integrated into the vehicle model， and an error dynamics model with curvature feedforward was established. And then， a lateral control strategy was designed based on curvature feedforward MPC algorithm. Then， a lateral stability constraint consisting of lateral vehicle speed and steady-state lateral angular velocity was added to the strategy to enhance the lateral stability of the vehicles under high curvature conditions. A MAP map was established based on genetic algorithm to optimize the prediction and control time domains of the strategy， taking into account the relationships among vehicle speed， road curvature and time domain. Simulation analysis was conducted， and the results show that the improved lateral control strategy may effectively improve the path tracking precision and lateral stability of the vehicles. Finally， the effectivenesses of the curvature feedforward MPC strategy were verified through real vehicle road tests.

Graphical abstract

关键词

曲率前馈 / 横向控制策略 / 车辆模型建模 / 横摆稳定性 / 时域优化

Key words

curvature feedforward / lateral control strategy / vehicle model modeling / yaw stability / time domain optimization

Author summay

林歆悠^*（通信作者），男，1981年生，教授、博士研究生导师。研究方向为新能源汽车电驱动控制策略、智能驾驶轨迹追踪与转向决策控制、融合燃料电池衰退和动态特性的能量管理策略。E-mail：[e-mail]。

0 引言

横向控制策略主要分为基于几何学和基于反馈的两类方法。基于几何学的策略（如Pure Pursuit和Stanley控制）以路径跟踪的几何关系为核心，具有实现简单、计算效率高的特点，但通常忽略了车辆的运动学和动力学特性。基于反馈的策略通过实时调整控制输出来应对系统不确定性和外部扰动，常见方法包括PID控制、模糊控制、滑模控制和强化学习等。PID控制结构简单，在智能驾驶领域广泛应用，研究人员通过优化算法（如粒子群算法^［1］、遗传算法^［2］和神经网络^［3］）进一步提升其性能。模糊控制依赖专家经验和模糊规则，文献［4］提出一种变论域模糊模型预测控制（model predictive control，MPC）方法，提高了高速行驶智能汽车的轨迹跟踪能力和行驶稳定性。强化学习通过智能体与环境的交互获取最优策略，在智能汽车领域取得了显著成果^［5-7］。文献［8］提出基于深度Q-Learning的转向控制策略，提高了路径跟踪精度和稳定性。

基于模型的控制方法（如线性二次型调节器（linear quadratic regulator，LQR）和MPC）因可对车辆运动学和动力学特性进行精确描述，故在复杂工况下表现优异。MPC能够处理多输入多输出系统及非线性约束，在路径跟踪任务中具有显著优势^［9-10］。根据车辆模型的不同，MPC可分为基于运动学模型^［11-12］和动力学模型^［13-16］的策略。 文献［17］提出基于MPC的数据驱动反馈控制策略，提高了路径跟踪精度。文献［18］提出一种基于优化动力学模型的自适应预测时域控制策略，优化了高速大曲率工况下适应性差的问题。然而，现有方法仍存在局限性：基于几何学的策略未充分考虑车辆动力学特性；基于反馈的策略易受外部扰动影响；基于模型的方法计算复杂度高、实时性不足，现有策略难以兼顾跟踪精度和稳定性。

针对上述问题，本文提出一种融合道路曲率前馈的车辆横向控制策略，通过引入道路曲率信息作为前馈输入，以提高复杂道路条件下的路径跟踪性能和鲁棒性。本文的主要贡献包括：①设计基于道路曲率的前馈补偿机制；②引入横向车速和稳态横摆角速度约束以提高横摆稳定性；③基于遗传算法优化预测时域和控制时域。

1 车辆模型建立

1.1 运动学模型

低速运动下可以忽略车辆横向和纵向的滑移，将车辆视为一个刚体。为了方便分析和建模，将四轮车辆模型简化为两轮的单轨模型，如图1所示。

根据图1中的运动关系和几何关系，可得

\left.\begin{array}{l}{\dot{X}}_{\mathrm{r}}=v_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Psi \\ {\dot{Y}}_{\mathrm{r}}=v_x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\Psi \\ X_{\mathrm{f}}=X_{\mathrm{r}}+L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Psi \\ Y_{\mathrm{f}}=Y_{\mathrm{r}}+L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Psi \end{array}\right\}（1）

