复杂工况下磨齿机主轴运行模态的分析方法

Operation Modal Analysis Method of Gear Grinding Machine Spindle Operations under Complex Working Conditions

摘要

针对磨齿机主轴服役状态下振动形式复杂、模态特征难以有效识别的问题，提出一种基于自适应噪声完备集合经验模态分解与相关性分析的方法。采用有限元模态分析方法定义频带范围，采用小波阈值分级法保留模态特征信息。采用倒频谱法编辑信号，以识别并剔除转子产生的谐波响应。不同降噪方法与二自由度算例的验证结果表明，所提方法处理后的模态识别误差减小至1.3%，极点稳定时的拟合阶次降低76.7%，可准确识别服役状态下机床旋转部件的模态特征。

Abstract

Aiming at the problems that the spindle vibrations in grinding machines were complex and the modal characteristics were difficult to effectively identified under the service states. Based on adaptive noise complete ensemble empirical mode decomposition and correlation analysis， a method was proposed. The finite element modal analysis was used to define the frequency band range， and the wavelet threshold classification method was used to retain the modal feature information. In order to identify and eliminate the harmonic response generated by rotor， a method was used in signal cepstrum editing. Different noise reduction methods and 2-DOF examples show that the modal identification errors are reduced to 1.3% after processing by the proposed method， the fitting order is reduced 76.7% as the poles are stable， and the modal characteristics of the rotating parts are accurately identified for the machine tool in service.

Graphical abstract

关键词

工作模态分析 / 自适应噪声完备集合经验模态分解 / 小波阈值分级准则 / 倒频谱编辑 / 磨齿机 / 参数识别

Key words

operational modal analysis / complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise / wavelet threshold grading criterion / cepstrum editing / grinding machine / parameter identification

0 引言

磨齿加工的齿轮表面质量由砂轮的磨削轨迹、砂轮与齿轮的相对运动决定。磨齿机工作时，发生振动的主轴带动砂轮一起振动，从而在被加工齿轮表面留下波纹，恶化齿轮表面光洁度，影响齿轮服役性能，因此分析磨齿机主轴振动信号对提高机床加工性能和磨齿加工精度具有重要意义。

振动与机床的动力学特性相关^［1］，机床振动信号包含的结构特征主要为固有频率、阻尼比和振型。磨齿机主轴在服役状态下的载荷与静态不同^［2-3］，且输入激振力难以测量。为解决服役中机械模态的识别问题，仅需输出响应信号即可实现参数识别的工作模态分析法应运而生^［4］。根据结构动力学理论，系统在平稳随机激励下的结构响应频谱峰全部源于结构共振。磨齿机工作时，系统激励包含多个谐频分量，采集的主轴振动信号既有各部件相互作用产生的随机振动噪声，也有转动部件产生的周期性谐波。在缺少激励信息的情况下，工作模态分析识别出的虚假模态参数往往占据主导，致使模态识别需要更多拟合。

众多学者针对随机与周期性谐波激励的模态识别问题进行了大量研究。殷红等^［5］结合变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）与随机子空间识别（stochastic subspace identification，SSI）来识别模态参数，优化VMD分层效率，并结合奇异值分解方法降噪，模态识别的精度较高。魏博文等^［6］结合改进小波阈值与经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）预处理振动信号，结合Hilbert-Huang变换与随机减量技术识别滤波降噪后信号的模态参数，并将其用于高拱坝泄流的模态识别。蔡改贫等^［7］将自适应噪声的完备集合经验模态分解（complete EEMD with adaptive noise，CEEMDAN）与小波阈值法结合，以降噪处理球磨机筒体结构的实测信号。MODAK等^［8-10］采用随机减量技术去除实测信号中的谐频分量，但该方法需人工调整激励响应，因此实际应用较少。夏遵平等^［11］针对旋转机械结构模态和谐频模态中谱峭度幅值的差异，使用谱峭度识别工具剔除谐频分量，并通过实测信号进行了验证。秦潮^［12］基于切削激励的周期性谐频特征，提出倒谱编辑法来剔除周期谐波成分，并将该方法用于铣床切削振动数据的处理。陈伟等^［13］在多谐波激励影响下，采用倒谱编辑法处理转子结构模态识别的谐频与结构模态重叠问题，并利用实测的航空发动机信号验证了所提方法的有效性。

