考虑开洞的现浇混凝土空心楼盖经验系数法

Empirical Coefficient Method for Cast-in-Situ Concrete Hollow Floor with Openings

摘要

工程中现浇混凝土空心楼盖常开设洞口，目前的经验系数法没有考虑洞口的影响。本文以典型3×3跨的箱体内模空心楼盖为研究对象，利用ABAQUS软件完成了270个算例分析。研究了洞口位置、洞口面积比、板跨度比和梁板相对抗弯刚度比对空心楼盖弯矩分配系数的影响，得到了计算板带各控制截面的弯矩分配系数以及柱上板带的弯矩分配系数，并与规程中的建议值进行了对比。结果表明：空心楼盖开洞削弱洞口所在截面的截面刚度，洞口所在截面弯矩分配系数减小，相应地其他截面的弯矩分配系数增大。在开洞情况下，规程建议的内跨和端跨控制截面弯矩分配系数总体偏安全，而柱上板带弯矩分配系数偏于不安全，建议采用本文提出的考虑开洞的柱上板带弯矩分配系数。

Abstract

Openings are often used in cast-in-situ concrete hollow floors and the current direct design method does not consider the influence of the openings. In this paper， 270 case studies on 3x3 span box filler hollow floors with openings were analyzed using software ABAQUS. The effects of four parameters on the moment distributions of the hollow floors were investigated， i.e.， the opening position， opening area ratio， slab span ratio and the beam-slab relative flexural stiffness ratio. The obtained results included the moment distribution coefficients for control sections of the floor strips， as well as the moment distribution coefficients for column strips. These results were also compared with the coefficients recommended by the code. It was found that the opening in the hollow floor weakened the section stiffness at the opening position， reduced the moment distribution coefficients of the section， and consequently increased the moment distribution coefficients of other sections. In the presence of an opening， the recommended values in the code are appropriate for the moment distribution coefficients for control sections of both the interior and end span. However， the moment distribution coefficients for the column strips in the code are not applicable and it is recommended to adopt the moment distribution coefficients proposed in this paper for the column strips，which account for openings.

Graphical abstract

关键词

空心楼盖 / 经验系数法 / 开洞 / 弯矩分配系数 / 有限元分析

Key words

hollow floor / direct design method / opening / moment distribution coefficient / finite element analysis

0 引 言

现浇混凝土空心楼盖具有板厚小、自重轻、刚度大等特点，应用于建筑结构中可达到节省层高、增加净高、节约成本等目的，故常用作大跨度和大空间结构的楼板。楼盖中空心部分常采用筒体或箱体的轻质内模^［1］。

《现浇混凝土空心楼盖技术规程》（JGJ/T 268—2012）（下文简称“规程”）^［2］给出了空心楼盖的四种分析方法，即拟板法、拟梁法、经验系数法和等代框架法。对于柱支承或柔性支承现浇混凝土空心楼盖，如满足规程中的限制条件，可采用经验系数法进行竖向均布荷载作用下的内力分析。该法首先确定计算板带的总弯矩设计值，其次将总弯矩分配至各支座负弯矩和跨中正弯矩控制截面，最后将控制截面的弯矩分配至柱上板带和跨中板带。该方法的弯矩分配系数沿用了ACI-318规范^［3］中实心楼盖的弯矩分配系数，适合于手算且方便快捷。早期，国内外学者对经验系数法的适用性开展了研究。李海涛等^［4-5］通过有限元计算对比了筒体内模空心楼盖和实心楼盖的弯矩分配系数，建议了筒体内模空心楼盖弯矩分配系数。周玉等^［6］利用有限元方法探讨了宽扁梁楼盖柱上板带弯矩分配系数随梁宽、梁高和柱截面的变化规律。Ibrahim等^［7］通过数值方法探讨了开洞与不开洞时密肋楼盖的弯矩分配系数取值。针对盒状内模空心楼盖，黄川腾等^［8］通过数值算例提出了考虑空心率、板格边比、柱跨比、梁板相对抗弯刚度比和边梁抗扭刚度比的弯矩分配系数取值建议。

工程中现浇混凝土空心楼盖常开设洞口。目前仍缺乏开洞对空心楼盖弯矩分配系数影响的认识。本文以典型3×3跨的箱体内模空心楼盖为研究对象，通过有限元软件ABAQUS完成270个算例，考察了洞口位置、洞口面积比、板跨度比和梁板相对抗弯刚度比4个因素对空心楼盖弯矩分配系数的影响，提出了考虑开洞的内跨与端跨控制截面弯矩分配系数和柱上板带弯矩分配系数。

