基于改进精细复合多尺度样本熵与贝叶斯网络的滚动轴承故障诊断方法

Fault Diagnosis Method of Rolling Bearings Based on Improved Refined Composite Multiscale Sample Entropy and Bayesian Network

摘要

针对传统多尺度样本熵（MSE）在粗粒化过程中易造成特征信息丢失、在尺度因子较大时故障信号中的特征信息不易提取等问题，提出一种基于改进的精细复合多尺度样本熵（IRCMSE）与算术优化算法（AOA）优化贝叶斯网络的滚动轴承故障诊断方法。将传统粗粒化过程中求均值的处理方式替换为交叉采样的方式，得到每一尺度的时间序列，并改变不同尺度下计算熵值的方法，提取时间序列的特征信息。利用IRCMSE提取滚动轴承故障特征信息，构成故障特征样本，将故障特征样本输入到AOA优化后的贝叶斯网络模型中进行故障识别。将改进方法与基于多尺度样本熵、多尺度散布熵（MDE）和精细复合多尺度样本熵（RCMSE）的故障诊断方法进行对比实验，验证了所提方法的可行性且具有更高的故障识别率。

Abstract

To address the issues of traditional MSE， such as the loss of feature information during the coarse-graining processes and the difficulty in extracting feature information from fault signals at large scale factors， a method for rolling bearing fault diagnosis was proposed based on improved refined composite multiscale sample entropy（IRCMSE） combined with an AOA optimized Bayesian network. The traditional coarse-graining processes， which involved averaging， were replaced with a cross-sampling method to obtain time series at each scale， and the method of calculating entropy values at different scales was changed to extract feature information from the time series. IRCMSE was used to extract the fault feature information of rolling bearings， forming fault feature samples. These fault feature samples were then input into the Bayesian network model optimized by AOA for fault recognition. The improved method is experimentally compared with fault diagnosis methods based on MSE， multiscale dispersion entropy， and refined composite multiscale sample entropy （RCMSE）， verifying the feasibility of the proposed method and demonstrating a higher fault recognition rate.

Graphical abstract

关键词

滚动轴承 / 多尺度样本熵 / 故障诊断 / 贝叶斯网络 / 算术优化算法

Key words

rolling bearing / multiscale sample entropy （MSE） / fault diagnosis / Bayesian network / arithmetic optimization algorithm（AOA）

0 引言

滚动轴承作为旋转机械设备的主要组成部分，往往运行在高负荷、强冲击、高转速等极端工况下，在高速运转的过程中若不能及时发现故障，轻则造成设备损坏，重则导致巨大的经济损失，甚至威胁到工作人员的生命安全，因此，为了保证机械设备能够安全运行，需对滚动轴承的故障诊断进行深入研究^［1］。

滚动轴承的故障诊断主要包括特征提取和故障识别两个部分，其中特征提取是故障诊断的关键所在。在各种因素影响下，提取到的振动信号往往呈现出非平稳、非线性的特征。近些年来，基于熵理论的非线性信号分析方法被广泛运用在特征提取中，通过量化信号的复杂性来帮助分析非平稳、非线性信号，常用于故障诊断、图像处理等领域。自从香农于1948年提出信息熵理论以来，排列熵^［2］（permutation entropy， PE）、样本熵^［3］（sample entropy， SE）、模糊熵^［4］（fuzzy entropy， FE）、散布熵^［5］（dispersion entropy， DE）等逐渐被提出来。样本熵具有较强的鲁棒性、计算过程中对时间序列的长度要求低，被广泛运用于滚动轴承的故障诊断中。肖俊青等^［6］将经验模态分解与样本熵相结合对轴承进行故障诊断，不仅消除了部分噪声，还避免了冗余分量噪声的干扰，提高了故障诊断的准确率；谷穗等^［7］利用双树复小波包与排列熵相结合确定最佳分解层数，避免了对原始信号的过分解和欠分解，从而有效地提取了故障特征。然而，上述方法都是在单一尺度上对故障信号提取特征信息，却遗漏了其他尺度上的特征信息。COSTA等^［8］提出了多尺度样本熵，解决了样本熵在单一尺度上可能遗漏特征信息的问题，但随着粗粒化尺度因子的增大出现无效熵值的概率越来越大，并且对故障信号粗粒化后得到的时间序列越来越短，对故障特征的辨别能力也逐渐降低。王振亚等^［9］提出了一种广义精细复合多尺度样本熵与流行学习相结合的特征提取方法，不仅降低了无效熵值出现的概率，还提高了熵值的稳定性和准确性。但精细复合多尺度样本熵（RCMSE）在粗粒化序列构造过程中均值处理方式可能导致时间序列中幅值较大的数据点被平均化，增加故障特征提取难度。针对上述情况，人们提出了改进精细复合多尺度样本熵的方法。

