激光高速高精加工非均匀有理B样条曲线插补方法

NURBS Curve Interpolation Methods for Laser High-speed and High-precision Machining

摘要

为解决非均匀有理B样条（NURBS）曲线在实时系统中难以动态计算的问题，提出了一种基于加速度连续加减速规划的实时NURBS曲线插补方法。将曲线在曲率极值处打断，通过预处理赋以曲线合理的衔接速度，全程使用S形速度规划方法保证速度和加速度连续，加加速度峰值可控。实验结果表明，所提出的方法能够实现单轴加速度连续。在使用NURBS曲线加工时该方法可以有效处理频繁的曲率变化带来的单轴速度的平滑度损失，保持整个加工过程中单轴加速度的连续变化，有效减小单轴加加速度的峰值，同等激光加工机床设备下比传统的插补规划方法具备更高的效率和精度，工件加工质量更好。

Abstract

To address the challenges of dynamic computation of NURBS curves in real-time systems， a real-time NURBS curve interpolation method was proposed based on acceleration-continuous ramp-up and ramp-down planning. The curves were interrupted at the curvature extrema， and reasonable connection speeds were assigned through preprocessing. S-curve velocity planning was employed throughout to ensure continuity of speed and acceleration， with controllable acceleration peaks. Experimental results demonstrate that the proposed methods achieve single-axis acceleration continuity. During the processing with NURBS curves， the losses of smoothness in single-axis speed caused by frequent curvature changes were effectively handled， and continuous variations in single-axis acceleration were maintained throughout the machining processes， significantly reducing peak values of single-axis acceleration. Under the same laser machining equipment， the proposed interpolation planning method exhibits higher efficiency and accuracy than that of traditional methods， resulting in improved workpiece quality.

Graphical abstract

关键词

非均匀有理B样条曲线 / 加速度平滑 / 速度规划 / 激光高速高精加工

Key words

non-uniform rational B-splines（NURBS） curve / acceleration smoothing / velocity planning / high-speed and high-precision laser processing

Author summay

封雨鑫，男，1988年生，博士研究生、高级工程师。研究方向为控制技术、数控系统及激光加工智能控制。E-mail： [e-mail]

刘坚^*（通信作者），男，1964年生，教授、博士研究生导师。研究方向为智能制造、工业工程。E-mail： [e-mail]。

0 引言

随着智能制造领域的飞速发展，激光切割越来越追求高速度、高精度和高效率^［1-3］。虽然现在的激光切割系统能够对简单的自由曲线进行加工，但对于大多数复杂繁琐的零部件来说，仍需要将大量小线段轨迹拟合为非均匀有理B样条（non-uniform rational B-splines，NURBS）曲线进行处理^［4］。而传统的NURBS曲线插补算法大多局限于轨迹速度控制，容易出现单轴加速度的跳变，在高速激光加工中会严重影响激光切割工件的表面质量和精度^［5-6］。因此，研究一种单轴加速度连续的NURBS曲线插补方法，保证激光切割的连续性、稳定性及高精度是非常必要的^［7-8］。为了改善NURBS插补加工的平稳性和加工效率^［9］，国内外学者提出了大量的样条规划和插补方案^［10-11］。

出于对加工平稳性和速度平滑性的要求，文献［12］结合NURBS曲线的轨迹精度约束与基于加加速的七段速度规划方法，通过限制每次插补的B样条控制量进行速度控制，但该方法没考虑单轴速度的平滑。对曲线精度、加速度及加加速度进行峰值限制是平滑轨迹形态的有效策略，但这会导致单轴速度突变，影响激光加工的平稳性^［13-14］。为此，文献［3］将插补过程的位移变化计算方式与B样条控制量的变化值关联，根据NURBS曲线形态对插补速度进行约束，构造了平滑的速度规划方法，但最终的单轴加加速度峰值依旧很大。基于S形速度双向规划可解决样条曲线过度分段导致加加速度峰值过大的缺陷，但是要限制法向加速度和切向速度以保证精度偏差在给定约束范围内^［15-16］。

