基于O-U过程和混合次分数布朗运动的两种期权定价方法

Two options pricing methods based on O-U process and sub-fractional Brownian motion

摘要

为了更好地刻画股票价格市场的非平稳性、长记忆性和均值回复性，将O-U过程与混合次分数布朗运动相结合作为随机驱动源建立全新的期权定价模型。首先采用保险精算法，推导出此模型下的欧式期权定价公式；其次利用Delta对冲技巧，从求解偏微分方程的角度，得到欧式期权定价的解析公式，同时比较分析了保险精算法与偏微分方程法的优缺点；最后验证了不论市场是否有套利、是否均衡、是否具备完备性，保险精算法均适宜，且在股价持续高升时，非线性漂移系数\alpha会促使股票价格重新向长期均值靠拢，只有在使用保险精算中才得以体现。

Abstract

In order to better characterize the non-stationiness， long memory and mean recovery of the stock price market， the O-U process is combined with the mixed sub-fractional Brownian motion as a random driving source to establish a new option pricing model. Firstly， the European option pricing formula under this model is derived using actuarial method. Secondly， the analytical formula of European option pricing is obtained from the perspective of solving partial differential equations by using Delta hedging technique. At the same time， the advantages and disadvantages of the two pricing methods are compared and analyzed， and it is further confirmed that whether the market has arbitrage， equilibrium and integrity. The actuarial method is suitable， and when the stock price continues to rise， the adjustment parameters will push the stock price back to the long-term average， which can only be reflected in the use of actuarial calculation.

关键词

混合次分数布朗运动 / O-U过程 / 期权定价 / 保险精算法 / Delta对冲 / 偏微分方程法

Key words

mixed subfractional Brownian motion / O-U process / option pricing / actuarial law / Delta hedging / partial differential equation method

在金融市场复杂且多层次的结构中，金融数学作为一门将高等数学与金融学深度融合的学科，始终扮演着引领创新与风险量化的关键角色。期权作为金融衍生品的重要一类，其为投资者提供了前所未有的灵活性和保护机制，因而越来越受到人们的关注{}^{\left[\mathrm{1}\right]}。

为了构建一个更加贴近实际金融市场股票价格变动的模型，学者们不断尝试探索，从最初的假设资产价格服从标准布朗运动，逐步到服从分数布朗运动、双分数布朗运动以及次分数布朗运动，直至提出了一种新的、更为精准的混合次分数布朗运动。对于任意的H\ge \mathrm{0.75}时，混合次分数布朗运动不仅呈现出半鞅的性质，还兼具自相关性、长期相关性以及非平稳增量性，使其更加符合实际金融市场的复杂动态。2021年余湄等{}^{\left[\mathrm{2}\right]}开辟了一个新的期权定价方法：基于混合次分数布朗运动的新视角。2022年王欣怡等{}^{\left[\mathrm{3}-\mathrm{4}\right]}建立了混合次分数布朗运动机制下带有随机利率的欧式期权定价模型。2023年高展洁{}^{\left[\mathrm{5}\right]}研究了不完备市场下基于混合次分数布朗运动的欧式期权定价模型，同年王萌等{}^{\left[\mathrm{6}\right]}基于混合次分数布朗运动，得到了欧式障碍期权定价公式。

传统的期权定价法有偏微分方程法{}^{\left[\mathrm{7}\right]}、鞅方法和逼近法，但这些方法通常假设金融市场是无套利的，所以在有套利的情况下，1998年BLADT等{}^{\left[\mathrm{8}\right]}首次提出了保险精算法。2003年闫海峰等{}^{\left[\mathrm{9}\right]}用保险精算法给出了广义Black-Scholes模型的期权下的期权定价公式。2017年石方圆{}^{\left[\mathrm{10}\right]}对跳扩散及O-U过程下期权的保险精算定价做了深入研究。2021年胡攀{}^{\left[\mathrm{11}\right]}得到了次分数跳扩散过程下亚式期权的保险精算定价。2023年CHEN等{}^{\left[\mathrm{12}\right]}讨论了基于保险精算框架的期权定价。

