基于一维结构图熵的滚动轴承早期故障检测

Early Fault Detection for Rolling Bearings Based on One-dimensional Structure Graph Entropy

摘要

针对滚动轴承早期故障难以准确识别问题，提出了一种基于一维结构图熵的故障检测方法。设计了一种将时间序列重构为空间结构的图模型，能够有效提取轴承状态特征。通过对信号短时功率谱进行完全图建模，获取了时频能量分布复杂性变化特性。利用熵对信号非线性描述的优点，定义一维结构图熵度量模型结构的复杂性变化，并将其均值作为健康指标来评估轴承健康状态。理论解释和数值化分析了健康指标对运行状态的区分机制，并根据特点设计了自适应检测方法。该方法分别在XJTU-SY、IMS、PHM数据集以及纸浆工厂数据集上进行实验验证，结果显示该方法无需任何参数调整即可准确识别故障状态。与均方值、同步伪速度校正均方值、方差、峰度等方法相比，所述健康指标具有更好的鲁棒性和趋势性。

Abstract

To address the challenges of accurately identifying early faults in rolling bearings， a fault detection method was proposed based on one-dimensional structural graph entropy. A graph model was developed to transform time-series data into spatial structures， enabling effective extraction of bearing condition features. A complete graph model of signal short-time power spectrum was construtured， and the complexity changing rules of time-frequency energy distribution were captured. Leveraging the ability of entropy to describe signal nonlinearity， a one-dimensional structural graph entropy measure was defined to quantify the variations in complexity of model structure， whose mean value served as health indicator for assessing the condition of the bearings. Theoretical explanations and numerical analyses demonstrated the discriminative mechanism of health indicators regarding operating states. Additionally， an adaptive detection method was developed based on the characteristics of this health indicator. The method was experimentally validated on XJTU-SY， IMS， PHM， and pulp mill datasets. Results show that the method may accurately identify fault conditions without any parametric adjustments. When compared with methods such as mean square value， synchronized pseudo-velocity corrected mean square value， variance， and kurtosis， the proposed health indicator shows superior robustness and trend-tracking performance.

Graphical abstract

关键词

滚动轴承 / 早期故障检测 / 图模型 / 一维结构图熵

Key words

rolling bearing / early fault detection / graph model / one-dimensional structure graph entropy

0 引言

滚动轴承作为风电机组、汽车变速箱、数控机床、航空发动机等诸多机械设备的核心零件之一，其健康状况会对设备的运行性能和使用寿命产生巨大影响。在运行过程中，一旦出现各种损伤，可能会导致严重的经济损失，甚至人员伤亡^［1］。因此，及时发现早期故障对保障设备及产品的可靠性和安全性具有重要意义。

识别轴承的故障状态需要从信号中提取有效的特征信息，振动信号包含了对运行状态的全面解释^［2］，但通常具有复杂的非线性和非平稳性。特别是在早期故障阶段，轴承滚道或滚动体表面的缺陷微小，故障特征易被噪声淹没难以有效提取^［3］。典型的时域统计特征如均方根、偏度、峰度、脉冲因子、波形、滑度指数、基尼指数等可直观地描述振动信号随时间变化的动态特性^［4-5］，但易受干扰，不能有效反映轴承健康状态。针对这一问题，诸多研究通过改进小波变换、模态分解等信号处理技术增强微弱故障特征提取^［6-7］。袁静等^［8］将短时傅里叶变换（STFT）得到的时频能量分布进行多重同步压缩变化，提高了时频图的能量聚集性。谢锋云等^［9］将可调品质因子小波变换与小波包奇异谱熵相结合用于提取滚动轴承早期弱故障特征。李志农等^［10］将经验小波变换和同步提取技术相结合提取故障信号的时变特征。刘一龙等^［11］针对电机轴承保持架早期故障不明显的问题，提出了一种基于峭度曲面极大值的微弱故障识别方法。SAHU等^［12］提出一种基于完全集合经验模态分解和自适应阈值的滚动轴承早期故障诊断的改进去噪技术，提高了强噪声环境下的早期故障检测性能。