1 楼盖信息

选取纵横方向均为3跨的箱体内模空心楼盖结构作为研究对象。规程中的弯矩分配系数的确定考虑了板计算方向跨度l₂和垂直于计算方向的跨度l₁之比l₂/l₁，以及计算方向梁板截面抗弯刚度比α₁与板跨度比l₂/l₁的乘积，即μ₁=α₁l₂/l₁。为涵盖规程中弯矩分配系数表中所列的所有情况，分别设置板跨度比l₂/l₁为0.5、1.0和2.0，梁板相对抗弯刚度比μ₁为0.11、0.44和1.05，以及洞口位置，即洞口设于柱上-柱上板带相交区域（c-c区域）、柱上-跨中板带相交区域（c-m区域），以及跨中-跨中板带相交区域（m-m区域）。洞口面积比定义为洞口面积与洞口所在的双向板带相交区域面积之比，取值分别为0%、min%、40%、70%和100%。《现浇混凝土空心楼盖结构图集》^［9］以及ACI-318规范^［3］中规定了楼板开洞的最大尺寸，即：①c-c区域内，洞口尺寸不超过任一跨度方向柱上板带宽度的八分之一；②c-m或m-m区域内，洞口尺寸不超过任一板带宽度的四分之一。洞口不超过最大尺寸，基于经验系数法的弯矩分配系数仍可采用。反之，则需借助有限元等方法进行计算。本研究取文献［3］和［9］中最大洞口尺寸对应的洞口面积比为min%。板带划分、洞口位置以及控制截面位置如图1所示。考虑板跨度比（0.5、1.0和2.0）、梁板相对抗弯刚度比（0.11、0.44和1.05）、洞口位置（内跨c-c、c-m和m-m以及端跨c-c、c-m和m-m）和洞口面积比（0%、min%、40%、70%和100%）代表性取值，共计算了3×3×6×5=270个模型。

2 有限元模型及验证

2.1　有限元模型

利用有限元软件ABAQUS^［10］建模分析。为提高效率，建立降维的纤维梁-壳单元模型。空心楼盖采用四节点减缩积分壳单元S4R，壳单元截面设置为复合壳，顶层和底层设置为混凝土材料，中间层设置为空腔。混凝土材料采用Mattock等^［11］提出的本构模型来描述。空腔材料被假定为弹性模量很小的固体材料，弹性模量取1 000 MPa，泊松比取0.5。框架梁、柱以及空心楼盖肋梁采用三节点二次纤维梁单元B32，将主梁单元和肋梁单元设置为壳单元的Stringers加强件，使得肋梁与空心楼盖上下层板共同变形工作。作为例子，图2示意了板跨长比为1.0、在内跨m-m区域和开洞40%的楼盖有限元模型。由于空心楼盖在承载能力极限状态下的内力设计值可近似按弹性分析方法确定^［2］，故所有算例均采用弹性分析。

2.2　模型验证

为验证，采用2.1节中建模方法建立文献［12-13］中的空心楼盖结构，比较有限元模拟结果与解析解或试验结果。文献［12］根据弹性薄板小挠度理论，推导了竖向均布荷载下1×1跨四边简支蜂窝式空心楼盖挠度和弯矩的解析解。表1比较了有限元计算得到的挠度和弯矩与解析解，结果较为吻合，最大误差为4.6%。文献［13］进行了1×1跨9 m×9 m的空心楼盖足尺模型静水加载试验。图3对比了各级荷载下有限元计算与试验得到的空心楼盖中心点挠度。可见，在静水深度达到10 cm（对应实际加载1 kN/m²）以前，有限元计算结果与试验结果吻合较好。静水深度10 cm以后，有限元计算挠度大于试验挠度。可能的原因是，有限元模型忽略了空心箱体自身刚度^［13］以及填充体与肋的共同工作^［14］，导致有限元模型刚度偏小。

综上，采用所提的建模方法进行空心楼盖弹性分析可行。

3 控制截面的弯矩分配

3.1　内跨控制截面的弯矩分配

考虑板跨度比l₂/l₁、梁板相对抗弯刚度比μ₁、洞口位置和洞口面积比的变化，图4（a）—图4（c）给出了内跨负弯矩分配系数，图4（d）—图4（f）给出了内跨正弯矩分配系数，可见：①在所有位置设置同一洞口面积比的情况下，随着梁板相对抗弯刚度比μ₁增加，内跨负弯矩分配系数与内跨正弯矩分配系数均下降。②在c-c区域开洞时，随着洞口面积比增加，内跨负弯矩分配系数减小，内跨正弯矩分配系数增大，并且μ₁较小时变化更为明显。这是因为洞口削弱了内跨负弯矩截面的刚度，相应地，内跨正弯矩截面承担更多的弯矩。当μ₁减小时，板相对抗弯刚度较大，板中开洞对截面刚度的削弱更加明显。③在c-m区域或m-m区域的洞口对内跨控制截面弯矩分配系数的影响较小。这是因为在计算板带的各控制截面，柱上板带往往承担了大部分弯矩。因此，跨中板带的洞口对其所在控制截面弯矩分配的削弱较小。