当股票价格偏离长期均值，波动情况较大时，利用标的资产服从O-U过程来刻画展示其均值回归性。2010年赵攀等{}^{\left[\mathrm{13}\right]}给出了O-U过程下不确定执行价格的亚式期权定价。2018年武涛等{}^{\left[\mathrm{14}\right]}研究了双分数O-U过程下欧式幂型期权定价。2022年李敬楠等{}^{\left[\mathrm{15}\right]}对随机利率下基于O-U过程的商期权定价进行了深入研究。

综上所述，本文将O-U过程与混合次分数布朗运动相结合作为随机驱动源建立期权定价模型，采用保险精算法与偏微分方程法探究在此新模型下的欧式期权定价公式，并验证了在股价持续高升时，非线性漂移系数\alpha会促使股票价格重新向长期均值靠拢。

1 预备知识

1.1 混合次分数布朗运动

定义1 由标准布朗运动和次分数布朗运动的线性组合所定义的随机过程称为混合次分数布朗运动{}^{\left[\mathrm{16}\right]}，记作\left\{M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),t\ge \mathrm{0}\right\}，即

\left\{M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),t\ge \mathrm{0}\right\}=M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}})={\sigma }_{\mathrm{1}}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\xi }_t^H,（1）

其中，B_t为布朗运动，{\xi }_t^H为次分数布朗运动。其Hurst指数H\in \left.\left[\mathrm{0.75,1}\right.\right)，{\sigma }_{\mathrm{1}}、{\sigma }_{\mathrm{2}}为标的资产价格在布朗运动和次分数布朗运动下的波动率，且{\sigma }_{\mathrm{1}}、{\sigma }_{\mathrm{2}}均为常数，B_t\mathrm{、}{\xi }_t^H相互独立。特别地，当{\sigma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}时，M_t^H为次分数布朗运动；当{\sigma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},{\sigma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}或{\sigma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1},H=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}时，M_t^H为标准布朗运动。

引理1 混合次分数布朗运动\left\{M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),t\ge \mathrm{0}\right\}（简记为M_t^H），性质{}^{\left[\mathrm{17}\right]}如下：

1）过程M_t^H是一个中心高斯过程；

2）对\forall t\ge \mathrm{0}，

Var\left[M_t^H\right]=E\left[{\left(M_t^H\right)}^{\mathrm{2}}\right]={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})t^{\mathrm{2}H}；

3）对\forall t\ge \mathrm{0},s\ge \mathrm{0}，协方差

Cov(M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),M_s^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(t,s)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left\{t^{\mathrm{2}H}+s^{\mathrm{2}H}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{(t+s)}^{\mathrm{2}H}+\right.\right.\left.\left.{\left|t-s\right|}^{\mathrm{2}H}\right]\right\};

4）过程M_t^H是自相似的，即对\forall t\ge \mathrm{0},h\ge \mathrm{0}，\left\{M_{ht}^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}})\right\}\underline{\underline{\mathrm{\Delta }}}\left\{M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}}{h}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},{\sigma }_{\mathrm{2}}{h}^H)\right\};

5）对\forall h\ge \mathrm{0}，当且仅当H\in \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\right)时，过程M_t^H的增量具有长相依性，即若令

\rho (n)=Cov(M_{\mathrm{1}}^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),M_{\mathrm{n}+\mathrm{1}}^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}})-M_n^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))，

则有{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}\rho (n)=\mathrm{\infty };

6）过程M_t^H的增量是非平稳的；

7）\forall t\ge \mathrm{0}，当H\in \left.\left[\mathrm{0.75,1}\right.\right)时，过程M_t^H是一个半鞅。

1.2 O-U过程模型

考虑一个在连续时间内、无套利机会且市场完备的金融环境中，存在两种可用于交易的资产所构成的模型{}^{\left[\mathrm{18}\right]}。

1）无风险利率的债券，债券价格B(t)满足：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d}B(t)=r(t)B(t)\mathrm{d}\mathrm{t},\\ B(\mathrm{0})=\mathrm{1},\end{array}\right.（2）

其中，瞬时无风险利率r(t)被设定为一个确定的、随时间连续变化的函数。

2）对于风险资产（例如股票），其在任意时刻的价格S(t)动态遵循一个随机微分方程：

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d}S(t)=(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}S(t))S(t)\mathrm{d}t+\sigma S(t)\mathrm{d}B(t),\\ S(\mathrm{0})=\mathrm{0},\end{array}\right.（3）