在提高加工效率方面，文献［9］为NURBS插值提出了一种新的参数化方法，但没有充分考虑拐角速度的变化。非对称式拐角过渡曲线可有效约束拐角的速度变化^［17］，但是在线计算量很大。为此，使用S形速度规划和补偿插值方法可显著减小实时的计算量，还能降低激光加工的累计误差^［18］，但是会存在因分割段短小导致频繁加减速的缺陷。文献［19］提出了一种基于长度阈值的分段方法来克服频繁加减速的缺陷，同时设计了一种加加速连续的进给曲线来减少进给率波动并提高效率，但是这样会导致样条弧长参数计算复杂。自适应辛普森积分法可通过比例优化结果实现弧长和参数的高精度逆计算^［20-21］，但这种方法对激光场景的适应性较差，仅适用于理想的加工环境^［22］。

综上所述，以上这些方法主要通过NURBS曲线轨迹本身的属性来约束轨迹切割速度而没有关注单轴加工加速度的变化率，而这些方法在平面高速激光加工场景的应用较少。本文在前人研究的基础之上，提出了一种适用于激光高速高精加工的基于加速度平滑加减速规划的实时NURBS曲线插补方法。通过计算曲线的曲率极大值点进行轨迹计算单元的分段处理，然后将加速度与加加速和曲线曲率结合，计算每个计算单元起终点的限制速度，最后通过速度规划进行速度可达性检验，从而保证整体规划的可行性。较传统插补方法而言，本文插补方法可以在单轴上获得更低的加加速度，同等机床振感下加工速度和加速度更快，加工质量更高。

1 NURBS曲线插补

NUBRS曲线的节点参数沿参数轴的分布是不等距的，一条k次NUBRS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数：

p\left(u\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{w}_i{d}_i{N}_{i,k}(u)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{w}_i{N}_{i,k}(u)}（1）

其中，w_i为权因子，分别与控制顶点d_i相关联。首末权因子w_{\mathrm{0}}、w_n\mathrm{均大}\mathrm{于}\mathrm{0},其余w_i\ge \mathrm{0}，以防止分母为零，从而保留曲线凸包性质及曲线不会因为权因子而退化为一点；N_{i,k}(u)是由节点矢量\mathit{U}=(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},u_{n+k+\mathrm{1}})按德布尔-考克斯递推公式决定的k次规范\mathrm{B}样条基函数，即

N_{i,k}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{c}{N}_{i,\mathrm{0}}(u)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}{u}_i\le u\le u_{i+\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}\mathrm{其他}\end{array}\right.\\ \begin{array}{l}{N}_{i,k}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+k}-u_i}{N}_{i,k}(u)+\\ \frac{u_{i+k+\mathrm{1}}-u}{u_{i+k+\mathrm{1}}+u_{i+\mathrm{1}}}{N}_{i+\mathrm{1},k-\mathrm{1}}(u)\\ k\ge \mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{其中}:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}=\mathrm{0}\end{array}\right.（2）

1.1 NURBS坐标计算

样条插补的主要过程在于确定下一个插补点的参数u值，本文方法是基于样条参数u相对于时间t的泰勒级数展开，通过对曲线求导，根据当前u_i值确定下一个参数u_{i+\mathrm{1}}：

u_{i+\mathrm{1}}=u_i+\frac{VT}{{\left.\sqrt[]{(\dot{x}{(u))}^{\mathrm{2}}+(\dot{y}{(u))}^{\mathrm{2}}+(\dot{z}{(u))}^{\mathrm{2}}}\right|}_{u=u_i}}（3）

式中:x\mathrm{、}y\mathrm{、}z为各轴插补点的坐标，实际计算中忽略高次项以简化计算;V为轨迹速度；T为周期时间。

在进行插补速度计算时，需先对曲线的曲率k进行计算。通过对曲线函数表达分析来看，曲线的求导主要是基函数对参数u的求导，权值和控制点坐标可视为常数。而基函数的求导可通过以下方式进行：