滚动轴承故障识别包括贝叶斯网络^［10］（Bayesian network， BN）、卷积神经网络^［11］（convolutional neural network， CNN）、支持向量机^［12］（support vector machine， SVM）等方法。滚动轴承在运行过程中存在许多不确定性因素，如负载变化、外部振动以及环境因素等。贝叶斯网络是一种基于概率和图论的机器学习模型，常用于处理不确定性、推理以及因果关系建模，通过概率分布来描述变量间关系，因此在应对不确定性因素时具有较大优势，并且贝叶斯网络是通过有向无环图来直观地表示变量之间的因果依赖关系的，可以结合先验知识、专家经验来提高模型的推理，对于缺失的数据集能够通过计算变量间的概率来推理出滚动轴承的故障类型。贝叶斯网络的性能很大程度上取决于网络拓扑结构的优劣，因此为了提高贝叶斯网络性能，采用算术优化算法^［13］对贝叶斯网络结构进行优化。由于算术优化算法（AOA）易陷入局部最优、收敛速度慢，本文引进Sigmoid函数增加种群处于全局搜索次数来解决上述问题。

基于上述理论，本文提出一种改进精细复合多尺度样本熵（IRCMSE）与算术优化算法优化贝叶斯网络相结合的滚动轴承故障诊断方法。首先利用小波变换对振动信号进行去噪，并利用改进精细复合多尺度样本熵进行特征提取；然后利用主成分分析（principal component analysis， PCA）降低特征信息维数；最后利用AOA算法优化BN初始结构，并将其用于滚动轴承故障分类。实验结果证明了所提方法的可行性和优越性。

1 算法及原理

1.1 多尺度样本熵MSE

多尺度样本熵（MSE）是将样本熵SE的单一尺度处理方式拓展到多尺度，从而发掘信号中可能蕴含的有价值的信息。MSE的基本计算步骤如下：

1）对给定的任意一组原始时间序列X=\{x_i,i=\mathrm{1,2},\dots ,N\}进行粗粒化：

y_j^{(\tau )}=\frac{\mathrm{1}}{\tau }{\displaystyle \sum _{i=(j-\mathrm{1})\tau +\mathrm{1}}^{j\tau }}{x}_i\mathrm{1}\le j\le T（1）

\tau =\mathrm{1,2},\dotsT=⌊N/\tau ⌋

其中，\tau为尺度因子，T=⌊N/\tau ⌋为N/\tau的向下取整。当尺度因子为\tau时粗粒化时间序列y^{(\tau )}=\{y_{\mathrm{1}}^{(\tau )},y_{\mathrm{2}}^{(\tau )},\dots ,y_T^{(\tau )}\}。

2）当尺度因子为\tau时，分别计算出该尺度因子下粗粒化时间序列y^{(\tau )}在m维及m+\mathrm{1}维下的重构向量：

\left.\begin{array}{l}{\mathit{z}}_i^{(m)}=(y_i^{(\tau )},y_{i+\lambda }^{(\tau )},\dots ,y_{i+(m-\mathrm{1})\lambda }^{(\tau )})\\ {\mathit{z}}_i^{(m+\mathrm{1})}=(y_i^{(\tau )},y_{i+\lambda }^{(\tau )},\dots ,y_{i+m\lambda }^{(\tau )})\end{array}\right\}（2）

\mathrm{1}\le i\le T-m+\mathrm{1}

式中：m为嵌入维数，一般取1或2；\lambda为延迟因子，一般取1。

3）计算在m维下对每一个i计算z_i^{(\tau )}与其余{\mathit{z}}_j^{(\tau )}之间的距离d：

d[{\mathit{z}}_i^{(\tau )},{\mathit{z}}_j^{(\tau )}]=\underset{k=\mathrm{0,1},\dots ,\tau }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\{\left|{\mathit{z}}_i^{(\tau )}-{\mathit{z}}_j^{(\tau )}\right|\}（3）

i,j=\mathrm{1,2},\dots ,T-m+\mathrm{1}i\ne j

4）在相似容限r的选择中，r的值太大或太小都会对MSE值产生较大影响。通常在(\mathrm{0.1}~\mathrm{0.25})SD(X)（SD为标准差）之间取值。对d[{\mathit{z}}_i^{(\tau )},{\mathit{z}}_j^{(\tau )}]小于r的数量进行统计得到，对得到的数值除以T-m，得到B_i^{(m)}(r)，对B_i^{(m)}(r)求和并除以T-m+\mathrm{1}得到B^{(m)}(r)，公式如下：

