连续体机器人设计与导向路径损失补偿策略

Design of Continuum Robots and Compensation Strategies for Losses of Guide Paths

摘要

针对目前连续体机器人运动学建模精度低和轴向刚度不足的问题，提出了一种新型绳驱连续体机器人及其导向路径的驱动误差补偿策略。设计了一种具有灵活柔性支撑的切口柔性连续体和提高轴向刚度的柔性臂结构，随后建立了机器人的运动学模型并获得了柔性臂末端的工作空间，通过弯曲仿真证实了运动学模型的准确性。分析弯曲误差产生的原因，推导出套管传递损失和绳索穿过圆盘孔前后张力传递模型，提出了一种对驱动损失补偿及运动学模型参数修正的补偿策略。连续体机器人不同角度的弯曲实验表明：补偿后最大弯曲角度误差为4.11°，最大位置误差为6.11 mm，最大误差减小了48.0%。实验验证了所提出的机器人及驱动误差补偿控制策略的有效性。

Abstract

A novel cable-driven continuum robot and the driving error compensation strategy for guiding paths were proposed to address the problems of low kinematics modeling accuracy and insufficient axial stiffness in current continuum robots. A flexible continuous cutting body with flexible support and a flexible arm structure with enhanced axial stiffness were designed. Subsequently， a kinematics model of the robots was established and the workspace at the end of the flexible arm was obtained. The accuracy of the kinematics modeling was confirmed through bending simulation. Analyzing the causes of bending errors， deriving the transmission losses of the casing and the tension transmission model before and after the rope passes through the disc hole， and then a compensation strategy was proposed for driving loss compensation and kinematics model parameter correction. The bending experiments of continuum robots at different angles show that the maximum bending angle error after compensation is as 4.11°， the maximum position error is as 6.11 mm， and the maximum error reduces 48.0%. The experiments verify the effectiveness of the proposed robots and drive error compensation control strategy.

Graphical abstract

关键词

连续体机器人 / 绳驱动 / 运动学建模 / 误差补偿控制

Key words

continuum robot / cable-driven / kinematics modeling / error compensation control

Author summay

杨明星，男，1986年生，副教授。研究方向为机器人动力学、连续体机器人。E-mail： [e-mail]

高鹏^*（通信作者），男，1987年生，博士、讲师。研究方向为医疗机器人设计、骨科刀具设计与制造。E-mail： [e-mail]。

0 引言

目前连续体机器人驱动方式分为气驱动^［1］、形状记忆合金驱动^［2］、绳索驱动^［3］以及新型智能材料驱动^［4］等，其中绳索驱动因其质量小、负载能力强、驱动简便和能耗低等优点被广泛使用。绳索驱动连续体机器人的主体结构由柔性脊柱、穿线圆盘和牵引线三部分组成，通过基座中的电机改变牵引线的驱动量，从而实现机器人位形的连续变化^［5］。这种配置的连续体机器人结构简单、易于控制，但承载能力低且容易发生扭转变形。为此，DONG等^［6］以最小化脊柱方向的扭转角度为构型优化设计目标，设计了一种新型双轴芯柱结构，能够有效改善连续体机器人的扭转弯曲以及承载能力不足的问题，但整机装配较为繁琐。为了提高连续体机器人的弯曲与抗压能力，LI等^［7］、周圆圆等^［8］设计了一种多腱驱动的空间十字交叉曲面盘体骨架，以适应末端载荷对连续体机器人由远及近弯矩逐渐增大的需求。此外，切口式镍钛合金管也是常用的柔性脊柱结构^［9］，对称的切口相比于单芯柱结构能够有效减小扭转变形，然而切口处存在易疲劳断裂及轴向变形等问题^［10］。SUN等^［11］受鱼尾结构的启发，设计了一种柔性连续体机器人，通过优化柔性关节的尺寸使沿着骨干方向应力分布均匀。李冰玉等^［12］根据张拉整体结构可变形特征，通过改变多个张拉单元形状实现了连续体机器人形态的灵活弯曲变形。上述文献表明，虽然由柔性结构组成的连续体机器人结构简单、弯曲性能好，但因约束力不足易产生轴向位移，给机器人末端的精确运动控制带来困难。