式中：{\dot{X}}_{\mathrm{r}}\mathrm{、}{\dot{Y}}_{\mathrm{r}}分别为车辆后轴在全局坐标系下的横向和纵向的绝对速度；v_x为车辆的纵向速度；\Psi为横摆角；(X_{\mathrm{f}},Y_{\mathrm{f}})、(X_{\mathrm{r}},Y_{\mathrm{r}})分别为全局坐标系下车辆前轴和后轴中点的坐标；L为前后轴的轴距。

车辆的前后轴应满足如下约束关系：

\left.\begin{array}{l}{\dot{X}}_{\mathrm{f}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\delta }_{\mathrm{f}}+\Psi )-{\dot{Y}}_{\mathrm{f}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\delta }_{\mathrm{f}}+\Psi )=\mathrm{0}\\ {\dot{X}}_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\Psi -{\dot{Y}}_{\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Psi =\mathrm{0}\end{array}\right\}（2）

式中：{\delta }_{\mathrm{f}}为前轮转角；{\dot{X}}_{\mathrm{f}}\mathrm{、}{\dot{Y}}_{\mathrm{f}}分别为车辆前轴在全局坐标系下的横向和纵向的绝对速度。

综上所述，可将车辆单轨运动学模型写成如下形式：

\left[\begin{array}{c}{\dot{X}}_{\mathrm{r}}\\ {\dot{Y}}_{\mathrm{r}}\\ \omega \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Psi \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\Psi \\ \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{f}}/L\end{array}\right]v_x（3）

式中：\omega为横摆角速度。

1.2 动力学模型

动力学模型从车辆受力的角度分析车辆的运动规律，此处只分析轮胎模型的侧偏力特性。轮胎的侧偏力特性可用如下公式描述^［19］：

F_{\mathrm{c}}=D\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(C\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(B(\alpha +S_{\mathrm{h}})-E[B(\alpha +S_{\mathrm{h}})-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(B(\alpha +S_{\mathrm{h}}))])+S_{\mathrm{v}}（4）

式中：F_{\mathrm{c}}为轮胎侧偏力；\alpha为轮胎侧偏角；B为刚度因子；C为外形因子；D为巅因子；E为曲率因子；S_{\mathrm{h}}为水平方向上的偏移；S_{\mathrm{v}}为垂直方向上的偏移。

基于式（4）绘制了轮胎侧偏力随侧偏角变化的侧偏特性曲线和曲面，如图2所示。

由于本文的关注重点在于车辆底盘部分的运动性能，因此作出以下假设：仅考虑车辆纵向、横向和横摆三个自由度的运动；忽略车辆运动过程中的载荷转移；两前轮转角始终一样，将四轮车辆模型简化为两轮的单轨模型。基于以上假设建立图3所示的车辆动力学模型。

对图3分析可以得到如下横向动力学微分方程组：

\left.\begin{array}{l}m{\dot{v}}_y=-m{v}_x\omega +F_{y\mathrm{f}}+F_{y\mathrm{r}}\\ I_z\dot{\omega }=l_{\mathrm{f}}{F}_{y\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}}{F}_{y\mathrm{r}}\end{array}\right\}（5）

前后轮轮胎的侧向力满足如下关系：

\left.\begin{array}{l}{F}_{y\mathrm{f}}=F_{\mathrm{l}\mathrm{f}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{f}}+F_{\mathrm{c}\mathrm{f}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\delta }_{\mathrm{f}}\\ F_{y\mathrm{r}}=F_{\mathrm{l}\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{r}}+F_{\mathrm{c}\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\delta }_{\mathrm{r}}\end{array}\right\}（6）

式中：m为车辆质量；I_z为车辆的转动惯量；{\dot{v}}_y为横向加速度；\dot{\omega }为横摆角加速度；F_{x\mathrm{f}}、F_{x\mathrm{r}}分别为前后轴的纵向力；F_{y\mathrm{f}}、F_{y\mathrm{r}}分别为前后轴的侧向力；F_{\mathrm{l}\mathrm{f}}、F_{\mathrm{l}\mathrm{r}}分别为前后轮胎的纵向力；F_{\mathrm{c}\mathrm{f}}、F_{\mathrm{c}\mathrm{r}}分别为前后轮胎的侧向力；l_{\mathrm{f}}、l_{\mathrm{r}}分别为前后轴到质心的距离；{\delta }_{\mathrm{r}}为后轮转角；C_{\mathrm{f}}、C_{\mathrm{r}}分别为前后轮胎的侧偏刚度。