近年来，图模型通过将一维时域信号变换为图谱域，能够有效提取信号中的时空特征^［13］。SUN等^［14］采用了两阶段框架进行轴承故障诊断，其中检测阶段采用图模型识别轴承的运行状态。WANG等^［15］提出了一种基于时空图的轴承故障检测与诊断方法，探索了图模型提取隐藏在空间形态和时间动态相关故障信息的能力。王好将等^［16］基于最优加权路图傅里叶变换有效地重构了滚动轴承故障冲击特征。为提取非线性故障特征，陈芒等^［17］通过图傅里叶变换将时域信号转换为图谱域，并计算图谱幅值熵作为故障特征参数进行故障分类。此外，GUO等^［18］利用Frobenius范数度量了图的相似性变化，拓展了图相似性技术评估信号动态变化的潜力。尽管图模型在提取微弱故障信息方面取得了良好的效果，但由于图的相似性程度是通过计算节点之间边权重的距离和表示，在实际应用中，外部因素如工况变化、环境波动等可能导致特征曲线出现大幅度的非线性波动，使得故障的初期症状不明显或变得微弱甚至可能消失，从而增加了故障检测的误判和漏检风险。熵作为一种衡量数据序列不确定性或复杂性的度量^［19］，能有效描述非线性动态特性，例如，样本熵^［20］、排列熵^［21］、模糊熵^［22］等通过估计时域信号的复杂性区分轴承的故障状态。此外，WANG等^［23］在熵计算中考虑了频率分布及振幅变化，提出了一种用于旋转机械故障诊断的累积谱分布熵，从而将熵度量扩展到频域。

为了有效地捕捉早期故障变化信息，本文提出了一种基于一维结构图熵的滚动轴承早期故障检测方法。

1 相关知识

1.1 图模型

设G=｛V，E｝表示一个无向加权完全图模型，其中V=｛v₁，v₂，…，v_m ｝表示图中m个节点的合集；E=｛e₁，e₂，…，e_n ｝表示节点之间的连接边，m个节点两两连接形成n=m（m+1）/2条连接边，如图1a所示。为任意两节点v_i 、v_j 之间的连接边赋予明确的权值关系，通常可选择以下方式进行定义^［14］：

{\omega }_{ij}^{\mathrm{1}}=\mathrm{1}（1）

{\omega }_{ij}^{\mathrm{2}}={‖f(v_i)-f(v_j)‖}^{\mathrm{2}}（2）

{\omega }_{ij}^{\mathrm{3}}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{{‖f(v_i)-f(v_j)‖}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}})（3）

{\omega }_{ij}^{\mathrm{4}}=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{〈}f(v_i),f(v_j)\mathrm{〉}}{{‖f(v_i)‖}_{\mathrm{2}}{‖f(v_j)‖}_{\mathrm{2}}}=

\frac{v_i{v}_j+f(v_i)f(v_j)}{\sqrt[]{(v_i{)}^{\mathrm{2}}+[f(v_i{)]}^{\mathrm{2}}}\sqrt[]{(v_j{)}^{\mathrm{2}}+[f(v_j{)]}^{\mathrm{2}}}}（4）

式中：ω{}_{ij}^{\mathrm{1}}为常数1，表示两节点之间的连通性；ω{}_{ij}^{\mathrm{2}}为欧氏距离，能够真实地反映边连接两节点之间的差异性；f（v_i ）和f（v_j ）分别表示节点v_i 和v_j 的信号幅值；||·||²为L₂范数；ω{}_{ij}^{\mathrm{3}}为高斯热核函数，表示节点v_i 和v_j 之间的邻近关系；σ为热核的宽度常量，用于调整顶点近邻关系的范围；ω{}_{ij}^{\mathrm{4}}为余弦距离，衡量两个节点连线在方向上的差异。

