面向低噪纹理的珩磨轮几何参数优化方法

Geometric Parameter Optimization Method of Honing Wheels for Lower-noise Texture

摘要

针对内啮合强力珩齿齿轮在传动时部分齿面纹理与传动接触线几乎重合导致出现噪声的问题，开展了面向低噪纹理的珩磨轮几何参数优化方法研究。首先分析珩齿齿面纹理分布的影响因素，并建立珩齿齿轮传动接触线上的纹理分布模型；然后基于有限元法分析齿面纹理与传动接触线间位置关系对噪声的影响，提出一种面向低噪的珩齿齿面纹理分布策略，并建立以低噪纹理分布为目标的珩磨轮几何参数优化模型。案例研究表明，采用优化后珩磨轮加工的齿轮，其振动坎贝尔图的能量密度相较之前有所改善，且随着转速的提高噪声水平明显下降，验证了所提方法的有效性。

Abstract

To address the noise issues caused by the near-coincidence of partial tooth surface textures with transmission contact lines during the honed gear transmission， the optimization method of honing wheel geometric parameters for lower-noise textures was conducted. Firstly， the influencing factors of honed tooth surface texture distribution were analyzed， and the model of texture distribution on the honed gear transmission contact line was established. Secondly， based on the finite element method， the influences of the position relationship between the tooth surface texture and the transmission contact line on the noise were analyzed. Then， a lower-noise honed tooth surface texture distribution strategy was proposed， and a honing wheel geometric parameter optimization model for lower-noise texture distribution was established. The case study shows that the gear processed by the optimized honing wheel exhibits decreased energy density in the vibration Campbell diagram compared to the original， and the noise level decreases significantly with increasing rotational speed. These results verify the effectiveness of the method.

Graphical abstract

关键词

内啮合强力珩齿 / 珩齿齿面纹理 / 珩磨轮几何参数 / 传动噪声

Key words

internal gear power honing / honed tooth surface texture / honing wheel geometric parameter / transmission noise

Author summay

张旭，男，1999年生，硕士研究生。研究方向为智能制造、齿轮加工。E-mail：[e-mail]

李聪波^*（通信作者），男，1981年生，教授、博士研究生导师。研究方向为绿色制造、智能制造、齿轮加工、制造系统能效。E-mail：[e-mail]。

0 引言

随着新能源汽车的快速发展，高速电机逐渐取代内燃机成为主流的驱动设备，与此同时齿轮箱噪声也受到更多关注。然而，即便不同精加工工艺生产的齿轮精度一致，其齿面的纹理特征也存在显著差异，进而导致传动噪声表现显著不同^［1］。内啮合强力珩齿工艺特殊的加工机制会在工件齿面生成复杂的“人字形”纹理，可有效避免谐振而降低传动噪声^［2］。然而珩齿齿面纹理分布具有复杂多向性，在啮合传动过程中，部分纹理与传动接触线平行或夹角过小，导致配对齿面间的微凸体发生高频碰撞，从而增加传动噪声^［3］。

齿轮传动的噪声激励源主要由齿轮宏观和微观几何结构决定，宏观几何结构主要涉及齿轮轮齿的整体形状，可通过齿面修形工艺进行调整^［4］。微观几何结构则关注轮齿的表面形貌特征，如粗糙度、波纹度和齿面纹理等，且这些因素对接触表面的摩擦、疲劳、磨损、振动和噪声有显著影响^［5］。随着电机转速的逐渐提高，齿面的微观几何结构对齿轮箱噪声激励的影响被放大^［6］。齿面纹理作为齿面微观几何结构的重要组成元素，合理的分布可以有效抑制齿面间的摩擦振动噪声^［7］。例如，当齿轮副中齿轮均采用蜗杆砂轮磨齿工艺加工时，磨削产生的齿面纹理会显著提高齿轮在啮合传动过程中发生谐振的概率，进而导致传动噪声增大^［8］。然而，当齿轮副中存在采用内啮合强力珩齿工艺加工的齿轮时，上述问题便可以有效缓解^［9］。

