基于流模型的冗余机器人逆运动学解高精度计算

High-precision Computation of Inverse Kinematics for Redundant Robots Based on Flow Model

摘要

为提高深度神经网络计算冗余机器人逆运动学解的精度，并降低自碰撞解的出现概率，提出了一种基于条件标准化流模型的求解方法。采用改进列文伯格-马夸尔特（L-M）算法对条件标准化流模型生成的初始解进行二次优化以提高计算精度。通过提取自碰撞先验信息训练多层感知机，构造自碰撞解检测器以剔除自碰撞解。结果表明，求解的位置和角度误差分别小于0.01 mm和0.1°，自碰撞率低于0.1%，并且单次计算的时间稳定在10 ms以内。该方法可用于对冗余机器人逆运动学问题的高效稳定求解。

Abstract

To improve the accuracy of deep neural networks in solving inverse kinematics for redundant robots and reduce the probability of self-collision solutions， a solution method was proposed based on the conditional normalizing flows model. An improved L-M algorithm was employed to perform secondary optimization on the initial solutions generated by the conditional normalizing flows model to enhance computational accuracy. Furthermore， by training a multi-layer perceptron with extracted self-collision prior knowledge， a self-collision solution detector was constructed to filter out self-collision solutions. The results demonstrate that the calculated positional and angular errors remain below 0.01 mm and 0.1° respectively， the self-collision rate is maintained under 0.1%， and the single computation time is consistently within 10 ms. This method enables efficient and stable solutions for inverse kinematics problems in redundant robots.

Graphical abstract

关键词

逆运动学 / 冗余机器人 / 条件标准化流 / 列文伯格-马夸尔特算法

Key words

inverse kinematics / redundant robot / conditional normalizing flow / Levenberg-Marquardt（L-M） algorithm

Author summay

印峰^*（通信作者），男，1983年生，博士、副教授。研究方向为机器人技术。E-mail：[e-mail]。

0 引言

机器人逆运动学作为机器人运动规划的核心问题，旨在通过末端执行器的期望位姿反解关节空间参数，其求解质量直接影响机器人系统的运动性能和任务执行能力。特别地，对于具有运动冗余特性的机器人系统，其高维度解空间和无穷多解特性在提高避障能力与操作灵活性的同时，也会显著增加逆运动学求解的计算复杂度。

人工智能技术的发展，特别是深度学习技术的快速发展，为机器人逆运动学求解提供了新的思路。采用径向基函数^［1-2］、误差反向传播神经网络^［3］、卷积神经网络^［4］等神经网络方法，通过离线训练建立位姿-关节映射关系，可有效规避实时计算负担，但其性能受样本规模和质量以及模型泛化能力影响较大。而粒子群优化算法^［5］等启发式优化方法同样面临着时实性差、解精度不足和初始值敏感等问题。

可逆神经网络因其独特的双向映射特性，为逆运动学求解提供了新的技术突破方向。ARDIZZONE等^［6］论证了可逆神经网络在三自由度机械臂上求解逆运动学方法的可行性。GARG等^［7］将可逆神经网络应用于连续体冗余机械臂求解。AMES等^［8］将标准化流^［9］扩展到冗余机器人逆运动学领域，采用单一网络GLOW^［10］同时预测双向缩放参数，加快了耦合层的计算速度。KINGMA等^［10］提出可使用Trac-IK^［11］优化解决方案，并将自碰撞问题作为后续的研究方向。HABEKOST等^［12］受CycleGAN^［13］的启发，提出了CycleIK_MLP和CycleIK_CGAN两种架构，后续使用Gaikpy^［14］进行优化，但在训练过程中均出现了不同程度的稳定性问题。综合现有研究，基于流模型的机器人逆运动学求解方法虽然能够提高整体计算效率，但同样面临求解精度有限和单次求解不稳定等问题^［15］。值得注意的是，在实际工程应用中，逆运动学解的物理可行性评估是确保系统安全的关键环节。现有基于深度学习的求解方法尚未建立有效的碰撞约束整合机制，从而可能导致生成解集中包含不可行解。