采用多个柔性段串联叠加的连续体机器人，驱动绳索贯穿于其主体结构的多形变段之间，从而导致多段间的驱动与机器人末端位姿运动存在高度耦合性，难以获得准确、高效的运动模型^［13-14］。为此，RONE等^［15］将挠率引入分段常曲率法中，使用有限的运动学变量集捕获沿线段的曲率变化，并基于虚功原理建立了绳索驱动连续体机器人的动力学模型，但该模型没有考虑拉伸载荷或材料的黏弹性。WANG等^［16］考虑硅橡胶料黏性变形引起的阻尼效应，将Cosserat梁理论和凯恩方法结合建立了绳索驱动软机械臂的动力学模型。此外，绳索在过圆盘孔前后存在摩擦接触和张力损失，YUAN等^［17］综合考虑连续体机器人受力情况，引入摩擦损失的影响进行静态建模，与常曲率建模相比提高了建模精度。然而，尽管上述引入绳索单元可以真实地描述穿线圆盘间牵引线的运动状态，但这使得机器人的数学建模更加复杂、精确的导向路径驱动也更加困难。

针对目前连续体机器人的柔性和刚度难以同时保障、常曲率假设下运动建模精度低以及绳索驱动位移有损失等问题，本文首先设计了一种新型的绳驱动连续体机器人，其外部为多个刚性壳体串联、内部嵌入柔性连续体结构，具有一定的轴向刚度及良好的弯曲性能。随后提出了一种基于套管损失模型和绳索张力损失模型的误差补偿策略，进行绳索驱动位移损失补偿、运动学模型参数修正。最后搭建实验样机，开展了单双自由度段单独弯曲以及联动实验，三组实验结果对比验证了所提出的误差补偿策略的有效性。

1 连续体机器人结构设计

本文提出的连续体机器人如图1a所示，主要由柔性机械臂、驱动模块、套管和直线进给模块四部分组成。其中，驱动模块包括电机、滚珠丝杠与丝杠滑块等结构，绳索的输入端固定安装在丝杠滑块处、输出端固定安装在柔性臂上，绳索的导向结构使用可灵活安装、尺寸较小的弹簧套管。如图1b所示，绳索的输入端由丝杠滑块驱动产生位移，经由套管导向后绳索输出端与刚性壳体绳孔所在位置对齐并固定在不同的柔性臂段上。通过改变每根绳索的驱动量，末端的柔性臂被驱动弯曲。直线进给模块可提供柔性臂沿轴向的平移自由度，增加机器人整体的工作空间与运动灵活性。该机器人的柔性臂结构如图2所示，主要包括刚性壳体、柔性连续体和绳索等。柔性臂外部结构为中空的刚性壳体，壳体上部开设有对称凹槽，下部设有圆弧凸头，通过将多个刚性壳体的凸头与凹槽配合以构成转动铰链结构。为防止刚性壳体左右攒动并提供臂体的柔顺性，本文设计了柔性连续体作为臂体的内部结构，并将其嵌入安装在刚性壳体内壁中。柔性连续体由高韧性尼龙材料制成，其各个柔性梁与刚性壳体形成的铰链对齐，通过柔性梁的弯曲变形供铰链转动。

本文设计的连续体机器人采用6根绳索作为驱动，其中柔性臂近段有1个自由度，通过2根绳索驱动；远段有2个自由度，通过4绳索驱动。与近段不同的是，远段考虑到末端灵活性要求将刚性外壳凸头与凹槽交错90°设计。一方面，本文设计的柔性臂结构柔性梁采用倒圆直梁型切口，这种切口形式的连续体机器人具有良好的弯曲性能，切口处的对称柔性梁结构使得抗扭刚度大、负载能力高于一般中心支撑梁，同时柔性梁两端倒圆结构减轻了弯曲角度过大时带来的局部应力集中的问题。另一方面，逐级串联的离散刚性壳体构成的外部骨干具有较高的轴向刚度，减少了常规结构中因轴向变形引入的误差问题。