上述描述构建了无向加权完全图模型，其相关权值信息由邻接矩阵 ω 存储，如图1b所示。

1.2 信息熵

信息熵描述了一个随机变量的信息不确定性，即需要多少信息能够完全描述该系统的状态。这一度量的核心定义如下^［19］：

H(X)=-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}p(x_i)lbp(x_i)（5）

式中：H（X）为随机变量X的信息熵；p（x_i）为随机变量X取x_i的概率。

2 基于一维结构图熵的滚动轴承早期故障检测方法

2.1 方法流程

本文所述方法主要包括3个步骤，其具体流程如图2所示。

1）完全图建模。对原始振动信号进行时变功率谱分析，并将其作为图模型输入。功率谱中每个分量视为一个节点，计算欧氏距离表示节点间的差异性，存储节点及其连接权值信息，得到振动信号对应完全图模型的邻接矩阵。

2）一维结构图熵特征提取。计算图谱特征概率分布，融合信息熵得到一维结构图熵。

3）故障决策。一维结构图熵的差异表示为图结构复杂性变化，采用回顾性分析方法设置信息集中区域对轴承早期故障进行决策判断。

2.2 完全图建模

设获取的滚动轴承原始振动信号表示为X=｛x₁，x₂，…，x_N ｝，其中N为信号长度。为了提取原始信号的时频分布，采用短时傅里叶变换将原始信号从时域变换到时频域^［24］：

S(m,k)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{T-\mathrm{1}}}x(n+m\mathrm{\Delta }t)\omega (m)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\frac{\mathrm{j}\mathrm{2}\mathrm{\pi }kn}{T})（6）

式中：S（m，k）为第m个滑动窗的原始信号在k Hz的频率幅值，m=1，2，…，N-1；x（n+mΔt）为第m个滑动窗内第n个采样点的信号值；ω（m）为第m时间窗的窗函数，考虑到频率分辨率、时间分辨率和图模型规模，选用窗长T为1000的无重叠汉宁窗；Δt为时间阶跃。

计算上述变换结果的功率谱密度，提取原始信号的时频能量分布：

Y(m,k)=\frac{\mathrm{1}}{T}|S(m,k){|}^{\mathrm{2}}（7）

式中：Y（m，k）为第m个滑动窗对应的第k个频率分量的功率谱密度。

原始信号经过上述重复处理可以得到一系列信号功率分布序列，如图3a所示，记为P=｛P₁，P₂，…，P_m，…，P_M ｝，其中P_m 为第m个窗内信号变换后得到的功率谱密度序列集合，共包含T个功率谱密度分量，记P_m =｛Y{}_m^{(\mathrm{1})}，Y{}_m^{(\mathrm{2})}，…，Y{}_m^{(t)}，…，Y{}_m^{(T)}｝。将每个信号功率分布序列映射成一个图模型，每个功率谱密度分量视为图模型的一个节点，构造为包含T个节点和T（T+1）/2条连接边的无向加权完全图模型，两个节点之间的权值采用欧氏距离ω{}_{ij}^{\mathrm{2}}计算。由此，信号功率分布序列P=｛P₁，P₂，…，P_m，…，P_M ｝可以转换为图模型序列G，如图3b所示，记G=｛G₁，G₂，…，G_m，…，G_M ｝。

2.3 一维结构图熵特征提取

图模型提取了信号时频能量分布之间的关联信息，故障发生时功率谱产生许多波峰及其边带，导致图结构复杂性发生改变。因此，本文采用一维结构图熵量化图模型之间的动态变化，如图3c所示。在本文建立的图模型中，节点的强度描述了功率谱密度分量之间的关联程度，其定义为连接到该节点v_i 的所有边的权值之和，即

{\omega }_i={\displaystyle \sum _{j\in N_i}^n}{d}_{ij}（8）

图G_m的一维结构图熵H（G_m）的定义如下：

H(G_m)=-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{{\omega }_i}{\sum _{i\in I}{\omega }_i}\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{{\omega }_i}{\sum _{i\in I}{\omega }_i}（9）

式中：ω_i 为节点i的强度；N_i 表示节点v_i 的一阶邻居集合；I为所有节点的集合。

每个图模型G_m 执行式（8）、式（9），得到对应的一维结构图熵H（G_m ）。显然，图模型序列G=｛G₁，G₂，…，G_m，…，G_M ｝对应的一维结构图熵集合H=｛H₁，H₂，…，H_m，…，H_M ｝。