综上所述，针对冗余机器人控制问题，如何快速精确地计算其逆运动学解，减少对样本数量的依赖以满足不同应用场景的需求，同时兼顾解集的丰富性和可行性，是当前有待解决的问题。 针对以上挑战，本文在L-M（Levenberg-Marquardt）算法与条件可逆网络的基础上，提出一种基于条件标准化流模型的冗余机器人逆运动学求解方法（normalizing optimization with conditional flows for inverse kinematics，NOC-IK）。该方法旨在降低L-M算法对初始值的敏感性，并充分利用机器人冗余特性，结合条件标准化流模型快速生成多样化和高质量的冗余机器人逆运动学解。针对自碰撞解检测问题，采用多层感知机评估碰撞成本，剔除解集中可能存在的自碰撞解，以确保机器人的运动可靠性。

1 冗余机器人逆运动学问题分析

关节自由度等于或低于任务空间维度的非冗余机器人的运动学方程构成严格的双射关系，解的存在性和唯一性受限于机械结构的几何约束，当雅可比矩阵满秩时，可通过数值法或解析法直接获得有限数量的确定解。相比之下，冗余机器人的关节自由度大于任务空间维度，导致运动学方程存在欠定性特征，使得方程解空间构成高维连续流形，其逆解具有无穷多性。这种冗余特性虽赋予了系统规避奇异构型、避障及优化能耗的潜在优势，却使传统逆解方法面临根本性挑战。从本质上分析，冗余机器人系统的核心特征在于其无穷多解特性，这与非冗余系统的有限解集形成根本性差异。非冗余系统在雅可比矩阵满秩时，其逆运动学解的个数通常为有限解，而冗余系统由于存在零空间自由度，将产生维度n≥1的解流形。这意味着在满足末端执行器运动必要约束的条件下，冗余机器人能够在零空间内自由选择合适的配置，从而为后续路径规划中实现能量最优、避免环境碰撞和时间最优等次级优化目标提供可能性和灵活性。

针对上述问题，近年来有研究者提出了基于流模型的冗余机器人逆运动学求解框架。已知机器人末端位姿变量\mathit{y}\in \mathit{S}\mathit{E}(\mathrm{3})，正运动学模型\mathit{y}=f(\mathit{x})，以及待求解的关节旋转角度变量\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n，可将逆运动学的模型表示为条件概率P(\mathit{x}|\mathit{y})。

流模型通过可逆神经网络g_{\theta }显式地建立关节空间到任务空间的概率映射模型，并建立如下双射关系：

\mathit{z}=g_{\theta }(\mathit{x}|\mathit{y})\mathit{x}={g_{\theta }}^{-\mathrm{1}}(\mathit{z}|\mathit{y})

\mathit{x}=({\theta }_{\mathrm{0}},{\theta }_{\mathrm{1}},\cdots ,{\theta }_N)

其中， z 服从正态分布，条件变量 y 通过耦合层输入可逆网络。根据变量替换定理，联合概率密度满足

P_{X|Y}(\mathit{x}|\mathit{y})=P_Z(g_{\theta }(\mathit{x}|\mathit{y}))\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\frac{\partial g_{\theta }}{\partial \mathit{x}}\right|（1）

流模型通过设计分层可逆变换拟合g_{\theta }：

g_{\theta }=g_{\mathrm{0}}{g}_{\mathrm{1}}\cdots g_N（2）

网络训练完成后，采样流程为：从正态分布P_Z(\mathit{z})中抽取潜在变量 z，再通过逆变换\mathit{x}={g_{\theta }}^{-\mathrm{1}}(\mathit{z}|\mathit{y})生成关节构型 x。

流模型的可逆特性允许从数据分布中精确采样符合运动学约束的关节构型，避免了传统迭代法的收敛性问题；其次，概率密度函数的显式建模可量化解的置信度，为多解选择提供统计依据。这种数据驱动的求解范式通过高维流形嵌入技术，将原本离散的逆解搜索转化为连续概率空间采样问题，为突破冗余机器人逆运动学求解的“维度灾难”提供了一种可行的解决方案。

