不确定多目标半无限分式规划的最优性条件及混合对偶

Optimality conditions and mixed duality for uncertain multi-objective semi-infinite fractional programming

摘要

研究了含有不确定信息的多目标半无限分式优化问题，并借助一种新定义的向量运算关系，将鲁棒对应模型转化为一般的多目标优化问题，给出两者之间的关系。通过鲁棒型次微分约束规格以及广义凸函数，研究不确定多目标半无限分式规划的最优性条件，并研究了相应的混合型对偶。研究结果主要将有关半无限分式规划的最优性必要条件进行改进，并在新定义的type-I函数条件下研究了充分条件。

Abstract

The multi-objective semi-infinite fractional optimization problem with uncertain information is studied. The robust correspondence model is transformed into a general multi-objective optimization problem by means of a newly defined vector arithmetic relation， and the relationship between the two is presented. The optimality conditions for uncertain multi-objective semi-infinite fractional programming are studied through the robust subdifferential constraint specifications and generalized convex functions， and the corresponding mixed duality is also studied. The results of the study mainly improve the necessary optimality conditions for semi-infinite fractional programming and study the sufficient conditions under the new defined type-I function condition.

关键词

多目标分式规划 / 拟Pareto弱有效解 / 广义凸性 / 混合型对偶

Key words

multi-objective fractional programming / quasi Pareto weakly efficient solutions / generalized convexity / mixed type duality

不确定多目标优化问题是优化领域中的一个重要研究方向。鲁棒优化方法是解决不确定优化问题的有效手段之一。最优性和对偶性是不确定多目标优化问题的两个重要内容，目前已有很多学者研究了相关内容。

CHUONG等^［1］利用变分分析和广义二元分析方法，为非光滑半无限多目标优化问题的（弱）有效解建立了必要条件。SUN等^［2］利用次微分的性质引入了新的鲁棒型次微分约束条件，讨论了目标和约束函数均含有不确定因素情况下凸优化问题的鲁棒最优解。赵丹等^［3］借助标量化方法和广义次微分性质，研究了原问题的鲁棒拟逼近有效解的最优性条件。SUN等^［4］借助鲁棒型次微分约束条件，讨论了目标函数和约束函数均含有不确定参数的鲁棒\mathit{\epsilon }拟最小值。张亚萌等^［5］基于clarke次微分对广义凸性进行推广，研究了鲁棒近似拟弱有效解的最优性条件的充分性和鞍点定理。ANTCZAK^［6］对于鲁棒多目标分式规划问题，采用Dinkelbach方法得到了鲁棒向量优化问题的近似有效解的充要条件，同时利用标量化方法给出鲁棒多目标分式规划问题与相应的鲁棒向量优化问题之间解的关系。PAN等^［7］基于clarke次微分，研究一类非光滑不确定多目标分式规划的鲁棒弱有效解最优性条件。GAO等^［8］利用Gerstewitz’s函数的性质，研究了非光滑不确定多目标半无限分式规划鲁棒拟近似弱有效解的最优性条件的必要性。NGUYEN等^［9］研究了多目标半无限分式规划问题的KKT鲁棒最优性条件及对偶性，基于鲁棒型次微分约束规格的情况下，给出了关于Mordukhovich’s次微分的鲁棒最优性条件的必要性。文献［10-12］讨论了约束函数中含有不确定参数时的半无限分式规划问题。文献［13-15］研究了混合型对偶，给出了原问题与对偶问题解之间的关系。李梦恩等^［16］基于文献［17-19］在不确定多目标优化问题中建立了鲁棒\mathit{\epsilon }-拟弱有效解的最优性必要条件。文献［20-23］研究了多目标半无限规划问题。龚田甜^［24］在不确定信息下研究了非光滑多目标分式规划的鲁棒弱有效解。

基于上述文献，本文将分式规划问题转化为一般的整式规划问题，并讨论了两者之间的关系，给出了鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解的充要条件。在鲁棒最优性条件的基础上给出了相应的混合型对偶，并研究两者之间解的关系，利用clarke次微分及其性质将文献［9］的结论推广到更为一般的情形。

1 预备知识

设{\mathbf{R}}^n为n维\mathrm{E}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{d}空间，B^{\mathrm{*}}为{\mathbf{R}}^n的闭单位球，对任意\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbf{R}}^n，用〈\mathit{x},\mathit{y}〉={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}表示两向量的内积。记{\mathbf{R}}_{+}^p=\left\{\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n\left|x_i\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,p\right.\right\}，{\mathbf{R}}_{++}^p=\left\{\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n\left|x_i>\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,p\right.\right\}。

设T为一个非空无限指标集，{\mathbf{R}}^{\left(T\right)}定义为

{\mathbf{R}}^{\left(T\right)}:=\left\{\mathit{\lambda }={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}:{\lambda }_t=\mathrm{0},t\in T,\mathrm{仅有}\mathrm{限个}{\lambda }_t\ne \mathrm{0}\right\}；

{\mathbf{R}}^{\left(T\right)}的非负锥{\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}定义为

{\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}:=\left\{\mathit{\lambda }\in {\mathbf{R}}^{\left(T\right)}\left|{\lambda }_t\ge \mathrm{0},\forall t\in T\right.\right\}。