其中，标准布朗运动{\left\{B_t\right\}}_{t\ge \mathrm{0}}定义在概率空间之上，满足常见的条件：完整性、单调递增性和右连续性。方程（3）由于具备足够的平滑性条件，因此拥有唯一且严格的正解。非线性漂移系数\alpha\left(\alpha \ge \mathrm{0}\right)的存在，旨在当股票价格攀升至某一高位时，为股票价格引入一种向下的调整趋势。模型2）将预期收益率与股票价格相联系，当股票价格偏离其长期稳定的均衡价位时，该模型能够促使股票价格重新调整至这一均衡水平，与一般的随机过程模型相比，该模型展现出了更强的回归特性。特别地，当满足特定条件时，此模型即退化为经典的B-S模型。因此，方程（3）被称为广义指数O-U过程。

1.3 保险精算法

定义2{}^{\left[\mathrm{19}\right]} 标的资产价格S_t在时间段\left[\mathrm{0},t\right]内的期望收益率{\int }_{\mathrm{0}}^t{\beta }_u\mathrm{d}u定义为

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^t{\beta }_u\mathrm{d}u\right\}=\frac{E(S_t)}{S_{\mathrm{0}}},（4）

即资产在\left[\mathrm{0},t\right]的期望收益率定义为风险资产期末价格的期望与初始价格之比。

定义3{}^{\left[\mathrm{20}\right]} 欧式期权的保险精算价值定义：当期权被执行时，股票到期日的折现值与执行价的折现值的差，在股票价格实际分布的概率测度下的数学期望值。其中无风险资产按无风险利率折现，风险资产的价值是通过其期望收益率进行贴现来计算的。而欧式期权在到期时是否被执行，完全取决于一个条件：

欧式买权为

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_t>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{t}r(u)\mathrm{d}u\right\}K,

欧式卖权为

设C(K,t)和P(K,t)分别表示以股票价格S_t为标的资产，执行价为K，到期日为t的欧式买权和卖权的保险精算定价。由上述定义得

C(K,t)=E\left[\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_t-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{t}r(u)\mathrm{d}u\right\}K\right)·I_{\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_t>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{t}r(u)\mathrm{d}u\right\}K\right\}}\right],

P(K,t)=E\left[\left(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{t}r(u)\mathrm{d}u\right\}K-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_t\right)·I_{\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{t}r(u)\mathrm{d}u\right\}K>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_t\right\}}\right]\mathrm{。}

引理2{}^{\left[\mathrm{21}\right]} 设两随机变量，Y_{\mathrm{1}}~N(\mathrm{0,1})，Y_{\mathrm{2}}~N(\mathrm{0,1})，Cov(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}})=\rho，则对任意的实数a\mathrm{、}b\mathrm{、}c\mathrm{、}d\mathrm{、}k，有下式成立：

E\left[{\mathrm{e}}^{c{Y}_{\mathrm{1}}+d{Y}_{\mathrm{2}}}{I}_{\left\{a{Y}_{\mathrm{1}}+b{Y}_{\mathrm{2}}\ge k\right\}}\right]={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(c^{\mathrm{2}}+d^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\rho cd)}N\left(\frac{ac+bd+\rho (ad+bc)-k}{\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\rho ab}}\right),（5）

其中，N(x)为标准正态分布函数。

2 O-U过程和混合次分数布朗运动共同驱动的期权定价模型

假设标的资产价格S_t满足随机微分方程

\mathrm{d}{S}_t=(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)S_t\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{1}}{S}_t\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{S}_t\mathrm{d}{\xi }_t^H\mathrm{。}（6）

其中，B_t表示布朗运动，{\xi }_t^H表示Hurst指数H\in \left.\left[\mathrm{0.75,1}\right.\right)的次分数布朗运动，{\sigma }_{\mathrm{1}}、{\sigma }_{\mathrm{2}}均为非负常数，分别表示标的资产（股票）在布朗运动与次分数布朗运动下的波动率，\mu为股票的期望回报率，\alpha为非线性漂移系数且为常数，当\alpha =\mathrm{0}时，即为\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}-\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}模型中的分解资产价格方程，当\alpha >\mathrm{0}时，作用是当股价攀升至一定高度，O-U过程会促使股价回落，趋向长期均值，体现了其均值回归的效应。