\frac{\mathrm{d}{N}_{i,k}(u)}{\mathrm{d}u}=k(\frac{N_{i,k-\mathrm{1}}(u)}{u_{i+k}-u_i}-\frac{N_{i-\mathrm{1},k-\mathrm{1}}(u)}{u_{i+k+\mathrm{1}}-u_{i+\mathrm{1}}})（4）

可计算得到一阶导：

\dot{y}(x)=\frac{\dot{y}(u)}{\dot{x}(u)}（5）

\left.\begin{array}{l}f(u)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{d}_i{w}_i{N}_{i,k}(u)\\ g(u)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{w}_i{N}_{i,k}(u)\end{array}\right\}（6）

\begin{array}{c}\dot{x}(u)=\frac{{\dot{f}}_x^{}(u)g(u)-f_x(u)\dot{g}(u)}{g^{\mathrm{2}}(u)}\\ \dot{y}(u)=\frac{{\dot{f}}_y^{}(u)g(u)-f_y(u)\dot{g}(u)}{g^{\mathrm{2}}(u)}\\ \dot{z}(u)=\frac{{\dot{f}}_z^{}(u)g(u)-f_z(u)\dot{g}(u)}{g^{\mathrm{2}}(u)}\end{array}

其中,{\dot{f}}_x^{}(u)为f(u)关于x的偏导数，{\dot{f}}_y^{}(u)为f(u)关于y的偏导数，{\dot{f}}_z^{}(u)为f(u)关于z的偏导数。同理可得二阶导：

\ddot{y}(x)=\frac{\ddot{y}(u)\dot{x}(u)-\dot{y}(u)\ddot{x}(u)}{(\dot{x}{(u)}^{\mathrm{3}})}（7）

以“蝴蝶”图形样条轨迹为例，其NURBS曲线插补的示意图见图1。

1.2 S形速度规划

在NURBS曲线插补时，其中重要的一个步骤是提前求解NURBS曲线的弧长，即曲线长度。为了保证规划速度的加速度平滑度，基于加加速度来构造速度规划模型，即控制合速度中的加加速度以实现加速度的连续变化。

在激光高速加工中，为了维持机床的平稳性，系统的运动控制需要做到加速度a的曲线连续，所以需要控制加加速度j的变化，为此将一个完整的速度规划划分为7个阶段，每个阶段的位移公式即第n阶段末位移S_n(t)与n-\mathrm{1}阶段的速度v_{n-\mathrm{1}}、加速度a_{n-\mathrm{1}}、加加速度j_{n-\mathrm{1}}以及阶段内时间t关系为

S_n\left(t\right)=v_{n-\mathrm{1}}t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}_{n-\mathrm{1}}{t}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{j}_{n-\mathrm{1}}{t}^{\mathrm{3}}（8）

其中各阶段内每一时间t下样条轨迹弧长变化为

∆L=S_n\left(t\right)-S_n\left(t-\mathrm{1}\right)（9）

通过对不同阶段的k取不同值形成完整的7段规划，其中各阶段的参数计算如下：

v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}j{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{1}}]\\ v_{\mathrm{1}}+a{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{2}}]\\ v_{\mathrm{2}}+at-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}j{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{3}}]\\ v_{\mathrm{3}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{4}}]\\ v_{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}j{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{3}}]\\ v_{\mathrm{5}}-a{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{2}}]\\ v_{\mathrm{6}}-at+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}j{t}^{\mathrm{2}}t\in [\mathrm{0},t_{\mathrm{1}}]\end{array}\right.（10）

其中，起点加速度默认为0，起点加加速度为0，起点速度\mathrm{为}{v}_{\mathrm{0}},t_{\mathrm{1}}表示加加速阶段时间、t_{\mathrm{2}}表示匀加速阶段时间、t_{\mathrm{3}}为减加速阶段时间、t_{\mathrm{4}}为匀速时间，减速阶段与加速阶段时间一致以保证最终加速度归零。各阶段的速度v_i（i=1，2，…，6）为上一阶段末点速度值。

