铝合金搅拌摩擦焊系统非线性振动特性

Nonlinear Vibration of Friction Stir Welding System of Aluminum Alloys

摘要

铝合金搅拌摩擦焊相比传统焊接方式接头质量好、残余应力小，研究其非线性动力学特性有助于优化焊接工艺，提高焊接质量。考虑热塑性材料流动、时变顶锻力和塑性金属摩擦模型等多种因素，建立了铝合金搅拌摩擦焊系统非线性动力学模型。采用Runge-Kutta法求解系统微分动力学方程，利用分岔图、相图等描述搅拌针转速和进给速度对系统非线性行为的影响。结果表明：随着搅拌针转速增大，系统依次呈现混沌与倍周期交替后单周期振动的特性；随着搅拌针进给速度增大，系统由单周期振动经历混沌与倍周期状态后回到单周期振动。同时，当进给速度在560~570 mm / min时，随搅拌针转速增大，系统反而趋于失稳。合理选取搅拌针转速与进给速度可预防系统失稳，有效降低系统振动幅度。

Abstract

Compared to traditional welding methods， friction stir welding of aluminum alloys produced joints with better quality and smaller residual stress. The study of nonlinear dynamic characteristics helped to optimize the welding processes and enhance welding quality. A nonlinear dynamics model for aluminum alloy friction stir welding systems was established by considering factors such as the flow of thermoplastic materials， time-varying forging forces， and the friction model of plastic metals. The system's differential dynamics equations were solved using the Runge-Kutta method， and the influences of tool rotation speed and feed rate on the system's nonlinear behaviors were described by employing bifurcation diagrams and phase diagrams. The results show that as the tool rotation speed increases， the system sequentially exhibits chaotic behavior and period-doubling bifurcations before stabilizing into periodic motion. As the tool feed rate increases， the system transitions from periodic motion through chaotic and period-doubling states before returning to periodic motion. Additionally， when the feed rate is within the range of 560 to 570 mm/min， the system tends to become unstable instead as the tool rotation speed increases. Proper selection of tool rotation speed and feed rate may prevent system instability and effectively reduce vibration amplitude.

Graphical abstract

关键词

铝合金 / 搅拌摩擦焊 / 非线性动力学 / 混沌与分岔

Key words

aluminum alloy / friction stir welding / nonlinear dynamics / chaos and bifurcation

Author summay

莫帅^*（通信作者），男，1987年生，教授、博士研究生导师。研究方向为非线性动力学。E-mail：[e-mail]。

0 引言

搅拌摩擦焊是一种新型焊接方法，具有接头质量好、残余应力小、生产效率高和有助于实现全位置焊接等优点^［1］，在航空航天、轨道列车等高端制造业生产中已得到广泛应用。搅拌针在焊接过程中的工艺力、材料流动行为与摩擦力等是影响搅拌摩擦焊接质量的重要因素，国内外学者对其进行了细致研究。康粟等^［2］利用三分量力传感器测量了5A06-H112铝合金搅拌摩擦焊过程中的力信号，分析了力的周期性波动与焊接缺陷的关系。BOCCARUSSO等^［3］研究了不同搅拌针转速和焊接速度下异种材料搅拌摩擦焊接过程，分析了顶锻力与前进力的演变规律，发现二力都不只受单一参数的影响。GUAN等^［4］结合机器学习技术揭示了搅拌摩擦焊中焊接力特性与焊缝成形过程的动态响应关系。何长树等^［5］对搅拌摩擦焊和超声辅助搅拌摩擦焊材料流动行为进行了比较研究，并提出了“抽吸-挤压”效应模型，以解释轴向超声振动如何提高材料的流动能力。LIU等^［6］通过微观磨损形貌分析提出了犁削-黏着摩擦复合作用机制，系统揭示了搅拌摩擦焊工具/工件界面摩擦因数动态演化规律及其对焊接热-力过程的影响。

基于计算流体动力学（CFD）的数值模拟是定量研究搅拌摩擦焊过程中热机械条件的有效方法。SHI等^［7］运用CFD方法建立了搅拌摩擦焊热-流-固耦合模型，定量分析了塑性材料的流动行为和气孔缺陷形成的动态过程，并提出了工具/工件非均匀接触压力分布模型。CHEN等^［8］对比了边界速度模型和边界剪切应力模型，通过CFD方法模拟分析了AA2024铝合金搅拌摩擦焊过程中的传热与塑性变形行为。YANG等^［9］通过实验与CFD模拟揭示了AA2024-T4铝合金搅拌摩擦焊过程中摩擦生热机制、黏滑状态及材料转移行为，发现材料黏着区域以涡旋流态快速迁移，而外围低速区则呈现层流主导的直通式流动。