上述研究对简单激励下的信号预处理具有良好效果。蜗杆砂轮磨齿机的振动信号包含复杂的噪声信号和周期性谐波信号，难以识别关键模态参数、监控磨齿机加工状态及工件表面质量，因此本文提出一种适用于混合激励的磨齿机模态参数识别方法。蜗杆砂轮磨齿机的主轴振动特性识别实例验证了所提方法的适用性。

1 CEEMDAN-小波阈值分级与倒频谱编辑

1.1 CEEMDAN原理

磨齿机实测信号的前处理通常采用EMD，但EMD会产生模态混叠和端点效应^［14］，影响降噪效果。集合经验模态分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）能减少模态混叠，但处理后的信号包含噪声。CEEMDAN在EMD中加入白噪声，并将所得IMF分量与前次分解分量求平均，解决了模态重叠与残余噪声问题。CEEMDAN算法具体步骤如下：

1）根据初始信号x（t）的中高频分量（含噪分量）的标准差，确定添加白噪声的标准差σ和EMD分解次数（白噪声次数）N^［15］。

2）在x（t）中添加N次均值为0、标准差为σ的高斯白噪声，获得待分解信号x_i （t）（i=1，2，…，N）。通过EMD获得x_i （t）的N个IMF分量并求其均值，得到第一个模态函数分量

IM{F}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}IMF(x_i(t))（1）

在第一阶段，计算第一阶余量残差

r_{\mathrm{1}}(t)=x(t)-IM{F}_{\mathrm{1}}（2）

3）以一阶残差为初始数据，构造新的噪声序列：

r_{\mathrm{0}}(t)=r_{\mathrm{1}}(t)+{\sigma }_{\mathrm{1}}{v}_i(t)（3）

式中：σ₁为噪声系数；v_i （t）为添加的白噪声。

重复步骤2），通过EMD处理新的噪声序列，依次得到IMF₂、IMF₂、…、IMF_k，最终得到第k阶余量残差

r_k(t)=r_{k-\mathrm{1}}(t)-IM{F}_k（4）

对r_k （t）添加白噪声并构造新的噪声序列r_k(t)+{\sigma }_k{v}_i(t)。重复步骤2），则第k+1阶模态分量为

IM{F}_{k+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{E}_{\mathrm{1}}(r_k(t)+{\sigma }_k{v}_i(t))（5）

4）若r_k （t）的极值点数小于2，则分解结束，反之，则重复步骤3）直至极值点数小于2。最后的分解结果为

x(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}IM{F}_k+r_k（6）

1.2 相关性重构及小波阈值分级理论

CEEMDAN得到的IMF分量中，噪声为主导分量时，相关系数较小；反之，相关系数较大。根据实验分析所得的相关系数为

C_i=\frac{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}(IM{F}_i(k)-\overline{IMF})(x(k)-\overline{x})}{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}(IM{F}_i{(k)-\overline{IMF})}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}(x{(k)-\overline{x})}^{\mathrm{2}}}（7）

\overline{x}=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}x(k)\overline{IMF}=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}IM{F}_i(k)

式中：IMF_i （k）为IMF_i 的第k个元素，k=1，2，…，n；x（k）为原始信号x的第k个元素；n为信号序列长度。

剔除相关性低的噪声信号后，重构其余信号。重构信号x_k （t）的模态信息与部分高频噪声分量混合，因此采用小波阈值进行二次分级降噪，即在去除噪声的同时保留频率范围内的模态信息。小波分解时，不同尺度的小波系数对应的频率范围不同，因此根据尺度对小波系数进行分段处理，并对各频段分别设置阈值以实现分级降噪。阈值处理通常采用软阈值或硬阈值函数，其中，软阈值可获得平滑的重构信号，硬阈值有助于保持突变特征。对不同频段的小波系数施加适应性阈值可有效抑制噪声并保留信号中有意义的模态结构。

本文的降噪方法具体如下：首先通过CEEMDAN得到初始信号的各本征分量，并采用相关性分析法筛选重构分量；然后由频率范围确定小波分解层次；最后通过小波阈值分级过滤小波系数剔除识别的虚假模态。

1.3 倒频谱编辑

含转子结构工作时会产生谐波激励，这导致难以区分谐频模态和结构模态，故通过倒频谱编辑法识别并消除谐波对结构响应的影响。倒频谱包含复倒谱和实倒谱^［16］。实倒谱在实数域处理且计算难度低、准确度较高，因此文中的倒频谱编辑采用实倒谱。