定义1.1^［17］ 设\phi :{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}为实值函数，若对于任意的\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n，存在实数L\ge \mathrm{0}以及\mathit{x}的开邻域N\left(\mathit{x}\right)，使得\left|\phi (\mathit{y})-\phi \left(\mathit{z}\right)\right|\le L‖\mathit{y}-\mathit{z}‖,\forall \mathit{y},\mathit{z}\in N\left(\mathit{x}\right)，则称函数\phi为局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}函数。

定义1.2^［25］ 局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}函数\phi在\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n处关于方向\mathit{d}\in {\mathbf{R}}^n的\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}方向导数定义为

{\phi }^c\left(\mathit{x},\mathit{d}\right):=\underset{\mathit{y}\to \mathit{x}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\underset{t\downarrow \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{\phi \left(\mathit{y}+t\mathit{d}\right)-\phi \left(\mathit{y}\right)}{t}；

\phi在\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n处的\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}次微分定义为

{\partial }^c\phi \left(\mathit{x}\right):=\left\{\mathit{\zeta }\in {\mathbf{R}}^n\left|{\phi }^c(\mathit{x},\right.\right.\mathit{d})\ge \left.〈\mathit{\zeta },\mathit{d}〉,\forall \mathit{d}\in {\mathbf{R}}^n\right\}。

注1.1^［17］ 若\phi为凸函数，则\phi在\overline{\mathit{x}}\in {\mathbf{R}}^n处的\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}次微分退化为经典的次微分：

\begin{array}{l}\partial \phi \left(\overline{\mathit{x}}\right):=\left\{{\mathit{x}}^{*}\in {\mathbf{R}}^n\left|\phi \left(\mathit{x}\right)\ge \phi \left(\overline{\mathit{x}}\right)+〈{\mathit{x}}^{\mathrm{*}},\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}〉,\right.\right.\\ \left.\forall \mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n\right\}\mathrm{。}\end{array}

定义1.3^［17］ 设D\subseteq {\mathbf{R}}^n为非空子集，\mathit{x}\in D，则集合D在\mathit{x}处的\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}法锥定义为

N^c\left(D,\mathit{x}\right):=\left\{\mathit{\zeta }\in {\mathbf{R}}^n\left|〈\mathit{\zeta },\mathit{u}〉\le \mathrm{0},\forall \mathit{u}\in T_D\left(\mathit{x}\right)\right.\right\}，其中，T_D\left(\mathit{x}\right)=\left\{\mathit{u}\in {\mathbf{R}}^n\left|d_D^{\mathrm{0}}\left(\mathit{x},\mathit{u}\right)=\mathrm{0}\right.\right\}为D在\mathit{x}处的\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}切锥，d_D^{\mathrm{0}}为D的距离函数。

定义1.4^［17］ 集合A的极锥定义为

A^{\circ }:=\left\{{\mathit{x}}^{*}\in {\mathbf{R}}^n:\right.\left.〈{\mathit{x}}^{\mathrm{*}},\mathit{x}〉\le \mathrm{0},\forall \mathit{x}\in A\right\}。

引理1.1^［17］ 设D\subseteq {\mathbf{R}}^n为非空子集，若函数\phi :{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}在\mathit{x}\in D处是局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}的，且\phi在\mathit{x}\in D处取得最小值，则\mathrm{0}\in {\partial }^c\phi \left(\mathit{x}\right)+N^c\left(D,\mathit{x}\right)。

引理1.2^［17］ 设{\phi }_i:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}，i=\mathrm{1},\cdots ,p，在\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n处是局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}的，则

\begin{array}{l}{\partial }^c\left({\phi }_{\mathrm{1}}+{\phi }_{\mathrm{2}}+\cdots +{\phi }_p\right)\left(\mathit{x}\right)\subseteq \\ {\partial }^c{\phi }_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right)+{\partial }^c{\phi }_{\mathrm{2}}\left(\mathit{x}\right)+{\partial }^c{\phi }_p\left(\mathit{x}\right)\end{array}。

命题1.1^［17］ 若函数{\phi }_i:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}（i=\mathrm{1},\cdots ,p）在\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n处是局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}的，则函数\phi \left(·\right)=\underset{i\in \left\{\mathrm{1},\cdots ,p\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\phi }_i\left(\cdot \right)在\mathit{x}\in {\mathbf{R}}^n处是局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}的，且

\begin{array}{l}{\partial }^c\phi \left(\mathit{x}\right)\subset \left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\lambda }_i{\partial }^c{\phi }_i\left(\mathit{x}\right)\left|\left({\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\lambda }_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p,\right.\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\lambda }_i=\mathrm{1}\right\}\end{array}。

本文考虑如下多目标半无限分式优化问题，其中约束函数中含有不确定参数：

(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right):=\left(\frac{f_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right)}{g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right)},\cdots ,\frac{f_p\left(\mathit{x}\right)}{g_p\left(\mathit{x}\right)}\right)，