内啮合强力珩齿工艺和蜗杆砂轮磨齿工艺是目前主流的两种硬齿面精加工方法，其中齿面纹理作为区分两种加工工艺所制齿轮的重要依据受到国内外广泛关注。BERGS^［10］、HAN等^［11］通过分析内啮合强力珩齿工艺的基本原理，建立了珩齿齿面纹理的预测模型，并指出轴交角与中心距是影响珩齿齿面纹理分布的主要因素。LIU等^［12］研究了珩磨轮磨粒的运动轨迹和几何形状对工件齿面微观形貌的影响，指出轴交角和珩磨轮转速是影响珩齿齿面纹理的主要工艺参数。ZHOU等^［13］分析了连续展成磨削过程中蜗杆砂轮与工件之间的运动关系，并通过布尔运算建立了磨齿齿面纹理模型。李国龙等^［14］、YANG等^［15］提出了不规则蜗杆砂轮磨齿齿面纹理的生产工艺，可以有效减少规律性磨齿纹理，抑制磨齿齿轮在传动过程中出现谐振，从而降低传动噪声。然而，目前有关珩齿齿面纹理优化方面的研究较少，从而导致珩齿齿面纹理的调控缺乏相应的理论指导。

综上所述，本文综合考虑珩齿齿面纹理形成机理与影响因素，建立了珩齿齿面纹理分布模型，并通过求解平行轴斜齿轮传动的齿面接触线，得到了珩齿齿轮传动时接触线上的纹理分布模型；利用ANSYS软件分析了齿面纹理与传动接触线之间位置关系（两者间的夹角）对振动噪声的影响，并提出了一种面向低噪的珩齿齿面纹理分布策略；建立了面向低噪纹理分布的珩磨轮几何参数优化模型，通过NSGA-Ⅱ算法进行求解并进行了实验验证。

1 珩齿齿面纹理分布的影响因素分析

内啮合强力珩齿加工过程中，珩齿齿轮与珩磨轮呈交错轴内齿齿轮传动状。珩磨轮齿面磨粒通过切削运动在工件齿面产生密集的加工痕迹，而加工痕迹的整体分布特征即为珩齿齿面纹理。

1.1 内啮合强力珩齿运动模型

内啮合强力珩齿机床（图1）是目前主流的中小模数齿轮加工机床，具有效率高和精度高的特点。

珩齿齿轮与珩磨轮的运动模型如图2a所示。其中，坐标系S_g（O_gx_gy_gz_g）和S_h（O_hx_hy_hz_h）分别跟随珩齿齿轮和珩磨轮同步运动，S₁（O₁x₁y₁z₁）和S₂（O₂x₂y₂z₂）是作为参考的空间固定坐标系。φ_g、φ_h为珩齿齿轮和珩磨轮在接触时的转角，两者角速度分别为ω_g和ω_h；同时珩齿齿轮也具有直线运动的特点：沿z_g轴的进给距离为±l_z，进给速度的大小为v_z。

图2b所示为过珩齿齿轮和珩磨轮节圆上的接触点M在公切面上绘制的投影，此时珩齿齿轮和珩磨轮之间的中心距a_gh为

a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}=r_{\mathrm{p}\mathrm{g}}-r_{\mathrm{p}\mathrm{h}}（1）

r_{\mathrm{p}}=\frac{r_{\mathrm{b}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{n}\mathrm{p}}/\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{b}})]}（2）

\mathrm{2}({\xi }_{\mathrm{g}}+{\xi }_{\mathrm{h}})\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{n}}-N_{\mathrm{g}}[\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{n}\mathrm{p}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}})-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{g}}]+

N_{\mathrm{h}}[\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{n}\mathrm{p}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{h}}})-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}]=\mathrm{0}（3）

{\alpha }_{\mathrm{t}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{n}}/\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta )（4）

