求解分层变分不等式与不动点问题公共元的新投影算法

A new projection algorithm for solving common elements of hierarchical variational inequalities and fixed point problems

摘要

在Hilbert空间中利用粘性迭代构造了一种新的多步惯性正则化Tseng型外梯度算法，该算法用于求解带有半压缩映射不动点问题约束的分层变分不等式问题。在适当的限制条件下，证明了该算法生成的迭代序列的强收敛定理，并给出数值例子说明该算法的有效性。研究结果推广和改进了分层变分不等式与不动点理论的相关内容。

Abstract

A new multi-step Tseng-type external gradient algorithm for inertial regularization is constructed by viscous iteration in Hilbert space. The algorithm is used to solve hierarchical variational inequality problems with fixed point problems of semi-contractive mappings. Under appropriate restrictions， the strong convergence theorem of the iterative sequence generated by the algorithm is proved， and two numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the algorithm. The findings extand and refine the existing theory of hierarchical variational inequalities and fixed points.

Graphical abstract

关键词

分层变分不等式 / 多步惯性 / 半压缩映射 / 强收敛定理

Key words

hierarchical variational inequalities / multi-step inertia / semi-contractive mappings / strong convergence theorem

设H为具有内积〈\cdot ,\cdot 〉与范数‖·‖的实Hilbert空间，C是H的一个非空闭凸子集，A:H\toH为一映射，经典的变分不等式（VIP）为寻找一点x^{\mathrm{*}}\in C使得

〈A{x}^{\mathrm{*}},y-x^{\mathrm{*}}〉\ge \mathrm{0},\begin{array}{cc}& \end{array}\forall y\in C,（1）

记式（1）的解集为\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)。变分不等式理论已经被广泛应用于各个领域，例如控制论、信号处理、经济学、最优控制理论等^［1-8］。为了求解变分不等式问题，1976年，KORPELEVICH^［9］提出双投影外梯度算法，该算法需计算两次到可行集C上的投影，当C的结构复杂时，数值实验中投影算子的计算会更加复杂。因此，CENSOR等^［10］在此算法上做出改进，将双投影外梯度算法中的第二个投影替换为半空间上的投影。此外，TSENG^［11］在2000年提出了一种改进的外梯度算法，形式如下：

\left\{\begin{array}{c}{y}_n=P_C\left(x_n-\lambda A\left(x_n\right)\right),\\ x_{n+\mathrm{1}}=y_n+\lambda \left(A\left(x_n\right)-A\left(y_n\right)\right),\end{array}\right.（2）

其中，\lambda \in \left(\mathrm{0},\mathrm{1}/L\right)，A:H\to H为单调且L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射。近年来很多学者对分层变分不等式（HVIP）问题产生了很大的兴趣。设F:H\to H是一个强单调且L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，HVIP为寻找一点\overline{x}\in \mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)使得

〈F\overline{x},y-\overline{x}〉\ge \mathrm{0},\begin{array}{cc}& \end{array}\forall y\in \mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right),（3）

记式（3）的解集为\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)。为了求解分层变分不等式问题，2020年，HIEU等^［12］提出正则化Tseng型外梯度法，形式如下：

\left\{\begin{array}{l}{y}_n=P_C\left[x_n-{\lambda }_n\left(A{x}_n+{\beta }_{n}F{x}_n\right)\right],\\ x_{n+\mathrm{1}}=y_n-{\lambda }_n\left(Ay{}_n{}^{}-A{x}_n\right),\end{array}\right.

其中，A:H\to H为单调且L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，F:H\to H为强单调、半连续且K-广义Lipschitz映射。2021年，JIANG等^13］在文献［12］的基础上为加快收敛速度增加了多步惯性，结合Tseng型外梯度法提出了一种新的投影算法，形式如下：

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_n=x_n+{\alpha }_{i,n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left(x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}\right),\\ \begin{array}{l}{y}_n=P_C\left[{\omega }_n-{\lambda }_n\left(A{\omega }_n+{\beta }_{n}F{\omega }_n\right)\right],\\ x_{n+\mathrm{1}}=y_n-{\lambda }_n\left(A\left(y_n\right)-A\left({\omega }_n\right)\right)\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.（4）

非线性算子的不动点问题近些年也受到学者的广泛关注，不动点问题为寻找一点p\in H，使得T\left(p\right)=p，即若F\left(T\right)=\left\{p\in H\left|T\left(p\right)=p\right.\right\}，则F（T）称为T的不动点集。2024年，房萌凯等^［14］构造了一种新的Tseng型外梯度算法，形式如下：

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_n=x_n+{\sigma }_n\left(x_n-x_{n-\mathrm{1}}\right),\\ \begin{array}{l}{t}_n=P_C\left({\omega }_n-{\lambda }_{n}A\left({\omega }_n\right)\right),\\ u_n=y_n-{\lambda }_n\left(A\left(y_n\right)-A\left({\omega }_n\right)\right),\\ z_n=\left(\mathrm{1}-{\gamma }_n\right)u_n+{\gamma }_{n}S{u}_n,\\ y_n=\left(\mathrm{1}-{\beta }_n\right)u_n+{\beta }_{n}T{z}_n,\end{array}\\ x_{n+\mathrm{1}}={\alpha }_{n}f\left(x_n\right)+\left(\mathrm{1}-{\alpha }_n\right)y_n,\end{array}\right.

