基于两阶段灰云模型的工件加工精度异常评估

Abnormal Evaluation of Machining Accuracy of Workpieces Based on a Two-stage Grey Cloud Model

摘要

针对工件加工精度异常程度难分析评定的问题，提出一种基于两阶段灰云模型的评价方法。提取工件精度偏差数据，从偏差的动态波动规律、异常数据的精准识别、异常程度的定量表征三个层面，建立工件加工精度异常评估体系。结合自回归差分移动平均模型与统计过程控制方法检测异常数据，基于马尔科夫转移矩阵评估异常可信度。通过云模型改进的层次分析法与熵值法确定综合权重，构建两阶段正态灰云模型来评估各精度项。齿轮加工验证了所提方法的正确性和可行性。

Abstract

To address the difficulty in analyzing and evaluating the degree of abnormal machining accuracy of workpieces， an evaluation method was proposed based on a two-stage grey cloud model. Workpiece accuracy deviation data were extracted， and an abnormal evaluation system for machining accuracy of workpieces was established from the dynamic fluctuation law of deviations， the accurate identification of abnormal data， and the quantitative characterization of the abnormal degree. The autoregressive integrated moving average model and statistical process control method were combined to detect abnormal data， and the Markov transition matrix was used to evaluate the credibility of anomalies. The analytic hierarchy process improved by the cloud model and the entropy weight method， was employed to determine the comprehensive weights， and a two-stage normal grey cloud model was constructed to evaluate each accuracy items. Correctness and feasibility of the proposed method were verified through gear machining experiments.

Graphical abstract

关键词

加工精度 / 云模型 / 工件 / 灰色系统理论

Key words

machining accuracy / cloud model / workpiece / grey system theory

0 引言

数控机床的质量是衡量国家制造业水平及综合国力的重要标志之一。机床加工工件的精度反映机床的加工质量。目前，国内外学者对机床精度的评价开展了多方面的研究。王永青等^［1］提出了数控机床精度保持性评价的一种方法，并分析了精度指标——误差敏感度。FENG等^［2］为评估数控机床精度保持性，定义了平均退化率和平均退化量。庞继红等^［3］对机床的重要精度项进行排序，并将工件精度反向映射到精度设计上。萨日娜^［4］通过切削特性与精度特性的关联性识别机床精度特性的重要度。要小鹏等^［5］基于区间可拓灰色模糊算法，提出机床精度评价的一种方法。赵万华等^［6］从稳态误差、瞬态误差、匀速段速度波动误差评价机床运动精度。仇健^［7］检测了加工中心样机的各项精度指标，并结合检测结果对反映出的精度问题进行评价。LI等^［8］利用核主成分分析法处理斜齿轮的精度测量数据，构建了加工参数与质量检测指标的映射关系。在对数据异常检测研究上，YE等^［9］采用滑动窗口和差分整合移动平均自回归（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型检测时间序列数据的异常，并通过比较证明了方法的有效性。BARRIENTOS-TORRES等^［10］根据ARIMA模型与基于Box-Jenkins方法生成的传递函数模型的比较结果选择最合适的模型。ALIZADEH等^［11］将ARIMA异常检测与车辆多通道运行时序数据的VR可视化相结合来评价车辆的运行状态。CHEN等^［12］将基于ARIMA的结构健康监测数据动态预警方法用于检测港珠澳大桥沉管隧道混凝土结构的异常应变数据。

现有研究中，对数控机床精度的评价普遍聚焦于设计环节，评价对象以整机为主，目的是明确各精度特性的重要程度，并在此基础上采取相应补偿措施，提高数控机床的精度。机床加工过程中，离线检测工件时，工件加工精度异常的分析通常难以满足及时识别与溯源的需求，无法为加工质量的动态管控提供有效支撑。本文结合云模型处理不确定性和灰色决策抑制小样本量数据误差的优点，采用滚动ARIMA检验异常加工精度数据，并根据统计过程控制（statistical process control，SPC）技术分析修正残差阈值，利用两阶段正态灰云模型及时分析并识别工件加工精度异常。