2 连续体机器人的建模与仿真分析

2.1 关节空间至任务空间

连续体机器人的驱动空间至任务空间的建模采用齐次变换矩阵的方式，在机器人上建立图3所示的坐标系，并同时将绳孔位置按序标号。其中，柔性臂根部为机器人基坐标系，设为o_b；在每个刚性壳体的转动铰链处建立坐标系，柔性臂近段第1个刚性壳体坐标系为o_seg1，1，o_b与o_seg1，1的直线距离为关节变量L，由直线进给模块提供；坐标系o_seg1，1至坐标系o_seg1，i 的总变换角度为关节变量α_sum，o_seg2，1为柔性臂远段第1个刚性壳体坐标系，坐标系o_seg2，1至坐标系o_seg2，j 的总变换角度为关节变量θ_sum，φ_sum。如图3a所示，柔性臂近段的整体齐次变换矩阵可由多个相邻的刚性单元构成，从o_seg1，i 至o_seg1，i+1的变换过程为：绕x_i 旋转α_i，沿z_i 平移h，得到柔性臂近段相邻关节齐次变换矩阵为

\begin{array}{c}{}_i{}^{i-\mathrm{1}}\mathit{T}=\mathit{R}\mathit{o}\mathit{t}(x_i,{\alpha }_i)\times \mathit{T}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}(\mathrm{0,0},h)=\\ \left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}{\alpha }_i& -\mathrm{s}{\alpha }_i& -h\mathrm{s}{\alpha }_i\\ \mathrm{0}& \mathrm{s}{\alpha }_i& \mathrm{c}{\alpha }_i& h\mathrm{c}{\alpha }_i\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\end{array}（1）

式中： Rot （·）为旋转矩阵； Trans （·）为平移矩阵；s=sin；c=cos；h为相邻刚性壳体转动中心距离。

柔性臂远段的整体变换矩阵由多个两相邻的交错安装的刚性单元构成，如图3b所示，从o_seg2，2j-1至o_seg1，2j+1的变换过程为：绕x_seg2，2j-1旋转θ_j，沿z_seg2，2j-1平移h，绕z_seg2，2j-1旋转\mathrm{\pi }/\mathrm{2}；然后绕x_seg2，2j 旋转φ_i，沿z_seg2，2j 平移h，绕z_seg2，2j 旋转-π/2，最终齐次变换矩阵为

{}_{\mathrm{2}j+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}j-\mathrm{1}}\mathit{T}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{c}{\phi }_j& \mathrm{0}& \mathrm{s}{\phi }_j& h\mathrm{s}{\phi }_j\\ \mathrm{s}{\theta }_j\mathrm{s}{\phi }_j& \mathrm{c}{\theta }_j& -\mathrm{c}{\phi }_j\mathrm{s}{\theta }_j& -h\mathrm{s}{\theta }_j(\mathrm{1}+\mathrm{c}{\phi }_j)\\ -\mathrm{c}{\theta }_j\mathrm{s}{\phi }_j& \mathrm{s}{\theta }_j& \mathrm{c}{\phi }_j\mathrm{c}{\theta }_j& h\mathrm{c}{\theta }_j(\mathrm{1}+\mathrm{c}{\phi }_j)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（2）

柔性臂近段的末端坐标系o_seg1，8至柔性臂远段的根部坐标系o_seg2，1的变换为：沿其z轴正方向平移d₁，绕其z轴顺时针旋转π/4；柔性臂远段的末端坐标系的o_seg2，17沿其坐标系z轴平移d₂即可得到柔性臂末端坐标系o_e。结合式（1）、式（2）得到机器人整体运动学关系式：

\left.\begin{array}{l}{}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,0}}\mathit{T}=\mathit{T}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}(z_{\mathrm{b}},L)\\ {}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,0}}\mathit{T}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}{}_i{}^{i-\mathrm{1}}\mathit{T}\\ {}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,1}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}}\mathit{T}=\mathit{T}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}(z_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}},d_{\mathrm{1}})\times \mathit{R}\mathit{o}\mathit{t}(z_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}},-\mathrm{\pi }/\mathrm{4})\\ {}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,17}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,1}}\mathit{T}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}{}_{\mathrm{2}j+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}j-\mathrm{1}}\mathit{T}\\ {}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,17}}\mathit{T}=\mathit{T}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}(z_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,17}},d_{\mathrm{2}})\\ {}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}}\mathit{T}{=}_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,0}}^{\mathrm{b}}\mathit{T}{\times }_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,0}}\mathit{T}{\times }_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,1}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{1,8}}\mathit{T}{\times }_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,17}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,1}}\mathit{T}{\times }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{2,17}}\mathit{T}\end{array}\right\}（3）