借鉴切削和车削模型建立方法与其他系统非线性动力学响应分析方法，有助于对铝合金搅拌摩擦焊系统非线性动力学特性与其系统振动进行分析。YAN等^［10］提出了一种结合时滞再生效应和STROBECK效应的单自由度模型，以提高低速切削稳定性的预测能力，并揭示了大振幅摩擦颤振的非线性动态特性与多重稳定性、再生颤振等复杂动力学响应。CHANDA等^［11］研究了刀具和薄壁圆柱形工件在车削过程中的非线性动力学行为，并采用高阶多尺度法研究了刀具和工件的非线性响应和稳定性。莫帅等^［12-15］建立了考虑时变啮合刚度、齿侧间隙、摩擦、裂纹等多种因素耦合的各类型齿轮组非线性动力学模型，系统性地分析了不同因素对各种齿轮传动系统动态响应的影响。

尽管已有工作明确了铝合金搅拌摩擦焊过程中工艺力变化、材料流动模型与摩擦模型，但对搅拌摩擦焊系统非线性动力学的研究仍鲜见报道，在内外部影响因素作用下搅拌摩擦焊系统的动力学响应尚不明确。因此，本文以铝合金搅拌摩擦焊为研究对象，建立考虑热塑性材料流动、时变顶锻力、塑性金属摩擦等多参数耦合的系统非线性动力学模型，通过微分方程求解揭示动力学响应规律，阐明转速/进给速度-振动失稳阈值的定量关系，构建工艺稳定性判据与缺陷预警机制，以期为优化焊接工艺、预防焊接缺陷提供参考，提高焊接质量和可靠性。

1 铝合金搅拌摩擦焊系统动力学建模

1.1 铝合金搅拌摩擦焊接受力分析

在铝合金搅拌摩擦焊接过程中，热塑性工件材料沿搅拌针表面流动，并挤压、摩擦搅拌针，其合力为F_l，可分解为x轴方向的进给力F_β和y轴方向的侧向力F_α。同时，搅拌针受到竖直方向顶锻力F_z，搅拌针和轴肩底部与热塑性材料间有摩擦力F_fp、F_fs，可以分别分解为x轴上的分量F_fp，x 、F_fs，x 和y轴上的分量F_fp，y 、F_fs，y。x轴上的两个分量有一个合力F_f，x。此外，工件给予搅拌针前进阻力F_χ。搅拌摩擦焊的结构和受力如图1所示。综上所述，铝合金搅拌摩擦焊接过程中平行于搅拌针前进方向的单自由度模型可表示为

m\ddot{x}(t)+c_{\mathrm{m}}\dot{x}(t)+k_{\mathrm{m}}x(t)=F_{\mathrm{\beta }}+F_{\mathrm{f},x}+F_{\mathrm{\chi }}（1）

式中：m、c_m、k_m分别为带轴肩搅拌针的质量、支撑阻尼和支撑刚度；x为搅拌针的振动位移。

1.2 搅拌针上材料流动力

若搅拌针设计有螺纹，材料流动会受到竖直涡流的引导，从而被输送到搅拌针根部。为简化材料流动力F_l的计算，采用圆柱形搅拌针分析材料流动过程。初步比较金属切削和搅拌摩擦焊可见，两种工艺在刀具或搅拌针前端表现出相似剪切面等近似特征，如图2所示。因此，可基于金属切削过程中力的方程研究搅拌摩擦焊材料流动对搅拌针的作用力。

材料流动力F_p（x）可表示为^［16］

F_{\mathrm{p}}(x)=V_{\mathrm{p}}(x)k_{\mathrm{p}}（2）

式中：V_p（x）为材料输送体积；k_p为力系数。

可根据图3a所示的几何关系得出材料输送体积公式：

V_{\mathrm{p}}(x)=l_{\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^x{h}_{\mathrm{p}}(a_{\mathrm{r}})\mathrm{d}r=l_{\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^x\frac{a_{\mathrm{r}}f}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{r}_{\mathrm{p}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{a_{\mathrm{r}}}{r_{\mathrm{p}}})\mathrm{d}{b}_{\mathrm{p}}=

l_{\mathrm{p}}(-\frac{xf}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{x}{r_{\mathrm{p}}})+\frac{r_{\mathrm{p}}f}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{x}{r_{\mathrm{p}}}))（3）