（4）

i,j=\mathrm{1,2},\dots ,T-m+\mathrm{1}i\ne j

5）在m的基础上加1重复步骤3）和步骤4），得到B^{(m+\mathrm{1})}(r)的值。

6）最后求出MSE的值：

E_{\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}(X,\tau ,m,r)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\{-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{B^{(m+\mathrm{1})}(r)}{B^{(m)}(r)}\}（5）

当T为有限值时，样本熵的值为

E_{\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}(X,\tau ,m,r)=-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{B^{(m+\mathrm{1})}(r)}{B^{(m)}(r)}（6）

与SE相比，MSE在多个尺度上对时间序列计算熵值，避免了对原始时间序列计算SE熵值的过程中遗漏重要的特征信息，从而降低其局限性。但MSE仍存在一些问题：在进行粗粒化时，没有考虑到数据之间存在的联系，可能导致信号中一些重要特征丢失；当所给原始信号较短而尺度因子又较大时，会有一定概率出现未定义熵值。

1.2 精细复合多尺度样本熵RCMSE

为了解决MSE出现的一系列问题，有学者提出了RCMSE，在尺度因子为\tau时，对时间序列进行粗粒化会从原始时间序列的首个数据处截取\tau个数据求均值，之后从第二个数据点往后依次进行计算，最终得出粗粒化后的时间序列。具体步骤如下：

1）对时间序列\{x_i,i=\mathrm{1,2},\dots ,N\}在尺度因子\tau下进行粗粒化，公式如下：

y_{j,k}^{(\tau )}=\frac{\mathrm{1}}{\tau }{\displaystyle \sum _{i=(j-\mathrm{1})\tau +k}^{j\tau +k-\mathrm{1}}}{x}_i\mathrm{1}\le j\le \frac{N}{\tau }\mathrm{1}\le k\le \tau（7）

2）对尺度因子\tau下的所有粗粒化序列y_j^{(\tau )}进行SE熵值的求解，并求其均值，最终得出RCMSE熵值，公式如下：

E_{\mathrm{R}\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}(x,\tau ,m,r)=\frac{\mathrm{1}}{\tau }{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\tau }}(-ln\frac{n_{k,\tau }^{(m+\mathrm{1})}}{n_{k,\tau }^{(m)}})（8）

式中：n_{k,\tau }^{(m)}、n_{k,\tau }^{(m+\mathrm{1})}分别为粗粒化序列的m维和m+\mathrm{1}维空间向量个数。

1.3 改进精细复合多尺度样本熵IRCMSE

对于传统的RCMSE来说，在对时间序列进行粗粒化时，虽然考虑到时间序列之间的相互联系，但是采用求均值的处理方式可能使时间序列中幅值较大的数据点被平均化，导致细节信息丢失，降低特征提取的精度。为了进一步提高特征提取精度，提出一种改进精细复合多尺度样本熵方法，以改进的交叉采样方法来代替传统粗粒化中求均值的方法，最大程度地保留时间序列的幅值信息，以此来提高特征提取的精度。

改进的方法是在对原始信号进行粗粒化的过程中将某段时间序列进行平均化改为在尺度因子为\tau时将原始时间序列通过交叉采样分解为\tau个子序列，并从中选取最优序列代替原粗粒化序列。当\tau =\mathrm{2}时，第k段改进的粗粒化过程见图1。

从图1中可以看出，改进粗粒化方法避免了时间序列中幅值较大的数据点被平均化后特征辨识度降低的问题。在改进粗粒化的计算过程中，产生\tau个新的子序列，选择合适的时间序列是极为重要的。均方根值表示振动信号在一段时间内的能量大小，能量大的时间序列所含故障特征信息较多，因此，本文采用均方根值最大的子序列来代替传统粗粒化后的时间序列。