由于只有前轮可以转向，即{\delta }_{\mathrm{r}}=\mathrm{0}，且{\delta }_{\mathrm{f}}\mathrm{较小}，因此根据小角度近似公式，式（6）可以改写为

\left.\begin{array}{l}{F}_{y\mathrm{f}}=F_{\mathrm{c}\mathrm{f}}\\ F_{y\mathrm{r}}=F_{\mathrm{c}\mathrm{r}}\end{array}\right\}（7）

联合式（5）~式（7）可得到如下车辆的单轨动力学模型：

\left[\begin{array}{c}{\dot{v}}_y\\ \dot{\omega }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{C_{\mathrm{f}}+C_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}& -v_x-\frac{l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}\\ \frac{-l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}& -\frac{l_{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_y\\ \omega \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{C_{\mathrm{f}}}{m}\\ \frac{l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}}{I_z}\end{array}\right]{\delta }_{\mathrm{f}}（8）

式中：v_y为车辆的横向速度。

2 基于曲率前馈的横向控制策略

本章聚焦于道路曲率的影响，设计了一种融合曲率前馈MPC的横向控制策略，从模型建模、横摆稳定性和时域优化三个角度对普通的MPC策略进行改进。策略设计流程图见图4。

2.1 融合曲率前馈MPC的横向控制策略设计

在前文已建立的车辆动力学模型的基础上建立车辆的跟踪误差动力学模型。图5为考虑道路曲率的跟踪误差模型的示意图，其中，{\varphi }_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}为车辆在参考路径投影点处的航向角。

图5中投影点处的关系可表示为

\left.\begin{array}{l}k=\frac{|Y^{″}(X)|}{(\mathrm{1}+Y^{\text{'}}{(X)}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1.5}}}\\ \dot{s}=(v_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{e}_{\mathrm{h}}+v_y\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{e}_{\mathrm{h}})/(\mathrm{1}-k{e}_{\mathrm{d}})\\ \begin{array}{l}{\dot{e}}_{\mathrm{h}}=\omega -k\dot{s}\\ {\dot{e}}_{\mathrm{d}}=v_x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{e}_{\mathrm{h}}+v_y\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{e}_{\mathrm{h}}\approx v_x{e}_{\mathrm{h}}+v_y\end{array}\end{array}\right\}（9）

式中：Y(X)表示全局坐标系下参考路径的横纵坐标所满足的函数关系；Y\mathrm{\text{'}}(X)、Y\text{'}\text{'}(X)分别表示Y(X)的一阶导数和二阶导数；k为P点处的曲率；s为参考路径的弧长；\dot{s}为沿着参考路径移动的速度；e_{\mathrm{h}}为航向误差；e_{\mathrm{d}}为横向误差；{\dot{e}}_{\mathrm{h}}为航向误差变化率；{\dot{e}}_{\mathrm{d}}为横向误差变化率。

通过式（9）可得到如下误差动力学模型：

\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\dot{v}}_y\\ \dot{\omega }\\ {\dot{e}}_{\mathrm{d}}\\ {\dot{e}}_{\mathrm{h}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{C_{\mathrm{f}}+C_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}& -v_x-\frac{l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \frac{-l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}& -\frac{l_{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& v_x\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]·\\ \left[\begin{array}{c}{v}_y\\ \omega \\ e_{\mathrm{d}}\\ e_{\mathrm{h}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{C_{\mathrm{f}}}{m}\\ \frac{l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}}{I_z}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]{\delta }_{\mathrm{f}}+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ -v_x\end{array}\right]k\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\\ (\mathrm{10})\end{array}

将式（10）改写成以下形式：

\dot{\mathit{x}}(t)=\mathit{A}(t)\mathit{x}(t)+\mathit{B}(t)u(t)+\mathit{d}(t)（11）

\mathit{x}(t)={\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{v}_y& \omega \end{array}& \begin{array}{cc}{e}_{\mathrm{d}}& e_{\mathrm{h}}\end{array}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}u(t)={\delta }_{\mathrm{f}}