式中：inv（·）为渐开线函数；r_p为珩齿齿轮或珩磨轮的节圆半径（下标g代表珩齿齿轮，h代表珩磨轮，下同）；r_b为珩齿齿轮或珩磨轮的基圆半径；β_b为基圆螺旋角；α_np为节圆法向压力角；ξ为珩齿齿轮或珩磨轮的变位系数；N为珩齿齿轮或珩磨轮的齿数；α_n为分度圆法向压力角，通常为20°；α_t为珩齿齿轮或珩磨轮的分度圆端面压力角；β为珩齿齿轮或珩磨轮的分度圆螺旋角。

珩齿齿轮和珩磨轮的轴线之间存在一个固定的夹角{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}，该夹角由两者在节圆处的螺旋角决定：

{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}={\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{g}}\pm {\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{h}}（5）

{\beta }_{\mathrm{p}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{b}}/\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{t}\mathrm{p}})

式中：β_p为珩齿齿轮或珩磨轮节圆处的螺旋角；“±”表示两者的轮齿旋向是否一致：“-”表示相同，“+”表示相反；α_tp为节圆端面压力角。

为了延长珩磨轮的使用寿命，工作台存在一个沿珩齿齿轮轴线方向的振荡速度v_z，因此需要对珩齿齿轮轴施加一个额外的角速度Δω使其提供的线速度Δv可以消除v_z 对珩齿齿轮和珩磨轮正确啮合的影响，因而Δv与v_z 之和v'沿螺旋线切线方向，如图2b所示。因此，在珩齿加工过程中珩齿齿轮轴的角速度ω{}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{\text{'}}}为

{\omega }_{\mathrm{g}}^{\mathrm{\text{'}}}={\omega }_{\mathrm{g}}+\mathrm{\Delta }\omega =\frac{N_{\mathrm{h}}}{N_{\mathrm{g}}}{\omega }_{\mathrm{h}}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{g}}}{\mathrm{\pi }{m}_{\mathrm{n}}{N}_{\mathrm{g}}}{v}_z（6）

式中：m_n为珩磨轮与珩齿齿轮的法向模数。

由于珩磨轮的转速远大于工作台左右振荡速度v_z，故v_z sin β_pg/（πm_nN_g）远小于ω_g，所以速度和v'对珩齿齿轮齿面线速度的影响非常小，通常可以忽略不计，后续将不作考虑。

1.2 珩齿齿面纹理分布的影响因素

工件台通过径向进给运动v_x 使工件齿面和珩磨轮齿面之间形成珩磨压力，并通过齿面间的相对运动（珩削速度v_c）使磨粒切入切出工件齿面。因此，工件齿面任意一点的纹理分布方向由珩削速度v_c的方向决定，且珩削速度v_c的方向可以用v_c与工件齿面螺旋线间的夹角γ表示。此外，珩削速度v_c由珩齿齿轮与珩磨轮在接触点的线速度v_g和v_h决定，并可分解成沿螺旋线切线方向的划擦速度v_L和沿法向齿廓方向的划擦速度v_p，如图3所示。

将珩齿齿轮和珩磨轮在接触点处的线速度v_g和v_h分解到3个方向：①沿螺旋线方向的分速度v_Lg和v_Lh，两者的划擦速度v_L用于产生沿齿向方向的“纹理”；②沿法向齿廓切线方向的分速度v_pg和v_ph，两者的划擦速度v_p用于产生沿齿廓方向的“纹理”；③沿齿廓法线方向的分速度v_ng和v_nh是珩齿齿轮与珩磨轮的共同速度，以保证正确啮合，如图4所示。根据几何关系，分速度v_L、v_p以及共同速度v_ng和v_nh可以表示为

\left.\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{L}}=v_{\mathrm{L}\mathrm{g}}-v_{\mathrm{L}\mathrm{h}}={\omega }_{\mathrm{g}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}-{\omega }_{\mathrm{h}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\\ v_{\mathrm{p}}=v_{\mathrm{p}\mathrm{g}}-v_{\mathrm{p}\mathrm{h}}={\omega }_{\mathrm{g}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}-{\omega }_{\mathrm{h}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\\ v_{\mathrm{n}\mathrm{g}}=v_{\mathrm{n}\mathrm{h}}\to {\omega }_{\mathrm{g}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}={\omega }_{\mathrm{h}}{r}_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\end{array}\right\}（7）