定理1 标的资产价格满足随机微分方程（6）式，其解为

S_t={S_{\mathrm{0}}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left[{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right){\mathrm{e}}^{\alpha u}{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right]\right\}\mathrm{。}

证明 记M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}})={\sigma }_{\mathrm{1}}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\xi }_t^H\mathrm{。}

由混合次分数布朗运动的性质可知

Cov(M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),M_s^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(t,s)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left\{t^{\mathrm{2}H}+s^{\mathrm{2}H}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{(t+s)}^{\mathrm{2}H}+{\left|t-s\right|}^{\mathrm{2}H}\right]\right\},

则可以得到

\begin{array}{l}E(M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{2}}=Cov(M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}),\\ M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))+{\left[E(M_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))\right]}^{\mathrm{2}}=\\ {\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})t^{\mathrm{2}H},\end{array}

所以可近似的认为{}^{\left[\mathrm{12}\right]}

\begin{array}{l}(\mathrm{d}{M}_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{2}}=E(\mathrm{d}{M}_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}{))}^{\mathrm{2}}-\\ {\left[E(\mathrm{d}{M}_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}}))\right]}^{\mathrm{2}}=\\ ({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})\mathrm{2}H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})\mathrm{d}t,\end{array}

\begin{array}{l}(\mathrm{d}{S}_t{)}^{\mathrm{2}}=(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t{)}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}{(\mathrm{d}t)}^{\mathrm{2}}+\\ S_t^{\mathrm{2}}{\left[\mathrm{d}{M}_t^H({\sigma }_{\mathrm{1}},{\sigma }_{\mathrm{2}})\right]}^{\mathrm{2}}+o(\mathrm{d}t)=\\ {\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})\mathrm{2}H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}{S}_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+o(\mathrm{d}t)\mathrm{。}\end{array}

令f(x)=\mathrm{l}\mathrm{n}x,f(S_t)=\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t,

\begin{array}{l}\mathrm{d}(\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)=\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t+\frac{\partial f}{\partial S_t}\mathrm{d}{S}_t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}f}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}(\mathrm{d}{S}_t{)}^{\mathrm{2}}+o(\mathrm{d}t)=\\ \left[\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\mathrm{d}t+\\ {\sigma }_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}\mathrm{d}{\xi }_t^H,\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)=\alpha {\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{d}(\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)=\\ {\mathrm{e}}^{\alpha t}\left[\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\mathrm{d}t+\\ {\mathrm{e}}^{\alpha t}({\sigma }_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}\mathrm{d}{\xi }_t^H),\end{array}

两边同时取积分可得

\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t={\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left[\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_{\mathrm{0}}+\left[(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right]\right.·\\ \left.{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right],\end{array}

S_t={S_{\mathrm{0}}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left[{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right)·{\mathrm{e}}^{\alpha u}{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right]\right\}\mathrm{。}

定理1得证。

注1当\alpha =\mathrm{0}时，可知混合次分数布朗运动下股票价格过程为

S_t=S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\left[\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right]·{\int }_{\mathrm{0}}^t{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right\}\mathrm{。}

定理2 标的资产价格\left\{S_t,t\ge \mathrm{0}\right\}在时间段\left[\mathrm{0},t\right]内的期望收益率{\int }_{\mathrm{0}}^t{\beta }_u\mathrm{d}u，\mathrm{u}\in \left[\mathrm{0},t\right]定义为

\begin{array}{l}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^t{\beta }_{u}du\right\}=\frac{E(S_t)}{S_{\mathrm{0}}}=\\ {S_t}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}-\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\},\end{array}（7）

其中，X_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\sigma }_{\mathrm{1}}{e}^{\alpha u}d{B}_u,X_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H,

A={\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right)u^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}u,

\begin{array}{l}{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}=Var\left({\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u\right),\\ {\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}=Var\left({\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right)\mathrm{。}\end{array}

证明 由定理1知

S_t={S_{\mathrm{0}}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left[{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right)·{\mathrm{e}}^{\alpha u}{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right]\right\},

令\zeta ={\mathrm{e}}^{-\alpha t}\left[{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(\mu -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H\right){\mathrm{e}}^{\alpha u}{u}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}u+\right.\left.{\sigma }_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\sigma }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right],

且\zeta~N(A,{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}),

则S_t=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\zeta \right\},\mathrm{且}

E\left[S_t\right]=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\zeta \right\}\right]=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\},

