整体叶盘叶片前后缘柔性抛光技术

Technology on Flexible Polishing for Leading and Trailing Edges of Blisk Blades

摘要

针对航空发动机叶片前后缘抛光加工效率低、表面质量及轮廓精度难以保证等问题开展了整体叶盘叶片前后缘自动化抛光工艺研究。分析了工艺参数对前后缘抛光接触区域尺寸的影响规律，建立了法向抛光力预测模型，预测值与实际值均方根误差为1.24 N；基于Preston方程对抛光接触区域内压缩量、主轴转速、海绵砂圈半径、进给速度和磨具粒度对材料去除的影响规律进行了建模。基于所提出的前后缘抛光材料去除深度预测模型进行实验，结果表明，叶片前后缘表面粗糙度降低至0.18 μm，验证了该预测模型可以有效地预测材料去除深度，海绵砂圈可以有效改善叶片前后缘粗糙度。

Abstract

Aiming at the problems of low polishing efficiency， difficulty in ensuring surface quality and profile accuracy of the leading and trailing edges of aero-engine blades， a study on the automated polishing processes for the leading and trailing edges of blisk blades was conducted. The influence of processing parameters on the size of the polishing contact area at the leading and trailing edges was analyzed， and a predictive model for normal polishing force was established， with a root mean square error of 1.24 N between the predicted and actual values. Based on the Preston equation， the effects of compression amount， spindle speed， sponge abrasive wheel radius， feed rate， and abrasive grit size on material removal in the polishing contact area were modeled. Experiments were conducted using the proposed predictive model for material removal depth at the leading and trailing edges. The experimental results show that the value of surface roughness of the blade leading and trailing edges is reduced to 0.18 μm， verifying that the predictive model may effectively forecast material removal depth. Additionally， the sponge abrasive wheel is proven to effectively improve the surface roughness of the blade leading and trailing edges.

Graphical abstract

关键词

整体叶片前后缘 / 抛光接触区域 / 材料去除深度 / 粗糙度

Key words

leading and trailing edges of blisk blade / polishing contact zone / material removal / roughness

Author summay

刘承硕^*（通信作者），男，1999年生，助理工程师。研究方向为航空发动机复杂薄壁件精密加工、先进光学制造、离子束抛光。E-mail：[e-mail]。

0 引言

航空发动机工作时，整体叶盘所承受的最大离心力、弯曲应力和热应力主要集中在前后缘，因此，前后缘是最容易出现疲劳失效的部位 ^［1-3］，存在加工缺陷的前后缘容易导致叶片出现疲劳裂纹和断裂，从而进一步影响整体叶盘的使用寿命^［4-5］。

在航空发动机叶片抛光工艺中，前后缘与叶盆和叶背的加工存在显著差异。目前常用的叶片前后缘抛光方式有机器人抛光、多轴联动数控砂带抛光和柔性磨具五轴联动数控抛光技术等。工业机器人重复定位精度低的缺点给整体叶盘等精密零件的抛光造成了一定的限制^［6］；多轴联动数控砂带抛光技术较为成熟，但是受限于砂带机构的大小，无法有效地对开敞性较差的整体叶盘前后缘区域进行抛光，对工件的形状要求较高^［7］；柔性磨具多轴联动数控抛光技术采用数控机床作为工作平台，利用轮型磨具对叶片前后缘进行抛光，具有重复定位精度高、可控性强和适应性强等优点^［8］。

目前国内外学者对叶片前后缘柔性抛光工艺进行了大量研究，包括柔性抛光工具、抛光材料去除等。ZHANG等^［9］研究了砂布页轮抛光复杂零件时关键工艺参数对表面纹理的影响，结果表明，抛光区域相对于刀具轴线是不对称的，在单线抛光中，纵向抛光时粗糙度最好，而斜向抛光时波纹度最好。YANG等^［10］通过Preston方程对球形抛光工具的材料去除率进行了建模。WU等^［11］针对机器人砂带抛光提出一种用于估算机器人砂带磨削过程切削量的新型模型，并验证了模型的有效性和准确性。张军锋等^［12］ 基于弹塑性接触理论对单颗磨粒进行受力分析，结合百页轮表面磨粒凸出高度分布函数建立了磨粒切入深度模型。