2 方法

2.1 条件标准化流模块

本文采用条件标准化流（conditional normalizing flows，CNF）模型中的条件可逆耦合层拟合可逆且行列式易于计算的变换，将复杂的冗余机器人逆运动学解分布转换为简单的初始分布，并据此进行生成式建模。当CNF模型训练完成后，可以从初始正态分布中采样，并通过一系列条件可逆耦合层模块生成符合目标分布的冗余机器人逆运动学解样本。

本文使用轻量级数据集学习给定的三维坐标（p_{\mathrm{0}},p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}）和四元数（q_{\mathrm{0}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{3}}）表示机器人的位置与姿态的笛卡儿位姿，即\mathit{p}=(p_{\mathrm{0}},p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{0}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{3}})，对应关节变量\mathit{x}的解集分布，实现对逆运动学解的初步预测。对应条件数据 y 的前三维分量如图1所示，可表示机器人的工作空间。

首先，条件标准化流模型需要选择一个简单的初始分布，本文选择易于计算的标准正态分布作为初始分布。

其次，标准化流一系列的可逆转化函数由条件可逆耦合层模块转换拟合。由于引入了条件变量 y 对模型生成进行目标笛卡儿位姿的约束，模型的输入数据集由一一对应的 x 与 c 构成的字典组成。关节变量\mathit{x}在关节范围内通过均匀采样产生，如下式所示：

\mathit{x}~\mathit{U}(u_{\mathrm{l}},u_{\mathrm{u}})（3）

其中，u_{\mathrm{l}}为关节下限；u_{\mathrm{u}}为关节上限。为降低学习模型生成自碰撞解的概率，对其中产生自碰撞的\mathit{x}重新采样。利用正向运动学方程求得 x 对应末端位姿 y 作为条件变量 c。同时计算过程中使用NVIDIA Warp^［16］用于GPU加速计算。

条件标准化流模块网络结构如图2所示，整体架构参考IKFLOW的条件标准化流网络。针对耦合层的参数本文使用一个整体网络进行计算，将缩放尺度拟合成函数\varphi (s,t)。

在训练过程中使用SoftFlow^［17］进行训练策略优化，具体将输入变量 x 和条件变量 c 按下式进行Softflow噪声处理：

\mathit{x}=\mathit{x}+\mathit{v}\mathit{v}~N(\mathrm{0},C^{\mathrm{2}}\mathit{I})

其中，C为潜在噪声缩放因子，该参数值决定了从潜在分布中抽取的噪声幅度和范围， I 为单位阵， v 为从潜在分布中抽样并乘以噪声缩放尺度C的噪声。将缩放因子C添加到条件变量 c 后，得到更新后的条件变量［ cC］，在后续推理过程中可将C置为0以消除引入噪声的影响。综合缩放函数\varphi (s,t)与缩放因子C，可构造如下的对数似然损失函数：

L=-\mathrm{l}\mathrm{n}(P_Z(\mathit{z}))-\mathrm{l}\mathrm{n}{\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\frac{\partial g(\mathit{z}|\mathit{p},C,\varphi (s,t))}{\partial {\mathit{z}}^{\mathrm{T}}})\right|}^{-\mathrm{1}}（4）

参考cINN^［18］网络对数似然函数，将损失函数进一步优化为

L=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{z}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{l}\mathrm{n}{\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\frac{\partial g(\mathit{z}|\mathit{p},C,\varphi (s,t))}{\partial {\mathit{z}}^{\mathrm{T}}})\right|}^{-\mathrm{1}}（5）

