台风下大跨度斜拉桥模态参数变化研究

Variation in Modal Parameters of a Long-Span Cable-Stayed Bridge under a Typhoon

摘要

大跨度桥梁具有轻质柔性的特点，在台风下动力参数会发生变化，通过分析这些变化可以确定参数的阈值，为桥梁状态评估提供重要依据。本文基于某大跨度斜拉桥多年采集的健康监测数据，分析了代表台风的特性，以及不同参数随台风变化的趋势和原因。分析方法采用的是作者团队所开发的快速贝叶斯FFT方法，该方法可以同时对模态参数的最可能值（MPVs）和后验不确定性（c.o.v.s）进行理论估计，因此对模态参数的变化具有更全面的评估。分析结果表明，不同参数对于台风强度以及桥梁的振动幅度均具有较强的相关性，台风作用下桥梁的动力性能与日常运营状态不同，因此分析及修正台风时期的参数变化范围，可以更准确有效地对桥梁异常状态进行预警，并进行合理的状态评估。

Abstract

The dynamic parameters of long-span bridges change significantly under typhoon conditions due to their lightweight and flexible characteristics. Analyzing these variations helps determine threshold values for the parameters， thereby providing important insights for bridge condition assessment. This study is based on the analysis of health monitoring data collected over several years from a long-span cable-stayed bridge. The characteristics of the representative typhoon and the trends and causes of parameter changes under typhoon conditions are investigated. The analysis employs a rapid Bayesian FFT method developed by the authors' team， which allows for theoretical estimation of both the most probable values （MPVs） and posterior uncertainties （c.o.v.s） of modal parameters， enabling a comprehensive evaluation of parameter variations. The results show strong correlations between different parameters and typhoon intensity， as well as bridge vibration amplitudes. The dynamic performance of bridges under typhoon conditions differs from their normal operational condition. Therefore， analyzing and adjusting the range of parameter variations during typhoon periods can more accurately and effectively warn bridge anomaly and facilitate rational condition assessment.

Graphical abstract

关键词

大跨度 / 斜拉桥 / 台风 / 健康监测 / 性能评估

Key words

long-span / cable-stayed bridge / typhoon / health monitoring / performance evaluation

0 引 言

在桥梁全寿命周期分析及性能评估中，基于振动的结构健康监测是不可或缺的一部分，不同的参数能够反映结构不同的振动行为，为状态评估提供依据^［1-2］。然而，由于外部环境因素的复杂性，如风、交通等，识别出的参数具有一定的不确定性和非平稳性。因此，当外部环境发生较大变化时，参数可能会发生较大的变化和波动。这些变化来源于两个不同方面：第一种波动是外在激励环境的变化所带来的振动幅度的大幅提升，导致与振幅相关的参数值的变化；第二种波动主要体现于参数的不确定性，源于测量设备的精度限制、信号噪声干扰以及环境因素的随机变化等因素。因此，如果对结构振动参数采用单一值进行评价，将较难判定结构产生的变化是来源于结构变化还是环境变化。因此，为了提高参数识别的准确性和可靠性，对参数的不确定性进行估计及量化显得尤为重要，尤其是在激励环境产生较大变化的情况下，例如不同等级的台风。

如果不考虑参数的不确定性，一些传统方法已经可以取得较好的效果，例如：频域分析方法中广泛使用的峰值拾取法（PP法）^［3］和频域分解法（FDD法）^［4-5］，时域方法中最具代表性的随机子空间法（SSI法）^［6-7］和自然激励法（NExT法）^［8］。这些方法在实践中均得到了广泛的应用，并各自具有一定的优势和局限性。然而，以上算法均没有考虑或者直接对已识别的模态参数进行不确定性估计，单纯的参数评估难以应对复杂多变的环境所带来的参数变化及波动。因此，对结构参数的不确定性进行估计以及量化具有重要的意义，可以更敏感地捕捉到状态评估参数的波动和变化。

