集中荷载作用下钢筋混凝土梁箍筋有效性系数研究

Study on Effectiveness Factor of Stirrups for Reinforced Concrete Beams under Concentrated Loads

摘要

为了确定集中荷载作用下钢筋混凝土梁中箍筋的应力情况，本研究采用ATENA软件开展钢筋混凝土试验梁受剪性能非线性有限元分析。通过收集整理158根集中荷载作用下剪跨比不小于2.5的钢筋混凝土有腹筋梁剪切试验数据，利用经校验的有限元模型计算了承载能力极限状态下临界斜裂缝所穿越箍筋的应力。结果表明，从承载能力极限状态的角度看，45°桁架模型严重低估了箍筋的抗剪作用。建议《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）将钢筋混凝土梁受剪承载力设计公式中的箍筋有效性系数取为1.25，并修正混凝土项。

Abstract

To assess stirrup stress in reinforced concrete beams under concentrated loads， ATENA software was employed to perform nonlinear finite element analysis of shear behavior in test beams. This study compiled shear test data from 158 reinforced concrete beams with stirrups subjected to concentrated loads （shear-span ratio ≥2.5）. Using a validated finite element model， we calculated the stress in stirrups intersected by the critical diagonal crack at the ultimate limit state of bearing capacity. Results demonstrate that the 45° truss model substantially underestimates stirrup shear resistance in ultimate limit state conditions. We recommend revising GB/T 50010—2010 （Code for Design of Concrete Structures） to adopt a stirrup effectiveness coefficient of 1.25 in the shear capacity design formula for reinforced concrete beams， along with corresponding adjustments to the concrete contribution term.

Graphical abstract

关键词

钢筋混凝土梁 / 受剪承载力 / 箍筋有效性 / ATENA / 有限元分析

Key words

reinforced concrete beam / shear bearing capacity / stirrup effectiveness / ATENA / finite element analysis

0 引 言

集中荷载作用下钢筋混凝土梁中箍筋承担的剪力主要取决于临界斜裂缝倾角的大小，而临界斜裂缝倾角与剪跨比、混凝土强度、纵向受拉钢筋配筋率及配箍率有关，其中剪跨比的影响最为显著。国际上一般将剪跨比不小于2.5的简支梁定义为细长梁（Slender beam）^［1-2］，而剪跨比小于2.5的简支梁为深梁（Deep beam）；我国《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）^［3］将跨高比小于5.0的简支梁定义为深受弯构件。采用三点弯曲方式加载的简支梁，跨高比为5.0与剪跨比为2.5是基本相当的。当配置箍筋的简支梁剪跨比不小于2.5时，我国《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）和美国ACI 318-19规范^［4］中受剪承载力计算公式均采用混凝土项和箍筋项相叠加的形式。其中，混凝土项主要依据钢筋混凝土无腹筋梁受剪承载力试验结果而确定，箍筋项则采用45°桁架模型。

关于集中荷载作用下箍筋对钢筋混凝土梁受剪承载力的贡献，Mphonde^［5］认为箍筋不仅可限制斜裂缝开展并通过约束受压区混凝土而增加混凝土承担的剪力，还能提高纵向受拉钢筋的销栓作用，故建议在45°桁架模型的基础上引入箍筋有效性（Stirrups effectiveness）系数并取1.6。我国规范体系也一直采用45°桁架模型确定钢筋混凝土梁（跨高比不小于5.0）的箍筋作用，1974版规范^［6］将混凝土抗剪强度的影响、斜截面水平投影长度以及穿越斜截面的箍筋受力不均匀等因素采用1.5~2.0的系数加以综合考虑；1989版规范^［7］取1.25，直到2002版规范^［8］才调整为1.0并沿用至今。历次规范修订过程中不断降低箍筋有效性系数的做法，虽有利于提高钢筋混凝土梁受剪承载力的安全储备，但缺乏可靠依据。事实上，余波等^［9］整理42根剪跨比为1.46~6.84的钢筋混凝土简支梁受剪性能试验结果后发现，临界斜裂缝的倾角范围为23°~41°，且随剪跨比的增大而呈减小趋势。从试验的角度看，一方面，剪跨比不小于2.5的钢筋混凝土梁中临界斜裂缝实际穿越的箍筋数量要多于45°桁架模型考虑的数目，且倾角随机的临界斜裂缝穿越的箍筋也不一定都会屈服；另一方面，文献［10-12］将同条件的有腹筋与无腹筋梁受剪承载力之差来衡量箍筋作用的做法也低估了大剪跨比梁中箍筋所承担的剪力。