其中，\mathit{x}\in K，可行集为K:=\left\{\mathit{x}\in \Omega \left|\left|h_t\left(\mathit{x},v_t\right)\le \mathrm{0},\right.\right.\right.\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}{v}_{\mathrm{t}}\in V_{\mathrm{t}},\forall t\in T\right\}，\Omega \in {\mathbf{R}}^n为非空局部闭集，f_i:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}，g_i:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}，h_t:{\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^s\to \mathbf{R}为实值函数，t\in T，i=\mathrm{1},\cdots ,p，v_t\in V_t为不确定参数，V_t\subseteq {\mathbf{R}}^s为不确定集合。

文中若无特殊说明，总是假设f_i和g_i(i=\mathrm{1,2},\cdots ,p)为局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}函数，f_i\left(·\right)\le \mathrm{0}，g_i\left(·\right)>\mathrm{0}；以及对于任意的v_t\in V_t,t\in T,h_t\left(·,v_t\right)关于第一个变量为局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}函数。文中所出现的\mathit{\epsilon }均定义为\mathit{\epsilon }:=\left({\epsilon }_{\mathrm{1}},{\epsilon }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\epsilon }_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。

2 最优性条件

首先借助鲁棒优化方法，给出问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒对应模型：

\left(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P}\right)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right):=\left(\frac{f_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right)}{g_{\mathrm{1}}\left(\mathit{x}\right)},\cdots ,\frac{f_p\left(\mathit{x}\right)}{g_p\left(\mathit{x}\right)}\right)，

其中，\mathit{x}\in C，可行集为

C:=\left\{\mathit{x}\in \Omega \left|\left|h_t\left(\mathit{x},v_t\right)\le \right.\right.\mathrm{0},\forall v_t\in V_t,t\in T\right\}\mathrm{。}

定义2.1 如果\forall \mathit{x}\in C，有\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)+\mathit{\epsilon }·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p，则向量\overline{\mathit{x}}\in C被称为原问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，\overline{\mathit{x}}\in C为鲁棒对应问题\left(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P}\right)的\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

定义2.2^［9］ 对于任意的\mathit{a}=\left(a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_p\right)\in {\mathbf{R}}^p，\mathit{b}=\left(b_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{2}},\cdots ,b_p\right)\in {\mathbf{R}}^p，定义关系·为

\mathit{c}=\mathit{a}·\mathit{b}\iff \left(a_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}},\cdots ,a_p{b}_p\right)。

为了得到鲁棒最优性条件，给出如下模型：

{(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})}_{\mathrm{s}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(f\left(\mathit{x}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\mathit{x}\right)\right)，

其中，\mathit{x}\in C，\overline{\mathit{s}}=\left({\overline{s}}_{\mathrm{1}},{\overline{s}}_{\mathrm{2}},\cdots {\overline{s}}_p\right)，{\overline{s}}_i=\frac{f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)}{g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)}\le \mathrm{0}，i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,p。

定义2.3 如果\forall \mathit{x}\in C，有\left(f\left(\mathit{x}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\mathit{x}\right)\right)-\left(f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p，则称\overline{\mathit{x}}\in C为{(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})}_{\mathrm{s}}的鲁棒\mathit{\epsilon }g\left(\mathit{x}\right)-拟Pareto弱有效解。

命题2.1\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解当且仅当\overline{\mathit{x}}\in C为{(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})}_{\mathrm{s}}的鲁棒\mathit{\epsilon }g(\mathit{x})-拟Pareto弱有效解。

证明 如果\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，则对于\forall \mathit{x}\in C，有

\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)+\mathit{\epsilon }·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p。

已知g\left(\mathit{x}\right)>\mathrm{0}，则

g\left(\mathit{x}\right)·\left[\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right]+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p,

即f\left(\mathit{x}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)·g\left(\mathit{x}\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p。

又因为f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)=\mathrm{0}，则

\left(f\left(\mathit{x}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\mathit{x}\right)\right)-\left(f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p\mathrm{。}

因此，\overline{\mathit{x}}\in C为{(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})}_{\mathrm{s}}的鲁棒\mathit{\epsilon }g\left(\mathit{x}\right)-拟Pareto弱有效解。

反之，如果\overline{\mathit{x}}\in C为{(\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})}_{\mathrm{s}}的鲁棒\mathit{\epsilon }g\left(\mathit{x}\right)-拟Pareto弱有效解，则对于\forall \mathit{x}\in C，有

\left(f\left(\mathit{x}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\mathit{x}\right)\right)-\left(f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p\mathrm{。}

因为f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)=\mathrm{0}，则

\left(f\left(\mathit{x}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\mathit{x}\right)\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\mathit{x}\right)·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p。

进一步，由g\left(\mathit{x}\right)>\mathrm{0}可得

\left(\frac{f}{g}\right)\left(\mathit{x}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)+\mathit{\epsilon }·‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖\notin -{\mathbf{R}}_{++}^p。

故\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

定义2.4^［18］ 设\overline{\mathit{x}}\in C，\mathrm{\Delta }\left(\overline{x}\right)=\left\{\mathit{\lambda }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}\left|{\lambda }_t{h}_t(\overline{\mathit{x}},\right.\right.\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}{v}_t)=\mathrm{0},\forall t\in T,v_t\in V_t\right\}。如果有

N^c\left(C,\overline{\mathit{x}}\right)\subseteq \underset{{\lambda }_t\in \mathrm{\Delta }\left(\overline{x}\right)}{\cup }\left[\sum _{t\in T}{\lambda }_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)\right]+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)，