\mathrm{0}\le a_{\mathrm{r}}\le \mathrm{\pi }{r}_{\mathrm{p}}

式中：l_p为搅拌针长度；a_r为位移为x时搅拌针转动弧长；h_p为输送材料层厚；r_p为搅拌针半径；f为单位进给量，f = v/ω_e；v为搅拌针进给速度；ω_e为搅拌针转动角速度。

对比金属切削，搅拌摩擦焊接过程中无切屑与工件分离，因此，使用输送材料层厚取代切屑厚度。

进给力F_β是材料流动合力F_l在x轴上的分量：

F_{\mathrm{\beta }}=F_{x,\mathrm{p}}(x)=F_{\mathrm{p}}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi（4）

式中：φ为位移为x时搅拌针的旋转角。

1.3 铝合金搅拌摩擦焊顶锻力

为保证焊接接头的质量和性能，在搅拌摩擦焊接过程中必须对搅拌针施加顶锻力，确保搅拌针和轴肩与被焊工件紧密接触，防止材料溢出，促进材料挤压，细化晶粒组织。搅拌摩擦焊顶锻力F_z经验模型如下^［16］：

\left.\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{z}}=F_{\mathrm{z}\mathrm{0}}+A_{\mathrm{z}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t+{\phi }_{\mathrm{z}})\\ {\omega }_{\mathrm{e}}=\mathrm{2}\mathrm{\pi }n\end{array}\right\}（5）

式中：F_z0为静力分量；A_z、φ_z分别为波动力的幅值和相位；n为搅拌针转速。

不同焊接参数对顶锻力的影响较复杂，为简化顶锻力模型，只考虑各工艺参数中最关键的影响因素。

当压深e_t取0.05~0.2 mm、单位进给量f取0.2~0.6 mm、进给速度v取350~850 mm/min、搅拌针转速n取600~3800 r/min时，对于5182-H111铝合金来说，顶锻力F_z经验公式如下：

\left.\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{z}\mathrm{0}}=-\mathrm{17636.6}{e}_{\mathrm{t}}+\mathrm{2709.3}f+\mathrm{8880}\\ A_{\mathrm{z}}=\mathrm{246.7}f+\mathrm{79.5}\\ {\phi }_{\mathrm{z}}=-\mathrm{1.44}\end{array}\right\}（6）

搅拌针底部与工件间压应力σ_N为

{\sigma }_{\mathrm{N}}=\frac{F_{\mathrm{z}}}{\mathrm{\pi }r{}_{\mathrm{s}}{}^{\mathrm{2}}}（7）

式中：r_s为轴肩半径。

1.4 焊接材料与搅拌针间摩擦力

搅拌摩擦焊接过程中，当搅拌针移动时，塑性金属发生摩擦和塑性流动，这种机制与金属塑性成形过程中的摩擦机制相似，因此，采用金属塑性成形中摩擦模型对搅拌摩擦焊摩擦力进行研究。该摩擦模型基于反正切函数进行修正，通过引入相对滑动速度揭示正压力如何影响模具零件之间的摩擦力，即

{\tau }_{\mathrm{f}}={\mu }_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{{\sigma }_{\mathrm{N}}}{{\sigma }_{\mathrm{Z}}}))(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{v_{\mathrm{x}}}{C})（8）

式中：τ_f为剪切摩擦应力；μ₀、k₀均为剪切摩擦模型的基本参数；σ_Z为屈服应力；v_x为相对滑移速度；C为调节参数。

如图3b所示，以搅拌针底面中心为极点，y轴正方向为极轴建立极坐标系，则搅拌针底部A点极坐标为（θ，r_a）。在该点处相对滑移速度v_xa与x正方向的夹角θ_a分别为

\left.\begin{array}{l}{v}_{x\mathrm{a}}=\sqrt[]{(v-{\omega }_{\mathrm{e}}{r}_{\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+({\omega }_{\mathrm{e}}{r}_{\mathrm{a}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )}^{\mathrm{2}}}\\ {\theta }_{\mathrm{a}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\frac{v-{\omega }_{\mathrm{e}}{r}_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{{\omega }_{\mathrm{e}}{r}_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta })\end{array}\right\}（9）