输入振动信号x（t）的倒频谱为

（8）

实倒谱为

C_{\mathrm{r}}={}^{-\mathrm{1}}\{\mathrm{I}\mathrm{n}(A(f))\}（9）

式中：A（f）、θ（f）分别为快速傅里叶变换（FFT）所得的幅值与相位； {}^{-\mathrm{1}}表示傅里叶逆变换。

倒频谱编辑的具体程序如图1所示。基频及其倍频在倒谱中表现为周期性幅值，因此使用窗函数将其过滤。矩形窗通过梳状孔过滤周期性谐波，可保留初始信号的模态特征，因此采用周期矩形窗

W(\chi )=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1}& kT+\mathrm{\Delta }T\ge \chi \ge kT-\mathrm{\Delta }T\\ \mathrm{0}& (k+\mathrm{1})T-\mathrm{\Delta }T\ge \chi \ge (k+\mathrm{1})T+\mathrm{\Delta }T\end{array}\right.（10）

k=1，2，…

式中：T为倒频谱中基频出现的周期；ΔT为滤波宽度。

来编辑实倒谱。

2 随机子空间法模态识别

随机子空间法过计算实测响应信号的空间矩阵进行模态识别。多自由度黏性阻尼系统的微分方程为

\mathit{M}\ddot{\mathit{x}}+\mathit{C}\dot{\mathit{x}}+\mathit{K}\mathit{x}=\mathit{F}（11）

式中： M 为质量矩阵； C 为阻尼矩阵； K 为刚度矩阵；\ddot{\mathit{x}}为加速度；\dot{\mathit{x}}为速度； x 为位移； F 为外部作用力向量。

通过状态空间变换将式（11）转化为一阶微分方程并将位移、速度等变量定义为状态向量：

\mathit{z}={[\begin{array}{cc}{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}& {\dot{\mathit{x}}}^{\mathrm{T}}\end{array}]}^{\mathrm{T}}（12）

基于复模态理论构造状态k的空间模型：

\left.\begin{array}{l}{\mathit{z}}_{k+\mathrm{1}}=\mathit{A}{\mathit{z}}_k+{\mathit{w}}_k\\ {\mathit{y}}_k=\mathit{C}{\mathit{z}}_k+{\mathit{v}}_k\end{array}\right\}（13）

式中： A 、 C 分别为状态矩阵和输出矩阵； z_k 为状态点位； y_k 为 z_k 对应的输出； w_k 为输入的随机激励； v_k 为测量误差，假定为白噪声。

确定 A 、 C 后，即可将求解状态空间模型类比简化为求解式（13）的特征值。对 A 进行特征值分解，得

\mathit{A}=\mathit{\psi }\mathit{\Lambda }{\mathit{\psi }}^{-\mathrm{1}}（14）

Λ =diag（λ₁，λ₂，…，λ_n ）（15）

式中： ψ 为特征矩阵。

系统结构的固有频率ω_i 和阻尼比ζ_i 分别为

\left.\begin{array}{l}{\omega }_i=\frac{\left|{\lambda }_{\mathrm{a},i}\right|}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\\ {\zeta }_i=\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}({\lambda }_{\mathrm{a},i})}{\left|{\lambda }_{\mathrm{a},i}\right|}\end{array}\right\}（16）

连续时间系统的第i个极点λ_a，i 与离散时间特征值λ_i 的关系为

λ_a，i =f_slnλ_i（17）

式中：f_s为采样频率。

随机子空间算法有两种计算形式：数据驱动（SSI-DATA）和协方差驱动（SSI-COV）。数据驱动的操作性更强、识别精度更高，因此本文采用数据驱动的随机子空间算法识别结构的模态参数。

对于自由度较多的机械设备，通常借助稳定图识别可靠的模态参数。计算前无法预先确定合适的模型阶次，一般设定较大的最大阶次，从低阶开始，逐步提高阶次并反复进行极点拟合，以覆盖感兴趣频带内的所有可能模态。模型阶次过大会引入虚假模态，阶次过小难以完整识别真实模态，因此需要借助稳定图区分真实模态和虚假模态。真实模态在不同阶次下都会重复出现，其固有频率和阻尼比随阶次变化较小；虚假模态对阶次十分敏感，其参数在相邻阶次之间波动较大。因此，将相邻两阶中的固有频率和阻尼比的变化小于给定阈值的极点定义为稳定极点，并绘制在稳定图中。随着模型阶次的增加，稳定极点在频率轴上呈带状分布，而由数值噪声产生的不稳定极点则在频带内散乱分布。本文采用如下判据：