则称鲁棒型次微分约束规格(\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{Q})在\overline{\mathit{x}}\in C处成立。

定理2.1 设\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，假设鲁棒型次微分约束规格(\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{Q})在\overline{\mathit{x}}处成立，则存在\mathit{\alpha }=\left({\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}，{\overline{v}}_t\in V_t,t\in T且\overline{\mathit{\lambda }}\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}，使得

\begin{array}{l}\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)\end{array}，

{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}。

证明 对于\forall \mathit{x}\in C，记函数

\begin{array}{l}{H}_i\left(\mathit{x}\right)=f_i\left(\mathit{x}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\mathit{x}\right)-\left(f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\\ {\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{x}\right)‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖,i=\mathrm{1,2},\cdots ,p\mathrm{。}\end{array}

令H\left(\mathit{x}\right)=\underset{i\in \left\{\mathrm{1},\cdots ,p\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{H_i\left(\mathit{x}\right)\right\}，则对于\forall \mathit{x}\in C，有

H\left(\overline{\mathit{x}}\right)\le H\left(\mathit{x}\right)。

否则，存在\widehat{\mathit{x}}\in C，使得。

即\left(f_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_{i}g\left(\widehat{\mathit{x}}\right)\right)-\left(f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+

，

与\overline{\mathit{x}}为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解矛盾。

因此，\forall \mathit{x}\in C，有H\left(\overline{\mathit{x}}\right)\le H\left(\mathit{x}\right)。

因为H\left(\mathit{x}\right)在\overline{\mathit{x}}\in C为局部\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}的，且H\left(\mathit{x}\right)在\overline{\mathit{x}}\in C处取得最小值，则由引理1.1可得

\mathrm{0}\in {\partial }^{c}H\left(\overline{\mathit{x}}\right)+N^c\left(C,\overline{\mathit{x}}\right)。

又由命题1.1和引理1.2可得

\begin{array}{l}{\partial }^{c}H\left(\overline{\mathit{x}}\right)\subset \left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\partial }^c{H}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\left|\mathit{\alpha }\in {\mathbf{R}}_{+}^p,{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}\right.\right\}=\\ \left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\partial }^c\left[f_i\left(\cdot \right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\cdot \right)+{\epsilon }_i{g}_i\left(\cdot \right)‖\cdot -\overline{\mathit{x}}‖\right]\left.\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right|\right.\\ \left.\mathit{\alpha }\in {\mathbf{R}}_{+}^p,{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}\right\}\subset \end{array}

\left\{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[\left({\partial }^c{f}_i\left(·\right)\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i\left({\partial }^c{g}_i\left(·\right)\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)+{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}\right]\left|\mathit{\alpha }\in {\mathbf{R}}_{+}^p,{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}\right.\right\}\mathrm{。}

故存在

\mathit{\alpha }=\left({\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p及{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}，使得

\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+N^c\left(C,\overline{\mathit{x}}\right)\mathrm{。}

又因为鲁棒型次微分约束规格(\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{Q})在\overline{\mathit{x}}处成立，所以

\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+\underset{{\lambda }_t\in \mathrm{\Delta }\left(\overline{x}\right)}{\cup }\left[\sum _{t\in T}{\lambda }_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)\right]+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right),

其中，\mathrm{\Delta }\left(\overline{\mathit{x}}\right)=\left\{\mathit{\lambda }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}\left|{\lambda }_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)=\mathrm{0},\forall t\in T,v_t\in V_t\right.\right\}。

即存在\overline{\lambda }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)},{\overline{v}}_t\in V_t,t\in T，使得

\begin{array}{l}\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)\end{array}，

{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}。

定义2.5 如果\forall \mathit{x}\in C，{\mathit{\zeta }}_i\in {\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\eta }}_i\in {\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\gamma }}_t\in {\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)，i=\mathrm{1,2},\cdots ,p，存在\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\mathrm{\Omega },\overline{\mathit{x}}\right)\right]}^{°}，在\overline{\mathit{x}}\in C使得

f_i\left(\mathit{x}\right)-f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge 〈{\mathit{\zeta }}_i,\mathit{\omega }〉，g_i\left(\mathit{x}\right)-g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge 〈{\mathit{\eta }}_i,\mathit{\omega }〉，

‖\mathit{\omega }‖\le ‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖，

h_t\left(\mathit{x},v_t\right)-h_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)\ge 〈{\mathit{\gamma }}_t,\mathit{\omega }〉，

则称\left(f,g,h\right)在\overline{\mathit{x}}\in C为type-I函数。

下面给出一个实例来证明type-I函数的存在性。

例2.1 设p=\mathrm{2}，\Omega =\mathbf{R}，\overline{x}=\mathrm{0}\in \Omega，v_t\in V_t:=\left[-t-\mathrm{2},t-\mathrm{2}\right]对于任意的t\in T:=\left[\mathrm{0,1}\right]。考虑以下问题：

\begin{array}{l}(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\frac{x^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}}{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}},\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}}{x^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}\right\},\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.h_t\left(x,v_t\right):=t{x}^{\mathrm{2}}+v_t\le \mathrm{0},t\in T\mathrm{。}\end{array}

