变截面涡旋盘精密铣削参数多目标优化

Multi-objective Optimization of Precision Milling Parameters for Variable Cross-section Scrolls

摘要

提出了一种基于改进NSGA-Ⅱ算法的变截面涡旋盘精密铣削参数多目标优化方法。利用多因素正交试验法设计实验，分析了铣削参数交互作用对表面粗糙度和主铣削力的影响。建立了目标函数的回归模型，并通过拟合度检验和残差分布分析等方式验证了其有效性。基于表面粗糙度最小、主铣削力最小和材料去除率最大三个优化目标构建了多目标优化数学模型，并在NSGA-Ⅱ算法中引入自适应交叉变异算子，以获取Pareto最优解集，最终确定了最佳铣削加工参数组合。最后通过涡旋盘加工实验验证了算法的有效性。实验结果表明，改进后的NSGA-Ⅱ算法显著优化了加工效果，与优化前相比，涡旋盘表面粗糙度减小8.19%，铣削力减小12.61%，材料去除率增大25.81%。

Abstract

A multi-objective optimization method for precision milling parameters of variable cross-section scrolls was proposed based on the improved NSGA-Ⅱ algorithm. The experiments were designed using the multi-factor orthogonal experimental method to investigate the interaction effects of milling parameters on surface roughness and main milling forces. The regression models of the objective functions were established and validated through goodness-of-fit tests and residual distribution analyses. A multi-objective mathematical optimization model was formulated based on three objectives： minimizing surface roughness， minimizing main milling forces， and maximizing material removal rates. An adaptive crossover and mutation operator was incorporated into the NSGA-Ⅱ algorithm to obtain the pareto-optimal solution set and determine the best combination of milling parameters. Finally， the effectiveness of the algorithm was validated through milling experiments on scrolls. The experimental results indicate that the improved NSGA-Ⅱ algorithm significantly enhances the machining performance. Compared with the non-optimized parameters， the surface roughness of the scroll is reduced by 8.19%， the milling force is reduced by 12.61%， and the material removal rate is increased by 25.81%.

Graphical abstract

Author summay

党 旭，男，1997年生，博士研究生。研究方向为复杂型面精密制造。E-mail：[e-mail]

刘 涛^*（通信作者），女，1971年生，教授、博士研究生导师。研究方向为机械设计理论与方法、复杂型面精密制造、机械测试技术与信号处理。E-mail：[e-mail]。

0 引言

以薄壁涡旋零件为核心的涡旋机械因其节能高效的特点而广泛应用于制冷空调^［1］、新能源汽车^［2］等行业。然而，由于薄壁零件刚性较弱，在加工过程中容易发生颤振，从而导致加工状态不稳定、零件变形，严重影响涡旋盘的加工精度^［3］。

优化加工参数是实现薄壁零件精密、高效加工的关键措施。徐江雁等^［4］将改进算法与传统NSGA-Ⅱ算法应用于铝合金精密车削加工参数的多目标优化研究，取得了良好的效果。FAN等^［5］采用正交试验和响应面法优化了玻璃-陶瓷材料的激光辅助原位加工参数，并结合人工神经网络和遗传算法预测了最小切削力。韩江等^［6-7］对内啮合强力珩齿齿面珩削纹理的形成机制进行研究，提出了一种珩削纹理的主动控制方法。CHENG等^［8］对比了人工蜂群优化算法和响应面法优化算法，获得了同时最小化表面粗糙度和变形量的最优铣削参数。RINGGAARD等^［9］采用基于梯度的优化方法，实现了加工参数的优化。LI等^［10］结合粒子群优化算法与BP神经网络，以刀具动态位移最大化为优化目标，完成了加工参数优化研究。孙永吉等^［11］以涡旋盘表面粗糙度为目标对加工参数进行了优化。

变截面涡旋盘是涡旋压缩机的核心零件，属于典型的薄壁深槽类结构，其螺旋形涡旋齿的侧壁面为关键工作表面，表面粗糙度要求低于0.8 µm。由于侧壁曲率和齿厚会变化，加工过程中铣削力波动较大，可能引发振动和变形，影响加工质量和刀具寿命，因此，在保证表面精度的同时，还需兼顾加工效率和稳定性，以满足实际生产需求，然而，现有研究主要聚焦于单一优化目标，即减小表面粗糙度以提高表面质量，而对精度、稳定性与效率等多个优化目标的综合优化研究仍较为有限。