式中：r_cg、r_ch分别为接触点到珩齿齿轮与珩磨轮轴线的距离；β_cg、β_ch分别为接触点处珩齿齿轮与珩磨轮的螺旋角；α_cg、α_ch为接触点处珩齿齿轮与珩磨轮的法向压力角。

由式（7）可知，珩齿齿轮在任意一点的齿面纹理与螺旋线的夹角γ可以表示为

\gamma =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{L}}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}-{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{h}})}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{g}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}}（8）

由式（8）可知，珩齿齿轮齿面任意一点的纹理与螺旋线的夹角γ由珩削速度v_c沿螺旋线方向的分速度v_L和沿齿廓方向的分速度v_p决定，且与珩削加工时珩磨轮和珩齿齿轮的转速无关。

由于在齿轮加工企业珩齿齿轮参数由需求方提供，一般无法更改，因此在珩齿齿轮参数不变的情况下，根据式（7），分速度v_L由珩磨轮在接触点的螺旋角β_ch决定，且根据标准斜齿轮齿面参数计算方法，β_ch可表示为

{\beta }_{\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{r_{\mathrm{c}\mathrm{h}}}{r_{\mathrm{h}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\beta }_{\mathrm{h}})（9）

式中：r_h为珩磨轮的分度圆半径。

在假定r_ch和r_h不变的情况下，随着珩磨轮分度圆螺旋角β_h的增大，β_ch也会逐渐增大，进而导致分速度v_L随珩磨轮分度圆螺旋角β_h出现先减小后反向增大的趋势，最终导致珩齿齿面纹理分布方向发生改变，如图5所示。

根据式（7），分速度v_p由珩磨轮螺旋角β_ch和法向压力角α_n-ch决定。假定珩磨轮与珩齿齿轮接触时节圆以上α_n-ch>α_n-cg，则节圆以下α_n-chα_n-cg。根据v_tg=v_th，可以推出v_p在节圆处速度方向发生改变且节圆处v_p=0，所以分速度v_p的变化受到珩齿齿轮节圆半径r_pg的影响，如图6所示。

因此，珩齿齿面纹理的分布还受到珩齿齿轮节圆半径r_pg的影响（图7），而在珩齿齿轮参数不变的情况下，其节圆半径r_pg会随珩磨轮节圆半径r_ph的增大而增大，随珩磨轮齿数N_h增大而减小，即

r_{\mathrm{p}\mathrm{g}}=\frac{N_{\mathrm{g}}}{N_{\mathrm{h}}}{r}_{\mathrm{p}\mathrm{h}}（10）

根据式（2）～式（4）、式（8）以及渐开线斜齿轮基本参数计算方法^［16］，在珩齿齿轮参数不变的情况下，珩磨轮的节圆半径r_ph由其齿数N_h、螺旋角β_h、变位系数ξ_h决定。

综上所述，在珩齿齿轮参数不变的情况下，齿轮生产厂家可以在合理的范围内调整珩磨轮的齿数N_h、螺旋角β_h、变位系数ξ_h来优化珩齿齿面纹理的分布。

2 传动接触线上珩齿齿面纹理分布建模

2.1 珩齿齿面纹理分布模型

根据齿轮几何与应用原理^［17］，在珩齿齿轮运动坐标系S_g下标准渐开线斜齿轮的齿面位置矢量 r_g为

{\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )=\left(\begin{array}{l}{r}_{bg}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})+r_{bg}\mu \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})\\ r_{bg}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})-r_{bg}\mu \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})\\ \theta p\end{array}\right)（11）

式中：θ、μ为珩齿齿轮渐开线齿面参数；σ₀为渐开线的起始角；p为螺旋线参数。

如图8所示，选取珩齿齿轮的固定坐标系S₁作为参考坐标系，假设S₁中珩齿齿轮齿面上的一点M（x，y，z）与珩磨轮接触，根据齿轮啮合原理，此时该点处相对速度 v_b垂直于珩磨轮与珩齿齿轮在该点处的共同的法向量 n，即