\mathit{d}(t)={\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{cc}\mathrm{0}& -v_x\end{array}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}k

\mathit{B}(t)={\left[\begin{array}{cccc}{C}_{\mathrm{f}}/m& l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}/I_z& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

\mathit{A}(t)=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{C_{\mathrm{f}}+C_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}& -v_x-\frac{l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}-l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \frac{-l_{\mathrm{f}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}& -\frac{l_{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{f}}+l_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{r}}}{I_z{v}_x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& v_x\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]

式中：\mathit{x}(t)为状态量；u(t)为控制量；\mathit{d}(t)为扰动量。

由于控制目标是使横向距离误差和航向误差最小，因此将输出量表示为\mathit{y}(t)={\left[\begin{array}{cc}{e}_{\mathrm{d}}& e_{\mathrm{h}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，则输出方程可以写为

\mathit{y}(t)=\mathit{C}\mathit{x}(t)（12）

\mathit{C}=\left[\begin{array}{llll}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

式（11）和式（12）都是关于时间t的连续方程，采用前向欧拉进行离散化。离散结果如下：

\left.\begin{array}{l}\mathit{x}(n+\mathrm{1})={\mathit{A}}_{n,t}\mathit{x}(n)+{\mathit{B}}_{n,t}u(n)+{\mathit{d}}_{n,t}(n)\\ \mathit{y}(n)={\mathit{C}}_{n,t}\mathit{x}(n)\end{array}\right\}（13）

{\mathit{A}}_{n,t}=\mathit{I}+T_{\mathrm{s}}\mathit{A}(t)B_{n,t}=T_{\mathrm{s}}\mathit{B}(t){\mathit{C}}_{n,t}=\mathit{C}

{\mathit{d}}_{n,t}(n)=T_{\mathrm{s}}\mathit{d}(t)

式中：t为连续时间；n为离散时间步长； I 为单位矩阵；T_{\mathrm{s}}为采样时间。

为便于约束处理，设\mathit{\xi }(n)=［\mathit{x}(n)u{(n-\mathrm{1})]}^{\mathrm{T}}，然后将式（13）转换成以下形式：

\left.\begin{array}{l}\mathit{\xi }(n+\mathrm{1})={\mathit{A}}_n\mathit{\xi }(n)+{\mathit{B}}_n\mathrm{\Delta }u(n)+\mathit{d}(n)\\ \mathit{\eta }(n)={\mathit{C}}_n\mathit{\xi }(n)\end{array}\right\}（14）

{\mathit{A}}_n=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{A}}_{n,t}& {\mathit{B}}_{n,t}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]{\mathit{B}}_n=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{B}}_{n,t}& \mathrm{1}\end{array}\right]{\mathit{C}}_n=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{C}}_{n,t}& \mathrm{1}\end{array}\right]

根据式（14），只要知道控制增量∆u\left(n\right)就可推导出车辆下一时间步的运动状态，因此在预测时域N_{\mathrm{p}}和控制时域N_{\mathrm{c}}范围内，车辆状态预测可以表达为

\mathit{Y}=\left[\begin{array}{c}\mathit{\eta }(n+\mathrm{1})\\ \mathit{\eta }(n+\mathrm{2})\\ ⋮\\ \mathit{\eta }(n+N_{\mathrm{p}})\end{array}\right]={\mathit{C}}_n\left[\begin{array}{c}\mathit{\xi }(n+\mathrm{1})\\ \mathit{\xi }(n+\mathrm{2})\\ ⋮\\ \mathit{\xi }(n+N_{\mathrm{p}})\end{array}\right]（15）

路径跟踪效果的好坏通常需要从横向位置误差、航向误差以及输出的控制量大小三个角度评价。本文选取的价值函数如下：

J={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{N_p}}||\mathit{\eta }(n+i)-{\mathit{\eta }}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}(n+i){|}_{\mathit{Q}}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{N_c-\mathrm{1}}}||\Delta u(n+j)|{|}_{\mathit{R}}^{\mathrm{2}}+\rho {\epsilon }^{\mathrm{2}}（16）