鉴于钢筋混凝土梁剪切破坏过程中临界斜裂缝倾角具有一定的随机性，且难以采用试验手段确定梁中箍筋的应力，本文采用ATENA软件开展158根集中荷载作用下剪跨比不小于2.5的钢筋混凝土有腹筋剪切试验梁非线性有限元分析，在评估45°桁架模型计算精度的基础上提出箍筋有效性系数。

1 有限元模型验证

1.1　试验简介

选取文献［12］中4根剪跨比为3.0的单点集中荷载作用下钢筋混凝土有腹筋梁受剪性能试验结果，用于验证ATENA有限元模型的合理性。梁截面尺寸为200 mm×400 mm，截面有效高度为340 mm。纵向受拉钢筋采用6根直径为16 mm的HRB600级钢筋，配筋率为1.77%；受压区配置2根直径为8 mm的架立筋；箍筋采用直径为8 mm的HRB400级钢筋，其他试验参数见表1。试件制作过程中，为了控制剪切破坏发生在预埋箍筋应变片的一侧，在另一侧配置了较多箍筋。通过预估临界斜裂缝与箍筋相交的位置，将箍筋车铣凹槽后并粘贴电阻应变片，以准确测量箍筋的应力。

1.2　模型建立及参数取值

ATENA软件在混凝土开裂、裂缝发展和钢筋屈服等方面具有独特性，并提供了丰富的材料模型^［13］。本文采用ATENA软件建立钢筋混凝土梁受剪性能计算模型，钢筋采用杆单元进行模拟，并选用双段线性弹塑性强化模型，应力-应变关系如图1所示。图1中，{\sigma }_{\mathrm{s}}为钢筋应力；{\epsilon }_{\mathrm{s}}为钢筋应变；f_{\mathrm{y}}为钢筋屈服强度；f_{\mathrm{u}}、{\epsilon }_{\mathrm{u}}分别为钢筋极限强度及其对应的应变；E_{\mathrm{s}}为初始阶段的弹性模量，统一取2.0×10⁵ MPa；第二段折线斜率为钢筋的强化模量，其取值与钢筋的极限强度（应变）和屈服强度（应变）的相对大小有关。钢筋的材性参数取试验值，若{\epsilon }_{\mathrm{u}}未知，按以下原则取值：国产HRB400级和HRB500级钢筋取13%^［14-15］；屈服强度试验值小于750 MPa的国外钢筋取10%，屈服强度试验值不小于750 MPa的国外钢筋取5%^［16］。

混凝土单元采用基于断裂-塑性模型的3D Nonlinear Cementitious 2模块，将断裂模型与塑性模型相结合以描述结构的受拉（开裂）和受压（塑性）性能，其等效单轴应力{\sigma }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}与应变{\epsilon }^{\mathrm{e}\mathrm{q}}关系曲线如图2所示。图2中，混凝土受压上升区段的表达式为：

{\sigma }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}=f^{\text{'}}{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\frac{kx-x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+(k-\mathrm{2})x}（1）

x=\epsilon /{\epsilon }_{\mathrm{c}}（2）

k=E_{\mathrm{0}}/E_{\mathrm{c}}^{\text{'}}（3）

式中：f^{\text{'}}{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}为混凝土圆柱体有效抗压强度；\epsilon为混凝土压应变；{\epsilon }_{\mathrm{c}}为混凝土峰值压应变；E_{\mathrm{c}}、E_{\mathrm{c}}^{\text{'}}分别为混凝土初始、割线弹性模量。