根据损失函数衡量生成分布与目标分布之间的差异，本文具体采用Ranger优化器训练网络模型，使得生成的分布逐渐逼近目标分布。

最后，在条件标准化流网络模型训练完成后，即从初始的正态分布中，在给定条件 y 的情况下进行采样，从而生成符合特定条件 y 的冗余机器人逆运动学解的样本。

2.2 L-M优化模块

为了提高由上述条件标准化流网络求得的逆解的精度，将初始解的优化计算转换为一个非线性最小二乘问题，并通过改进的L-M算法进行二次优化求解。与常用于解决非冗余机器人逆运动学的随机梯度下降法不同，L-M算法利用一阶导数信息对目标方程的Hessian矩阵进行近似，当初始值接近有效解时，L-M算法仅需个位迭代次数就能快速找到有效解，从而实现对最小二乘问题的更高效求解。但是L-M算法对初始值选取依赖性较高，当初始值位置偏离有效解时，对算法的收敛速度会产生较大的影响。对于L-M算法，采取合理的阻尼因子策略可使得在满足局部误差界条件下具有局部二阶收敛性，从而加快算法的收敛速度，通过优化信赖阈半径判断条件能进一步提高算法精度。受文献［19-20］工作的启发，本文对L-M算法的收敛评价指标与阻尼因子调整策略进行了改进，主要改进思路为：舍去计算精度达到设定的阈值后的分支评判过程，改为直接输出，同时将阻尼因子{\lambda }_k（k为迭代步数）在信赖阈半径调整策略中的定义优化为

{\lambda }_k=\frac{{\mu }_k{‖F({\mathit{x}}_k)‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+{‖F({\mathit{x}}_k)‖}^{\mathrm{2}}}（6）

式中：{\mu }_k为（0，1）内的可调参数。

同时，引入下式所示的收敛评价指标判断迭代步的有效性：

r_k=\frac{{‖F({\mathit{x}}_k)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-{‖F({\mathit{x}}_k+{\mathit{d}}_k)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{{‖F({\mathit{x}}_k)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-{‖F({\mathit{x}}_k)+{\mathit{J}}_{\mathit{k}}{\mathit{d}}_k)‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}（7）

其中，{\mathit{d}}_k表示第k次搜索方向变量，{\mathit{J}}_{\mathit{k}}为机器人雅可比矩阵。改进L-M的目标函数F(\mathit{x})是将所求解\mathit{x}代入正运动学方程f(\mathit{x})与目标位姿（也就是条件变量 y ）的误差，可记作

F(\mathit{x})=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖f(\mathit{x})-\mathit{y}‖}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}（8）

记输入为{\mathit{x}}_k、{\mu }_k，输出为{\mathit{x}}_{k+\mathrm{1}}、{\mu }_{k+\mathrm{1}}，改进L-M算法的计算流程如下：

1）取初始值{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}为模型生成的冗余机器人逆运动学解{\mathit{x}}_k，并对参数μ_k，常数c₁、c₂、c₃，迭代次数k和目标精度ε进行初始化。其中，c₁用来判断迭代步是否有效，c₂、c₃为用来减小和增大信赖域半径变化的幅值。

2）依据式（6）计算{\lambda }_k，代入计算梯度下降方向变量{\mathit{d}}_k。

3）依据式（7）计算收敛评价指标r_k。

4）判断迭代步是否有效，当时转到步骤5），否则转到步骤6）。

5）更新{\mu }_{k+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{2}}}{\mu }_k、{\mathit{x}}_{k+\mathrm{1}}={\mathit{x}}_k+{\mathit{d}}_k，输出{\mathit{x}}_{k+\mathrm{1}}、{\mu }_{k+\mathrm{1}}。

6）更新{\mu }_{k+\mathrm{1}}=c_{\mathrm{3}}{\mu }_k、{\mathit{x}}_{k+\mathrm{1}}={\mathit{x}}_k，输出{\mathit{x}}_{k+\mathrm{1}}、{\mu }_{k+\mathrm{1}}。

后续实验结果表明，上述改进可以较明显地提高L-M算法的速度。

2.3 自碰撞检测模块

机器人碰撞检测模型的常规构建方法如图3所示。本文采用胶囊模型建立自碰撞检测模型，具体步骤是将机器人的连杆用三维的胶囊模型表示并相连，通过计算胶囊模型之间的最小距离来近似替代每个可碰撞的连杆对的距离，整个机器人碰撞的成本通过对每个可能发生自碰撞的碰撞对进行加权计算求出。

