一种基于加工轨迹灵敏度指标的数控机床关键几何误差辨识方法

A Key Geometric Error Identification Method for CNC Machine Tools Based on Machining Trajectory Sensitivity Indicators

摘要

提出了一种基于加工轨迹的灵敏度分析方法对数控机床加工关键几何误差进行辨识。首先采用多体系统理论和齐次坐标变换，建立AC双转台五轴数控机床空间误差模型，并利用激光干涉仪和球杆仪进行几何误差的测量；进一步建立以机床位置为自变量的空间误差模型，基于加工轨迹中41项几何误差造成的误差矢量和空间误差的关系，提出一种新的灵敏度指标。以S试件加工轨迹为例，辨识出11项关键几何误差。最后，分别对11项关键几何误差和剩余30项几何误差进行了补偿实验，结果表明，补偿11项关键几何误差后加工误差降低了73.63%，补偿剩余30项几何误差后加工误差仅降低11.28%，证明了该灵敏度分析方法的正确性和有效性。

Abstract

A sensitivity analysis method was proposed based on machining trajectories that might identify key geometric errors in CNC machine tool machining processes. Firstly， the spatial error model of the AC dual-turntable five-axis CNC machine tool was completed using multibody system theory and homogeneous coordinate transformation， and the geometric errors were measured using a laser interferometer and ball bar. A spatial error model with the machine tool position as the independent variable was further established， and a new sensitivity index was proposed based on the relationship between the error vector caused by 41 geometric errors in the machining trajectories and the spatial errors. Taking the machining trajectory of the S test piece as an example， 11 key geometric errors were identified. Finally， compensation tests were conducted on the 11 key geometric errors and the remaining 30 geometric errors， respectively. The results show that after compensation for the 11 key geometric errors， the machining errors reduce by 73.63%， while compensation for the remaining 30 geometric errors only reduce the machining errors by 11.28%， proving the correctness and effectiveness of the sensitivity analysis method.

Graphical abstract

关键词

灵敏度分析 / 关键几何误差 / 五轴数控机床 / 空间误差建模 / 加工误差

Key words

sensitivity analysis / key geometric error / five-axis CNC machine tool / volumetric error modeling / machining error

Author summay

戴鑫，男，1996年生，硕士研究生。研究方向为数控装备技术及其动力学。E-mail：[e-mail]

刘焕牢^*（通信作者），男，1966年生，教授、博士研究生导师。研究方向为数控装备技术、智能制造。E-mail：[e-mail]。

0 引言

机床的几何误差源于其构件的加工与装配偏差，具有重复性和稳定性^［1］。多轴数控机床因其加工灵活性和生产效率高，广泛用于加工复杂工件，但同时多轴机床由于结构复杂也引入了更多的几何误差，五轴机床的几何误差共有41项^［2］。对全部误差进行补偿工作量巨大且成本高昂，识别关键几何误差能显著提高补偿效率、降低成本，并对机床设计优化和制造装配过程中的精度控制提供指导。灵敏度分析可有效评估输入参数变化对系统输出的影响程度，通过识别最敏感的参数^［3］，并将其应用于机床空间误差模型，能分析各项几何误差对空间误差的影响程度，是辨识关键误差的有效方法。目前，对数控机床空间误差模型进行灵敏度分析的方法主要有：傅里叶幅度灵敏度检验法^［4］，标准化回归系数法^［5］，Morris法^［6］，Sobol法^［7-8］，傅里叶幅度灵敏度检验扩展法等^［9］。

当前阶段，几何误差灵敏度分析已成为提高机床精度研究的重要方向。FU等^［10］采用几何误差灵敏度矩阵，识别出A轴和X轴为影响误差的关键轴。ZHANG等^［11］提出同时考虑几何、热和刀具磨损误差的预测方法，建立了灵敏度可靠性模型。TAN等^［12］基于误差模型提出灵敏度分析方法，并通过拟合响应面建立了相似灵敏度简化模型进行补偿仿真。王培桐等^［13］提出了基于截断傅里叶级数表征误差的新灵敏度分析模型。ZHANG等^［14］采用基于体积误差模型的改进Sobol法识别关键误差项，分析了耦合效应并进行了验证。DAI等^［15］采用改进BP神经网络灵敏度分析方法优化测温点并减少预测随机性，为双旋转铣削头提高加工精度提供了依据。范晋伟等^［16］基于多体系统理论和偏微分法，建立了空间误差模型和灵敏度模型，辨识出了关键误差项，然后通过比较关键几何误差与全部几何误差参数修复的精度提高效果，证明了灵敏度分析的正确性。