2.4 基于信息集中区域的故障检验

一维结构图熵表示了图结构的复杂性，因此图熵特征的变化可以检测轴承的故障状态。为了自适应检测运行状态变化，本文基于图熵特征的卓越鲁棒性，采用图熵历史方差设置信息集中区域表示轴承健康状态，它能够根据不同工况和数据集自适应调整检测阈值，定义如下：

\left.\begin{array}{l}{\mu }_m^{\mathrm{u}}=\mu +k\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{L}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^L}(H(G_i)-\mu )}\\ {\mu }_m^{\mathrm{l}}=\mu -k\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{L}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^L}(H(G_i)-\mu )}\end{array}\right\}（10）

式中：μ{}_m^{\mathrm{u}}、μ{}_m^{\mathrm{1}}分别为当前点m的信息集中区域的上界和下界；μ为第1到L个图熵的均值；L表示选取第1到L区间段的图熵值作为检验值；k为信息集中区域增益系数，表示偏差容忍度。

均值μ的计算公式如下：

\mu =\frac{\mathrm{1}}{L}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^L}H(G_i)（11）

当滚动轴承在m时刻发生故障时，其图熵均值H_L将偏离正常信息集中区域，则该点为健康状态转向故障状态的变化点。若当前图熵值未超出信息集中区域，则表示滚动轴承处于健康状态（图3d），即

（12）

3 状态区分机制的理论解释与数值分析

3.1 理论解释

假设第m个滑动窗和第n个滑动窗的监测信号分别记为X_m =｛x_（m，1），…，x_（m，i），…，x_（m，T）｝和X_n =｛x_（n，1），…，x_（n，i），…，x_（n，T）｝；经过时变功率谱分析后得到对应功率谱为Q_m =｛q_（m，1），…，q_（m，i），…，q_（m，T）｝和Q_n =｛q_（n，1），…，q_（n，i），…，q_（n，T）｝。对应频率分量的幅值变化表示为

\mathrm{\Delta }{q}_i=|q_{(n,i)}-q_{(m,i)}|（13）

由相应功率谱序列构建的图模型的第i个节点与第j个节点的权值变化量Δe_ij 为

\mathrm{\Delta }{e}_{ij}=\sqrt[]{(q_{(n,i)}-q_{(n,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}-

\sqrt[]{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}（14）

对式（14）进行一阶泰勒近似展开：

\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{e}_{ij}=\frac{\mathrm{d}[\sqrt[]{(q_{(n,i)}-q_{(n,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}]}{\mathrm{d}(q_{(n,i)}-q_{(n,j)})}-\end{array}

\sqrt[]{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}\approx

\frac{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)})}{\sqrt[]{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}}(\mathrm{\Delta }{q}_i-\mathrm{\Delta }{q}_j)（15）

因此，图模型m和n的节点强度概率分布可以表示为P_m =｛p₁，…，p_i，…，p_T ｝；P_n =｛p₁+Δp₁，…，p_i +Δp_i，…，p_T +Δp_T ｝。其中：

\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{p}_i=\frac{{\omega }_i+\mathrm{\Delta }{\omega }_i}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}({\omega }_j+\mathrm{\Delta }{\omega }_j)}-\frac{{\omega }_i}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}\approx [({\omega }_i+\mathrm{\Delta }{\omega }_i)·\\ (\frac{\mathrm{1}}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}-\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j{)}^{\mathrm{2}}})]-\frac{{\omega }_i}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}=\frac{\mathrm{\Delta }{\omega }_i}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}-{\omega }_i\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}\mathrm{\Delta }{\omega }_j}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j{)}^{\mathrm{2}}}-\\ \mathrm{\Delta }{\omega }_i\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}\mathrm{\Delta }{\omega }_j}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j{)}^{\mathrm{2}}}\approx \frac{\mathrm{\Delta }{\omega }_i}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j}-{\omega }_i\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}\mathrm{\Delta }{\omega }_j}{({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j{)}^{\mathrm{2}}}=p_i(\frac{\mathrm{\Delta }{\omega }_i}{{\omega }_i}-\frac{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}\mathrm{\Delta }{\omega }_j}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^T}{\omega }_j})\end{array}（16）