{\mathit{v}}_{\mathrm{b}}\cdot \mathit{n}=\mathrm{0}（12）

M点处的珩削速度矢量为

{\mathit{v}}_{\mathrm{b}}={\mathit{\omega }}_{\mathrm{g}}{\mathit{r}}_{O_{\mathrm{1}}}-{\mathit{\omega }}_{\mathrm{h}}{\mathit{r}}_{O_{\mathrm{2}}}（13）

式中： ω_g、 ω_h分别为珩齿齿轮和珩磨轮的旋转矢量； r{}_{O_{\mathrm{1}}}、 r{}_{O_{\mathrm{2}}}分别为M点到参考坐标系S₁和S₂坐标原点的位置矢量。

珩齿齿轮和珩磨轮的旋转矢量 ω_g和 ω_h可以表示为

{\mathit{\omega }}_{\mathrm{g}}={\omega }_{\mathrm{g}}\mathit{k}（14）

{\mathit{\omega }}_{\mathrm{h}}=({\omega }_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})\mathit{j}+({\omega }_{\mathrm{h}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})\mathit{k}（15）

式中： j 、 k 分别为空间直角坐标系中y轴与z轴的单位向量。

通过坐标变换，用运动坐标下S_g的齿面位置矢量 r_g表示M点的位置矢量，则 r{}_{O_{\mathrm{1}}}、 r{}_{O_{\mathrm{2}}}可以表示为

{\mathit{r}}_{O_{\mathrm{1}}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}})={\mathit{M}}_{\mathrm{1}\mathrm{g}}({\phi }_{\mathrm{g}}){\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )（16）

{\mathit{M}}_{\mathrm{1}\mathrm{g}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{g}}& -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{g}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{g}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{g}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]

{\mathit{r}}_{O_{\mathrm{2}}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},a_{\mathrm{g}\mathrm{h}})={\mathit{r}}_{O_{\mathrm{1}}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}})+(a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}{,\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}（17）

式中： M_1g为由运动坐标系S_g到固定坐标系S₁的变换矩阵。

根据坐标变换以及式（9），齿面M点的法向量在坐标系S₁中可以表示为

\mathit{n}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}})={\mathit{M}}_{\mathrm{1}\mathrm{g}}({\phi }_{\mathrm{g}})(\frac{\partial {\mathit{r}}_{\mathrm{g}}}{\partial \mu }\times \frac{\partial {\mathit{r}}_{\mathrm{g}}}{\partial \theta })（18）

联立式（11）~式（18），内啮合强力珩齿加工的啮合方程为

\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},a_{\mathrm{g}\mathrm{h}},{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})=(a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}{r}_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}-\\ {r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\phi }_{\mathrm{g}}+\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})+\\ (\theta r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}-\mu {r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}}^{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\phi }_{\mathrm{g}}+\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}})+\\ (r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}-a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}-N_{\mathrm{h}}{r}_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}/N_{\mathrm{g}})r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}=\mathrm{0}\end{array}（19）

其中，φ_g为未知量，可由式（19）求得。

综上所述，根据珩齿齿面纹理分布方向与珩削速度方向的映射关系，珩齿齿轮齿面纹理的分布方向 T （θ，μ，φ_g，_{agh，{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})可以表示为}

\left.\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{\mathrm{g}}={\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )\\ \mathit{T}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},a_{\mathrm{g}\mathrm{h}},{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})={\mathit{M}}_{\mathrm{g}\mathrm{1}}({\phi }_{\mathrm{g}}){\mathit{v}}_{\mathrm{b}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},a_{\mathrm{g}\mathrm{h}},{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})\\ f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},a_{\mathrm{g}\mathrm{h}},{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}})=\mathrm{0}\end{array}\right\}（20）

在珩齿齿轮参数不变的情况下，根据式（1）～式（5），中心距a_gh和轴交角∑_gh可以表示为

a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}=a_{\mathrm{g}\mathrm{h}}(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})（21）