式中： Q 、 R 为权重矩阵；\rho为权重系数；\epsilon为松弛因子，\epsilon >\mathrm{0};{\mathit{\eta }}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}为规划路径状态参考量；i、j分别为预测时域和控制时域内进行到的步长号。

将代价函数转换成如下标准二次规划问题的形式：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}J=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{M}}^{\mathrm{T}}\mathit{H}\mathrm{\Delta }\mathit{M}+\mathit{F}\mathit{M})（17）

M =\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }U& \epsilon \end{array}\right]

式中：\mathrm{\Delta }U为控制量增量序列； H 为Hessian 矩阵，代表二次项系数； F 为线性系数向量。

通过求解式（17）的最小值问题获得如下的最优控制增量序列：

\mathrm{\Delta }{U}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\{\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}(n),\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}(n+\mathrm{1}),\cdots ,\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}(n+N_{\mathrm{c}}-\mathrm{1})\}（18）

由于求解出的控制序列只是控制量的增量，因此实际的控制量表达式如下：

u(t)=u(t-\mathrm{1})+\mathrm{\Delta }{u}_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}(n)（19）

式中：u(t-\mathrm{1})为上一时刻的控制量；u(t)为当前时刻的控制量；∆u_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}(n)为最优控制增量序列的第一个分量。

2.2 横摆稳定性约束的构建

由于车辆的横摆失稳发生在后轴时的危险性更高，因此通常对后轮的轮胎侧偏角采取如下限制：

-{\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\le {\alpha }_{\mathrm{r}}\le {\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}（20）

式中：{\alpha }_{\mathrm{r}}为后轮轮胎侧偏角；{\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}为后轮轮胎侧偏角在线性区域内的最大值。

将式（20）转换为

-{\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\le \frac{v_y-l_{\mathrm{r}}\omega }{v_x}\le {\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}（21）

当车辆处于稳态时，有

\left.\begin{array}{c}{\dot{v}}_y=\mathrm{0}\\ \dot{\omega }=\mathrm{0}\end{array}\right\}（22）

联合式（8）和式（22）可推出车辆处于稳态时的最大横摆角速度值为

{\omega }_{\mathrm{s}}=\frac{C_{\mathrm{r}}{\alpha }_{\mathrm{r}}}{m{v}_x}(\mathrm{1}+\frac{l_f}{l_r})（23）

根据式（21）和式（23）可得到横摆稳定性约束包络面。然后将横摆稳定约束转换成如下矩阵的形式：

-{\mathit{G}}_{\mathrm{s}}\le {\mathit{H}}_{\mathrm{s}}\mathit{\xi }(n)\le {\mathit{G}}_{\mathrm{s}}（24）

{\mathit{G}}_{\mathrm{s}}=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\\ \frac{C_{\mathrm{r}}{\alpha }_{\mathrm{r},\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}}{m{v}_x}(\mathrm{1}+\frac{l_{\mathrm{r}}}{l_{\mathrm{f}}})\end{array}\right]{\mathit{H}}_{\mathrm{s}}=\left[\begin{array}{lllll}\frac{\mathrm{1}}{v_x}& \frac{l_{\mathrm{r}}}{v_x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]

路径跟踪问题最终被转换成如下形式：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}J=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{M}}^{\mathrm{T}}\mathit{H}\mathrm{\Delta }\mathit{M}+\mathit{F}\mathit{M})\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}. \mathrm{\Delta }{U}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le \mathrm{\Delta }U\le \mathrm{\Delta }{U}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ U_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le U\le U_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ |{\mathit{H}}_{\mathrm{s}}\mathit{\xi }(n)|\le |{\mathit{G}}_{\mathrm{s}}+{\mathit{S}}_{\mathrm{s}}|\end{array}\right\}（25）

{\mathit{S}}_{\mathrm{s}}={\left[\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha }& {\epsilon }_{\omega }\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

式中：{\epsilon }_{\alpha }、{\epsilon }_{\omega }分别为侧偏角和横摆角速度约束的松弛因子；U为控制序列。

2.3 基于遗传算法的时域优化

为证明预测时域和控制时域对控制策略性能的影响，以60 km/h的车速在双移线道路上进行仿真测试。图6展示了车速60 km/h时不同控制时域和预测时域下的路径跟踪结果，可以看出，同一测试工况下选择不同的预测时域带来的性能差异比较明显。