本文采用数值积分法计算样条曲线弧长，具体是采用复化的Simpson公式计算该样条曲线段的长度，表达式如下：

Q(f)=\frac{b-a}{\mathrm{6}}(f(a)+\mathrm{4}f(\frac{a+b}{\mathrm{2}})+f(b))（11）

其中，f为曲线方程；a、b分别为曲线的起点和终点。

本文所用的复化Simpson公式是将区间[a,b]分成n等份，取h=(b-a)/n，在每个区间[x_i,x_{i+\mathrm{1}}]上应用Simpson公式：

S_n=\frac{h}{\mathrm{6}}[f(a)+\mathrm{4}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}f(x_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(x+\mathrm{1})})+\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}f(x_i)+f(b)]（12）

x_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(x+\mathrm{1})}=x_i+\frac{h}{\mathrm{2}}

取误差控制项为

E=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\left|S_n(f)-S_{n-\mathrm{1}}(f)\right|（13）

当误差E小于给定误差c时，此时的长度就是近似的曲线长度。

对样条曲线p(u)=(x(u),y(u),z(u))取微分得

\mathrm{d}p(u)=(dx(u),\mathrm{d}y(u),\mathrm{d}z(u))（14）

其中曲线的弧长为s，可得弧长的微分公式为

\mathrm{d}s=\left|\dot{p}(u)\right|（15）

即推导出Simpson公式中的f=\left|\dot{p}(u)\right|，在已知起点参数值a、终点参数值b、等分数n和允许的近似误差后，代入复化的Simpson公式中就能求解出符合误差范围的曲线弧长。

1.3 曲率极值

曲线插补中一个重要的步骤是根据计算的插补弧长进行单轴速度分解，在这个过程中曲率值会影响轨迹速度分解到单轴之后的各单轴速度曲线形态，其中曲率极值点是速度敏感点，对激光加工的切割速度起约束作用。

根据曲线的一阶导和二阶导求得曲率k及曲率半径\rho分别为

\left.\begin{array}{l}k=\frac{\left|\ddot{y}(x)\right|}{\sqrt[\mathrm{3}/\mathrm{2}]{\mathrm{1}+\dot{y}{(x)}^{\mathrm{2}}}}\\ \rho =\frac{\mathrm{1}}{k}\end{array}\right\}（16）

图2是“蝴蝶”图形的部分曲率图，可以发现存在多个曲率极大值点。根据NURBS曲线数据可以求得曲线各点的曲率值，然后获取曲线中各个曲率极大值点并将其作为分段点，根据图形的曲率极大值点可以确定速度曲线上的极小值点，每两个速度极小值之间进行一次起末点加速度为0的S形速度规划计算，将完整的样条轨迹分解为多段样条进行计算。

2 速度计算策略

在激光高速加工中，为了保证机床的平稳运行，通过计算样条曲线的曲率极大值点来打断样条轨迹，每两个极大值点之间为一次完整的速度规划，需要计算极大值处的最大速度约束。

对多个程序段一起做轨迹规划，计算出各段最适合的进给速度，显然程序段数越多，计算量也就越大。图3为预读和使用单段独立启停时，轨迹速度规划结果的比较示意图。图中N₁表示第一个打断样条段，N_{\mathrm{2}}表示第二个打断样条段，以此类推。由图3可以看出，在使用预读时，运动在执行到中间程序段时不必每段都要执行启停，而仅是在所预读程序段的开始段和结束段进行必要的加减速以实现启停即可，这样中间部分的加减速明显少于单段启停的加工模式，从而有效提高机床加工时可以加速到的最大速度并延长最大速度保持时间，有效缩短加工时间。