1 工件加工精度异常指标体系的建立

传统上，工件精度是根据国家标准直接通过测量结果进行评价的，如齿轮件的精度评价是通过测量结果与精度等级对应公差范围对比来实现^［13］。这种评价方式仅从公差的角度评价工件的加工质量，没有考虑精度之间的关联、加工过程的异常波动，缺少对机床加工的稳定性评价。

本文在ARIMA模型的基础上引入SPC技术，通过分析精度的预测值与实际值的偏差特性，识别出偏差超出合理范围的异常数据，从而评价工件的加工精度异常。

1.1 加工精度特征量验证

根据工件各项精度的测量结果得到各指标的偏差，对测量值的均值u、标准差σ与极差Δ进行归一化处理：

u′=u/a_k（1）

σ′=σ/a_k（2）

Δ′=Δ/a_k（3）

式中：a_k 为公差。

1.2 异常值

存在明显差异的数据称为异常值。本文首先将加工精度聚类，然后通过ARIMA-SPC方法评价机床工件加工精度异常，最后根据聚类与工件加工精度异常结果进行评价。

1.3 异常程度

工件加工精度异常的评判既要考虑异常次数，又要考虑异常程度。工件加工误差越大，异常越严重。偏差β在置信区间［c₁， c₂］内时，异常程度函数为exp（x），反之则为arctan x。由此可得工件加工精度异常程度的评价函数

（4）

2 基于ARIMA-SPC的异常检测方法

2.1 滚动ARIMA预测

ARIMA模型是时间序列中最重要的模型之一。时间序列可能包含离群值，为提高模型评估的准确性，本文采用滚动原点的ARIMA方法，即先平稳化处理数据的时间序列，绘制自相关函数（autocorrelation function，ACF）与偏自相关函数（partial autocorrelation function，PACF）图，寻找ARIMA模型最优的自回归项数p、差分次数d、滑动平均项数q，计算预测精度

F_A=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{n{a}_k}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left|X_i-X_i^{\text{'}}\right|（5）

式中：X_i^{\text{'}}为第i个原数据X_i 对应的预测数据，i=1，2，…，n；n为预测数据总长度。

根据预测精度选取滚动ARIMA模型的滚动原点。

2.2 SPC分析

利用SPC分析可判断生产过程数据的异常点^［14］。SPC控制图分为计量型数据控制图和计数型数据控制图，本文采用计量数据型数据控制图，该控制图控制限为\overline{X}\pm \mathrm{2.660}{\overline{R}}_{\mathrm{m}}，其中，\overline{X}为数据均值中心线对交数据，{\overline{R}}_{\mathrm{m}}为移动极差的均值。

2.3 ARIMA-SPC的异常点识别

1）通过滚动ARIMA模型得到预测数据后，将其与原始数据进行对比，以初步识别异常；结合SPC方法改进置信区间，进一步精准定位异常数据。残差是预测值与原始数据的差，置信区间根据SPC单值控制图的控制限计算得到。假设比较数据量为n₁，原始数据集X=｛x（t₁），x（t₂），…，x（t_n1）｝，均值为\overline{X}，控制限为U_CL、X_CL；预测数据集X'=｛x'（t₁），x'（t₂），…，x'（t_n1）｝，均值为\overline{X^{\mathrm{\text{'}}}}，控制限为U{}_{\mathrm{C}\mathrm{L}}^{{}^{\mathrm{\text{'}}}}、X{}_{\mathrm{C}\mathrm{L}}^{{}^{\mathrm{\text{'}}}}。残差的置信区间为

(\overline{X}-\overline{X^{\text{'}}}-Z_{\alpha /\mathrm{2}}\sqrt[]{({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})/n_{\mathrm{1}}},\overline{X}-\overline{X^{\text{'}}}+Z_{\alpha /\mathrm{2}}\sqrt[]{({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})/n_{\mathrm{1}}})