剪切摩擦应力τ_f方向与相对滑移速度v_xa方向相反，将τ_f在x方向进行投影后积分可得到摩擦力在x方向上的分量：

F_{\mathrm{f},x}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\{[{\int }_{\mathrm{0}}^{r_s}{\mu }_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{{\sigma }_{\mathrm{N}}}{{\sigma }_{\mathrm{Z}}}))·

(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{v_{x\mathrm{a}}}{C})r_{\mathrm{a}}\mathrm{d}{r}_{\mathrm{a}}]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{a}}\}\mathrm{d}{\theta }_{\mathrm{a}}（10）

1.5 焊接工件对搅拌针的前进阻力

在搅拌摩擦焊接过程中，工件会对搅拌针的前进产生阻力，其计算公式为

F_{\chi }={∳}_{S_a}{\sigma }_z\mathrm{d}A={\int }_{\mathrm{0}}^{l_p}\mathrm{2}{r}_s{\sigma }_z\mathrm{d}l=\mathrm{2}{r}_{\mathrm{s}}{l}_{\mathrm{p}}{\sigma }_{\mathrm{z}}（11）

式中：σ_z为工件材料的屈服强度；S_a为搅拌针在Oyz平面上的投影面积。

1.6 系统振动微分方程

如图4所示，以搅拌针进给方向为x轴正向，垂直于工件接合面方向为y轴正向，搅拌针轴线为z轴，竖直向上为z轴正向建立坐标系，得到系统振动微分方程如下：

m\ddot{x}(t)+c_{\mathrm{m}}\dot{x}(t)+k_{\mathrm{m}}x(t)=l_{\mathrm{p}}{k}_{\mathrm{p}}(\frac{r_{\mathrm{p}}v}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\omega }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{x(t)}{r_{\mathrm{p}}})-

\frac{x(t)v}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\omega }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{x(t)}{r_{\mathrm{p}}}))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi +\mathrm{2}{r}_{\mathrm{p}}{l}_{\mathrm{p}}{\sigma }_{\mathrm{z}}+F_{\mathrm{f}\mathrm{0}}（12）

F_{\mathrm{f}\mathrm{0}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}[{\int }_{\mathrm{0}}^{r_{\mathrm{s}}}{\mu }_{\mathrm{0}}{k}_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{F_{\mathrm{z}}}{{\sigma }_{\mathrm{z}}\mathrm{\pi }r{}_{\mathrm{s}}{}^{\mathrm{2}}}))·

(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\sqrt[]{(v-\omega r_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{a}}{)}^{\mathrm{2}}+(\omega r_{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{a}}{)}^{\mathrm{2}}}}{C})·

r_{\mathrm{a}}\mathrm{d}{r}_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{a}}]\mathrm{d}{\theta }_{\mathrm{a}}（13）

铝合金搅拌摩擦焊振动微分方程含众多不同量级的物理参数，会导致数值稳定性差与计算效率低。为避免这些问题，引入位移标称尺度f（即单位进给量），时间标称尺度ω_n=（k_m/m）^0.5，对微分方程量纲一化，即

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\overline{x}}{\mathrm{d}{\tau }^{\mathrm{2}}}+{\zeta }_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{d}\overline{x}}{\mathrm{d}\tau }+{\kappa }_{\mathrm{m}}\overline{x}={\overline{F}}_{\mathrm{\beta }}+{\overline{F}}_{\mathrm{f},x}+{\overline{F}}_{\mathrm{\chi }}（14）

\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{x}{f}\tau ={\omega }_{\mathrm{n}}t{\zeta }_{\mathrm{m}}=\frac{c_{\mathrm{m}}}{m{\omega }_{\mathrm{n}}}{\kappa }_{\mathrm{m}}=\frac{k_{\mathrm{m}}}{m{\omega }_{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}}\\ {\overline{F}}_{\mathrm{\beta }}=\frac{F_{\mathrm{\beta }}}{mf{\omega }_{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}}{\overline{F}}_{\mathrm{f},x}=\frac{F_{\mathrm{f},x}}{mf{\omega }_{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}}{\overline{F}}_{\mathrm{\chi }}=\frac{F_{\mathrm{\chi }}}{mf{\omega }_{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}}\end{array}