在不确定性参数识别领域，贝叶斯系列方法具有明显的优势。该方法是最近二十年来发展起来的识别方法，它通过将模态识别视为一个推理问题，将待识别的参数视为随机变量，通过构建和优化后验概率密度函数对模态参数进行估计。在Beck和Katafygiotis建立贝叶斯系统识别框架后^［9-10］，该方法得到了广泛的应用和发展。Katafygiotis和Yuen等提出了多种贝叶斯方法，包括贝叶斯时域方法^［11］、贝叶斯功率谱方法（BSDA）^［12］和贝叶斯FFT方法^［13］。在该类方法应用于实际工程分析中时，出现了新的难点和问题，包括计算效率以及参数过多的收敛问题等。为了推动该类方法在实际工程中的应用，Au等^［14-18］在此基础上解决了这些困难，提出了快速贝叶斯FFT方法，从而使得该系列方法可以高效解决工程问题。目前，贝叶斯系列方法已经在桥梁、高层建筑等一些大型土木工程结构中得到应用。Ni等^［19-22］将该方法应用在桥梁日常运营状态下的振动分析问题中，用于动力特性评估和振动性能检测。Pan等^［23］将该方法应用于台风期间高层建筑的动力特性分析。这些应用表明，贝叶斯方法在土木工程领域具有广泛的应用前景，可以为大型土木工程结构的健康监测和状态评估提供有效的支持。现有研究表明，桥梁在台风期间的振动幅度显著增大，模态频率较低，建模误差、系统误差等不确定性因素的干扰较大，导致贝叶斯模态识别方法在桥梁台风期间的应用相对有限，且相关研究尚未充分揭示台风期间模态参数的变化规律和与振动幅度之间的关联。因此，本文拟在不确定性框架下，分析桥梁台风期间模态参数的变化趋势，并研究模态参数与振动幅度之间的相关性。

本文以某大跨度斜拉桥为工程背景，首先对台风的特性进行了研究，分析了风速、风向及持续时间等风场特性。随后，采用快速贝叶斯FFT方法准确识别出了主梁前10阶模态，并研究了台风期间模态参数的时变特性。最后，进一步研究了模态参数与模态响应均方根之间的关系。本文的研究结果可用于验证有限元模型的理论分析结果，为类似大跨度桥梁在台风作用下的安全性和使用状况评估提供有力支撑。

1 工程背景

本研究背景桥梁为某大跨度斜拉桥，跨径布置为4×63 m+708 m+4×63 m=1 212 m。主梁为正交异性钢桁架，采用倒梯形横断面布置。斜拉索共88对，双索面设计，对称于桥中心线布置。主塔横桥向采用直柱式H形塔，顺桥向采用上窄下宽的独柱型设计，以提高抗风性能。

全桥共30个加速度传感器，下游侧和上游侧分别布置15个双向加速度传感器和单向加速度传感器，采样频率为50 Hz，布置断面如图1所示。为了准确评估风对桥梁的影响，确保结构的安全，共安装了2个风速计，分别位于西侧塔顶和主跨跨中位置，采样频率为1 Hz。

2 台风特性描述

强台风于2015年6月30日20时在西北太平洋洋面上生成，并于北京时间7月10日到7月12日登陆目标桥梁所在地区。主跨跨中10 min平均的风速风向时程图和风玫瑰图如图2所示。在7月11日19时20分（对应图2中43.3 h）之前，风向保持稳定，平均风速逐渐升高，于7月11日11时（对应图2中35 h）达到风速的峰值15.5 m/s，对应风向45°，即东北方向；7月11日19时20分以后，风向由45°转变为280°左右，即西偏北10°方向，离开上海，风速也随之减小。图3为典型断面加速度时程图，有少数数据由于系统故障缺失，台风期间，主梁振动明显高于其他时间段，竖向和侧向加速度峰值分别达到了29.11 m/s²和13.49 m/s²，比日常运营情况下的振动幅度增大了约1.9倍和1.6倍。

3 分析方法

为了了解台风期间桥梁性能变化以及不同参数对台风的敏感性，采用快速贝叶斯FFT方法对模态参数进行识别，该方法的主要原理简述如下。

根据贝叶斯理论，设实测加速度为\left\{{\widehat{\ddot{\mathit{x}}}}_j\in R^n:j=\mathrm{1},\cdots ,N\right\}，其中N为每个测量通道的样本数，实测加速度可以表达为

{\widehat{\ddot{\mathit{x}}}}_j={\ddot{\mathit{x}}}_j(\mathit{\theta })+{\mathit{\epsilon }}_j（1）

式中：{\ddot{\mathit{x}}}_j(\mathit{\theta })为结构模型的加速度响应；{\mathit{\epsilon }}_j为实测加速度和模型加速度之间的误差，它由建模误差、测量噪声和测量误差组成；模态参数\mathit{\theta }包括固有频率\mathit{f}、阻尼比\mathit{\xi }、模态振型\mathit{\Phi }、模态力的功率谱密度\mathit{S}和预测误差的功率谱密度{\mathit{S}}_{\mathrm{e}}等参数。