然而，整体叶盘叶片前后缘柔性抛光仍存在以下问题：①整体叶盘开敞性较差，需要足够小并且足够灵活的抛光工具对叶片前后缘进行抛光，目前技术成熟度较高的抛光工艺存在运动过程受限的问题；②整体叶盘叶片前后缘较薄，抛光中容易出现过抛情况，目前的叶片前后缘自动化抛光工具如砂布页轮容易因为柔性分布不均导致叶片前后缘过抛或者欠抛；③叶片前后缘抛光中接触区域极小，目前的抛光技术对接触区域的研究不够，对抛光接触区域在走刀中的变化过程了解较少，容易导致抛光材料去除分布不均的情况出现。

针对以上情况，本文采用海绵砂圈作为柔性抛光工具，对抛光接触区域进行研究，结合Preston方程和Hertz接触理论对材料去除进行建模，研究工艺参数和抛光接触区域对材料去除的影响规律。

1 叶片前后缘抛光工具

根据前后缘结构特点和抛光精度要求，针对整体叶盘叶片前后缘的抛光工具必须具备柔性好、稳定性好（磨具的工作状态不随抛光过程的进行发生较大的变化）、材料去除一致性好、可达性好的特点。本文选用的新式抛光工具被命名为海绵砂圈磨具（图1），海绵砂圈磨具由外向内分为三层结构，依次为砂带、海绵和夹持器。夹持器由软质橡胶和金属芯轴制成，在使用时将海绵砂圈套到夹持器上，在软质橡胶的外部有凸起的结构，用于固定外层的海绵砂圈部分，使海绵砂圈与刀杆同步旋转。

2 抛光接触区域研究

叶片前后缘厚度小、曲率大、抛光精度高，为了使抛光过程清晰可控，需要对抛光接触区域进行准确计算。虚拟渗透法^［13］的快速接触计算模型受叶片前后缘曲率变化的影响较小，同时计算过程简单，并且在对接触区域进行修正后可以较好地描述抛光接触区域形状以及抛光接触压力，因此本文基于虚拟渗透法对叶片前后缘抛光接触状态进行研究。与此同时，考虑到海绵砂圈为旋转体，可认为它与叶片前后缘接触过程中具有某些赫兹接触特性，因此基于赫兹接触理论对抛光接触区域内法向抛光压力的分布进行分析研究。虚拟渗透法原理如图2所示。

在海绵砂圈与叶片前后缘的抛光接触中，海绵砂圈的弹性远远大于叶片的弹性，叶片的弹性变形远远小于海绵砂圈的变形，因此可以将海绵砂圈与叶片的接触简化为弹性体和刚体的接触。图3所示为抛光加工过程中海绵砂圈与叶片前后缘的接触状态。

图3所示抛光接触区域为海绵砂圈与叶片前后缘的理论贯穿区域，按照虚拟渗透法的原则，位于理论贯穿区域的叶片前后缘表面并不会被海绵砂圈完全覆盖，海绵砂圈通过柔性变形对叶片前后缘产生一定程度的包裹效果，材料去除就发生在被包裹区域内。对理论贯穿区域数据进行提取如图4所示。

以抛光接触点（刀触点）为原点O建立笛卡儿坐标系，x轴方向为沿抛光轨迹的切线方向，y轴方向为沿刀轴方向。关注Oyz平面上的抛光接触状态，如图5所示，压缩量为海绵砂圈沿刀触点处叶片前后缘法向负方向的下压深度，虚拟接触区域为海绵砂圈和叶片前后缘在不考虑干涉的情况下模型贯穿的区域，实际接触区域为海绵砂圈发生弹性变形后对叶片前后缘产生包裹的区域，也就是发生材料去除的区域，实际接触深度为实际接触区域沿刀位点处叶片前后缘法向反方向的深度。

