列车防爬吸能器负泊松比超材料填充结构设计

Design of Negative Poisson's Ratio Metamaterial Filling Structures for Train Anti-climb Energy Absorbers

摘要

现有的列车防爬吸能结构吸能量较低且变形模式难以预测，在复杂工况下极易发生弯曲，造成吸能量的大幅下降并伴随爬车和脱轨的风险。基于改进的拓扑优化方法提出了一种将负泊松比超材料应用于列车吸能器填充结构上的方法。首先采用改进的具有惩罚因子的实体各向同性材料设计了一种负泊松比超材料，通过激光选区熔融工艺制备了样件，并验证了样件稳定的负泊松比变形模式和优良的能量吸收特性。随后通过拉伸、周期排列形成了吸能器填充结构，在对心和40 mm偏心工况下，所提出的负泊松比结构的比吸能与传统的蜂窝结构相比高出了17.9%，且在偏心工况下，比吸能劣化率明显低于传统结构。

Abstract

The existing train anti-climbing energy-absorbing structures had low energy absorption and unpredictable deformation patterns， and were highly susceptible to bending under complex boundary conditions， resulting in a significant decrease in energy absorption and accompanying the risk of climbing and derailment. In order to solve these problems， a negative Poisson's ratio metamaterial was proposed based on an improved topology optimization method and applied to the filling structures of train energy absorbers. Firstly， a negative Poisson's ratio metamaterial was designed by the improved solid isotropic material with penalization， and the samples were prepared by laser selective melting processes， which verified the stable negative Poisson's ratio deformation mode and excellent energy absorption properties， and then the energy absorber filler structures were formed by tensile and periodic arrangement. The specific energy absorption of the proposed negative Poisson's ratio structures is 17.9% higher than that of the conventional honeycomb structures under centric and 40 mm eccentric conditions， and the specific energy absorption degradation rate is significantly lower than that of the conventional structures under eccentric conditions.

Graphical abstract

关键词

防爬吸能器 / 拓扑优化 / 负泊松比 / 超材料

Key words

anti-climb energy absorber / topology optimization / negative Poisson's ratio / metamaterial

Author summay

何昆，男，1999年生，博士研究生。研究方向为列车被动安全。E-mail：[e-mail]

张济民^*（通信作者），男，1969年生，教授、博士研究生导师。研究方向为机电一体化。E-mail：[e-mail]。

0 引言

在过去的几十年，为了提高列车的耐撞性，研究人员进行了系统的研究，并主要集中于列车端部的防爬吸能器的设计上^［1］。典型的防爬吸能器主要包括防爬齿和吸能结构两个部件，在列车碰撞过程中，为了防止车辆爬车，防爬齿首先啮合，而后吸能结构吸收碰撞能量。按照能量吸收的类型，吸能结构主要包括溃缩式、鼓胀式和切削式^［2］，其中以薄壁结构为代表的溃缩式吸能结构在列车碰撞的复杂边界条件下具有更好的稳健性，但传统的薄壁结构吸能量相较于鼓胀式和切削式较低，因此研究人员通过调整薄壁的形状，开发了方形、圆形和六边形等多种薄壁吸能器，并通过实验和仿真验证了这些吸能器优良的吸能特性^［3］。随着研究的深入，在薄壁吸能器内部填充蜂窝、泡沫铝等高比吸能材料也逐渐成为研究人员关注的焦点。PENG等^［4］将蜂窝填充结构应用于薄壁吸能器的内部，在对心碰撞下，分析了薄壁管厚度和蜂窝结构参数对结构耐撞性的影响。为了提高蜂窝结构的吸能量，WANG等^［5］提出了三种改进型的蜂窝结构并应用于列车防爬器上，在40 mm偏心碰撞下，所提出的瓦楞纸蜂窝结构具有最稳定的变形模式和较高的比吸能。

随着超材料的提出和不断发展^［6］，以负泊松比材料为代表的超材料展现了良好的吸能特性和稳定的变形模式。传统材料的泊松比往往大于0，即在轴向受压缩下径向会鼓胀^［7］，在轴向受拉情况下径向会收缩，而负泊松比超材料的泊松比小于0，在轴向受压缩情况下会发生径向收缩，除了具有稳定的拉胀变形模式之外，负泊松比超材料还具有良好的吸能特性^［8］。自LAKES^［9］成功制备出泊松比为-0.7的聚氨酯泡沫以来，负泊松超材料进入快速发展阶段。受沙漏形状启发，REN等^［10］提出了一种新型负泊松比结构并应用于伸缩传感器上，该结构具有较高的抗压强度和吸能量。GUO等^［11］在V形负泊松比结构基础上进一步提出了3D U形负泊松比结构，通过金属烧结3D打印机制备了实验样品，结果表明所提出结构具有较好的吸能特性。