其中，A:H\to H为单调且L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，S、T均为半压缩映射，f:H\to H\mathrm{为}压缩映射。并且证明了上述算法生成的序列强收敛于变分不等式解集与不动点集的公共元。

受上述文献［13］与文献［14］的启发，本文提出了一种新的多步惯性Tseng型外梯度法。在文献［13］的基础上，利用粘性迭代将分层变分不等式与不动点问题结合，为了加快算法收敛速度，增加两个半压缩映射，在一定条件下得出，该算法生成的迭代序列强收敛于伪单调分层变分不等式解集与两个半压缩映射不动点集的公共元。并给出数值例子说明该算法的有效性。

1 预备知识

在本文中设H是一个实Hilbert空间，C是H上的非空闭凸子集。

定义1.1　设T:H\to H是一个映射。

1） T被称为压缩映射\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right)，若

‖Tx-Ty‖\le \rho ‖x-y‖,\forall x,y\in H\mathrm{。}

2） T被称为L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射\left(L>\mathrm{0}\right)，若

‖Tx-Ty‖\le L‖x-y‖,\forall x,y\in H\mathrm{。}

3） T被称为\alpha -半压缩映射\left(F\left(T\right)\ne \mathrm{\varnothing }\right)，若

\begin{array}{l}{‖Tx-p‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x-p‖}^{\mathrm{2}}+\alpha {‖\left(I-T\right)x‖}^{\mathrm{2}},\\ \forall x\in H,p\in F\left(T\right)\mathrm{。}\end{array}

4） T被称为单调的，若

〈Tx-Ty,x-y〉\ge \mathrm{0},\forall x,y\in H\mathrm{。}

5） T被称为伪单调的，若

〈Tx,x-y〉\ge \mathrm{0}\Rightarrow 〈Ty,x-y〉\ge \mathrm{0},\forall x,y\in H\mathrm{。}

6） T被称为\zeta -强单调的\zeta >\mathrm{0}，若

〈Tx-Ty,x-y〉\ge \zeta {‖x-y‖}^{\mathrm{2}},\forall x,y\in H\mathrm{。}

引理1.1^［15］　对任意x,y\in H,\alpha \in R，有

{‖x+y‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈y,x+y〉,

\begin{array}{l}{‖\alpha x+\left(\mathrm{1}-\alpha \right)y‖}^{\mathrm{2}}=\\ \alpha {‖x‖}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{1}-\alpha \right){‖y‖}^{\mathrm{2}}-\alpha \left(\mathrm{1}-\alpha \right){‖x-y‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

引理1.2^［16］　设T:H\to H是一个非线性算子，且F\left(T\right)\ne \mathrm{\varnothing }。则I-T在0点半闭，即若任意序列\left\{x_n\right\}满足x_n\rightharpoonup x，\left(I-T\right)x_n\to \mathrm{0}，则有x\in F\left(T\right)。

引理1.3^［17］　设C是Hilbert空间上的非空闭凸子集，对于x\in H,z\in C有

z=P_{C}x\iff 〈x-z,y-z〉\le \mathrm{0},\forall y\in C\mathrm{。}

引理1.4^［18］　设A:H\to H是一个强单调且半连续映射， 则\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)是单点集。

引理1.5^［19］　设\left\{{\alpha }_n\right\}是\left(\mathrm{0,1}\right)中的实数序列，\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}为实数列。且满足{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{\alpha }_n=\infty，假设

a_{n+\mathrm{1}}\le \left(\mathrm{1}-{\alpha }_n\right)a_n+{\alpha }_n{b}_n\mathrm{。}

若序列\left\{a_n\right\}的每个子序列\left\{a_{n_k}\right\}均满足当\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(a_{n_k+\mathrm{1}}-a_{n_k}\right)\ge \mathrm{0}时都有\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}{b}_{n_k}\le \mathrm{0}，那么\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{a}_n=\mathrm{0}。

2 主要结果

（C1）A:H\to H是伪单调且L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射。

（C2）U是\alpha -\mathrm{半压}\mathrm{缩映}\mathrm{射}，T是\chi -\mathrm{半压}\mathrm{缩映}\mathrm{射}且I-U,I-T在0点半闭，

\begin{array}{l}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A+\beta F\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)\ne \mathrm{\varnothing },\\ \mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)\ne \mathrm{\varnothing }\end{array}。

（C3）F:H\to H是\zeta -强单调、半连续且K-广义\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}\mathrm{映射}。

（C4） f:H\to H是系数为\rho \in \left(\mathrm{0,1}\right)的压缩映射。

算法1

选取x_{\mathrm{0}},x_{\mathrm{1}}\in H,\mu \in \left(\mathrm{0,1}\right)；实数列\left\{{\theta }_n\right\}和\left\{{\eta }_n\right\}满足，；实数列\left\{{\gamma }_n\right\}\subset \left(\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)，满足；实数列{\psi }_n\in \left(\mathrm{0,1}\right)，满足{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\psi }_n=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_n=\mathrm{0}；实数列\left\{{\beta }_n\right\}\subset \left(\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)，满足

\underset{n\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\beta }_n}{{\psi }_n}=\mathrm{0},\underset{n\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n}{{\beta }_n^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}\mathrm{。}

