既有隧道在上覆桩复合地基下的形变响应分析

Deformation Response Analysis of Existing Tunnel Under Overlying Pile Composite Foundation

摘要

软土路基堆载和微型桩复合地基将打破原有的土体应力场，对既有隧道产生不利影响。现有路基堆载引起隧道的变形理论忽略了固化土层的影响。基于此，提出一种简化计算方法，将既有隧道简化为一搁置于Winkler地基上的Euler-Bernoulli梁，建立平衡微分方程，导入应力及位移边界条件，获得挠曲函数表达式，并将其与实测结果对比，验证了该方法的适用性。结果表明：隧道水平最大位移与堆载高度近似线性正相关；桩置换率对水平位移影响明显；桩土应力比对隧道变形影响明显。

Abstract

The soft soil subgrade loading and micro-pile composite foundation will break the original soil stress field and have an adverse impact on the existing tunnel. The existing deformation theory of tunnels caused by subgrade loading ignores the influence of the solidified soil layer. Based on this， a simplified calculation method was proposed. The existing tunnel was simplified into a Euler-Bernoulli beam resting on the Winkler foundation， a balanced differential equation was established， stress and displacement boundary conditions were introduced， and the expression of the deflection function is obtained. Comparing with the actual measurement results， the applicability of proposed method was verified. The results show that the maximum horizontal displacement of the tunnel has an approximately linear positive correlation with the stacking height. The pile replacement rate has a significant impact on the horizontal displacement. The pile-soil stress ratio has a significant impact on the tunnel deformation.

Graphical abstract

关键词

隧道工程 / 固化土 / Euler-Bernoulli梁 / 位移耦合

Key words

tunnel engineering / solidified soil / Euler-Bernoulli beam / displacement coupling

0 引 言

在既有隧道上方开展道路等基础设施建设，需要进行堆载、地基处理等作业。此类施工不可避免地会引起地基土体变形，对下卧隧道产生不利影响，进而对隧道运营安全带来威胁，尤其是在深厚软土发育区域。因此，保证隧道结构的完整性至关重要。近年来，固化土褥垫层和竖向增强体复合地基联用，可以有效地改善桩土受力特性，降低桩土应力比，改善复合地基力学特性^［1-3］。其较传统的碎石褥垫层，更好地协调了桩-土变形作用^［4］。采用固化土做褥垫层，改变了原有垫层-桩-土相互作用体系，形成了共同承担上部荷载的整体复合地基^［1］，在既有隧道上方，其荷载传递机理、变形特性与散粒体褥垫层桩复合地基存在较大差异，有必要针对上述特性开展专项研究。

目前上覆地基应力场改变引起既有隧道变形的理论分析多采用土应力（两阶段）法^［5］。

第一阶段，在不考虑既有隧道的前提下，计算因为堆载、开挖，或地基处理等引起隧道轴线某处土体的附加应力及位移，并根据紧密接触假定，推导隧道变形。此类分析多采用Boussinesq解^［6-8］，将桩周土体竖向附加应力沿深度方向积分，推导出桩沉降解析解。由于Boussinesq解是以荷载作用在半空间弹性体表面为条件推导得到的，隧道埋深较大，采用此方法误差较大。王恒等^{［7， 9］}采用Mindlin解及Geddes应力解积分，将荷载分布于弹性体内部，给出了在半无限体内任一点所引起的应力和位移解。

第二阶段，将既有隧道简化为弹性地基梁放置在某一种地基模型上，并将第一阶段求得的附加应力及位移作用于弹性地基梁，进而采用有限差分法等求解隧道的附加应力及变形特性。目前应用较为广泛的地基梁为Euler-Bernoulli梁^［10］，其基本假定为变形后各横截面仍然垂直于中性轴；Timoshenko梁则考虑了梁体范围内的剪切变形^［11］。在地基模型方面，应用较为广泛的是Winkler模型，除此之外还有双参数的Pasternak模型和三参数的Kerr模型^{［5， 12-14］}。主要区别在于，Winkler模型未考虑土体的剪应力作用，多用于抗剪强度较低的软土路基；Pasternak模型由弹簧层和剪切层组成，弥补了Winkler模型不能反映应力扩散的缺陷；Kerr模型是在Pasternak模型基础上增加了一层弹簧层，可以更好地反映地基土体的非线形变形特性^［15-16］。赵明华等^［17］将垫层等效为薄板，利用Bessel函数求得了无隧道情形的方程通解。