对于连杆对自碰撞解的检测问题， 可通过计算胶囊之间的最小距离判断物体间是否会发生碰撞。该最小距离通常取两个点集合{\Omega }_A、{\Omega }_B之间的最小欧氏距离d({\Omega }_A,{\Omega }_B)：

d\left({\Omega }_A,{\Omega }_B\right)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{‖a-b‖:a\in A,b\in B\}（9）

其中，A、B由构成物体空间的有限个点组成。Gilbert-Johnson-Keerthi（G-J-K）算法^［21］依据式（9）计算紧凸集的支持函数和映射，通过改变内切单纯形使原点和单纯形之间的欧氏距离逐渐收敛到原点和集合之间的最小欧氏距离。将G-J-K算法用于碰撞检测可以计算两个分离集合之间的最小距离，但缺点是无法判断两个集合在重叠时相互穿透的深度。另一种常用的FCL（flexible collision library）碰撞库检测算法支持通过G-J-K算法或其他距离计算算法计算物体形状为胶囊A、B的正交距离，检测过程可表示为求解下述方程：

d({\Omega }_A,{\Omega }_B)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\mathrm{0},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{‖a-b‖\}-({\rho }_{\mathrm{1}}+{\rho }_{\mathrm{2}})\}（10）

式中：{\rho }_{\mathrm{1}}、{\rho }_{\mathrm{2}}为胶囊横截面圆形半径。

由式（10）可明显看出胶囊A、B间距离默认大于等于0，这是由机器人运动规划需要实时避免碰撞的任务所决定的。如图4所示，文献［22］将两个胶囊之间的最小距离简化为计算胶囊轴上两个线段之间的最小距离。其中，{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}\mathbf{、}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{p}}_{\mathrm{2}}、{\mathit{u}}_{\mathrm{2}}分别表示胶囊1和胶囊2中心轴段端点的位置矢量。则两个胶囊的中心轴矢量分别为

{\mathit{s}}_{\mathrm{1}}={\mathit{u}}_{\mathrm{1}}-{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}{\mathit{s}}_{\mathrm{2}}={\mathit{u}}_{\mathrm{2}}-{\mathit{p}}_{\mathrm{2}}

进一步可得两个胶囊中心轴上的点到基坐标系的距离分别为

{\mathit{r}}_{\mathrm{1}}={\mathit{p}}_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\mathit{s}}_{\mathrm{1}}{\mathit{r}}_{\mathrm{2}}={\mathit{p}}_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\mathit{s}}_{\mathrm{2}}

其中,{\gamma }_{\mathrm{1}}、{\gamma }_{\mathrm{2}}为[\mathrm{0,1}]的参数，用于将点限制在胶囊中心轴上。于是计算胶囊之间的最小距离可表示为如下最小值问题：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(|{\mathit{p}}_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\mathit{s}}_{\mathrm{2}}-({\mathit{p}}_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\mathit{s}}_{\mathrm{1}})|-({\rho }_{\mathrm{1}}+{\rho }_{\mathrm{2}}))（11）

由于上述半径是常量，故式（11）最小值问题可简化为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\Delta }\mathit{r})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(|{\mathit{p}}_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\mathit{s}}_{\mathrm{2}}-({\mathit{p}}_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\mathit{s}}_{\mathrm{1}})|)（12）

其中，\mathrm{\Delta }\mathit{r}={\mathit{r}}_{\mathrm{1}}-{\mathit{r}}_{\mathrm{2}}，同时令

\mathit{A}=[{\mathit{s}}_{\mathrm{2}}-{\mathit{s}}_{\mathrm{1}}]\mathit{y}={\mathit{p}}_{\mathrm{2}}-{\mathit{p}}_{\mathrm{1}}（13）

进一步地可将式（12）改写为如下等价的二次形式：

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(f)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({(\mathit{A}\mathit{x}+\mathit{y})}^{\mathrm{T}}(\mathit{A}\mathit{x}+\mathit{y}))（14）