接下来关注Oxz平面上的抛光接触状态，如图6所示，海绵砂圈受到叶片前后缘的挤压作用发生弹性变形，使得沿x轴方向海绵砂圈表面不能覆盖叶片前后缘模型贯穿区域，实际接触区域长度小于虚拟接触区域长度。

图5和图6所示为海绵砂圈和叶片前后缘的理论抛光接触状态，海绵砂圈为圆柱形，沿x轴正方向，海绵砂圈的压缩量逐渐减小，沿y轴方向上海绵砂圈与工件的相对运动量也逐渐减小，直到实际接触区域的边缘，海绵砂圈与工件的相对运动量为零，海绵砂圈表面脱离叶片前后缘，在x=0处海绵砂圈压缩量最大，沿y方向的实际接触区域宽度也最大。因此可以假设抛光接触区域为以抛光接触点为中心，沿x轴方向实际接触区域长度为长轴2a，沿y轴方向实际接触区域长度为短轴的近似椭圆区域，不同实验参数的单点抛光接触实验也验证了这个假设，如图7所示。从刀触点出发，越靠近叶片前后缘曲率越大，曲率变化越快，这部分的短半轴长度b₂也更小。越靠近叶盆叶背曲率越小，曲率变化也越小，这部分的短半轴长度b₁也更大。

抛光接触区域面积可用下式计算：

S=\mathrm{\pi }a(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})/\mathrm{2}（1）

抛光过程中影响抛光接触状态的关键工艺参数包括压缩量、海绵砂圈半径和抛光接触区域曲率半径，进行正交试验对长半轴a和短半轴b₁、b₂的收缩比例进行探索。实验参数如表1所示，不同工艺参数组合下长轴2a和短半轴b₁、b₂收缩比例如表2所示。

实验结果表明，在抛光工具和抛光工件材料不变的情况下，改变工艺参数以及抛光工具和抛光工件的尺寸参数对收缩比例影响较小，长轴2a和短半轴b₁、b₂收缩比例的平均值分别为0.699、0.497和0.500，实验结果与平均值的偏差均在±5%以内，各工艺参数对收缩比例影响较小。

通过上文研究发现，对于固定的海绵砂圈磨具抛光叶片前后缘，实际接触区域与虚拟接触区域尺寸有固定的收缩比例，通过对虚拟接触区域的提取即可对实际接触区域进行求解。

3 基于Preston方程的前后缘抛光材料去除深度模型

基于以下Preston方程对材料去除深度进行建模：

\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}T}=Kpv（2）

式中：dH为单位时间dT内接触点处的材料去除深度；K为Preston系数，与磨具材料、加工参数等有关；p为抛光接触区域内任一点的抛光压力；v为抛光工具在这一点处与工件之间的相对运动速度。

海绵砂圈与抛光点之间的相对运动速度主要来自于主轴的旋转，忽略进给速度的影响，则相对运动速度为

v=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\omega R}{\mathrm{1000}}（3）

式中：\omega为主轴转速。

3.1 法向抛光力模型

根据前期实验确定法向抛光力的关键影响工艺参数包括抛光接触区域面积S、压缩量a_p和海绵砂圈半径R，对抛光力与压缩量和抛光接触区域面积之间的关系进行分析，实验结果如表 3所示。

从实验结果可以得知，针对不同半径的海绵砂圈，抛光力F由压缩量a_p和抛光接触区域面积S共同决定。针对不同半径的海绵砂圈磨具进行关于F（a_p，S）函数的拟合分析，变化趋势如图8所示。

建立法向抛光力模型的表达式如下：

F=K{a}_{\mathrm{p}}^{{\beta }_{\mathrm{1}}}{S}^{{\beta }_{\mathrm{2}}}{R}^{{\beta }_{\mathrm{3}}}（4）

式中：β₁、β₂、β₃为待定系数。

对式（4）两边同时取对数，将非线性函数化简为线性函数：

\mathrm{l}\mathrm{n}F=\mathrm{l}\mathrm{n}K+{\beta }_{\mathrm{1}}\mathrm{l}\mathrm{n}{a}_{\mathrm{p}}+{\beta }_{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}S+{\beta }_{\mathrm{3}}\mathrm{l}\mathrm{n}R（5）