综上，现有针对隧道上覆固化土-竖向增强体复合地基变形特性研究较少。为更准确预测隧道的纵向变形，本文提出了一种简化计算方法，将隧道视为Euler梁，将固化土垫层-竖向增强体（水泥搅拌桩）-桩间土-隧道结构等共同作用分析，将桩间土和增强体视为一系列弹簧，并服从Winkler假定，根据弹性地基板理论，计算挠曲函数，从而推导地面沉降。

1 分析推导过程

1.1　基本假定

根据潘皇宋、崔军强等^［5，18］的研究成果，做如下假定：

（1） 路基填土等效为均布荷载，荷载均布；

（2） 不考虑桩的径向变形，只考虑竖向压缩；

（3） 竖向增加体及桩间土为各向同性的完全线弹性体，考虑到复合地基多用于软土区域，故服从Winkler假定；

（4） 隧道结构等效为弹性单元体；

（5） 隧道顶面土体与隧道紧密接触，不考虑隧道结构本体变形。

另外，实际工程中，为避免搅拌桩施工对既有隧道的影响，隧道顶部多预留一定的安全距离，为简化计算，对桩间土弹性模量进行折减。

1.2　微分方程

采用两阶段法分析既有隧道在上覆桩复合地基作用下的形变响应：第一阶段采用土体自由位移公式，求解搅拌桩复合地基作用下隧道轴线处土体位移；第二阶段将隧道视为Winkler弹性地基上的无限长Euler-Bernoulli梁，将第一阶段求得的土体位移作用于隧道，推导出土体自由位移作用下的力学响应公式。

将桩间土和增强体视为一系列弹簧，服从Winkler假定，取单个桩体与其影响范围内的微元体作为计算单元进行分析，如图1所示。以市政道路里程线与隧道里程线交点处为坐标原点，以路基横向为x轴，建立模型。

根据Euler-Bernoulli梁方程，有：

-\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}w\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}=\frac{M}{{(EI)}_{\mathrm{t}}}（1）

式中：（EI）_t为隧道等效刚度；M为弯矩；w\left(x\right)为隧道变形。

考虑Winkler地基模型。模型假设地基对梁的反力与梁的挠度成正比，即地基反力p（x）可以表示为

p(x)=kDw(x)（2）

取隧道单元一个微元，其受到的力包括弯矩产生的剪力、路基堆载及竖向增强体施工在隧道上引起的分布荷载q（x）及地基反力p（x）。根据程康等^［19］的研究成果，梁在垂直方向的平衡方程可以表示为

-\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}M}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}=p\left(x\right)-q\left(x\right)（3）

将式（1）、式（2）代入式（3），有：

\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{w}_{\mathrm{1}}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}+k_{\mathrm{1}}D{w}_{\mathrm{1}}\left(x\right)=q\left(x\right),\mathrm{0}\le x\le \frac{d}{\mathrm{2}}(\mathrm{4})\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{w}_{\mathrm{2}}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}+k_{\mathrm{2}}D{w}_{\mathrm{2}}\left(x\right)=q\left(x\right),\frac{d}{\mathrm{2}}\le x\le \frac{d_{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}}(\mathrm{5})\end{array}\right.

1.3　有限差分法求解

式（4）、式（5）为四阶微分方程，控制着隧道位移。考虑到直接求解上述方程较为困难，根据潘皇宋^［5］的研究成果，采用有限差分求解，将受影响范围隧道单元等分为n段，每段长度为l，总共分为n+5段，同时为方便求解，增加4个虚拟单元，如图2所示，以式（4）为例，可求得隧道结构的弯矩和剪力。

将四阶微分根据Taylor级数在相邻邻域x_i -h及x_i +h展开，代入式（4）。化简后，方程可以改写为

\frac{w_{i-\mathrm{2}}-\mathrm{4}{w}_{i-\mathrm{1}}+\mathrm{6}{w}_i-\mathrm{4}{w}_{i+\mathrm{1}}+w_{i+\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{4}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}+k_{\mathrm{1}}D{w}_i=q_i（6）

根据弹性力学，有：

M_i=\frac{w_{i-\mathrm{1}}-\mathrm{2}{w}_i+w_{i+\mathrm{1}}}{l^{\mathrm{2}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}（7）

V_i=\frac{-w_{i-\mathrm{2}}+\mathrm{2}{w}_{i-\mathrm{1}}-\mathrm{2}{w}_{i+\mathrm{1}}+w_{i+\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{3}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}（8）