考虑开洞的弯矩分配系数根据下列原则确定：①若有限元计算得到的弯矩分配系数小于规程建议值或大于规程建议值0.05以下（含0.05），仍采用规程建议值；②若有限元计算得到的弯矩分配系数大于规程建议值0.05以上，则以有限元计算得到的弯矩分配系数为基础，以0.05作为一个数量单位重新确定弯矩分配系数，例如，有限元计算值为0.63，则取为0.65。按照上述原则确定的考虑开洞的弯矩分配系数偏于保守和安全，且和规程中的弯矩分配系数有较好的一致性。对比图4所示的有限元计算结果与规程建议的内跨控制截面弯矩分配系数取值，可知，在l₂/l₁=1.0、μ₁=0.11、c-m区域和m-m，以及洞口面积比为100%情况下，内跨负弯矩分配系数均为0.7，超过了规程建议值0.65。在l₂/l₁=2.0、μ₁=0.11、c-c区域，以及洞口面积比为70%和100%情况下，内跨正弯矩分配系数分别为0.36和0.39，超过了规程建议值0.35。然而，弯矩分配系数计算值与规程建议值之差不超过0.05，差别不大。对于其余各种情况，规程建议值均大于有限元计算结果，较为安全。因此，在开洞情况下仍可按规程5.4.6.1节条文建议，取内跨负弯矩分配系数为0.65，正弯矩分配系数为0.35。

3.2　端跨控制截面的弯矩分配

采用式（1）—式（6）计算外柱等效相对抗弯刚度α_ec后^［14］，可计算得到端跨边支座负弯矩截面、端跨正弯矩截面和端跨内支座负弯矩截面的弯矩分配系数m₁、m₂和m₃，见式（7）—式（9）^［16-18］：

{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{c}}=K_{\mathrm{e}\mathrm{c}}/\sum (K_{\mathrm{b}}+K_{\mathrm{s}})（1）

K_{\mathrm{e}\mathrm{c}}=\sum K_{\mathrm{c}}/(\mathrm{1}+\sum K_{\mathrm{c}}/K_{\mathrm{t}})（2）

K_{\mathrm{b}}=\mathrm{4}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}/l_{\mathrm{1}}（3）

K_{\mathrm{s}}=\mathrm{4}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{s}}/l_{\mathrm{1}}（4）

K_{\mathrm{c}}=\mathrm{4}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{c}}{I}_{\mathrm{c}}/l_{\mathrm{c}}（5）

K_{\mathrm{t}}=\sum \mathrm{9}{E}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}C/l_{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}-\frac{c_{\mathrm{2}}}{l_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{3}}（6）

m_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.65}/\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}/{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{c}}\right)（7）

m_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.63}-\mathrm{0.28}/\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}/{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{c}}\right)（8）

m_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.75}-\mathrm{0.1}/\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}/{\alpha }_{\mathrm{e}\mathrm{c}}\right)（9）

式中：K_ec和K_t分别为外柱等效抗弯刚度和柱两侧抗扭构件刚度；K_b、K_s和K_c分别为梁、板和柱抗弯刚度；E_cb、E_cs和E_cc分别为梁、板和柱的混凝土弹性模量；I_b、I_s和I_c分别为梁、板和柱的截面惯性矩；C为截面抗扭常数；l_c为柱计算长度；c₂为垂直于板跨度l₁方向的柱宽。

基于式（7）—式（9）可整理得到不同约束条件下的端跨控制截面弯矩分配系数，即规程中表5.4.6。

图5为考虑开洞的端跨控制截面弯矩分配系数。在各种不同开洞情况下，随着外柱等效相对抗弯刚度的增加，端跨边支座负弯矩分配系数逐渐增大，相应地，端跨正弯矩分配系数和端跨内支座负弯矩分配系数逐渐减小。此外，各条曲线分布较为集中，表明洞口位置及面积比对于端跨控制截面弯矩分配系数的影响较小。