目前，也有不少学者基于机床几何误差模型特征提出了能够反映各项几何误差、加工精度影响的灵敏度指标。卢成伟等^［17］完成了41项几何误差的建模，将加工过程中各项几何误差造成的误差值定义为灵敏度系数，并对工件各个特征进行了灵敏度分析，最后基于辨识的关键几何误差对工件误差进行了补偿。陶浩浩等^［18］将单项几何误差在加工过程中造成的误差最大值定义为灵敏度指标，辨识出关键误差后，通过比较补偿关键误差和全部误差的加工误差证明了方法的正确性。李晴朝^［19］定义了一种新的灵敏度指标，将41项几何误差的大小定义为固定值，完成了关键几何误差的辨识，然后设计了4种机床精度参数，通过比较加工误差改善情况证明了方法的有效性。

现有的几何误差灵敏度分析研究主要存在以下局限性：以Sobol法和Morris法为主的灵敏度分析方法需要大量样本和数值模拟，会导致误差模型“黑盒化”不可解。许多方法在分析时预设几何误差为定值或在特定点进行，未考虑位置相关几何误差会随轴位置变化的特性，影响辨识的准确性。另外，现有研究主要集中在几何误差对机床空间误差的敏感性方面，对具体工件加工的误差敏感性研究较少。

针对上述局限性，本文定义了一种新的灵敏度指标，基于多体系统理论和齐次坐标变换建立了AC双转台五轴机床的空间误差模型，利用激光干涉仪和球杆仪测量了全部41项几何误差，并将位置相关几何误差（position-dependent geometric errors，PDGEs）拟合成四次多项式；随后，将空间误差模型的输入参量简化为机床各轴位置，建立了单项几何误差的误差传递模型；进一步，基于各几何误差单独作用的误差矢量在加工轨迹中对空间误差的投影，定义了新的灵敏度指标，以S试件加工轨迹为例，完成了41项几何误差的灵敏度分析，辨识出了11项关键误差；最后，通过对比关键几何误差项和剩余几何误差项的补偿结果，证明了该灵敏度分析方法的正确性。

1 空间误差建模

1.1 机床的空间误差模型

多体系统理论作为当前主流的几何误差建模方法之一，通过对机床的抽象化处理，将机床运动链分解为刚体拓扑结构，利用齐次坐标变换构建误差传递矩阵，以显著降低多轴联动结构分析的复杂度。AC双转台五轴机床的结构如图1所示，其运动系统由平动轴X、Y、Z与旋转轴A、C构成。本文依据多体系统理论和齐次坐标变换原理建立了AC双转台机床的空间误差模型，将该机床抽象为一个由刀具分支和工件分支组成的多体系统，机床拓扑结构如图2所示，其运动链结构为TZXYMACW型（即刀具T-Z轴-X轴-Y轴-机床M-A轴-C轴-工件W），其中，WCS为工件坐标系，ACS、CCS为旋转轴坐标系，XCS、YCS、ZCS为平动轴坐标系，MCS为机床坐标系，TCS为刀具坐标系。

在理想情况下，机床坐标系MCS的原点定义在A轴和C轴的理想交点；工件坐标系WCS的原点同样定义在A轴和C轴的理想交点，并与C轴坐标系CCS连接；刀具坐标系连接于Z轴坐标系ZCS，各轴的初始坐标系分别设置与机床坐标系方向一致，所有线性轴坐标系共轴且原点相同。当机床五轴均位于零点时，机床坐标系MCS与工件坐标系WCS和旋转轴坐标系完全重合，而平动轴坐标系原点相对于机床坐标系原点在X、Y、Z三轴方向的偏移量经过测量为（0.417 566，0.405 548，0.624 614）m。旋转轴A、C轴属于工件运动链，平动轴X、Y、Z轴属于刀具运动链，根据运动链传递规则，工件运动链分支遵循W→C→A→M路径，刀具运动链分支按M→Y→X→Z→T顺序进行位姿变换。