\mathrm{\Delta }{\omega }_i={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},\ne i}^T}\mathrm{\Delta }{e}_{ij}=

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^T}\frac{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)})}{\sqrt[]{(q_{(m,i)}-q_{(m,j)}{)}^{\mathrm{2}}+{(i-j)}^{\mathrm{2}}}}(\mathrm{\Delta }{q}_i-\mathrm{\Delta }{q}_j)（17）

图G_n 的一维结构图熵为

H(G_n)=H(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{\Delta }{p}_{\mathrm{1}},\cdots ,p_T+\mathrm{\Delta }{p}_T)=

-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^T}(p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i)\mathrm{l}\mathrm{b}(p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i)=

-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^T}(p_i\mathrm{l}\mathrm{b}{p}_i+\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{\Delta }{p}_i)+

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^T}(p_i\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{p_i}{p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i}+\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{p_i}{p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i})=

H(p_{\mathrm{1}},\cdots p_i,\cdots ,p_T)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^T}(p_i\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{p_i}{p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i}+

\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{p_i}{p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i}-\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{\Delta }{p}_i)=\end{array}

H(G_m)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^T}(p_i\mathrm{l}\mathrm{b}\frac{p_i}{p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i}-\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{l}\mathrm{b}(p_i+\mathrm{\Delta }{p}_i)（18）

由式（13）~式（18）可得，图熵值H主要由Δq_i 的数量和幅值决定，不依赖于频谱分量的变化规律，通过反映信号的不规则性分辨故障状态。轴承处于健康状态时，信号具有较强的规律性；当轴承发生故障时，幅值增大的振动分量Δq_i 数量越多，信号不规则性增强。下面对不同状态的Δq_i 变化情况进行讨论。

1）当Δq_i 相对变化较小时，根据xlbx的函数曲线，p_i lb［p_i /（p_i +Δp_i ）］≈0，且Δp_i lb（p_i +Δp_i ）≈0。在正常状态或随机噪声干扰下，发生显著变化的分量较少且幅值较小，因此图熵几乎未产生变化。

2）当运行状态存在如负载、转速、环境突变和外部事件时，少量频率分量产生显著变化，但由于变化数量较少，对图熵变化贡献是有限的。

3）当滚动轴承发生故障时，时变功率谱产生诸多波峰及其边带，发生变化频率分量的数量和幅值明显增多，图熵产生显著变化。

3.2 数值分析

对上述理论分析进行数值计算，图4列出了4种不同状态下的图熵数值。在强噪声环境下，滚动轴承正常状态变化时，图熵值由H₁=5.1381变为H₂=5.1385，变化幅度为ΔH=0.0004；当发生突发干扰时，图熵值由H₁=5.1381变为H₃=5.1385，变化幅度同样为ΔH=0.0004。该变化表明在正常变化和突发干扰情况下，图熵值在基本一致的范围内波动，突发干扰未造成图熵值的显著偏离。相反，当轴承故障发生时，H₁=5.1381变为H₄=5.1413，变化幅度为ΔH=0.0028。相较于正常变化和突发干扰下的波动范围，故障状态下的幅值变化扩大至7倍，发生了显著偏离，从而可以在噪声环境下准确识别出故障状态。

为了进一步解释本方法对于强噪声环境下的故障状态识别能力，模拟设置了不同的场景观察一维结构图熵的变化。模拟数据由XJTU-SY Bearing2-3数据集中一段真实正常信号（信号序列：10 001~50 000）和真实故障信号（信号序列：3 480 001~3 490 000）组成。为了模拟恶化条件，在上述两段信号中分别加入-5 dB高斯噪声。此外，在正常信号段加入随机瞬时冲击模拟机器中的随机突发扰动，如图5a所示。随机瞬时冲击的振幅为8，脉冲宽度为0.0005 s，冲击数量为20。图5b显示了不同运行状态下一维结构熵值变化曲线，与上述分析一致，在正常变化和突发干扰情况下，图熵值具有相似的波动范围；而故障引起的图熵变化产生了显著偏离。