根据隧道两边的边界条件，对于长隧道两侧，有：

M_{\mathrm{0}}=\frac{w_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{0}}+w_{-\mathrm{1}}}{l^{\mathrm{2}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（9）

M_n=\frac{w_{n+\mathrm{1}}-\mathrm{2}{w}_n+w_{n-\mathrm{1}}}{l^{\mathrm{2}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（10）

V_{\mathrm{0}}=\frac{w_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{w}_{-\mathrm{1}}-w_{-\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（11）

V_n=\frac{w_{n+\mathrm{2}}-\mathrm{2}{w}_{n+\mathrm{1}}+\mathrm{2}{w}_{n-\mathrm{1}}-w_{n-\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}=\mathrm{0}（12）

路基堆载对隧道形变的影响是有限的，当计算范围足够大时，隧道两端的土体位移变化已经很小，因此可假设w_-2=w_-1=w₀；w_n+2=w_n+1=w_n。

并根据对称性，可得：

w_{i-\mathrm{1}}=w_{i+\mathrm{1}},w_{i-\mathrm{2}}=w_{i+\mathrm{2}}（13）

式（6）可以进一步写为

\left(\left[K_{\mathrm{t}}\right]+\left[K_{\mathrm{s}}\right]\right)\left\{w_{\mathrm{1}}\right\}=\left\{Q\right\}（14）

式中：［K_t］为隧道单元刚度矩阵，［K_s］为地基单元刚度矩阵；\left\{w_{\mathrm{1}}\right\}为竖向增强体位置隧道单元位移列向量；\left\{Q\right\}为外荷载列向量。

\left[w_{\mathrm{1}}\right]={\left[\begin{array}{ccccccc}{w}_{\mathrm{0}}& w_{\mathrm{1}}& w_{\mathrm{2}}& K_{\mathrm{1}}& w_{n-\mathrm{2}}& w_{n-\mathrm{1}}& w_n\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（15）

\begin{array}{l}\left[K_{\mathrm{t}}\right]=\frac{{\left(EI\right)}_{\mathrm{t}}}{l^{\mathrm{4}}}\\ \left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{2}& -\mathrm{4}& \mathrm{2}& & & & & & \\ -\mathrm{2}& \mathrm{5}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & & & \\ \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & & \\ & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & \\ & & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& & \\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& \\ & & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}\\ & & & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{5}& -\mathrm{2}\\ & & & & & & \mathrm{2}& -\mathrm{4}& -\mathrm{4}\end{array}\right]\end{array}（16）

\left[K_{\mathrm{s}}\right]=D\left[\begin{array}{ccccccc}\mathrm{1}& & & & & & \\ & \mathrm{1}& & & & & \\ & & \mathrm{1}& & & & \\ & & & \mathrm{0}& & & \\ & & & & \mathrm{1}& & \\ & & & & & \mathrm{1}& \\ & & & & & & \mathrm{1}\end{array}\right]（17）

同理可得：

\left(\left[K_{\mathrm{t}}\right]+\left[K_{\mathrm{s}}\right]\right)\left\{w_{\mathrm{2}}\right\}=\left\{Q\right\}（18）

1.4　计算参数

基床系数是计算变形的重要参数，目前常见的方法包括平板载荷试验法、查表法、经验参数法等。Yu等^［20］考虑了隧道埋深的修正地基基床系数如下：

k=\frac{\mathrm{3.08}}{\eta B}\frac{E_{\mathrm{s}}}{\mathrm{1}-{\nu }^{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\frac{E_{\mathrm{s}}{B}^{\mathrm{4}}}{EI}}

\eta =\left\{\begin{array}{c}\mathrm{2.18}\frac{h}{D}\le \mathrm{0.5}\\ \mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1.7}h/D}\frac{h}{D}>\mathrm{0.5}\end{array}\right.（19）

式中：E_s为地基土或竖向增强体弹性模量；ν为泊松比；h为隧道埋深。

根据连续条件，有：

w_{\mathrm{1}}(d/\mathrm{2})=w_{\mathrm{2}}(d/\mathrm{2})（20）

M_{\mathrm{1}}(d/\mathrm{2})=M_{\mathrm{2}}(d/\mathrm{2})（21）

Q_{\mathrm{1}}(d/\mathrm{2})=Q_{\mathrm{2}}(d/\mathrm{2})（22）

代入上述边界和连续条件，解式（10）即可求得隧道的纵向位移。

由隧道变形微分方程可知，隧道变形与开挖引起的附加应力、附加位移、基床系数等有关。

采用两阶段法计算复合地基作用下隧道变形时，第一阶段可将堆载引起的附加应力与地基建立弹性关系；第二阶段将其放置于隧道地基，考虑基床系数与地基建立参数关系，即可求得隧道位移。