将式（13）中的矩阵 A 进行正交三角形矩阵（ QR ）矩阵分解，同时令\mathit{u}=\mathit{R}\mathit{x}+{\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}，可得

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(f)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathit{u}}^{\mathrm{T}}\mathit{u})（15）

通过变量替换，函数的成本函数集由椭圆变成圆形，可行解的边界缩小为原问题的子集，检测问题转化为找到在2D空间中最接近原点的点，胶囊之间的最小距离最终可表示为

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(d)=\sqrt[]{{\mathit{u}}_{\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{n}}^{\mathbf{T}}{\mathit{u}}_{\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{n}}^{}+{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}-{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{Q}{\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}}-({\rho }_{\mathrm{1}}+{\rho }_{\mathrm{2}})（16）

通过式（16）不仅可以计算两个分离集合之间的最小距离，还能求得两个集合在重叠时相互穿透的深度。

经上述L-M算法二次优化获得的逆解往往包含有自碰撞解。受RAKITA等^［23］的启发，本文通过计算逆运动学自碰撞成本来检测自碰撞解。值得注意的是，文献［23］提出的自碰撞检测方法处理的是机器人动态规划问题，在设计自碰撞成本函数时，将两个碰撞对的距离都默认为非负值，并且还需考虑碰撞对的原始距离和当前状态距离，当机器人接近碰撞时就会指数倍地增加碰撞成本。为此，设计了如下自碰撞检测任务的自碰撞成本函数：

col(\mathit{\Theta })=\sum _{i,j}b{\mathrm{e}}^{-d(A_i,B_j)}（17）

其中，A_i、B_j分别表示两个碰撞对胶囊，它们的最小距离d(A_i,B_j)采用式（17）进行计算，b为不同碰撞对的权重系数。具体采用图5所示的多层感知机计算成本函数，自碰撞检测过程包括两个主要步骤：

1）将自碰撞成本设定为一个平滑的连续函数col(\mathit{\Theta })，该函数具有在碰撞发生时得分高、不发生碰撞时得分低的特性。

2）采用多层感知机学习步骤1）中的函数。由于多层感知机预测自碰撞不需要遍历每个关节的其他碰撞参数，而只需要输入给定冗余机器人逆运动解，因此可显著提高自碰撞检测速度。另外，计算碰撞距离得分时所使用的碰撞原型为近似机器人几何形状的胶囊，这种扩展不针对特定构型的机器人，默认除去非连杆关节外的各个连杆组成的胶囊之间均为有效碰撞对。自碰撞检测模块的具体检测流程如图6所示。

3 实验结果及分析

为了确保实验结论的客观性，本节分别采用7自由度Panda、Kuka-Iiwa7和8自由度Fetch三种型号的冗余机器人对本文方法进行模拟仿真测试和性能评估。需要说明的是，本文方法对7自由度及以上具有机械臂结构的冗余机器人均是适用的。用于机器人建模的URDF文件是由机器人厂家官方提供的，该文件用于描述机器人的几何结构和动力学特性。利用Python中的机器人库（ROS）加载URDF文件，并模拟实际求解过程以评估算法的精度和速度。如表1所示，按照最大均值差异（maximum mean discrepancy， MMD）得分，选择最接近0的生成质量最好的模型进行初始解的生成。

本文所提出的框架在Intel Core i7-12700K PC上实现，带16 GB RAM和NVIDIA GeForce RTX 3060 GPU。系统环境为Ubuntu 20.04。CUDA版本是10.1，PyTorch版本是1.7.0，NOC-IK算法由Python 3.8编译和执行。

3.1 条件标准化流模块实验结果

表2所示为采用IKFLOW求解的结果，其中，平均L2误差最小可达毫米级，平均角度误差约为3°，存在自碰撞解。表3所示为同等测试条件下条件标准化流模块的求解结果，其中，平均L2误差达到毫米级，平均角度误差小于2°，同样存在自碰撞解。平均L2位置误差是用于评估估计位置与实际位置之间的误差的指标，平均角度误差是用于评估估计姿态与实际姿态之间误差的指标。可见相比采用IKFLOW逆运动学求解，采用条件标准化流模块的平均角度误差均减小，平均L2误差降低幅度则有限，但是求解时间明显缩短，而自碰撞概率也因为模型生成精度提高而减小。