对每个i=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N，选取{\alpha }_i\ge \mathrm{0}，实数列\left\{{\sigma }_{i,n}\right\}\subset \left(\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)，满足\underset{n\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\sigma }_{i,n}}{{\psi }_n}=\mathrm{0},\underset{n\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\sigma }_{i,n}}{{\beta }_n}=\mathrm{0}。令n=\mathrm{1}。

第一步　计算

{\omega }_n=x_n+{\alpha }_{i,n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left(x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}\right),

其中，

{\alpha }_{i,n}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\alpha }_{i,}\frac{{\sigma }_{i,n}}{‖x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}‖}\right\},\mathrm{若}{x}_{n-i+\mathrm{1}}\ne x_{n-i};\\ {\alpha }_i,\mathrm{其他}\mathrm{。}\end{array}\right.

第二步　计算

y_n=P_C\left[{\omega }_n-{\tau }_n\left(A{\omega }_n+{\beta }_{n}F{\omega }_n\right)\right]\mathrm{。}

第三步　计算

z_n=y_n-{\tau }_n\left(Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n\right),

其中，

{\tau }_{n+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\tau }_n+{\gamma }_n,\frac{\mu ‖{\omega }_n-y_n‖}{‖A{\omega }_n-A{y}_n‖}\right\},\mathrm{若}A{\omega }_n\ne A{y}_n,\\ {\tau }_n+{\gamma }_n,\mathrm{其他}\mathrm{。}\end{array}\right.

第四步　计算

{\xi }_n=\left(\mathrm{1}-{\theta }_n\right)z_n+{\theta }_{n}U{z}_n,

t_n=\left(\mathrm{1}-{\eta }_n\right){\xi }_n+{\eta }_{n}T{\xi }_n\mathrm{。}

第五步　计算

x_{n+\mathrm{1}}={\psi }_{n}f\left(x_n\right)+\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)t_n\mathrm{。}

第六步　设置n=n+\mathrm{1}，并返回第一步。

首先需研究下列变分不等式问题，寻找一点\overline{x}\in C，满足〈\left(A+\beta F\right)\overline{x},x-\overline{x}〉\ge \mathrm{0},\forall x\in C,其中，\beta >\mathrm{0}。由算子A\mathrm{、}F的单调性可得A+\beta F为强单调映射，根据引理1.4可知该问题存在唯一解x_{\beta }。

引理2.1　假设条件（C1）~（C4）成立，由算法1生成的数列\left\{{\tau }_n\right\}收敛，且

（5）

其中，\tau为常数。

证明　由A是H上的L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，所以有

‖A{\omega }_n-A{y}_n‖\le L‖{\omega }_n-y_n‖\mathrm{。}

若A{\omega }_n\ne A{y}_n，可以得到

\frac{\mu ‖{\omega }_n-y_n‖}{‖A{\omega }_n-A{y}_n‖}\le \frac{\mu }{L}\mathrm{。}

结合{\tau }_{n+\mathrm{1}}的定义和数学归纳法可得{\tau }_n\ge \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\tau }_{\mathrm{1}},\frac{\mu }{L}\right\}，即\left\{{\tau }_{n+\mathrm{1}}\right\}有下界\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\tau }_{\mathrm{1}},\frac{\mu }{L}\right\}。

下证式（5）的极限存在。设

{\left[{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right]}^{+}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n,\mathrm{0}\right\}，

由{\tau }_n的计算方法可得

{\left[{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right]}^{+}\le {\gamma }_n\mathrm{。}

由{\left[{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right]}^{+}的定义有

{\left[{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right]}^{+}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left|{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right|\mathrm{。}

因此

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^m}\left|{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right|=\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^m}{\left[{\tau }_{n+\mathrm{1}}-{\tau }_n\right]}^{+}+{\tau }_{\mathrm{1}}-{\tau }_{m+\mathrm{1}}\mathrm{。}

因为{\tau }_{m+\mathrm{1}}>\mathrm{0}，即有

由于{\tau }_{\mathrm{1}}为常数，所以有

这意味着\left\{{\tau }_n\right\}为柯西数列，所以\left\{{\tau }_n\right\}是收敛的，即有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\tau }_n=\tau \mathrm{。}

引理2.2^［20］　假设条件（C1）~（C4）成立，\left\{{\omega }_n\right\}为算法1生成的序列，若\left\{{\omega }_n\right\}有弱收敛子列\left\{{\omega }_{n_k}\right\}，记为{\omega }_{n_k}\rightharpoonup z\in H，且\underset{k\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\omega }_{n_k}-y_{n_k}‖=\mathrm{0}，那么z\in \mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)。

引理2.3^［13］　假设条件（C1）~（C4）成立，任意\alpha ,\beta >\mathrm{0}，都有‖x_{\alpha }-x_{\beta }‖\le \frac{\left|\alpha -\beta \right|}{\alpha }M，其中，

M=\frac{\mathrm{1}}{\varsigma }\left[\left(\mathrm{1}+\frac{K}{\varsigma }\right)‖F\overline{x}‖+\mathrm{2}K‖\overline{x}‖+K\right]。

引理2.4^［13］　 \underset{\beta \to {\mathrm{0}}^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{x}_{\beta }=\overline{x}。