式中：ω_i 为i阶固有频率；{\zeta }_i为第i阶阻尼比。

来定量判断极点是否稳定。图2为磨齿机主轴模态参数的识别程序图。

3 工程实例

3.1 模态特征频带划分

3.1.1 有限元仿真

主轴右端连接电机，中部安装砂轮，左端通过刀具轴的刀杆支架固定。传感器安装在主轴左端。采用有限元分析方法确定测点位置，以有限元所得固有频率范围划分小波阈值分级频带。装配状态下，磨齿机主轴（B轴）两端固定，有限元分析仅考虑转速影响，建立的模型如图3所示。

利用有限元仿真计算该模型的模态，前三阶模态的固有频率如表1所示，相应振型如图4所示，主轴左端及中部为主要变形区域。

3.1.2 实验模态验证

为验证有限元划分的频率范围可靠性，进行实验模态分析。静止状态下，以力锤对磨齿机主轴施加激励，通过力传感器采集力和振动加速度的信号。在测点附近以力锤从X、Y、Z向敲击，每个方向重复敲击5次。磨齿机主轴前3阶的模态参数如表2所示，固有频率与有限元仿真结果一致。

3.2 工作模态效果分析

实验仪器包括YS7232H蜗杆砂轮磨齿机、三向加速度传感器、振动采集卡、振动采集箱、基于LabVIEW开发的磨齿振动信号采集系统。磨齿机主轴转速为1376 r/min，轴向进给速度为80 mm/min，径向进给量为0.16 mm，采样频率为1024 Hz，测试采集时间为60s。采集的初始信号如图5所示。

3.2.1 CEEMDAN-小波阈值分级处理

以EMD处理后的高频IMF分量为标准，将其等视为噪声分量，求解可得步骤2）添加噪声的标准差σ为0.138，加入白噪声的次数N为191，CEEMDAN得到的14个IMF模态分量如图6所示，相关性分析结果如表3所示。参考已有研究及实验，相关系数C的分界值取0.3^［17］。模态分量IMF₄的相关系数接近0.3，故对IMF₁~IMF₃和IMF₁~IMF₄的重构信号与初始信号做相关性分析，IMF₁~IMF₃和IMF₁~IMF₄对应的相关系数分别为0.9127和0.8212，由此可得IMF₄中的噪声为主导分量。剔除C<0.3的IMF分量后，重构其余分量，得到初次降噪后的振动加速度信号。

小波分解时，U_o 为高频系数，Y_o 为低频近似系数，o为分解后系数的个数。通常情况下，高频信号中的噪声占主导，低频信号的随机噪声和固有特征（分别存于U_o 和Y_o ）占主导。根据有限元模态分析结果划分的频率范围60~260 Hz，采用4层db4小波分解，对应的5组小波系数为d₁~d₄和a₄。相比于软阈值，硬阈值能保留信号的局部特征。虽然硬阈值的不连续会在阈值附近产生噪声，但对模态识别影响较小。

以硬阈值函数滤掉cd₁和ca₄级小波系数，重构其余级别的小波系数，得到降噪后的振动信号。如图7所示，降噪前，信号存在许多毛刺；降噪后，频带外（0~60 Hz、260~512 Hz）的毛刺消除，识别出的部分虚假模态分量（定义为随机谐频模态）被剔除。

为进一步说明振动噪声对模态特征的影响，分别采用传统小波阈值法、未分级CEEMDAN–小波阈值法、本文提出的分级小波阈值方法对同一原始信号进行处理，结果如图8所示。传统小波阈值法采用同一阈值，对频率100 Hz以上的小波系数抑制过强，高频模态峰大部分被滤除，仅保留了0～100 Hz的低频成分；未分级CEEMDAN-小波阈值法同样以单一阈值对各尺度系数进行处理，导致关键频带内的部分模态特征被明显削弱，甚至被噪声淹没。本文方法先按频带对小波系数进行分级，再分别设定阈值，仅抑制目标频带外的随机噪声，在有效降低噪声背景的同时，较完整地保留了关键频带内的模态特征。

3.2.2 倒频谱编辑

3.2.2.1 仿真验证

设计二自由度系统验证倒频谱编辑方法的有效性，系统的模态参数如表4所示，质量矩阵 M 、阻尼矩阵 C 和刚度矩阵 K 分别为

\mathit{M}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\mathrm{k}\mathrm{g}

\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{13.53}& \mathrm{9.02}\\ \mathrm{9.02}& \mathrm{22.55}\end{array}\right]\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}