2 工程实例验证

广州南沙明珠湾区横沥大道从运营的轨道交通18号线上方通过，两者关系如图3、图4所示。既有地铁隧道位于淤泥质粉质黏土地层中。为了保护运营地铁结构，道路工程路基采用水泥搅拌桩联合固化土进行加固。搅拌桩间距1.2 m，梅花形布置，搅拌桩直为径50 cm，进入黏土层0.5 m，最大桩长按20 m控制。地铁盾构区间两侧各5 m宽范围内的水泥搅拌桩底距地铁区间结构净距保留不小于5 m。对地铁影响考虑路基中桩一边各50 m，也即一边宽出50 m。微分方程的边界条件为

\frac{\mathrm{d}w\left(x\right)}{\mathrm{d}x}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},\frac{\mathrm{d}w\left(x\right)}{\mathrm{d}x}\left(\pm \mathrm{50}\right)=\mathrm{0}（23）

-EI\frac{\mathrm{d}{w}^{\mathrm{3}}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{0}\right)=-\frac{q{\left(x\right)}_{x=\mathrm{0}}D}{\mathrm{2}}（24）

-EI\frac{\mathrm{d}{w}^{\mathrm{3}}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}}}\left(\pm \mathrm{50}\right)=-\frac{q{\left(x\right)}_{x=\pm \mathrm{50}}D}{\mathrm{2}}（25）

-EI\frac{\mathrm{d}{w}^{\mathrm{2}}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\left(\pm \mathrm{50}\right)=\mathrm{0}（26）

计算参数如下：填土P=27 kPa；固化土h₀=1.1 m，压缩模量E_g=30 MPa；桩径d=0.3 m，桩长L=15 m，间距1.4 m，弹性模量E_p=500 MPa；桩间土黏聚力c=10 kPa，\phi=10°。

监测断面（图5）埋置在隧道拱顶，监测断面布置间距为5~10 m。监测预警值为15 mm或变形速率超过2 mm/d。地块实测高程为6.23~6.69 m，最终填土面高程为8.5 m，填土厚度约2.0 m（8.5-6.5），填土重度取20 kN/m³，填土荷载约40 kPa，考虑路面活载20 kPa以及道路填土，横沥大道现场地面标高参考路边实测高程约6.5 m（隧道正上方高程），隧道上方道路高程约9.4 m，填土厚度约2.9 m，填土压力约58 kPa。考虑路面活载20 kPa对地铁隧道的影响。在隧道50 m范围内，道路下的淤泥及淤泥质土层采用水泥土搅拌桩加固。

桩间土压缩模量E_s=3 MPa。桩径为0.5 m，盾构隧道衬砌外径为8 500 mm，内径为7 700 mm。衬砌环宽度为1 600 mm，厚度为400 mm。计算结果如图6所示。

在堤岸与道路之间填土及道路填土施工过程中，隧道竖向变形最大值为-5.8 mm，位置与水平变形最大值相同；隧道水平径向收敛最大值为 2.4 mm，水平直径变大；隧道竖直径向收敛最大值为-4.2 mm，竖向直径变小；水平和竖直径向收敛最大位置在堤岸与道路之间填土及道路填土交界位置。如图7—图10所示。

通过计算可知，隧道水平和竖向变形极值分别为2.91 mm和5.8 mm；隧道水平径向和竖直径向收敛最大值分别为2.4 mm和-4.2 mm。

此外，将桩顶和桩间土的沉降结果同有限元模拟结果进行了对比，趋势基本相同。

3 结 论

针对固化土联合竖向增强体复合地基变形问题，基于桩-土相互作用及变形协调方程，将既有隧道简化为一个搁置在Winkler地基上的Euler-Bernoulli推导了隧道变形数值解。通过与实际工程对比，验证了本文方法的准确性，并得到如下结论：

（1） 计算方法考虑了隧道-地基相互作用，并引入了桩体的影响，地基土位移与隧道采用耦合分析。

（2） 通过与现场实例对比，验证了该简化方法的可行性。

（3） 隧道最大竖向位移受隧道埋深影响明显，呈正相关。

（4） 随着堆载高度的增大，隧道竖向位移呈非线性增大。

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基金资助

山东省自然科学基金(ZR2021ME068)

广东省住建厅科技创新计划(2022-K4-094918)