由期望收益率的定义可得

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^t\beta (u)\mathrm{d}u\right\}=\frac{E\left[S_t\right]}{S_{\mathrm{0}}}=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}-\mathrm{1}}E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\zeta \right\}\right]=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}-\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\}\mathrm{。}

定理2得证。

3 O-U过程和混合次分数布朗运动的欧式期权定价公式

3.1 期权定价的保险精算法

定理3 O-U过程和混合次分数布朗运动下，到期时间为T的欧式期权保险精算定价公式分别为

C(K,T)=S_{\mathrm{0}}N(d_{\mathrm{1}})-K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N(d_{\mathrm{2}}),（8）

P(K,T)=K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N(-d_{\mathrm{2}})-S_{\mathrm{0}}N(-d_{\mathrm{1}}),（9）

其中，令X_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\alpha T}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u,X_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\alpha T}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_u^H,

{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha T}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\alpha u}\mathrm{d}u,

{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\alpha T}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\int }_{\mathrm{0}}^T{\mathrm{e}}^{\alpha (u+v)}\left[\left(-H(\mathrm{2}H-\mathrm{1}){(u+v)}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}}+\right.\right.\left.\left.H(\mathrm{2}H-\mathrm{1}){(u-v)}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}}\right)\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v,

k=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{K}{S_{\mathrm{0}}}-rT+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}),Y_{\mathrm{1}}=\frac{X_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}},Y_{\mathrm{2}}=\frac{X_{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}},

\rho =\frac{Cov(X_{\mathrm{1}},X_{\mathrm{2}})}{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}}=\frac{E(X_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}})-E(X_{\mathrm{1}})E(X_{\mathrm{2}})}{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}}=Cov(Y_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{2}}),

d_{\mathrm{1}}=\frac{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-k}{\sqrt[]{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}},d_{\mathrm{2}}=\frac{-k}{\sqrt[]{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}}\mathrm{。}

证明 由定义3可知

\begin{array}{l}C(K,T)=E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}·S_T{I}_{\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_T>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}K\right\}}\right]-E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}\right.·\\ \left.K{I}_{\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_T>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}K\right\}}\right]=I_{\mathrm{1}}-I_{\mathrm{2}},\end{array}

由定义2、定理1及定理2得到

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}=\frac{E\left[S_T\right]}{S_{\mathrm{0}}}=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha T}-\mathrm{1}}E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\zeta \right\}\right]=S_{\mathrm{0}}^{{\mathrm{e}}^{-\alpha T}-\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\},

\begin{array}{l}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}=\\ S_{\mathrm{0}}^{-{\mathrm{e}}^{-\alpha T}+\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-A-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\},\end{array}

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_T=S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha T}\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+\right.\left.{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_u^H\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\},

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}K=K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}\mathrm{。}

令B=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_T>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}K,

即S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha T}\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\right.\right.\left.\stackrel{}{\underset{}{\left.{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)}}\right\}>K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\},

即{\mathrm{e}}^{-\alpha T}\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right)>

\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{K}{S_{\mathrm{0}}}-rT+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{。}

令X_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\alpha T}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u,X_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\alpha T}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_u^H,

即X_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}>\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{K_T}{S_{\mathrm{0}}}-rT+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}),即X_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}>k,

且X_{\mathrm{1}}~N(\mathrm{0},{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}),X_{\mathrm{2}}~N(\mathrm{0},{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}),再令

Y_{\mathrm{1}}=\frac{X_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}},Y_{\mathrm{2}}=\frac{X_{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}},则

Y_{\mathrm{1}}~N(\mathrm{0,1})，Y_{\mathrm{2}}~N(\mathrm{0,1})，X_{\mathrm{1}}={\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}，X_{\mathrm{2}}={\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}，{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}>k\mathrm{。}

由引理2有

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}=E\left[S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha T}\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{B}_u+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\sigma }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\alpha u}\mathrm{d}{\xi }_{\mathrm{u}}^H\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\}{I}_{\left\{X_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}>k\right\}}\right]=S_{\mathrm{0}}E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{X_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\}{I}_{\left\{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}>k\right\}}\right]=S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\}E\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}\right\}·I_{\left\{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}>k\right\}}\right]=S_{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}})\right\}·\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}({\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\rho {\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}})\right\}·\\ N\left(\frac{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\rho {\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}-k}{\sqrt[]{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\rho {\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}}}\right)=\end{array}