定理2.1　假设条件（C1）~（C4）成立，那么由算法1生成的序列\left\{x_n\right\}强收敛到一点\overline{x}\in \mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcapF\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)，其中，\overline{x}=P_{\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)}f(\overline{x})，\overline{x}为式（3）的解。

证明　容易得出这里的P_{\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)}\circ f(\cdot )为压缩映射，\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)为非空闭凸集。由压缩映射不动点定理可知存在唯一不动点\overline{x}\in \mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right),使得

\overline{x}=P_{\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)}f(\overline{x})\mathrm{。}

根据引理1.4可知对于任意n\in \mathbb{N},存在唯一解x_{{\beta }_n}\in C，满足〈\left(A+{\beta }_{n}F\right)x_{{\beta }_n},x-x_{{\beta }_n}〉\ge \mathrm{0},\forall x\in C\mathrm{。}

由\left\{z_n\right\}的定义与引理1.1可得

\begin{array}{l}{‖z_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}={‖y_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+{\tau }_n^{\mathrm{2}}{‖Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}{\tau }_n〈y_n-x_{{\beta }_n},Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n〉=\\ {‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+{‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}〈y_n-{\omega }_n,{\omega }_n-x_{{\beta }_n}〉+{\tau }_n^{\mathrm{2}}{‖Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}{\tau }_n〈y_n-x_{{\beta }_n},Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n〉\le \\ {‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}〈y_n-{\omega }_n,y_n-x_{{\beta }_n}〉+{\tau }_n^{\mathrm{2}}{‖Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}{\tau }_n〈y_n-x_{{\beta }_n},Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n〉\mathrm{。}\end{array}（6）

根据引理1.3，由x_{{\beta }_n}\in C和y_n的表达式有

\begin{array}{l}〈y_n-{\omega }_n,y_n-x_{{\beta }_n}〉\le \\ -{\tau }_n〈A{\omega }_n+{\beta }_{n}F{\omega }_n,y_n-x_{{\beta }_n}〉\mathrm{。}\end{array}（7）

将式（7）代入式（6），由A是伪单调的可得

\begin{array}{l}{‖z_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\tau }_n^{\mathrm{2}}{‖Ay{}_n{}^{}-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}{\tau }_n〈Ay{}_n{}^{}+{\beta }_{n}F{\omega }_n,y_n-x_{{\beta }_n}〉\le \\ {‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}\right){‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}{\tau }_n〈Ay{}_n{}^{}+{\beta }_{n}F{\omega }_n,x_{{\beta }_n}-y_n〉\mathrm{。}\end{array}（8）

由算子A的单调性，可得

\mathrm{2}{\tau }_n〈A{y}_n+{\beta }_{n}F{\omega }_n,x_{{\beta }_n}-y_n〉=\mathrm{2}{\tau }_n〈A{y}_n-A{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉+\mathrm{2}{\tau }_n〈A{x}_{{\beta }_n}+{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉+\mathrm{2}{\tau }_n〈{\beta }_{n}F{\omega }_n-{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉\le\mathrm{2}{\tau }_n〈A{x}_{{\beta }_n}+{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉+\mathrm{2}{\tau }_n〈{\beta }_{n}F{\omega }_n-{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉\mathrm{。}（9）

因为x_{{\beta }_n}\in \mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A+{\beta }_{n}F\right)，y_n\in C，所以有

\mathrm{2}{\tau }_n〈A{x}_{{\beta }_n}+{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉\le \mathrm{0}\mathrm{。}（10）

设\epsilon \in \left(\mathrm{0},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\frac{\mathrm{2}\varsigma \left(\mathrm{1}-{\phi }_n\right)}{K\left(\mathrm{1}-{\phi }_n\right)+\mathrm{1}},\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}\right\}\right)，则由引理2.1和数列\left\{{\beta }_n\right\}的条件有

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }>\epsilon \mathrm{。}

根据数列极限的保号性，存在正整数n_{\mathrm{0}}\ge N， 当n\ge n_{\mathrm{0}}时有

\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon >\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}\le \epsilon {\tau }_n{\beta }_n\mathrm{。}

在后面证明中均假设n\ge n_{\mathrm{0}}。由均值不等式与F是\zeta -强单调的可得

\mathrm{2}{\tau }_n〈{\beta }_{n}F{\omega }_n-{\beta }_{n}F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-y_n〉=\mathrm{2}{\tau }_n{\beta }_n〈F{\omega }_n-F{x}_{{\beta }_n},x_{{\beta }_n}-{\omega }_n〉+\mathrm{2}{\tau }_n{\beta }_n〈F{\omega }_n-F{x}_{{\beta }_n},{\omega }_n-y_n〉\le\begin{array}{l}-\mathrm{2}{\tau }_n{\beta }_n\varsigma {‖x_{{\beta }_n}-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \epsilon {\tau }_n{\beta }_{n}K{‖x_{{\beta }_n}-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }{‖{\omega }_n-y_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \epsilon {‖{\omega }_n-y_n‖}^{\mathrm{2}}+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }=\\ -\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right){\tau }_n{\beta }_n{‖x_{{\beta }_n}-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\end{array}\left(\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }+\epsilon \right){‖{\omega }_n-y_n‖}^{\mathrm{2}}+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }\mathrm{。}（11）