X、Y、Z、A、C五轴为该机床运动链中主要的五个运动部件，各运动副在三维空间中的运动存在6个自由度，必然产生6项几何误差，5个轴共产生30项几何误差，这30项误差的大小会随着各轴位置变化而变化，因此称为位置相关几何误差（PDGEs）。此外，三个平动轴间有3项垂直度误差，两个旋转轴相对于理想轴线各有2项位置误差与2项平行度误差，共8项误差。这11项误差不会随各轴位置变化而改变，因此也被称为位置无关几何误差（position-independent geometric errors，PIGEs ），旋转轴误差根据国际标准ISO 230-7：2006的技术规范定义。AC双转台机床的41项误差如表1所示，其中，δ为线性误差，ε为角度误差，S为垂直度误差。位置相关几何误差中，第一个符号表示误差类型，下角标表示误差所在方向，括号中的符号表示该几何误差所在的轴的位置。例如：ε_x （y）表示Y轴位于y位置时在x方向上的角度误差。位置无关几何误差中，存在3个平动轴之间的垂直度误差（S_yx、S_zx、S_zy ），A轴分别有y、z方向上的线性误差（δ_yoa、δ_zoa ）和角度误差（ε_boa、ε_coa ），C轴分别有x、y方向上的线性误差（δ_xoc、δ_yoc ）和角度误差（ε_aoc、ε_boc ），一共有11个误差。空间误差 E 的表达式如下：

\mathit{E}=\left[\begin{array}{l}{e}_x\\ e_y\\ e_z\\ \mathrm{1}\end{array}\right]=({\mathit{P}}_{\mathrm{w}}-{\mathit{P}}_{\mathrm{w}i})\left[\begin{array}{l}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ L\\ \mathrm{1}\end{array}\right]（1）

式中：e_x 、e_y、e_z 分别为空间误差 E 在x、y、z方向上的误差分量；L为刀长；{\mathit{P}}_{\mathrm{w}\mathrm{i}}为理想状态下，从工件到刀具切削点的传递矩阵；{\mathit{P}}_{\mathrm{w}}为在41项几何误差影响下，从工件到刀具切削点的传递矩阵。

1.2 机床几何误差建模

本文使用雷尼绍XL-80激光干涉仪和雷尼绍QC-20W球杆仪完成了对41项几何误差的辨识^［20-21］。基于几何误差定义，位置无关误差为定值，位置相关几何误差可拟合成以该轴位置为自变量的函数。以Y轴为例，通过 MATLAB中的自定义拟合函数Fittype拟合后的Y轴几何误差如下：

\left.\begin{array}{l}{\delta }_x(y)=-\mathrm{1701.3}{y}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2245.6}{y}^{\mathrm{3}}-\mathrm{949.76}{y}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{131.5}y-\mathrm{1.9178}\\ {\delta }_y(y)=\mathrm{980}{y}^{\mathrm{4}}+\mathrm{1310.3}{y}^{\mathrm{3}}-\mathrm{546.5}{y}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{52.403}y-\mathrm{7.9326}\\ {\delta }_z(y)=-\mathrm{1711.2}{y}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2184.7}{y}^{\mathrm{3}}-\mathrm{932.49}{y}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{142.98}y-\mathrm{2.3877}\\ {\epsilon }_x(y)=\mathrm{118.74}{y}^{\mathrm{4}}+\mathrm{72.531}{y}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4.6192}{y}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{8.9694}y-\mathrm{0.4076}\\ {\epsilon }_y(y)=\mathrm{168.9}{y}^{\mathrm{4}}+\mathrm{243.22}{y}^{\mathrm{3}}+\mathrm{81.405}{y}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{0.683}\mathrm{07}y-\mathrm{0.291}\mathrm{48}\\ {\epsilon }_z(y)=\mathrm{1754.2}{y}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2452.7}{y}^{\mathrm{3}}+\mathrm{1112.2}{y}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{164.48}y+\mathrm{1.6615}\end{array}\right\}（2）

Y轴的位置相关几何误差可拟合成4次多项式，其中y值为机床加工中Y轴的理想位置，单位为m。线性误差和角度误差的单位分别为μm和10{}^{-\mathrm{6}} rad。同理，其他轴上的几何误差也可以用同样方法完成建模。

2 基于加工工件运动轨迹的灵敏度指标

灵敏度分析首先要定义灵敏度系数，灵敏度系数是衡量空间误差模型中各项几何误差对加工误差影响程度的指标，几何误差的灵敏度系数值越大，表明它对工件加工的影响越显著。在空间误差模型中，误差是矢量，加工工件过程中，各项几何误差会随着轴位置的变化而变化。本文将各项几何误差单独作用下、在整个加工轨迹中各数据点造成的误差矢量对空间误差的投影大小之和定义为灵敏度指标。

由机床空间误差模型（式（1））的定义可知，模型中参量有数控机床五轴的工作位置、41项几何误差以及刀长L，因此空间误差模型的表达式可表示为

\mathit{E}=f(\mathit{e},x,y,z,a,c,L)=(e_x,e_y,e_z{,\mathrm{1})}^{\mathrm{T}}（3）

e =（e₁，e₂，…，e₄₁）^T

式中： e 为41项几何误差组成的误差矢量；x、y、z、a、c分别为数控机床五轴的位置。

建模时几何误差可定义为微小运动量，几何误差之间的彼此影响可忽略，此时空间误差矢量 E 可以看作41项几何误差单独作用产生的误差矢量之和。图3表示各项几何误差单独作用产生的误差矢量和空间误差矢量的传递关系，单项几何误差造成的误差矢量可由下式表示：