在预读模式下，整段样条除启停处的最大速度限制根据速度规划计算外，其他部分以最大进给速度进行限制，在较复杂的NURBS样条插补中，该约束会因曲率变化导致分解到单轴的速度突变从而失去实际意义，因此本文方法参考单段启停模式，将每一段的起终点速度定义为根据曲率极大值点计算出的各点约束速度v_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}}，使用非零速的单段启停的速度形态尽可能在保障曲率速度约束的情况下提高整体效率。

本文案例“蝴蝶”图形中每一段曲线均为根据曲率极大值点打断的多段NURBS轨迹，每段的起终点速度约束为根据曲率极值计算出的速度约束值。

首先根据最大进给速度v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}确定最大速度限制v_{\mathrm{1}}：

v_{\mathrm{1}}=v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}（17）

然后计算每一个曲率极大值点的最大速度限制v_{\mathrm{2}}，以满足曲率半径\rho与精度e的约束：

v_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{t}\sqrt[]{{\rho }^{\mathrm{2}}-{(\rho -e)}^{\mathrm{2}}}（18）

另外需要结合给定的参数与曲率极值来计算速度限制，根据曲率极值k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和轨迹最大加加速j_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}计算极值点最大速度约束v_{\mathrm{3}}：

v_{\mathrm{3}}=\sqrt[\mathrm{3}]{\frac{j_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}}（19）

由曲率极值k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和轨迹最大加速度a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}可以计算极值点最大速度约束v_{\mathrm{4}}：

v_{\mathrm{4}}=\sqrt[]{\frac{a_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}}（20）

由以上约束条件得到每个曲率极大值点的速度计算值为

v_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},v_{\mathrm{4}})（21）

最后为了保证相邻极大值点的速度可达，利用速度规划模型从低速点向相邻高速点进行计算验证，进一步检查速度v_{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}}的曲线形态，以保证在速度规划模型的参数可达范围内。

3 仿真分析与实验验证

本文的仿真实验结果是在MATLAB R2021a环境下，使用Intel i5-8500 3.0 GHz处理器和8192RAM的计算机系统运算得出的。实际切割实验在HAN’S801激光切割机床上进行操作，如图4所示。

仿真部分主要通过对同样的蝴蝶图形进行加工模拟，在同样进给速度和加加速度约束下进行模拟仿真，获取样条参数u值在0~0.1区间的部分数据进行分析。实验部分在相同的激光切割机床上搭载不同的算法，将各自参数调到机床可以承受的水平进行加工实验，获取实验结果。

3.1 仿真分析

在分析本文方法加工图1所示的蝴蝶图案各加工轴上的运动性能时，比较了和文献［12］中方法在加工效率上的差异，仿真结果如图5所示。图5a所示为文献［12］中的方法所对应的速度、加速度和加加速度指令的仿真结果，图5b为本文方法所对应的速度、加速度和加加速度指令的仿真结果。

由数值仿真结果（表1）可以发现，在同样的部分样条下，使用相同最大进给速度时，本文方法加工时间为350 ms，在速度曲线形态上更加平滑，在不考虑机床设备的振动承受能力的前提下，同样最大速度指令下文献［12］方法加工时间为200 ms，具有更高效率，较本文方法快37.5%，但单轴的速度曲线形态有明显瑕疵。由图5的加速度图像可以看出，本文方法的加速度峰值为5 m/s²，而文献［12］加速度峰值达19.339 m/s²，本文方法较文献［12］减小74.14%。对比加加速度峰值可知，本文方法单轴加加速度峰值为246.204 m/s³，而文献［12］达到了17 200.5 m/s³，本文方法下单轴加加速度峰值减小98.57%，由此可以看出，文献［12］在复杂NURBS轨迹上的加工时间虽然更短，但为此牺牲的运动柔性过大。