对于标准的RCMSE，随着粗粒化尺度因子的增大，粗粒化后得到的时间序列越来越短，RCMSE熵值包含特征信息越来越少。为了尽可能地提取故障信号中的特征信息，在尺度因子为\tau时，原始时间序列通过复合阶段得到\tau个时间序列，之后对其进行尺度因子为\tau的粗粒化，而改进粗粒化方法是对\tau个时间序列分别求对应尺度的粗粒化，即第一个时间序列求尺度因子为1的粗粒化，第二个时间序列求尺度因子为2的粗粒化，以此类推。最后求IRCMSE熵值。

1.4 算术优化算法优化贝叶斯网络

贝叶斯网络在进行概率推理时，寻找最优的网络结构一直是一个NP-hard问题。为了准确地得到节点之间的关系，对贝叶斯网络结构的优化是必不可少的，因此采用AOA算法来优化贝叶斯网络结构。将每一个贝叶斯网络拓扑结构看作一个个体，由此组成AOA种群来进行寻优，搜寻得到的最优个体即为最优贝叶斯网络结构。

由于AOA算法存在易陷入局部最优、收敛速度慢等问题，为了解决上述问题，本文引入Sigmoid函数来代替MOA函数，即

MOA(t)=M_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+t\frac{M_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-M_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{T}（9）

Sigmoid(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(a-bt/T)}（10）

其中，M_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和M_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别是MOA函数最小值和最大值，为0.2和1。经过多次实验得出，a=\mathrm{10}\mathrm{、}b=\mathrm{20}时，收敛速度最快，同时陷入局部最优的概率也最低。图2为MOA函数与Sigmoid函数的对比图，图中每次迭代生成一个个体，每个个体的值在0～1之间随机生成。经统计，改进后种群在前期搜索中进入探索阶段的概率比原来增大39.1%，如图中蓝色点为增加种群。同样，改进后种群在后期搜索中进入开发阶段的概率比原来增大39.53%，如图中红色点为增加种群。

2 信号仿真分析

为了验证所提改进方法的可行性以及在不同时间序列长度下对改进方法的影响，采用白噪声（white noise， WN）和粉红噪声（pink noise， PN）进行仿真实验。白噪声是一种能量在所有频率上分布均匀的噪声，具有较高的随机性和不确定性；而粉红噪声是一种分布不均匀的噪声，在低频部分有较高的功率密度，相对集中于低频率。因此，粉红噪声的随机性比白噪声低，熵值也会更低。白噪声与粉红噪声频域图见图3。

实验中分别采用长度为2048、3072、4096和5120的白噪声和粉红噪声样本各20组，计算MSE、RCMSE和IRCMSE的平均熵值并进行对比验证。设置最大尺度因子S_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{20}，嵌入维数m=\mathrm{2}，相似容限r=\mathrm{0.15}SD。MSE、MDE（多尺度散布熵）、RCMSE和IRCMSE平均熵值曲线的对比如图4所示。

由图4可以看出：①不同数据长度下，白噪声和粉红噪声的IRCMSE平均熵值曲线较为接近，能够容易区分出白噪声和粉红噪声，可以认为数据长度对IRCMSE算法影响不大，因此，设置N=\mathrm{2048}；②对比图4a~图4d， 图4d中白噪声和粉红噪声的IRCMSE平均熵值曲线变化更加平缓，并且熵值曲线的波动范围更小，表明采用本文所提方法计算得出的特征熵值具有更好的稳定性；③与图4d相比，图4a~图4c中白噪声与粉红噪声在不同数据长度下的平均熵值曲线存在交点，同时在低尺度下粉红噪声的熵值大于白噪声的熵值，不满足白噪声的熵值大于粉红噪声的熵值。综上所述可知：IRCMSE算法对信号特征的提取结果优于MSE、MDE和RCMSE算法。

3 基于IRCMSE和AOA-BN的轴承故障诊断方法

本文提出了一种基于IRCMSE和AOA-BN的轴承故障诊断方法，流程图见图5。

本文采用美国凯斯西储大学（CWRU）提供的电机轴承故障数据验证所提方法的诊断效果。本次实验采用电机驱动端轴承，型号为SKF6205，轴承转速为1797 r /s，采集频率为12 kHz。采用电火花加工对正常轴承进行故障处理，模拟轴承在运行中出现的不同故障类型和故障程度。选择轴承正常和不同故障时的10种振动信号，每种信号50个样本，共500个样本，每个样本信号长度为2048。具体轴承故障数据如表1所示。图6所示为不同故障下振动信号。