证明 对于任意x\in C:=\left\{x\in \Omega \left|\left|h_t\left(x,v_t\right)\le \mathrm{0}\right.\right.\right.，\left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\forall v_t\in V_t,t\in T\right\}=[-\mathrm{1,1}]，有

{\partial }^c{f}_{\mathrm{1}}\left(\overline{x}\right)={\partial }^c{f}_{\mathrm{2}}\left(\overline{x}\right)=\mathrm{0}，{\partial }^c{g}_{\mathrm{1}}\left(\overline{x}\right)={\partial }^c{g}_{\mathrm{2}}\left(\overline{x}\right)=\mathrm{0}。

显然，N^c(\Omega ;\overline{x})=\left\{\mathrm{0}\right\}，\left[N^c(\Omega \right.;{\left.\overline{x})\right]}^{\circ }=\mathbf{R}，{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{x},{\overline{v}}_t\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}\left(\forall t\in T\right)。容易证明\left(f,g,h\right)在\overline{\mathit{x}}处为type-I函数。

接下来讨论鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解的充分性条件。

定理2.2 设\left(f,g,h\right)在\overline{\mathit{x}}\in C为type-I函数，存在\mathit{\alpha }=\left({\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}，{\overline{v}}_t\in V_t,t\in T且\overline{\mathit{\lambda }}\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}，使得

\begin{array}{l}\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right),\end{array}

{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}。

则\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

证明 假设\overline{\mathit{x}}\in C不是(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，则存在\widehat{\mathit{x}}\in C\backslash \left\{\overline{\mathit{x}}\right\}，使得

\left(f\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\widehat{\mathit{x}}\right)\right)-\left(f\left(\overline{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}·g\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\widehat{\mathit{x}}\right)·‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\in -{\mathbf{R}}_{++}^p。（1）

又因为

\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)B^{\mathrm{*}}+

\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right),

则存在{\overline{\mathit{\zeta }}}_i\in {\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\overline{\mathit{\eta }}}_i\in {\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，\overline{\mathit{b}}\in B^{\mathrm{*}}，{\overline{\mathit{\gamma }}}_t\in {\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)，使得

\begin{array}{l}-\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left({\overline{\mathit{\xi }}}_i-{\overline{\mathit{s}}}_i{\overline{\mathit{\eta }}}_i\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\overline{\mathit{b}}+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\overline{\mathit{\gamma }}}_t\right]\in \\ N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right),\end{array}

即对于任意的\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)\right]}^{°}，有

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i〈{\overline{\mathit{\xi }}}_i-s_i{\overline{\mathit{\eta }}}_i,\mathit{\omega }〉+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)〈\overline{\mathit{b}},\mathit{\omega }〉+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t〈{\overline{\mathit{\gamma }}}_t,\mathit{\omega }〉\ge \mathrm{0}。（2）

因为\left(f,g,h\right)在\overline{\mathit{x}}\in C为type-I函数，则对于{\mathit{\zeta }}_i\in {\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\eta }}_i\in {\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\gamma }}_t\in {\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)，i=\mathrm{1,2},\cdots ,p，存在\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)\right]}^{°}，在\overline{\mathit{x}}\in C使得

f_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge 〈{\mathit{\zeta }}_i,\mathit{\omega }〉，

g_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge 〈{\mathit{\eta }}_i,\mathit{\omega }〉，

h_t\left(\widehat{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)-h_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)\ge 〈{\mathit{\gamma }}_t,\mathit{\omega }〉，‖\mathit{\omega }‖\le ‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖。

由s_i\le \mathrm{0}，可得

\left(-s_i\right)g_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\left(-s_i\right)g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge \left(-s_i\right)〈{\mathit{\eta }}_i,\mathit{\omega }〉。

因为\widehat{\mathit{x}}\in C\backslash \left\{\overline{\mathit{x}}\right\}，所以{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\widehat{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)\le \mathrm{0}。（3）

结合式（2）和（3）以及{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}可得

\begin{array}{l}\mathrm{0}\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i〈{\overline{\mathit{\xi }}}_i-{\overline{s}}_i{\overline{\mathit{\eta }}}_i,\mathit{\omega }〉+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t〈{\overline{\mathit{\gamma }}}_t,\mathit{\omega }〉+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)〈\overline{\mathit{b}},\mathit{\omega }〉\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\right.\\ \left.\left(f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)\right]+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖+\\ {\displaystyle \sum _{t\in T}^{}}{\overline{\lambda }}_t\left[h_t\left(\widehat{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)-\right.\left.h_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)\right]\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\right.\\ \left.{\overline{s}}_i{g}_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\left(f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\mathrm{。}\end{array}

因此，

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-\left(f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)\right]+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\ge \mathrm{0}\mathrm{。}

故一定存在i_{\mathrm{0}}=\mathrm{1},\cdots ,p，使得

\left(f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\widehat{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_{i_{\mathrm{0}}}{g}_{i_{\mathrm{0}}}\left(\widehat{\mathit{x}}\right)\right)-\left(f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_{i_{\mathrm{0}}}{g}_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)+{\epsilon }_{i_{\mathrm{0}}}{g}_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\widehat{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\ge \mathrm{0}，