{\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}={\sum }_{\mathrm{g}\mathrm{h}}(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})（22）

因此，珩齿齿面纹理整体分布趋势可由珩磨轮的齿数N_h、螺旋角β_h、变位系数ξ_h表示为

\left.\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{\mathrm{g}}={\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )\\ \mathit{T}=\mathit{T}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})\\ f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\mathrm{0}\end{array}\right\}（23）

2.2 传动接触线与珩齿齿面纹理的夹角模型

在新能源汽车减速器中，珩齿齿轮通常被当作输入轴齿轮，并与其配对齿轮组成第一级齿轮减速副，两者的运动关系通常为一对平行轴斜齿轮传动，如图9所示。其中，S_m（O_mx_my_mz_m）跟随配对齿轮同步运动，S₃（O₃x₃y₃z₃）用作参考的空间固定坐标系。φ_w、φ_m分别为传动过程中珩齿齿轮和配对齿轮的转角，两者角速度分别为ω_w和ω_m，中心距为a_gm。

根据交错轴齿轮啮合方程（式（19）），平行轴斜齿轮传动时的啮合方程为

f_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{w}})=a_{\mathrm{g}\mathrm{m}}{r}_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta +\mu +{\sigma }_{\mathrm{0}}+{\phi }_{\mathrm{w}})+(r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}+N_{\mathrm{m}}{r}_{\mathrm{b}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\beta }_{\mathrm{b}\mathrm{g}}/N_{\mathrm{g}})r_{\mathrm{b}\mathrm{g}}=\mathrm{0}（24）

式中：N_m为配对齿轮的齿数。

因此当珩齿齿轮到达某一转角φ_w时，所有符合式（24）的θ、μ所对应的齿面点集构成了此时的传动接触线：

\left.\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{\mathrm{g}}={\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )\\ f_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{w}})=\mathrm{0}\end{array}\right\}（25）

当珩齿齿轮传动转角为φ_w时，传动接触线的切向量 t 可以表示为

\mathit{t}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{w}})=\frac{\partial {\mathit{r}}_{\mathrm{g}}}{\partial \theta }-\frac{\partial {\mathit{r}}_{\mathrm{g}}}{\partial \mu }(\frac{\partial f_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}/\partial \theta }{\partial f_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}/\partial \mu })（26）

联立式（23）和式（26），在假定珩齿齿轮及其配对齿轮不可变的情况下，珩齿齿轮的表面纹理与其传动接触线夹角δ可以表示为

\left.\begin{array}{l}{\mathit{r}}_{\mathrm{g}}={\mathit{r}}_{\mathrm{g}}(\theta ,\mu )\\ \delta (\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},{\phi }_{\mathrm{w}},N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{\mathit{T}\times \mathit{t}}{|\mathit{T}||\mathit{t}|})\\ f_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{g}},N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\mathrm{0}\\ f_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}(\theta ,\mu ,{\phi }_{\mathrm{w}})=\mathrm{0}\end{array}\right\}（27）

3 面向低噪纹理的珩磨轮几何参数优化

3.1 面向低噪的珩齿齿面纹理分布策略

齿轮的表面纹理会影响其传动过程中的滚动-滑动摩擦特性，进而影响传动噪声^［18］。基于采用有限元分析齿面纹理对线接触摩擦振动噪声影响的研究方法^［19］，模拟出齿面纹理与传动接触线间不同的夹角，并对纹理表面与光滑表面的摩擦系统进行瞬态动力学分析，仿真流程见图10。

将齿面纹理与传动接触线间夹角δ从0°~90°共划分为91组，进行振动加速度的时域信号求解。由于振动加速度的时域信号在夹角超过3°后表现出相似性，因此本文给出了0°，1°，2°，3°，4°，5°，45°和90°夹角下的振动加速度，如图11所示。