令Y=ln F，β₀=ln K，x₁=ln a_p，x₂=ln S，x₃=ln R，将实验数据代入式（5），得到如下结果：

\mathit{X}=[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& x_{\mathrm{1}}& x_{\mathrm{2}}& x_{\mathrm{3}}\end{array}]=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{0.15}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{0.7388}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{6}\\ \mathrm{1}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{0.15}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{1.4953}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{6}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \mathrm{1}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{0.3}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{9.3380}& \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{10}\end{array}\right]（6）

\mathit{Y}={[\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2.4826}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{4.4497}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{12.6445}]}^{\mathrm{T}}（7）

令 β =［β₀β₁β₂β₃］，通过最小二乘法化简得 β 的估计量表达式为

\mathit{\beta }=({\mathit{X}}^{\mathrm{T}}{\mathit{X})}^{-\mathrm{1}}{\mathit{X}}^{\mathrm{T}}\mathit{Y}（8）

计算得到β₀、β₁、β₂和β₃分别为3.8830，0.1745，0.8019，-1.3121。所求线性回归方程为

Y=\mathrm{3.8830}+\mathrm{0.1745}{x}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.8019}{x}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1.3121}{x}_{\mathrm{3}}（9）

进而得到法向抛光力预测模型为

F=\mathrm{49.57}{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.1745}}{S}^{\mathrm{0.8019}}{R}^{-\mathrm{1.3121}}（10）

3.2 模型验证与交互效应分析

对预测模型进行预测精度量化验证，计算预测值与实验值的误差指标，结果显示均方根误差（σ_RMSE）为1.24 N，平均绝对百分比误差（σ_MAPE）为6.8%（数据集n=36）。±1.5σ（σ为标准差）区间内标准化残差分布如图9所示，预测-实测值散点图见图 10，通过标准化残差分析发现，残差呈无偏随机分布（95%残差位于±1.5σ区间），且无系统性趋势，表明模型中参数的非线性耦合关系能够隐式描述变量间的主导交互效应。

3.3 法向抛光压力分布

海绵砂圈与叶片前后缘接触过程中具有某些赫兹接触特性，赫兹接触理论假设法向抛光压力的分布在抛光接触点法向上为半椭球形，见图11。

图11中，p_max为抛光接触区域内最大法向抛光压力，出现在抛光接触点O处，此处海绵砂圈的压缩量最大，从抛光接触点到抛光接触区域的边缘压缩量逐渐减小，法向抛光压力按照椭球面的规律逐渐减小，接触区域内法向抛光压力的分布假设为以下形式^［14］：

（11）

式中：p_xy 为抛光接触区域内（x，y）坐标处的法向抛光压力；a为抛光接触区域的长半轴；b₁ 为叶形侧的短半轴；b₂ 为叶缘侧的短半轴。

通过在抛光接触区域内对法向抛光压力进行积分的方式可以求得抛光接触区域内的平均抛光力。

对抛光接触区域抛光压力靠近y轴正方向的部分进行求解，其函数形式为

p(x,y)=p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}y\ge \mathrm{0}（12）

将式（12）在x从-a到a，y从0到b_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}}进行积分，其中b_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}}由t₁表示，得到

F_{b_{\mathrm{1}}}=p_{b_{\mathrm{1}}}{S}_{b_{\mathrm{1}}}={\iint }_{S_{b_{\mathrm{1}}}}^{}p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=

{\int }_{-a}^a{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{p}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y（13）

S_{b_{\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }a{b}_{\mathrm{1}}（14）

式中：F_{b_{\mathrm{1}}}为该区域的总抛光力；p_{b_{\mathrm{1}}}为这部分区域的平均抛光压力；S_{b_{\mathrm{1}}}为这部分抛光接触区域的面积。

同理可求抛光接触区域靠近y轴负方向的部分抛光力（其中b_{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}}由t₂表示）：