{\mathit{E}}_i=f_i({\mathit{e}}_i,x,y,z,a,c,L)=(e_{xi},e_{yi},e_{zi}{,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}（4）

\mathit{E}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{41}}}{\mathit{E}}_i（5）

式中： E_i 为第i个几何误差单独作用时产生的加工误差；e_xi 、e_yi 、e_zi 为该几何误差在这个位置上x、y、z三个方向造成的误差分量。

由前文几何误差建模可知，位置无关误差为定值，位置相关误差是该轴位置为自变量的函数，可将空间误差模型简化成仅有机床五轴位置作为参量的函数。在实际加工前，通常都会使用工程软件生成工件的机床加工程序。而机床各个轴的运动数据可以通过加工程序进行后处理得到，各轴的位置与数据点一一对应，因此机床空间误差模型 E 和单个几何误差作用的误差传递模型E_i 可分别表示为

\mathit{E}=f(x,y,z,a,c)=(e_x,e_y,e_z{,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}（6）

{\mathit{E}}_i=f_i(x,y,z,a,c)=(e_{xi},e_{yi},e_{zi}{,\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}（7）

每项几何误差引起的误差矢量共同形成了最终的刀具位置误差矢量。图3中P_i 是 E_i 在 E 上的投影，可见 E_i 在 E 上的投影大小可以用来描述每项几何误差对刀具位置误差矢量的影响，可以将此作为依据定义灵敏度S_i ：

S_i={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left|P_i\right|P_i=\frac{\mathit{E}\cdot {\mathit{E}}_i}{\left|\mathit{E}\right|}（8）

式中：P_i 为单个几何误差在数据点产生误差矢量 E_i 对总误差矢量 E 的投影；N为整个加工过程中所有数据点的个数。

为了便于直观评估各几何误差对空间误差的相对影响程度，对41项几何误差的灵敏度系数进行归一化处理，定义归一化灵敏度系数

U_i=S_i/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{41}}}{S}_i（9）

基于前文通过拟合得到的位置相关误差多项式，将空间误差模型简化成以理想位置为参量的函数 E，在此基础上得到各项几何误差单独作用的传递模型 E_i。 E_i 在 E 上的投影大小可表示各项几何误差对空间误差的影响程度，因此可以将其定义为灵敏度指标。该灵敏度分析方法简化了空间误差模型参量，建立独立几何误差传递模型可直接基于工件加工轨迹进行分析。该方法考虑了空间误差为矢量的基础条件，同时体现了加工轨迹中各轴位置变化与几何误差大小变化的影响。

3 灵敏度分析实例

本研究选取S试件作为分析对象。S试件是五轴数控机床精度检测与性能评估的国际标准试件，由成都飞机工业（集团）有限责任公司于2013年提出，后被ISO采纳为五轴机床动态精度检测的推荐试件（ISO 10791-7：2020），目前已广泛应用于国内外多轴数控机床的加工精度测试和检验工作中。

通过UG NX CAM模块导入样件三维数模，完成刀具类型选择、进给率设定等工艺参数配置，调用后置处理器生成S形试件的曲面加工数控程序，由此可解析获得五轴联动过程中各运动轴的理论位置数据。图4分别展示了加工S试件曲面中AC双转台机床各轴理想位置。

S试件曲面的加工程序中数据点共有1935个，将各数据点运动轴位姿信息代入建立的空间误差数学模型（式（6）），即可求解刀具路径中每个切削位姿的几何误差分量；同理，分别代入41项几何误差单独作用的误差传递模型（式（7）），即可求出各项几何误差造成的加工误差。将式（6）~式（9）代入S试件曲面加工轨迹，可得到41项几何误差归一化后的灵敏度系数。为更好地统计各项几何误差，对41项误差进行编号，结果如表2所示。