时域公式需要同时确定所有贡献模态的模态参数，同时涉及的参数太多，容易导致计算问题。在频域这一问题得到了很好的解决，即只有与感兴趣的模态相关的信息参与贝叶斯理论及计算，其他频率段的或者不相关信息或者难以建模的数据段被合理地忽略，因此提高计算效率的同时还可避免建模错误。实测加速度响应\left\{{\widehat{\mathit{x}}}_j\right\}的快速傅里叶变换（FFT值）\left\{{\mathrm{ℱ}}_k\right\}可以由下式确定：

{\mathrm{ℱ}}_k=\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}\mathrm{\Delta }t}{N}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\widehat{\ddot{\mathit{x}}}}_j\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathit{i}\frac{(k-\mathrm{1})(j-\mathrm{1})}{N}\right]（2）

式中：{\mathit{i}}^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}；\mathrm{\Delta }t为采样时间间隔；k=\mathrm{2},\cdots ,N_{\mathrm{q}}，其中N_{\mathrm{q}}=int\left(N/\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}，是奈奎斯特频率的频率指数；int\left(\cdot \right)表示其参数的整数部分。

令向量{\mathit{Z}}_k=\left[Re{\mathrm{ℱ}}_{k}Im{\mathrm{ℱ}}_k\right]\in R^{\mathrm{2}n}，它是表示{\mathrm{ℱ}}_k的实部和虚部的向量。在环境模态识别中，只使用选定频带内的FFT数据，根据贝叶斯定理，其中关键步骤是通过给定的测量数据建立目标函数，关于模态参数\mathit{\theta }的后验概率密度函数p\left(\mathit{\theta }\left|\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\right.\right)可表示为

p\left(\mathit{\theta }\left|\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\right.\right)\propto p(\mathit{\theta })p\left(\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\left|\mathit{\theta }\right.\right)（3）

式中：p(\mathit{\theta })为先验分布，p\left(\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\left|\mathit{\theta }\right.\right)为似然函数。

在没有数据的情况下，可以假设先验分布为均匀分布。使用均匀分布作为先验PDF的假设往往是合理的，因为在现实中可用的先验信息较少，似然函数的变化比先验信息快得多，因此似然函数主导后验概率密度函数分布。

在式（3）中，似然函数可以表示为

\begin{array}{l}p\left(\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\left|\mathit{\theta }\right.\right)={(\mathrm{2}\mathrm{\pi })}^{-n{N}_f}{\left[\prod _{k}det{\mathit{C}}_k(\mathit{\theta })\right]}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}·\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _k{\mathit{Z}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_k{(\mathit{\theta })}^{-\mathrm{1}}{\mathit{Z}}_k\right]\end{array}（4）

其中协方差矩阵{\mathit{C}}_k与模态参数\mathit{\theta }之间的关系由式（5）确定：

{\mathit{C}}_k=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{cc}\mathit{\Phi }Re{\mathit{H}}_k{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{T}}& -\mathit{\Phi }Im{\mathit{H}}_k{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{T}}\\ \mathit{\Phi }Im{\mathit{H}}_k{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{T}}& \mathit{\Phi }Re{\mathit{H}}_k{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]+\frac{{\mathit{S}}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}}{\mathit{I}}_{\mathrm{2}n}（5）

式中：第一项和第二项分别表示模型响应和预测误差的贡献；\mathit{\Phi }是受测量自由度限制的模态振型矩阵；{\mathit{S}}_{\mathrm{e}}为预测误差的谱密度矩阵；{\mathit{I}}_{\mathrm{2}n}为2n×2n单位矩阵；{\mathit{H}}_k为模型响应的理论谱密度矩阵，{\mathit{H}}_k矩阵由式（6）确定。

\begin{array}{l}{\mathit{H}}_k(i,j)=S_{ij}{\left[\left({\beta }_{ik}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)+\mathit{i}\left(\mathrm{2}{\zeta }_i{\beta }_{ik}\right)\right]}^{-\mathrm{1}}·\\ {\left[\left({\beta }_{jk}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right)-\mathit{i}\left(\mathrm{2}{\zeta }_j{\beta }_{jk}\right)\right]}^{-\mathrm{1}}\end{array}（6）