控制时域N_{\mathrm{c}}为1时的最大横向误差和最大航向误差最大，而N_{\mathrm{c}}增大至7时，跟踪结果与N\mathrm{c}为4时的结果很贴近。由此可见，对预测时域和控制时域进行优化是十分必要的。

优化预测时域和控制时域是为了减小横向误差和航向误差，而且预测时域和控制时域不能过大，否则会影响策略的实时性，因此将遗传算法的适应度函数设置为

F_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}={\int }_{\mathrm{0}}^t(a{e}_{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}+b{e}_{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}+c{N}_{\mathrm{p}}+d{N}_{\mathrm{c}})\mathrm{d}t（26）

式中：a、b、c、d分别为横向误差、航向误差、预测时域和控制时域的权重系数。

根据国家公路设计规范JTG D20-2017，在预测时域取值范围设置成1~40，控制时域范围设置为1~39条件下构建具有不同曲率半径和车速驾驶场景参考路径的数学模型可表示为以下形式：

Y(X)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ R-\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}-{(X-L\mathrm{s})}^{\mathrm{2}}}\end{array}\right.\begin{array}{c} X\le L_{\mathrm{s}}\\ X>L\mathrm{s}\end{array}（27）

式中：L\mathrm{s}为设置的直线路径长度；R为道路曲率半径。

对遗传算法优化得到的数据进行数据拟合，预测时域和控制时域的拟合结果如图7和图8所示。

从图7和图8中可以看出，预测时域对车速的变化更为敏感，而控制时域仅在曲率半径较小时变化敏感且变化幅度较大。

3 验证与结果

3.1 曲率前馈MPC的横向控制策略的仿真验证

基于前文横向控制策略原理搭建了仿真模型，其中控制策略的通用参数见表1。

由图9可以看出，车速为36 km/h时两种策略都能较好地跟踪参考路径，最大横向误差与航向误差均相差不大。

在图10中，当车速提高至54 km/h时，普通MPC策略的最大横向误差相较于36 km/h时有小幅度的增大，而曲率前馈MPC策略的最大横向误差相较于之前的情况并没有太大的变化。此外，普通MPC策略的最大航向误差增大至2.8°附近，而曲率前馈MPC策略的最大航向误差相较于36 km/h时并无明显变化，依旧在2°以内。

观察图11发现，当车速继续提高至72 km/h时，普通MPC策略的最大横向误差增大至0.4 m附近，而曲率前馈MPC策略的最大横向误差增大至0.2 m左右。两种策略的航向误差也开始拉开差距，普通MPC策略的最大航向误差增大至3°左右，而曲率前馈MPC策略的航向误差依旧保持在2°以内。

从图12中可以看出，车速提高至90 km/h的高速后，尽管两种策略的跟踪误差均有所增大，但两种策略整体上仍然表现出较好的路径跟踪效果。普通MPC策略与曲率前馈MPC的最大横向误差与最大航向误差均相差不大。

图13总结和对比了两种控制策略在不同车速下的性能差异，可以直观地看出曲率前馈MPC策略在不牺牲求解效率的前提下，有效提高了路径跟踪精度，验证了改进后控制策略的有效性。

3.2 车辆横摆稳定性改进仿真验证

横摆稳定性约束的主要作用是改善中高速大曲率道路工况下的横摆稳定性，所以为验证添加横摆稳定性约束后控制策略的有效性，选择了具有较大道路曲率的双移线作为仿真的参考路径，测试车速分别设置为72 km/h和90 km/h，仿真结果如图14和图15所示。

从图14中可以看出，72 km/h时与无横摆稳定性约束的策略相比，有横摆稳定性约束策略的横向误差和航向误差均更小。而无横摆稳定性约束策略的平均求解时间为0.010 s，有约束策略的平均求解时间为0.012 s，两者相差不大。

车速提高至90 km/h时，图15表明两种策略的精度都出现了不同程度地降低。其中有约束策略的最大横向误差和最大航向误差甚至比无约束策略的对应误差值更大，但是这并不代表添加横摆稳定性约束后的策略是无用的，具体原因将在后续说明。