S_{\mathrm{0}}N\left(\frac{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-k}{\sqrt[]{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}}\right),

其中，B_u\mathrm{与}{\xi }_u^H\mathrm{相互}\mathrm{独立},\mathrm{则}\rho =\mathrm{0}时

I_{\mathrm{1}}=S_{\mathrm{0}}N(d_{\mathrm{1}})\mathrm{。}

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{2}}=E\left[K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(s)\mathrm{d}s\right\}{I}_{\left\{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}{Y}_{\mathrm{1}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}{Y}_{\mathrm{2}}>k\right\}}\right]=K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N\left(\frac{-k}{\sqrt[]{{\sigma }_{X_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{X_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}}\right)=\\ K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N(d_{\mathrm{2}}),\end{array}

所以C(K,T)=S_{\mathrm{0}}N(d_{\mathrm{1}})-K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N(d_{\mathrm{2}})\mathrm{。}

同理可证

P(K,T)=K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-rT\right\}N(-d_{\mathrm{2}})-S_{\mathrm{0}}N(-d_{\mathrm{1}})\mathrm{。}

3.2 期权定价的偏微分方程法

定理4 设V=V(t,S_t)表示欧式期权在时刻t的价格，假设随机过程S_t满足随机微分方程式（6），那么

\begin{array}{l}\mathrm{d}V=\left[\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial S_t}(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)S_t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\mathrm{d}t+\\ \frac{\partial V}{\partial S_t}({\sigma }_{\mathrm{1}}{S}_t\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{S}_t\mathrm{d}{\xi }_t^H)\mathrm{。}\end{array}（10）

证明 根据\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}公式展开，有

\mathrm{d}V=\frac{\partial V}{\partial t}\mathrm{d}t+\frac{\partial V}{\partial S_t}\mathrm{d}{S}_t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}\mathrm{d}{S}_t^{\mathrm{2}}+o(t)\mathrm{。}（11）

由于\mathrm{d}{S}_t^{\mathrm{2}}={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})\mathrm{2}H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}t+o(\mathrm{d}t),（12）

将式（6）、（12）代入式（11），并忽略高阶无穷小，就可得

\begin{array}{l}\mathrm{d}V=\frac{\partial V}{\partial t}\mathrm{d}t+\frac{\partial V}{\partial S_t}\left[(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)S_t\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{1}}{S}_t\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{S}_t\mathrm{d}{\xi }_t^H\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}\left[{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})\mathrm{2}H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\mathrm{d}t\right]=\\ \left[\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial S_t}(\mu -\alpha \mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t)S_t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\mathrm{d}t+\\ \frac{\partial V}{\partial S_t}({\sigma }_{\mathrm{1}}{S}_t\mathrm{d}{B}_t+{\sigma }_{\mathrm{2}}{S}_t\mathrm{d}{\xi }_t^H)\mathrm{。}\end{array}（13）

接下来，给出定解区域内欧式期权价格均满足的偏微分方程。

令V=V(t,S_t)表示欧式期权在时刻t价格，构造一个投资组合\mathrm{\Pi }：一份欧式期权多头和\Delta份标的资产空头，在t时刻时该投资组合的价值为

\mathrm{\Pi }=V-\Delta S_t=V-\frac{\partial V}{\partial S_t}{S}_t,

因为市场是无风险的，由定理1，在\left[t,t+\mathrm{d}t\right]时间内，利用\Delta -对冲原理，有

\mathrm{d}\mathrm{\Pi }=\mathrm{d}V-\Delta \mathrm{d}{S}_t=\mathrm{d}V-\frac{\partial V}{\partial S_t}\mathrm{d}{S}_t,（14）

将式（6）、（13）代入式（14）得

\mathrm{d}\mathrm{\Pi }=\left[\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\mathrm{d}t\mathrm{。}（15）

而E\left[\mathrm{d}\mathrm{\Pi }\right]=r\mathrm{\Pi }\mathrm{d}t,（16）

则\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{S}_t^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right)\mathrm{d}t=r\left(V-\frac{\partial V}{\partial S_t}{S}_t\right)\mathrm{d}t,