基于上述分析，本文提出了一种涡旋盘铣削参数多目标优化方法，旨在同时优化表面粗糙度、主铣削力和材料去除率，以满足加工精度与效率的要求。首先采用多因素正交试验法设计实验，研究铣削参数的交互作用对表面粗糙度和主铣削力的影响规律；然后建立目标函数的回归模型，验证其拟合度与残差分布，以确保模型的有效性；再以表面粗糙度和主铣削力最小化、材料去除率最大化为目标，构建多目标优化数学模型；最后采用改进的NSGA-Ⅱ算法进行求解，获得最优加工参数组合，并通过实验验证其有效性。

1 实验设计及分析

1.1 实验设计

本文采用多因素正交试验法研究铣削参数对变截面涡旋盘齿面粗糙度和铣削力的影响规律。该方法能够在较少的实验次数下获取全面的实验数据，并系统分析不同铣削参数之间的交互作用，从而确保充分考虑所有可能的参数组合，降低实验成本并提高加工效率。本文中铣削参数包括铣削深度a_p、每齿进给量f_z、主轴转速n和侧吃刀量a_e。

根据相关手册及实际涡旋盘铣削加工实验，确定的因素水平如表1所示，实验在XK714数控铣床上进行，工件材料为HT250，直径为130 mm。刀具选用整体硬质合金螺旋立铣刀，铣刀直径10 mm，精顺铣涡旋盘工件为加工基础条件，曲率变化由大到小，刀具半径补偿向外，悬伸长35 mm。图1所示为涡旋盘铣削原理及实验装置。

1.2 测量结果

使用Kistler9257B三向压电式测力仪采集切削过程中不同铣削参数条件下铣削力的变化数据，得到X、Y、Z不同方向铣削分力值（F_X 、F_Y 、F_Z ）。

表面粗糙度的测量使用SuperView W1光学3D表面轮廓仪，在铣削后的涡旋盘表面选取3个不同位置的测量点，测得的数据取平均值作为最终的表面粗糙度结果。测量设备如图2所示，测量结果见表2。

1.3 表面粗糙度交互分析

表面粗糙度是评估涡旋盘加工质量的重要指标之一。表面质量的优劣不仅影响工件的使用性能、可靠性和寿命，还直接关系到其机械性能。铣削参数的交互作用对表面粗糙度的影响通过三维曲面图进行分析，如图3所示。

由图3a可知，在a_p=1.0 mm， a_e=0.6 mm的条件下，表面粗糙度Ra随着每齿进给量的增大而显著增大。这是由于每齿进给量增大导致刀具在进给方向上加工的速度增大，刀具磨损加速，磨损后的刀具无法提供良好的切削表面，从而导致表面不规则或出现痕迹。此外，随着主轴转速的提高，表面粗糙度有所减小。这是因为较高的主轴转速提高了切削过程的稳定性，减少了刀具与工件之间的振动，从而获得了更光滑的表面。

由图3b可知，在f_z=0.15 mm、n=4000 r/min的条件下，表面粗糙度随着铣削深度的增大而增大，这是因为铣削深度的增大导致铣削层面积增大，从而引起较大的挤压变形，导致表面粗糙度增大。此外，表面粗糙度还随着侧吃刀量的增大而增大，这是由于较大的侧吃刀量扩大了切削区域，使其产生更多的切削热，导致材料变形、软化或产生表面裂纹，从而对表面质量造成不利影响。

1.4 主铣削力交互分析

涡旋盘加工过程中，铣削力不稳定会产生较大的加工误差，直接影响涡旋齿加工精度。根据涡旋盘工件铣削加工变形分析，最大应力带在X方向随刀具不断在切屑层发生滑移，故X方向的主铣削力是影响变形误差的主要因素。铣削参数交互作用对主铣削力的影响如图4所示。

由图4a可知，在a_p=2.0 mm、 f_z=0.25 mm条件下，主铣削力随主轴转速n的增大而缓慢减小，这是因为主轴转速的提高加速了切屑的卷曲过程，并增大了剪切角，从而减小了铣削力。此外，随着侧吃刀量a_e的增大，刀具负荷增大，导致铣削力相应增大。

由图4b可知，在a_e=1.0 mm、n=3000 r/min的条件下，随着铣削深度a_p增大，铣削区域增大，内摩擦力增大，因此主铣削力增大；随着每齿进给量f_z的增大，涡旋盘变形抗力快速增大，导致主铣削力增大。

由铣削参数交互作用分析可得出，每齿进给量和铣削深度是影响铣削力的关键因素，若只控制主轴转速和侧吃刀量则改善效果不明显，但过小的每齿进给量会造成薄层切削，激起振动。在实际加工中，应优先选取较高的主轴转速和适当的侧吃刀量，同时精确控制铣削深度，并确保合适的每齿进给量，以提高生产效率。这一策略弥补了单因素分析的局限性，避免忽略其他变量的综合影响。