与式（1）矛盾，故\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

3 鲁棒对偶性

具有不确定数据的鲁棒多目标半无限分式规划问题的对偶性在非线性分析中具有重要的作用，下面给出问题的混合型对偶。问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的混合型不确定对偶定义为

(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{s}_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t(\mathit{y},v_t),\\ \begin{array}{l}\mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i({\partial }^c{f}_i(\mathit{y})-s_{iy}{\partial }^c{g}_i(\mathit{y}))+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)B^{\mathrm{*}}+\sum _{t\in T}({\lambda }_t+{\mu }_t)\\ {\partial }_y^c{h}_t(\mathit{y},v_t)+N^c(\Omega ;\mathit{y}),\end{array}\\ \begin{array}{l}{\mu }_t{h}_t(\mathit{y},v_t)\ge \mathrm{0},\mathit{\lambda }\in \mathrm{\Delta }\left(\mathit{y},v\right),\\ t\in T,\mathit{\alpha }=({\alpha }_i{)}_{i=\mathrm{1}}^p\in {\mathbf{R}}_{+}^p,{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1},\\ \mathit{\mu }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)},\mathit{y}\in \Omega ,\end{array}\\ \begin{array}{l}{s}_{iy}=\frac{f_i(\mathit{y})}{g_i(\mathit{y})},i=\mathrm{1},\cdots ,p,\\ \mathrm{\Delta }\left(\mathit{y},v\right)=\left\{\mathit{\lambda }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}\left|{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)=\mathrm{0}\right.\right.\\ \left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\forall v_t\in V_t,t\in T\right\}\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.

相应的对偶问题的最优对应为

(\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{s}_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t(\mathit{y},v_t),\\ \begin{array}{l}\mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i({\partial }^c{f}_i(\mathit{y})-s_{iy}{\partial }^c{g}_i(\mathit{y}))+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)B^{\mathrm{*}}+\sum _{t\in T}({\lambda }_t+\\ {\mu }_t){\partial }_y^c{h}_t(\mathit{y},v_t)+N^c(\Omega ;\mathit{y}),\end{array}\\ \begin{array}{l}{\mu }_t{h}_t(\mathit{y},v_t)\ge \mathrm{0},s_{iy}=\frac{f_i(\mathit{y})}{g_i(\mathit{y})},\\ i=\mathrm{1},\cdots ,p,\mathit{y}\in \Omega ,\\ t\in T,v_t\in V_t,\mathit{\alpha }=({\alpha }_i{)}_{i=\mathrm{1}}^p\in {\mathbf{R}}_{+}^p,\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1},\mathit{\lambda }\in \mathrm{\Delta }\left(\mathit{y},v\right),\mathit{\mu }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)},\end{array}\\ \begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\left(\mathit{y},v\right)=\left\{\mathit{\lambda }\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}\left|{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)=\mathrm{0}\right.\right.\\ \left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\forall v_t\in V_t,t\in T\right\}\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.

记(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒可行集为D。

注3.1 1）若{\lambda }_t=\mathrm{0},t\in T，则问题(\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})退化为问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}-\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{r}型鲁棒对偶问题。

2）若{\mu }_t=\mathrm{0},t\in T，则问题(\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})退化为问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的\mathrm{W}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{e}型鲁棒对偶问题。

为了研究原问题与混合型对偶问题解的关系，下面给出混合对偶问题解的定义。

定义3.1 考虑问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})，若\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }}\right.，\left.\overline{\mathit{\mu }},{\overline{v}}_t\right)\in D，不存在\left(\mathit{y},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D，使得

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-\left({\overline{s}}_{iy}+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{y}},{\overline{v}}_t\right)\right)-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{y}}‖>\mathrm{0}，

则\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\overline{\mathit{\mu }},{\overline{v}}_t\right)为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的一个鲁棒\epsilon-拟Pareto弱有效解，\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\overline{\mathit{\mu }},{\overline{v}}_t\right)为(\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的一个\epsilon-拟Pareto弱有效解。

定理3.1 设\overline{\mathit{x}}\in C，\left(\mathit{y},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D，如果\left(f,g,h\right)在\mathit{y}处为type-I函数，且\mathit{y}为\underset{\mathit{y}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(\mathit{y})的最优解，则

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-{\overline{s}}_i-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{x}}‖\le \mathrm{0}。

证明 假设

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-{\overline{s}}_i-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{x}}‖>\mathrm{0}。

上式两边同时乘以-g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)得

， i=\mathrm{1},\cdots ,p。

因为\mathit{\alpha }=({\alpha }_i{)}_{i=\mathrm{1}}^p\in {\mathbf{R}}_{+}^p，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i=\mathrm{1}，所以

（4）

其中，\overline{\mathit{x}}\in C，\left(\mathit{y},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D，

{\lambda }_t\left(h_t(\overline{\mathit{x}},v_t)-\right.h_t(\mathit{y}， \left.v_t)\right)\le \mathrm{0}。

因为\left(\mathit{y},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D，所以

\begin{array}{l}\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^P}{\alpha }_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\mathit{y}\right)-s_{\mathrm{i}\mathrm{y}}{\partial }^c{g}_i\left(\mathit{y}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)B^{\mathrm{*}}+\\ \sum _{t\in T}({\lambda }_t+{\mu }_t){\partial }_y^c{h}_t(\mathit{y},v_t)+N^c(\Omega ;\mathit{y})\mathrm{。}\end{array}