\mathit{K}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{80000}& -\mathrm{28000}\\ -\mathrm{28000}& \mathrm{56000}\end{array}\right]\mathrm{N}/\mathrm{m}

对系统中的2个质量块添加正态分布的噪声（方差为0.1 m²/s⁴），第一个质量块加入基频30 Hz的1~4倍谐波激励，第二个质量块加入基频20 Hz的1~5倍谐波激励。系统的采样频率为1024 Hz，采样时间为50 s。图9所示为第二个质量块位移的方向自功率谱，其中，30.84 Hz、29.49 Hz 处的共振峰对应系统的第一阶固有频率w₁、第二阶固有频率w₂。周期性峰值m₁～m₅和r₁～r₄为添加的两组谐波激励。第一阶固有频率30.84 Hz和第一组谐波的基频30 Hz接近，容易造成模态识别困难。

对仿真系统信号进行倒频谱编辑处理，得其幅值谱和相位谱，取对数后逆傅里叶变换的实倒谱如图10所示，设置窗函数滤波函数（红色曲线）周期T为1/30 s和1/20 s，窗函数滤波宽度设置为周期的10%。

分析自功率谱发现，谐频特征峰值布满频带，模态识别的虚假模态30 Hz与真实模态30.88 Hz极为接近，手动去除虚假模态参数时易产生较大误差，且难以辨识阻尼比。对倒谱编辑处理后的信号采用SSI-DATA法识别模态参数并绘制稳定图（图11），稳定极点以蓝色圆圈表示，绿色五角星表示不稳定极点。随着模态阶次增大，稳定极点逐渐排列成一条规则的直线，不稳定的极点较为分散，以该判定原则通过稳定图进行模态分析。倒谱编辑后，自功率谱中的周期谐波被剔除，虚假模态被过滤，残余峰值对识别效果影响不大。

3.2.2.2 实测信号验证

转速不变时，在转速及其倍数处出现谐频，主轴转速1376 r/min的转频为22.93 Hz。以本文方法识别磨齿机主轴结构的模态参数，采用SSI-DATA法识别倒频谱编辑前后的模态参数并绘制稳定图（图12）。图12a所示为峰值附近频率内识别出的虚假模态（与主轴转频及倍频重叠）；倒频谱编辑处理后，虚假模态被剔除，如图12b所示。

使用SSI-DATA法对初始信号（信号A）、仅降噪信号（信号B）、降噪-倒频谱后信号（信号C）进行模态参数识别。由表5可知，本文方法识别快、准确性高。本文方法可剔除虚假分量，通过SSI-DATA法识别真实模态时，稳定图的稳定极点拟合阶次低、识别效率高。

3.2.3 模态识别结果对比分析

采用固有时间尺度分解（intrinsic time-scale decomposition，ITD）^［18］识别初始信号、仅降噪信号和降噪-倒频谱信号，识别的前3阶模态参数如表6所示。不同预处理方法下识别出的模态参数与静止状态下的实验模态参数如表7所示。

初始信号与仅降噪信号的最小相对误差为4.86%，最大相对误差为52.31%；降噪+去谐波处理后，固有频率最大相对误差为1.31%，阻尼比最大相对误差降至21.6%。

识别未处理信号时，随机噪声和周期性谐波影响下的识别误差达52%；幅值较大的虚假谐频（45.86 Hz）在非关注区域的频率范围外占据主导，导致难以识别主轴的模态参数。本文方法滤掉频率范围外的随机噪声产生的谐频分量，识别的固有频率均在范围内。以倒频谱编辑剔除频带内电机转动产生的周期谐频分量后，识别的模态参数与实验模态参数的相对误差降至1.3%。

4 结论

1）CEEMDAN-小波阈值分级滤波法处理的振动信号保留了信号的模态特征，剔除了频率范围外的噪声引起的谐波响应，减少了谐频模态分量。

2）倒频谱编辑可剔除周期性激励引起的强谐频分量。二自由度系统和磨齿机实测振动信号验证了倒频谱编辑的可靠性。

3）磨齿机主轴振动信号实验结果表明本文方法的去谐频效率高、识别误差小，通过随机子空间法绘制稳定图时，极点稳定时的拟合阶次降低76.7%；以Ibrahim时域模态参数识别法直接识别固有频率时，最大误差降低至1.3%。

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基金资助

国家自然科学基金(52275475)

重庆英才计划(cstc2022ycjh-bgzxm0060)