根据激光高速加工的特点，机床能够承受的加加速度变化有限，并且运动的单轴加加速度越小振感越低，加工工件的形态越好，超出机床承受能力的加加速度会导致切割工件出现精度损失。为了进一步分析本文方法在激光加工机床设备实际加工中在单轴上的表现，在同样的加加速度约束之下对比本文方法与文献［12］方法的单轴数据。图6是将单轴加加速度都约束在250 m/s³内时使用文献［12］中的方法进行运动测试采集的数据曲线，与图5中使用本文方法采集的运动曲线加速度峰值在同一水平下。

观察结果可以发现，在考虑机床承受能力时，需要将单轴加速度和加加速度限制在给定参数内，此时如表1所示，本文方法加工时间为350 ms；从图6中可以看出使用文献［12］方法加工时间超过600 ms，在同等加加速度约束下本文方法相比文献［12］方法加工时间缩短超过41%，本文方法使得加工速度明显提高。实际加工生产一般都需要考虑机床负载，在同等最大加加速度约束下本文方法具备更大优势。

3.2 实验验证

为了提供更令人信服的实验结果，本文在搭载HAN’S 801数控系统的激光切割机床上使用 “蝴蝶”图形进行薄板和厚板切割测试。为保障机床稳定运行，本文加工方法和文献［12］中的加工方法都在机床可承受的最大加加速度的峰值水平下进行调整。

首先对薄板进行切割测试，图7为不同方法加工蝴蝶轨迹的细节效果图，图7a为文献［12］加工方法效果图，存在较多锯齿状形变，图7b为本文加工方法效果图，切割轮廓线基本平滑；加工形变点和加加速度曲线基本一致，结合行业经验分析可以判断，加加速度峰值会影响运动柔性从而影响加工质量。

在切割过程中，通过HAN’S 801数控系统自带的逻辑分析仪抓取加工过程的系统指令和伺服反馈位置的差值进行对比，其评价指标如表2所示。可以看出本文提出的方法可以显著缩短加工时间，同时不牺牲加工精度，最大加工偏差还减小了约10%。

表2给出了机床承受极限下不同方法加工“蝴蝶”轮廓的时间。本文方法加工“蝴蝶”轮廓实际加工时间较文献［12］缩短了40.44%。

然后对厚板进行加工测试以进一步观察不同方法在加工断面上的表现和精度上的差异。

图8展示了加工零件各个截面的对比效果并标注了显著差异点，上层为本文方法加工截面效果，下层为文献［12］方法加工截面效果。可以看到两种方法在激光厚板加工质量上存在明显的差异，文献［12］方法加工出来的零件在某些曲率极值点会存在非常明显的加工波纹，而本文方法加工的零件相对光滑，断面质量有明显提高。

综上所述，对不同方法加工薄板和厚板的数据进行汇总分析可以发现，本文方法在同等硬件设备条件下可以发挥出更高的加工效率，通过加工偏差均方差可以看出本文方法与文献［12］方法相比在效率显著提高的基础上加工偏差没有显著差异，未造成精度的损失；并且通过观察厚板切割断面效果可以明显感受到光滑度的改善，提高了加工断面质量。加工效果以及在机床性能极限下的效率对比可以进一步说明，当激光加工设备对加速度变化较敏感即机床刚性较差时，可以通过本文方法降低运动对机床振动的影响，从而提高加工质量，同时在机床极限性能下可以有更高的加工效率。

4 结论

本文提出的激光切割NURBS曲线高速高精加工方法，通过建立NURBS曲线的最大速度和最大曲率极值点的关系分解加工NURBS轨迹计算单元，再利用优化后的速度计算策略确定加工单元的衔接速度，保证了加工路径速度可达且速度与曲线形态相关。实验结果表明，该加工方法能够使得加工过程中单轴速度和加速度连续变化，拐角衔接速度非零且加工过程单轴加加速度受控，机床运动无振感，从而提高加工效率和加工质量。数控机床上的切割实验也进一步验证了本文方法的实用性。

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基金资助

湖南省科技创新计划(2023RC1046)

岳麓山产业创新中心项目(2023YCII0112)

湖南省科技创新计划(2023GK2008)