2 多目标优化模型建立

2.1 目标模型构建原理

涡旋盘表面粗糙度和主铣削力的预测结果受多种因素共同影响，因此，采用多元回归模型，通过筛选多个自变量进行建模，相较于仅使用单一自变量的一元回归模型，能更准确地反映实际情况，并具有更高的精确度和可信度。多元回归预测模型的一般形式为

y={\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}+\cdots +{\alpha }_n{x}_n+\epsilon（1）

式中：y为因变量；x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n为自变量；{\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_n为回归系数；\epsilon为随机误差。

目前影响涡旋齿加工的主要因素为铣削深度、每齿进给量、主轴转速及侧吃刀量，故由式（1）可得四元一次多项式模型为

y={\alpha }_{\mathrm{0}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}+{\alpha }_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{4}}（2）

将式（2）转换为指数形式，进行变量代换最终得到铣削参数的指数模型为

Y=C{a}_{\mathrm{p}}^k{f}_{\mathrm{z}}^l{n}^m{a}_{\mathrm{e}}^q（3）

式中：Y为目标响应值；C为拟合系数；k、l、m、q分别为铣削深度a_p、每齿进给量f_z、主轴转速n、侧吃刀量a_e相对应的指数。

2.2 表面粗糙度目标函数

根据实验结果进行参数转换，将各实验因素的参数变量和表面粗糙度都转换为矩阵形式，然后利用回归模型经验公式建立表面粗糙度模型公式如下：

Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{0.357}}{a_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{0.293}}{f_{\mathrm{z}}}^{\mathrm{0.35}}{n}^{-\mathrm{0.08}}{a_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{0.003}}（4）

由此得到关于Ra的优化目标。定义涡旋盘表面粗糙度最小为第一目标函数T_{\mathrm{1}}，则

T_{\mathrm{1}}=T_{\mathrm{1}}(a_{\mathrm{p}},f_{\mathrm{z}},n,a_{\mathrm{e}})={\mathrm{10}}^{\mathrm{0.357}}{a_{\mathrm{p}}}^{\mathrm{0.293}}{f_{\mathrm{z}}}^{\mathrm{0.35}}{n}^{-\mathrm{0.08}}{a_{\mathrm{e}}}^{\mathrm{0.003}}（5）

铣削深度a_p、每齿进给量f_z、侧吃刀量a_e的影响指数大于零，表明a_p、f_z、a_e对涡旋盘表面粗糙度具有正效应；而主轴转速n的影响指数小于零，表明n对涡旋盘表面粗糙度具有负效应。同时由各铣削因素影响指数的绝对值大小可知对涡旋盘表面粗糙度的影响排序为：f_z>a_p>n>a_e。

通过涡旋盘表面粗糙度和铣削参数的拟合状况来评定模型对表面粗糙度产生变动的诠释水平，相关系数R^{\mathrm{2}}越接近于1，说明模型拟合程度越好。如图5a所示，表面粗糙度数据点沿拟合直线分布，相关系数R^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.989}，表明实验值与模型拟合程度良好。

涡旋盘表面粗糙度模型的有效性评估可以利用实验值残差的分布来表征，残差越小，说明模型具有越高的精度。表面粗糙度残差与预测值如图5b所示，由于未表现出特定的分布模式，说明了表面粗糙度模型的有效性。

2.3 铣削力目标函数

同理，对主铣削力进行回归分析得出X向铣削力的回归预测模型如下：

F_X={\mathrm{10}}^{\mathrm{2.747}}{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.598}}{f}_{\mathrm{z}}^{\mathrm{0.499}}{n}^{-\mathrm{0.075}}{a}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{0.136}}（6）

由此得到关于F_X 的优化目标，定义涡旋盘铣削力最小为第二目标函数T_{\mathrm{2}}，则

T_{\mathrm{2}}=T_{\mathrm{2}}(a_{\mathrm{p}},f_{\mathrm{z}},n,a_{\mathrm{e}})={\mathrm{10}}^{\mathrm{2.747}}{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.598}}{f}_{\mathrm{z}}^{\mathrm{0.499}}{n}^{-\mathrm{0.075}}{a}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{0.136}}（7）

同理，铣削深度a_p、每齿进给量f_z、侧吃刀量a_e与涡旋齿加工主铣削力成正相关，而主轴转速n与主铣削力成负相关。分析铣削参数影响指数的绝对值高低可知，对涡旋盘加工过程中主铣削力的影响排序为：a_p>f_z>a_e>n。图6a、图6b为主铣削力的正态概率图和残差分布图，相关系数R^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.964}，表明实验值与模型高度相关，数据点与主铣削力直线拟合较为理想。