故存在{\mathit{\zeta }}_{iy}\in {\partial }^c{f}_i\left(\mathit{y}\right)，{\mathit{\eta }}_{iy}\in {\partial }^c{g}_i\left(\mathit{y}\right)，{\overline{\mathit{b}}}_y\in B^{\mathrm{*}}，{\mathit{\gamma }}_{ty}\in{\partial }_x^c{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)，i=\mathrm{1,2},\cdots ,p，对于任意的\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\Omega ,\mathit{y}\right)\right]}^{°}有

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i〈{\mathit{\zeta }}_{iy}-s_{iy}{\mathit{\eta }}_{iy},\mathit{\omega }〉+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)〈{\overline{\mathit{b}}}_y,\mathit{\omega }〉+\sum _{t\in T}({\lambda }_t+{\mu }_t)〈{\mathit{\gamma }}_{ty},\mathit{\omega }〉\ge \mathrm{0}。

变形为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i〈{\mathit{\zeta }}_{iy}-s_{iy}{\mathit{\eta }}_{iy},\mathit{\omega }〉+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)〈{\overline{\mathit{b}}}_y,\mathit{\omega }〉\ge -\sum _{t\in T}{\lambda }_t〈{\mathit{\gamma }}_{ty},\mathit{\omega }〉-\sum _{t\in T}{\mu }_t〈{\mathit{\gamma }}_{ty},\mathit{\omega }〉\mathrm{。}

又因为\left(f,g,h\right)在\mathit{y}处为type-I函数，所以对于{\mathit{\zeta }}_{iy}\in {\partial }^c{f}_i\left(\mathit{y}\right)，{\mathit{\eta }}_{iy}\in {\partial }^c{g}_i\left(\mathit{y}\right)，{\mathit{\gamma }}_{ty}\in {\partial }_x^c{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)，{\overline{\mathit{b}}}_y\in B^{\mathrm{*}}，i=\mathrm{1,2},\cdots ,p，存在\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\Omega ,\mathit{y}\right)\right]}^{°}，使得

\begin{array}{l}\sum _{t\in T}{\mu }_t〈{\mathit{\gamma }}_{ty},\mathit{\omega }〉\le \sum _{t\in T}{\mu }_t\left(h_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)-h_t\left(\mathit{y},v_t\right)\right)\le \mathrm{0},\\ \sum _{t\in T}{\lambda }_t〈{\mathit{\gamma }}_{ty},\mathit{\omega }〉\le \sum _{t\in T}{\lambda }_t\left(h_t\left(\overline{\mathit{x}},v_t\right)-h_t\left(\mathit{y},v_t\right)\right)\le \mathrm{0},\end{array}

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-s_{iy}{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right]+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)‖\overline{\mathit{x}}-\mathit{y}‖-\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)=\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-f_i\left(\mathit{y}\right)-s_{iy}\left(g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-g_i\left(\mathit{y}\right)\right)\right]-\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)‖\overline{\mathit{x}}-\mathit{y}‖\ge {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i〈{\mathit{\zeta }}_{iy}-s_{iy}{\mathit{\eta }}_{iy},\mathit{\omega }〉+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\mathit{y}\right)〈{\overline{\mathit{b}}}_y,\mathit{\omega }〉\ge \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

又因为\mathit{y}为\underset{\mathit{y}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(\mathit{y})的最优解，则g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\ge g_i\left(\mathit{y}\right)，可以得到

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i\left[f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-s_{iy}{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right]+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\overline{\mathit{x}}-\mathit{y}‖-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)\ge \mathrm{0}。

与式（4）矛盾，故

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-{\overline{s}}_i-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{x}}‖\le \mathrm{0}。

定理3.2 假设鲁棒型次微分约束规格(\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{Q})在\overline{\mathit{y}}\in C处成立，\left(f,g,h\right)在任意的\mathit{y}\in \Omega处为type-I函数，若\overline{\mathit{y}}\in C为问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，且\mathit{y}为\underset{\mathit{y}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(\mathit{y})的最优解，那么存在\overline{\mathit{\alpha }}=\left({\overline{\alpha }}_{\mathrm{1}},{\overline{\alpha }}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\overline{\alpha }}_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i=\mathrm{1}，{\overline{v}}_t\in V_t,t\in T且\overline{\mathit{\lambda }}\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}，使\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)和\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，并且两者最优值相等。

证明 因为\overline{\mathit{y}}\in C为问题(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，则由定理2.1可得存在

\overline{\mathit{\alpha }}=\left({\overline{\alpha }}_{\mathrm{1}},{\overline{\alpha }}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\overline{\alpha }}_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i=\mathrm{1}，{\overline{v}}_t\in V_t,t\in T且

\overline{\mathit{\lambda }}\in {\mathbf{R}}_{+}^{\left(T\right)}，使得

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathrm{0}\in {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i\left({\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{y}}\right)-{\overline{s}}_i{\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{y}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\alpha }_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{y}}\right)B^{\mathrm{*}}+\\ \sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{y}},{\overline{v}}_t\right)+N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{y}}\right),\end{array}\\ {\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{y}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0},\end{array}\right.