有限元仿真结果表明，当齿面纹理与传动接触线夹角δ≤3°时会引起不规律的振动且这种振动会随着夹角的增大而减少；当δ>3°时这种振动几乎消失。此外，当δ>3°时，随着夹角的增大振动加速度时域信号幅值也逐渐增大，这表明齿面纹理与传动接触线间夹角大于3°且靠近3°时对摩擦振动噪声具有抑制作用。

因此，可以通过调整珩磨轮的齿数N_h、螺旋角β_h、变位系数ξ_h来改变珩齿齿面纹理的分布趋势，进而降低齿面纹理与传动接触线间不良夹角的占比（珩齿齿面纹理中与传动接触线间夹角δ≤3°的纹理）以及提高齿面纹理对摩擦振动噪声的抑制作用（降低珩齿齿面上与传动接触线间夹角δ>3°的纹理的夹角平均值），实现优化珩齿齿面纹理分布的目的。

3.2 珩磨轮几何参数优化模型

3.2.1 决策变量

珩齿齿面纹理在接触线上分布的影响因素有：珩磨轮、珩齿齿轮及配对齿轮的几何参数，以及珩齿加工过程中各轴的运动速度和联动关系，但在实际加工过程中，除珩磨轮几何参数以外的其他因素已确定或影响很小，在优化过程中不再予以考虑。因此本文选取珩磨轮的齿数N_h、螺旋角β_h、变位系数ξ_h作为决策变量。

3.2.2 优化目标

在前文分析中，已确定珩齿齿面纹理与传动接触线间的夹角小于等于3°或者过大均对线接触摩擦振动噪声具有不利影响，因此，选取的优化目标如下：

1） 珩齿齿面上与传动接触线间夹角小于等于3°的纹理所占的比例

P(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{j_i(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})}{n}（28）

j_i(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{\delta }_i\le \mathrm{3}°\\ \mathrm{0}{\delta }_i>\mathrm{3}°\end{array}\right.

{\delta }_i=\delta (N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})

式中：n为选取的珩齿齿轮表面的纹理条数，理论上n的值越大所求的目标函数值越准确。

2） 珩齿齿面上与传动接触线间夹角大于3°的纹理的夹角平均值

V(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{Y_i({\beta }_{\mathrm{h}},N_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})}{m}（29）

m={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{k}_i(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})

k_i(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{\delta }_i>\mathrm{3}°\\ \mathrm{0}{\delta }_i\le \mathrm{3}°\end{array}\right.

Y_i(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=\left\{\begin{array}{l}{\delta }_i{\delta }_i>\mathrm{3}°\\ \mathrm{0}{\delta }_i\le \mathrm{3}°\end{array}\right.

{\delta }_i=\delta (N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})

式中：m为纹理中与传动接触线间夹角大于3°的数量。

3.2.3 约束条件

珩磨轮的几何设计受到珩齿齿轮和机床条件的限制，如珩磨轮的齿数受到珩齿齿轮齿数和珩齿机床珩磨头尺寸的限制，因此，需要对珩磨轮几何参数的设计范围进行约束，具体如下：

\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le N_{\mathrm{h}}\le N_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\beta }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\beta }_{\mathrm{h}}\le {\beta }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\xi }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\xi }_{\mathrm{h}}\le {\xi }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{g}}\pm {\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{h}}\le {\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}

式中：N_hmin、N_hmax分别为珩磨轮设计所允许的最小齿数和最大齿数；β_hmin、β_hmax分别为珩磨轮设计所允许的最小螺旋角和最大螺旋角；ξ_min、ξ_max分别为珩磨轮设计所允许的最小变位系数和最大变位系数；{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、{\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为珩齿加工所允许的最小轴交角和最大轴交角。

3.2.4 优化模型

综上所述，面向低噪纹理的珩磨轮几何参数多目标优化模型如下：

\left.\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}F(N_{\mathrm{h}},{\beta }_{\mathrm{h}},{\xi }_{\mathrm{h}})=[\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}P,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}V]\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.N_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le N_{\mathrm{h}}\le N_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\beta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\beta }_{\mathrm{h}}\le {\beta }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\xi }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\xi }_{\mathrm{h}}\le {\xi }_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ {\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le {\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{g}}\pm {\beta }_{\mathrm{p}\mathrm{h}}\le {\sum }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}\right\}（30）