从图6中很难看出正常状态和其他故障状态之间的明显区别。为了能够明显地体现出不同状态下振动信号的区别和IRCMSE算法的可行性，将采集到的10种不同状态下的振动信号分别求出MSE、MDE、RCMSE和IRCMSE熵值，并画出平均熵值曲线，如图7所示。

由图7可以看出，使用MSE、MDE和RCMSE对故障信号进行特征提取得到的平均熵值曲线存在较多的交点，不易区分故障类别。但本文提出的IRCMSE得到的平均熵值曲线平滑，平均熵值曲线交点仅有2个，能够容易地分辨出故障类型，验证了IRCMSE对故障信号的特征提取优于MSE、MDE和RCMSE算法。为了消除改进方法中熵值曲线存在交点对后续故障诊断的影响，采用尺度因子为5~20之间的数据作为特征数据集。

IRCMSE提取到的特征数据具有高维、非线性等特征，直接输入到故障诊断模型中训练与测试会影响到识别效果，因此，本文采用PCA对特征数据集进行降维并对数据进行可视化处理。分别对MSE、MDE、RCMSE和IRCMSE得到的数据集进行可视化处理，结果如图8所示。可以看出利用IRCMSE算法得到的数据集经过可视化处理后不同的故障状态能够很清晰地分辨出来，而MSE和RCMSE算法得到的数据集经过可视化处理后，不同数据集之间存在较多重叠，对不同故障类型的分辨具有一定的困难，进一步验证了IRCMSE算法的可行性。

将步骤2）中由RCMSE和IRCMSE得到的信号故障特征数据集随机分为训练数据集和测试数据集，分别输入到AOA-BN故障预测模型中进行训练与测试。本次实验设置10种状态信号各50组，其中训练样本为35组，测试样本为15组，预测结果如图9所示。

由图9可以看出，基于IRCMSE-AOA-BN的预测模型对故障识别的效果最好，识别率达到了100%，而基于IRCMSE-BN预测模型对故障识别率为98.67%。同时，IRCMSE-AOA-BN算法的效率较IRCMSE-BN算法提高了近1.33%。上述结果验证了提出的基于IRCMSE-AOA-BN的方法在特征提取和故障识别方面具有一定的优越性。

4 结论

1）传统精细复合多尺度样本熵（RCMSE）在粗粒化序列构造过程中均值的处理方式会对故障信号突变点进行平均，导致特征辨识度降低，计算得到的熵值出现偏差，且随着尺度因子的增大，提取到的特征信息会越来越少。因此，提出了一种交叉采样方法来代替传统粗粒化中平均的方法与改变不同尺度下计算熵的方法，通过对白噪声和粉红噪声的仿真实验和采用轴承故障信号进行实验证明了改进的精细复合多尺度样本熵（IRCMSE）算法在特征提取方面优于多尺度样本熵（MSE）、多尺度散布熵（MDE）和精细复合多尺度样本熵（RCMSE）算法。

2）针对算术优化算法（AOA）收敛效率低、易陷入局部最优等问题，引入了Sigmoid函数，由Sigmoid函数来控制AOA种群进入全局搜索和局部搜索，提高了寻优效率、降低了陷入局部最优的概率。将改进的AOA算法用于优化贝叶斯网络，提高了贝叶斯网络对轴承故障诊断的效率。

3）与MSE、MDE和RCMSE算法进行实验对比，IRCMSE算法对不同状态故障信号的特征信息提取更彻底，能够容易地区分故障类型；将IRCMSE-BN预测模型和IRCMSE-AOA-BN预测模型进行实验对比，可以得出优化后的模型识别精度更高，识别速度也有明显的提高。

参考文献

[1] 于军， 丁博， 何永军. 基于平均多粒度决策粗糙集和NNBC的滚动轴承故障诊断［J］. 振动与冲击，2019，38（5）：209-215.

[2] YU Jun， DING Bo， HE Yongjun. Rolling Bearing Fault Diagnosis Based on Mean Multi-granularity Decision Rough Set and NNBC［J］. Journal of Vibration and Shock， 2019，38（5）：209-215.

[3] ZHANG Xiaoyuan， LIANG Yitao， ZHOU Jianzhong. A Novel Bearing Fault Diagnosis Model Integrated Permutation Entropy， Ensemble Empirical Mode Decomposition and Optimized SVM［J］. Measurement， 2015，69：164-179.