此外，由上述回归预测模型中各铣削因素影响指数的正负和绝对值高低可判定各铣削因素对涡旋盘表面粗糙度、主铣削力的影响程度和权重分配，消除了传统多项式模型需利用极差分析才能确定铣削因素对涡旋盘规律分析的局限。进一步根据构建的目标函数（式（5）、式（7））分析可得四个铣削因素的权重分配对目标函数作用各显差异。

2.4 材料去除率目标函数

材料去除率是指在加工过程中每单位时间内从工件上去除的材料的量，它通常用于描述加工过程的效率和速度。材料去除率φ_MRR表达为

{\phi }_{\mathrm{M}\mathrm{R}\mathrm{R}}=\mathrm{1000}{a}_{\mathrm{p}}{f}_{\mathrm{z}}{a}_{\mathrm{e}}N{v}_{\mathrm{c}}/(\mathrm{\pi }{d}_{\mathrm{t}})（8）

式中：N为刀具齿数；v_{\mathrm{c}}为刀具切削速度；d_{\mathrm{t}}为刀具直径。

定义涡旋盘加工材料去除率最大为第三目标函数T_{\mathrm{3}}，则

T_{\mathrm{3}}=T_{\mathrm{3}}(a_{\mathrm{p}},f_{\mathrm{z}},n,a_{\mathrm{e}})=a_{\mathrm{p}}{f}_{\mathrm{z}}{a}_{\mathrm{e}}Nn（9）

n=\mathrm{1000}{v}_{\mathrm{c}}/\left(\mathrm{\pi }{d}_{\mathrm{t}}\right)

2.5 约束条件

只有符合全部约束条件的解才能被视为变截面涡旋盘铣削参数优化的有效解。变截面涡旋盘加工过程中的约束主要包含铣削深度、每齿进给量、主轴转速和侧吃刀量，约束条件如下：

\left.\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{1}}(x)=a_{\mathrm{p}}-a_{\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \mathrm{0}\\ h_{\mathrm{2}}(x)=f_{\mathrm{z}}-f_{\mathrm{z}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \mathrm{0}\\ h_{\mathrm{3}}(x)=n-n_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \mathrm{0}\\ h_{\mathrm{4}}(x)=a_{\mathrm{e}}-a_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \mathrm{0}\end{array}\right\}（10）

2.6 多目标优化数学模型

经回归预测分析得知，表面粗糙度和主铣削力与n成负相关，与a_p、f_z、a_e成正相关，而材料去除率与铣削因素均成正相关。因此，为提高精度并降低能耗需求，将表面粗糙度和主铣削力的极小值以及材料去除率的极大值整合为最小化问题。结合表2的试验参数，可以得到优化数学模型如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{T}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}Ra\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{T}_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{F}_X\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(-T_{\mathrm{3}})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(-{\phi }_{\mathrm{M}\mathrm{R}\mathrm{R}})\\ \mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{m}\le a_{\mathrm{p}}\le \mathrm{3}\mathrm{m}\mathrm{m}\\ \mathrm{0.05}\mathrm{m}\mathrm{m}\le f_{\mathrm{z}}\le \mathrm{0.25}\mathrm{m}\mathrm{m}\\ \mathrm{2000}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\le n\le \mathrm{4000}\mathrm{r}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\\ \mathrm{0.2}\mathrm{m}\mathrm{m}\le a_{\mathrm{e}}\le \mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{m}\end{array}\right\}（11）

3 铣削参数优化及验证

3.1 NSGA-Ⅱ算法及其改进

NSGA-Ⅱ算法是一种非支配排序遗传算法，用于解决多目标优化问题。非支配解集需满足下式条件：

\left.\begin{array}{l}{M}_{x\subset \{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n\}}Q=P\\ \forall i,j\in \left\{\mathrm{1,2},\dots ,n\right\},i\ne j,x_i\bigcap x_j\ne \mathrm{\varnothing }\\ x_{\mathrm{1}}>x_{\mathrm{2}}>\dots >x_n\end{array}\right\}（12）

式中：P为非支配集合；M为种群；Q为空间中子代的位置；x_n为任意因子。

NSGA-Ⅱ算法较其他多目标优化算法能更准确迅速地寻求Pareto最优解。

由于涡旋盘加工时铣削参数数量级相差较大，采用NSGA-Ⅱ算法优化时，计算量大，收敛速度缓慢，在Pareto解集的问题上性能急剧下降，且NSGA-Ⅱ算法进行优化时并未考虑约束条件，因此，为避免陷入局部最优，提高种群优化速率，提出一种自适应交叉变异算子，可提高收敛速度，改善种群的稳定性和多样性，进而改进Pareto最优解的质量，获得更优的收敛效果。原理如下：