式中：{}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}}T 为包含柔性臂的末端位置与姿态的矩阵。

常曲率运动学建模是在柔性臂根部以及末端建立坐标系，对于柔性臂，每段的弯曲姿态视为曲率恒定的圆弧^［8］，而对刚性壳体串联而成的连续体机器人则不适用，采用上述方式建模对末端位姿描述会引入额外误差。因此本文在每个刚性壳体的转动中心处建立坐标系，每个刚性壳体转动角度作为关节变量，以描述在不同关节变量下的末端位姿。连续体机器人从关节空间至任务空间的映射关系由式（3）给出。

2.2 关节空间至驱动空间

关节空间至驱动空间分析即已知关节转角求解驱动绳长变化量。针对刚性壳体构成的连续体机器人，建立图3a所示的近段关节转动简图，其中o_seg1，i 位于第i个单自由度刚性壳体转动中心处，x_seg1，i 为刚性壳体转动轴，l_n，i 为第n根绳索在第i段关节内长度（n=1，2，…，6；i=1，2，…，8），且关于转动轴对称的l_n，i 与l_n-1，i 为一对驱动绳索，转动中心至绳孔位置d=1.5 mm，结合图3a、图4，由弯曲平面几何关系可求得相邻刚性壳体驱动绳长变化量与关节角度关系：

f({\alpha }_i)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{l}_{n,i}({\alpha }_i)=\mathrm{2}(d\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{\alpha }_i}{\mathrm{2}}-R_{n,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\alpha }_i}{\mathrm{2}})-l\\ \mathrm{\Delta }{l}_{n-\mathrm{1},i}({\alpha }_i)=\mathrm{2}(d\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{\alpha }_i}{\mathrm{2}}+R_{n,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\alpha }_i}{\mathrm{2}})-l\end{array}\right.（4）

其中，l为初始状态下相邻关节的绳长，R_n，i 为绳孔所在位置与转动轴的垂线长度，当绳孔位置与旋转轴平行或共线时R_n，i =r，其余绳孔可通过与转动轴的夹角求出R_n，i ：

R_{n,i}=r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_{n,i}（5）

式中：β_n，i 为第n根绳索所在绳孔与转动轴线的夹角；r为绳孔所在圆半径。

对柔性臂近段内各个关节绳长变化量进行求和，得到在不同关节变量α_sum下所需的驱动绳长；柔性臂远段则在关节变量θ_sum、φ_sum下求和即可。考虑到远段的绳索均通过近段，为消除两段联动时近段对远段耦合影响，在远段的基础上叠加近段对其耦合量。即机器人在不同的关节空间变量下，柔性臂弯曲时关节空间至驱动空间映射为

\mathrm{\Delta }{l}_n=\underset{\mathrm{单自}\mathrm{由度}\mathrm{段}}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}\mathrm{\Delta }{l_{n,}}_i(\alpha {}_i{}^{})}}+\underset{\mathrm{双自}\mathrm{由度}\mathrm{段}}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{8}}}(\mathrm{\Delta }{l_{n,}}_{\mathrm{2}j-\mathrm{1}}(\theta {}_j{}^{})+\mathrm{\Delta }{l_{n,}}_{\mathrm{2}j+\mathrm{1}}(\phi {}_j{}^{}))}}（6）

2.3 仿真分析

为验证所设计连续体机器人工作空间性能以及运动学模型的准确性，进行运动学仿真分析。

2.3.1 工作空间仿真

根据机械结构的设定，所设计的连续体机器人关节变量的极限值为：L=0~150 mm，α_sum、θ_sum、φ_sum∈［-π/2，π/2］，通过式（3）求出在不同关节变量下的末端位置点，三自由度柔性臂的工作空间如图5a所示，其形状为圆弧状。增加直线进给自由度后如图5b所示，工作空间为倒U状，包含了至少80 mm×80 mm×130 mm的作业空间。仿真验证了所设计机器人具有较高灵活性，满足在一些狭窄手术场景下操作的需求。