将式（9）~式（11）代入式（8），有

\begin{array}{l}{‖z_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right){\tau }_n{\beta }_n\right){‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right){‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ \frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }\mathrm{。}\end{array}（12）

由引理1.1和T、U是半压缩映射以及{\xi }_n、t_n的定义可得

\begin{array}{l}{‖t_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{1}-{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\eta }_n{‖T{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{\eta }_n\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}},\end{array}

\begin{array}{l}{‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{1}-{\theta }_n\right){‖z_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\theta }_n{‖U{z}_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}\le {‖z_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{\theta }_n\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}},\end{array}（13）

即有\begin{array}{l}‖t_n-x_{{\beta }_n}‖\le ‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖\le ‖z_n-x_{{\beta }_n}‖\le \\ ‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }\mathrm{。}\end{array}（14）

由\left\{{\omega }_n\right\}的定义可知

\begin{array}{l}‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖=‖x_n+{\alpha }_{i,n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\left(x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}\right)-x_{{\beta }_n}‖\le \\ ‖x_n-x_{{\beta }_n}‖+\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\alpha }_{i,n}‖x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}‖}{{\psi }_n}{\psi }_n\mathrm{。}\end{array}

根据\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\sigma }_{i,n}}{{\psi }_n}=\mathrm{0}和\left\{{\beta }_n\right\}的条件，所以有当n\to \mathrm{\infty }时

\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\alpha }_{i,n}‖x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}‖}{{\psi }_n}\le \frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}}{{\psi }_n}\to \mathrm{0}，

\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\psi }_n}+\frac{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{{\psi }_n}+\frac{{\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}{M}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\epsilon {\tau }_n{\psi }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}\to \mathrm{0}\mathrm{。}

可得\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\alpha }_{i,n}‖x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}‖}{{\psi }_n}，\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\psi }_n}+\frac{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{{\psi }_n}+\frac{{\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}{M}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\epsilon {\tau }_n{\psi }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}有界，即存在正整数M_{\mathrm{1}}、M_{\mathrm{2}}，使得n\ge n_{\mathrm{0}}时有

\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\alpha }_{i,n}‖x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i}‖}{{\psi }_n}\le M_{\mathrm{1}},\\ \frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\psi }_n}+\frac{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{{\psi }_n}+\frac{{\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}{M}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\epsilon {\tau }_n{\psi }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}\le M_{\mathrm{2}}\end{array}。

那么有

‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖\le ‖x_n-x_{{\beta }_n}‖+{\psi }_n{M}_{\mathrm{1}}\mathrm{。}（15）

接下来证明序列\left\{x_n-x_{{\beta }_n}\right\}的有界性。结合式（14）和式（15），由\left\{x_n\right\}的构造和均值不等式得

\begin{array}{l}‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖\le {\psi }_n‖f\left(x_n\right)-x_{{\beta }_n}‖+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)‖t_n-x_{{\beta }_n}‖+‖x_{{\beta }_n}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖\le \\ {\psi }_n\rho ‖x_n-x_{{\beta }_n}‖+{\psi }_n‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)‖x_n-x_{{\beta }_n}‖+{\psi }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)M_{\mathrm{1}}+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{‖x_{{\beta }_n}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖}^{\mathrm{2}}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\le \\ \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{1}-\rho \right){\psi }_n\right)‖x_n-x_{{\beta }_n}‖+\\ \left(\mathrm{1}-\rho \right){\psi }_n\frac{‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖+M_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}-\rho }\le \\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖x_n-x_{\beta n},‖\frac{‖f(x_{\beta n})-x_{\beta n}‖+M_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}-\rho }\right\}\end{array}

\cdots

\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖x_{\mathrm{1}}-x_{\beta \mathrm{1}}‖,\frac{‖f(x_{\beta \mathrm{1}})-x_{\beta \mathrm{1}}‖+M_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}-\rho }\right\},

其中，M_{\mathrm{3}}=M_{\mathrm{1}}+M_{\mathrm{2}}\mathrm{。}因此序列\left\{x_n-x_{{\beta }_n}\right\}是有界的，于是序列\left\{t_n-x_{{\beta }_n}\right\},\left\{{\xi }_n-x_{{\beta }_n}\right\},\left\{f\left(x_n\right)-x_{{\beta }_n}\right\},\left\{{\omega }_n-x_{{\beta }_n}\right\},\left\{z_n-x_{{\beta }_n}\right\}都是有界的。由引理1.1可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le {\psi }_n{‖f\left(x_n\right)-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){‖t_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {\psi }_n{‖f\left(x_n\right)-f\left(x_{{\beta }_n}\right)‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\psi }_n‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖·\\ ‖f\left(x_n\right)-x_{{\beta }_n}‖+{\psi }_n{‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {\psi }_n{‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{4}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){‖{\xi }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（16）

其中，M_{\mathrm{4}}=\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{n\in N}\left(\mathrm{2}‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖‖f\left(x_n\right)-x_{{\beta }_n}‖+\right.\left.{‖f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\right)，将式（16）代入式（12）有

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le {\psi }_n{‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{4}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right){\tau }_n{\beta }_n\right){‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right)·\\ {‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }-\\ {\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（17）