尽管部分研究学者将负泊松比结构应用到了汽车吸能盒、防撞梁等结构上，但这些负泊松比超材料的提出往往是根据设计人员的主观经验和反复尝试来完成，缺乏科学的理论指导。近年来，使用拓扑优化来设计负泊松比超材料被提出并应用。XIA等^［12］在88行代码^［13］基础上，基于均匀化理论，提出拓扑优化的超材料设计方法并通过MATLAB得到了实现，所构建的超材料可以以结构力学性能为目标函数进行拓扑优化。在此基础上，QIN等^［14］通过调整目标函数和大量复杂参数设计了负泊松比结构，并通过仿真和实验验证了结构的负泊松比特性。虽然拓扑优化在设计负泊松比超材料的过程中展现了良好的优势，但拓扑优化算法众多，且在优化过程中优化结果受到大量复杂参数的影响，尽管使用相同的算法，但不同的参数可能带来完全不一样的结果，难以保证寻找到最优的结构。

综上所述，国内外研究学者针对列车吸能器填充结构进行的研究大多集中于传统的薄壁和蜂窝结构上，受结构和材料的限制，这些结构吸能量有限且难以大幅度提高；同时部分学者基于主观经验和反复尝试提出了负泊松比超材料并应用于各种填充结构上，但负泊松比超材料的设计缺乏科学的理论指导，无法保证高效的吸能特性。为了解决这些问题，本文基于改进的具有惩罚的实体各向同性材料（solid isotropic material with penalization，SIMP）拓扑优化方法提出了一种新型的负泊松比超材料，并应用于列车防爬吸能器填充结构上。

1 基于拓扑优化的负泊松比超材料设计

负泊松比超材料具有稳定的变形模式和良好的吸能特性，但目前研究人员大都基于主观经验，通过不断试错来设计负泊松比超材料，而拓扑优化方法能够通过明确的目标函数和约束生成指定力学性能的负泊松比超材料，具有严密的科学理论基础和更高的设计效率^［15］。

1.1 能量均匀化方法

均匀化理论最早由GUEDES等^［16］提出并应用于复合材料领域，这种方法将材料的微观特性和宏观的力学行为联系了起来。在负泊松比超材料拓扑优化中，为了构建以结构力学性能为指标的目标函数，需要采用均匀化方法从离散的密度分布中提取出超材料的弹性模量和泊松比。

对于三维空间的微结构Y，均匀化的弹性张量是对微结构Y内每一点弹性张量的积分的平均。为了便于数值求解，本文采用基于能量的均匀化方法，该方法采用平均应力和应变定理，均匀化的弹性张量{\mathit{E}}_{ijkl}^{\mathrm{H}}可以写成^［12］

{\mathit{E}}_{ijkl}^{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{1}}{\left|Y\right|}{\int }_Y{\mathit{E}}_{pqrs}^{}{\epsilon }_{pq}^{\mathrm{A}(ij)}{\epsilon }_{rs}^{\mathrm{A}(kl)}\mathrm{d}Y（1）

其中：i、j、k、l（p、q、r、s）取值范围均为［1，d］，d为结构的维数；i、j为宏观应变分量；k、l为宏观应力分量；p、q为微观应力分量；r、s为微观应变分量；{\mathit{E}}_{ijkl}^{\mathrm{H}}为均匀化的弹性张量，上标H表示均匀化 （homogenization）；{\mathit{E}}_{pqrs}^{}为原始材料的弹性张量；{\epsilon }_{pq}^{\mathrm{A}(ij)}、{\epsilon }_{rs}^{\mathrm{A}(kl)}为叠加应变场，上标A表示附加场 （auxiliary field）；积分是对单胞Y的整个区域进行体积分，积分的上下限就是单胞区域Y的几何边界。

在有限元分析中，将微结构离散为N个有限单元，从而可将式（1）写成求和形式^［13］：

{\mathit{E}}_{ijkl}^{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{1}}{\left|Y\right|}{\displaystyle \sum _{e=\mathrm{1}}^N}({\mathit{u}}_e^{\mathrm{A}(ij)}{)}^{\mathrm{T}}{\mathit{k}}_e{\mathit{u}}_e^{\mathrm{A}(kl)}（2）