2.3.2 柔性臂近段弯曲仿真

在Workbench中对柔性臂近段弯曲进行仿真，为模拟真实弯曲情况，设置绳索与绳孔内壁有摩擦因数为0.3的摩擦接触，刚性壳体为Solid185单元，绳索为Link180单元，中心柔性梁为弹性模量为1650 MPa的3D打印尼龙材料，给定绳索位移量Δl=0~4 mm，仿真时间为0.6 s，柔性臂仿真结果如图6a所示，最大变形量为23.1 mm、应力为39.8 MPa、弯曲角度为41.8°，最大受力发生在柔性连续体根部。图6b为柔性臂近段各个关节转动角度图，柔性臂各个关节在摩擦接触的影响下，转动角度从根部至末端在逐渐减小。常曲率建模中忽略了摩擦所带来的影响，认为柔性臂弯曲时其臂体是等曲率圆弧，而如图6c所示，在小角度弯曲时常曲率建模与仿真误差较小，而随着弯曲角度增大误差越来越大。

3 驱动误差补偿策略

3.1 导向路径摩擦损失分析

连续体机器人驱动误差主要由导向路径上的摩擦所产生，驱动绳索首先经由套管导向，然后作用至柔性臂根部，从柔性臂根部开始穿过若干刚性壳体关节，最后固定在柔性臂各段的末端刚性壳体上，因此在套管内、绳索和绳孔的接触段内存在摩擦损失，该损失是造成末端控制精度较差的主要原因。为此，本节对传动路径上的摩擦损失进行建模分析。

3.1.1 套索摩擦损失模型

为了分析套管的传动特性，通过微元法建立空间任意曲线的套索传动模型，并作以下假设：①绳索只能发生弹性伸长，不能承受压力且质量忽略不计；②套管沿传动路径内各处的摩擦因数与绳索各处的弹性模量是一致的。

如图7所示，套管总长度为L_s，取x+dx段套索内微元进行受力平衡分析，R（x）为套索微元的弯曲半径，T（x）与T（x+dx）分别为套索微元两端的拉力，ds为微元弧长，dθ是微元段圆弧夹角，F_N为套管对绳索的法向支撑力，F_f为套管与绳索间的摩擦力。由套索微元受力关系可得

\left.\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{f}}-T(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{2}}+T(x+\mathrm{d}x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\\ T(x+\mathrm{d}x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{2}}+T(x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{2}}-F_{\mathrm{N}}=\mathrm{0}\\ F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\mathrm{N}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x})\end{array}\right\}（7）

式中：\dot{x}为绳索微元相对于套管的运动速度，定义绳索向电机端运动为正方向；μ_s为套管摩擦因数。

当dθ足够小时，cos（Δθ/2）=1且sin（Δθ/2）=Δθ/2，对式（7）化简得

\left.\begin{array}{l}\mathrm{d}T(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x})\\ F_{\mathrm{f}}={\mu }_{\mathrm{s}}{F}_{\mathrm{N}}\\ F_{\mathrm{N}}=T(x)\kappa (x)\mathrm{d}s\end{array}\right\}（8）

dT（x）=T（x+dx）-T（x）

其中，κ（x）为微元弧长的曲率，且κ（x）=1/R（x）=dθ/ds。整理式（8）可得

\mathrm{d}T(x)/T(x)=-{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x})\kappa (x)\mathrm{d}s（9）

对式（9）在微元段进行积分，可得到套索传动在运动状态下微元两端力的关系为

T(x+\mathrm{d}x)=T(x)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)\kappa (x)\mathrm{d}s)（10）