式中{\beta }_{jk}=f^{(i)}/f_k为频率比；f^{(i)}和{\zeta }_i分别是第i阶模态的固有频率和阻尼比；S_{ij}为第i和第j阶模态激励间的交叉谱密度。

对式（4）取对数，将式（5）、式（6）代入式（4）可以对式（3）中的后验概率密度函数进行简化：

p\left(\mathit{\theta }\left|\left\{{\mathit{Z}}_k\right\}\right.\right)\propto \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-L(\mathit{\theta })]（7）

其中：

L(\mathit{\theta })=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _{k}ln{\mathit{C}}_k(\mathit{\theta })+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum _k{\mathit{Z}}_k^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_k{(\mathit{\theta })}^{-\mathrm{1}}{\mathit{Z}}_k（8）

根据上面的方程，通过求解式（7）的最大值可以最大化后验概率密度函数，进而求解模态参数\mathit{\theta }及其协方差矩阵{\mathit{C}}_k，然而需要克服以下两个困难。第一个困难是需要识别的参数数量由测量的自由度决定。当测量的自由度数量很大时，优化速度会慢很多。第二个挑战是，在优化过程中会多次计算协方差矩阵{\mathit{C}}_k的逆矩阵，但是这个矩阵是病态的。为了更方便地解决它，将问题分为两种不同的情况，即良好分离模态情况和紧密间隔模态。为了解决病态问题，负对数似然函数以两种不同的方式重新构造公式，使其变为规范形式，明确地解决了{\mathit{C}}_k的奇异性，从而分离了参数数量对于整个优化过程的影响。有关良好分离模式情况和密集间隔模式情况的更多详细推导过程，可以参阅参考文献［14-18］。

4 分析结果

4.1　典型30 min时段

以30 min为时间窗口长度，选取台风来临前S5—S11断面加速度数据进行分析，后续时间窗口的长度以及分析方法同上。通过快速傅里叶变换（FFT）将数据转为频域，了解及分析数据的频域特征以及进一步确定快速贝叶斯FFT模态分析方法的初始输入参数，包括确定感兴趣频段内的模态数量、模态峰值以及模态区间范围。图4（a）和（b）分别为竖向和横向加速度根奇异值谱，图中横坐标是频率，纵坐标是平均交叉谱密度矩阵奇异值的平方根。竖向弯曲在1.4 Hz以下有9种模态，其中第三阶和第四阶是紧密相邻的，其他模态分离良好，有明显的峰值；侧向弯曲在0.3 Hz以下有1种模态。根据图4（a）和（b）可以确定用于模态识别的频段，以在根奇异值谱中直观地筛选覆盖感兴趣的频段峰值，结果如表1所示。

根据频率区间确定初始参数，对各模态参数的可能值（MPV）以及后验变异系数（c.o.v.=标准差/MPV）进行识别，结果如表2所示。前10阶的模态频率与有限元模拟计算结果相似，阻尼比范围为0.131%~1.017%。从表2中各参数后验变异系数可以看出，固有频率的c.o.v.值均小于0.23%，而阻尼比的c.o.v.值为几十个百分点，这一特点说明固有频率的识别比阻尼比更准确，这一结论与认知一致，阻尼比一直是比自振频率更复杂的参数以及属性；模态力谱密度的c.o.v.值与预测误差的c.o.v.值虽然具有相似的数量级，但预测误差谱密度的识别相对比模态力谱密度更准确。

4.2　模态参数的时变特性

为了研究台风的强度对结构产生的影响以及不同参数对这一影响的敏感度，本节根据4.1节的分析方法对S5—S11断面振动数据进行模态识别，并进一步跟踪台风期间模态参数的时变关系。

跟踪时间周期为72 h，分别对应台风初期、台风较强期以及台风衰弱期等情况，主梁前10阶模态频率时程图如图5所示。固有频率时程图中存在三个波谷，时间分别为14 h、35 h和66 h，分别对应图2风速图中的三个峰值，并且风速越大固有频率越小，这说明台风改变了结构属性，或者改变了结构不同部位的约束条件，从而与日常运营状态不同。

之后，随着台风的离开、风速的降低，频率缓慢增加并最后大致恢复到台风前的水平。如图5所示，台风来临前一阶竖弯和侧弯频率分别为0.291 Hz和0.294 Hz，台风期间最小值分别为0.288 Hz和0.290 Hz，变化幅度范围为1.03%和1.36%，整体而言，频率的变化幅度相对较小。对于固有频率的后验c.o.v.s一般小于1.25%，表明参数识别的不确定性较小，结果相对精确。