式中：N为整个微结构的单元个数；{\mathit{u}}_e^{\mathrm{A}(ij)}为单位初始应变场{\epsilon }_{pq}^{\mathrm{0}(kl)}对应的单元位移解；{\mathit{k}}_e为单元刚度矩阵。

1.2 基于改进SIMP方法的材料插值模型

在基于变密度法的结构拓扑优化设计中，拓扑优化的设计变量被定义为设计域内有限元单元的 “伪密度”或“人工密度”。由于伪密度在0~1内连续取值，在优化过程中会出现距离0和1都相对较远的单元，即灰色单元，因此需要引入插值方法，使灰色单元的伪密度更趋近于0或1。在多种变密度的插值方法中，改进的SIMP方法由于具有较高的数值稳定性而应用广泛，采用改进的SIMP方法^［13］单元的弹性模量可以表示为

E_e(x_e)=E_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+x_e^p(E_{\mathrm{0}}-E_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})（3）

式中：E_e为最终的弹性模量；E_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为空隙部分的弹性模量；x_e^p为p次幂的单元伪密度，取值为0～1；p为惩罚因子，使伪密度更趋近于0或1；E_{\mathrm{0}}为初始材料的弹性模量。

根据广义胡克方程，胞元的泊松比可以表示为

\mu =\frac{E_{\mathrm{12}}}{E_{\mathrm{11}}}（4）

式中：E₁₁为1方向拉伸时的等效弹性模量；E₁₂为1方向加载时，2方向产生的等效耦合刚度。

为了得到负泊松比的结构，目标函数可以被定义为胞元泊松比的负值，但使用这种目标函数时容易造成均匀化弹性张量奇异，使得迭代优化难以进行，因此参考文献［14］，在目标函数中引入松弛因子β。在迭代的前期，目标函数会最大化材料的水平和垂直刚度模量，随着迭代过程的推进，算法倾向于最小化E₁₂的值，从而构建出负泊松比的结构，使拓扑优化后的结构保持负泊松比的同时单向刚度显著提高。

最终拓扑优化的数学表达式^［14］可以表示为

（5）

式中： X 为有限单元伪密度组成的向量；N为单元个数；E₁₁、E₁₂、E₂₂分别为均匀化后弹性张量中的分量；{\mathit{F}}^{(kl)}为外载荷向量；l为迭代的次数； K 为整体刚度矩阵； U 为全局位移向量；v_e 为第e个单元的体积；V为体积上限。

1.3 灵敏度分析与优化准则法

通过改进的SIMP方法建立优化模型后，在迭代优化过程中，根据单元伪密度删除或保留一个单元都会对结果产生显著影响。灵敏度通常指设计变量或某个参数对优化结果的影响程度。使用直接微分法将目标函数对设计变量求导，可以表示为

\frac{\mathrm{\delta }f}{\mathrm{\delta }{x}_e}=\frac{\mathrm{\delta }{E}_{\mathrm{12}}}{\mathrm{\delta }{x}_e}-[{(\mathrm{0.8}-\beta )}^l\frac{\mathrm{\delta }{E}_{\mathrm{11}}}{\mathrm{\delta }{x}_e}+\mathrm{0}.{\mathrm{8}}^l\frac{\mathrm{\delta }{E}_{\mathrm{22}}}{\mathrm{\delta }{x}_e}]（6）

优化准则法由于计算量小、迭代速度快等优点应用广泛^［13］，采用优化准则法更新设计变量，迭代公式为

x_e^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},x_e-n)x_e{B}_e^n\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},x_e-n)\\ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1},x_e+n)x_e{B}_e^n\ge \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1},x_e+n)\\ x_e{B}_e^{\eta }\mathrm{其他}\end{array}\right.（7）

式中：x_e^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}为更新后的单元伪密度； n为设计变量的位移限制；\eta为数值阻尼系数；B_e^{}为通过最优性条件获得的参数。

完成上述分析后，按照能量均匀化、目标函数构建、灵敏度分析和材料插值的顺序在MATLAB编写算法即可进行拓扑优化。

1.4 数值算例

通过MATLAB对以上算法进行编程实现。为了验证目标函数中松弛因子引入的作用，首先在相同参数下控制不添加松弛因子和添加松弛因子进行两次优化。不添加松弛因子情况下优化结果如图1a所示，其单向刚度模量分别为0.0638和0.0863。添加松弛因子优化后结果如图1b所示，此时单向刚度模量分别为0.0887和0.1211，刚度得到了显著提高。