式中：α为正态分布分位点。

2）根据置信区间得到异常值后，识别异常值的可信性。本文采用二阶聚类算法将数据划分成k类，根据同聚类数据中的同时刻异常共现概率定义异常状态，计算i时刻数据点的异常可信度r_i。然后根据随机过程的马尔科夫性质，建立马尔科夫转移概率矩阵。具体过程如下：设系统X在i时刻的状态为m（没有发生异常时，m=0；发生异常时，m=1），确定i时刻的状态概率P［（X_i =m）|m=0，1］。然后根据异常值计算转移概率p_i =P（|X_i+1-X_i |）。得到状态转移矩阵 R 与转移概率，通过状态转移矩阵与马尔科夫链计算i时刻下系统数据的异常概率p_i，最后将q_i =（p_i +r_i ）/2作为最终的异常值概率。

2.4 异常检测算法步骤

根据数据的时间序列特征，建立基于ARIMA-SPC的异常识别方法，具体过程如下：

输入：时间序列 Y =（y（t₁），y（t₂），…，y（t_n ））。

输出：时间序列 Y 的异常值信息。

1）对时间序列 Y 进行二阶聚类，得到若干类工件加工精度的聚类结果。

2）根据确定的滚动原点l对时间序列 Y 进行ARIMA分析，得到预测结果。

3）对预测结果与对应原始时间序列数据之间的残差进行SPC分析，得到统计控制图。

4）比较预测结果与原始数据，确定残差及对应的置信区间。

5）比较残差与阈值，初步确定与预测结果偏差较大的异常点，并根据马尔科夫转移矩阵计算异常值，并计算可信度。

6）根据异常点与聚类结果分析时间序列中的异常值信息，识别异常点。

3 确定综合权重

机床工件加工精度异常程度的评价中，单一权重难以兼顾主观经验与客观信息^［15］。本文通过云模型-层次分析法确定主观权重，通过熵权法确定客观权重，采用组合赋权法确定评价指标组合权重。

3.1 云模型-层次分析法确定主观权重

层次分析法（AHP）将数学方法与定性分析相结合，通过比较指标重要程度确定权重^［16］。本文在层次分析法的基础上引入云模型理论，主观权重计算步骤如下：

1）以云模型标度表示指标重要性的比较结果。层次分析法一般采用标度1、3、…、9比较2个指标，确定各准则层对目标层的权重。因此，建立以期望E_xk =k（k=1，2，…，9），熵E_n1=E_n3=…=E_n9=0.3，E_n2=E_n4=…=E_n8=0.6，超熵E_e1=E_e3=…=E_e9=0.05，E_e2=E_e4=…=E_e8=0.1的云模型标度。

2）根据评价目标的评价因素A₁、A₂、…、A_n，引用云模型标度构造评判矩阵：

\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]（6）

式中：a_ij 为A_i 与A_j 相比的相对重要性。

3）计算专家评判矩阵\mathit{A}的最大特征根λ_max及其对应的特征向量\mathit{p}=({\mathit{p}}_{\mathrm{1}},{\mathit{p}}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\mathit{p}}_n)，{\mathit{p}}_i=(E_{xi}^{\text{'}},E_{ni}^{\text{'}},H_{ei}^{\text{'}})，其中，E_{xi}^{\text{'}}\mathrm{、}{E}_{ni}^{\text{'}}\mathrm{、}{H}_{ei}^{\text{'}}分别为特征向量的期望、熵、超熵，i=1，2，…，n。相关计算公式如下：

E_{xi}^{\text{'}}={({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij})}^{\mathrm{1}/n}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij})}^{\mathrm{1}/n}（7）

E_{ni}^{\text{'}}=\frac{{({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{(\frac{E_{nij}}{E_{xij}})}^{\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/n}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{(\frac{E_{nij}}{E_{xij}})}^{\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/n}}（8）

H_{ei}^{\text{'}}=\frac{{({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{(\frac{H_{eij}}{E_{xij}})}^{\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/n}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{({\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{E}_{xij}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{(\frac{H_{eij}}{E_{xij}})}^{\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}})}^{\mathrm{1}/n}}（9）