显然，\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D和\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)\in D。

对于\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D，由定理3.1可得，任意的\left(\mathit{y},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D有

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-{\overline{s}}_{iy}-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{y}}‖\le \mathrm{0}。

已知\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{y}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}，所以

s_{iy}+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{y},v_t\right)-\left({\overline{s}}_{iy}+\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{y}},{\overline{v}}_t\right)\right)-{\epsilon }_i‖\mathit{y}-\overline{\mathit{y}}‖\le \mathrm{0}\mathrm{。}

对于\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)\in D，同理可得。

所以\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D和\left(\overline{\mathit{y}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)\in D为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

显然，两者最优值相等。

定理3.3 设\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的可行解，\overline{\mathit{x}}为\underset{\mathit{x}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(\mathit{x})的最优解，\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D和\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)\in D为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的可行解，如果\left(f,g,h\right)在任意的\mathit{x}\in \Omega处为type-I函数，那么\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D和\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t\right)\in D为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

证明 假设\overline{\mathit{x}}\in C不是(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解，则存在\tilde{\mathit{x}}\in C，使得

\left(\frac{f}{g}\right)\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\overline{\mathit{x}}\right)+\mathit{\epsilon }·‖\tilde{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\in -{\mathbf{R}}_{++}^p，

即f\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-\overline{\mathit{s}}g\left(\tilde{\mathit{x}}\right)+\mathit{\epsilon }·g\left(\tilde{\mathit{x}}\right)·‖\tilde{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\in -{\mathbf{R}}_{++}^p。

已知\overline{\mathit{\alpha }}=\left({\overline{\alpha }}_{\mathrm{1}},{\overline{\alpha }}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\overline{\alpha }}_p\right)\in {\mathbf{R}}_{+}^p，故

。（5）

类似定理3.1的证明，因为\left(f,g,h\right)在\overline{\mathit{x}}处为type-I函数，\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D，所以对于{\mathit{\zeta }}_{i\overline{x}}\in {\partial }^c{f}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\eta }}_{i\overline{x}}\in {\partial }^c{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，{\mathit{\gamma }}_{t\overline{x}}\in {\partial }_x^c{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)，\overline{\mathit{b}}\in B^{\mathrm{*}}，i=\mathrm{1,2},\cdots ,p，存在\mathit{\omega }\in {\left[N^c\left(\Omega ,\overline{\mathit{x}}\right)\right]}^{°}，在\overline{\mathit{x}}\in C使得

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i\left(f_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\tilde{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖=\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i\left[f_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-f_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i\left(g_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-g_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)\right)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)‖\tilde{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\ge {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i〈{\mathit{\zeta }}_{i\overline{x}}-{\overline{s}}_i{\mathit{\eta }}_{i\overline{x}},\mathit{\omega }〉+\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)〈\overline{\mathit{b}},\mathit{\omega }〉\ge \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

又因为\overline{\mathit{x}}为\underset{\mathit{x}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}g(\mathit{x})的最优解，则g_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)\geg_i\left(\overline{\mathit{x}}\right)，故

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i\left(f_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)-{\overline{s}}_i{g}_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^p}{\overline{\alpha }}_i{\epsilon }_i{g}_i\left(\tilde{\mathit{x}}\right)‖\tilde{\mathit{x}}-\overline{\mathit{x}}‖\ge \mathrm{0}，

与式（5）矛盾，因此\overline{\mathit{x}}\in C为(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

设\left(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }},\mathrm{0},{\overline{v}}_t\right)\in D不是(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

则存在\left(\mathit{x},\mathit{\alpha },\mathit{s},\mathit{\lambda },\mathit{\mu },v_t\right)\in D，使得

\begin{array}{l}{s}_i+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t(\mathit{x},v_t)-{\overline{s}}_i-\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)-\\ {\epsilon }_i‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖>\mathrm{0}\end{array}。

因为\sum _{t\in T}{\overline{\lambda }}_t{h}_t\left(\overline{\mathit{x}},{\overline{v}}_t\right)=\mathrm{0}，所以

s_i+\sum _{t\in T}{\lambda }_t{h}_t\left(\mathit{x},v_t\right)-{\overline{s}}_i-{\epsilon }_i‖\mathit{x}-\overline{\mathit{x}}‖>\mathrm{0}。

同定理3.1的证明，可以得到矛盾，故(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\overline{\mathit{\lambda }}，\mathrm{0},{\overline{v}}_t)\in D是(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

(\overline{\mathit{x}},\overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t)\in D同上述证明方法，易得(\overline{\mathit{x}}， \overline{\mathit{\alpha }},\overline{\mathit{s}},\mathrm{0},\overline{\mathit{\lambda }},{\overline{v}}_t)\in D是(\mathrm{U}\mathrm{M}\mathrm{F}\mathrm{D}\mathrm{P})的鲁棒\mathit{\epsilon }-拟Pareto弱有效解。

4 结束语

本文讨论了不确定信息下的多目标半无限分式规划问题的最优性条件，更一般地给出了该问题的混合型对偶问题，并讨论了原问题与对偶问题解之间的关系。后续可以在本文的基础上讨论混合鞍点的存在性。

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基金资助

国家自然科学基金项目(11961072)