化简得

\frac{\partial V}{\partial t}+r{S}_t\frac{\partial V}{\partial S_t}+S_t^{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}V}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}=rV,（17）

式（17）即S_t服从O-U过程和混合次分数布朗运动下欧式期权满足的偏微分方程。

定理5 假设标的资产价格S_t满足O-U过程和混合次分数布朗运动，且期权的执行价格为K，到期日为T，则欧式看涨期权在时刻t\in \left[\mathrm{0},T\right]的价格C(K,T,t)为

C(K,T,t)=S_t\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}h})(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})\right\}N(d_{\mathrm{1}})-K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-r(T-t)\right\}N(d_{\mathrm{2}}),（18）

d_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}{\sqrt[]{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}},

d_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)(T-t)-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}{\sqrt[]{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}},

其中，N(x)表示为标准正态分布函数。

证明 由式（17）知，欧式看涨期权的数学模型为在区域D上求解下列偏微分方程组：

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}\frac{\partial C}{\partial t}+r{S}_t\frac{\partial C}{\partial S_t}+S_t^{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right]·\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}C}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}-rC=\mathrm{0};\end{array}\\ \begin{array}{l}C(S_t,T)=(S_t{-K)}^{+},\mathrm{0}\le S\le \mathrm{\infty };\\ C(S_t,t)=\mathrm{0},\mathrm{0}\le t\le T\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.（19）

首先，做如下变换，令

x=\mathrm{l}\mathrm{n}{S}_t，C(t,S_t)=u(t,x),（20）

\frac{\partial C}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial C}{\partial S_t}=\frac{\mathrm{1}}{S_t}\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}C}{\partial S_t^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{S_t^{\mathrm{2}}}\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}-\frac{\partial u}{\partial x}\right),

代入方程组（19），从而有

\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}+\left[r-\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right)\right]\frac{\partial u}{\partial x}+\\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right)\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}-ru=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（21）

再令z=u{\mathrm{e}}^{\delta (t)}，\gamma =x+\epsilon (t)，\tau =\lambda (t)，（22）

其中，u=z{\mathrm{e}}^{-\delta (t)},

则\frac{\partial u}{\partial t}={\mathrm{e}}^{-\delta (t)}\left[\frac{\partial z}{\partial \tau }{\lambda }^{\text{'}}(t)+\frac{\partial z}{\partial \gamma }{\epsilon }^{\text{'}}(t)-z{\delta }^{\text{'}}(t)\right],\frac{\partial u}{\partial x}={\mathrm{e}}^{-\delta (t)}\frac{\partial z}{\partial \gamma }，

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}={\mathrm{e}}^{-\delta (t)}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}z}{\partial {\gamma }^{\mathrm{2}}},

将以上三式代入式（21）可得

\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial \tau }{\lambda }^{\text{'}}(t)+\left[r-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}+{\epsilon }^{\text{'}}(t)\right]\frac{\partial z}{\partial \gamma }+\\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right)\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}z}{\partial {\gamma }^{\mathrm{2}}}-\\ z(r+{\delta }^{\text{'}}(t))=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

令{\epsilon }^{\text{'}}(t)=-r+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}},

{\delta }^{\text{'}}(t)=-r,

{\lambda }^{\text{'}}(t)=-\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})H{t}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}}\right],

即\epsilon (t)=(r-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})(T-t)-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H}),

\delta (t)=r(T-t),

\lambda (t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})\right]\mathrm{。}

由此，以下的热传导方程由方程组（19）转化而成，在\left\{\gamma \ge \mathrm{0,0}\le t\le T\right\}上适合定解问题：

（23）

z(\gamma ,\tau )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\pi }\tau }}{\int }_{lnk}^{+\infty }(e^{\xi }-K){\mathrm{e}}^{-\frac{{(\xi -\gamma )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\tau }}\mathrm{d}\xi =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\pi }\tau }}{\int }_{\mathrm{l}\mathrm{n}K}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\xi }{\mathrm{e}}^{-\frac{{(\xi -\gamma )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\tau }}\mathrm{d}\xi -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\pi }\tau }}{\int }_{\mathrm{l}\mathrm{n}K}^{+\mathrm{\infty }}K{\mathrm{e}}^{-\frac{{(\xi -\gamma )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\tau }}\mathrm{d}\xi =I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}\mathrm{。}

令\frac{\xi -\gamma -\mathrm{2}\tau }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}=t，