根据云模型熵的情况修正初始主观权重

w_i=\frac{E_{xi}^{\text{'}}(\mathrm{1}-E_{ni}^{\text{'}}/\mathrm{2})}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{E}_{xi}^{\text{'}}(\mathrm{1}-E_{ni}^{\text{'}}/\mathrm{2})}（10）

熵越大，不确定性越大，权重越小。

4）为检验权重分配的一致性，需要对结果进行一致性检验。一致性比例计算公式为

C_R=C_I/R_I（11）

C_I =（λ_max-n）/（n-1）（12）

{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{B_i}{w_i}（13）

B = Aw =（B₁，B₂，…，B_n ） w =（w₁，w₂，…，w_n ）

式中：C_I为判断结果一致性的指标；R_I为平均一致性指标，取值见表1。

当C_R<0.1时，表示层次分析的结果一致性较好，否则需要对判断矩阵重新赋值，使其通过一致性检验。

3.2 熵值法确定客观权重

熵是对系统不确定程度的度量。指标数据间的差值越小，信息量越大，不确定性越小，熵值越小^［17］。通过熵值法确定的客观权重向量 v =（v₁，v₂，…，v_n ）。

3.3 基于主客观权重的组合赋权

主客观组合赋权可在减少决策主观性的同时弥补客观权重方法的不足，使权重更加客观合理^［18］。利用乘法集成法计算决策指标的组合权重，得到综合权重

W =（W₁，W₂，…，W_n ） W_i=\frac{w_i{v}_i}{\mathit{w}\cdot \mathit{v}}（14）

4 两阶段正态灰云聚类模型

4.1 正态灰云模型

灰云模型在传统灰色系统理论的白化函数基础上引入了云模型，将云模型的数字特征（期望、熵、超熵）融入白化函数，使模型既能体现灰色系统的“信息不确定性”，又能反映评价对象或数据本身的“随机性”，从而更全面刻画信息的不确定性。正态灰云模型是云模型数据分布曲线符合正态分布的一种灰云模型。

灰云的数字特征G_L 有峰值C_x 、左右界值L_x 与R_x 、熵E_n 、超熵H_e，记为：G_L ＝（C_x；L_x；R_x；E_n；H_e ）。本文采用正态灰云模型，因此有

C_x=\frac{L_x+R_x}{\mathrm{2}}（15）

E_n=\frac{R_x-L_x}{\mathrm{6}}（16）

H_e=\frac{E_n}{\alpha }（17）

式中：α为给定常数，本文取6。

评估过程中，假设共有m个被评对象、n个评估指标，评估指标有s种灰类。x_ij 为被评对象i的评价指标j的量化值。第j个评估指标属于第k类灰类的正态灰云模型的白化权函数记为f_j^{\{k\}}(x_{ij})，根据白化权函数将正态灰云模型分为适中测度正态云模型

f_j^{\{k\}}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{(x-C_x{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(E_n^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}})& x\in [L_x,R_x]\\ \mathrm{0}& \mathrm{其他}\end{array}\right.（18）

上限测度正态灰云模型

f_j^{\{k\}}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{(x-C_x{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(E_n^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}})& x\in [L_x,C_x]\\ \mathrm{1}& x\in [C_x,R_x]\\ \mathrm{0}& \mathrm{其他}\end{array}\right.（19）

下限测度正态灰云模型

f_j^{\{k\}}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1}& x\in [L_x,C_x]\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{(x-C_x{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(E_n^{\text{'}}{)}^{\mathrm{2}}})& x\in [C_x,R_x]\\ \mathrm{0}& \mathrm{其他}\end{array}\right.（20）