4 实验与分析

4.1 实施方案

为了验证所提出方法的有效性，分别使用XJTU-SY数据集、IMS数据集以及纸浆厂工程数据集进行实验验证。XJTU-SY数据集使用获取了3类工况下共计15个LDK UER204滚动轴承全寿命周期数据^［25］；IMS数据集包含了3组数据，每组数据中包含了4个ZA-2115滚动轴承的振动数据。两种数据集信息分别如表1所示^［26］，实验测试平台如图6所示，实验数据通过轴承加速寿命测试平台加速退化获得。工程数据集来源于某纸浆厂轴承历史故障案例。该数据集记录了该工厂在2019年至2022年底间不同轴承实际运行的故障案例，如表2所示。每个案例都包含因缺陷而被更换之前大约4个月的正常和故障数据。每个数据集每天测量一次或多次，详情见文献［27］。

为了确保在不同工况和数据条件下的自适应检测能力，对所有数据集的检测过程中没有人为主观干预，所使用的参数如表3所示。

4.2 XJTU-SY数据集结果与分析

每个测试数据中至少包含一种缓慢故障或突发故障等形式的故障信号，检测结果如图7所示，其中红色圆圈表示所检测到的故障发生时刻，如表4所示。实验结果显示所有数据集中的早期故障都能够被成功识别。一维结构图熵在信号正常状态下的分布几乎是一条水平的直线；当故障发生时，结构熵出现了明显的变化。这一现象解释了该方法对噪声和外部环境干扰的出色鲁棒性以及早期故障的敏感性。特别地，图7中部分结果显示在标记故障发生时刻，图熵曲线无明显变化，如Bearing 1-3、Bearing 2-3等。本文对这些曲线变化进行放大处理，如图8所示。实际上，导致图7所显示结果是由于与后期故障加剧恶化时的波动相比，标记故障位置的图熵偏离正常的变化可以忽略不计，但其偏离程度仍超过了阈值。轴承故障是自然动态演化形成的，无法通过测量故障尺寸判断故障发生时刻。对于如1-4、2-1、3-1、3-3和3-4等突发性故障，时域波形发生较大突变，可以直观判断故障发生时刻；而对于数据集1-1、1-2、1-3、1-5、2-2、2-3、2-4、2-5、3-5等缓慢退化过程，实际应用允许在退化过程阶段预警故障，但在实际应用中很难实时观测和评估结构损伤的程度。轴承一般都是封装使用的，且缺陷是不规则的，这个过程无法评估所使用数据集的某一时刻的故障尺寸，因为它是自然形成的，而非人为加工的。

4.3 IMS数据集结果与分析

在IMS数据集验证过程中，由于传感器在采集Dataset1信号过程中发生了一系列未知原因中断，时间历史不是连续的，因此选取Dataset 1中断恢复后的数据进行实验测试，实验结果如图9、图10和图11所示；故障时刻如表5所示。实验结果显示，所有的轴承的早期故障同样均能够被成功识别，在所检测故障时刻均出现相应的故障频率。为了更具体地显示检测结果，将正常数据进行放大观察。通过放大区域可以清楚地观察到，虽然原始时域信号存在相对较大的数据波动，但所提取的一维结构图熵几乎未受到影响，这表明图熵在表征机械信号动态行为方面具有良好的稳定性和鲁棒性。

为了验证方法的有效性，本文对标记的故障时刻的滑动窗内的数据进行功率谱分析。Dataset 2和Dataset 3的转频理论值为33.3 Hz，故障特征频率为236.4Hz。在实验过程中二者都发生了外圈故障，对应的功率谱中分别出现了接近故障特征频率的理论值的237.6 Hz和235.5 Hz，且功率幅值急剧增大，如图10d和图11d所示。由此表明该方法成功对故障做出了预警。