当混凝土压应力达到峰值后，应力-应变关系线性下降至极限等效压应变{\epsilon }_{\mathrm{d}}={\epsilon }_{\mathrm{c}}+w_{\mathrm{d}}/L_{\mathrm{d}}。其中，w_{\mathrm{d}}为塑性极限变形，取0.5 mm；L_{\mathrm{d}}为单元网格尺寸在受压方向上的投影长度。混凝土受拉开裂前，应力、应变分别线性变化至有效抗拉强度f^{\text{'}}{}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}和等效开裂应变{\epsilon }_{\mathrm{t}}，其斜率为混凝土初始弹性模量E_{\mathrm{c}}；灰色填充区域代表混凝土断裂能G_{\mathrm{f}}，G_{\mathrm{f}}为单位混凝土完全开裂所需的能量，根据Vos的建议公式^［17］取G_{\mathrm{f}}=\mathrm{0.025}{f}^{\text{'}}{}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}（N/mm）。{\epsilon }_{\mathrm{0}}为混凝土极限拉应变，相应的裂缝宽度w_{\mathrm{0}}=\mathrm{5.14}{G}_{\mathrm{f}}/f^{\text{'}}{}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}。取f^{\text{'}}{}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}=\mathrm{0.88}\times \mathrm{0.395}{f}_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}^{\mathrm{0.55}}{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}。其中，{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}为混凝土强度脆性折减系数，当f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}\le \mathrm{50}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}时，取{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=\mathrm{1.00}；当f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}\ge \mathrm{95}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}时，取{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=\mathrm{0.87}；当 95 MPa，{\alpha }_{\mathrm{c}\mathrm{2}}按线性内插法确定。其余参数均取ATENA软件默认值，取值依据源自Model Code 2010^［18］及相关研究资料。

由于弥散裂缝模型假定裂缝均匀分布在单元内部并将混凝土材料视为各向异性材料，当某一单元的混凝土应力超过其破坏应力时，自动调整单元材料本构关系矩阵而无需重新划分单元网格就能继续计算，适用于多裂缝构件力学性能模拟。因此，建模过程中选用弥散裂缝模型并将其系数设置为1.0。钢筋与混凝土采用分离式建模方法，并忽略钢筋与混凝土之间的相对滑移。混凝土采用六面体单元，支座及加载点处的钢垫板采用四面体单元。为兼顾计算的准确性和计算速度，建立1/2梁模型并取混凝土单元网格边长尺寸为50 mm，钢筋单元沿长度方向也按50 mm划分网格，加载方式采用位移控制。模型几何尺寸和边界约束条件，均与试验实际情况保持一致。

1.3　试验梁模拟结果

通过对表1所列的4根试验梁进行有限元非线性分析，得到荷载-跨中位移曲线及破坏形态。将有限元分析结果与试验结果进行比较，如图3和图4所示。图4中蓝色线条为临界斜裂缝，红色竖线和短横线分别代表箍筋及其应变片的位置。由此可见，临界斜裂缝与箍筋相交处均已布置了电阻应变片，试验过程中能较好地测试箍筋的应变值。

由图3可以看出，荷载-跨中位移曲线模拟效果较好。将有限元模拟得到的破坏荷载与试验结果进行比较，相对误差值范围为-8.20%~3.13%。尽管混凝土构件的裂缝界面具有复杂性及随机性的特征，但图4表明本文建立的有限元模型可较好地模拟梁的破坏形态。

当钢筋混凝土梁达到极限承载力时，与临界斜裂缝相交的箍筋应力值示意，如图5所示。将临界斜裂缝穿越的所有箍筋的应力值进行叠加，即可确定箍筋所承担的剪力。其中，有限元分析确定的各箍筋应力之和为\sum {\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{i}}^{\text{'}}（模拟值），试验实测得到的各箍筋应力之和为\sum \sigma {}_{\mathrm{s},\mathrm{i}}{}^{}（试验值），i为箍筋的序号，取1，2，…。

将\sum {\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{i}}^{\text{'}}与\sum \sigma {}_{\mathrm{s},\mathrm{i}}{}^{}进行比较，结果如图6所示。图6表明\sum {\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{i}}^{\text{'}}与\sum \sigma {}_{\mathrm{s},\mathrm{i}}{}^{}的相对误差变化范围为0.78%~10.07%。由此可见，采用ATENA软件开展有限元非线性分析确定箍筋应力是可行的。

2 箍筋有效性系数

45°桁架模型假定有腹筋梁中剪压区的混凝土为桁架上弦杆，纵向受拉钢筋为下弦杆，箍筋为竖向受拉腹杆，腹部混凝土为受压斜腹杆且倾角为45°。基于箍筋弥散化概念确定与临界斜裂缝相交箍筋的数目，如图7所示。

《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）中基于45°桁架模型的箍筋项表达式为

V_{\mathrm{s}}=f_{\mathrm{y}\mathrm{v}}\frac{A_{\mathrm{s}\mathrm{v}}}{s}{h}_{\mathrm{0}}（4）