由序列\left\{{\omega }_n\right\}的定义和引理1.1可得

\begin{array}{l}{‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\alpha }_{i,n}〈x_{n-i+\mathrm{1}}-x_{n-i},{\omega }_n-x_{{\beta }_n}〉\le \\ {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}\mathrm{。}\end{array}（18）

其中，M_{\mathrm{5}}=\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{n\in N}\left(\mathrm{2}‖{\omega }_n-x_{{\beta }_n}‖\right),将式（18）代入式（17）有

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\right)·\\ {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\right.\\ \left.\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right){‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }-\end{array}

\begin{array}{l}{\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}+\end{array}

M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{4}}\mathrm{。}（19）

由引理2.3和均值不等式可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ {‖x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖‖x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}-x_{{\beta }_n}‖\le \\ \left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \frac{\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n}{‖x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le \\ \left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \frac{M^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}\mathrm{。}\end{array}（20）

其中，M=\frac{\mathrm{1}}{\varsigma }\left[\left(\mathrm{1}+\frac{K}{\varsigma }\right)‖F\overline{x}‖+\mathrm{2}K‖\overline{x}‖+K\right]，将式（19）代入式（20）有

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖}^{\mathrm{2}}\le \\ \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\right)\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right)·\\ {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{4}}+\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }-\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right)·\\ {‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}+\\ \frac{M^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}\le \\ \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K-\frac{\epsilon }{\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)}\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\right)·\\ {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right)·\\ {‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}-{\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right)·\\ {‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\right.\\ \left.\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right){‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{6}},\end{array}（21）

其中，M_{\mathrm{6}}=M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}+\frac{M^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{4}}+\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }，

根据\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_n=\mathrm{0}，\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}=\mathrm{0}，\left\{{\beta }_n\right\}的条件可得

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{M}_{\mathrm{6}}=\mathrm{0}，由式（21）可得

\begin{array}{l}\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_n{\beta }_{n}K}{\epsilon }-\epsilon \right){‖y_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\eta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_n\right){‖{\xi }_n-T{\xi }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\theta }_n\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_n\right){‖z_n-U{z}_n‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_n{M}_{\mathrm{6}}\mathrm{。}\end{array}（22）

结合式（14）、引理1.1以及f是压缩映射得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\le ‖{\psi }_n\left(f\left(x_n\right)-f\left(x_{{\beta }_n}\right)\right)+\\ {\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)\left(t_n-x_{{\beta }_n}\right)‖}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}\psi 〈f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n},x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}〉\le \\ \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\right){‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }+\\ \mathrm{2}{\psi }_n〈f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n},x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}〉\mathrm{。}\end{array}（23）

将式（23）代入式（20），可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n+\mathrm{1}}}‖}^{\mathrm{2}}\le \left(\mathrm{1}-\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K-\frac{\epsilon }{\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)}\right)·\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\right){‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)M_{\mathrm{5}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n}+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon }+\\ \frac{M^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\tau }_n{\beta }_n^{\mathrm{3}}}+\\ \mathrm{2}{\psi }_n〈f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n},x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}〉=\\ \left(\mathrm{1}-{\Lambda }_n\right){‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\Lambda }_n\left[\frac{\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)M_{\mathrm{5}}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^N{\sigma }_{i,n}}{{\Lambda }_n}+\frac{{\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}}{\epsilon {\Lambda }_n}+\right.\\ \frac{M^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\epsilon {\tau }_n{\beta }_n\right){\left({\beta }_{n+\mathrm{1}}-{\beta }_n\right)}^{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K-\frac{\epsilon }{\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)}\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n^{\mathrm{2}}{\beta }_n^{\mathrm{4}}}+\\ \left.\frac{\mathrm{2}{\psi }_n}{{\Lambda }_n}〈f\left(x_{{\beta }_n}\right)-x_{{\beta }_n},x_{n+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_n}〉\right],\end{array}（24）

其中，{\Lambda }_n=\left(\mathrm{2}\varsigma -\epsilon K-\frac{\epsilon }{\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right)}\right)\left(\mathrm{1}-{\psi }_n\right){\tau }_n{\beta }_n\mathrm{。}

接下来证明{‖x_n-x_{{\beta }_n}‖}^{\mathrm{2}}\to \mathrm{0},\left(n\to \mathrm{\infty }\right)。

假设\left\{‖x_n-x_{\beta n}‖\right\}的子序列\left\{‖x_{n_k}-x_{\beta n_k}‖\right\}满足\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{\beta n_k+\mathrm{1}}‖-‖x_{n_k}-{\beta }_{n_k}‖\right)\ge \mathrm{0},则有

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left({‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_k+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n_k}-x_{{\beta }_{n_k}}‖}^{\mathrm{2}}\right)\ge \mathrm{0}\mathrm{。}