从图16中可以看出，添加了横摆稳定性约束策略的轮胎侧偏角明显比无约束策略的轮胎侧偏角更小，这说明添加的侧偏角约束起了作用。观察图15可以发现，较大的跟踪误差主要集中在100~150 m这段较急的弯道。在这段弯道中，无横摆稳定约束策略的前轮转角明显比有约束策略的前轮转角更大，因此可以推测，横摆稳定性约束是通过限制前轮转角实现对轮胎侧偏角的限制。

从图17中可以清晰地看出，有横摆稳定性约束策略的横向车速和横摆角速度始终保持在所设置的约束包络面以内，而没有约束策略的横向车速和横摆角速度则超出了这个包络面，验证了添加横摆稳定性约束的策略的有效性。由图16还可知，无横摆稳定性约束策略的轮胎侧偏角逐步离开了线性区，一旦轮胎侧偏角过大，容易导致车辆横摆失稳。

3.3 时域优化的仿真验证

为验证预测时域和控制时域对不同道路曲率和车速的自适应调整能力，在一条由直线、双移线和正弦曲线拼接而成弯道路况上进行了仿真研究，如图18和图19所示。

从图18和19中可以看出，相较于固定时域参数的控制策略，时域自适应的控制策略明显具有更小的横向误差和航向误差，预测时域也能够根据道路曲率的不同进行自适应调整。

3.4 曲率自适应MPC横向控制策略实车验证

为进一步验证所设计策略的有效性，基于大学生方程式赛车平台进行了实车验证，如图20所示。

实车验证分为以下两个步骤：

1）利用红、蓝两种颜色的锥桶搭建好实验场景，然后由激光雷达识别锥桶点云，通过即时定位与地图构建（simultaneous localization and mapping，SLAM）后得到赛道锥桶位置图，再通过路径规划算法得出锥桶赛道的中心线，如图21所示。

2）对得到的规划曲线进行拟合，考虑到曲线前半部分为直线且该策略重在弯道处的跟踪优化，此处仅对曲线部分进行拟合并作为实车验证的输入曲线，同时考虑到只验证横向控制性能，纵向控制采用PID控制，将测试车速设置恒定为4 m/s。对实车测试得到的数据进行处理后，得到图22所示的实车测试结果。

由跟踪结果可得，普通MPC和曲率前馈MPC在跟踪同一目标曲线中，两者在直线部分的跟踪效果差异基本可以忽略不计，在弯道处普通MPC策略的最大航向误差达到2.6°，最大横向误差达到0.17 m，而曲率前馈MPC的最大航向误差在2°以内，最大横向误差为0.08 m，曲率前馈MPC在过弯时对路径跟踪效果有明显改善，进一步验证了曲率前馈MPC横向控制策略的有效性。

4 结论

本文提出了一种融合道路曲率前馈的车辆横向控制策略，旨在通过对传统MPC横向控制策略的改进，提高车辆在不同道路曲率及车速条件下的适应性与控制性能。本文将道路曲率嵌入车辆动力学模型，设计了曲率前馈的横向控制策略，同时为控制策略引入横摆稳定性约束，通过结合横向速度与稳态横摆角速度的约束条件，有效限制了轮胎的侧偏角，显著提高了车辆的横摆稳定性，并基于遗传算法实现了对控制时域与预测时域参数的优化，使参数能够根据实时车速与道路曲率动态调整。研究结果表明，改进后的控制策略在路径跟踪精度方面优于传统MPC方法，在双移线道路实验验证中，该方法在大曲率、高速工况下的横摆稳定性提升尤为显著，优化后的时域参数进一步增强了控制策略在不同工况下的适应能力，提高了车辆的控制性能。

综上所述，本文所设计的融合道路曲率前馈的车辆横向控制策略通过多维度改进成功实现了对路径跟踪精度、横摆稳定性及多工况自适应能力的优化，为复杂道路环境下的车辆横向控制任务提供了一种高效且鲁棒的解决方案。

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基金资助

国家自然科学基金(52272389)

国家自然科学基金(51505086)

福建省自然科学基金(2020J01449)

载运工具与装备教育部重点实验室开放课题(KLCE2022-08)

四川省新能源汽车智能控制与仿真测试技术工程研究中心开放课题(XNYQ2022-001)

安徽工程大学检测技术与节能装置安徽省重点实验室开放研究基金(JCKJ2021A04)