\lambda =\frac{r(u,n)}{r(v,n)+r(u,n)}（13）

\psi \left(x\right)=\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{x=\mathrm{1}}^n}\psi (x)-h(x)（14）

h(x)=\frac{(\mu -\mathrm{1})H_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}}{H_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-H_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}}H(x)（15）

式中：r(v,n)为n代中个体v的累计非支配排序值；r(u,n)为n代中个体u的累计排序值；\psi为个体变异概率；h(x)为个体适应度；\mu为适应度变化的倍数；H(x)为适应度函数；H_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}为当前种群所有个体的平均适应度值；H_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为当前种群所有个体的适应度最大值。

3.2 多目标同步优化

通过使用改进NSGA-Ⅱ对涡旋盘铣削参数进行多目标优化，设置种群规模为50，最大进化代数为300，适应度函数偏差为0.001，优化后得到的铣削参数与目标函数的Pareto前沿解集可视图见图7。

当多目标同时优化时，在图7的Ⅰ区域中，Pareto前端点的特征是表面粗糙度、铣削力和材料去除率较小，这表明要达到较佳的加工精度和加工效率，需要使这些参数较小。而Ⅱ区域的Pareto前端点则表现为较大的表面粗糙度、铣削力和材料去除率，这说明随着材料去除率的增大，表面粗糙度和铣削力也相应增大，这符合涡旋盘精密铣削变化规律，同时验证了建立的多目标优化模型的可信性。

当多目标同时优化时，表面完整性的分布如图8所示。表面粗糙度范围为0.412~0.982 μm；材料去除率范围为389.483~11 250.739 mm³/min；主铣削力范围为62.317~283.825 N。基于多目标优化结果，得到铣削参数参考范围：铣削深度1.09~2.91 mm，每齿进给量0.05~0.23 mm，主轴转速3096~3995 r/min，侧吃刀量0.77~0.99 mm。

利用改进的NSGA-Ⅱ算法求解所得的50个Pareto最优解集中，选取A~E共5个解，与传统NSGA-Ⅱ算法进行对比，结果如表3所示。从表3中的优化结果可以看出，最佳铣削参数组的表面粗糙度平均降低了1.045%，铣削力平均降低了2.803%，材料去除率平均增加了4.814%。

这表明，经过改进的NSGA-Ⅱ算法优化的铣削参数在保持相同加工参数和效率的条件下，显著提高了涡旋盘的加工精度和效率，同时降低了铣削过程的能耗。因此，提出的改进NSGA-Ⅱ算法在解决变截面涡旋盘铣削组合参数的多目标优化问题上更加有效。

3.3 实验验证

根据材料去除率最大和表面粗糙度及铣削力最小原则，同时综合考虑加工精度和效率等因素，选取最优铣削参数组合为：铣削深度1.34 mm、每齿进给量0.14 mm、主轴转速3630 r/min、侧吃刀量0.97 mm。将优化后的参数应用于变截面涡旋盘加工中，得到的实际工件如图9所示。

最优参数组合加工后，测得的涡旋盘表面粗糙度为0.650 μm，X向铣削力为135.863 N，材料去除率为2642 mm³/min。与优化前正交试验结果的均值相比，表面粗糙度降低了8.19%，主铣削力减小了12.61%，材料去除率提高了25.81%，如表4所示，进一步验证了基于改进NSGA-Ⅱ算法的多目标优化方法在提高加工质量和效率方面的有效性。该方法能够同时优化表面粗糙度、主铣削力和材料去除率，从而满足加工精度与效率的综合要求。

4 结论

1）基于多因素正交试验法设计实验，分析了铣削参数的交互作用对表面粗糙度和铣削力的影响，弥补了单因素分析的局限性。

2）以表面粗糙度和主铣削力最小、材料去除率最大为评价标准，构建了多目标优化数学模型。利用改进NSGA-Ⅱ算法求解优化问题，并与传统的NSGA-Ⅱ算法进行对比，结果表明改进算法在求解铣削加工参数多目标优化问题时更加有效。

3）采用改进NSGA-Ⅱ算法获得的最优铣削参数组合进行涡旋盘加工实验，并与优化前的参数进行对比。结果表明，表面粗糙度减小了8.19%，铣削力减小了12.61%，材料去除率增大了25.81%，满足加工精度、稳定性和效率的综合要求。

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