4.2 计算两阶段灰云聚类系数

1）确定各指标等级的云模型量化值，根据式（18）～式（20）计算每个指标第k个灰类的白化权值。多次计算白化权值，并将每次计算的结果视为一个云滴，取q次计算的白化权值并进行归一化处理，最终获得较为稳定的白化权值。白化权均值f_j^{\{k\}}(x_{ij})的计算公式为

f_j^{\{k\}}(x_{ij})=(f_{j\mathrm{1}}^{\{k\}}(x_{ij})+f_{j\mathrm{2}}^{\{k\}}(x_{ij})+\cdots +

f_{jq}^{\{k\}}(x_{ij}))/\mathrm{2}（21）

{\mu }_j^{\{k\}}(x_{ij})=f_j^{\{k\}}(x_{ij})/{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^s}{f}_j^{\{k\}}(x_{ij})（22）

2）确定聚类系数。第i个评价对象的第k个灰类的综合聚类系数记为

{\sigma }_i^{\{k\}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{W}_j{\mu }_j^{\{k\}}(x_{ij})（23）

3）进而得到评价对象i的综合聚类向量

{\mathit{\sigma }}_i^{}=({\sigma }_i^{\{\mathrm{1}\}},{\sigma }_i^{\{\mathrm{2}\}},\cdots ,{\sigma }_i^{\{s\}})

根据

\underset{\mathrm{1}\le k\le s}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}({\sigma }_i^{\{k\}})={\sigma }_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}（24）

判断对象i所属的灰类k^*，从而确定对应异常等级。灰云聚类系数向量 σ_i 中的几个较大分量相近，因此基于正态灰云模型的判断明显不可靠。为提高判断的准确性，采用两阶段灰云聚类模型来进一步区分向量内的较大分量。当最大分量与次大分量的差小于ξ时，建立权核聚类函数{\mathit{\eta }}_k：

\begin{array}{cc}{\mathit{\eta }}_k=({\eta }_{k\mathrm{1}},{\eta }_{k\mathrm{2}},\cdots ,{\eta }_{ks})/{\eta }_k& k=\mathrm{1,2},\cdots ,s\end{array}

\begin{array}{cc}{\eta }_{kl}=w_{s-k+l}=\mathrm{2}(s-k+l)-\mathrm{1}& l=\mathrm{1,2},\cdots ,s\end{array}

{\eta }_k={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^s}{\eta }_{kl}

假设{\sigma }_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}、{\sigma }_i^{\{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\}}分别为 σ_i 的最大分量与次大分量，根据建立的权核聚类函数修正聚类综合系数：

{\omega }_i^{\{k\}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\eta }_{k^{\mathrm{*}}}({\sigma }_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}+{\sigma }_i^{\{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\}})}{{\eta }_{k^{\mathrm{*}}}{\sigma }_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}+{\eta }_{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}}{\sigma }_i^{\{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\}}}{\sigma }_i^{\{k\}}& k=k^{\mathrm{*}}\\ \frac{{\eta }_{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}}({\sigma }_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}+{\sigma }_i^{\{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\}})}{{\eta }_{k^{\mathrm{*}}}{\mathit{\sigma }}_i^{\{k^{\mathrm{*}}\}}+{\eta }_{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}}{\mathit{\sigma }}_i^{\{{k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\}}}{\sigma }_i^{\{k\}}& k={k^{\mathrm{*}}}^{\mathrm{*}}\\ {\sigma }_i^{\{k\}}& \mathrm{其他}\end{array}\right.（25）

设总分为10，则等级k对应的分值

d_k=\mathrm{10}k/s（26）

评价对象i的分值

D_i={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^s}{\omega }_i^{\{k\}}{d}_k（27）

5 实例

以齿轮加工为例，计算评价对象即齿轮各精度项（见表2）。

5.1 异常值计算

5.1.1 评估指标数据的预处理

收集齿轮精度项的几何误差，使用式（1）～式（3）进行预处理，计算测量值的均值、标准差与极差，采用二阶聚类原始精度数据，将几何误差精度项分类。

5.1.2 确定滚动原点

根据拟合效果绘制ACF与PACF图，确定ARIMA模型的最优p、d、q。建立以滚动步长为1，以序列数据的第55、56、57、58、59个样本为滚动原点的ARIMA模型。对比不同模型对序列数据的预测结果，利用式（5）计算的F_A 选取最合理的滚动原点。根据计算结果得到表3所示的预测精度。滚动原点为第57个样本时，预测精度较高，样本数据提取量最为合适。