2 铝合金搅拌摩擦焊的系统动态响应

为研究搅拌针转速与进给速度对铝合金搅拌摩擦焊系统动态特性的影响，采用四阶Runge - Kutta法求解系统动力学微分方程，计算系统动态响应。铝合金搅拌摩擦焊系统主要参数见表1。

2.1 搅拌针转速对系统非线性动力学影响

下面研究铝合金搅拌摩擦焊接过程中搅拌针转速所带来的激励频率对系统动力学特性的影响，量纲一激励频率Ω=ω_e/ω_n，图5为搅拌摩擦焊搅拌针在激励频率下的动态响应分岔图。与此对应，系统最大李雅普诺夫指数的分布如图6所示，揭示了系统稳定性随激励频率变化的规律，其中正值区域表明系统进入混沌状态。Ω<0.2395时系统为混沌振动状态；Ω∈［0.2395，0.2449）时系统处于倍周期振动状态，最大李雅普诺夫指数小于0；Ω∈［0.2449，0.2485）时系统回到混沌状态；Ω∈［0.2485，0.2602］时系统再次进入倍周期振动状态；Ω>0.2602时系统周期振动。

图7显示了Ω=0.2328时的系统动态响应，时域图波形呈现出非规则特征，FFT与小波频谱图中含杂乱信号，相图呈现多圈无规则曲线，与之相对应的庞加莱映射显示分布无序的多个离散点集。这一系列特征共同表明系统处于混沌状态。

图8显示了Ω=0.2516时的系统动态响应，时域图表现出明显的周期性，相图显示一个绕两圈的光滑圆环在庞加莱映射上仅两个点集。频谱图显示出两个信号峰。这一系列特征共同表明系统正处于倍周期振动状态。

图9a所示为激励频率Ω影响下系统相轨迹平面，图9b为系统三维FFT频谱图。图10为进给速度变化时系统动态响应随激励频率变化的分岔图，随着进给速度增大，系统呈现混沌振动行为的区间相应扩展。因此，随进给速度增大系统趋于不稳定。

2.2 搅拌针进给速度对系统非线性动力学影响

图11为铝合金搅拌摩擦焊接过程中搅拌针进给速度对系统动力学特性影响下的位移分岔图。图12所示为相应的最大李雅普诺夫指数。当量纲一进给速度v≤0.2047、0.2168≤v≤0.2180或v≥0.2241时，系统处于周期振动状态，李雅普诺夫指数小于0；当v∈（0.2047，0.2123）时系统混沌振动；当v∈［0.2123，0.2168）时系统倍周期振动。

图13反映了当v=0.2072时系统响应状态。此时，时域曲线波形不规则，相图为多圈无规则曲线，相应的庞加莱映射呈离散点集，FFT与小波频谱图含杂乱信号，这表明系统处于混沌振动状态。

图14反映了v=0.22时的系统响应状态。此时，时域图波形稳定，FFT与小波频谱图揭示了两个显著的信号峰，相图为一个绕两圈光滑圆环，相应的庞加莱映射呈现两个点集。因此，系统处于倍周期振动状态。

图15a为量纲一进给速度v影响下系统的相轨迹平面，图15b为系统的三维FFT频谱图。图16为在激励频率变化时系统动态响应随进给速度变化的分岔图，随激励频率增加，系统呈现混沌振动的区间逐渐缩小，系统混沌振动逐渐向倍周期过渡。随激励频率增大，系统趋于稳定。图17所示为不同进给速度下铝合金搅拌摩擦焊接头力学性能。

3 结论

考虑热塑性材料流动、时变顶锻力和塑性金属摩擦模型等多种因素，建立了铝合金搅拌摩擦焊单自由度系统，揭示了系统非线性响应机制，主要结论如下：

1）系统随搅拌针转速引起的激励频率变化呈现丰富的非线性行为。当搅拌针转速在1770~1860 r/min时系统单周期振动，在1500~1630 r/min时系统处于混沌振动状态。

2）当搅拌针进给速度变化时，系统呈现丰富的非线性行为，当进给速度在580~600 mm/min时，系统陷入混沌。

3）若其余焊接条件不变，随搅拌针转速增大，系统趋于稳定，随进给速度增大，系统趋于失稳。但当进给速度在564~572 mm/min时，随搅拌针转速增大，系统出现反常失稳。

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基金资助

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