绳索受拉产生弹性变形，通过胡克定律可以求出绳索微元的变形量为

\mathrm{d}\delta =\frac{T(x)\mathrm{d}s}{EA}（11）

式中：E、A分别为绳索微元的弹性模量和横截面积。

通过将绳索微元的拉力与变形量在整个套索长度［0，L_s］上进行积分，可求出绳索输出端与输入端关系以及整体的绳索的伸长量，当x=0时，绳索的输出力与伸长量不变，即T_out（t）=T{}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}(t^{-})}，Δξ（t）=Δξ（t^- ），由式（10）、式（11）可求出套索传动下绳索输入和输出的拉力、位移关系为

\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}(t)=\left\{\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x}){\int }_{\mathrm{0}}^{L_{\mathrm{s}}}\kappa (x)\mathrm{d}x)& \dot{x}\ne \mathrm{0}\\ T_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}(t^{-})& \dot{x}=\mathrm{0}\end{array}\right.\\ \mathrm{\Delta }\xi (t)=\left\{\begin{array}{l}\frac{T_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(t)}{EA}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x}){\int }_{\mathrm{0}}^{L_{\mathrm{s}}}\kappa (x)\mathrm{d}x)\dot{x}\ne \mathrm{0}\\ \mathrm{\Delta }\xi (t^{-})\dot{x}=\mathrm{0}\end{array}\right.\end{array}（12）

式中：T_out（t）为输出端拉力；T_in（t）为输入端拉力；Δξ（t）为绳索总变形量；t^- 为t前一时刻。

3.1.2 绳索张力传递模型

柔性臂弯曲过程中，绳索的拉力由柔性臂根部传递至末端。为分析单个关节的转动角度，对柔性臂近段相邻关节进行如图8所示的绳索受力分析，其中T_n，i-1 与T_n，i 为在第i个刚性壳体上过孔前后绳索的拉力，N_n，i 为绳索n与第i个刚性壳体绳孔接触的支持力，f_n，i 为绳索n与绳孔接触的摩擦力。相邻关节的转动均由主动驱动绳索提供，刚性壳体所受拉力作用至内部柔性连续体上，忽略其余被动绳索及关节重力影响。

驱动绳索n被拉紧时，关节i与i-1转动角度为α_i，由几何关系可知过孔前后绳索张力T_n，i 与T_{n,i-\mathrm{1}}的夹角为α_i/2，支持力N_n，i 为T_n，i 与T_n，i-1的合力反向，根据受力平衡有

\left.\begin{array}{l}{T}_{n,i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})+f_{n,i}-T_{n,i-\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})=\mathrm{0}\\ T_{n,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})+T_{n,i-\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})-N_{n,i}=\mathrm{0}\end{array}\right\}（13）

其中，驱动绳索n与关节i-1绳孔接触的摩擦力f_n，i =μ_cN_n，i，其中，μ_c为刚性壳体摩擦因数，化简式（13）得到过孔前后绳索力传递关系式为

\frac{T_{n,i}}{T_{n,i-\mathrm{1}}}={(\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})-{\mu }_{\mathrm{c}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})+{\mu }_{\mathrm{c}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})})}^{\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\dot{x})}（14）

将式（14）代入式（13）中，求得绳索与穿孔接触段的摩擦力f_n，i 与支持力N_n，i 的表达式为

\left.\begin{array}{l}{N}_{n,i}=\frac{T_{n,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{2})}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})-{\mu }_{\mathrm{c}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})}\\ f_{n,i}=\mu N_{n,i}=\frac{{\mu }_{\mathrm{c}}{T}_{n,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{2})}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_i/\mathrm{4})-\mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_i/\mathrm{4})}\end{array}\right\}（15）

由绳索上的受力可知，柔性梁i所受的力为绳索所给支撑力、摩擦力产生的力矩、以上绳索拉力产生的弯力矩，将柔性梁的受力分解到垂直于端面的x方向T_xn，沿着端面的y方向T_yn，以及在该方向上的力臂L_xi =（2Hsin（α_i /2））/α_i，L_yi =r，其中，H为柔性梁i的长度，计算出由该力给柔性梁i端面产生的弯矩为