3.2.5 优化流程

利用NSGA-Ⅱ优化算法更新珩磨轮几何参数，并求解目标函数值，优化迭代流程如图12所示。

4 案例分析及验证

4.1 优化案例

本文以重庆某齿轮生产厂的某款新能源汽车输入轴齿轮为例进行面向低噪纹理的珩磨轮几何参数优化设计，珩齿齿轮及其配对齿轮的基本参数见表1。

选取珩齿齿轮齿面13条接触线上共129个接触点处的齿面纹理进行计算，NSGA-Ⅱ优化算法的部分参数设定见表2，在进行500次迭代后得到Pareto最优解集见图13。

根据MATSUO等^［20-21］提出的珩磨轮几何参数设计方法和Pareto最优解集，优化前后珩磨轮（图14）的参数见表3，优化前后目标函数计算结果列于表4。

由优化结果可知，优化后的珩磨轮所加工的珩齿齿轮在传动过程中齿面纹理与传动接触线间夹角小于等于3°占比降低了29.8%，与传动接触线夹角大于3°的纹理，夹角的平均值减小了5.0%。根据齿面纹理与传动接触线间夹角对摩擦振动噪声的影响，优化后的珩齿齿面纹理相较于优化前可以减少不规律振动出现的概率以及整体的振动强度，进而降低传动噪声。

使用SangNond Full HD工业相机对珩磨轮优化前后所加工齿轮的齿面纹理分布进行观测，并与所提出的珩齿齿面纹理分布模型的预测结果进行比较，如图15所示。结果表明，优化前后珩齿齿面纹理分布具有较大差异，并与所提珩齿齿面纹理分布模型的预测结果相吻合。

4.2 实验验证

为验证所提方法的有效性和可行性，本文开展了珩齿齿面纹理优化前后振动和噪声的对比实验。将齿面纹理优化前后的珩齿齿轮装载到齿轮箱中，利用朗德噪声检测设备采集NVH数据，位移传感器置于齿轮箱外侧，麦克风置于主驾驶头枕处，如图16所示。

将齿面纹理优化前的珩齿齿轮作为对照组，齿面纹理优化后的珩齿齿轮作为实验组，进行不同转速下的振动、噪声实验。

实验结果表明，实验组振动出现的强度（能量密度）明显低于对照组强度（能量密度），且不规则振动出现的概率也有明显降低，如图17中绿色圆圈所示。

此外，实验组在测试中的最大传动噪声相较于对照组有明显降低，且转速越高，实验组对噪声的抑制效果越好，如图18所示。

综上所述，优化后的珩齿齿面纹理能够降低传动过程中的噪声水平，这与优化模型得到的结论一致，从而证明了所提方法的有效性。

5 结论

1）本文分析了珩齿齿面纹理分布的影响因素，包括珩磨轮的齿数、螺旋角和变位系数。珩齿齿面纹理会随着珩磨轮螺旋角的增大呈现出不同的方向性，随着珩磨轮齿数、螺旋角、变位系数的改变，纹理分布趋势会沿齿廓方向上下偏移。

2）建立了珩齿齿轮传动接触线与齿面纹理的夹角模型，并借助有限元分析了不同夹角对振动噪声的影响，得到了齿面纹理与传动接触线的夹角大于3°且靠近3°时有利于降低振动噪声的结果。

3）建立了面向低噪纹理的珩磨轮几何参数优化模型并进行了案例分析，结果表明，优化后的珩磨轮几何参数可以减小珩齿齿面纹理与传动接触线间的夹角，并降低珩齿齿轮传动过程中的振动和噪声水平。

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基金资助

国家重点研发计划(2023YFB3406500)

高端装备机械传动全国重点实验室自主研究课题重点项目(SKLMT-ZZKT-2024Z06)

中央高校基本科研业务费专项资金(2023CDJYXTD-003)