F_{b_{\mathrm{2}}}=p_{b_{\mathrm{2}}}{S}_{b_{\mathrm{2}}}={\iint }_{S_{b_{\mathrm{2}}}}^{}p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=

{\int }_{-a}^a{\int }_{-t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{0}}{p}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y（15）

S_{b_{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }a{b}_{\mathrm{2}}（16）

式中：F_{b_{\mathrm{2}}}为靠近y轴负方向区域的总抛光力；p_{b_{\mathrm{2}}}为这部分区域的平均抛光压力；S_{b_{\mathrm{2}}}为这部分抛光接触区域的面积。

则抛光接触区域内的总力可以表示为

F=F_{b_{\mathrm{1}}}+F_{b_{\mathrm{2}}}=p_{b_{\mathrm{1}}}{S}_{b_{\mathrm{1}}}+p_{b_{\mathrm{2}}}{S}_{b_{\mathrm{2}}}（17）

将式（15）和式（16）代入式（17）可得抛光接触区域内总抛光力和最大抛光压力的关系：

F={\int }_{-a}^a{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}{p}_{max}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+

{\int }_{-a}^a{\int }_{-t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{0}}{p}_{max}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y（18）

由于式（18）中p_max不参与积分内的计算，因此可以将其提取出来进行求解，如下式所示：

p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=F({\int }_{-a}^a{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+

{{\int }_{-a}^a{\int }_{-t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{0}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y)}^{-\mathrm{1}}（19）

\begin{array}{l}{\int }_{-a}^a{\int }_{\mathrm{0}}^{t_{\mathrm{1}}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\\ {\int }_{-a}^a{\int }_{-t_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{0}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\end{array}

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{\pi }a(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})（20）

将式（19）、式（20）和式（1）代入式（11）中，即可得到抛光接触区域内任一点的法向抛光压力：

（21）

3.4 材料去除深度预测模型

将式（21）和式（3）代入式（2）中可得基于Preston方程的抛光材料去除深度模型：

（22）

基于材料去除深度模型对材料去除轮廓高度进行研究，如图12所示，沿抛光轨迹的材料去除轮廓高度为将材料去除深度沿进给方向积分，接触区域内任一点（例如点y）的材料去除深度为将材料去除深度从点a₁到点a₂的积分。

材料去除轮廓高度的计算如下式：

h(y)={\int }_{a_{\mathrm{1}}}^{a_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}T}\mathrm{d}x（23）

式（23）中材料去除深度h（y）为单位时间内的材料去除深度，考虑到进给速度对叶片前后缘的抛光接触时间的影响，接触时间dT可以由进给速度v_f表示，则上式可以表示为

h(y)=（24）

对式（24）进行计算，当y\ge \mathrm{0}时

a_{\mathrm{1}}=-a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}（25）

a_{\mathrm{2}}=a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}（26）

当y<0时

a_{\mathrm{1}}=-a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}（27）

a_{\mathrm{2}}=a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}（28）

将式（25）、式（28）分别代入式（24），材料去除轮廓高度为^［15］

（29）

{\int }_{-a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}}^{a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x=\mathrm{4}\mathrm{\pi }a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}}（30）

同理：

{\int }_{-a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}}^{a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}}\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{d}x=\mathrm{4}\mathrm{\pi }a\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}（31）

将式（30）和式（31）代入式（29）即可得到材料去除轮廓高度的表达式：

（32）

由推导出的Preston方程可知，在加工过程中主轴转速、海绵砂圈半径、压缩量、抛光工件的形状特征和抛光工具的材料特性等都对材料去除深度有影响。

对K进行标定，考虑到磨具粒度对材料去除深度的影响，引入磨具粒度系数对Preston方程进行修正，令

K=K_{\mathrm{1}}{P}_{\#}^c（33）

式中：K₁为修正后的Preston系数；P_#为磨具粒度；c为粒度的指数。

为了确定模型中的未知系数K₁、c，对工件表面y=0点处进行抛光实验后测量抛光材料去除深度，然后进行逆向求解。因此可以将式（33）代入式（32）简化为

h(y)=K_{\mathrm{1}}{P}_{\#}^c\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\omega a}{v_{\mathrm{f}}}{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.1745}}{S}^{-\mathrm{0.1981}}{R}^{-\mathrm{0.3121}}（34）