则\xi =\gamma +\mathrm{2}\tau +t\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }，由于{\mathrm{e}}^{\xi }>K，即

\frac{\xi -\gamma -\mathrm{2}\tau }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}>\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}K-\gamma -\mathrm{2}\tau }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }},

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\int }_{\mathrm{l}\mathrm{n}K}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{\xi -\gamma -\mathrm{2}\tau }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}\right)}^{\mathrm{2}}·\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}\xi ={\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\int }_{\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}K-\gamma -\mathrm{2}\tau }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\int }_{-\frac{\gamma +\mathrm{2}\tau -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t=\\ {\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}N\left(\frac{\gamma +\mathrm{2}\tau -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}\right)\mathrm{。}\end{array}

再令\frac{\xi -\gamma }{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}=t,则

I_{\mathrm{2}}=-\frac{K}{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{\pi }\tau }}{\int }_{\mathrm{l}\mathrm{n}K}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(\xi -\gamma )}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\tau }}\mathrm{d}\xi =-\frac{K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}{\int }_{-\frac{\gamma -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}t=-KN(\frac{\gamma -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}),

则有z(\gamma ,\tau )={\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }N\left(\frac{\gamma +\mathrm{2}\tau -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}\right)-KN\left(\frac{\gamma -\mathrm{l}\mathrm{n}K}{\sqrt[]{\mathrm{2}\tau }}\right)={\mathrm{e}}^{\gamma +\tau }N(d_{\mathrm{1}})-KN(d_{\mathrm{2}}),

变量还原后得

C(K,T,t)=S_t\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}h})(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})\right\}N(d_{\mathrm{1}})-K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-r(T-t)\right\}N(d_{\mathrm{2}}),

d_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}{\sqrt[]{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}},

d_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)(T-t)-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}{\sqrt[]{{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(T-t)+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{2}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{1}})(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}H})}}\mathrm{。}

推论1 假设标的资产价格S_t服从O-U过程和混合次分数布朗运动，且期权的执行价格为K，到期日为T，则欧式看跌期权在时刻t\in \left[\mathrm{0},T\right]的价格P(K,T,t)为

\begin{array}{l}P(K,T,t)=K\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-r(T-t)\right\}N(-d_{\mathrm{2}})-\\ S_t\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}(T^{\mathrm{2}H}-t^{\mathrm{2}h})(\mathrm{1}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}H-\mathrm{2}})\right\}N(-d_{\mathrm{1}})\mathrm{。}\end{array}

证明 由边值条件P(K,T,t)=(K-S_T{)}^{+}，运用定理5中的方法求解方程（23）得到看跌期权的价值P(K,T,t)。

可以看出，式（17）与基于混合次分数布朗运动推导出的期权定价公式的偏微分方程是完全一致的，这证明了股票期权的价值并不依赖于描述股价波动性的随机模型中的漂移项。

4 结论

从模型的实效性角度来看，与经典的Black-Scholes模型相比，将O-U过程与混合次分数布朗运动相结合的期权定价模型具有以下优势：第一，能够刻画股票价格围绕均值波动的特性，更符合实际市场中股票价格的运动规律；第二，可以刻画股票价格的时变性和长记忆性，从而提高了期权定价的精度；第三，改进后的模型为金融市场提供了更多的风险管理工具，有助于投资者更好地管理风险。

比较保险精算定价与传统的解偏微分方程定价，它们之间存在着若干根本性的差异：首先，保险精算定价不考虑市场是否有套利、是否均衡、是否具备完备性，而传统的偏微分方程定价是在无套利的前提下，势必与真实的金融市场不吻合，使得非线性漂移系数\alpha对期权价格的调节作用在本方法中不能很好的体现，但传统的偏微分方程定价有很好的指导意义；其次，保险精算定价中看涨期权的执行条件为\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^T\beta (u)\mathrm{d}u\right\}{S}_T>\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}r(u)\mathrm{d}u\right\}K，而不是S_T>K；最后，保险精算定价法相对运算量小，计算起来较简单，而传统的偏微分方程运算复杂，计算量大。

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基金资助

陕西省大学生创新创业训练计划项目(S202410719092)

延安大学教学改革研究项目(YDJGZD23-05)

延安大学继续教育教学改革研究项目(YDJYJG2024-04)