根据式（22），可得

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{\left(\mathrm{1}-{\psi }_{n_k}\right)\left(\mathrm{1}-\frac{{\tau }_{n_k}^{\mathrm{2}}}{{\tau }_{n_k+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}-\frac{{\tau }_{n_k}{\beta }_{n_k}K}{\epsilon }-\epsilon \right)·\right.\\ {‖y_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖}^{\mathrm{2}}+{\theta }_{n_k}\left(\mathrm{1}-{\psi }_{n_k}\right)\left(\mathrm{1}-\alpha -{\theta }_{n_k}\right)·\\ {‖z_{n_k}-U{z}_{n_k}‖}^{\mathrm{2}}+{\eta }_{n_k}\left(\mathrm{1}-{\psi }_{n_k}\right)\left(\mathrm{1}-\chi -{\eta }_{n_k}\right)·\\ \left.\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}‖{\xi }_{n_k}-T{\xi }_{n_k}‖\right\}\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{{‖x_{n_k}-x_{\beta n_k}‖}^{\mathrm{2}}-\begin{array}{c}\\ \end{array}\right.\\ \left.{‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n_{k+\mathrm{1}}}}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_{n_k}{M}_{\mathrm{6}}\right\}=\\ -\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{{‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{\beta n+\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}-\right.\\ \left.{‖x_{n_k}-x_{{\beta }_{n_k}}‖}^{\mathrm{2}}+{\psi }_{n_k}{M}_{\mathrm{6}}\right\}\le \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

则有

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖y_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖=\mathrm{0},\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖z_{n_k}-U{z}_{n_k}‖=\mathrm{0},\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\xi }_{n_k}-T{\xi }_{n_k}‖=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（25）

由\left\{z_n\right\}的构造以及引理2.1可得

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖z_{n_k}-y_{n_k}‖\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\tau }_{n_k}}{{\tau }_{n_k+\mathrm{1}}}\mu ‖y_{n_k}-w_{n_k}‖=\mathrm{0}，（26）

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖z_{n_k}-w_{n_k}‖\le \\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(‖z_{n_k}-y_{n_k}‖+\right.\left.‖y_{n_k}-w_{n_k}‖\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（27）

由\left\{{\omega }_n\right\}的构造有

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖x_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{\sigma }_{i,n_k}=\mathrm{0},\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖z_{n_k}-x_{n_k}‖\le \\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(‖z_{n_k}-w_{n_k}‖+‖x_{n_k}-w_{n_k}‖\right)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（28）

再由序列\left\{x_{n+\mathrm{1}}\right\}的构造可得

\begin{array}{l}‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{n_k}‖\le ‖x_{n_k+\mathrm{1}}-t_{n_k}‖+‖x_{n_k}-{\xi }_{n_k}‖+\\ ‖{\xi }_{n_k}-t_{n_k}‖=‖{\psi }_{n_k}f\left(x_{n_k}\right)+\left(\mathrm{1}-{\psi }_{n_k}\right)t_{n_k}-t_{n_k}‖+\\ ‖\left(\mathrm{1}-{\theta }_{n_{\mathrm{k}}}\right)z_n+{\theta }_{n_k}U{z}_{n_k}-x_{n_k}‖+\\ ‖\left(\mathrm{1}-{\eta }_{n_k}\right){\xi }_{n_k}+{\eta }_{n_k}T{\xi }_{n_k}-{\xi }_{n_k}‖\le \end{array}

\begin{array}{l}{\psi }_{n_k}‖f\left(x_{n_k}\right)-t_{n_k}‖+‖z_{n_k}-x_{n_k}‖+\\ {\theta }_{n_k}‖U{z}_{n_k}-z_{n_k}‖+{\eta }_{n_k}‖T{\xi }_{n_k}-{\xi }_{n_k}‖\mathrm{。}\end{array}

因为\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\psi }_{n_k}=\mathrm{0}，结合式（25）和式（28）可得

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{n_k}‖=\mathrm{0}\mathrm{。}（29）

结合式（25）~式（29）以及{\xi }_{n_k}\mathrm{、}{t}_{n_k}的定义有

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖y_{n_k}-x_{n_k}‖\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(‖z_{n_k}-y_{n_k}‖+‖x_{n_k}-z_{n_k}‖\right)=\mathrm{0},

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\xi }_{n_k}-x_{n_k}‖\le \\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(‖z_{n_k}-x_{n_k}‖+\right.\left.\theta n_k‖U{z}_{n_k}-z_{n_k}‖\right)=\mathrm{0},\end{array}

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖t_{n_k}-x_{n_k}‖\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖{\xi }_{n_k}-x_{n_k}‖+\\ {\eta }_{n_k}‖T{\xi }_{n_k}-{\xi }_{n_k}‖=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（30）

由于序列\left\{x_{n_k}-x_{{\beta }_{n_k}}\right\}有界，故存在弱收敛子列\left\{x_{n_{k_j}}-x_{{\beta }_{n_{k_j}}}\right\}，由引理2.4可知x_{{\beta }_{n_{k_j}}}\rightharpoonup \overline{x}，所以有x_{n_{k_j}}\rightharpoonup z，结合式（27）~（28）与引理2.2可得z\in\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)。由式（30）有{\xi }_{n_k}\rightharpoonup z,t_{n_k}\rightharpoonup z，又由I-U，I-T在0点半闭与引理1.2可以得出z\in F\left(U\right)\bigcapF\left(T\right)。根据压缩映射不动点定理可知P_{\mathrm{V}\mathrm{I}(C,A)\bigcap F\left(T\right)\bigcap F\left(U\right)}存在唯一的不动点，由于\mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\subset \mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)，所以有\overline{x}=P_{\mathrm{V}\mathrm{I}\left(C,A\right)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)}f(\overline{x})，根据引理1.3与引理2.4有