对式（34）进行变形，可以得到

K_{\mathrm{1}}{P}_{\#}^c=\frac{v_{\mathrm{f}}{S}^{\mathrm{0.1981}}{R}^{\mathrm{0.3121}}h(y)}{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\omega a{a}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{0.1745}}}（35）

为了方便起见，选用圆柱面模拟件进行抛光实验，选用半径为0.3 mm的圆柱面模拟件作为抛光工件，半径为10 mm的海绵砂圈作为抛光工具，压缩量选择0.2 mm。

在海绵砂圈与圆柱面模拟件进行接触时，接触状态如图13所示。

通过几何计算，虚拟接触区域的a=1.990 mm，b₁=b₂=0.283 mm，结合上文的抛光接触区域的收缩比例，短半轴和长半轴的收缩比例分别为0.492、0.498和0.697，对0.492和0.498取平均数0.495作为短半轴收缩比例，根据下式对抛光接触区域的面积S进行计算：

S=\mathrm{0.495}•\frac{b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}•\mathrm{0.697}•\mathrm{\pi }a（36）

计算结果S=0.614 mm²，对抛光接触时间进行改变，确定抛光接触中心点的材料去除深度变化，实验现场如图14所示。

抛光过程中的参数和计算结果如表4所示，对材料去除深度进行测量并计算系数c和K₁，则可以求得抛光材料去除深度模型：

（37）

由式（37）可以看到，材料去除轮廓的深度随着磨粒粒度、抛光接触面积和海绵砂圈的增大而减小，随着压缩量的增大而增大。

4 实验验证

对材料去除轮廓高度预测模型进行验证，考虑到实际加工中的适用性，实验中工艺参数如表 5所示，利用式（37）对材料去除轮廓高度进行计算。

实验现场如图15所示，使用表面特征轮廓测量仪对抛光后的叶片前后缘廓形进行测量，测量现场如图16所示。仿真廓形和实验廓形对比如图17所示。

实验表明，材料去除轮廓高度预测模型的仿真值和测量所得的轮廓曲线吻合程度良好，同时可以发现，对圆柱面模拟件进行抛光时，材料去除轮廓高度近似椭圆形。验证了本文提出的材料去除轮廓高度模型的准确性。

对材料去除轮廓高度预测模型进行仿真分析，工艺参数选择如表6所示。仿真结果如图18所示。

基于本文提出的前后缘抛光材料去除深度模型开展叶片前后缘抛光实验，实验结果如图19所示。可以看到磨粒切削后的表面纹理细腻均匀，一致性好，表面未出现坑洞、裂痕和铣削刀痕等瑕疵。

对铣削和抛光过后的叶片前后缘粗糙度进行测量，结果如图20所示，经过抛光之后，叶片前后缘的表面粗糙度Ra降低至0.18 μm以下，满足工艺要求的粗糙度Ra0.2 μm。

5 结论

1）在海绵砂圈磨具抛光叶片前后缘时，实际接触区域与虚拟接触区域尺寸有固定的收缩比例，对于本文采用的海绵砂圈，长轴2a和短半轴b₁、b₂收缩比例分别为0.699、0.497和0.500。

2）法向抛光力与压缩量、抛光接触区域面积成正比，与海绵砂圈半径成反比。

3）抛光过程中法向抛光压力呈椭球分布，抛光中心点处法向压力最大，越靠近抛光接触区域边缘法向抛光压力越小，在边缘处法向抛光压力为0。

4）材料去除轮廓的深度与压缩量、主轴转速和海绵砂圈半径成正比，与进给速度和磨具粒度成反比；材料去除轮廓的开口大小与压缩量成正比。

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基金资助

中物院科学技术发展基金(TCGH0812)