拓扑优化算法包含了大量的复杂参数^［17］，选择不同的惩罚因子、松弛因子、滤波半径和滤波方法都会对优化结果产生较大的影响，且不同参数之间存在相互作用，因此通过多次数值计算，求解到4种稳定的负泊松比超材料，其拓扑优化迭代过程如表1所示。四个拓扑优化过程在不同初始参数下展开，依次展示了从初始材料设计域到逐步去除冗余材料、形成受力骨架并最终收敛为最优结构的演化过程。

2 负泊松比超材料耐撞性仿真与实验

2.1 负泊松比超材料耐撞性仿真

为了探究基于拓扑优化方法生成的4种负泊松比超材料的耐撞性并找出比吸能最高、变形模式最稳定的结构，将负泊松比超材料抽象为二维平面杆件，形成4种负泊松比结构，尺寸为30 mm×30 mm，按照4×4进行排列，然后拉伸为30 mm厚度的三维填充结构。

按照列车碰撞过程的工况，基于ABAQUS建立碰撞仿真模型，主要包括钢性墙、4种防爬吸能器填充结构和钢性地板，设置钢性墙质量为0.5 t，初始速度为36 km/h。填充结构使用壳单元，厚度为2 mm，材料使用AL6061，密度为2.7 g/cm³，弹性模量为70 GPa、泊松比为0.33。填充结构与钢性地板绑定约束，与钢性墙的相互作用基于罚函数的接触算法进行求解，静动态摩擦因数分别设置为0.3和0.2。基于所构建的碰撞模型和所确定的碰撞参数，针对4种负泊松比填充结构进行碰撞仿真，负泊松比结构的变形模式如表2所示。从表中可以看出4种负泊松比结构都具有稳定的变形模式，在纵向压缩下会表现出明显的横向收缩，负泊松比效应明显。在碰撞过程中，4种结构的模型总能量基本保持不变，结构减少的动能约等于内能的增加，且沙漏能小于内能的5%，因此4种结构的有限元模型具有准确的吸能特性。

4种负泊松比结构在碰撞过程中的吸能参数如表3所示，可以看出，4种结构具有相近的质量，其中2号和4号结构质量较大，这是因为这两种胞元结构复杂，组成的杆件较多。在吸能量上，2号和4号负泊松比结构具有较高的吸能量，分别达到了4.94 kJ和5.57 kJ，在考虑比吸能的情况下，2号负泊松比结构具有最高的比吸能，为18.17 J/g，4号次之，为17.08 J/g。在初始峰值碰撞力上，4号结构初始峰值碰撞力最大，为20.2 kN，其次是3号和2号结构，为16.4 kN和14.5 kN，1号结构最小为10.5 kN。在综合考虑结构质量、吸能量、比吸能和峰值力的基础上，2号负泊松比结构质量较小、吸能量较大、比吸能最大且初始峰值碰撞力较小，同时组成机构的基本杆件比较简单，易于制造，因此选择2号负泊松比结构作为列车防爬吸能器的填充结构。

2.2 负泊松比结构准静态压缩实验

为了验证所提出的2号泊松比结构的变形模式和吸能特性，采用激光选区熔融3D打印构建了3×4的胞元结构，基于万能试验机开展准静态压缩实验。本研究所用3D打印材料为铝合金（AL6061），胞元厚度为1 mm，胞元尺寸为20 mm×20 mm，拉伸厚度为20 mm，质量为58 g，如图2所示。

准静态压缩实验选择速度为2 mm/min，压缩行程为40 mm，基于ABAQUS构建准静态工况下的压缩仿真进行对比，压缩过程中的受力和变形情况如图3所示。可以看出准静态压缩实验和仿真反作用力重合度较高，负泊松比结构表现出稳定的纵向压缩-横向收缩变形模式，负泊松比效应明显，实验和仿真初始峰值力分别为10.74 kN和11.57 kN，误差为7.7%。通过准静态压缩实验，验证了2号负泊松比结构稳定的负泊松比效应和吸能特性，也验证了有限元分析的可靠性。

3 不同填充结构下列车防爬器碰撞仿真

为了验证基于拓扑优化方法的负泊松比结构优良的能量吸收特性和稳定的变形模式，将负泊松比结构周期排列并填充进列车防爬吸能器中，同时构建传统六边形蜂窝胞元填充的防爬吸能器进行对比，建模过程如图4所示。在阵列周期性尺度上，负泊松比吸能器胞元数量为9胞元横向拉伸后周期排列，蜂窝结构为8胞元直接垂向拉伸，保证了结构阵列周期性基本相同。在对心和40 mm偏心工况下进行碰撞仿真，同时为了验证更高速度冲击载荷下的响应，在对心载荷下碰撞速度为36 km/h和72 km/h，偏心工况下碰撞速度为36 km/h。