对于阻尼比，图6展示了识别MPV值以及c.o.v.值，与频率相比，并未发现与台风特性显著相关的时变特征。阻尼比识别MPV值大都在0.2以下，并且低阶模态c.o.v.值变化比较稳定，侧弯模态c.o.v.值波动相对较大，最大值为53%，表明识别精度比前几阶结果略低。由于大跨度桥梁具有轻质、柔性的特点，所以其阻尼比整体较小，对应的标准差也相应较小。

4.3　模态参数与振动幅度

台风主要改变结构所处的振动激励环境，因此参数的变化可能是由于振动幅度变化造成的。为了更好地量化振动幅度，并进一步研究台风期间模态参数与振动幅度的关系，根据快速贝叶斯FFT方法可以通过计算第i阶模态响应均方根（RM{S}_i=\sqrt[]{\mathrm{\pi }{f}_i{S}_i/\mathrm{4}{\mathit{\xi }}_i}）值来表征结构的振动环境^［24］。

图7为模态频率MPV值与RMS值的散点图，对于不同的模态，无论竖向或横向，模态均方根与固有频率呈反比趋势，并且这一规律通用于不同模态阶数。前十阶固有频率与RMS值呈负相关关系，且随着模态阶数的增大，减小趋势愈加明显。这一结果与高层房屋结构在强风作用下的“分层”规律相似，即模态频率与结构振动水平存在高度的相关性，同时在相同振幅下，模态频率存在显著差异^［23］。因此本文的研究证明这个现象不仅存在于高层房屋结构中，同样存在于桥梁结构中，以固有频率为代表的物理属性并不是一成不变的，也与振动环境有关。进行桥梁异常状态识别与评估时，不能单纯地以固定阈值作为结构是否发生异常的依据，而应当与振动环境关联，参数在一定范围内波动均为结构的正常状态。

图8为阻尼比MPV值与RMS值的散点图。对于竖向和扭转模态，阻尼比MPV值与RMS值的相关性较为随机；而对于侧弯模态，阻尼比与模态均方根成正相关关系，可能与主梁和桥塔连接部位的横向抗风支座有关。

5 结 论

为了深入了解大跨度桥梁在强台风作用下固有属性的变化，本文基于某大跨度斜拉桥健康监测系统数据，选取台风作用下的时间区间数据展开分析。采用快速贝叶斯FFT方法对该桥梁进行了详细的模态参数识别与变化跟踪研究，同时对于不确定性展开量化与估计，主要关注参数为最可能值和后验变异系数。研究获得的主要结论如下：

（1） 主梁前10阶模态识别状态良好，并符合桥梁结构的振动规律。对于不同类型的模态参数，识别精度有所不同：对于固有频率的识别比阻尼比更为准确；模态力谱密度的c.o.v.与预测误差谱密度的c.o.v.具有相似的数量级，但是预测误差谱密度的识别比模态力谱密度结果更为准确。

（2） 研究表明频率与风速存在一定的相关性，总体变化趋势与平均风速相似，并且高阶模态对于风速变化的敏感度更高。

（3） 研究发现，固有频率与模态均方根呈负相关关系，阻尼比与模态响应均方根的相关性存在一定的随机性。该结论将在丰富台风数据库后进行验证，以确定不同台风强度下结构性能评估阈值，为桥梁状态评估提供依据。

参考文献

[1] ABDELJABER O，AVCI O，KIRANYAZ S，et al.Real-time vibration-based structural damage detection using one-dimensional convolutional neural networks［J］.Journal of Sound and Vibration，2017，388：154-170.

[2] 梁鹏，王杨，贺敏，基于实测加速度的悬索桥涡振全过程模态参数演变［J］.中国公路学报，2023，36（7）：125-137.

[3] LIANG Peng，WANG Yang，HE Min，et al.Modal parameter evolution of a suspension bridge throughout entire process of vortex-induced vibration based on measured acceleration data［J］.China Journal of Highway and Transport，2023，36（7）：125-137.（in Chinese）

[4] QIN S，PU Q，SHI Z.A method of modal parameters identification using ambient vibration measurements for a large-scale bridge［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（2）：95-100.

[5] 曲春绪，刘宇飞，周宇，基于频域分解法正交模态分离的阻尼比识别研究［J］.中国公路学报，2023，36（7）：80-89.