[4] RICHMAN J S， MOORMAN J R， et al. Physiological Time-series Analysis Using Approximate Entropy and Sample Entropy［J］. American Journal of Physiology， 2000， 278（6）： 2039-2049.

[5] 宋业栋， 马光伟， 朱小龙， 等. 基于强化层次模糊熵的柴油机故障诊断方法［J］. 振动、测试与诊断，2024，44（4）：814-820.

[6] SONG Yedong， MA Guangwei， ZHU Xiaolong， et al. Vibration Measurement and Comfort Study of Wuhan Railway Station under Multi⁃vibration Sources［J］. Journal of Vibration， Measurement &Diagnosis， 2024，44（4）：814-820.

[7] 郑近德， 陈焱， 童靳于， 等. 精细广义复合多元多尺度反向散布熵及其在滚动轴承故障诊断中的应用［J］. 中国机械工程，2023，34（11）：1315-1325.

[8] ZHENG Jinde， CHEN Yan， TONG Jinyu， et al. RGCMvMRDE and Its Applications in Rolling Bearing Fault Diagnosis［J］. China Mechanical Engineering， 2023，34（11）：1315-1325.

[9] 肖俊青， 金江涛， 李春， 等. 基于CEEMDAN样本熵与卷积神经网络的轴承故障诊断［J］. 动力工程学报，2022，42（5）：429-436.

[10] XIAO Junqing， JIN Jiangtao， LI Chun， et al. Bearing Fault Diagnosis Based on CEEMDAN Sample Entropy and Convolutional Neural Network［J］. Journal of Chinese Society of Power Engineering， 2022，42（5）： 429-436.

[11] 谷穗， 王红， 陈禹州. 双树复小波包与自适应排列熵在轴承故障诊断中的应用［J］. 机械科学与技术，2023，42（7）：1021-1028.

[12] GU Sui， WANG Hong， CHEN Yuzhou. Application of Double Tree Complex Wavelet Packet and Adaptive Permutation Entropy in Bearing Fault Diagnosis［J］. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2023，42（7）：1021-1028.

[13] COSTA M， GOLDBERGER A L， PENG C K. Multiscale Entropy Analysis of Complex Physiologic Time Series［J］. Physical Review Letters，2007，89（6）： 705-708.

[14] 王振亚， 姚立纲. 广义精细复合多尺度样本熵与流形学习相结合的滚动轴承故障诊断方法［J］. 中国机械工程，2020，31（20）：2463-2471.

[15] WANG Zhenya， YAO Ligang. Rolling Bearing Fault Diagnosis Method Based on Generalized Refined Composite Multiscale Sample Entropy and Manifold Learning［J］. China Mechanical Engineering，2020， 31（20）：2463-2471.

[16] 仝兆景， 石秀华， 王文斌， 等. 基于优化分簇贝叶斯网的转子振动故障诊断［J］. 振动、测试与诊断，2014，34（2）：237-241.

[17] TONG Zhaojing， SHI Xiuhua， WANG Wenbin， et al. Generator Rotor Vibration Fault Diagnosis Based on Optimization Clustering Bayesian Network［J］. Journal of Vibration， Measurement & Diagnosis，2014， 34（2）： 237-241.

[18] 郑磊， 蒋玮， 胡仁杰， 等. 基于小波变换和神经网络的模拟电子电路故障诊断［J］. 南京理工大学学报，2024，48（3）：310-317.

[19] ZHENG Lei， JIANG Wei， HU Renjie， et al. Fault Diagnosis of Analog Electronic Circuits Based on Wavelet Transform and Neural Network［J］. Journal of Nanjing University of Science and Technology， 2024，48（3）：310-317.

[20] Zheng B， Liao R， GRZYBOWSKI S， et al. Fault Diagnosis of Power Transformers Using Multi Class Least Square Support Vector Machines Classifiers with Particle Swarm Optimization［J］. IET Electric Power Application，2011，5（9）：691-696.

[21] 黄学雨， 罗华. 融合正余弦策略的算术优化算法［J］. 计算机工程与科学，2023，45（7）：1320-1330.

[22] HUANG Xueyu， LUO Hua. An Arithmetic Optimization Algorithm Integrating Sine-cosine Strategy［J］. Computer Engineering & Science， 2023，45 （7）：1320-1330.

基金资助

国家自然科学基金(U1504623)

河南省软科学研究计划(252400410717)

河南省高等教育教学改革研究与实践项目（研究生教育类）(2023SJGL X144Y)

河南理工大学研究生教改项目(2023YJ20)