在关于Fetch机器人的两组对比实验中，当隐藏层数取12时，本文方法在其中两项指标上均略微劣于对比方法。当将隐藏层数增加到16时，本文方法在上述四项指标上均优于对比方法。上述结果说明，隐藏层数量是影响网络性能的一个重要参数。并且当网络得到充分训练时，本文方法在整体性能上展现出了优越性。

3.2 L-M优化模块实验结果

图7所示为对L-M优化模块改进效果的测试结果，并与IKFLOW求解结果进行了对比。

测试过程是求出其末端位姿并与真实位姿进行对比，该误差值分布可以客观地反映出算法精度和全局一致性。由图7可知，IKFLOW在求解过程中容易产生较大波动；经过L-M优化后，位置和角度误差分别降低至0.01 mm和0.1°以内，显著提高了计算的稳定性和精度。

3.3 自碰撞检测模块实验结果

以Panda机器人为例，随机生成100组目标末端姿态量，以定量的方式比较不同自碰撞检测方法。表4所示结果表明，三种自碰撞检测方法均成功剔除了所有的自碰撞解，但本文提出的多层感知机（MLP）检测方法在测试速度上具有明显的优势。

3.4 消融实验结果

表5所示为求解100个随机目标末端姿态时，每个目标姿态对应的100组逆运动学解结果。其中，CNF表示仅使用CNF网络来求逆解的结果。CNF+L-M表示使用CNF网络和改进L-M算法二次优化求解，NOC-IK指在CNF网络和改进L-M算法二次优化求解后应用自碰撞优化模块。由表5所示消融实验结果可知，在未显著增加计算耗时的前提下，采用本文的计算方法可以显著提高求解精度，同时降低自碰撞率。

3.5 整体实验结果

对本文提出的NOC-IK方法的整体性能进行测试，结果如图8和图9所示。由于Kuka生产的机器人Iiwa7在机械结构上的设计使得自碰撞解产生概率较低，本节及后续涉及到自碰撞检测时选择国内生产的Rzion4冗余机器人进行替代。

在实时性方面，采用NOC-IK方法计算单个解的平均耗时小于0.5 ms。而由图9可知，生成的5000组解中自碰撞检测准确率平均达到99.93%，可有效剔除自碰撞解。表6所示为本文方法与其他常用深度学习模型的对比结果。可知NOC-IK在均方误差和平均自碰撞概率上具有较明显的优势；同时，与其他在检测精度上较优秀的方法保持了相近的计算效率。需要说明的是，表6中文献［15］未计算自碰撞概率，而其余用于比较的模型因为输出为单个解，无法直接与多解输出模型直接比较，故表6中未对比它们的自碰撞概率。

4 结语

本文提出了一种基于条件标准化流模型的冗余机器人逆运动学求解方法。首先利用条件标准化流求解冗余机器人的逆运动学初始解集，然后通过改进的L-M算法对解集进行二次优化以提高解的精度，最后引入多层感知机实现了对机器人自碰撞的快速检测，进一步提高了解的质量。该方法具有较高的求解精度、计算效率和鲁棒性。然而，本文中取得的所有测试结果均是模拟仿真而非实际测试的结果，并且尚未涉及检测机器人与周围环境之间碰撞的情况。在实际应用中，机器人不仅需要考虑自碰撞，还需避免与静态或动态障碍物发生碰撞，因此，确定环境运动碰撞状态并有效避免潜在的环境碰撞成为未来研究的重要方向。未来工作的重点将集中在两个方面：一是为系统添加额外的关节限制、避障和运动能耗函数等，以进一步优化机器人在特定任务中的性能；二是将本文所提方法应用于运动规划领域，作为运动规划的基础，从而完善整个机器人的空间运动规划系统。

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基金资助

湖南省教育厅优秀青年项目(23B0172)