[6] QU Chunxu，LIU Yufei，ZHOU Yu，et al.Damping ratio identification through orthogonal separation frequency domain decomposition method［J］.China Journal of Highway and Transport，2023，36（7）：80-89.（in Chinese）

[7] 王晓光，马明，高林丽，基于FDD法的模态参数连续自动识别及频率变异性分析［J］.重庆交通大学学报（自然科学版），2023，42（3）：7-16，25.

[8] WANG Xiaoguang，MA Ming，GAO Linli，et al.Continuous automatic identification of modal parameters and analysis on frequency variability based on FDD method［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University （Natural Science），2023，42（3）：7-16，25.（in Chinese）

[9] 黄嘉思，徐文城，段元锋，基于随机子空间方法的向量式有限元索网模型模态识别［J］.结构工程师，2022，38（6）：1-6.

[10] HUANG Jiasi，XU Wencheng，DUAN Yuanfeng，et al.SSI method based modal identification of VFIFE cable network model［J］.Structural Engineers，2022，38（6）：1-6.（in Chinese）

[11] PEETERS B，DE ROECK G.Stochastic system identification for operational modal analysis：A review［J］.Journal of Dynamic Systems Measurement and Control-Transactions of the Asme，2001，123（4）：659-667.

[12] JAMES G H，CARNE T G，LAUFFER J P.The natural excitation technique （NExT） for modal parameter extraction from operating structures［J］.Modal Analysis-the International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis，1995，10（4）：260-277.

[13] BECK J L，KATAFYGIOTIS L S.Updating models and their uncertainties.I：Bayesian statistical framework［J］.Journal of Engineering Mechanics，1998，124（4）：455-461.

[14] KATAFYGIOTIS L S，BECK J L.Updating models and their uncertainties.II：Model identifiability［J］.Journal of Engineering Mechanics-ASCE，1998，124（4）：463-467.

[15] YUEN K V，KATAFYGIOTIS L S.Bayesian time-domain approach for modal updating using ambient data［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2001，16（3）：219-231.

[16] KATAFYGIOTIS L S，YUEN K V.Bayesian spectral density approach for modal updating using ambient data［J］.Earthquake Engineering & Structural Dynamics，2001，30（8）：1103-1123.

[17] YUEN K V，KATAFYGIOTIS L S.Bayesian fast fourier transform approach for modal updating using ambient data［J］.Advances in Structural Engineering，2003，6：81-95.

[18] AU S K.Fast Bayesian FFT method for ambient modal identification with separated modes［J］.Journal of Engineering Mechanics，2011，137（3）：214-226.

[19] AU S K，ZHANG F L.On assessing the posterior mode shape uncertainty in ambient modal identification［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2011，26（3）：427-434.

[20] AU S K.Fast Bayesian ambient modal identification in the frequency domain，Part I：Posterior most probable value ［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，26：60-75.

[21] AU S K.Fast Bayesian ambient modal identification in the frequency domain，Part II：Posterior uncertainty ［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，26：76-90.

[22] AU S K，ZHANG F L，NI Y C.Bayesian operational modal analysis：Theory，computation，practice［J］.Computers & Structures，2013，126：3-14.

[23] NI Y C，ZHANG F L.Bayesian operational modal analysis of a pedestrian bridge using a field test with multiple setups［J］.International Journal of Structural Stability and Dynamics，2016，16（8）：1550052.

[24] NI Y C，ZHANG Q W，LIU J F.Dynamic property evaluation of a long-span cable-stayed bridge （sutong bridge） by a bayesian method［J］.International Journal of Structural Stability and Dynamics，2019，19（1）：1940010.

[25] NI Y C，ALAMDARI M M，YE X W，et al.Fast operational modal analysis of a single-tower cable-stayed bridge by a Bayesian method［J］.Measurement，2021，174：109048.

[26] NI Y C，ZHANG Q W，LIU J F.Dynamic performance investigation of a long-span suspension bridge using a Bayesian approach［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2022，168：108700.

[27] PAN H，AU S K，FU J，et al.Field measurement and wind tunnel experimental investigation of a supertall building with closely spaced modes under typhoon Mangkhut［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2022，226：105033.

[28] AU S K，ZHANG F L，TO P.Field observations on modal properties of two tall buildings under strong wind［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2012，101：12-23.

基金资助

国家自然科学基金(52378312)