对比图5中有限元计算得到的和规程建议的端跨控制截面弯矩分配系数，可见，在l₂/l₁=1.0和α_ec=0.93时，在所有开洞情况下，端跨内支座负弯矩分配系数均超过了规程建议值0.70。然而，计算值与规程建议值之差均在0.03以内。除此之外，规程建议的端跨控制截面弯矩分配系数均大于有限元计算结果，设计结构偏于安全。因此，开洞后计算板带的端跨控制截面弯矩分配系数仍可按规程中表5.4.6的建议取值。

4 柱上板带的弯矩分配

控制截面的弯矩由柱上板带和跨中板带共同承担，规程中首先确定柱上板带所承担的弯矩，柱上板带未承受的弯矩则按比例分配给两侧的跨中板带^［2］。考虑跨度比l₂/l₁、梁板相对抗弯刚度比μ₁、洞口位置和洞口面积比的变化，图6（a）—图6（c）给出了内支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数。在c-c区域开洞时，随着洞口尺寸增大，内支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数显著减小，并且μ₁较小时更为明显。而c-m区域以及m-m区域的洞口对内支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数几乎不产生影响。图6（d）—图6（f）为正弯矩截面柱上板带弯矩分配系数。c-c区域的洞口几乎不影响正弯矩截面柱上板带弯矩分配系数。c-m区域的洞口削弱了正弯矩截面柱上板带刚度，随着洞口尺寸增大，正弯矩截面柱上板带弯矩分配系数显著减小，并且μ₁较小时更为明显。在m-m区域开洞时，跨中板带刚度减小，其承担的部分弯矩转由柱上板带承担，因此随着洞口尺寸增大，正弯矩截面柱上板带弯矩分配系数逐渐增大。边支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数如图6（g）—图6（i）所示。在c-c区域开洞时，随着洞口尺寸增大，边支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数显著减小。而c-m区域或m-m区域的洞口几乎不影响边支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数。

图6比较了柱上板带弯矩分配系数的有限元计算结果与规程建议取值。在c-m和m-m区域开洞情况下，当l₂/l₁大于1.0时，规程建议的内支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数大多小于有限元计算结果。建议对于内支座负弯矩截面，l₂/l₁=1.0时，①μ₁=0时，柱上板带弯矩分配系数取0.85；②μ₁≥0.5时，取0.75；③0<μ₁<0.5时，按线性插值确定柱上板带弯矩分配系数。l₂/l₁=2.0时，①μ₁≤0.2时，柱上板带承担全部支座截面负弯矩；②μ₁≥1.0时，柱上板带负弯矩分配系数取0.75；③0.2<μ₁<1.0时，可按线性插值确定。

对于正弯矩截面柱上板带弯矩分配系数，建议对m-m区域洞口面积比大于等于70%的情况做如下修正：①l₂/l₁=0.5时，当μ₁=0时，取0.70；μ₁≥1.0时取0.90；0<μ₁<1.0时可按线性插值确定；②l₂/l₁=1.0时，柱上板带弯矩分配系数取0.80；③l₂/l₁=2.0时，当μ₁=0时，柱上板带正弯矩分配系数取0.75；μ₁≥1.0时，取0.70；0<μ₁<1.0时，可按线性插值确定。对于m-m区域洞口面积比小于70%的情况：①μ₁=0时，当l₂/l₁=0.5时，柱上板带弯矩分配系数取0.60；l₂/l₁=1.0或2.0时，取0.70；②μ₁≥1.0时，对于l₂/l₁=0.5、1.0和2.0分别取0.90、0.75和0.60；③0<μ₁<1.0时，可按线性插值确定。

对于边支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数，规程建议的弯矩分配系数与开洞后的有限元计算结果较为接近且使结构偏于安全。因此考虑开洞后，边支座负弯矩截面柱上板带弯矩分配系数仍可按规程中表5.4.7的建议计算。

考虑开洞的柱上板带弯矩分配系数见表2。

5 结 论

本研究采用有限元方法建立了270个3×3跨的空心楼盖模型。计算得到不同板跨度比、梁板相对抗弯刚度比、洞口位置和洞口面积比下计算板带各控制截面的弯矩分配系数以及柱上板带的弯矩分配系数。经分析得到以下结论：

（1） 在开洞情况下，计算板带的内跨负弯矩分配系数取0.65，正弯矩分配系数取0.35。计算板带的端跨控制截面弯矩分配系数按规程中表5.4.6的建议取值。

（2） 在开洞情况下，规程中的柱上板带弯矩分配系数大多小于有限元计算结果，结构设计偏于不安全。为保证安全，柱上板带的弯矩分配系数建议采用本文表2的取值。

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基金资助

国家自然科学基金面上项目(52178150)