M_i=T_{xi}{L}_{yi}+(T_{n,i}+T_{yi})L_{xi}（16）

T_xn =N_n，i cos（α_i /4）+f_n，i sin（α_i /4）

T_yn =f_n，i cos（α_i /4）-N_n，i sin（α_i /4） M_i-1 =T_n，i d

根据柔性梁i所受弯矩，通过胡克定律计算单个柔性梁弯曲角度α_i 为

{\alpha }_i=\frac{M_i}{K_{\mathrm{B}}}（17）

式中：M_i 为柔性梁i所受弯矩；K_B为一端固定，一端承受弯矩的柔性梁弯曲刚度。

整体的弯曲角度α_sum通过数值迭代法求解，具体过程为：当已知绳索驱动力T_n，0时，从柔性臂根部至远端分析，忽略摩擦以及支撑力影响，根据式（16）、式（17）求解弯曲角度α₁（0），引入α₁（0）所求解出的摩擦力f_n，1（1）与支持力N_n，1（1）求解出α₁（1），设定迭代目标函数Δα_i =α_i （n）-α_i （n-1），当Δα_i 满足设定的阈值时退出迭代，此时α_i （n）即引入张力损失下所求解的单个关节实际角度α_i，将输出张力用于下个关节的输入张力可迭代求解出其他关节转动角度。对于双自由度关节，绳索张力传递与柔性梁弯曲角度求解与上述类似，张力传递模型与θ_i，φ_i 有关。

3.2 套管传动特性实验分析

为分析套管的力、位移传递特性，验证所建立的套索摩擦损失模型准确性，搭建图9a所示的实验平台。该平台包括1个直流减速电机，2个拉力传感器（SBT630），2个激光位移传感器（CMOS IL-300），1根直径为0.4 mm钢丝绳，1个直径为3 mm的套管。以电机端作为输入端、弹簧为输出端，初始预紧力均设为3.6 N，在给定输入位移为0~10 mm正弦曲线、套管弯曲角度为π，弯曲半径为100 mm下进行实验，结果如图9b、图9c所示。在绳索拉伸与放松阶段，位移传递特性如图9b所示，输入位移与输出位移线性相关，且输入位移大于输出位移。力传递特性如图9c所示，在拉伸与放松切换过程中，由于克服套管内的摩擦力，力与位移均存在着死区象，即输入拉力、输入位移增大或减小，输出拉力、输出位移不变。

3.3 驱动误差补偿策略

为了提高连续体机器人的控制精度，提出一种驱动误差补偿策略，具体原理如图10所示。首先，给定期望弯曲角度α_d、θ_d、φ_d，然后基于摩擦损失模型中绳索伸长模型与拉力损失模型求出绳索由套管产生的弹性伸长，将该伸长量造成的误差补偿至驱动电机，减小绳索驱动量的误差；同时根据摩擦损失模型计算出经由套管传动后绳索上输出端的拉力，并将其代入过孔张力传递模型以逐步迭代每个柔性梁所受弯矩，最后由式（17）求解出每个刚性转动角度，并代入式（3）中，对所建立运动学模型中各个关节变量进行参数修正，提高对柔性臂末端位姿描述的准确性。

在给定电机驱动量中，经由补偿后的绳索位移量为

\widetilde{l_i}=\mathrm{\Delta }{l}_i+\mathrm{\Delta }{\xi }_i（18）

式中：\widetilde{l_i}为第i根绳索补偿后驱动量；\mathrm{\Delta }{\xi }_i为第i根绳索损失驱动量。

4 实验验证

为了验证本文设计的机械结构以及提出的导向路径驱动误差补偿控制策略的有效性，进行连续体机器人柔性臂的远近段单独弯曲及两段联合弯曲实验。

连续体机器人实验平台见图11，其中样机系统如图11a所示。采用两个Mind Vision的CCD工业相机拍摄实验过程，经过处理获取轮廓后计算相应的弯曲角度、末端位置。实验所使用的设备基本参数如下：连续体机器人的直径为14 mm，总长为156 mm，其中单自由度段长度为60.0 mm，双自由度段长度为96.0 mm，刚性壳体与柔性连续体均采用3D打印制造，其中刚性壳体为PLA材料，柔性连续体为高韧性尼龙材料，驱动绳索为ϕ0.4 mm的钢丝绳，套管为外径3 mm的弹簧管，驱动模块的滚珠丝杠直径为6 mm、导程为1 mm。主控端采用STM32F407ZET6芯片的开发板，实验系统的驱动电机为减速比为9.6的GA25-370直流有刷电机，驱动器为RMDS-305直流有刷伺服驱动器，多个驱动器挂载在CAN总线上通过主控进行控制，绳索输入端安装有拉力传感器SBT630，测量范围为0~200 N，为防止初始状态下绳索松弛，每根绳索初始预紧力均设置为2.5 N。