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f\left(x_{{\beta }_{n_k}}\right)-x_{{\beta }_{n_k}},x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n_k}}〉=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈f\left(\overline{x}\right)-\overline{x},z-\overline{x}〉\le \mathrm{0}\mathrm{。}（31）

结合式（29）与式（31）可得

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈f\left(x_{{\beta }_{n_k}}\right)-x_{{\beta }_{n_k}},x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{{\beta }_{n_k}}〉=\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(〈f\left(x_{{\beta }_{n_k}}\right)-x_{{\beta }_{n_k}},x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{n_k}〉+\right.\\ \left.〈f\left(x_{{\beta }_{n_k}}\right)-x_{{\beta }_{n_k}},x_{n_k}-x_{{\beta }_{n_k}}〉\right)\le \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

结合引理1.5有\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖x_n-x_{{\beta }_n}‖=\mathrm{0}\mathrm{。}由引理2.4可得出x_n\to \overline{x}。由式（3）有\overline{x}\in \mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}(C,A)，由式（25）可得\overline{x}\in F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)。即\overline{x}\in \mathrm{H}\mathrm{V}\mathrm{I}(C,A)\bigcap F\left(U\right)\bigcap F\left(T\right)。

3 数值实验

所有数值实验均在MATLAB-R2022a和Windows11中运行，记\mathrm{1}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}为本文算法，\mathrm{2}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}为文献［13］中的算法3。其中，d表示迭代次数，t表示迭代时间。用‖x_{n+\mathrm{1}}-\overline{x}‖测量第n步迭代的误差，当‖x_{n+\mathrm{1}}-\overline{x}‖\le eps时迭代停止。

例1　设C=\left[-\mathrm{2,5}\right],映射A:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^m，满足Ax=\mathit{M}x+q，其中，q\in {\mathbb{R}}^m,\mathit{M}=\mathit{N}{\mathit{N}}^{\mathrm{T}}+\mathit{P}+\mathit{D}， N 为m\times m阶矩阵， P 为m\times m阶矩阵斜对称矩阵， D 为m\times m阶对角矩阵。令F=\mathrm{0.8}I，Tx=x/\mathrm{3}，Ux=x/\mathrm{2}，f\left(x\right)=x/\mathrm{5}，其中，I为恒等映射。则算子A为伪单调L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，F为强单调映射，算子U、T为半压缩映射，容易得出\overline{\mathit{x}}={\left(\mathrm{0},\cdots ,\mathrm{0}\right)}^{\mathrm{T}}。

对比\mathrm{1}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}与\mathrm{2}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}两个算法，取{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}={\mathit{x}}_{\mathrm{1}}={\left(\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}},{\tau }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.5},{\alpha }_i=\mathrm{0.85},{\sigma }_n=n^{-\mathrm{2}},{\beta }_n=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{3}},{\theta }_n=\mathrm{0.1},{\eta }_n={\left(n+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{3}},{\psi }_n={\left(n+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{2}},\mu =\mathrm{0.99}\mathrm{。}迭代停止条件设为‖{\mathit{x}}_{n+\mathrm{1}}-\overline{\mathit{x}}‖\le eps\mathrm{。}在取定维数m=\mathrm{10}时，取eps={\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}，实验结果见图1。由图1可得本文生成的算法比文献［13］中的算法3迭代次数更少。

例2　设C=\left[-\mathrm{2,5}\right],A:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}\mathrm{。}定义为

Ax=x+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x，F=I，f\left(x\right)=x/\mathrm{5}，Ux=x/\mathrm{2}，

Tx=x/\mathrm{3}。

则算子A为伪单调L-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{z}映射，其中，I为恒等映射，算子F为强单调映射，算子U、T为半压缩映射，容易得出\overline{x}=\mathrm{0}\mathrm{。}

对比\mathrm{1}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}与\mathrm{2}-\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1}两个算法，取x_{\mathrm{0}}=x_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},{\tau }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.1},{\alpha }_i=\mathrm{0.08},{\sigma }_n=n^{-\mathrm{2}},{\beta }_n=n^{-\mathrm{1}/\mathrm{3}},{\theta }_n=\mathrm{0.1},{\eta }_n={\left(n+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{3}},{\psi }_n={\left(n+\mathrm{1}\right)}^{-\mathrm{2}},\mu =\mathrm{0.99}\mathrm{。}迭代停止条件设为‖x_{n+\mathrm{1}}-\overline{x}‖\le eps\mathrm{。}分别取eps={\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}},{\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}},{\mathrm{10}}^{-\mathrm{8}}，实验结果如表1所示。由表1可得取定相同的eps值，本文的算法与文献［13］中的算法3相比迭代次数更少，速度更快。

4 结束语

本文利用粘性迭代将分层变分不等式与半压缩映射的不动点结合，为了加快算法迭代速度增加了两个半压缩映射。利用次闭原理、投影算子的性质等证明了该算法生成序列的强收敛定理，并给出两个数值例子说明该算法对于文献［13］的算法来说迭代速度更快。目前有很多变分不等式与不动点结合的算法，但对于分层变分不等式与不动点结合的研究较少，还需进一步研究。

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基金资助

国家自然科学基金项目(61866038)

陕西省2021年特支计划人才项目

延安大学科研计划项目(2023JBZR-012)