式中：V_{\mathrm{s}}为梁中斜截面上箍筋的受剪承载力设计值；f_{\mathrm{y}\mathrm{v}}为箍筋的抗拉强度设计值，不应大于360 N/mm²；A_{\mathrm{s}\mathrm{v}}为同一截面内箍筋各肢的全部截面面积；h_{\mathrm{0}}为截面有效高度。

文献［16，19］的研究结果表明，钢筋混凝土梁发生剪切破坏时高强箍筋可以有效地发挥其强度性能。因此，假设按45°桁架模型确定发挥作用的箍筋总应力{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}=f_{\mathrm{y}\mathrm{v},\mathrm{m}}{h}_{\mathrm{0}}/s，而有限元分析提取与临界斜裂缝相交的箍筋应力总和为{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\text{'}}，并定义箍筋有效性系数\alpha ={\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\text{'}}/{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}。需要说明的是，将{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}、{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\text{'}}分别与A_{\mathrm{s}\mathrm{v}}相乘即为箍筋承担的剪力值。

根据文献［12，20-21］整理158根集中荷载作用下钢筋混凝土有腹筋简支梁剪切试验数据，并通过非线性有限元分析确定{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\text{'}}。其中，74根梁采用普通箍筋（），84根梁采用高强箍筋（f_{\mathrm{y}\mathrm{v},\mathrm{m}}\ge \mathrm{400}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}）。所有试件均发生剪切破坏且至少有一个箍筋达到屈服强度，试验参数取值范围如下：截面宽度为110~457 mm，截面有效高度为198~1 400 mm，剪跨比为2.5~5.0，纵筋配筋率为0.50~4.54%，混凝土立方体抗压强度试验值为19.7~145.7 MPa，{\rho }_{\mathrm{s}\mathrm{v}}{f}_{\mathrm{y}\mathrm{v},\mathrm{m}}为0.213~3.475 MPa。取标准圆柱体（直径为150 mm、高为300 mm）混凝土试块抗压强度试验值f_{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{\text{'}}=\eta f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}，当f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}\le \mathrm{50}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}时，取\eta =\mathrm{0.80}；当f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}\ge \mathrm{105}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}时，取\eta =\mathrm{0.86}；当50 MPa<f_{\mathrm{c}\mathrm{u},\mathrm{m}}<105 MPa时，\eta按线性内插法确定^［18］。标准与非标准混凝土圆柱体试块的抗压强度实测值之比，按以下原则取值：当直径为75 mm、高为150 mm时，取0.92；当直径为100 mm、高为200 mm时，取0.96。

{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\text{'}}与{\sigma }_{\mathrm{s},\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}的关系如图8所示，通过线性拟合可得到箍筋有效性系数\alpha =\mathrm{1.47}，相应的决定系数R^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.99}，表明拟合程度高。当取箍筋有效性系数\alpha =\mathrm{1.25}时，图8中非保守估计数据点仅占5%。由此可见，从承载能力极限状态的角度看，45°桁架模型严重低估了箍筋的抗剪作用，可考虑引入箍筋有效性系数\alpha =\mathrm{1.25}。此外，由于大剪跨比钢筋混凝土有腹筋梁中混凝土承担的剪力相较于同条件无腹筋梁有所下降^［12］，故有必要在无腹筋梁受剪试验数据拟合结果的基础上进一步修正混凝土项，以提高钢筋混凝土梁受剪承载力设计公式的精度。

我国《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）考虑正常使用阶段斜裂缝偏大等因素而规定箍筋抗拉强度设计值不应大于360 MPa，在一定程度上提高了钢筋混凝土梁受剪承载力设计公式的安全储备，但高强箍筋的设计强度取值理由并不充分。若修正后的设计公式承载力可靠度不能满足要求，可借鉴轴心受压构件承载力计算公式的做法再引入受剪承载力折减系数。

3 结 论

（1） 采用经校验的ATENA非线性有限元模型分析158根集中荷载作用下剪跨比不小于2.5的钢筋混凝土有腹筋梁中与临界斜裂缝相交的箍筋应力，线性拟合得到箍筋有效性系数为1.47。

（2） 从承载能力极限状态的角度看，45°桁架模型严重低估了箍筋的抗剪作用。建议《混凝土结构设计标准》（GB/T 50010—2010）取箍筋有效性系数为1.25并进一步修正混凝土项，以提高钢筋混凝土梁受剪承载力公式的计算精度。

（3） 关于高强箍筋的设计强度取值，还有待采用试验研究及有限元分析相结合的手段深入开展研究后再确定。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52178183)