3.1 对心工况下碰撞响应

在对心和36km/h碰撞速度情况下，两种吸能器的变形模式和受力情况如图5a和图5b所示。使用负泊松比结构填充的吸能器具有更稳定的变形模式，初始峰值碰撞力为2453.7 kN，总吸能量为1157.9 kJ，碰撞过程中，随着多层胞元逐渐压缩，碰撞力逐渐小幅增大，吸能器两侧面出现了规则的收缩区，这是由胞元结构带来的负泊松比效应。而传统的蜂窝填充结构在碰撞过程中（t=0.017 s）会发生小幅度弯曲，此时碰撞力和吸能量会出现下降，其初始峰值碰撞力为2553.8 kN，总吸能量为718.1 kJ。

在对心和72 km/h碰撞速度情况下，两种吸能器的碰撞响应如图6a和图6b所示。在更高速度冲击载荷下，所提吸能器仍能保持稳定的变形模式，在0.015 s进入密实区，总吸能量为1219 kJ。蜂窝填充的吸能器在0.015 s时会发生弯曲，此时碰撞力显著下降，在0.02 s进入密实区，总吸能量为773 kJ。

3.2 偏心工况下碰撞响应

在40 mm偏心工况下两种列车吸能器的变形模式和受力情况如图7a和图7b所示。从总体上看，碰撞发生时，两种吸能器初始峰值碰撞力达到2000 kN左右，在t=0.001 s时，防爬齿从滑移接触转变为完全啮合，此时碰撞力先大幅下降后大幅升高，这是因为在40 mm偏心状态下，防爬齿两齿未完全啮合，在碰撞发生过程中，首先滑移接触，随后脱离接触，到最后两防爬齿完全啮合。对于使用负泊松比填充的吸能器，初始峰值碰撞力为2299.6 kN，总吸能量为1127.2 kJ，在碰撞过程中，吸能器发生小范围弯曲变形，采用传统的蜂窝填充吸能器在偏心工况下发生了垂向弯曲，这种弯曲带来的附加垂向力极易造成列车爬车，且弯曲情况下吸能量大幅度下降，总吸能量为662.9 kJ，与对心工况相比，吸能量下降了7.6%。

3.3 不同工况下碰撞响应对比

两种吸能器在相同速度不同工况下的碰撞响应参数如表4所示。为了量化在偏心工况下吸能器的劣化性，定义了比吸能劣化率，其数值为偏心工况与对心工况比吸能的劣化程度。从总体上看，所提出的负泊松比结构填充的吸能器具有较高吸能量和比吸能，在考虑两种工况的前提下，偏心工况对负泊松比结构填充的吸能器影响较小，其比吸能劣化率仅为2.3%，但对于蜂窝填充的吸能器，在偏心工况下，相比于对心工况，由于发生弯曲，吸能量大幅度降低，其比吸能劣化率为7.6%。

从对心和40 mm偏心工况下两种吸能器的碰撞仿真可以看出，所提出的负泊松比结构填充的吸能器拥有稳定的变形模式，比吸能明显大于传统蜂窝填充吸能器比吸能。与此同时，在偏心情况下，所提出的吸能器比吸能劣化率也明显小于传统吸能器，证明了所提出的吸能器拥有较好的稳健性。综上所述，负泊松比结构的使用，使得吸能器的比吸能和稳健性明显提高。

4 结论

1）基于能量均匀化方法和改进的具有惩罚的实体各向同性材料（SIMP）插值模型，通过调整拓扑优化算法参数生成了4种负泊松比结构，并通过有限元仿真确定了变形模式最稳定、比吸能最高的结构。

2）将所提出的基于拓扑优化的4种负泊松比结构进行了对比验证，通过激光选区熔融工艺制备了样件并开展了准静态压缩实验，证明了所提结构优良的能量吸收特性和稳定的变形模式。

3）将负泊松比结构应用到列车防爬吸能器上，并构建了传统的蜂窝填充吸能器进行对比验证，在对心和40 mm偏心工况下，所提出的吸能器拥有较高的比吸能，且在偏心工况下，比吸能劣化率明显低于传统结构。

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基金资助

国家自然科学基金(52275124)

中国铁道科学研究院基金课题(2022YJ303)