在过孔张力传递模型中，需获得绳索与刚性壳体的摩擦因数，安装图11b所示的由单组丝杠滑台、两个滑轮以及拉力传感器、刚性壳体构成的摩擦因数测量平台。绳索两端均连接在拉力传感器上，在滑轮的导向下绳索穿过刚性壳体内的绳孔，绳索与绳孔的夹角为11.25°，由于受摩擦力作用，绳索在过孔前后拉力存在损失，通过读取输入、输出拉力传感器值求出摩擦力大小。实验中通过丝杠滑台的直线位移产生五组不同输入、输出拉力大小，并求得相应摩擦力，如图11c所示，拟合后摩擦因数μ_c=0.209。

4.1 机器人弯曲性能实验

首先进行柔性臂近段弯曲性能实验，令α_sum为30°、45°、60°，所需绳索驱动量由运动学公式求出，通过相机拍摄提取弯曲特征，绘制出图12a所示的各个关节的转动中心空间位置。然后验证远段关节抵抗扭转的性能，令θ_sum、φ_sum交替±60°弯曲，使其末端在平面四个点上进行变化实验，弯曲结果如图12b所示。最后，为验证运动学建模的驱动解耦公式进行两段联动实验，给定α_sum、θ_sum为±30°，±45°四组角度变化，弯曲实验结果如图12c所示。三组实验中柔性臂末端未补偿前最大位置误差为11.8 mm，补偿后最大位置误差为6.1 mm，误差降低了48.0%。

4.2 末端误差分析

由图12与表1可知，在柔性臂近段与远段的实验中，当给定所需期望角度时，实际角度与期望角度之间的误差随着弯曲角度增大而明显增大，即便补偿后也仍有一定误差。因此，为了准确描述柔性臂的当前弯曲位姿，本文通过使用力修正模型对常曲率运动学模型进行了参数校正。柔性臂单独驱动某段时误差较小，近段最大弯曲角度误差为1.81°，远段最大弯曲角度误差为2.31°。远段由于较长，所受重力力矩较大，绳索传动距离长所经过刚性壳体多，绳索与绳孔摩擦损失大，故最大误差大于近端。末端位置误差最大发生在远近关节联动处，主要原因为近端关节对远端的误差累积，以及远端关节弯曲时对近端弯曲产生耦合弯矩。同时文中为了简化计算，对绳索穿过刚性壳体时忽略了绳索的刚度以及绳孔间隙等非线性因素，造成了驱动误差。值得注意的是，在不同预紧力情况下误差也不同，较大的预紧力使得误差较小，但易造成初始姿态的偏差。尽管如此，补偿后相较于未补偿依旧具有较高的控制精度。

5 结论

本文提出了一种由切口式柔性连续体与刚性壳体转动关节组合构成的绳驱动连续体机器人，该结构减小了扭转变形引起的弯曲误差同时增大了柔性臂的轴向刚度。同时针对弯曲角度较大时常曲率运动学模型对柔性臂末端位姿描述存在较大误差问题，分析了导向路径上的摩擦损失来源，建立了相应摩擦损失模型，基于该模型提出了一种驱动误差补偿策略，对传动路径上的驱动量损失进行了补偿，并对关节变量进行了参数修正。实验结果表明，该方法相较于常规方法具有良好的控制精度，有效地解决了连续体机器人存在的轴向刚度需求与运动柔顺性之间矛盾以及常规建模精度较低等问题。

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基金资助

国家自然科学基金(52005006)

国家自然科学基金(52105424)

北京市自然科学基金(7232331)

北京市教育委员会科技计划(KM202210005033)

安徽省智能机器人信息融合与控制工程研究中心资助项目(IFCIR2024012)