4.4 纸浆工厂数据集结果与分析

为了验证本方法的实用性，本文在工程数据集上进行了验证。与上述数据集相比，该验证过程面临至少两个新增的技术挑战。首先，工程应用数据集中的每个案例都来源于工厂里不同的设备，每个设备都独立设定适配工况和采集参数，因此数据具有较强的异构性；其次，采集过程中的轴承转速是非恒定的。实验结果见图12、图13和表6。实验结果所提出的方法可以在复杂工业环境下准确识别故障状态，对负载、转速变化及噪声具有良好的抗干扰能力。

4.5 PHM数据集结果与分析

为了体现一维结构图熵的鲁棒性优势，将其与现有的SWT-RMS^［29］、方差（Var）、峰度（Kur）等方法进行鲁棒性评估并比较。数值越大，则表示鲁棒性越强。鲁棒性评估指标Rob计算过程如下^［30-31］：

Rob(HI)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}exp(-\frac{\left|HI(i)-\frac{\mathrm{1}}{l}{\displaystyle \sum _{i-l/\mathrm{2}}^{i+l/\mathrm{2}}}HI(i)\right|}{\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}[HI{(i)-\frac{\mathrm{1}}{N}N{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}HI(i)]}^{\mathrm{2}}}})（19）

式中：HI（i） 为健康指标第i个样本值；N为序列长度；l为移动平均滤波滑动窗长度，本文取值为10。

PHM2012数据集的PHM1-2数据具有代表性^［28］，因此本文将其用于鲁棒性评价分析，评价结果如图14和表7所示。在干扰条件下，本文提出的方法仅显示出较小的波动，鲁棒性指数分别为0.9576，优于其他方法。

为了进一步验证方法的优势，将本文所提方法与广泛应用的Var、均方根（RMS）、平方包络谱（SES）、自适应输入加权融合指标（AIWFI）^［32］、粒度特征（GF）^［33］、有效加权稀疏峰度（EWSK）^［34］共计6个指标进行比较。实验采用查准率P_re、查全率R_e和综合测度F 3个指标对每种方法的检测性能进行综合评价，其定义为

P_{\mathrm{r}\mathrm{e}}=\frac{T_{\mathrm{P}}}{T_{\mathrm{P}}+F_{\mathrm{P}}}（20）

R_{\mathrm{e}}=\frac{T_P}{T_{\mathrm{P}}+F_{\mathrm{N}}}（21）

F=\frac{\mathrm{2}{P}_{\mathrm{r}\mathrm{e}}{R}_{\mathrm{e}}}{P_{\mathrm{r}\mathrm{e}}+R_{\mathrm{e}}}（22）

式中：T_P为真阳性，表示正确检测的故障点数量；F_P为假阳性，表示测出点为非故障点的数量；F_N为假阴性，表示未检测出故障点的数量。

所有方法的评价结果如表8所示，对比结果显示，本文方法和Var、RMS、SES、AIWFI、ESWK指标的查全率均达到了100%，优于GF，但本文方法的查全率和查准率均达到100%，综合测度达到1.0。尽管EWSK在IMS 3个标准数据集上都准确预警故障发生时刻，但本文所述方法在包括上述数据集以及XJTU-SY数据集和两个工程数据集等更多工况条件下都能够准确识别故障，表明本文方法能够有效利用轴承振动信号识别早期微弱故障，展示了其在实际工业场景中的应用潜力。

5 结论

针对滚动轴承早期故障信息难以有效提取的问题，本文考虑了图模态模型之间差异性变化，提出了一种基于一维结构图熵的滚动轴承早期故障检测方法。通过短时功率谱提取振动信号的时频能量分布，利用图结构映射时频能量分布的动态模型，提取一维结构图熵度量模型的动态变化并作为轴承健康状态指标实现了其健康状态的低维度动态描述。基于指标对噪声的强鲁棒性，通过参考当前指标与历史值的变化，实现了轴承动态变化的故障检测。将所提方法在XJTU-SY和IMS数据集中进行验证，证明了该方法的优越性和良好的应用潜力。整个检测过程包括信号处理、动态图建模、图熵计算等关键步骤，每个步骤可能影响整体检测性能。在后续工作中，将重点优化算法时效性，以提高工程应用效率。

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基金资助

国家自然科学基金(52175539)

山东省重点研发计划(2023JMRH0305)