5.1.3 预测比较

ARIMA预测异常通常将残差的3倍标准差作为阈值。对于标准差较大的数列，直接基于数列标准差推导评估阈值会导致阈值过大，降低判断的准确性。本文比较预测值与原始数据，确定残差及其置信区间，建立统计控制图。识别异常值之后，依据马尔科夫性分析时间序列的状态转移特征，根据状态转移规律计算时间序列第i个异常值的可信度p_i，并根据同聚类精度项异常发生概率确定可信度r_i，继而计算总共的可信度q_i。对于已判断出的异常值，采用式（4）计算其异常程度。

5.2 确定主客观权重

根据异常情况确定主要异常工件（序号为13、15、17、21、23、25），以异常工件的异常度（异常发生的概率）与异常严重程度（异常发生时的危害大小）为评价指标，采用云模型-AHP计算主观权重，采用熵权法确定客观权重。最后通过乘法集成法综合主客观权重，确定指标的综合权重。

5.3 建立正态灰云模型

首先根据评估指标体系，确定评估指标等级。本文将异常程度分为“不严重、轻微严重、一般严重、较为严重、十分严重”。然后，根据指标评价体系，由式（15）～式（17）得到表4所示的两阶段正态灰云模型数字特征，其中，“-”表示分布在左界限到中点的隶属度为1。构建指标的正态灰云模型，如图1所示。

5.4 计算综合聚类

由式（18）～式（20）计算各指标的灰云白化权值，并进行归一化处理。通过式（21）～式（27）得到各评估对象关于k类的综合聚类系数，如表5所示。根据齿轮加工精度项的评分值可知精度项的重要性排序：

f_HβR>f_HαR>f_ptL>f_fβR>f_HαL>f_HβL>f_fβL>F_βR>f_ptR>f_fαR>F_βL>f_fαL>f_αR>F_αL>F_r>F_pL> F_pR

本文模型与灰色聚类模型、普通灰云聚类模型的评估结果如表6所示。

如表7所示，将加工精度异常状态按评分值划分5个等级，评分值小于等于6分的加工精度视为处于可接受的异常状态，大于6分的加工精度视为处于需要措施调整的严重异常状态。两阶段灰云模型中，F_αL的评分值为4.9356，处于可以接受的加工精度异常状态；f_HβR的评分值为7.9138，处于严重异常状态。

由表6、表7可知，灰色聚类，灰云模型、两阶段灰云模型对齿轮加工精度的评分结果大体一致，这说明了两阶段灰云模型评分的合理性，验证了两阶段正态灰云模型评估工件加工精度异常的有效性。精度项F_αL在灰色聚类、灰云聚类的评分值分别为5.0988与5.0408，评估的灰色等级为4，但根据加工精度制定的等级划分体系结果，工件的实际精度评分值不对应到相应的等级。两阶段灰云模型的评分值为4.9356，因此将F_αL的异常等级确定为3更加合理。

6 结语

本文引入云模型改进层次分析法、修正权重，减小了主观影响，使权重更加合理准确。采用两阶段正态灰云模型代替灰色聚类白化权函数，在保留灰色聚类模型原有优势基础上，兼顾了评估等级信息的模糊性、灰性和随机性，具有更强的普适性和代表性。针对残差的标准差过大导致阈值过大的问题，采用ARIMA-SPC的异常检测方法，利用原值与预测值的SPC分析定义了残差阈值。某齿轮17项精度的两阶段灰云模型评分结果显示，螺旋线斜率偏差（右）、齿廓斜率偏差（右）均属于“较为严重”等级，为后续加工质量的追溯与控制提供理论依据与实践参考。

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基金资助

国家自然科学基金(52275473)

国家自然科学基金(51835001)

中央高校基本科研业务费专项资金(2025CDJZKZCQ-04)