对求得的灵敏度数值大小排序，结果见图5，可明显看出第30（ε_z （c））、26（δ_y （c））、13（δ_x （z））、29（ε_y （c））项几何误差占比较大。本文定义几何误差归一化后的灵敏度系数大于0.03即为关键几何误差。由图5和表2可知，加工S试件曲面的关键误差共有11个，其中平动轴的几何误差有4个，旋转轴的几何误差有7个，可以看出旋转轴几何误差对S试件曲面加工精度具有重要影响。因为位置相关几何误差会随着轴位置变化而变化，分析起来较为复杂，位置无关几何误差为固定值，较易分析，因此从大到小依次选取灵敏度系数接近的4组位置无关几何误差。由图5和表2可以看出，第36（ε_boa ）和37（ε_coa ）项灵敏度系数接近，第32（S_xz ）和40（ε_aoc ）项灵敏度系数接近，第31（S_yx ）和39（δ_yoc ）项灵敏度系数接近，第34（δ_yoa ）、33（S_yz ）项和41（ε_boc ）项灵敏度系数接近，它们的误差值经过测量后得到，依次为-109.8，-70.02，-9.1543，-59.57，16.8353，-6.835，-4.756，6.6147，-53.79。线性误差单位为μm，角度误差单位为10{}^{-\mathrm{6}} rad。通过比较各项位置无关几何误差灵敏度系数可以发现，几何误差对加工误差的影响权重与其数值大小存在一定关联性，但并不是完全与数值大小直接对应，同时存在几何误差自身敏感度的影响。分析方法综合考虑了几何误差的大小和敏感程度。

基于表2和图5呈现的各项几何误差灵敏度系数评估各项几何误差在整个加工过程中对加工误差的权重，为后续机床加工精度补偿策略的制定提供了关键参数依据。具体而言，权重因子与误差敏感性正相关，其数值特征直接决定误差修正的资源分配优先级，这为关键几何误差补偿提供了理论基础。

4 实验验证

为了验证所提出的几何误差灵敏度分析方法的可靠性，本文利用后处理得到的S试件曲面加工程序采用ϕ20棒铣刀进行模拟铣削加工，平台为V545III型号的AC双转台机床。对上述辨识的11项关键误差进行补偿，通过代入机床的空间误差模型（式（3）），可以实现关键几何误差的补偿，得到整个加工过程中刀具在x、y、z方向上的误差分量。图6所示为补偿关键误差前后各方向的误差分量。可见在补偿11项关键误差后，x、y、z方向上的误差分量显著减小。结果表明，补偿关键几何误差可以显著提高加工精度，验证了本文方法的有效性。因此在实际加工生产过程中，可以通过本文方法对加工过程的关键误差进行辨识和针对性补偿。

为了证明辨识得到的关键误差相比剩余几何误差对加工具有更多影响，显示其在工件加工误差补偿中的高效性，基于文献［16］和文献［19］，本文设计了表3中四种不同机床精度补偿方案，对S试件曲面加工误差进行比较，本文选取较大的补偿比例，直观显示了补偿关键几何误差对加工精度的影响。

图7所示为整个加工过程中各个数据点的空间误差值。图8表示在不同补偿方案下，S试件曲面加工整个过程的误差总量变化。以不补偿任何误差的误差总量作为基准，可见补偿全部41项几何误差值90%后，误差总值减少90%。补偿11项关键几何误差后，整个加工过程中各个数据点的误差值都有明显减小，误差总值改善为补偿前的26.37%，加工误差值减少了73.63%。而补偿剩余30项几何误差后，各个数据点的误差值变化不明显，误差总值高达补偿前的88.72%，加工误差总值仅减小11.28%，证明了补偿关键几何误差能够极大地改善机床加工精度。补偿关键几何误差与补偿其他误差相比，其误差项数更少，且效果更加显著。这说明本文补偿灵敏度分析方法辨识出的关键几何误差对工件加工精度的提高更高效。同理，该方法同样可以适用于x、y、z三个方向上的误差分量在加工过程中任意区间的灵敏度分析。

5 结论

1）根据加工轨迹中41项几何误差单独产生的加工误差矢量与空间误差的传递关系，以各误差矢量对空间误差的投影建立了灵敏度分析模型。在建模过程中考虑了空间误差为矢量，以及实际加工各轴位置和几何误差变化对空间误差造成的影响。

2）以S试件曲面加工为实例，通过工程软件后处理获取加工轨迹，辨识出影响加工精度的11项关键几何误差，完成了对各项几何误差的权重分配。

3）对比补偿11项关键几何误差和剩余30项几何误差的加工误差，补偿关键几何误差后，加工误差总值减小73.63%，远远高于补偿剩余30项几何误差的结果。证明了该方法可以有效提高误差的补偿效率，为多轴数控机床的精度升级提供了一种可行的方法。

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基金资助

国家自然科学基金(52175458)

广东省普通高校重点领域专项(2022ZDZX3006)

广东省科技厅高新技术专题(2021A05186)